5. Strategien der Schwingungsanalyse - Kolerus.de

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen62Abbildung 5.2: Darstellung in Zeitbereich und FrequenzbereichMan weiß aus Erfahrung: Ereignisse, die im Inneren einer Maschine mit konstanterFrequenz ablaufen, sind auch von außen akustisch mit gleicher Frequenzvernehmbar. Da Schall über Gehäuseschwingungen abgestrahlt wird, sind dieFrequenzkomponenten auch im Schwingungsspektrum zu finden. Kennt man Kinematikund Betriebsdaten, können die Schwingungskomponenten zugeordnetwerden, Abbildung 5.3. Im Zeitsignal sind solche Zuordnungen im allgemeinennicht möglich.Abbildung 5.3: Identifikation von SchwingungskomponentenEs kann jedoch nicht Aufgabe sein, Komponenten lediglich zu identifizieren. WelcheAufgaben hat man zu erfüllen? Hier zwei Beispiele als Repräsentanten.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen635.1.2 Aufgaben der Frequenzanalyse5.1.2.1 Aufgabe A – Schallminderung.Abbildung 5.4: SchallminderungDas Spektrum einer als zu laut beurteilten Maschine wird – zur Berücksichtigung derCharakteristik des menschlichen Gehörs – mit einer A-Bewertung gewichtet. Im A-Bewerteten Spektrum kann die schädliche Komponente identifiziert werden. Aus einemStandard über zulässige Grenzwerte entnimmt man die erforderliche Reduktion.Die Aufgabe ist von der messtechnischen Seite vollständig gelöst.5.1.2.2 Aufgabe B – LagerdiagnoseAbbildung 5.5: Diagnose eines WälzlagersC:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen64Im Spektrum sind die Laufgeräusche eines Wälzlagers zu identifizieren. Die Qualitätdes Lagers kann jedoch aus der Beurteilung eines Einzelspektrums nicht beurteiltwerden.5.1.2.3 Warum kann A lösen und B nicht?Zunächst zu B:Gemessen werden Schwingungen außen an der Maschine. Interessant als Beurteilungsgrundlagesind jedoch nicht die Schwingungen außen, sondern die innerenKräfte. Diese entziehen sich jedoch einer Messung.Zwischen Kraft und Schwingung liegt die unbekannte Übertragungsfunktion, dieüberdies stark frequenzabhängig ist.Und nun zu AA hat prinzipiell das gleiche Problem. Jedoch – die Übertragungsfunktion zwischenUrsache und Wirkung ist bekannt, ebenso der zulässige Grenzwert. Daherkann A lösen.Bleibt B erfolglos?Nein.B muss eine andere Strategie entwickeln. Zum Beispiel:TrendbeobachtungDie Lagerkomponenten werden über einen längeren Zeitraum beobachtet.Schwingungen werden immer infolge von Imperfektionen erzeugt, sind also biszu einem gewissen Ausmaß normal. Solange sich die Schwingung stabil verhält,ist das Lager in Ordnung. Erst ein Ansteigen der Komponenten weist auf eineVerschlechterung hin.Beurteilung des LaufgeräuschesErfahrene Beobachter können das Lager auf Grund seines Geräusches beurteilen.Man kann versuchen, diese subjektive Empfindung signalanalytisch nachzuempfinden.Es werden dazu verschiedene Analyseverfahren angeboten. Für diesesei hier ein Begriff geprägt:Strategische AnalysenMan kennt vielleicht einschlägige Begriffe wie• Cepstrumanalyse• Hüllkurvenanalyse• HilberttransformationDie Erläuterung solcher Verfahren läuft sehr schnell in aufwändige mathematischenAbleitungen. Man kann sie verstehen, wenn man entsprechendes Hintergrundwissenhat oder aufbaut.Offen bleibt jedoch sehr oft der Aspekt über die allgemeine Anwendbarkeit. Manhat eine Lösung und sucht das passende Problem.