GRUNDLAGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG - LMath

GRUNDLAGEN DERDIFFERENTIALRECHNUNG1 ABSOLUTE ÄNDERUNG UND MITTLERE ÄNDERUNGSRATE01 Die Tabelle zeigt die Anzahl der Nächtigungen Nt ()(in Millionen) im Jahr t in Österreich.a) Es wird behauptet, dass die Anzahl der Nächtigungen von 2005 bis 2010 schnellerangestiegen sei, als von 2010 bis 2012. Beurteilen Sie diese Aussage.b) In welchem der folgenden Zeitintervalle änderten sich die Nächtigungszahlen amschnellsten?[2005; 2007], [2007; 2010], [2008; 2012]c) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Änderung der Nächtigungszahlen imZeitintervall [ t1; t2]auf.d) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der durchschnittlichen jährlichen Änderungder Nächtigungszahlen im Zeitintervall [ t1; t2]auf.t Nt ()2005 29,32006 30,12007 31,12008 32,62009 32,32010 33,42011 34,62012 36,2Definition.Ist f eine reelle Funktion, dann heißt die Zahl …… f( z) - f( x)absolute Änderung von f im Intervall [x; z].…f ( z) - f( x)z x-mittlere Änderungsrate oder Differenzenquotient von f im Intervall [x; z].Differenzen werden in der Mathematik oft mit dem griechischen Großbuchstaben Delta D bezeichnet.Die folgende alternative Schreibweise wird manchmal für den Differenzenquotient einer Funktion f imIntervall [ x; x+D x]verwendet:= =f( x+ Dx)-f( x) Df( x)DyDxDxDxDifferenz von FunktionswertenDifferenz von Argumenten02 Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion f im angegebenen Intervall:a)f( x)2= x , [1; 4] b) fx ( ) 3x2= - , [0; 5] c)21f( x) =- x + x+ 1, [3; 9] d) fx= ( )x, [−3; −1]03 Geben Sie den Differenzenquotienten der folgenden Funktion im angegebenen Intervall an:a) x fx ( ), [ aa ; + h]b) r A()r , [ r1; r2]c) x px ( ), [ x; x+ 1] d) t N()t , [0; t0]04 Ein Auto kostet € 23.000, nach 3 Jahren ist es € 13.800 und nach weiteren 3 Jahren € 8.280 wert.a) Berechnen Sie den Wertverlust im Zeitintervall [0; 3] bzw. [3; 6] (Intervallgrenzen in Jahren). In welchemZeitintervall ist der Wertverlust größer?b) Wie groß ist der mittlere Wertverlust im Zeitintervall [0; 3] bzw. [3; 6] bzw. [ t1; t2]?4π305 Ein kugelförmiger Ballon von Radius r hat das Volumen Vr= ()3⋅ r (r in dm; V in dm³).Der Ballon wird aufgeblasen.a) Berechnen Sie die Volumenzunahme in den Radiusintervallen [1; 2] und [2; 3].b) Berechnen Sie die mittlere Volumenzunahmerate im Radiusintervall [1; 3].c) Stellen Sie eine Formel für die mittlere Volumenzunahmerate im Radiusintervall [r; z] auf.1

