Institut für Strömungsmechanik und Umweltphysik im Bauwesen

Institut fürStrömungsmechanik undUmweltphysik im BauwesenProf. Dr. rer. nat. Insa NeuweilerVorlesungsskript, Teil IAusgabe 10/2009überarbeitet von Dipl.-Ing. R. Ratke

VorwortDieses Skriptum enthält Teile der Skripte ”Strömungsmechanik für Bauingenieure“, Teil I und zueinem geringen Anteil auch Teil II, Ausgabe 1990. Die Neuzusammenstellung und erste TEX-Fassung(2004) übernahm Dipl.-Ing. R. Ratke.Vorwort zur ersten Auflage (1981)Dieses Skriptum enthält den Stoff, der in der Vorlesung “Strömungsmechanik I für Bauingenieure“im dritten Semester gelehrt wird. Es handelt sich dabei nicht um ein Lehrbuch und sollte nur alseine Ergänzung zu Vorlesungen und Übungen verstanden werden. Eine selbständige Erarbeitung desStoffes aus dem Skriptum ist schon deshalb schwierig, weil auf Berechnungsbeispiele verzichtet wurde.Die erste Version dieses Skriptums ist von Herrn Dr. Gärtner auf der Basis meiner handschriftlichenUnterlagen erstellt worden. An wesentlichen Ergänzungen waren die Herren Theunert und Urban sowieKröhn und Ratke beteiligt. Herr F. Brehm erstellte die attraktive äußere Form.Ihnen und allen anderen Mitarbeitern, die Verbesserungsvorschläge gemacht haben, danke ich für ihreMitarbeit.W. Zielke- i -

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InhaltsverzeichnisF.5.3 Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64F.5.4 Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65F.6 Zusammenhang zwischen Impulssatz und Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . 66G Strömungswiderstand 69G.1 Schubspannungen infolge Viskosität (Zähigkeit)und Scheinviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70G.2 Beziehung zwischen Wandschubspannungund Verlust an Strömungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73G.2.1 Rohrleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73G.2.2 Offenes Gerinne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75G.3 Fließarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76G.4 Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilungbei laminarer Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79G.5 Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilungbei turbulenter Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81G.6 Wandreibung bei Gerinneströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87G.7 Grenzschichten und Ablösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90G.8 Konzentrierte Fließverluste in Rohren und Gerinnen, ζ-Werte . . . . . . . . . . . . . . 92G.8.1 Ein- und Auslaufverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93G.8.2 Umlenkverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93G.8.3 Verzweigungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93G.8.4 Querschnittsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94G.8.5 Verschlußorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94H Elementare stationäre Rohrströmungen 95H.1 Grundsätzliche Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96H.2 Venturi-Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98H.3 Pumpe, Turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99H.4 Rohrsystem mit Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100I Elementare stationäre Gerinneströmungen 103I.1 Normalabfluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104I.2 Wellengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107I.3 Strömen und Schießen, Grenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108I.3.1 Betrachtungen bei vorgegebenem konstanten q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109- v -

BezeichnungenGriechische Buchstabenα [-] Energiebeiwert zur Berücksichtigungder Geschwindigkeitsverteilungα [-] Verlustbeiwert für Ausfluß und Öffnungen {J}β [-] Impulsbeiwert zur Berücksichtigungder Geschwindigkeitsverteilungβ p [m 2 /N] Wärmeausdehnungskoeffizient für konstanten Druck β p = 1 ∂ρρ ∂Tβ T [m 2 /N] Kompressibilitätskoeffizient für konstante Temperatur β T = 1 ∂ρρ ∂pζ [-] Verlustbeiwert für örtlich konzentrierte Energieverluste h v = ζ v 2 /2gη [kg/(ms) = Pa s] dynamische Zähigkeit η = ρ νη [m] zu y parallele Schwerachse {C}η [-] Eigenschaft {F}η M [-] Wirkungsgrad des Motorsη P [-] Wirkungsgrad der Pumpeθ [-] Neigungswinkelλ [-] Reibungsbeiwert h v = λ l v 2D h 2gµ [-] Ausflußbeiwert {J}ν [m 2 /s] kinematische Zähigkeit ν = η/ρξ [m] zu x parallele Schwerachseπ [-] Ludolfsche Zahl π = 3, 14159 . . .ρ [kg/m 3 ] Fluiddichteσ [N/m 2 ] Normalspannungσ [N/m] Oberflächenspannungτ [N/m 2 ] Schubspannungτ 0 [N/m 2 ] Wandschubspannungω [1/s] Kreisfrequenz- x -