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen65In diesem Beitrag soll der mathematische Teil im Hintergrund bleiben und durchgrundlegende naturwissenschaftliche Betrachtungen ersetzt werden. Auf diesemWeg sind Aspekte wesentlich zielführender zu erarbeiten.5.2 StrategieWas ist Strategie?Man verschafft sich Vorteile.Man bildet ein unlösbares Problem ab auf ein einfacheres oder leichter zu interpretierbaresProblem.5.2.1 Physiologische StrategienAuf die akustische Beurteilung durch den erfahrenen Beobachter wurde bereitshingewiesen.Die menschlichen Sinne haben umfangreiche Strategien zur Erkennung und Beurteilunggeliefert:• Erkennen von Tönen• ... von Farben• ... von KlängenDie ersten haben mit Frequenzen zu tun.5.2.2 Strategien der PhysikDer Physiker (nicht nur er) beobachtet die Natur und versucht sie zu beschreiben.Die grundsätzlichen Strategien sind• Experimentelle Physik• Theoretische Physik5.2.3 Mathematische StrategienDie Mathematik dient der Beschreibung und Quantifizierung der Beobachtung.Vordergründig erwartet man vom Mathematiker eine explizite Lösung der Formx = Meist kann er sie nicht liefern.Hat der Mathematiker versagt?Nein! Voraussetzung wäre, dass das Problem auch explizit darstellbar ist! Meistist dies nicht der Fall.Die Mathematik ist in diesem Zusammenhang als strategisches Instrument zu betrachten.Es werden, angepasst an z. B. Physik oder Physiologie, Strategienentwickelt (s. o.). Die grundlegenden seien hier betrachtet.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen665.2.3.1 ZählenAbbildung 5.6: ZählenDas Zählen bedarf keiner näheren Erläuterung. Es ist einfach – aber so einfachdoch wieder nicht! Man denke an die lange Entwicklung bis zur Erfindung derNull, der Basis für systematisches Zählen.5.2.3.2 Sortieren (Trennen)Abbildung 5.7: Sortieren nach MerkmalenEine einfache Aufgabe: Wir sortieren Obst in die Kategorien• Äpfel• Birnen• Trauben• ...C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen695.2.4.2.1 Beschreibung menschlicher PerzeptionWas sind die elementarsten Grundlagen menschlicher Wahrnehmung. Es die Erkennungvon• Tönen• Farben• Akkorden• FigurenMan sieht – zumindest drei davon haben mit Frequenzen zu tun.5.2.4.2.1.1 Erkennen von TönenWie kann das Erkennen von Tönen mathematisch beschrieben werden?Man (das neuronale System) prüft, inwieweit ein bestimmter Ton im Signal enthaltenist.Die Ähnlichkeit zwischen zwei Signalen x(t) und y(t) wird durch das Kovarianzintegralbeschrieben, Abbildung 5.9.Cov( x,y)= x(t)⋅ y(t)dtGl. 5.6In Worten: Man multipliziert zeitgleiche Funktionswerte und bildet die Summe.Abbildung 5.9: Statistisch unabhängige ProzesseIm Fall statistischer Unabhängigkeit wechselt der Wert des Produktes zwischenpositiv – negativ – groß – klein. Die Summe geht gegen Null.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen70Der Fall statistischer Abhängigkeit ist in Abbildung 5.10 am Beispiel identischerFunktionen demonstriert: Das Produkt ist immer positiv, die Summe wird groß.Abbildung 5.10: Kovarianz identischer FunktionenZur Analyse wird ein zu analysierendes Signal x(t) mit einer Testfunktion y(t) verglichen.Für Zwecke der Tonerkennung wählt many( t)= cosωtDas Kovarianzintegral nimmt die Form anCov( x,ω)= x(t)cosωtdtIn Abbildung 5.11 bis Abbildung 5.13 sind die Grenzfälle hinsichtlich der Phasenlagezu sehen. Demnach verfehlt man die Erkennung bei einer Phasenverschiebungvon 90° - das Kovarianzintegral geht gegen Null.