06 Am Armaturenbrett eines Autos lassen sich der Füllstand f des Tanks (in Litern) und der Kilometerstandk (in km) ablesen. Interpretieren Sie den Zusammenhang dieser Größen als Funktion:a) Was ist die unabhängige, was die abhängige Variable?Dfb) Was bedeuten die Ausdrücke D f , D k und und welche Einheiten besitzen Sie jeweils?D k1.1 Geometrische Deutung des Differenzenquotienten07 Berechnen Sie den Differenzenquotienten der linearen Funktion f mit f( x)= k⋅ x+ d im Intervall [x; z].Erklären Sie die Vorgehensweise und das Ergebnis anhand einer Skizze.Auch für jede nichtlineare Funktion f gibt der Differenzenquotientim Intervall [x; z] die Steigung der Geraden durch diePunkte ( x| f (x))und ( z| f( z ))an. Diese Gerade bezeichnetf( z)2. Achsefman als Sekante (lateinisch: secare = „schneiden“).Der Differenzenquotient einer Funktion f in einemIntervall [x; z] ist gleich der Steigung der entsprechendenSekante.f( x)z- x=Dxf( z) -f( x)=Df(x)x z 1. AchseMITTLERE STEIGUNG EINER FUNKTIONWie die folgenden Abbildungen zeigen, kann aus dem Wert des Differenzenquotienten nur abgelesenwerden, ob eine Funktion im Intervall [x; z] im Mittel steigt, im Mittel fällt oder im Mittel weder steigtnoch fällt.f( z )f( x)DD > f( x)x0DD < Df( x)x0= D xf( x)0f( x) = f( z)f( x )f( z)x z x z x z08 Die Tabelle stellt die Messwerte für das Höhenprofileiner Bergstraße dar.x in km 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1h(x) in km 0 0,04 0,09 0,15 0,2 0,23x … horizontale Entfernung vom Ausgangspunkt in Kilometern (km)h(x) … Höhenunterschied zum Ausgangspunkt an der Stelle x in Kilometern (km)a) Berechnen Sie die durchschnittlichen Steigungen der einzelnen Abschnitte.b) Kann man Anhand dieser durchschnittlichen Steigungen erkennen, ob ein Geländewagen, der eineSteigung von bis zu 30 % schafft, die Straße befahren kann? Warum (nicht)?2

2 (MOMENTANE) ÄNDERUNGSRATE09 Beim Bungee-Jumping befindet sich der Springer im freien Fall,wenn man vom Luftwiderstand absieht. Für den Weg s(t) (inMetern) den ein Körper beim freien Fall in den ersten t Sekundenzurücklegt, gilt näherungsweise s() t = 5t. Der Graph der2Funktion t s()t ist rechts abgebildet.a) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Springersim Zeitintervall [0; 1].b) Stellen Sie eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit desSpringers im Zeitintervall [ t1; t2]auf.c) Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit des Springersnach 3 Sekunden?Vervollständigen Sie die Tabelle und zeichnen Sie einige derdazugehörigen Sekanten im nebenstehenden Graphen ein:Zeitintervall mittlere Geschwindigkeit[0; 3][1; 3][2; 3][2,9; 3][2,99; 3]s(t) in mGeoGebra-Arbeitsblattzu Beispiel 09 :http://goo.gl/9Rdh88st in sDefinition.Ist f eine reelle Funktion, dann heißt der GrenzwertDifferentialquotient von f an der Stelle x.f ¢ ( x) = lim f z f xÄnderungsrate oderzx( )-( )z-xErklärung der Schreibweise: „lim“ steht für Limes (Grenzwert).( ) ( )Sprechweise für ( ) lim f z -f ¢ x = f x: „f Strich von x ist der Grenzwert vonzxz-x-berechnet, wenn sich z unbe-Diese Schreibweise bedeutet, dass man den Wert des Termsgrenzt der Zahl x nähert.f ( z) - f( x)z xf ( z) - f( x)z x-für z gegen x.“Also: Die Änderungsrate ist der Grenzwert von mittleren Änderungsraten.Oder: Der Differentialquotient ist der Grenzwert von Differenzenquotienten.Man kann sich unter dem Differentialquotienten an der Stelle x näherungsweise einen Differenzenquotientenin einer sehr kleinen Umgebung von x vorstellen.Mit der D -Schreibweise sieht die obige Definition so aus:f ¢ ( x) = lim xoderDx0Df ( x )Df ¢ ( x) = lim y xDDDx0Manchmal schreibt man statt f ¢ (x) auch d d(sprich: „dy nach dx“).Diese sogenannte LEIBNIZ’sche Schreibweise erinnert daran, dass der Differentialquotientder Grenzwert des Differenzenquotienten ist: d yx=0yxDdlim y DxDxVgl. das Symbolam Taschenrechner.FunktionstermStelleGOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646–1716),deutscher Mathematiker, Physiker und Philosoph3