BezeichnungenIndizes⎫x ⎪⎬y⎪⎭zKRKFSDηξKartesische (rechtwinklige) KoordinatenKontrollraumKontrollflächeSchwerpunktDruckmittelpunktzu y parallele Schwerachsezu x parallele SchwerachseSonstige Zeichengrad Gradient eines Skalarfelds grad =d∂ddt⃗totales Differentialpartielles Differentialtotale Ableitung nach der ZeitKennzeichnung eines Vektors( )∂∂x , ∂∂y , ∂∂z- xi -

frei für Notizen

Kapitel AEinführungDie Strömungsmechanik behandelt die Gesetzmäßigkeiten der Bewegung von Flüssigkeiten und Gasenund die dabei wirkenden Kräfte. Strömungen treten in der Natur und in der Technik in vielfältigenErscheinungsformen auf und fordern das strömungsmechanische Verständnis des Naturwissenschaftlersund des Ingenieurs.Die traditionellen Arbeitsgebiete des Bauingenieurs betreffen die Standsicherheit und Funktion vonBauwerken. Hier findet die Strömungsmechanik ihre Anwendung, wenn Bauwerksbelastungen durchStrömungen zu ermitteln und Bauwerke konkret mit dem Ziel der Nutzung des Wassers oder demSchutz vor dem Wasser zu bauen sind.Zu einem neueren Arbeitsgebiet haben sich der Umweltschutz und die Umwelttechnik entwickelt. DerSchadstofftransport in Flüssen und Seen, im Meer, im Grundwasser und in der Athmosphäre geschiehtdurch Strömungen, was die Bedeutung der Strömungsmechanik für diese Arbeitsrichtung unterstreicht.Einen großen Anwendungsbereich bilden Abflußvorgänge in Rohren und Gerinnen. Verwiesen sei aufdie Berechnung der Durchflüsse und Wasserstände in Flüssen und Kanälen und deren Veränderungendurch Baumaßnahmen. In der Wasserversorgung spielt der Transport des Wassers durch Fernleitungenund die Verteilung über Rohrnetze eine wichtige Rolle, in der Stadtentwässerung die Fortleitung desAbwassers durch Kanalisationsnetze.Wasserkraftanlagen, Talsperren und Wehre sind faszinierende Ingenieurbauweke. Sie werden zur Beherrschungund Nutzung des Wassers gebaut, was profunde Kenntnisse der Strömungsmechanik voraussetzt.In den Entwicklungsländern werden solche Bauwerke zusammen mit Bewässerungssystemenbei den Investitionen auch weiterhin mit an vorderster Stelle stehen und somit auch deutschen Ingenieurbürosdie Möglichkeiten internationalen Wirkens bieten.Die zunehmende Zahl und Größe thermischer Kraftwerke, und zwar fossiler wie auch nuklearer, habenfür den Bauingenieur neue und schwierige Probleme aufgeworfen. Er war vom Wasserkraftbau durchausdie Beherrschung großer Wassermengen gewohnt, wie sie jetzt als Kühlwasser in noch größerenMengen den Flüssen und Seen entnommen und durch die Kraftwerke gepumpt werden. Zum erstenMal ist er jetzt aber auch mit thermischen Fragen der Einleitung erwärmten Wassers in stehende undströmende Gewässer konfrontiert und mit den thermodynamischen Prozessen in Zusammenhang mitihrem Wärmehaushalt.1

Kapitel A. EinführungBewegungsvorgänge im Grundwasser sowie deren Veränderungen als Folge der Wasserentnahme stellenein Arbeitsgebiet dar, das den Bauingenieur schon lange an die Seite des Grundwassergeologen gestellthat. Aber auch die Umströmung von Bauwerken durch Grundwasser, die Durchsickerung von Deichenund Dämmen und die damit verbundenen Sicherheitsuntersuchungen erfordern fundierte Kenntnisseüber die Strömung in ”porösen Medien“.Die Universität Hannover hat schon immer einen besonderen Bezug zum Küsteningenieurwesen gehabt;gerade in ihm sind die Strömungsprobleme besonders vielfältig. Schlagwortartig seien genannt: dieTidedynamik in Küstenähe und Tideflüssen, Mischungsprozesse von Salz- und Süßwasser, großräumigeSandumlagerungen durch Tidebewegung und Wellenwirkung, Wellenkräfte auf Deiche, Kaimauern undBohrinseln.Wind- und Wellenkräfte auf Bauwerke und windinduzierte Schwingungen sind typische Fragestellungenan den konstruktiv orientierten Bauingenieur. Sie sind aber nur ein Beispiel, denn letztlich ist eineVielzahl von Hoch- und Tiefbaukonstruktionen dem Strömungsangriff von Wasser und Luft ausgesetzt,und die schwierigsten dieser Konstuktionen, wie Bohrinseln, Türme, Brücken, sind es in einem ganzbesonderen Maße.Angesichts dieser eindrucksvollen Liste dürfte die Motivation der Bauingenieurstudenten, sich mitdem Grundlagenfach Strömungsmechanik zu befassen, nicht fehlen. Dabei muß allerdings vorerstdas Erkennen prinzipieller Gesetzmäßigkeiten im Vordergrund stehen, sodaß die Anwendungen oftnur angedeutet werden können und den stärker anwendungsorientierten Fächern vorbehalten bleiben.Dementsprechend rankt sich der gesamte Vorlesungsstoff um die drei Prinzipien des Transports vonMasse, Impuls und Energie durch strömende Medien. Hinzu kommt allerdings die für dieses Fach sotypische Empirie, die oft geringschätzig mit dem Begriff ”Koeffizientenhydraulik“ beschrieben wird,durch die aber stärker als in anderen Teilgebieten der Mechanik die Grenzen unseres Verständnissesvon den ablaufenden Prozessen belegt werden.- 2 -