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen71Abbildung 5.11: Tonerkennung – PhasengleichheitAbbildung 5.12: Tonerkennung – GegenphasigkeitC:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen72Abbildung 5.13: Tonerkennung – Phasenlage 90°Das Phasenproblem löst man durch die komplexe Exponentialfunktion als Testfunktionej ω t= cos ωt+ j sin ωtGl. 5.7Das Kovarianzintgral wird zum FourierintegraljωtX ( ω)= x(t)e dtGl. 5.8Das Ergebnis, die Spektralfunktion X(ω) wird zwar komplex, das Phasenproblemist jedoch beseitigt, Abbildung 5.14.Handlicher ist oftmals die symbolische Schreibweisejωt { x(t)}= X(ω)= x(t)e dtGl. 5.9C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen74Der Vergleich mit Gl. 2.4 zeigt unmittelbar:• Der Exponentialansatz für die lineare Differentialgleichung isteine Fouriertransformation des Prozesses• Die Fouriertransformation ist die Beschreibung einfachstermenschlicher Perzeption5.2.5 Die Grundrechenarten der SignalanalyseAuf Basis der in den letzten Abschnitten vorgestellten Strategien sind praktischalle Schwingungsanalysen für stationäre Signale aufgebaut. Man wird ihnen imFolgenden immer wieder begegnen. Sie seien daher hier noch einmal zusammengefasst.Die drei Grundrechenarten der Signalanalyse• Sortieren• Logarithmieren• Fouriertransformation5.3 Die Fouriertransformation5.3.1 DefinitionMathematisch akribische Formulierungen sind nicht Gegenstand dieses Beitrages.Wenn hier einige Formulierungen notiert sind, so dienen sie mehr allgemeinenBetrachtungen.Die Fouriertransfomation – Vorwärts und Rückwärtstransformation – in allgemeinerSchreibweise:X ( f ) ={ x(t)}x(t)= - 1=+∞−∞x(t)e+∞{ X(f )} = −∞− j2πftX ( f ) edt+ j2πftdfGl. 5.1Es fällt zunächst auf: Als unabhängige Variable im Frequenzbereich wurde dieFrequenz f an Stelle der überwiegend verwendeten Kreisfrequenz ω eingeführtmit folgenden Vorteilen:• Die Frequenz liegt der ingenieurmäßigen Betrachtung näher• Der konstante Faktor vor dem Integral verschwindet• Die Symmetrie der Fouriertransformation wird sichtbar.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen755.3.2 EigenschaftenUmkehrbarkeitDie Fouriertransformation ist eindeutig umkehrbar. Daraus folgt:Der Informationsgehalt ist in Zeit- und Frequenzbereich gleich.LinearitätDie Fouriertransformation ist eine lineare Funktion, d. h.Symmetrie +{ x ( t)+ a x ( t)} = a {x ( t)}a { x ( t)}a1 1 2 2 1 122Bis auf das Vorzeichen im Transformationskern sind Vorwärts- und Rückwärtstransformationsymmetrisch. Da dieses Vorzeichen qualitativ und quantitativ ohneBedeutung ist, giltJede Eigenschaft der Transformation gilt gleichermaßen für Vorwärts- und Rückwärtstransformation.Komplexe SpektrenSetzt man die Eulersche Beziehung Gl. 2.6 in die Transformation Gl. 2.7 ein, sosieht man unmittelbar die in Tabelle 5.1 zusammengefassten Eigenschaften vonSpektren reeller ZeitsignaleZeitsignalSpektrumbeliebig hermitisch 3reellgeradeungeradeReell, geradeImaginär, ungeradeTabelle 5.1: Spektrale Eigenschaften reeller ZeitsignaleDie Spektren der wichtigsten Elementarfunktionen sind in Abbildung 5.15 zusehen.3 Die hermitische Eigenschaft heißt gerader Realteil und ungerader ImaginärteilC:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen76ZeitbereichFrequenzbereichffAbbildung 5.15: Spektren harmonischer Zeitsignale5.3.3 Fast Fourier Transformation (FFT)Zur praktischen Durchführung wir aus dem Zeitsignal ein Abschnitt der Länge Tausgeschnitten und nach beiden Seiten periodisch fortgesetzt. Die Fourierreihedieses periodischen Ersatzsignals wird als Repräsentant des Spektrums gebildet.Daraus ergeben sich Einschränkungen bzw. Grenzen.Abbildung 5.16: Ersatzsignal zur Berechnung des SpektrumsUnschärfeDas so berechnete Spektrum ist ein Linienspektrum, Abbildung 5.17, mit derFrequenzauflösung 1/T. Dieser Zusammenhang zwischen Blocklänge T undBandbreite B ist Ausdruck der Unschärferelation der FrequenzanalyseB = 1Gl. 5.2TC:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen77Abbildung 5.17: LinienspektrumLeakageDie periodische