Klausur

FH OsnabrückFakultät I & IProf. Dr. F.M. ThiesingGrundlagen der MathematikKlausurOsnabrück, 17.01.06Kurs MI 1WS 05/06Name, Vorname: ___________________________________________________________Matrikel-Nr.: _______________________________ Semester/Gruppe: ______________Aufgabe 1 2 3 4 5 6 SummeMaximale Punktzahl 10 12 12 30 24 12 100Erreichte PunktzahlUnterschrift:Note:Hinweise• Die Bearbeitungszeit beträgt 3 Stunden.• Schreiben Sie auf jedes Lösungsblatt Ihren Namen und Matrikelnummer.• Bei jeder Aufgabe muss ein Lösungsweg erkennbar sein, nur das Endergebnis ohneLösungsweg ist nicht ausreichend.• Die Klausur besteht aus 6 Aufgaben auf Vorder- und Rückseite.• Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner, Bücher, Formelsammlung, Skript,Mitschriften der Vorlesungen, Übungen und Tutorien• Nicht zugelassen sind: PC, Laptop, Handy, Auskünfte bei anderenKlausurteilnehmern• Zum Bestehen der Klausur sind 50 Punkte erforderlich.• Bei der Abgabe sind alle Lösungsblätter mit dem Aufgabenblatt als Deckblattzusammenzuheften.Aufgaben1) [Induktion (10 Punkte)] Beweisen Sie durch vollständige Induktion:n ⋅(n + 1) ⋅(n + 2)a) 1⋅2 + 2⋅3+ 3⋅4 + L + n ⋅(n + 1) =3b) Gegeben sei in rekursiver Form die Folge: a0= 1,an 1= an+ 2n2Zeigen Sie: = n − n + 1a n+.2) [Funktionen (12 Punkte)] Betrachten Sie nachstehende Funktion f. Bestimmen Sie denmaximalen Definitionsbereich D . Zeigen Sie, dass die Funktion umkehrbar ist undgeben Sie die Umkehrfunktionf ( x)= arccos 1−ef−1f sowie −1fxD an:

3) [Differentialrechnung (12 Punkte)]4a) Bestimmen Sie die erste Ableitung von f ( x)= x ⋅sinx + cos(2x)b) An welchen Stellen existiert die Ableitung von f ( x)= | tan x | nicht?π1+sin xc) Berechnen Sie den Grenzwert lim 2x→3 x 2− 6x+ 94) [Kurvendiskussion (30 Punkte)] Für folgende Funktion ist eine vollständigeKurvendiskussion durchzuführen. Skizzieren Sie den Graphen aussagekräftig in einemausreichend großen Intervall und geben Sie außerdem die Funktionsgleichung für dieTangente im Wendepunkt an.f ( x)=2− x + x + 22( x + 2)5) [Integralrechnung (24 Punkte)]e2a) Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫ x ln xdx.135x+ 5x− 2b) Ermitteln Sie ∫ dx. (Hinweis: Partialbruchzerlegung)4x −16) [Lineare Gleichungssysteme (12 Punkte)] Lösen Sie das lineare Gleichungssystem mitdem Gauß-Algorithmus:x1+ x2+ 4x4= 53x1+ 2x2+ x3+ x4= 14x1+ 3x2+ 2x 3+ 2x4= 02x + x + x + 3x = 21234