Spezifische Ladung von Elektronen
Spezifische Ladung von Elektronen
Spezifische Ladung von Elektronen
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9. Bewegungen geladener Teilchen im homogenen Magnetfeld<br />
Magnetfeld<br />
Elektron<br />
Fm r<br />
F m<br />
r r<br />
⊥v<br />
F m<br />
= e ⋅ v ⋅ B (allgemein: = Q ⋅ v ⋅ B )<br />
F m<br />
⇒ Fm r ist Zentripetalkraft, das Elektron (allgemein: Teilchen)<br />
bewegt sich immer auf einer Kreisbahn!<br />
( v r bleibt immer gleich)<br />
Ist v r nicht senkrecht zu B r , so sorgt die senkrechte Komponente n vr für eine „Kreisbahn“, der eine<br />
Bewegung in Richtung der parallelen Komponente v p<br />
r überlagert ist. Es entsteht eine Schraubenlinie.<br />
Versuch: Fadenstrahlrohr<br />
Bewegen sich <strong>Ladung</strong>en senkrecht zum Magnetfeld,<br />
so beschreiben sie aufgrund der Lorentzkraft eine<br />
Kreisbahn.<br />
Aufbau:<br />
In einer evakuierten Glaskugel befindet sich Wasserstoffgas sowie eine<br />
Glühwendel, die zur Freisetzung <strong>von</strong> <strong>Elektronen</strong> dient. Vor und hinter der<br />
Kugel befinden sich zwei Helmholtzspulen.<br />
Beobachtung:<br />
Durch das Auftreffen <strong>von</strong> <strong>Elektronen</strong> auf Wasserstoffatome werden diese<br />
zum Leuchten angeregt und sie sind daher sichtbar.<br />
Durch die Helmholtzspulen kann der <strong>Elektronen</strong>strahl abgelenkt werden<br />
und es entsteht (bei entsprechender Stärke des Magnetfeldes sowie eines<br />
90°-Winkels des <strong>Elektronen</strong>strahls zum Magnetfeld) eine Kreisbahn.<br />
Wenn der <strong>Elektronen</strong>strahl nicht senkrecht zum Magnetfeld steht, so<br />
entsteht eine Schraubenlinie.
Schematische Darstellung der wirkenden Kräfte:<br />
<strong>Spezifische</strong> <strong>Ladung</strong> <strong>von</strong> <strong>Elektronen</strong><br />
Bewegen sich <strong>Elektronen</strong> in einem homogenen magnetischen Feld, so beschreiben sie eine<br />
Kreisbahn, da sie <strong>von</strong> der Lorenzkraft abgelenkt werden. Die Lorenzkraft Fm hat deshalb in diesem<br />
Fall die Wirkung einer Zentripetalkraft F r .<br />
Kreisbahn: F r = Fm<br />
F r : Index r <strong>von</strong> Radialkraft. Die Radialkraft besitzt den<br />
2<br />
v<br />
gleichen Betrag wie die Zentripetal- bzw. Fliehkraft. Sie<br />
besitzt jedoch keine Richtung.<br />
m<br />
r<br />
= evB<br />
Nach v aufgelöst ergibt sich nun die Bahngeschwindigkeit der <strong>Elektronen</strong>:<br />
⇒<br />
e<br />
v = Br<br />
m<br />
Wird die Geschwindigkeit v durch eine vorhergehende Beschleunigung mit der Spannung U<br />
erreicht (z.B. in einem Kondensator), so gilt wegen der Energieerhaltung:<br />
E = E<br />
pot<br />
kin<br />
1 2<br />
Ue = mv<br />
2<br />
Nach v aufgelöst erhält man nun eine weitere Gleichung für die Geschwindigkeit der <strong>Elektronen</strong>:<br />
2Ue<br />
v =<br />
m<br />
Man kann diese Gleichung nun mit der oben hergeleiteten Formel für die Bahngeschwindigkeit<br />
gleichsetzen:<br />
2Ue<br />
m<br />
=<br />
e<br />
m<br />
Br<br />
2Ue<br />
m<br />
e<br />
m<br />
e =<br />
2U<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
B r<br />
m<br />
2 2<br />
B r<br />
e<br />
Der Ausdruck wird als spezifische <strong>Ladung</strong> <strong>von</strong> <strong>Elektronen</strong> bezeichnet.<br />
m<br />
(spezifische <strong>Ladung</strong> ist der Quotient aus der <strong>Ladung</strong> eines Teilchens und dessen Masse, die<br />
spezifische <strong>Ladung</strong> eines Protons ist folglich kleiner als die eines Elektrons, da es die gleiche<br />
<strong>Ladung</strong> aber mehr Masse besitzt.)