Fortsetzung erzeugt Sprungstellen an der Nahtstelle, die zu Nebenlinienim Spektrum führen, Abbildung 5.18. Man nennt diesen Effekt Leakage,da sozusagen die Signalenergie zerfließt. Durch Hanningbewertung – Multiplikationdes Zeitsignals mit einem cos²-Fenster – werden die Nahtstellen beseitigt.Abbildung 5.18: Leakage durch Nahtstellen – HanningbewertungC:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen78Diskrete FouriertransformationAbbildung 5.19 zeigt den Weg vom Fourierintegral zur Diskreten Fouriertransformation(DFT). Ausgehend vom kontinuierlichen und unendlichen Fourerintegral,obere Reihe 4 , wird durch Fensterung wie beschrieben, ein diskretes Spektrumgebildet, Reihe 2.Zur Berechnung werden aus dem kontinuierlichen Spektrum äquidistante Stützstellendes Zeitsignals herangezogen. Aus Symmetriebetrachtungen ergibt sich:Die Diskretisierung des Zeitsignals führt zu einem periodischen Spektrum, Reihe3.In Reihe 4, der letzten Reihe von Abbildung 5.19, sieht man schließlich das Endergebnis,das diskrete Spektrum des gefensterten, diskretisierten Zeitsignals.Man erhält ein periodisches Linienspektrum. Aus Symmetriegründen enthält –wegen der Symmetrie des Amplitudenspektrums – der im Bild indizierte Teil desSpektrums die gesamte Information. Er wird im Analysator angezeigt.AliasingWegen der Periodizität des Spektrums werden Frequenzkomponenten im periodischenSpektrum gespiegelt, sie treten mehrfach auf. Aus diesem Grund mussSorge getragen werden, dass im analysierten Signal keine hochfrequenten Komponentenoberhalb der halben Abtastfrequenz enthalten sind (Antialiasingfilter).Solche Komponenten würden die Eindeutigkeit stören.4 Im Bild wurde wegen der besseren Darstellbarkeit ein gerades Zeitsignal mit reellemSpektrum als Beispiel herangezogenC:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen79ZeitbereichFrequenzbereichx(t)X(f)kontinuierlichtkontinuierlichfx(t)X(f)∆f = 1_ TperiodischTx(t)∆ttdiskret(Linienspektrum)X(f)Aliasingfdiskret(gesampelt)tperiodischx(t)∆tX(f)∆f = 1_ Tdiskret (periodisch)tLinienspektrum (periodisch)fTF = __ 1∆tAbbildung 5.19: Die diskrete Fouriertransformation (DFT).C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen805.4 Strategische AnalysenDie Frequenzanalyse bildet zunächst eine Basis für die Fehlerdiagnose. Aufbauendauf diesem Konzept sind Strategien zur weiteren Interpretation einzusetzen.Genannt wurde schon die Trendbeobachtung. In diesem Abschnitt werden aufbauendeAnalysen vorgestellt.Der erfahrene Beobachter hört mechanische Fehler oft am Klang einer Maschine.Was heißt Klang? Das Laufgeräusch klingt einfach verändert. Unregelmäßigkeitenwie Eiern oder Klicken. Effekte dieser Art zeigen sich als regelmäßigeStrukturen im Spektrum. Verstärktes Auftreten von Harmonischen bei Klangveränderung.Modulationen im anderen Fall. Ziel der strategischen Analysen solldas Aufspüren solcher Strukturen sein. Dabei wird die Interpretation nach Gesichtspunktenmenschlicher Wahrnehmung wieder im Vordergrund stehen.5.4.1 CepstrumanalyseDer Begriff Cepstrum ist gebildet aus der Umdrehung des Wortes Spektrum, assoziiertvom dahinterliegenden Algorithmus. Man führt letztendlich eine Fourier-Rückwärtstransformation vom Frequenzbereich in den Zeitbereich aus. Zur verbalenUnterscheidung vom ursprünglichen Zeitbereich hat man eine entsprechendeNomenklatur eingeführt. So wird z. B. die unabhängige Variable mit derDimension Zeit hier Quefrenz genannt.5.4.1.1 Harmonische – das LeistungscepstrumAbbildung 5.20: Spektrum einer Motor/Lüfter Kombination (linearer Amplitudenmaßstab)C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen81Abbildung 