Gittergase und das Lattice-Boltzmann- Verfahren

Numerische StrömungsmechanikGittergase und das Lattice-Boltzmann-Verfahrencand.-Ing Nils Rinke

Numerische StrömungsmechanikMotivation●●●●Beschreibung von Prozessen über kontinuierlicheDifferentialgleichungen (Navier-Stokes-Gleichungen) genauaber sehr komplex.Diskrete Beschreibung eines Strömungsprozesses aufPartikelebene einfach und effizient.Berechnung auf Gitterelementen vermeidet aufwendigekontinuierliche Rechnungen.Vielseitig anwendbar.

Numerische StrömungsmechanikGittergase●●●Beschreibung derGeometrie auf einemregelmäßigen Gitter.Idee: Strömungsprozessewerden durch Interaktionvon Gitterelementen (-zellen) beschrieben.Diskretisierung vonKennwerten wie Dichte undGeschwindigkeit aufGittergrößen.

Numerische StrömungsmechanikZustandsmenge●●●Es gibt endlich vieleZustände, die eine Zelleannehmen kann.Jede Zelle kann proZeitschritt genau einenZustand annehmen.Eine Zelle kann keinenZustand annehmen,welche nicht in derZustandsmenge definiertist.

Numerische StrömungsmechanikNachbarschaft●●●Nachbarschaft bezeichnetdie Verbindung von Zellen.Jede Zelle hat endlich vieleNachbarn.Eine Zelle kann keineNachbarschaft zu einerZelle außerhalb der Mengebesitzen.

Numerische StrömungsmechanikZustandsübergangsfunktion●Beschreibt die Zustandsänderung einer Zelle zumnächsten Zeitschritt (Regeln des Automaten).Beispiel: Conway's Spiel der Lebens

Numerische StrömungsmechanikHPP-Gittergasautomat●●●●Hardy, de Pozzis, Pomeau(1973)2-dimensionales, reguläresGitterJede Zelle besitzt proZeitschritt 0-4 Partikel.Jeder Partikel besitzt eineRichtung undGeschwindigkeit● Z besteht aus 2 4 =16Zuständen z.●Von-Neumann-Nachbarschaft

10 Damals war’sNationalsozialistischen Deutschen Arbeiterpartei Adolf Hitler auf, der ebenerst die deutsche Reichsangehörigkeit in Braunschweig erwarb. Die Rechtsparteienwählten den Mann nicht wieder, den sie vor 7 Jahren aufstellten,nur weil auch die Sozialdemokraten für ihn stimmten! Im 1. Wahlgang standensich die Gegner mit 18 ½ Mill. zu 11 Mill. gegenüber, der KommunistThälmann erhielt nur 3 ½ Millionen Stimmen. Der 2. Wahlgang brachte denSieg Hindenburgs.Ein schlimmer Kampf entspann sich um die Wahl zum preußischen Landtagam 24. 4. 32. Hier gewannen die Anhänger Hitlers ungeheuren Aufschwung.Von etwa 9 Mandaten konnten sie es auf 163 Mandate unter 422 Mandatendes gesamten Landtages bringen. Die Sozialdemokraten verloren 1/3 undsanken auf 91 Sitze. Volkspartei und Staatspartei wurden fast aufgerieben,während sich das Zentrum hielt. Die Deutschnationalen haben auch starkeingebüßt. Das vorläufige Ergebnis ist, daß Hitler mit den Rechtsparteieneine Mehrheit nicht hat, ... . Die Entwicklung muß bis nach Zusammentrittdes neuen Landtags abgewartet werden. Während sich die Hitler Partei nachihrem Aufschwung im Jahre 1930 im Reichstag wenig oder ...“– Hier brechen die Aufzeichnungen von Herrn Lehrer Liste ab, die restlichenSeiten seiner interessanten Chronik gingen leider verloren.Mit einem Bild vom Grab des Ehepaares Liste, das mir eine seiner Töchterzur Verfügung stellte, endet die Satzkorner Schulchronik.A. Hanke

Numerische StrömungsmechanikBoltzmann'sche Gastheorie● Ludwig Boltzmann (* 1844;† 1906)●●●Österreichischer Physiker undPhilosoph(Mit-) Erfand zum Beispiel- Boltzmann-Gaskonstante- Stefan-Boltzmann-Gleichungu.v.m.Gastheorie fand zu Lebzeitennie Akzeptanz

Numerische StrömungsmechanikBoltzmann'sche GastheorieDie Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen zu einem Zeitpunkt tan einem Ort x mit der Geschwindigkeit v befindet, wirdbeschrieben durch eine Funktion f:f x , v , tDie wahrscheinliche Anzahl der Teilchen in einem Bereich[x,x+∆x] mit dem Geschwindigkeitsintervall [v,v+∆v] zum ergibtsich somit zu:f x , v ,txvVerfolgt man diese Wahrscheinlichkeitsdichte zum nächstenZeitschritt t+∆t ergibt sich die Ortsänderung zu:xv t=x xt t=x x

Numerische StrömungsmechanikBoltzmann'sche GastheorieUnter Einfluss einer äußeren Kraft F ergibt sich die Änderungder Geschwindigkeit zum nächsten Zeitschritt zu:v F m t=v v tt=v vAus den vorherigen Gleichungen ergibt sich für die Bewegungder Teilchendichte in einem Zeitschritt ∆t folgende Gleichung:Ff x x ,v m t ,t t xv= f x ,v , t xvDiese Gleichung ist erfüllt unter der Bedingung, dass keineTeilchen das System innerhalb des Zeitschritts verlassen.