Für die Berechnung der spezifischen <strong>Ladung</strong> sind nun die Werte für U, Bund r nötig, die jedoch alle<br />
experimentell herausgefunden werden können.<br />
Beispiel:<br />
Bei einer Beschleunigungsspannung <strong>von</strong> 100V reicht die magnetische Flussdichte 0,68 mT aus um<br />
einen den Strahl auf einen Kreis <strong>von</strong> 10 cm Durchmesser zu zwingen.<br />
e 2 ⋅100V<br />
11 V<br />
11 −1<br />
Lösung: =<br />
= 1,<br />
7 ⋅10<br />
= 1,<br />
7 ⋅10<br />
Ckg<br />
3 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
m<br />
−<br />
−<br />
0,<br />
68 ⋅10<br />
T ⋅ 5,<br />
0 ⋅10<br />
m<br />
T m<br />
( ) ( )<br />
Bei Präzisionsmessungen hat sich folgender Wert für die spezifische <strong>Ladung</strong> <strong>von</strong> <strong>Elektronen</strong><br />
folgender Wert ergeben:<br />
e 11 −1<br />
= 1,<br />
7588⋅10<br />
Ckg<br />
m<br />
Um die Masse eines Elektrons berechnen zu können, benötigt man die <strong>Ladung</strong> eines Elektrons.<br />
−19<br />
Beim Millikan-Versuch (siehe Kapitel 5.1) wurde herausgefunden, dass e = 1,<br />
6021892 ⋅10<br />
C<br />
beträgt:<br />
1,<br />
6022 ⋅10<br />
C<br />
1,<br />
7588 ⋅10<br />
Ckg<br />
−19<br />
m e =<br />
11 −1<br />
m<br />
e<br />
= 9,<br />
10096 ⋅10<br />
Wie zu Beginn erwähnt wurde, beschreiben <strong>Elektronen</strong> eine Kreisbahn, wenn sie sich in einem<br />
homogenen magnetischen Feld bewegen. Dies führt zu der Frage, wie sich der Radius (r) der<br />
Kreisbahn verhält, wenn die Geschwindigkeit der <strong>Elektronen</strong> verändert wird. Dazu betrachte man<br />
v<br />
zunächst die Winkelgeschwindigkeit ( ω): ω = wobei v durch die oben hergeleitete Formel<br />
e<br />
v = Br ersetzt werden kann:<br />
m<br />
r<br />
e<br />
Br<br />
ω =<br />
m<br />
=<br />
r<br />
e<br />
m<br />
Da die spezifische <strong>Ladung</strong> konstant ist, ist bei einer konstanten magnetischen Flussdichte (B) auch<br />
v<br />
die Winkelgeschwindigkeit ( ω = ) konstant. Dies bedeutet jedoch, dass <strong>Elektronen</strong> mit der k-<br />
r<br />
fachen Geschwindigkeit auch den k-fachen Bahnradius besitzen.<br />
Neben dem Bahnradius lässt sich auch die Umlaufdauer (T) berechnen. Man benötigt dazu eine<br />
2π<br />
weitere Formel für die Winkelgeschwindigkeit: ω = . Diese Gleichung lässt sich mit der oben<br />
T<br />
genannten gleichsetzen und nach T auflösen:<br />
2 π<br />
=<br />
T<br />
e<br />
m<br />
B<br />
B<br />
2π<br />
T =<br />
e<br />
B<br />
m<br />
−31<br />
kg
e<br />
Da π und konstant sind, ist T nur <strong>von</strong> B abhängig (für v < 0,<br />
1c<br />
). Die Umlaufdauer ist somit<br />
m<br />
indirekt proportional zu B.<br />