Kapitel BEigenschaften der Fluide- 3 -

KAPITEL B - Eigenschaften der FluideB.1 MaßeinheitenBasis- und abgeleitete Größen mit den Einheiten verschiedener Einheitensysteme(eingerahmte Einheiten: Gesetz über Einheiten im Meßwesen, 1969)Größenart Dim. Einheit UmrechnungLänge L Meter, m 1 m = 10 2 cm = 10 3 mminch, infoot, ft1 in = 2,5400 cm1 ft = 0,3048 mMasse M Kilogramm, kg 1 t = 10 3 kg = 1 MgBasisgrößenpound-mass, lbmslug, sl1 lbm = 0,4536 kg1 sl = 14,5939 kgZeit T Sekunde, s 1 min = 60 s, 1 h = 3600 sTemperaturΘKelvin, KCelsius, o Ct C = t K − 273, 15 ∗Fahrenheit, o F t C = 5 9 (t F − 32)Rankine, o Rt R = 9 5 t KAbgeleitete GrößenKraftSpannungDruckF = MLT 2 Newton, N 1 N = 1 kg m/s 2 = 10 5 dyn †Kilopond, kp 1 kp = 9,80665 NFL 2pound-force, lbfPascal, PaBar, barm Wassersäuletechn. Atmosphärephys. AtmosphäreTorr1 lbf = 4,4482 N1 Pa = 1 N/m 2 = 1 kg/(m s 2 ) †1 bar = 10 5 Pa = 10 N/cm 21 mWS = 9,80665 kPa1 at = 1 kp/cm = 0,980665 bar1 atm = 1,01325 bar1 Torr = 1/760 atmArbeit FL Joule, J = Ws 1 J = 1 Nm = 1 kg m 2 /s 2 = 10 7 ergEnergie Kalorie, cal 1 cal = 4,1868 JWärme Brit. thermal unit 1 Btu = 1,0551 kJLeistung FL/T Watt, W 1 W = 1 J/s = 1 kg m 2 /s 3Pferdestärke, PShorse-power, hp1 PS = 75 kp m/s = 0,7355 kW1 hp = 0,7457 kW∗ t C, t F , t R, t K sind Zahlenwerte der Temperatur in o C, o F, o R bzw. K† Die Grundeinheiten N bzw. Pa sind für technische Zwecke sehr klein! Ratsam ist das Rechnen in kN bzw. kPa, mWSoder bar.- 4 -

B.2. FluidB.2 FluidDie Erscheinungsformen der Materie(Phasen) sind:• feste Körper• Flüssigkeiten• Gase und Dämpfe}FluideAbhängigkeit der Aggregatzuständeeines Stoffes von Temperatur und DruckUnterschied zwischen festen Körpern und Fluiden:Ein Fluid ist durch leichte Verformbarkeit gekennzeichnet. Dazu genügen im Gegensatzzum festen Körper sehr kleine Kräfte und Arbeiten, wenn die Formänderung nur hinreichendlangsam erfolgt. Sie hängt von den angreifenden Normalkräften (Druckkräfte) undTangentialkräften (reibungsbedingte Schubspannungen) ab.Ein fester Körper, der einer Schubspannung ausgesetzt wird, erfährt eine Deformation, dieproportional zur Schubspannung ist.Unterschied zwischen Flüssigkeiten und Gasen bzw. Dämpfen:Ein Gas füllt den zur Verfügung stehenden Raum aus, eine Flüssigkeit bildet eine freieOberfläche.Unterschied zwischen Gasen und Dämpfen:Dämpfe sind Gase in der Nähe ihrer Verflüssigung. Man spricht von gesättigten Dämpfen,wenn bereits durch eine sehr geringe Temperaturerniedrigung oder Druckerhöhungeine Verflüssigung eintritt. Sonst spricht man von überhitzten Dämpfen; Gase sind starküberhitzte Dämpfe.Kontinuum:Als Modellvorstellung für ein Fluid dient das Kontinuum. Alle Fluideigenschaften wieDichte, Viskosität, Temperatur sind stetig verteilt. Dies schließt nicht aus, daß an definiertenFlächen auch sprunghafte Änderungen der Eigenschaften auftreten können (Diskontinuitätsflächen).Das Modell ist zulässig, solange die Abstände in den betrachteten Anwendungsfällen großsind im Vergleich zu den Abständen der Moleküle.- 5 -

KAPITEL B - Eigenschaften der FluideB.3 Dichteρ [kg/m 3 , t/m 3 ]Dichte ist die auf das Volumen bezogene Masse. Sie wird als stetige Eigenschaft jedem Punkt desKontinuums zugeordnet.Als Größenordnungen merke manWasser ∼ 1000 kg/m 3 = 1 t/m 3Meerwasser (Nordsee) ∼ 2,6% höher als SüßwasserLuft bei 20 o C ∼ 1,2 kg/m 3Die Dichte von Fluiden ändert sich mit Temperatur und Druckρ = ρ(p, T )dρ = ∂ρ ∂ρdp +∂p ∂T dT(B.1)dρρ= β T dp + β p dT (B.2)mit β T = 1 ρ∂ρ∂pund β p = 1 ρ∂ρ∂T(B.3)β T ist ein Kompressibilitätskoeffizient. Er beschreibt, wie groß die durch eine Druckerhöhung erzeugte,isotherme Dichteerhöhung ist.β p ist ein Wärmeausdehnungskoeffizient. Er beschreibt, wie groß die durch eine Temperaturerhöhungerzeugte, isobare Dichteerhöhung ist.Die Unterschiede zwischen Flüssigkeiten und Gasen sind nicht nur in der Dichte, sondern auch in denWerten für β p und β p sehr groß. Man vergleiche auch Abschnitt B.5.B.4 ZustandsgleichungSie beschreibt die Beziehung zwischen Druck, Dichte und Temperatur eines Fluids.Für Flüssigkeiten ist diese Beziehung nicht als Gleichung, sondern nur in tabellarischer Form angebbar.Dagegen ist z.B. Luft in dem für einen Bauingenieur wichtigen Druck- und Temperaturbereich in guterNäherung als ideales Gas beschreibbar:pρ = R T(B.4)dabei ist R die spezifische Gaskonstante; z.B. für Luft R = 287,04 [Nm/(kg K)]Mit Gl. (B.1) folgt aus ρ =pRTdρρ= dpp − dT T- 6 -

