Numerische Strömungsmechanik

Numerische Strömungsmechanik
Klassifikation von Differentialgleichungen
Neuweiler, Milbradt

Numerische Strömungsmechanik
Notation

Numerische Strömungsmechanik
Notation
Die Divergenz eines Vektorfeldes ergibt einen skalaren
Wert, der für die Stärke der Quellen bzw. Senken
desselben steht.

Numerische Strömungsmechanik
Potentialströmung
●
●
●
Strömung eines Fluids (Flüssigkeit oder Gas), wenn das
Vektorfeld der Geschwindigkeiten mathematisch so geartet
ist, dass es ein Potentialfeld (Potential) besitzt
in homogenen Fluiden vorhanden, wenn
– rotationsfrei (wirbelfrei)
– keine oder vernachlässigbare Zähigkeitskräfte
(Reibungskräfte)
Anwendungen sind Grundwasserströmungen

Numerische Strömungsmechanik
Potentialströmung
●
Gegeben ist eine Funktion Φ(x,y) in der x,y-Ebene
●
Durch Gradientenbildung erhält man den
Geschwindigkeitsvektor:
●
Diese Geschwindigkeiten müssen die inkompressible
Kontinuitätsgleichung erfüllen:
●
Das Potential Φ(x,y) muss einer Gleichung vom
Laplace/Poisson-Typ genügen

Numerische Strömungsmechanik
Potentialströmung
●
Rotations- / Wirbelfreiheit implizit gegeben

Numerische Strömungsmechanik
Potentialströmung

Numerische Strömungsmechanik
Stromlinien
●
Stromlinien sind die Kurven im Geschwindigkeitsfeld einer
Strömung, deren Tangentenrichtung mit den Richtungen
der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmen, d. h. an
jedem Punkt wird die Stromlinie durch einen
Geschwindigkeitsvektor tangiert.

Numerische Strömungsmechanik
Differentialgleichungen
●
Wärmeleitungs-Gleichung
Konzentrations-Diffusions-Gl.
∂ u
∂ t −k⋅∂2 u
∂ x 2 =0
k0
●
Burgers Gleichung
(Verkehrsdichte auf einer Straße)
∂ u
∂ t u⋅∂ u
∂ x =0

Numerische Strömungsmechanik
Differentialgleichungen
●
1-dimensionale Transportgleichung
●
Navier-Stokes-Gleichungen

Numerische Strömungsmechanik
Differentialgleichungen
●
1D Wellengleichung
∂ 2 u
∂ t 2 =c2 ∂ 2 u
∂ x 2
●
Korteweg-de-Vries-Gleichung
(Beschreibung von Flachwasserwellen)
∂ u
∂ t c⋅u⋅∂ u
∂ x ∂3 u
∂ x 3 =0

Numerische Strömungsmechanik
Differentialgleichungen
●
2D Laplace-Gleichung
●
2D Poisson-Gleichung
●
2D Helmholz-Gleichung

Numerische Strömungsmechanik
Advection- Diffusion Gleichung
●
Integralformulierung
∂
∂t ∫ V
U d V ∫
A
n.U u d A− ∫
A
n.grad U d A = ∫
V
S U
dV
●
Koordinatenunabhängige Darstellung
∂U
∂ t
div U u − div grad U = S U
U : Specific fluid property
:
Diffusion coefficient
:
Fluid density
u:
S U
:
Fluid velocity vector
Sinks and sources of the fluid property

Numerische Strömungsmechanik
Advection- Diffusion Gleichung
●
Koordinaten (kartesische) Darstellung
∂ U
∂ t
u ∂U
∂ x
∂U
v
∂ y
− ∂2 U
∂ x 2
− ∂2 U
∂ y 2
=S U
●
Operator-Darstellung
∂U
∂t
L ≡ u i
LU Q=0
∂
− ∂
∂ x i
∂ x ij
i
∂
∂ x j
L = L adv
L diff

Numerische Strömungsmechanik
Klassifikation - Dimension
Anzahl unabhängiger Variablen
●
eine unabhängige Variable
Gewöhnliche Differentialgleichung (GDGL)
– stationäre Konvektions-Diffusions-Gleichung (Randwertproblem)
– Evolutionsgleichungen (Anfangswertproblem)
●
mehrere unabhängige Variable
Partielle Differentialgleichung (PDGL)
– n-dim. stationäre Konvektions-Diffusions-Gleichung
– instationäre Konvektions-Diffusions-Gleichung
– Navier-Stokes-Gleichungen
(Rand-Anfangswert-Probleme)

Numerische Strömungsmechanik
Klassifikation - Ordnung
höchste auftretende Ableitung
●
●
●
0. Ordnung – algebraische Gleichungen
1. Ordnung – Euler-Gleichung
2. Ordnung – Navier-Stokes-Gleichung
● ...

