1. Schularbeit 4. JG 2013-14 - LMath

7–8 Punkte: Genügend 11–12 Punkte: Gut
9–10 Punkte: Befriedigend 13–14 Punkte: Sehr gut HLW Graz Angewandte Mathematik
1. Schularbeit 4HL 10. Dez. 2013
Alle Ergebnisse und Lösungen sind mit den passenden Einheiten anzugeben!
Wurde die Einheit in mehreren Aufgaben vergessen, so wird nur beim ersten Mal ein Punkt abgezogen.
1. Frau Maier ist berulich sehr viel mit dem Auto unterwegs und benutzt ihren Bordcomputer,
um zurü ckgelegte Strecken, die mittlere Geschwindigkeit und den mittleren Kraftstoffverbrauch
zu ermitteln.
a) Im Folgenden sehen Sie ein Weg‐Zeit‐Diagramm, das näherungsweise Frau Maiers
Fahrverhalten an einem ihrer Arbeitstage beschreibt:
– Bestimmen Sie, in welchem Zeitintervall Frau Maier mit einer konstanten Geschwindigkeit
von 30 km/h unterwegs ist.
– Bestimmen Sie Frau Maiers mittlere Geschwindigkeit in der ersten halben Stunde ihrer
Fahrt.
– [20 min; 30 min]
–
, km/min km/h
b) Frau Maiers Bordcomputer kann die seit Fahrtbeginn verbrauchte Benzinmenge anzeigen.
Intern berechnet der Computer für eine der Fahrten von Frau Maier die verbrauchte Benzinmenge
in Abhängigkeit vom bisher zurückgelegten Weg mithilfe folgender Funktionsgleichung::
0,0000006 0,0002 0,08
… Anzahl der seit Fahrtbeginn zurückgelegten Kilometer
… die seit Fahrtbeginn verbrauchte Benzinmenge in Litern
– Berechnen Sie den durchschnittlichen Benzinverbrauch pro km im Wegintervall
[50 km; 100 km].
– Geben Sie eine Formel an, mit der man den durchschnittlichen Benzinverbrauch pro km
für ein beliebiges Wegintervall ; berechnen kann.
–
Weg in km
,,
, L/km
Zeit in Minuten
–
(Einsetzen in die angegebene Funktionsgleichung ist nicht notwendig aber möglich.)
1 P.
1 P
1 P.
1 P.
C
C
B
A

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9–10 Punkte: Befriedigend 13–14 Punkte: Sehr gut HLW Graz Angewandte Mathematik
c) Die seit Fahrtbeginn verbrauchte Benzinmenge wird durch folgende Funktionsgleichung
beschrieben:
0,0000006 0,0002 0,08
… Anzahl der seit Fahrtbeginn zurückgelegten Kilometer
… die seit Fahrtbeginn verbrauchte Benzinmenge in Litern
– Berechnen Sie den momentanen Benzinverbrauch bei 50 Kilometern in Litern pro Kilometer
(L/km).
0,0000018 0,0004 0,08
50 , L/km
2. Die Anzahl von Lemmingen in einem bestimmten Gebiet kann näherungsweise durch die
folgende Funktion beschrieben werden:
… Zeit in Jahren, 02
… Anzahl der Lemminge zum Zeitpunkt
120 250 143 3
a) – Berechnen Sie, wann es die meisten Lemminge gibt und wie viele es zu diesem Zeitpunkt
sind.
′ 360 500 143
Berechnung der Extremstellen:
0
360 500 143 0 ⇒ 0,24, 1,63
Im Definitionsbereich liegt nur .
(Eventuell noch mit der 2. Ableitung nachprüfen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum
handelt. Wird aber nicht negativ bewertet, wenn das fehlt.)
1,63 381
Nach 1,63 Jahren gibt es die meisten Lemminge.
Es sind zu diesem Zeitpunkt etwa 381 Tiere.
b) – Berechnen Sie, wann (im angegebenen Definitionsbereich) die Population genau 100
Tiere umfasst.
120 250 143 3 100 | 100
120 250 143 97 0
Berechnung nur mit Technologieeinsatz möglich:
120, 250, 143, 97
Lösungen 2,44, 0,78, 0,43
Im angegebenen Definitionsbereich (02) liegt nur die Lösung 0,43.
Nach ca. 0,43 Jahren sind es genau 100 Tiere.
c) – Kreuzen Sie an:
Die Lemmingpopulation wächst am schnellsten an der folgenden Stelle der Funktion N:
An der Nullstelle.
An der Minimumstelle.
An keiner der angegebenen Stellen.
An der Maximumstelle.
An der Wendestelle.
2 P. AB
3 P. AB
2 P. AB
1 P. C

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9–10 Punkte: Befriedigend 13–14 Punkte: Sehr gut HLW Graz Angewandte Mathematik
3. Der folgende Graph zeigt die Geschwindigkeit eines Fallschirmspringers in den ersten
Sekunden seines Sprungs.
Geschwindigkeit
v(t) in m/s
– Erklären Sie, wie man mithilfe der Graik die Beschleunigung des Springers nach 1 Sekunde
bestimmen kann.
– Bestimmen Sie die Beschleunigung nach 1 Sekunde.
Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit, also kann man sie als Steigung des
dargestellten Graphen ermitteln. Man zeichnet dazu im Punkt 1|1 die Tangente an den
Graphen ein und liest ihre Steigung ab.
Geschwindigkeit
v(t) in m/s
Zeit t in s
Zeit t in s
Die Beschleunigung beträgt ca. 9 m/s². (Ableseungenauigkeiten werden toleriert.)
1 P.
1 P.
D
C