B.5. KompressibilitätVergleicht man mit Gl. (B.2), so giltβ T = 1/p und β p = −1/T .Wählt man einen Bezugszustand mit p 0 , ρ 0 und T 0 , so gilt p 0ρ 0= RT 0 .Setzt man daraus R in Gl. (B.4) ein, so folgtR = p 0ρ 0 T 0⇒ pρT = p 0ρ 0 T 0Eine Vereinfachung der Gleichung (B.4) folgt aus der Annahme, daß die Dichte sich ausschließlich ausdem Druck bestimmen läßt (barotropes Fluid).Die dafür häufig benutzte Form der polytropen Zustandsgleichung lautetpρ n = C mit dem Polytropenexponenten nund einer Konstanten C(B.5)Mit p = C · ρ n und dp/dρ = Cnρ n−1 = pn/ρfolgt dρρ = 1np dp .Ein Vergleich mit Gl. (B.2) zeigt, daß im polytropen Fallβ T = 1npund β p = 0 . (B.6)B.5 KompressibilitätE [N/m 2 ]Die Kompressibilität beschreibt die Dichte- (bzw. Volumen-) änderung aufgrund einer Druckänderungund wird somit durch den Beiwert β T in Gleichung (B.2) angegeben. Stattdessen wird aber oft auchder Kehrwert, nämlich der Volumenelastizitätsmodul verwendet.E = 1/β T(B.7)Wasser:Die Kompressibilität von Flüssigkeiten ist sehr gering, z.B. gilt für Wasser E ≈ 2 · 10 9 N/m 2 . Bis aufSonderfälle (Schallausbreitung unter Wasser, Druckwellenausbreitung in Rohrleitungen) wird sie inihrer Wirkung auf die Strömung vernachlässigt.Luft:Für Gase läßt sich die polytropische Zustandsgleichung und damit Gleichung (B.6a) anwenden:E = 1β T= np (B.8)- 7 -

KAPITEL B - Eigenschaften der FluideDer Zahlenwert des Polytropenexponenten n hängt davon ab, wie die Dichteänderung erzeugt wird,nämlichn = 1, 0 isotherm, d.h. bei gleichbleibender Temperaturn = 1, 4 adiabatisch, d.h. ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung.Etwas vereinfachend kann man sagen, daß eine sehr langsame Kompression derLuft in dem nebenstehenden Gefäß genügend Zeit für einen Wärmeaustausch mitder Umgebung gibt, sodaß die Temperatur der Luft konstant (isotherm) bleibt.Dagegen wird bei einer adiabatischen, im Regelfall schnelleren, Kompression derWärmeübergang durch die Wände vernachlässigbar sein, sodaß die Luft im Gefäßsich erwärmt.Zwischen diesen Grenzfällen gilt 1, 0 < n < 1, 4 . Als Größenordnung für Luft erhält man10 5 ≤ E ≤ 1, 4 · 10 5 [N/m 2 ]Luft ist also 20.000 mal so kompressibel wie Wasser, welches wiederum 100 mal so kompressibel wieStahl ist.B.6 Schallgeschwindigkeita[m/s]Aufgrund der Kompressibilität des Fluids ist eine Druckänderung dp immer mit einer Dichteänderungdρ verbunden. Beide pflanzen sich mit Schallgeschwindigkeit a fort, die sich wie folgt berechnen läßt:a =√dpdρ[m/s](B.9)Für Flüssigkeiten folgt hieraus und aus Gleichung (B.2) mit β p = 0 (barotrope Annahme)a =√1ρβ T=√Eρ .(B.10)Für Wasser bei 20 o C erhält man a = 1439 m/s.Für Gase folgt aus Gln. (B.10), (B.8) und (B.4)a =√n p ρ = √ nRT .Für Luft bei 0 o C erhält man mit n = 1,4 den Wert 332 m/s. Bemerkenswert ist, daß die Schallgeschwindigkeitzwar von der Temperatur, nicht aber vom Druck abhängt; sie ist in großer Höhe alsodie gleiche wie am Erdboden (gleiche Temperatur vorausgesetzt).- 8 -