Numerische Strömungsmechanik
Klassifikation - Homogenität
●
●
homogen – ohne Quellterm
∂C
∂t
inhomogen – mit Quellterm
u
∂C
∂ x −D ∂2 C
∂ x 2 = 0
∂ C
∂t
u
∂C
∂ x −D ∂2 C
∂ x 2 = S x , t

Numerische Strömungsmechanik
Klassifikation - Linearität
●
Es treten keine Produkte von abhängigen Variablen und
ihren Ableitungen auf: linear
– Beispiel: Diffusiver Transport
●
Es treten Produkte von abhängigen Variablen und ihren
Ableitungen auf: nichtlinear
– Beispiel: Konvektiver Impulstransport

Numerische Strömungsmechanik
Klassifikation - Linearität
●
lineare partielle Differentialgleichung der Ordnung m
●
quasi-lineare partielle Differentialgleichung der Ordnung m
Koeffizienten a und die rechte Seite f hängen nicht nur von
der Variablen x sondern auch von partiellen Ableitungen
niedrigerer Ordnung ab

Numerische Strömungsmechanik
mathematischer Charakter
●
●
●
parabolisch wenn
Informationstransport nur in einer Koordinatenrichtung
– Beispiel: Zeitkoordinate
hyperbolisch wenn
Informationstransport in allen Richtungen aber in
begrenztem Gebiet.
– Beispiel: Verdichtungsstoß
elliptisch wenn
Informationstransport in allen Richtungen, unbegrenzt
– Beispiel: Reibungsbehaftete Unterschallströmung

Numerische Strömungsmechanik
Elliptische PDG
●
●
●
Elliptische PDG beschreiben i.a. stationäre Zustände:
– Potentialströmung
– stationäre Grundwasserströmung
Randwertaufgabe
Beispiele:
– Laplace-Gleichung
b=0, a=1,c=1
∂ 2 h
∂ x 2 ∂2 h
∂ y 2 =0

Numerische Strömungsmechanik
Parabolische PDG
●
●
Parabolische PDG beschreiben i.a. diffusive Prozesse:
– Wärmetransport
– instationäre Grundwasserströmung
Anfangs-Randwertaufgabe
b=0, a=0, c=k
∂ u
∂ t −k⋅∂2 u
∂ x 2 =0
k0

Numerische Strömungsmechanik
hyperbolische PDGL
●
●
●
hyperbolische PDGL beschreiben i.a.
Schwingungsphänomene:
– Wellenausbreitung
Anfangs-Randwertaufgabe
Beispiele:
– 1D Wellengleichung
b=0, a=1,c=-c 2
∂ 2 u
∂ t 2 −c2 ∂ 2 u
∂ x 2 =0

Numerische Strömungsmechanik
Allgemeine Formulierung
●
Lineare PDG 2. Ordnung mit beliebigen Variablen
● Symmetrisch:
und
●
Matrixschreibweise
reellwertige symmetrische Matrix

Numerische Strömungsmechanik
Lineare PDGL 2. Ordnung

Numerische Strömungsmechanik
Systeme PDGL
●
Seegang
∂ K i
∂t
∂
∂t
∂a
∂t
= − ∂ a
∂ x i
C g
K j
k
∂ K j
∂ x i
= − U i C gi ∂ ∂u i
− k
∂ x
xi
i
∂t
= − 1 2a
− ∂ K i
∂ x j
f⋅ ∂h
∂t
∂
∂ x i
U i
C E i
a 2 − S ij
g a
∂U i
∂ x i
U i T i − T iB
g a
B
g a
●
Flachwasser-
Gleichungen
∂
∂t
∂U i
∂t
= − ∂U j d
∂ x j
= −U j
∂U i
∂ x i
− g ∂
∂ x i
− 1 d
∂ S ij
∂ x i
1 d T i − T iB
●
Transport
∂C
∂t
= −U i
∂C
∂ x i
∂ ∂ x i
∂C
i
∂ x S
i
●
Bodenevolution
q i = ∫ −h U i C dz q bi
∂h
= − 1 ∂q i
∂t 1−n ∂ x i

Numerische Strömungsmechanik
Systeme PDGL

Numerische Strömungsmechanik
Grundwasserströmungsgleichung
Anfangsbedingungen:
h(x,y,t=0) muss im ganzen Modellgebiet gegeben sein.

Numerische Strömungsmechanik
Randbedingungen
●
Dirichlet-Randbedingung
Festlegung des Wertes der gesuchten Funktion die auf
dem jeweiligen Rand des Definitionsbereichs
●
Neumann-Randbedingung
Festlegung der Normalenableitung der gesuchten Funktion
die auf dem jeweiligen Rand des Definitionsbereichs
●
Cauchy-Randbedingung
Kombination aus Dirichlet- und Neumann-Randbedingung