Kapitel 4 Lagrangesche Mechanik - Quantenoptik makroskopischer ...

Isotropie des Raumes, Drehimpulserhaltung
Unter Isotropie des Raumes versteht man die Invarianz der Lagrangefunktion
unter räumlichen Drehungen. Wir betrachten demnach infinitesimale
Drehungen der Form
δr i = δϕ × r i , δṙ i = δϕ × ṙ i , δt = 0. (4.131)
Damit dies eine Symmetrietransformation wird, muss also wieder gelten
δL = L(r i + δr i ,ṙ i + δṙ i ,t) − L(r i ,ṙ i ,t) = 0. (4.132)
Zunächst entwickeln wir wieder die Lagrangefunktion nach den infinitesimalen
Transformationen und setzen dann die Drehungen ein:
δL =
N∑
δr i · ∇ ri L +
i=1
= δϕ ·
= δϕ ·
N∑
δṙ i · ∇ṙi L
i=1
N∑
(r i × ∇ ri L + ṙ i × ∇ṙi L)
i=1
N∑
(r i × ṗ i + ṙ i × p i )
i=1
= δϕ · d
dt
N∑
i=1
r i × p i = δϕ · d L. (4.133)
dt
Die infinitesimalen Drehungen δϕ können wieder beliebig gewählt werden.
Damit folgt
δL = 0 L = const., (4.134)
das heisst, aus der Isotropie des Raumes folgt die Erhaltung des Gesamtdrehimpulses.
Invarianz unter gleichförmiger Bewegung
Betrachten wir zum Schluss noch den Fall, dass sich das Massenpunktsystem
gleichförmig mit einer Geschwindigkeit v bewegt. Die Transformation lautet
also
r i ↦→ r ′ i = r i + vt , ṙ i ↦→ ṙ ′ i = ṙ i + v , δt = 0. (4.135)
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