KAPITEL B - Eigenschaften der FluideB.8 Spezifische Wärmec[Nm/(kg K)]Die spezifische Wärme c ist die Wärmemenge, die ein kg des Fluids um ein Grad erwärmt. Für Wasserbei 20 o C ist c = 4181 Nm/(kg K).Bei Gasen muß unterschieden werden zwischen c p und c v , d.h. spezifischer Wärme für Temperaturerhöhungbei konstantem Druck bzw. konstantem Volumen.So gilt für Luft bei 0 o C c p = 1005 Nm/(kg K) und c v = 718 Nm/(kg K).Für ein ideales Gas liefern Überlegungen aus der Thermodynamik die Beziehungen: R = c p − c v undn = c p /c v , mit der spezifischen Gaskonstanten R und dem Polytropenexponenten n; (n = 1,4 beiLuft).B.9 Innere Energieu[J/kg]Innere Energie eines Fluids ist der Energiegehalt der Molekülbewegung bezogen auf die Masseneinheitdes Fluids. Da thermodynamische Prozesse hier nicht behandelt werden, sei u vereinfacht verstandenals die pro Masseneinheit gespeicherte Wärmemenge. Für eine Flüssigkeit mit konstanter spezifischerWärme gilt dann ∆u = c ∆T .Im hier behandelten Zusammenhang interessiert ausschließlich der Verlust mechanischer Strömungsenergiedurch Flüssigkeitsreibung, was zu einem Zuwachs an innerer Energie führt.B.10 Dampfdruckp D[Pa]Bei atmosphärischem Druck siedet Wasser bei 100 o C, auf einem hohen Berg aber schon bei etwasniedrigerer Temperatur. Umgekehrt läßt sich eine Flüssigkeit zur Verdampfung bringen, indem beifestgehaltener Temperatur der Absolutdruck unter den Dampfdruck abgesenkt wird. Dieser ist starktemperaturabhängig; bei Wasser ist z.B.P D = 1, 01 · 10 5 Pa = 1,01 bar bei 100 o CP D = 0, 20 · 10 5 Pa = 0,20 bar bei 60 o C undP D = 0, 02 · 10 5 Pa = 0,02 bar bei 20 o C.Sinkt in einer Flüssigkeit der Druck unter Dampfdruck, so bilden sich Dampfblasen, sodaß der Drucknicht weiter fallen kann. Diese Blasen beginnen ihr Wachstum an sogen. Keimen, das sind kleinsteGasbläschen, die an Schwebstoffteilchen oder an der Behälterwand angelagert und in technischenFlüssigkeiten immer vorhanden sind. Nur in sorgfältigen Labormessungen mit keimfreiem Wasser istes gelungen, auch Zugspannungen in Flüssigkeiten zu erzeugen.- 10 -

B.11. Oberflächenspannung und KapillaritätMerke:Der minimale Druck in einer Flüssigkeit ist der Dampfdruck. Im Wasser mit Raumtemperaturliegt er bei etwa 0, 02 · 10 5 Pa Absolutdruck. Zugspannungen treten in Flüssigkeitennicht auf.Die durch Druckabsenkung erzeugte Dampfblasenbildung in Flüssigkeiten nennt manKavitation.B.11 Oberflächenspannung und KapillaritätUrsache für die Oberflächenspannung sind Kohäsionskräfte, mit denen sich die Teilchen einer Flüssigkeitgegenseitig anziehen. Im Inneren einer Flüssigkeit wirken diese Kräfte gleichmäßig nach allenSeiten, sodaß keine resultierenden Kraftwirkungen auftreten. An der Flüssigkeitsoberfläche in einerSchicht mit der Dicke, die gleich dem Wirkungsradius der Anziehungskraft der Flüssigkeitsteilchenist, treten dementsprechend Kraftwirkungen auf, die ins Innere der Flüssigkeit gerichtet sind. DieseKraft, bezogen auf die Flächeneinheit, wird als Kohäsionsdruck bezeichnet.Soll ein Teilchen aus dem Flüssigkeitsinneren an die Oberfläche gelangen und damit eine Vergrößerungder Oberfläche bewirken, muß entlang seinem Weg Arbeit gegen den Kohäsionsdruck verrichtet werden.Die aufzuwendende Arbeit, bezogen auf den Zuwachs der Oberfläche, ist die Oberflächenspannung σ .σ = ArbeitFlächein[ ] N mm 2=[ Nm]An der Oberfläche verbleiben nur so viele Teilchen, wie zur Bildung einer minimalen Oberflächebenötigt werden. Dabei stellt sich die Oberfläche so ein, als wäre darüber eine dünne Membran gespannt.Das beschriebene Verhalten findet man auch an Grenzflächen zwischen zwei Flüssigkeiten, diesich nicht mischen.Im allgemeinen spielen die Oberflächenspannungskräfte in der Hydromechanik eine untergeordneteRolle, da andere wirkende Kräfte, wie z.B. die Schwerkraft und die Trägheits- bzw. Reibungskräfte,um ein Vielfaches größer sind.Technische Bedeutung erlangt die Oberflächenspannung bei der Untersuchung des Verhaltens vonFlüssigkeiten in engen Kapillaren. Berührt die Flüssigkeit einen festen Körper, so werden die Moleküleder Flüssigkeit in der Grenzfläche von den Molekülen in der festen Wand angezogen. Dieses- 11 -

