Taschengeld - LMath

TaschengeldAufgabennummer: A_002Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £Sandra, Barbara und Monika erhalten heuer zum ersten Mal ein Taschengeld. Jede bekommtin diesem 1. Jahr 10 Euro monatlich. In den folgenden Jahren wird das monatliche TaschengeldJahr für Jahr erhöht.b) Barbara bekommt ab dem 2. Jahr und jedes weitere Jahr jeweils um 25 % mehr monatlichesTaschengeld als im Vorjahr. Die Höhe des Monatsbetrags G in den einzelnenJahren kann durch eine Gleichung mit der folgenden Form beschrieben werden:G(n) = a · b n–1G … monatlicher Geldbetragn … Anzahl der Jahre (heuer bedeutet n = 1)Ermitteln Sie die Parameter a und b dieser Gleichung.c) Die Entwicklung des Taschengeldes von Monika in den ersten 3 Jahren ist in der folgendenTabelle dargestellt:monatliches Taschengeldin Euro1. Jahr 102. Jahr 123. Jahr 14,4Zeigen Sie, dass das monatliche Taschengeld von Monika sich in diesen 3 Jahren jeweilsum den gleichen Faktor vermehrt, und geben Sie diesen an. Berechnen Sie dasTaschengeld (auf Euro gerundet), welches Monika im 10. Jahr monatlich bekommt,wenn es sich weiterhin jährlich um diesen Faktor vermehrt.Hinweis zur Aufgabe:Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sindmit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Taschengeld 2Möglicher Lösungswegb) heuer … n = 1 → G = 10nächstes Jahr … n = 2 → G = 10 · 1,25 … 25 % mehrG(n) = a · b n–110 = a · b 012,5 = a · b 1a = 10, b = 1,25Die Gleichung G(n) = 10 · 1,25 n–1 beschreibt die Entwicklung des monatlichen Taschengelds,das Barbara in einzelnen Jahren bekommt.c) 12 : 10 = 14,4 : 12Der Faktor ist 1,2.Unter der Voraussetzung, dass der Faktor so bleibt, kann man eine Formel entwickeln oderdurch fortlaufende Multiplikation in einer Tabelle mit Technologieeinsatz rechnen.G(10) = 10 · 1,2 9 = 51,59 ≈ 52Im 10. Jahr bekommt Monika monatlich rund 52 Euro Taschengeld.

Luftdruck 1Aufgabennummer: A_003Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich SDie Beziehung zwischen dem Luftdruck p und der Höhe h lässt sich bei konstanter Temperaturmit der folgenden Funktion beschreiben:p(h) = a ⋅ e -λ · h … a, λ ∈ R +p(h) … Luftdruck in der Höhe h in Hektopascal (hPa)h … Höhe in Metern (m)Villach liegt 501 m über dem Meeresspiegel (ü. d. M.). Man misst dort einen durchschnittlichenLuftdruck von p = 962 hPa.In der Nähe von Villach erhebt sich der Dobratsch auf eine Höhe von 2 167 m ü. d. M. miteinem durchschnittlichen Luftdruck von 790 hPa auf dem Gipfel.Der Gipfel des Mount Everest liegt auf 8 850 m ü. d. M. Es herrscht dort im Durchschnitt einDruck von 326 hPa.Empfehlung:Wählen Sie bei dieser Aufgabe das Koordinatensystem so, dass für Villach h = 0 m gilt.a) Interpretieren Sie, was die gegebene Funktion über den Zusammenhang von Luftdruckund Höhe aussagt, und beschreiben Sie die Bedeutung der Parameter a und λ.b) Berechnen Sie aus den vorliegenden Messwerten von Villach und dem Dobratsch dieFunktionsgleichung für den Druck p. Überprüfen Sie die Qualität dieser Näherung mithilfedes Messwerts auf dem Mount Everest und geben Sie den Unterschied an.Hinweis zur Aufgabe:Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sindmit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Luftdruck 1 2Möglicher Lösungswega) Erklärung zur Aussage der Funktion:Der Druck nimmt mit der Höhe exponentiell ab. Das bedeutet, dass der Luftdruck mit jedem zusätzlichenHöhenmeter um den gleichen Prozentsatz abnimmt.a bedeutet jenen Druck, der bei h = 0 m herrscht.Das negative Vorzeichen vor λ definiert eine Abnahme der Funktionswerte mit steigenden h-Werten.Für λ > 0 ist e -λ · h eine fallende Exponentialfunktion. Je größer λ ist, umso stärker fällt der Druck.b) h = 0 → p = 962962 = p(0) = a-λ · 1 666790 = 962 eλ = 1,18 ⋅ 10 -4p(h) = 962 ⋅ e -0,000118hFür den Mount Everest ergibt die Rechnung einen Druck von p = 359,18 hPa, die Abweichungvom Messwert ist ca. 34 hPa.Es können auch andere Rechenansätze zur richtigen Lösung führen.