10 (Fortsetzung von 09 ) Wie groß ist die Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers a) nach 4 Sekunden,b) nach t Sekunden?Löse Aufgabe a) händisch und mithilfe des Taschenrechners.2.1 Geometrische Deutung des Differentialquotientenf( z) - f( x)Der Differenzenquotientz- xeiner Funktion f entspricht in dergeometrischen Deutung der der Steigung einer Sekante durch diePunkte ( x| f (x))und ( z| f( z )).Für z x nähert sich der 2. Punkt dem 1. Punkt unbegrenzt an.Die Sekante geht dadurch in eine „Grenzgerade“, die sogenannteTangente, über (lateinisch: tangere = „berühren“).2. AchsefDer Differentialquotientf ¢ (x) einer Funktion f ander Stelle x ist gleich der Steigung der Tangente anden Graphen von f im Punkt ( x| f (x)).f( x)xz1. AchseDie Steigung dieser Tangente bezeichnen wir auch als Steigung der Funktion f an der Stelle x.Die Steigung einer Tangente kann auch mithilfe des Winkels angegebenwerden, den die Tangente mit der 1. Achse (x-Achse) einschließt.Ist k die Steigung und α der Neigungswinkel der Tangente an denGraphen einer Funktion f an der Stelle x, so gilt:f ¢ ( x) = k= tan( a )STEIGUNG EINER FUNKTIONWie die folgenden Abbildungen zeigen, kann aus dem Wert des Differentialquotientenwerden, ob eine Funktion an der Stelle x steigt, fällt oder die Steigung 0 besitzt.f ¢ (x) > 0f ¢ (x) < 0f ¢ (x) = 0fff( x)f ¢ (x) abgelesenff( x)f( x)x x x4

11 Löse die folgenden Aufgaben zuerst näherungsweisegrafisch mithilfe des abgebildeten Graphenund danach rechnerisch:a) Bestimme die Steigungen der Funktion f mitf( x)2= x an den Stellen −2 und 1.b) Ermittle den Neigungswinkel der zugehörigenTangenten.f(x)fx12 Gib an, welche der folgenden Eigenschaften die unten dargestellte Funktion f besitzt.(1) f( x ) ³ 0 für alle x Î [0;6](2) f( x ) < 0 für alle x Î [3; 4](3) f¢ ( x) ³ 0 für alle x Î [0;6](4) f¢ ( x) < 0 für alle x Î ]1; 5[(5) f(1) = f(5)(6) f¢ (1) = f¢(5)(7) Die mittlere Änderungsrate von f im Intervall[0; 6] beträgt 0.(8) Die Steigung der Sekante von f im Intervall[1; 5] beträgt –1.(9) Die Änderungsrate von f an der Stelle 3 istpositiv.(10) Die Steigung von f an der Stelle 0 ist negativ.5

3 ANWENDUNGEN13 In der Abbildung ist die Höhe eines senkrecht nach oben geworfenenSteins in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt.h(t) in mt … Zeit in Sekunden (s)ht ()… Höhe in Metern (m) nach t Sekundena) Interpretiere die Steigung der Funktion an einer Stelle t im Sachzusammenhang.b) Lies ab, wann der Betrag der Geschwindigkeit am größten bzw.wann am kleinsten ist.c) Bestimmen näherungsweise die Geschwindigkeit nach 1 bzw. 2Sekunden.d) In welchem Bereich ist die Geschwindigkeit positiv, in welchemnegativ, wann gleich null?14 Die Abbildung zeigt den Treibstoffverbrauch eines bestimmtenPKW in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit.t in sa) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Treibstoffverbrauchim 2. Gang am niedrigsten?b) Interpretiere die Steigung der Graphen an einerStelle v im Sachzusammenhang.c) Man fährt im 3. Gang. In welchem Geschwindigkeitsintervallist die Änderungsrate des Treibstoffverbrauchsnegativ, in welchem positiv? Wann istsie gleich 0?d) Man fährt im 4. Gang. In welchem Geschwindigkeitsintervallnimmt der Treibstoffverbrauch fast linear zu?e) Man fährt im 4. Gang. Bewirkt eine Geschwindigkeitserhöhung von 70 auf 71 km/h eine größereÄnderung des Treibstoffverbrauchs als eine Erhöhung von 100 auf 101 km/h? Begründe.6

