Kap. 1.3 - Abbildungen

1.3 Abbildungen Grundlagen der Mathematik 2
Definition : Permutation
Eine Permutation von n Elementen mit n ∈ Z beschreibt eine Umordnung dieser Elementen,
wobei jedem Element als Bild genau ein Element zugeordnet wird. Permutationen werden auf
zwei verschiedene Arten beschrieben:
a.) Matrixschreibweise
⎛ 1
⎜
⎝i1
i
2
2
3
i
3
.
.
.
.
n
⎟ ⎞
i n ⎠
Es wird in der 2. Zeile jeweils das Bild des darüberliegenden Elementes angegeben.
b.) Zyklenschreibweise
( m 1 m 2 m 3 )( k 1 k 2 k 3 k 4 )( j 1 j 2 j 3 ) usw.
Diese Darstellung in Zyklen beschreibt, dass im 1. Zyklus m 1 in m 2 , m 2 in m 3 und m 3 in m 1
abgebildet, dann im 2. Zyklus k 1 in k 2 , k 2 in k 3 und schließlich k 4 in k 1 usw. bis alle Zyklen
abgearbeitet sind. Dabei ist n die Summe der Länge aller Zyklen.
Eine Permutation p : M → M ist eine Abbildung der Menge M auf sich selbst.
Beispiel für Permutation
Permutation einer Menge M von n Elementen
M = { 1,2,3,4,5,6,7,8 }
Permutation p =
⎛1
⎜
⎝3
2
5
3
4
4
1
5
6
6
8
7
7
8⎞
⎟
2⎠
= ( 1 3 4 )( 2 5 6 8 )(7)
ist eine Abbildung p : M → M.
Definition : Surjektive Abbildung, Injektive Abbildung, Bijektive Abbildung
Eine Abbildung f : D → Z heißt surjektiv oder eine Abbildung von D "auf" Z, wenn zu
jedem Element aus Z mindestens ein Urbild in D existiert, d.h. es gilt f (D) = Z.
Eine Abbildung f : D → Z
heißt injektiv, wenn zu jedem Element der Bildmenge f(D)
genau ein Urbild in D existiert, d.h. für alle x 1 , x 2 ∊ D gilt : f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇒ x 1 = x 2
Eine Abbildung f : D → Z heißt bijektiv oder eineindeutig, wenn die Abbildung f surjektiv
und injektiv ist, d.h. jedes Element von Z genau ein Urbild in D besitzt.