KAPITEL B - Eigenschaften der FluidePhänomen nennt man Adhäsion. Sind die Adhäsionskräfte größer als die Kohäsionskräfte der Flüssigkeitund des darüber befindlichen Gases, so bildet sich eine konkave Flüssigkeitsoberfläche aus,und diefeste Wand wird benetzt (Wasser-Luft). Im umgekehrten Fall wird die feste Wand nicht benetzt, undes bildet sich eine konvexe Flüssigkeitsoberfläche aus (Quecksilber- Luft).Bei einer ebenen Flüssigkeitsoberfläche heben sich alle Kräfte, die aus der Oberflächenspannung resultieren,in der Flächenebene auf. Ist die Flüssigkeitsoberfläche gekrümmt, entsteht eine resultierendeKraft senkrecht zur Flüssigkeitsoberfläche. Diese Kraft pro Flächeneinheit wird als Kapillardruck p kapbezeichnet.Ein differentiell kleines Element der gekrümmten Flüssigkeitsoberfläche dA werde begrenzt durch dieLinienelemente ds 1 und ds 2 , die zwei senkrecht zueinander stehenden Schnitten mit den Krümmungsradienr 1 und r 2 zugeordnet sind.Die geometrische Summe aller am differentiellen Flächenelement dA angreifenden Oberflächenspannungskräfteliefert die resultierende Kraft dF .dF = 2σds 1 sin dα 22 + 2σds 2 sin dα 12Der Kapillardruck ergibt sich dann zu:⎛p kap = dFdA = 2σ sin dα 1sin dα ⎞2⎜ 2⎝ + 2⎟ds 1 ds ⎠ 2- 12 -

B.11. Oberflächenspannung und KapillaritätFür kleine Winkel α 1 und α 2 ist der Sinus des Winkels annähernd gleich dem Argument selbst.( dα1p kap = σ + dα )2ds 1 ds 2Mit ds = rdα folgt dann die erstmals von Laplace angegebene Beziehung für den Kapillardruck.p kap = σ(1/r 1 + 1/r 2 )Angenommen werde eine kreisrunde Kapillare (Haarröhrchen) mit dem Durchmesser d kap und einehalbkugelförmige Gestalt der Flüssigkeitsoberfläche. Mit r 1 = r 2 = d kap /2 ergibt sich der Kapillardruckzu:p kap =4σd kapAm unteren Ende einer eingetauchten, beiderseits offenen Kapillare muß der Druck von außen undvon innen her gleich groß sein.Nach dem Gesetz der hydrostatischen Druckverteilunggilt dann:ρg(h − h kap ) = ρgh − p kapDaraus folgt die kapillare Steighöhe h kapkreisrunde Kapillaren.fürh kap =4σρg d kapWerte für σ bei 20 o C [N/m]Wasser gegen Luft 0,075Öl gegen Luft 0,025 - 0,030Quecksilber gegen Luft 0,472- 13 -

KAPITEL B - Eigenschaften der FluideB.12 StoffwerteNormalatmosphäre: bei T0 = 288, 15 K ist p0 = 10, 13 · 10 4 N/m 2 = 1, 013 bar(entspricht dem Druck einer 10,33 m hohen Wassersäule)Stoff Temp. Dichte Elastizitäts- Spezifische Schallgeschwin- Dynamische Kinematische Dampfdruck Oberflächen- Spezifischemodul Wärme digkeit Zähigkeit Zähigkeit absolut spannung GaskonstanteT ρE = −∆p V ∆V= −∆p ρ ∆ρFlüss. : cGase : cp, cvFlüss. : a = √ E/ρGase : a =√cpRTcvη ν (ν = η/ρ) pD σ R = cp − cvo C kg/m3MPa ˆ=10 6 N/m 2 Nm/(kg K) m/s kg/ms m 2 /s hPa N/m Nm/(kg K)Wasser 0 999,8 1930,2 4205,8 17,80·10 −4 1,780·10 −6 6,120 998,2 2064,0 4181,1 1439 10,00·10 −4 1,000·10 −6 23,3 0,07340 992,2 4177,4 6,52·10 −4 0,657·10 −6 73,760 983,2 4,70·10 −4 0,478·10 −6 199,280 971,8 3,56·10 −4 0,366·10 −6 199,2100 958,3 2,82·10 −4 0,294·10 −6 1013,2Meerwasser 0 1,834·10 −64% Salzgeh, 20 ≃ 1026 1,360·10 −6(Nordsee) 40 1,058·10 −6Meerwasser ≃ 10071% (Ostsee)0 1,29 1004,5 717,76 332 0,168·10 −4 13,0·10 −6 287,04Luft 20 1,21 0,179·10 −4 14,9·10 −6bei 1 bar 40 1,12 0,191·10 −4 17,0·10 −660 1,06 0,203·10 −4 19,2·10 −680 0,99 0,215·10 −4 21,7·10 −6100 0,94 0,229·10 −4 24,5·10 −6Glyzerin 20 1261 680·10 −6Quecksilber 0 13595 1431 16,89·10 −4 0,125·10 −6 0,461100 13351 12,40·10 −4 0,093·10 −6- 14 -