5.21: Harmonische in Spektrum und CepstrumAbbildung 5.20 zeigt ein Spektrum gemessen an einer Motor/Lüfter Kombination.Zu sehen ist im wesentlichen eine einzige Drehzahlkomponente.In Abbildung 5.21 – zunächst wird nur das große Teilbild betrachtet – ist im logarithmischemAmplitudenmaßstab eine Familie von Harmonischen (mit Cursorenindiziert) ist deutlich zu erkennen.Ein Zeitsignal mit solchen regelmäßigen Strukturen im Zeitbereich – also Periodizitäten– würde im Spektrum Linien bei den entsprechenden Frequenzen zeigen.Entsprechendes ist in Anwendung des Symmetrieprinzips nach der Fourier-Rücktransformation im Cepstrum zu erwarten (kleines Teilbild). Die im Cepstrumentsprechend den Harmonischen indizierte Linie ist der erste Repräsentant des´Klanges´.Als Gedankenexperiment wird das gleiche Spektrum betrachtet, aus dem dieGrundfrequenz – hier künstlich – entfernt wurde, Abbildung 5.22.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen82Abbildung 5.22: ... fehlende GrundfrequenzObwohl die Grundfrequenz fehlt, ist die Harmonischenfamilie im Cepstrum nachwie vor scharf indiziert. Aus dem Spektrum allein wäre das Auffinden jetzt schonproblematisch.Die erste Eigenschaft des Cepstrums ist als die Möglichkeit, die fehlende Grundfrequenzaus dem Spektrum zu rekonstruieren. Dies Fähigkeit hat auch dasmenschliche Gehör: So kann man z. B. auch am klassischen analogen Telefonunterscheiden, ob man mit einem Mann oder einer Frau spricht – was vom Frequenzgangher eigentlich nicht möglich sein sollte.Da das hier eingeführte Cepstrum aus der Fourier-Rücktransformation des Leistungsspektrums(ohne Phaseninformation) abgeleitet wird, bezeichnet man esals Leistungscepstrum. Abbildung 5.23 zeigt noch einmal schematisch die Definition.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen83ZeitbereichFrequenzbereichC ( τ )Plog(F (f))xx∆f1__ __ 2∆f ∆fLeistungscepstrumτf0Leistungsspektrummit regelmäßiger StrukturfAbbildung 5.23: Das Leistungscepstrum – DefinitionAbbildung 5.24: Spektren und Cepstren an 2 MesspunktenEinen interessanten Aspekt zeigt Abbildung 5.24: An einer Maschine wurdenSpektren und Cepstren simultan an zwei Messpunkten erfasst – sie repräsentierenalso den selben Betriebszustand.Man sieht: Die Spektren weisen zwar eine gewisse Verwandtschaft, aber dochdeutliche Unterschiede auf. Die Linien in den Cepstren – typisch für Zahnradgetriebe– sind für beide Messpunkte praktisch identisch. Die Verwandtschaftkommt im Cepstrum weit besser zum Ausdruck.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen845.4.1.2 Entfaltung – das komplexe CepstrumFür den allgemeinen Fall des komplexen Cepstrums sind die Verhältnisse imFlussdiagramm Abbildung 5.25 veranschaulicht.Abbildung 5.25: Berechnung des CepstrumsIm ursprünglichen Zeitbereich sind Kraft und Schnelle, mathematisch gesehen,über die sogenannte Faltung verknüpft, Abbildung 5.26. Denkt man sich das Eingangssignal(Kraft) als Folge von Einzelimpulsen zu den Zeitpunkten t 1 , t 2 , t 3 ... sokann man die Reaktion (Schwingung) als Folge von entsprechend zeitverschobenenImpulsantworten konstruieren. Demnach ist die Schwingung zu jedemZeitpunkt beeinflusst durch (theoretisch) alle vergangenen Einzelimpulse.FaltungssatzAus der Faltung im Zeitbereich wird durch die Fouriertransformation eine Multiplikationim Frequenzbereich.