Kap. 1.3 - Abbildungen

1.3 Abbildungen Grundlagen der Mathematik 4
Beispiele
1.) Die oben genannte Funktion h(x) ist weder surjektiv noch injektiv, also auch nicht
bijektiv, da der Bildbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst und jeder Funktionswert
zweimal angenommen wird.
2.) Die oben genannte Permutation p ist surjektiv und injektiv also auch bijektiv.
Daher existiert eine Umkehrabbildung p -1 : M → M
p -1 ⎛1
2 3 4 5 6 7 8⎞
= ⎜
⎟
⎝4
8 1 3 2 5 7 6⎠
= ( 4 3 1 )( 8 6 5 2 )(7)
Definition : Verknüpfung von Abbildungen
Sind f : D f → Z f und g : D g → Z g zwei Abbildungen, sodass die Bildmenge f(D f ) eine
Teilmenge von D g ist. Dann definiert man die Verknüpfung beider Abbildungen g ○ f als
Hintereinanderausführung beider Abbildungen durch g ○ f (x) = g(f(x)). Dabei heißt die
Funktion f innere Funktion und die Funktion g äußere Funktion.
D f
D g
Z g
f
f(D f )
g
g ○ f
Beispiele :
1.) Innere Funktion f : R → R ist definiert durch f(x) = x 2 .
Äußere Funktion g : R → R ist definiert durch g(x) = 3x + 1.
Die Bildmenge f (R ) = [ 0 ; +∞ ) ist Teilmenge des Definitionsbereichs von g.
Verknüpfung g ○ f (x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = 3x 2 +1
Die Verknüpfung von Funktionen ist nicht kommutativ!
Hier ist f ○ g (x) = f (3x + 1) = (3x + 1) 2