Kapitel CFluide im Gleichgewicht- 15 -

KAPITEL C - Fluide im GleichgewichtGleichgewicht heißt: Keine gegenseitige Verschiebung der Fluidteilchen. Das Fluid ist im Ruhe- oderBewegungszustand (s. Abb. unten) bezüglich seiner Gestalt starr.Die Aerostatik (Gleichgewicht von Gasen) sei im folgenden nicht behandelt, sondern nur die für Bauingenieurewichtigere Hydrostatik (Gleichgewicht von Flüssigkeiten). Sie findet ihre Hauptanwendungbei der Berechnung von Kräften auf Bauwerke und Behälter.ruhendes Gefäß beschleunigtes Gefäß sich drehender BehälterC.1 Druck als skalare GrößeDenkt man sich aus einem Fluid ein Teilchen herausgeschnitten (Eulersches Schnittprinzip), so werdenauf dessen Oberfläche von dem umgebenden Fluid Kräfte ausgeübt, die, auf eine Flächeneinheitbezogen, innere Spannungen sind.In festen Körpern treten Normal- und Schubspannungen auf, während in Fluiden, durch deren Viskosität(Zähigkeit) bedingt, Schubspannungen nur infolge anhaltender Relativbewegung der Teilchenvorhanden sein können.Normalspannungen in Fluiden sind immer Druckspannungen, da Zugspannungen im allgemeinen nichtübertragen werden können (s. Abschn. B.10).Fluide im Gleichgewicht bedeutet: Keine gegenseitige Verschiebung der Fluidteilchen, daher keineSchubspannungen. Folglich gilt:Satz 1:Im Gleichgewicht haben Fluide keine Schubspannungen.Die Druckkraft auf ein Flächenelement steht senkrecht auf diesem.Satz 2:Im Gegensatz zur Festigkeitslehre und Strömungslehreviskoser Fluide (Flüssigkeitsreibung!) gilt in der Hydrostatikder für die weiteren Ableitungen grundlegendeSatz 2.Der Druck an einem Punkt im Fluid ist unabhängig von der Richtung; er ist eine skalareGröße. ∗Dieser Satz wird zunächst für den ebenen Fall bewiesen und dann auf den räumlichen Fall übertragen.∗ Blaise Pascal (1623-1662, Frankreich) entwickelt das Prinzip der Hydraulischen Presse als Analogon zu den Hebelgesetzen.Das Pascalsche Prinzip besagt, daß sich in einer stehenden Flüssigkeit, die einen Behälter ausfüllt, eineDruckänderung überall in der Flüssigkeit und an den Behälterwänden gleichzeitig und gleich groß auswirkt.Pascals Flüssigkeitsmaschine zur ”Vermehrung der Kraft“- 16 -

C.2. Hydrostatisches GleichgewichtAm Element wirkende Kräfte:- innere Spannungen * Fläche(nur Normalspannungen (Satz 1)),- Massenkräfte · Masse(Massenkräfte (Kräfte/Masse) sind z.B. Erdbeschleunigung,Zentrifugalbeschleunigung, etc.); imBild nicht eingezeichnet.Kräfte-Gleichgewicht in x- und z-Richtung:−σ x dzdy + σ n dsdy cos θ + f x dm = 0−σ z dxdy + σ n dsdy sin θ + f z dm = 0mit cos θ = dz dx, sin θ =ds dsund dm = 1 2 ρ dxdydz−σ x + σ n + 1 2 ρf xdx = 0−σ z + σ n + 1 2 ρf zdx = 0(der Masse des Elements) folgtDer Grenzübergang dx, dy, dz, → 0 ergibt die Spannungen in einem Punkt.σ n = σ x = σ yσ n = σ x = σ y = σ z = σund für den räumlichen Fall erhält manDie Spannungen sind also beim im Gleichgewicht befindlichen Fluid richtungsunabhängig und stellensomit eine skalare Größe dar; da es sich nur um Druckspannungen handelt, setzt man diese positiv:σ = −pMerke:Fluid im Gleichgewicht ❀ keine gegenseitige Verschiebung der Fluidteilchen❀ keine Schubspannungen ❀ Druck richtungsunabhängig (skalare Größe)C.2 Hydrostatisches GleichgewichtAuf das Fluidelement mit der Masse dm = ρ dxdydzwirken:- Druckkräfte (innere Spannungen als Oberflächenkräftegemäß Schnittprinzip und Sätzen 1, 2)Gleichgewicht am Element in x-Richtung- Massenkräfte (auf Masseneinheit bezogene eingeprägteKräfte, die bei fehlendem Gleichgewichteine Beschleunigung der Masse bewirkenwürden, also Schwerkraft und in bewegten Systemend’Alembertsche Trägheitskräfte)- 17 -

KAPITEL C - Fluide im GleichgewichtBezeichnungen:p(x, y, z)⃗f = (f x , f y , f z )dreidimensionales, skalares Druckfeld(Druck = Kraft/Fläche)Massenkraft (=Kraft/Masse = Beschleunigung)als dreidimensionales VektorfeldGleichgewicht der Kräfte in x-Richtung:pdydz(− p + ∂p )∂x dx dydz +f x dm = 0− ∂p∂x dxdydz +f xρ dxdydz = 0∂p∂x= ρf x(y- und z-Richtung analog)Vektordarstellung:( ∂p∂x , ∂p∂y , ∂p )∂z= ρ (f x , f y , f z ) bzw. grad p = ρ ⃗ f (C.1)Eine Flüssigkeit ist im hydrostatischen Gleichgewicht, wenn in jedem Punkt (x, y, z) der Gradient desDruckfeldes p(x, y, z) gleich der mit der Dichte multiplizierten Massenkraft ist. ∗Eine allgemeinere Anwendung dieser Beziehung erfolgt in Abschnitt C.8, wo relativ ruhende Flüssigkeitenin beschleunigten Gefäßen betrachtet werden.In den folgenden Abschnitten C.3 bis C.7 werden speziell Flüssigkeiten unter ausschließlicher Schwerkraftwirkungbehandelt.C.3 Hydrostatische Druckverteilung in Flüssigkeitenruhende Flüssigkeit: es wirkt nur die Schwerkraftf x = 0 ❀ ∂p∂x = 0f y = 0 ❀ ∂p∂y = 0f z = g ❀ ∂p∂z = ρg ❀dpdz = ρg∗ Voraussetzung ist, daß die Massenkraft ein Potential besitzt, wie dies z.B. bei der Schwerkraft der Fall ist. Siehez.B.: Truckenbrodt, E.: Fluidmechanik; Band 1, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1980- 18 -