Numerische StrömungsmechanikBoltzmann'sche GastheorieDa durch Kollision Teilchen aus dem System heraus undherein wandern wird ein weiterer Term eingeführt:Ff x x ,v m t ,t t xv= f x , v , t xvC x v tC enthält somit die Teilchen, welche in der Zeit dt durchKollision das System verlassen oder in ihn eintreten.Wendet man die Taylor-Reihen-Entwicklung auf den linkenTerm an, lässt sich die Gleichung umformen zu:[ f x ,v , t x⋅grad x f v⋅grad v f t ∂ f∂ t ] xv =f x ,v , tx vC xv t

Numerische StrömungsmechanikBoltzmann'sche GastheorieVereinfacht man diese Gleichung ergibt sich dieBoltzmann-Gleichung:v⋅grad x f Fm ⋅grad v f ∂ f∂ t =C

Numerische StrömungsmechanikLattice-Boltzmann-Verfahren●●●Diskretisierung derWahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionauf einGitterelement.Beschreibung desKollisionsterms (z.B. BGK-Approximation)Vernachlässigen deräußeren Kräfte:Fm ⋅grad v f =0

Numerische StrömungsmechanikLattice-Boltzmann-VerfahrenDie Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist diskret und nichtmehr von der Geschwindigkeit abhängig:v i∂ f i∂x ∂ f i∂t =CApproximieren der partiellen Ableitungen mit finitenDifferenzen ergibt:xt ⋅ f ixx , t− f i x ,t f ix , t t − f i x , txtMit der Annahme das:c⋅t= x=Cc: Einheitsgeschwindigkeit (1 GE/ZE)

Numerische StrömungsmechanikLattice-Boltzmann-VerfahrenNach Umformen ergibt sich:f i x x , tt− f i x ,t=CtUmstellen nach den Größen des unbekannten Zeitschrittsergibt die Lattice-Boltzmann-Gleichung:f i x x , tt= f i x ,t t⋅CHäufig wird zur Vereinfachung ∆t=∆x=1 gesetzt. Dieserfordert eine Anpassung der Eingabedaten auf dieseBasiseinheiten.

Numerische StrömungsmechanikBGK-Approximation●●Bhatnagar, Gross, KrookApproximation des Kollsionsterms mittelsGleichgewichtsfunktion:C=- f ix ,t − f i 0 x ,t Mit der Relaxationszeit =3 1 2 =1undf i 0 x ,t =w i x[13 e i⋅vc 2 9 2e i ⋅v 2c 4 − 3 2v 2c 2 ]

Numerische StrömungsmechanikLattice-Boltzmann-VerfahrenDie BGK-Approximation eingesetzt ergibt die endgültigeLattice-Boltzmann-Gleichung:f i x x ,tt= f i x ,t t ⋅ f ix ,t− f i 0 x ,t●●●Diese Gleichung ist rechnerisch gesehen einfach zu lösen.Linke Seite: Größen des nächsten Zeitpunkts,Rechte Seite: Größen des bekannten Zeitpunkt (explizitesVerfahren)Bisher noch nicht beachtet: das Verhalten an den Ränderndes Systems.

Numerische StrömungsmechanikLattice-Boltzmann-VerfahrenEs folgt für die makroskopischen Größen:Dichte:=∑ f iGeschwindigkeit:v= 1 ⋅ ∑ f i ⋅e i

Numerische StrömungsmechanikRandbedingungen●periodische Randbedingungen:

Numerische StrömungsmechanikRandbedingungen●No-Slip-Randbedingung●Free-Slip-Randbedingung

Numerische StrömungsmechanikPoiseuille Strömung●Unter einer Poiseuille Strömung versteht man diestationäre Strömung einer newton'schen Flüssigkeit durchein zylindrisches Rohr. Hier 2-D:

Numerische StrömungsmechanikAusblick●●●●Es zeigt sich, dass das Lattice-Boltzmann-Verfahrenströmungsprozesse sehr gut abbildet und die Berechnungeinzelner Zeitschritte wenig Zeit benötigt.Wahl der Anfangswerte entscheidend für die Stabilität.Laut Literatur liefert das Lattice-Boltzmann-Verfahren auchfür Bereiche wie Mehrphasenprozesse oder Strömungen inporösen Medien sehr gute Ergebnisse.Offene Fragen:– Kann man die Boltzmann-Gleichung auch mit z.B. FVlösen?

Numerische StrömungsmechanikVielen Dank für ihre Aufmerksamkeit