AltersbestimmungAufgabennummer: A_007Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich SZur Altersbestimmung von organischen archäologischen Fundstücken eignet sich die so genannte Radiokarbon-Methode. Das Kohlenstoffisotop 14 C ist radioaktiv und in jedem lebenden Organismus in Spuren vorhanden. Nachdem Tod eines Organismus verringert sich der Anteil an 14 C entsprechend dem Gesetz für den radioaktiven Zerfall.Dieses Gesetz lautet:N0 … Menge an 14 C zum Zeitpunkt des AbsterbensN(t) ... noch vorhandene Menge an 14 C zum Zeitpunkt tt … Alter des Fundstücksλ … ZerfallskonstanteN(t) = N0 · e -λ · ta) Formen Sie die angegebene Funktionsgleichung nach dem Alter t des Fundstücks um. Begründen Sie, warumdie Umformung das Logarithmieren erfordert, und geben Sie den entsprechenden Rechenschritt an.b) Erklären Sie, was man unter der Halbwertszeit τ versteht, und stellen Sie den Ansatz für die Berechnungvon τ auf.c) Ermitteln Sie aus der gegebenen Darstellung der Zerfallsfunktion von 14 C, um wie viel Prozent der14C-Gehalt im ersten Jahrtausend ungefähr abnimmt. Die berühmte Gletschermumie Ötzi hat heute nochca. 53 % der ursprünglichen Menge an 14 C. Bestimmen Sie aus der Grafik das Alter der Mumie.Hinweis zur Aufgabe:Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheitenanzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Altersbestimmung 2Möglicher Lösungswega) N(t) = N 0 · e -λ · te -λ · t = N(t)N 0t ⋅ (-λ) = ln N(t)N 0t = - 1 λ⋅ lnN(t)N 0Man berechnet die Variable t, die sich in der Hochzahl dere-Potenz befindet, mithilfe des Logarithmierens, weil dieseRechenoperation eine Umkehroperation des Potenzierens ist,die bei Anwendung auf die Potenz deren Hochzahl liefert.Eine Umformung mittels Technologieeinsatz ist auch zulässig.b) Unter der Halbwertszeit τ versteht man diejenige Zeit, in der die Hälfte des Ausgangsprodukts(in diesem Falle des 14 C) zerfallen ist.0,5N 0 = N 0 · e -λ · τ bzw. 0,5 = e -λ · τc)Der abgelesene Wert 5,25 bedeutet: Das ungefähre Alter der Mumie beträgt ca. 5 250 Jahre.Im ersten Jahrtausend nimmt 14 C um ungefähr 11,4 % ab (100 % – 88,6 % = 11,4 %).