Aufgaben (S. 64):<br />
1) Ein Elektron gelangt mit der Geschwindigkeit<br />
Feld der Flussdichte 2 , 2mT<br />
.<br />
9,<br />
4<br />
6 −1<br />
⋅10 ms in ein homogenes magnetisches<br />
a) Wie groß ist der Betrag der Lorentzkraft, wenn die Bewegungsrichtung des Elektrons<br />
senkrecht zur Feldrichtung steht?<br />
Lösung:<br />
geg:<br />
v<br />
ges: Fm<br />
F<br />
F<br />
m<br />
m<br />
6 − 1<br />
−3<br />
= 9 , 4 ⋅ 10 ms , B= 2,<br />
2mT<br />
= 2,<br />
2 ⋅10<br />
T<br />
= evB<br />
= 1,<br />
6 ⋅10<br />
−19<br />
6<br />
C ⋅9,<br />
4 ⋅10<br />
ms<br />
−1<br />
−3<br />
−<br />
⋅ 2,<br />
2 ⋅10<br />
T = 3,<br />
3⋅10<br />
b) Welchen Durchmesser hat die entstehende Kreisbahn des Elektrons?<br />
Lösung:<br />
geg:<br />
v<br />
6 −1<br />
− 3<br />
= 9,<br />
4 ⋅10<br />
ms , B= 2 , 2 mT 2,<br />
2 ⋅ 10 T<br />
ges: d<br />
e<br />
v = Br<br />
m<br />
Aufgelöst nach r ergibt sich:<br />
v<br />
r =<br />
e<br />
B<br />
m<br />
6 −1<br />
9,<br />
4 ⋅10<br />
ms<br />
11 −1<br />
1,<br />
7588 ⋅10<br />
Ckg ⋅ 2,<br />
2 ⋅10<br />
r = −3<br />
d = 2r<br />
= 2 ⋅ 2,<br />
43cm<br />
=<br />
4,<br />
9cm<br />
= ,<br />
= 2,<br />
43cm<br />
T<br />
c) Wie groß ist seine Umlaufzeit auf der Kreisbahn?<br />
Lösung:<br />
geg:<br />
v<br />
ges: T<br />
6 −1<br />
−3<br />
= 9,<br />
4 ⋅10<br />
ms , B= 2,<br />
2mT<br />
2,<br />
2 ⋅10<br />
T<br />
= ,<br />
15<br />
N<br />
e 11 −1<br />
= 1,<br />
7588⋅10<br />
Ckg<br />
m<br />
e 11 −1<br />
= 1,<br />
7588⋅10<br />
Ckg<br />
m
T =<br />
2π<br />
e<br />
B<br />
m<br />
2π<br />
T =<br />
11<br />
1,<br />
7588⋅10<br />
Ckg<br />
−1<br />
⋅ 2,<br />
2 ⋅10<br />
−3<br />
T<br />
−8<br />
= 1,<br />
6 ⋅10<br />
s = 16ns<br />
2) Ein <strong>Elektronen</strong>strahl wird im homogenen magnetischen Feld eines Fadenstrahlrohrs mit<br />
Flussdichte 1, 5mT<br />
auf eine Kreisbahn <strong>von</strong> 12cm Durchmesser gezwungen.<br />
a) Welchen Betrag hat die Geschwindigkeit der <strong>Elektronen</strong>?<br />
Lösung:<br />
−3<br />
−2<br />
geg: B = 1,<br />
5mT<br />
= 1,<br />
5⋅10<br />
T , r = 6cm<br />
= 6 ⋅10<br />
m ,<br />
m<br />
ges: v<br />
v =<br />
e<br />
m<br />
Br<br />
11<br />
v = 1,<br />
7588 ⋅10<br />
Ckg<br />
−1<br />
−3<br />
⋅1,<br />
5 ⋅10<br />
T ⋅ 6 ⋅10<br />
b) Wie groß ist ihre Umlaufzeit auf der Kreisbahn?<br />
Lösung:<br />
−2<br />
e 11 −1<br />
= 1,<br />
7588 ⋅10<br />
Ckg<br />
7<br />
m = 1,<br />
6 ⋅10<br />
ms<br />
−3<br />
−2<br />
geg: B = 1,<br />
5mT<br />
= 1,<br />
5⋅10<br />
T , r = 6cm<br />
= 6 ⋅10<br />
m ,<br />
m<br />
ges: T<br />
2π<br />
T =<br />
e<br />
B<br />
m<br />
2π<br />
T =<br />
11<br />
1,<br />
7588 ⋅10<br />
Ckg<br />
−1<br />
−8<br />
= 2,<br />
