U5 Gauss-Jordan Algorithmus

Hochschule für Technik und Architektur BernInformatik und angewandte MathematikU5-1Übung LösungU5 Gauss-Jordan AlgorithmusAufgaben1. Lösen Sie mit Hilfe des Gauss-Jordan Algorithmus das nachfolgende Gleichungssystem:Praktizieren Sie sowohl die Methode des Rückwärtseinsetzens wie auch die Methode "Gauss-Rückwärts" um alle Unbekannten zu bestimmen.2x + y - 3z= 53x - 2y + 2z= 55x - 3y - z = 16Lösung mit Rückwärts einsetzen:F 1 3 51 -F 2 1 -3 5I2 2 27 13 53 -2 2 5 02 2 2HG5 -3 -1 16KJ- -G11 13 70 -2 2 2FHG1 3 51 -2 2 20 7 -13 50 0 1 -2IKJx3=-25 13 3 5 26 212 = + xx= - = - =-37 7 711 =2 5 + 3 1x b x3 -x2g= b - + =2 5 6 3g1Lösung mit Gauss-Rückwärts:F 1 3 51 -F 2 1 -3 5I2 2 27 13 53 -2 2 5 02 2 2HG5 -3 -1 16KJ- -G11 13 70 -2 2 2FHG1 3 51 -2 2 20 7 -13 5J0 0 1 -2 ( 13)( 3/ 2)IKJHHFHGIKJIKJ1 11 0 -2 20 7 0 -210 0 1 -2F1 3 5(-3)(-5)1 -2 2 20 -7 13 -511 7(52 104G0 0 - J - / )7 7HF1 3 5(-3)(-5)1 -2 2 20 -7 13 -511 7(52 104G0 0 - J - / )7 7IKJHFHGI1 11 0 -2 21 0 0 110 1 0 -3( 0 1 0 320 0 1 -2J - )HG- 0 0 1 -2KIKIKFIKJAusgabe: 1999, G. KruckerFile:IAM_Uebung5 Gauss Algorithmus Loesung.doc

Hochschule für Technik und Architektur BernInformatik und angewandte MathematikU5-2Übung Lösung1. Für welche Werte von α, β hat das Systemαxx2x−+−y2yy++zz===1β3a.) keine Lösungb.) unendlich viele Lösungenc.) genau eine LösungLösung:⎛α1⎜⎜ 1 2⎝ 2 − 11011⎞⎟β ⎟3⎠⎛ 2⎜→ ⎜ 1⎝α− 1211013⎞⎛1⎟ ⎜β ⎟ → ⎜01⎠⎝0− 131 + α1− 11 −α3 ⎞ ( −1)(−α)⎟− 3 + β ⎟1 − 3α⎠⎛1⎜⎜0⎝0− 1301− 14 − 2α3 ⎞⎟− 3 + β ⎟ ( −1/3−α/ 3)3 + α − β −αβ⎠Besserer Weg: α in die letzte Koeffizientenspalte bringen:⎛α1⎜⎜ 1 2⎝ 2 − 1⎛1− 1⎜⎜02⎝021 1⎞⎛ 2⎟ ⎜0 β ⎟ → ⎜ 11 3⎠⎝α21− 2 + α− 1 12 01 13⎞⎛1− 1 2 3⎞(0),( −1)⎟ ⎜⎟β ⎟ → ⎜02 1 β ⎟1⎠⎝11 α 1⎠3 ⎞ ⎛1− 1 2 3 ⎞⎟ ⎜⎟β ⎟ → ⎜02 1 β ⎟ ( −1)− 2⎠⎝00 − 3 + α − 2 − β ⎠2 + βz =α = 3, β ≠ −2keineLsgα − 3α = 3, β = -2 ∞viele Lsgα ≠ 3, β ≠ -2 eine Lsg3. Wie sehen die auf Dreieckform reduzierten erweiterten Koeffizientenmatrizen vom Charakter heraus, wenn(a) mehrere, (b) genau eine, (c) keine Lösungen existieren?Lösung:unendlich viele Lsg. keine Lsg. Genau eine Lsg.F↗I F↗I F↗↗↗↗↗ ▭↗ ▭↗ ▭HG00KJHG0 KJy HGx yyπ0 xπ0, yŒRIKJAusgabe: 1999, G. KruckerFile:IAM_Uebung5 Gauss Algorithmus Loesung.doc

Hochschule für Technik und Architektur BernInformatik und angewandte MathematikU5-3Übung Lösung4. Untersuchen Sie das folgende Gleichungssystem bezüglich der Lösung indem Sie den Gauss-Algorithmus anwenden:FHG2 1 -11 -2 11 3 -2IFKJHGxyzI FKJ = HGIKJ120Reduktion auf Dreieckform und interpretieren des Schlusstableau bezüglich der Lösungsmenge:2 1 -111 -2 1 21 3 -20(-05 . )-05 . ) 2 1 -1Æ 0 -25 . 15 .115 .0 25 . -15. -05.2 1 -11() 1 Æ 0 -25 . 15 . 15 .0 0 0 1 Æ Widerspruch!5. Bestimmen Sie alle Ströme indem Sie die zum System gehörende erweiterte Koeffizientenmatrixaufstellen und mit Gauss-Jordan lösen.R 120ΩR 320ΩR 520ΩU CC24VR 280ΩR 440ΩR 610ΩKontrollieren Sie Ihr Resultat indem sie mit dem Taschenrechner die inverse Koeffizientenmatrixbestimmen und die Lösung über den Ansatz x=A -1 ⋅b bestimmen.Lösung:Knotenansatz mit den Strömen I 1, I 3, I 5:A: U = I R + R ( I - I ) = I ( R + R )-I RB: 0 = I3R3 + ( I3 -I1) R4 -( I1 -I3)R2=- IR 1 2 + I3( R2 + R3 + R4)-IR5 4C: 0 = I5R5 + I5R6 -( I3 -I5)R4=- IR 3 4 + I5( R4 + R5 + R6)F( R1 + R2)-R20 IFI1I- R ( R + R + R ) -RIGJ2 3 4 5 43GJ- R ( R + R + R ) IH1 1 2 1 3 1 1 2 3 3KH0 4 4 5 6 5FKJ = HGIKFHU 100 -80 0080 140 40J Æ - -G0 0 -40 70IFKJHGIII135I FKJ = HG2400IKJ100 -80 0 24 1 -08 . 0 024 .-80 140 -400 Æ 0 76 -4019.20 -40 70 0 0 -40 70 0I5b'3 768= = ª 0.20645Aa'37203319.2 40 768I3 = b'2- a'23I5= + ª 0.36129A76 76 3720I = b - a' I = 0. 24 + 0. 8◊ 0. 36129 ª 0.529A1 1 12 31 -08 . 0 024 .Æ 0 1 -40 760 03720 7619.2 76768 76Ausgabe: 1999, G. KruckerFile:IAM_Uebung5 Gauss Algorithmus Loesung.doc