15 Ergänze die Tabelle:Gegeben ist die Funktion x f( x), wobei … Die mittlere Änderungsratex … Zeit in Stunden (h)f( x ) … zurückgelegter Weg in km nach xStundenx … Zeit in Sekunden (s)f( x ) … Geschwindigkeit in m/s nach x Sekundenx … zurückgelegter Weg in kmf( x ) … verbrauchte Benzinmenge in Liternnach x kmx … Produktionsmenge einer Ware in Stückf( x ) … Kosten in € für die Produktion von xStückx … Zeit in Tagen (d)f( x ) … Anzahl von an Grippe erkrankten Personenx Tage nach Beginn einer Epidemiex … Seehöhe in mf( x ) … Luftdruck in x Metern Höhe in Hektopascal(hPa)x … Zeit in Sekunden (s)f( x ) … Wassermenge in m³, die nach x Sekundendurch einen Kanal geflossen istx … Zeit in Stunden (h)f( x ) … Temperatur in °C zum Zeitpunkt xf ( z) - f( x)z x-gibt an:Die momentane Änderungsratef ¢ ( x) = lim f z f xgibt an:zx( )-( )z-xx … Fahrtstrecke in kmf( x ) … Bahntarif in € für x km Fahrtstrecke7

ZUSAMMENFASSUNGDifferenzenquotient= mittlere Änderungsrate von fim Intervall [x; z]Definition fz ( )-fx ( )z-xDifferentialquotient= Änderungsrate von fan der Stelle xf( z)- f( x)f ¢ ( x) = limzxz-xgrafischeDeutung2. AchseSteigung der Sekantef2. AchseSteigung der Tangenteff( z )fz ()-fx ()f( x )z-xf( x )1. Achse1. AchsexzxzalternativeSchreibweisenf( x+ Dx)-f( x)===Df( x)DxDyDxDxf( x )D xff ¢ =D (( x) lim f x)DxD x 0f¢ ( x)= limf¢( x ) =DyDxD x 0d yd xvgl. Taschenrechner:x x +D xFunktionstermStelle8

4 ABLEITUNG(SFUNKTION) UND ABLEITUNGSREGELN16 Die Abbildung zeigt den Graphen der3Funktion f mit fx ( ) = x im Intervall[−2; 2].2. Achsea) Welche Aussagen kannst du ohneRechnung über den Differentialquotientenvon f an verschiedenenStellen treffen?b) Fülle die folgende Tabelle aus:x f¢( x)−2,0−1,5−1,0−0,50,00,51,01,52,0f1. Achsec) Trage die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein.Verbinde die Punkte zu einem durchgehenden Funktionsgraphen.Interpretiere den Zusammenhang der Funktionsgraphen von f und f¢ .d) Gib eine Gleichung der Funktion f ¢ : x f¢( x)an.Anleitung:f¢ =( ) ( )3 3( ) lim f z - f x l im z -xxz-x =z-x= .. .zx zxDamit man im nächsten Schritt kürzen kann, muss der Zähler in ein Produkt zerlegt(faktorisiert) werden:Definition. Die Funktion f ¢ : x f¢( x)heißt Ableitungsfunktion von f oder Ableitung von f.Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man Ableiten oder Differenzieren.17 Grafisch Ableiten – Domino:http://aol-verlag.de/uploads/media/Mathe-Domino-Grafisch-ableiten.pdf9

Ableitung spezieller FunktionenFunktion Ableitung Beispielfx= ( ) 3f¢ ( x) = 0konstanteFunktionfx= ( ) c (mit c Î ) f¢ ( x) = 0fx ( )= x5f¢ ( x) = 5⋅x4Potenzfunktionenfx ( ) = xnf¢ ( x)= n⋅x -n 1fx= ( ) e xf¢ ( x) = e x(eulersche Zahle = 2,71828... )Exponentialfunktionenfx= ( ) 2 xxf¢ ( x) = 2 ⋅ ln(2) » 0, 6931⋅2xxfx ( ) = af¢ ( x) = a x ⋅ ln( a)10