7–8 Punkte: Genügend 11–12 Punkte: Gut
9–10 Punkte: Befriedigend 13–14 Punkte: Sehr gut HLW Graz Angewandte Mathematik
1. Schularbeit 4HL 10. Dez. 2013
Alle Ergebnisse und Lösungen sind mit den passenden Einheiten anzugeben!
Wurde die Einheit in mehreren Aufgaben vergessen, so wird nur beim ersten Mal ein Punkt abgezogen.
1. Frau Maier ist berulich sehr viel mit dem Auto unterwegs und benutzt ihren Bordcomputer,
um zurü ckgelegte Strecken, die mittlere Geschwindigkeit und den mittleren Kraftstoffverbrauch
zu ermitteln.
a) Im Folgenden sehen Sie ein Weg‐Zeit‐Diagramm, das näherungsweise Frau Maiers
Fahrverhalten an einem ihrer Arbeitstage beschreibt:
– Bestimmen Sie, in welchem Zeitintervall Frau Maier mit einer konstanten Geschwindigkeit
von 30 km/h unterwegs ist.
– Bestimmen Sie Frau Maiers mittlere Geschwindigkeit in der ersten halben Stunde ihrer
Fahrt.
– [0 min; 10 min]
–
, km/min km/h
b) Frau Maiers Bordcomputer kann die seit Fahrtbeginn verbrauchte Benzinmenge anzeigen.
Intern berechnet der Computer für eine der Fahrten von Frau Maier die verbrauchte Benzinmenge
in Abhängigkeit vom bisher zurückgelegten Weg mithilfe folgender Funktionsgleichung::
0,0000008 0,0002 0,06
… Anzahl der seit Fahrtbeginn zurückgelegten Kilometer
… die seit Fahrtbeginn verbrauchte Benzinmenge in Litern
– Berechnen Sie den durchschnittlichen Benzinverbrauch pro km im Wegintervall
[50 km; 150 km].
– Geben Sie eine Formel an, mit der man den durchschnittlichen Benzinverbrauch pro km
für ein beliebiges Wegintervall ; berechnen kann.
–
Weg in km
,,
, L/km
Zeit in Minuten
–
(Einsetzen in die angegebene Funktionsgleichung ist nicht notwendig aber möglich.)
1 P.
1 P
1 P.
1 P.
C
C
B
A

7–8 Punkte: Genügend 11–12 Punkte: Gut
9–10 Punkte: Befriedigend 13–14 Punkte: Sehr gut HLW Graz Angewandte Mathematik
c) Die seit Fahrtbeginn verbrauchte Benzinmenge wird durch folgende Funktionsgleichung
beschrieben:
0,0000006 0,0002 0,08
… Anzahl der seit Fahrtbeginn zurückgelegten Kilometer
… die seit Fahrtbeginn verbrauchte Benzinmenge in Litern
– Berechnen Sie den momentanen Benzinverbrauch bei 80 Kilometern in Litern pro Kilometer
(L/km).
0,0000024 0,0004 0,06
80 , L/km
2. Die Anzahl von Lemmingen in einem bestimmten Gebiet kann näherungsweise durch die
folgende Funktion beschrieben werden:
… Zeit in Jahren, 02
… Anzahl der Lemminge zum Zeitpunkt
210 480 134 3
a) – Berechnen Sie, wann es die meisten Lemminge gibt und wie viele es zu diesem Zeitpunkt
sind.
′ 630 960 134
Berechnung der Extremstellen:
0
630 960 134 0 ⇒ 0,13, 1,65
Im Definitionsbereich liegt nur .
(Eventuell noch mit der 2. Ableitung nachprüfen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum
handelt. Wird aber nicht negativ bewertet, wenn das fehlt.)
1,65 588
Nach 1,65 Jahren gibt es die meisten Lemminge.
Es sind zu diesem Zeitpunkt etwa 588 Tiere.
b) – Berechnen Sie, wann (im angegebenen Definitionsbereich) die Population genau 100
Tiere umfasst.
210 480 134 3 100 | 100
210 480 134 97 0
Berechnung nur mit Technologieeinsatz möglich:
210, 480, 134, 97
Lösungen 2,47, 0,53, 0,35
Im angegebenen Definitionsbereich (02) liegt nur die Lösung 0,35.
Nach ca. 0,35 Jahren sind es genau 100 Tiere.
c) – Kreuzen Sie an:
Die Lemmingpopulation wächst am schnellsten an der folgenden Stelle der Funktion N:
An der Maximumstelle.
An der Wendestelle.
An keiner der angegebenen Stellen.
An der Minimumstelle.
An der Nullstelle.
2 P. AB
3 P. AB
2 P. AB
1 P. C

7–8 Punkte: Genügend 11–12 Punkte: Gut
9–10 Punkte: Befriedigend 13–14 Punkte: Sehr gut HLW Graz Angewandte Mathematik
3. Der folgende Graph zeigt die Geschwindigkeit eines Fallschirmspringers in den ersten
Sekunden seines Sprungs.
Geschwindigkeit
v(t) in m/s
– Erklären Sie, wie man mithilfe der Graik die Beschleunigung des Springers nach 2 Sekunden
bestimmen kann.
– Bestimmen Sie die Beschleunigung nach 2 Sekunden.
Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit, also kann man sie als Steigung des
dargestellten Graphen ermitteln. Man zeichnet dazu im Punkt 2|2 die Tangente an den
Graphen ein und liest ihre Steigung ab.
Geschwindigkeit
v(t) in m/s
Zeit t in s
Zeit t in s
Die Beschleunigung beträgt ca. 7 m/s². (Ableseungenauigkeiten werden toleriert.)
1 P.
1 P.
D
C