Kap. 1.3 - Abbildungen

1.3 Abbildungen Grundlagen der Mathematik 1
1.3 Abbildungen
Definition : Abbildung, Definitionsbereich, Zielbereich, Bildmenge
Eine Abbildung f : D → Z ordnet jedem Element x ∈ D eindeutig ein y = f (x) ∈ Z zu.
D heißt Definitionsbereich und Z der Zielbereich der Abbildung f.
Das Element y = f(x) heißt dann das Bild von x und x heißt das Urbild zu y.
Die Menge B = f (D) aller Elemente y ∈ Z, zu denen ein Urbild x ∈ D existiert, heißt
Bildmenge von D.
D
Z
f
f(D)
Beispiel für Abbildung
Reelle Funktion
1
y = h(
x)
= mit
x
2 −1
Definitionsbereich D = { x ∈ R | x > 1 ∨ x < -1 } = R \ [ -1 , +1 ]
Bildbereich B = h(D) = { x ∈ R | x > 0 } = ( 0 ; +∞ )

1.3 Abbildungen Grundlagen der Mathematik 2
Definition : Permutation
Eine Permutation von n Elementen mit n ∈ Z beschreibt eine Umordnung dieser Elementen,
wobei jedem Element als Bild genau ein Element zugeordnet wird. Permutationen werden auf
zwei verschiedene Arten beschrieben:
a.) Matrixschreibweise
⎛ 1
⎜
⎝i1
i
2
2
3
i
3
.
.
.
.
n
⎟ ⎞
i n ⎠
Es wird in der 2. Zeile jeweils das Bild des darüberliegenden Elementes angegeben.
b.) Zyklenschreibweise
( m 1 m 2 m 3 )( k 1 k 2 k 3 k 4 )( j 1 j 2 j 3 ) usw.
Diese Darstellung in Zyklen beschreibt, dass im 1. Zyklus m 1 in m 2 , m 2 in m 3 und m 3 in m 1
abgebildet, dann im 2. Zyklus k 1 in k 2 , k 2 in k 3 und schließlich k 4 in k 1 usw. bis alle Zyklen
abgearbeitet sind. Dabei ist n die Summe der Länge aller Zyklen.
Eine Permutation p : M → M ist eine Abbildung der Menge M auf sich selbst.
Beispiel für Permutation
Permutation einer Menge M von n Elementen
M = { 1,2,3,4,5,6,7,8 }
Permutation p =
⎛1
⎜
⎝3
2
5
3
4
4
1
5
6
6
8
7
7
8⎞
⎟
2⎠
= ( 1 3 4 )( 2 5 6 8 )(7)
ist eine Abbildung p : M → M.
Definition : Surjektive Abbildung, Injektive Abbildung, Bijektive Abbildung
Eine Abbildung f : D → Z heißt surjektiv oder eine Abbildung von D "auf" Z, wenn zu
jedem Element aus Z mindestens ein Urbild in D existiert, d.h. es gilt f (D) = Z.
Eine Abbildung f : D → Z
heißt injektiv, wenn zu jedem Element der Bildmenge f(D)
genau ein Urbild in D existiert, d.h. für alle x 1 , x 2 ∊ D gilt : f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇒ x 1 = x 2
Eine Abbildung f : D → Z heißt bijektiv oder eineindeutig, wenn die Abbildung f surjektiv
und injektiv ist, d.h. jedes Element von Z genau ein Urbild in D besitzt.

1.3 Abbildungen Grundlagen der Mathematik 3
Darstellung von Abbildungen mit Mengendiagrammen
a.) Surjektive Abbildung
Jedes Element der Zielmenge ist Bildelement, aber es können mehrere Urbilder existieren.
x 1
x 2
y 1
x 3
y 2 =y 3
b.) Injektive Abbildung
Jedes Element der Bildmenge besitzt genau ein Urbild
x 1
x 2
y 1
x 3
y 3
y 2
c.) Bijektive Abbildung
Die Abbildung ist eineindeutig, d.h. surjektiv und injektiv
x 1
y 1
x 2
x 3
y 2
y 3