Als Spezialfälle der Potenzfunktionen, können wir auch die folgenden Funktionstypen ableiten:Identische Funktion:fx ( ) = x=x1f¢x 1 x x1 1 0( ) = ⋅ - = = 1Wurzelfunktion:fx ( ) = x=x12Wiederholung:n ka= akn1 1 1 1f¢( x)= ⋅x⋅ ⋅ =2 2 2 x 2⋅1-1 -112 2= x =12xPotenzfunktionen mit negativen Exponenten:z. B.:fx ( )1= = x2x-2Wiederholung:n 1a- =naf-- 2 1-3¢ ( x)= - 2⋅x = - 2⋅x= -23xinsbesondere:1fx ( ) = = x -x1f¢( x) = ⋅x-- 11 -2- 1 =- x =-12xGrundlegende AbleitungsregelnFaktorregel: fx ( ) = cg ⋅ (x) f¢ ( x) = c⋅ g¢ (x) (mit c Î )Konstante Faktoren bleiben beim Differenzieren erhalten.Beispiele:fx ( ) 75= ⋅ x f¢ ( x) = 7⋅5⋅x= 35⋅x4 4fx= ( ) 3⋅ e x f¢ ( x) = 3⋅e x61fx= ( )x f¢ ( x) = 6⋅( - ) =-62 2x xSummenregel: fx ( ) = gx ( ) + hx ( ) f¢ ( x) = g¢ ( x) + h¢( x)Eine Summe kann gliedweise differenziert werden.Beispiel:fx x x3 1 2( ) = 5⋅ +3⋅ -x+ 6f¢ ( x) = 5⋅3⋅ x + ⋅2⋅x- 1+ 0=15⋅x + ⋅x-12 1 2 23 311

Höhere AbleitungenDefinition.Ist f eine reelle Funktion, dann bezeichnet man …… die Funktion f ¢ als erste Ableitung von f.… die Funktion f ¢¢ = ( f ¢ ) ¢ als zweite Ableitung von f.… die Funktion f ¢¢¢ = ( f ¢¢ ) ¢ als dritte Ableitung von f.Die Ableitungsfunktionen erhält man in GeoGebra ganz einfach. Wennman die Funktion f mit dem Funktionsterm f( x ) bereits gezeichnet hat,erhält man die Ableitungen durch Eingabe von f'(x), f''(x) und f'''(x).Für Bewegungsvorgänge gilt mit diesen Bezeichnungen:vt () = s¢() tGeschwindigkeit = erste Ableitung des WegesDie Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich der Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert.at () = v¢ () t = s¢¢() tBeschleunigung = erste Ableitung der Geschwindigkeit = zweite Ableitung des WegesDie Beschleunigung gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunktändert.18 Berechne die Geschwindigkeit v (10) und die Beschleunigung a (10) für die Zeit-Ort-Funktion s mit3s() t = 4t + t- 1. (t in Sekunden, s()t in Metern)19 Für den zurückgelegten Weg beim freien Fall gilt (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands):g 2s()t = ⋅ tt ... Zeit in Sekunden (s), s()t … Weg in Metern (m), g » 9,81 m/s² … ErdbeschleunigungStelle eine Formel für die Geschwindigkeit vt () zum Zeitpunkt t, sowie eine Formel für die Beschleunigungat () zum Zeitpunkt t auf.220 Die italienische Polizei hat seit einigen Jahren extrem schnelle Autosin Verwendung, um vor allem die Gegend südlich von Rombesser und sicherer überwachen zu können. Nur wenige Personenmit Spezialausbildung dürfen mit dem Lamborghini Gallardo fahren.In medizinischen Notfällen werden auch Organtransportedurchgeführt.Ein Raser fährt auf der Autobahn im Baustellenbereich statt 30 km/h sogar 126 km/h (= 35 m/s). Die Polizeinimmt die Verfolgung auf.Für den zurückgelegten Weg gilt:2Raser: s ( t) = 35t+ 150 Polizei: s () t = 2,3t(Weg s()t in Metern, Zeit t in Sekunden)RPa) Skizziere die dazugehörigen Graphen. Welchen Vorsprung hatte der Raser zu Beginn?b) Berechne, wo und nach welcher Zeit die Polizei den Raser eingeholt hat.Wie hoch war dabei die Geschwindigkeit von Raser und Polizei?c) Wann hatten Verfolger und Raser die gleiche Geschwindigkeit? Wie ist dies graphisch erkennbar?d) Berechne die mittlere Geschwindigkeit der Polizei und des Rasers in den ersten 10 Sekunden.e) Was kann man über die Beschleunigung des Rasers und er Polizei aussagen?12