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen85Abbildung 5.26: Die Faltung von Kraft und Impulsantwortt−∞y( t)= x(t)∗h(t)= x(τ ) ⋅ h(t −τ) dτGl. 5.3Y( f ) = y( t) e − j 2πft −dt e j 2π= ft x( τ ) ⋅ h( t − τ ) dτdt− j 2πfτ− j 2πfuY( f ) = e x( τ ) dτe h( u)du { x( t) ∗ h( t) } = { x( t) }. { h( t)} { x( t) ⋅ h( t) } = { x( t) } ∗{ h( t)}Gl. 5.4C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen86Daraus resultiert auch eine mathematische Erklärung der besseren Trennbarkeitim Frequenzbereich.Man rufe sich jetzt das Strategische Konzept in Erinnerung, die Grundrechenartender Signalanalyse (Abschnitt 5.2.5)!• Die Fouriertransformation wurde schon durchgeführt.• Durch Logarithmieren wird die Multiplikation zur Addition• Die Addition bleibt bei der Fourier-Rückwärtstransformation wegender Linearität erhalten. Das Cepstrum C y des Ausganges wird getrenntin die Cepstren C x von Kraft und C h von Impulsantwort.Das Schema beschreibt exakt die Möglichkeit der Trennung von Sprecher undSprache, Abbildung 5.8.Auf dieser Basis lässt sich auch die Ähnlichkeit der Cepstren in Abbildung 5.24interpretieren: Die Linien sind der kraftbasierte Anteil, die Kraft ist für beide Messpunktedie gleiche. Die Übertragungsfunktionen – repräsentiert durch dieCepstren im Bereich niedriger Quefrenzen – sind durchaus unterschiedlich.Können wir auf diesem Weg die Erregerkraft messen?Der Gedanke ist reizvoll, wäre die Kraft doch unsere eigentliche Zielgröße. DieMessung scheitert jedoch an der Kalibrierbarkeit. Wieder die perzeptive Entsprechung:Aus der Lautstärke kann nicht unterschieden werden zwischen einemlauten Geräusch hinter einer dicken Wand oder einem leisenhinter einer dünnen.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen875.4.2 HüllkurvenanalyseBei vielen Geräuschen steckt die Information in einer Hüllkurve. Läuft ein Getriebegleichmäßig, empfindet man das (laute) Geräusch normal. Ein Eiern oderKnacken wird als unnormal interpretiert – man sagt, es eiert, knackt. Man hatdamit das Knacken vom Gesamtgeräusch getrennt – man hat demoduliert. Wiederdie Aufgabe der Trennung ...5.4.2.1 ModulationAbbildung 5.27: AmplitudenmodulationAbbildung 5.27 zeigt als einfachsten Repräsentanten eine amplitudenmodulierteSinusfunktion, also Sinus (Träger) mit zeitveränderlicher Amplitude (Modulation).Im Zeitbereich mathematisch zu beschreiben durch eine Multiplikation: A mx( t) = 1+ cosωmt AT cosTt A ⋅ ω =T= A cosω t + A cosω t ⋅ cosωt =T T m m TAmAm= ATcosωTt+ cos ( ωT+ ωm) t + cos ( ωT− ωm)t2 2Gl. 5.5Die kurze mathematische Beschreibung Gl. 4.3 liefert zusammen mit dem Bild allegrundlegenden Informationen:• Im Zeitbereich sind Träger und Modulation durch Multiplikation verknüpft• Im Frequenzbereich wird das Spektrum der Modulation mit seinemUrsprung and die Stelle der Trägerfrequenz verschobenC:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen88• Die Multiplikation im Zeitbereich wird zur Faltung im Frequenzbereiches(Symmetrie – Faltungssatz, Abschnitt 5.4.1.2)Im allgemeinen Fall wird die Modulation eine periodische Funktion mit mehrenHarmonischen sein, entsprechend wird im Spektrum um die Trägerfrequenz f Teine Familie von Linien im Abstand von Vielfachen der Modulationsfrequenz –eine Seitenbandfamilie auftreten.Zwei Aufgaben sind – gespiegelt am Muster des schadhaften Zahnradgetriebes –zu sehen,• Auffinden der Seitenbandfamilie• Extraktion der Modulation = Demodulation5.4.2.2 Detektion von SeitenbändernDie Detektion von Seitenbändern erfolgt mit der Cepstrumanalyse wie schon beschrieben.5.4.2.3 Der Ansatz von HilbertHilberts Gedanke hat eigentlich einen ganz anderen Ansatzpunkt: Ein linearesSystem ist charakterisiert durch seine Impulsantwort im Zeitbereich. Die Fouriertransformationder Impulsantwort ist die komplexe Übertragungsfunktion imFrequenzbereich.Im Unterschied zum Signal ist die Impulsantwort auf Grund