4 ⋅10<br />
s = 2,<br />
4ns<br />
−3<br />
⋅1,<br />
5 ⋅10<br />
T<br />
−1<br />
e 11 −1<br />
= 1,<br />
7588 ⋅10<br />
Ckg<br />
3) <strong>Elektronen</strong> werden mit verschiedenen Geschwindigkeiten senkrecht zu den Feldlinien in ein<br />
homogenes Magnetfeld geschossen. Zeigen Sie, dass<br />
a) sich dann die <strong>Elektronen</strong> im magnetischen Feld auf Kreisbahnen bewegen, deren Radius<br />
direkt proportional zur Geschwindigkeit der <strong>Elektronen</strong> ist.<br />
Lösung:<br />
Die Umlaufzeit der <strong>Elektronen</strong> ist konstant (siehe obige Herleitung). Es gilt<br />
v<br />
deshalb: ω = = kons tan t . Das bedeutet jedoch, dass eine Verdopplung der<br />
r<br />
Geschwindigkeit zu einer Verdopplung des Bahnradius führt.<br />
b) die Umlaufzeit der <strong>Elektronen</strong> jeweils konstant ist.<br />
Lösung:<br />
Siehe oben beschriebene Herleitung!
4) 1.<br />
a) Unter welchen Bedingungen werden <strong>Elektronen</strong> in einem zeitlich konstanten homogenen<br />
Magnetfeld nicht beeinflusst?<br />
Lösung:<br />
Die <strong>Elektronen</strong> befinden sich in Ruhelage ( v = 0 ) oder bewegen sich nicht<br />
parallel zu den Feldlinien.<br />
b) Unter welchen Bedingungen werden <strong>Elektronen</strong> in einem zeitlich konstanten homologen<br />
Magnetfeld in eine Kreisbahn gezwungen?<br />
Lösung:<br />
Die <strong>Elektronen</strong> werden in eine Kreisbahn gezwungen, wenn sie sich im<br />
Magnetfeld senkrecht zu den Feldlinien bewegen.<br />
−4<br />
2. In einem homogenen Magnetfeld mit der Flussdichte 8,<br />
0 ⋅10 T werden <strong>Elektronen</strong> in eine<br />
Kreisbahn mit dem Radius 5, 0cm<br />
gelenkt.<br />
c) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit v der <strong>Elektronen</strong>.<br />
Lösung:<br />
−4<br />
−2<br />
geg: B = 8,<br />
0 ⋅10<br />
T , r = 5,<br />
0cm<br />
= 5,<br />
0 ⋅10<br />
m ,<br />
m<br />
ges: v<br />
v =<br />
e<br />
m<br />
Br<br />
v = 1,<br />
7588 ⋅10<br />
11<br />
Ckg<br />
−1<br />
⋅ 8,<br />
0 ⋅10<br />
−4<br />
T ⋅ 5,<br />
0 ⋅10<br />
e 11 −1<br />
= 1,<br />
7588 ⋅10<br />
Ckg<br />
d) Welche Spannung ist erforderlich um die <strong>Elektronen</strong> auf die Geschwindigkeit v zu bringen?<br />
Lösung:<br />
geg:<br />
v<br />
ges: U<br />
E<br />
1<br />
2<br />
kin<br />
mv<br />
U =<br />
= E<br />
2<br />
mv<br />
2e<br />
−2<br />
6 − 1<br />
−31<br />
= 7 , 0 ⋅ 10 ms , me<br />
= 9,<br />
1⋅<br />
10 kg<br />
pot<br />
= eU<br />
2<br />
−31<br />
9,<br />
1⋅10<br />
kg ⋅<br />
U =<br />
−<br />
2 ⋅1,<br />
6 ⋅10<br />
6 −1<br />
2<br />
( 7,<br />
0 ⋅10<br />
ms ) = 0,<br />
14kV<br />
19<br />
C<br />
m =<br />
7,<br />
0<br />
⋅10<br />
6<br />
ms<br />
−1