Kap. 1.3 - Abbildungen

1.3 Abbildungen Grundlagen der Mathematik 6
2.) Permutationen
⎛1
p = ⎜
⎝3
p -1 ⎛1
= ⎜
⎝4
2
5
2
8
3
4
3
1
4
1
4
3
5
6
5
2
6
8
6
5
7
7
7
7
8⎞
⎟
2⎠
8⎞
⎟
6⎠
Hier ergibt sich
p ○ p -1 = p ○ p -1 ⎛1
2 3 4 5 6 7 8⎞
= ⎜
⎟
⎝1
2 3 4 5 6 7 8⎠
Rechengesetze für Verknüpfungen von Abbildungen
a.) Sind f, g, h Abbildungen, sodass g ○ f und h ○ g definiert sind. Dann gilt das
Assoziativgesetz
h ○ ( g ○ f ) = ( h ○ g ) ○ f = h ○ g ○ f
b.) Ist die Verknüpfung g ○ f für zwei bijektive Abbildungen f und g definiert,
dann ist auch g ○ f bijektiv und besitzt die
Umkehrabbildung ( g ○ f ) -1 = f -1 ○ g -1
Beweis : Es gilt (h ○ ( g ○ f )) (x) = h ( g ○ f (x)) = h (g (f (x) ) )
Und ebenso (h ○ g ) ○ f )) (x) = ( h ○ g )( f (x)) = h (g (f (x) ) )
Für die Umkehrabbildung gilt dann
(f -1 ○ g -1 ) ○ (g ○ f ) (x) = f -1 ( g -1 (g ( f (x) ) ) = f -1 ( f (x) ) = x