HefeteigAufgabennummer: A_009Technologieeinsatz: möglich erforderlich Es wird ein Kuchen aus Hefeteig gebacken. Für den Teig benötigt man ein sogenanntes „Dampfl“ aus Hefe,warmer Milch und Zucker. Diese Zutaten werden verrührt und in ein 12 cm hohes zylindrisches Gefäß gegeben.Man lässt das Gemisch einige Zeit t in warmer Umgebung ruhen. Die Höhe des Dampfls im Gefäß beträgt zuBeginn 4 cm. Das Dampfl dehnt sich durch die Wärme aus.a) Nach der Zeit von 11 Minuten erreicht das Dampfl eine Höhe von 7 cm. Dieses „Aufgehen desDampfls“ kann mit dem Modell des exponentiellen Wachstums beschrieben werden.h(t) = h0 ⋅ e λ·th(t) … Höhe des Dampfls zum Zeitpunkt t in Zentimetern (cm)t … Zeit in Minuten (min)– Bestimmen Sie aus den gegebenen Daten die Konstante λ auf 3 Dezimalen gerundet.– Formulieren Sie das Gesetz des exponentiellen Wachstums für diesen Fall.b) Man kann feststellen, dass sich bei einer bestimmten Umgebungstemperatur die Höhe h des Dampflsnach jeweils t = 15 min verdoppelt.– Erstellen Sie die zu dieser Aussage passende Grafik der Funktion h.c) Eine näherungsweise passende Beschreibung der Ausdehnung des Dampfls kann durch ein linearesModell erfolgen, wie es in der unten stehenden Grafik dargestellt ist.– Ermitteln Sie die Gleichung der linearen Funktion mithilfe der Grafik.– Berechnen Sie, wann das Dampfl den Rand des Gefäßes (12 cm) erreicht.Hinweis zur Aufgabe:Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passendenMaßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Hefeteig 2a) Einsetzen der gegebenen Werte:Möglicher Lösungsweg7 = 4 ∙ e λ·11mit Technologieeinsatz oder über Berechnung mit Logarithmierenλ = 0,051 min –1Wachstumsgesetz:h(t) = 4 ∙ e 0,051∙t b) Die Grafik kann z. B. mit einer Wertetabelle erstellt werden.t in min 0 15 30h in cm 4 8 16c) Geradengleichungh(t) = 0,25t + 4Eine angemessene Ungenauigkeit beim Ablesen der Werte wird toleriert.Einsetzen von h = 12 und Lösen der linearen Gleichung: 0,25t + 4 = 12, t = 32 min.Nach dem linearen Modell erreicht das Dampfl den Gefäßrand nach ca. 32 Minuten.

Aufgabennummer: A_045Energieverbrauch und JoggenTechnologieeinsatz: möglich erforderlich Der Energieverbrauch in Kilojoule (kJ) pro Minute (min) beim Joggen ist unter anderem abhängigvon der Körpermasse in Kilogramm (kg). Der Verbrauch bei einer bestimmten Geschwindigkeitdurch ebenes Gelände wird durch die folgende Tabelle beschrieben:Körpermassein kgEnergieverbrauchin kJ pro min50 60 70 80 90 10058 66 73 82 90 98b) Eine Person mit 70 kg Körpergewicht beginnt mit einer bestimmten Geschwindigkeit zujoggen und wird aufgrund von Erschöpfung langsamer. Damit sinkt ihr Energieverbrauchmit jeder Minute um 0,5 %.– Geben Sie eine Funktion der Zeit an, die den sinkenden Energieverbrauch dieserPerson beschreibt.Hinweis zur Aufgabe:Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sindmit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Energieverbrauch und Joggen 2Möglicher Lösungswegb) Der „Abnahmekoeffizient“ pro Minute ist 0,995. Der Energieverbrauch zu Beginn ist 73 kJ/min.f(t) = 73 · 0,995 tt … Zeit in Minutenf(t) ... Energieverbrauch (in kJ) pro Minute zum Zeitpunkt t

Aufgabennummer: A_061Neuronen der GroßhirnrindeTechnologieeinsatz: möglich erforderlich Die Anzahl der Neuronen in der Großhirnrinde bei Frauen kann durch folgende Funktionsgleichungberechnet werden:3,05 – 0,00145 · tN(t) = eN(t) ... Anzahl der Neuronen in Milliarden (Mrd.) in Abhängigkeit vom Lebensalter tt ... Lebensalter in Jahren (a)a) „Innerhalb von 50 Jahren nimmt die Anzahl der Neuronen in der Großhirnrinde beiFrauen um 10 % ab.“– Überprüfen Sie mithilfe des gegebenen Modells, ob diese Behauptung für die ersten50 Lebensjahre zutrifft.b) – Formen Sie die gegebene Funktionsgleichung auf die Form N(t) = N 0 · a t um.c) – Dokumentieren Sie die Vorgangsweise zur Erstellung eines linearen Modells aus dergegebenen Exponentialfunktion für die Abnahme der Anzahl der Neuronen bis zum80. Lebensjahr.Hinweis zur Aufgabe:Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sindmit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Neuronen der Großhirnrinde 2Möglicher Lösungswega) N(0) ≈ 21,12 Mrd.N(50) ≈ 19,64 Mrd.p ≈ 100 –19,64 ∙10021,12≈ 7 %Die Aussage ist falsch. Die Abnahme der Neuronen innerhalb von 50 Jahren beträgt ca. 7 %.b) Unter Anwendung von Potenzregeln:N(t) = e 3,05 · e – 0,00145 · t = e 3,05 · (e – 0,00145 ) t ≈ 21,115 · 0,99855 tmit N 0 ≈ 21,115 und a ≈ 0,99855c) Man ermittelt mithilfe der Gleichung der Exponentialfunktion 2 Punkte. Die Koordinaten der beidenPunkte werden in die Funktionsgleichung der linearen Funktion f(x) = k ⋅ x + d eingesetzt.Das entstandene lineare Gleichungssystem mit den Variablen k und d wird gelöst. Die Werte vonk und d werden in die lineare Funktionsgleichung eingesetzt.Hinweis: N(0) = dAuch andere richtige Vorgangsweisen sind als richtig zu werten.