1.3 Abbildungen Grundlagen der Mathematik 4
Beispiele
1.) Die oben genannte Funktion h(x) ist weder surjektiv noch injektiv, also auch nicht
bijektiv, da der Bildbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst und jeder Funktionswert
zweimal angenommen wird.
2.) Die oben genannte Permutation p ist surjektiv und injektiv also auch bijektiv.
Daher existiert eine Umkehrabbildung p -1 : M → M
p -1 ⎛1
2 3 4 5 6 7 8⎞
= ⎜
⎟
⎝4
8 1 3 2 5 7 6⎠
= ( 4 3 1 )( 8 6 5 2 )(7)
Definition : Verknüpfung von Abbildungen
Sind f : D f → Z f und g : D g → Z g zwei Abbildungen, sodass die Bildmenge f(D f ) eine
Teilmenge von D g ist. Dann definiert man die Verknüpfung beider Abbildungen g ○ f als
Hintereinanderausführung beider Abbildungen durch g ○ f (x) = g(f(x)). Dabei heißt die
Funktion f innere Funktion und die Funktion g äußere Funktion.
D f
D g
Z g
f
f(D f )
g
g ○ f
Beispiele :
1.) Innere Funktion f : R → R ist definiert durch f(x) = x 2 .
Äußere Funktion g : R → R ist definiert durch g(x) = 3x + 1.
Die Bildmenge f (R ) = [ 0 ; +∞ ) ist Teilmenge des Definitionsbereichs von g.
Verknüpfung g ○ f (x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = 3x 2 +1
Die Verknüpfung von Funktionen ist nicht kommutativ!
Hier ist f ○ g (x) = f (3x + 1) = (3x + 1) 2

1.3 Abbildungen Grundlagen der Mathematik 5
2.) Nacheinanderausführung von Permutationen ergibt eine Permutation
⎛1
⎜
⎝3
2
5
3
4
4
1
5
6
6
8
7
7
8⎞
⎟
2⎠
○
⎛1
⎜
⎝3
2
5
3
4
4
1
5
6
6
8
7
7
8⎞
⎟
2⎠
⎛1
2 3 4 5 6 7 8⎞
= ⎜
⎟
⎝4
6 1 3 8 2 7 5⎠
Definition : Umkehrabbildung
Zu einer bijektiven Abbildung f : D → Z wird die Umkehrabbildung f -1 : Z → D
definiert durch y = f(x) ⇔ x = f -1 (y).
Zu einer injektiven Abbildung kann bei Beschränkung auf die Bildmenge f(D) ebenfalls eine
Umkehrabbildung f -1 : f(D) → D definiert werden.
Verknüpfung von Abbildung und Umkehrabbildung
Besitzt die Abbildung f : D → Z die Umkehrabbildung f -1 : Z → D , dann ist auch f -1
bijektiv und es gilt ( f -1 ○ f ) (x) = x für alle x ∈ D und ( f ○ f -1 ) (y) = y für alle y ∈ Z ,
d.h. f -1 ○ f ist die identische Abbildung von D und f ○ f -1 die identische Abbildung von Z.
Beispiele :
1.)
y =
f ( x)
=
x
x
− 3
+ 5
Auflösung nach x ergibt
y +
x = f
− 1 5 3
( y)
=
1 − y
Einsetzen und Ausrechnung ergibt
x − 3 5( x − 3) + 3( x + 5) 8x
( f −1 f x = f
− 1
o )( ) ( ) =
= = x
x + 5 ( x + 5) − ( x − 3) 8
Umgekehrt gilt
−1
5y
+ 3 (5y
+ 3) − 3(1 − y)
8y
( f o f )( y)
= f ( ) =
= =
1−
y (5y
+ 3) + 5(1 − y)
8
y

1.3 Abbildungen Grundlagen der Mathematik 6
2.) Permutationen
⎛1
p = ⎜
⎝3
p -1 ⎛1
= ⎜
⎝4
2
5
2
8
3
4
3
1
4
1
4
3
5
6
5
2
6
8
6
5
7
7
7
7
8⎞
⎟
2⎠
8⎞
⎟
6⎠
Hier ergibt sich
p ○ p -1 = p ○ p -1 ⎛1
2 3 4 5 6 7 8⎞
= ⎜
⎟
⎝1
2 3 4 5 6 7 8⎠
Rechengesetze für Verknüpfungen von Abbildungen
a.) Sind f, g, h Abbildungen, sodass g ○ f und h ○ g definiert sind. Dann gilt das
Assoziativgesetz
h ○ ( g ○ f ) = ( h ○ g ) ○ f = h ○ g ○ f
b.) Ist die Verknüpfung g ○ f für zwei bijektive Abbildungen f und g definiert,
dann ist auch g ○ f bijektiv und besitzt die
Umkehrabbildung ( g ○ f ) -1 = f -1 ○ g -1
Beweis : Es gilt (h ○ ( g ○ f )) (x) = h ( g ○ f (x)) = h (g (f (x) ) )
Und ebenso (h ○ g ) ○ f )) (x) = ( h ○ g )( f (x)) = h (g (f (x) ) )
Für die Umkehrabbildung gilt dann
(f -1 ○ g -1 ) ○ (g ○ f ) (x) = f -1 ( g -1 (g ( f (x) ) ) = f -1 ( f (x) ) = x