Überblick für KurvenuntersuchungenfNullstellex ist Nullstelle, wenn gilt:fx= ( ) 0x ist lokale Minimumstelle, wenn gilt:flokaleMinimumstellef¢ ( x) = 0 und f¢¢ ( x) > 0waagrechteTangentelinksgekrümmtTiefpunktx ist lokale Maximumstelle, wenn gilt:HochpunktflokaleMaximumstellef¢ ( x) = 0 und f¢¢ ( x) < 0waagrechteTangenterechtsgekrümmtTerrassenstelle= Sattelstellex ist Terrassenstelle, wenn gilt:f¢ ( x) = 0 und f¢¢ ( x) = 0Terrassenpunkt= SattelpunktfwaagrechteTangenteKrümmung = 0x ist Wendestelle, wenn gilt:fWendestellef¢¢ ( x) = 0 und f¢¢¢ ( x) ¹ 0WendepunktKrümmung = 0Krümmungändert sich14

21 Die Abbildung zeigt den Graphen der Polynomfunktion f mitf(x)fx x x+ x .1 3 2( ) =3⋅ -3⋅ 5⋅ + 10fxa) Welchen Grad besitzt diese Polynomfunktion?b) Zeichne die folgenden Punkte und Stellen in der Grafik ein und bestätige durch Berechnung:Nullstelle(n), Extremstelle(n) und Extrempunkt(e), Wendestelle(n) und Wendepunkt(e)22 Pflanzen produzieren bei der Photosynthese Sauerstoff. Für einen konkreten Baum wurde die Sauerstoffproduktionan einem bestimmten Tag aufgezeichnet. Es gilt näherungsweise: Vt () =-t + 20⋅t3 2t … Zeit in Stunden (h) seit dem Sonnenaufgang um 6:00 Uhr; 0£ t £ 12Vt ()… produziertes Sauerstoffvolumen in Litern (L) bis zum Zeitpunkt ta) Beschreibe den Verlauf der Sauerstoffabgabe in Worten.b) Ermittle durch Rechnung, wann die Sauerstoffabgabe amschnellsten zunimmt. Um welche Stelle handelt es sich dabeimathematisch betrachtet?c) Wie viel Sauerstoff wurde bis 12:00 Uhr produziert?d) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Sauerstoffabgabe ander Wendestelle der Funktion V?V(t) in LVt in h223 Für den zurückgelegten Weg eines frei fallenden Körpers gilt näherungsweise. st () = 5⋅tt … Zeit in Sekunden (s)st ()… zurückgelegter Weg in Metern (m) nach t Sekundena) Welchen Weg legt der Körper in den ersten 20 Sekunden zurück?b) Nach welcher Zeit hat der Körper 80 m zurückgelegt?c) Stelle eine Formel für die Geschwindigkeit vt () zum Zeitpunkt t auf. Wächst die Geschwindigkeit inAbhängigkeit von der Zeit linear oder quadratisch?d) Nach welcher Zeit beträgt die Geschwindigkeit 45 m/s?e) Skizziere den Graphen der Funktion s: ts()t . Wie ist der Graph gekrümmt? Interpretiere dieKrümmung im Sachzusammenhang.15