des Kausalitätsprinzipsimmer einseitig. Hilbert hat die Konsequenzen für die Übertragungsfunktionuntersucht und formuliert: Realteil und Imaginärteil hängen über die Hilberttransformationzusammen.5.4.2.4 Demodulation - HiberttransformationSymmetriebetrachtung des Hilbertschen Ansatzes:• Die Fouriertransformation liefert positive und negative Frequenzen• Das Spektrum reeller Zeitsignale ist hermitisch• Wir hören nur Frequenzen• Perzeptiv sind negative Frequenzen nicht zu interpretieren• Wie sieht ein Zeitsignal mit einseitigem Spektrum aus?Zunächst: Das gesuchte Zeitsignal ist komplex. Man nennt es das AnalytischeZeitsignal.Ableitung und Zusammenhänge kann man an Hand von Abbildung 5.28 nachvollziehen.Im linken Teilbild ist – gezeigt an einer Einzelkomponente – das zweiseitige komplexeSpektrum mit der hermitischen Eigenschaft zu sehen. Das rechte Spektrumzeigt das Spektrum entsprechend dem Höreindruck: Die gesamte Energie auf einerKomponente, der mit positiver Frequenz. Dazwischen der spektrale Anteil derzum gewünschten Ergebnis führt.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen89Abbildung 5.28: Analytisches Zeitsignal – HilberttransformationDie Prozedur lässt sich aus der Bildfolge ablesen.Schreibt man für das analytische Zeitsignalso sieht manxˆ( t)= x(t)+ j ⋅ x~( t)• Der Realteil des analytischen Zeitsignals ist gleich dem klassischenreellen Zeitsignal x(t)• Das Spektrum des Imaginärteils x~( t ) entsteht daraus durch Drehungdes Realteils um –90° und des Imaginärteils um + 90°Abbildung 5.29: Zur Bildung der HilberttransformationC:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen90Der Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil des Zeitsignals wirdHiberttransformation genannt. Ihre explizite (komplizierte) mathematische Formulierungkann an dieser Stelle unterbleiben. Sie nach dem Schema vonAbbildung 5.29 nur mit den Grundrechenarten der Signalanalyse zu ermitteln.Beispiel: Hilberttransformation des CosinusAus Abbildung 5.15 und Abbildung 5.29 kann man direkt ablesen• Die Hilberttransformierte von cosωt ist sinωt• Das analytische Zeitsignal ist die Exponentialfunktionx(t)= Acosωtx~( t)= Asinω txˆ(t)= AejωtGl. 5.6Man erinnert sich an Newton (Abschnitt 5.2.4.1): Die Einführung der Exponentialfunktionals Notierung, ursprünglich argumentiert als eine Art Bequemlichkeit,war bereits die Hilberttransformation. Neu wird lediglich die Interpretation desImaginärteiles.Der Betrag des analytischen Zeitsignals Gl. 4.4 ist die Amplitude A, die Hüllkurve.Beispiel: Amplitudenmodulationx(t)= A(t)cosωtx~( t)= A(t)sinω txˆ(t)= A(t)ejωtGl. 5.7Die Relation Gl. 4.5 ist gültig, so lange der Frequenzbereich der zeitabhängigenAmplitude A(t) unterhalb der Trägerfrequenz liegt.Die Hilberttransformation ist ein Mittel zur Demodulation. Die Ausführung erfolgtmit den Grundrechenarten der Signalanalyse.C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc

J. Kolerus: Zustandsüberwachung von Maschinen915.5 ZusammenfassungSortierenCepstrumDemodulationKraft Impedanz Schwingung SchwingungSignal Struktur Signal SignalSprache Sprecher Äpfel BirnenTabelle 5.2: Eigenschaften strategischer Analysen5.6 SchrifttumPapoulis, A.: Signal Analysis.McGraw-Hill 1977Bendat, J.S.: The Hilbert Transform and Applications to Correlation Measurements.Bruel&Kjaer Application Note BT 0008-11Randall, R. B.: Frequency Analysis. Bruel&Kjaer 1987Kolerus, J.: Zustandsüberwachung von Maschinen. 3. Auflage,Expert Verlag 2000C:\Dokumente und Einstellungen\Josef Kolerus\EigeneDateien\Vorlesungen\Zustandsüberwachung\Arbeitsordner\Manuskript\Strategien Signalanalyse.doc