Kap. 1.3 - Abbildungen

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1.3 Abbildungen Grundlagen der Mathematik 2 Definition : Permutation Eine Permutation von n Elementen mit n ∈ Z beschreibt eine Umordnung dieser Elementen, wobei jedem Element als Bild genau ein Element zugeordnet wird. Permutationen werden auf zwei verschiedene Arten beschrieben: a.) Matrixschreibweise ⎛ 1 ⎜ ⎝i1 i 2 2 3 i 3 . . . . n ⎟ ⎞ i n ⎠ Es wird in der 2. Zeile jeweils das Bild des darüberliegenden Elementes angegeben. b.) Zyklenschreibweise ( m 1 m 2 m 3 )( k 1 k 2 k 3 k 4 )( j 1 j 2 j 3 ) usw. Diese Darstellung in Zyklen beschreibt, dass im 1. Zyklus m 1 in m 2 , m 2 in m 3 und m 3 in m 1 abgebildet, dann im 2. Zyklus k 1 in k 2 , k 2 in k 3 und schließlich k 4 in k 1 usw. bis alle Zyklen abgearbeitet sind. Dabei ist n die Summe der Länge aller Zyklen. Eine Permutation p : M → M ist eine Abbildung der Menge M auf sich selbst. Beispiel für Permutation Permutation einer Menge M von n Elementen M = { 1,2,3,4,5,6,7,8 } Permutation p = ⎛1 ⎜ ⎝3 2 5 3 4 4 1 5 6 6 8 7 7 8⎞ ⎟ 2⎠ = ( 1 3 4 )( 2 5 6 8 )(7) ist eine Abbildung p : M → M. Definition : Surjektive Abbildung, Injektive Abbildung, Bijektive Abbildung Eine Abbildung f : D → Z heißt surjektiv oder eine Abbildung von D "auf" Z, wenn zu jedem Element aus Z mindestens ein Urbild in D existiert, d.h. es gilt f (D) = Z. Eine Abbildung f : D → Z heißt injektiv, wenn zu jedem Element der Bildmenge f(D) genau ein Urbild in D existiert, d.h. für alle x 1 , x 2 ∊ D gilt : f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 Eine Abbildung f : D → Z heißt bijektiv oder eineindeutig, wenn die Abbildung f surjektiv und injektiv ist, d.h. jedes Element von Z genau ein Urbild in D besitzt.
1.3 Abbildungen Grundlagen der Mathematik 3 Darstellung von Abbildungen mit Mengendiagrammen a.) Surjektive Abbildung Jedes Element der Zielmenge ist Bildelement, aber es können mehrere Urbilder existieren. x 1 x 2 y 1 x 3 y 2 =y 3 b.) Injektive Abbildung Jedes Element der Bildmenge besitzt genau ein Urbild x 1 x 2 y 1 x 3 y 3 y 2 c.) Bijektive Abbildung Die Abbildung ist eineindeutig, d.h. surjektiv und injektiv x 1 y 1 x 2 x 3 y 2 y 3
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