Aufgabennummer: A_079Ammonium im FlussTechnologieeinsatz: möglich S erforderlich £Die Selbstreinigungskraft eines fließenden Gewässers hängt von dessen Sauerstoffgehalt ab. Bleibt derSauerstoffgehalt konstant, erfolgt der Abbau von Ammonium exponentiell.Die unten dargestellte Grafik zeigt schematisch den Verlauf eines Flusses. Bei gleichbleibender Fließgeschwindigkeitwerden jeweils nach 2 Kilometern (km) 50 % des Ammoniums abgebaut.An den Punkten A, B und C kommt es durch Einleitung von Abwasser jeweils zu einer Erhöhung desAmmoniumgehalts.AB4 km 5 kmCAm Punkt A beträgt der Ammoniumgehalt 1 Milligramm pro Liter (mg/L). Am Punkt B erhöht sich derdort noch vorhandene Ammoniumgehalt um 0,4 mg/L, am Punkt C erhöht sich der dort noch vorhandeneAmmoniumgehalt um 0,5 mg/L.a) – Übertragen Sie den Ammoniumabbau in Milligramm pro Liter (mg/L) während derersten 6 Kilometer in ein Koordinatensystem. Der Startpunkt ist Punkt A.b) Der Ammoniumabbau im obigen Fluss lässt sich durch eine Exponentialfunktion der FormN(s) = N 0 ∙ e –0,3466 ∙ s beschreiben.s … Fließstrecke in kmN(s) … Ammoniumabbau nach der Fließstrecke s in mg/LN 0 … Anfangsgehalt an Ammonium in mg/L– Berechnen Sie, wie hoch der Ammoniumgehalt in mg/L im obigen Fluss unmittelbarnach dem Punkt C ist. Geben Sie das Ergebnis auf 3 Kommastellen genau an.c) Durch den Einbau von Wehrstufen soll der Sauerstoffeintrag in den Fluss und damit dessenSelbstreinigungskraft erhöht werden. Der Fluss sollte danach imstande sein, schon nach 1 kmdie Hälfte des eingetragenen Ammoniums abzubauen.– Stellen Sie eine Formel auf, die – abhängig von der Flussstrecke und dem Anfangsgehalt– den Ammoniumgehalt in mg/L beschreibt.d) An einer bestimmten Stelle des Flusses beträgt der Durchfluss 1 390 m 3 /s. Der mittlere Ammoniumgehaltbeträgt 0,13 mg/L.– Berechnen Sie die Menge an Ammonium, die pro Tag an dieser Stelle durchfließt.Geben Sie das Ergebnis in Tonnen auf 2 Kommastellen genau an.Hinweis zur Aufgabe:Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passendenMaßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Ammonium im Fluss 2Möglicher Lösungswega) Die Skizze kann auch durch Kenntnis der „Halbwertsstrecke“ konstruiert werden.b) Eintrag von AEintrag von BEintrag von CN A 9 = 1 ∙ e –0,3466 ∙ 9 ≈ 0,044 mg/LN B 5 = 0,4 ∙ e –0,3466 ∙ 5 ≈ 0,071 mg/LN C = 0,5 mg/LGesamtgehalt an Ammonium ≈ 0,044 + 0,071 + 0,5 = 0,615 mg/LEs sind auch andere Lösungswege möglich (z. B. Berechnung von Abschnitt zu Abschnitt).c) N(1) = N 0 ∙ e –k ∙ 10,5 = e –kln(0,5) = –kk ≈ 0,6931N(s) = N 0 · e –0,6931 · sAndere richtige Formeln sind auch möglich.d) 1 390 m3s= 1 390 ∙ 1 000186 400LTag= 1,20096 ∙ 1011LTagTransportiertes Ammonium:= 1,20096 ∙ 10 11 Lmgmg∙ 0,13 = 1,561248 ∙ 1010 = 1,561248 ∙ Tag L Tag 1010 ∙ 10 –9 t≈ 15,61 tTagPro Tag transportiert der Fluss an dieser Stelle 15,61 Tonnen Ammonium.Tag

Aufgabennummer: B-C6_03LebensversicherungTechnologieeinsatz: möglich erforderlich Beim Abschluss einer Lebensversicherung auf Ableben spielt der Begriff Sterbewahrscheinlichkeit einegroße Rolle. Man versteht darunter die Wahrscheinlichkeit, mit der eine versicherte Person innerhalbeines Versicherungsjahres verstirbt.a) Die Sterbewahrscheinlichkeit ist unter anderem vom Lebensalter der versicherten Person exponentiellabhängig und verdoppelt sich bei jüngeren Personen schätzungsweise alle 9 Jahre.Laut Statistik Austria verstirbt in Österreich ein 30-jähriger Mann innerhalb eines Versicherungsjahresmit einer Wahrscheinlichkeit von nur ungefähr 0,088 %.– Ermitteln Sie diejenige Funktion y, die diese Abhängigkeit beschreibt. Runden Sie auf 4 Nachkommastellen.y(t) = y 0 · a tt … Alter in Jahren (a)y(t) … Sterbewahrscheinlichkeit in Prozent im Alter von t JahrenHinweis zur Aufgabe:Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mitpassenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Lebensversicherung 2Möglicher Lösungswega) t … Alter in Jahren (a)y(t) … Sterbewahrscheinlichkeit in Prozent im Alter von t Jahreny(t) = y 0 · a t1. Gleichung: 0,088 = y 0 · a 302. Gleichung: 2 ⋅ 0,088 = y 0 · a 392 = a 9Einsatz von Technologie: a ≈ 1,0801y 0 = 0,00873 ≈ 0,0087Gleichung der Funktion:y(t) = 0,0087 1,0801 t

GroßtrappenAufgabennummer: B-C6_14Technologieeinsatz: möglich erforderlich Ein LIFE-Projekt in Ostösterreich widmet sich dem Schutz der Großtrappen, einer gefährdetenVogelart. Zu Beginn des Beobachtungszeitraums wurden in Niederösterreich und im Burgenland140 Tiere gezählt. 5 Jahre später waren es bereits 244.a) – Argumentieren Sie, warum ein lineares bzw. ein unbegrenztes exponentielles Wachstumsmodelldie Entwicklung der Tierpopulation zwar beschreibt, dies aber langfristiggesehen nicht der Realität entspricht.b) Nehmen Sie ein begrenztes exponentielles Wachstum mit einer Obergrenze vonG = 1 000 an. Es gilt folgende Funktion:y(t) = G – c · e λ·tt … Zeitdauer in Jahren (a)y(t) … Anzahl der Tiere nach t Jahrenc … Anzahl der Tiere, um die der Anfangsbestand bis zur Obergrenze zunehmen kann– Berechnen Sie den Stand der Population nach 20 Jahren unter der Voraussetzung,dass die Entwicklung der Vogelpopulation diesem Modell folgt.Hinweis zur Aufgabe:Antworten müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sindmit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Großtrappen 2Möglicher Lösungswega) Das Wachstum hängt vom Lebensraum und den darin vorhandenen Lebensbedingungen fürGroßtrappen ab. Langfristig gesehen wird das räumlich begrenzte Schutzgebiet zwar die Vermehrungder Tiere fördern, aber auch nach oben hin einschränken.Daher kann die Zahl der Vögel zwar anfänglich möglicherweise nach einem linearen oder einemunbegrenzten exponentiellen Wachstum verlaufen, aber nicht unendlich steigen, wie es bei diesenbeiden Wachstumsmodellen der Fall wäre.b) 140 = 1 000 – c · e 0 c = 860244 = 1 000 – c · e 5·λ λ = –0,02577… ≈ –0,0258Funktionsgleichung: y(t) = 1 000 – 860 · e –0,0258·tPrognose t = 20 Jahre rund 486 TiereAbleseungenauigkeiten werden toleriert, insbesondere bei Grafikrechnern und Handskizzen.

Planeten 3a) y = a ∙ x c365 = a ∙ 1 c225 = a ∙ 0,72 ca = 365225365 = 0,72cc = ln⁡(225 365)ln⁡(0,72) ≈ 1,47Möglicher Lösungsweg