C.3. Hydrostatische Druckverteilung in Flüssigkeitenhomogene Flüssigkeit: Dichte ρ = const., d.h. keine Dichteunterschiede infolge Temperatur, Druck,Salzgehalt usw.∫ p 1p 0dp =∫ h0ρg dzp 1 − p 0 = ρghp 1 = p 0 + ρgh(C.2)p 1 : absoluter Druck am Punkt 1p 0 : atmosphärischer Druck auf die Wasseroberflächeρgh: Überdruck = absoluter Druck minus atmosphärischer DruckMan betrachte die Gewichtskraft dG einer Wassersäule der Höhe h und der Grundfläche dA :dG = ρgh dA;dann beträgt der Druck am Bodenp = dG/dA = ρ gh.(p = dG/dA gilt nur für Säulen, vergleiche hydrostatisches Paradoxon, siehe Abschnitt C.4!)Satz 3:Der Druck in der Tiefe h unter dem Wasserspiegel ist gleich dem Druck über demWasserspiegel und der Gewichtskraft pro Fläche der darüber liegenden Wassersäule.Darstellung der hydrostatischen DruckverteilungDer Druck der Normalatmosphärep 0 = 1, 013 barentspricht dem Gewicht einer Wassersäule mit der Höhe:p 0ρg =1, 013 bar1000 kgm 3 9, 81 m s 2= 10, 33 mBei der Berechnung von Druckkräften und Druckverteilungen ist es zweckmäßig, mit dem Überdruckstatt mit dem absoluten Druck zu arbeiten, da der atmosphärische Druck ohnehin auf beide Seiteneiner Behälterwand wirkt und sich dadurch aufhebt. In den folgenden Abschnitten C.4 - C.8 bezeichnetp deshalb immer den Überdruck.- 19 -

C.4 Hydrostatischer Druck auf horizontale BödenKAPITEL C - Fluide im GleichgewichtDruck am Boden : p = ρghDruckkraft auf die Bodenfläche A: pA = ρghA(hydrostatisches Paradoxon: ∗ Die Druckkraft auf den Boden kann wesentlich kleiner oder größer alsdas Gewicht des Wassers sein.)∗ Simon Stevin (1548 - 1620, Holland) entwickelte fast 2000 Jahre nach Archimedes die Hydrostatik weiter. Erberechnete den Bodendruck in Gefäßen und erklärte das hydrostatische Paradoxon:In das Wasser ABCD seien ein fester Körper oder mehrere feste Körper vom gleichen spezifischen Gewicht wie das”Wasser eingetaucht. Dies sei in der Weise geschehen, daß nur das Wasser IKFELM übrigbleibt. Wenn das so ist, dannbe- oder entlasten die Körper die Fläche EF nicht mehr, als es zuvor das Wasser tat. Deshalb sagen wir. . ., daß aufder Fläche EF ein Gewicht lastet, das gleich der Schwere des Wassers ist, das das Volumen des Prismas hat, dessenGrundfläche EF ist und dessen Höhe der Abstand der Ebenen durch MI und EF ist.“Entsprechend begründete er, daß im rechten Bild die auf die Fläche EF wirkende Kraft vom Betrag gleich der immittleren Bild auf die Fläche EF wirkenden Kraft ist, von der Richtung aber entgegengesetzt.Wäre das nicht so, so würde der geringere Druck dem stärkeren nachgeben, was aber nicht sein kann, denn nach. . .”bleibt alles an seinem Platze.“Gedankenmodelle von Stevin- 20 -

C.5. Hydrostatischer Druck auf ebene geneigte FlächenC.5 Hydrostatischer Druck auf ebene geneigte FlächenSDFSchwerpunkt von ADruckmittelpunktresultierende DruckkraftZu bestimmen sind:1.) Druckverteilung auf die Fläche2.) Betrag der resultierenden Druckkraft3.) Wirkungslinie der resultierenden DruckkraftDruckkraft dF auf ein Flächenelement dA:dF = p dA = ρgh dA = ρgy sin θ dAGesamtdruckkraft F :F =∫Ap dA =∫A∫ρgh dA = ρgAh dA = ρgh S A = p S Amit der Tiefe des Flächenschwerpunktes S: h S = − 1 Aund P S als Druck im Schwerpunkt S∫Ah dA(C.3)Satz 4:Die Druckkraft auf eine geneigte Ebene ist gleich dem Produkt aus Druck im Flächenschwerpunktund Fläche.Die Wirkungslinie der Druckkraft schneidet die Fläche im Druckmittelpunkt D. Er muß stets tiefer alsder Schwerpunkt der Fläche liegen (siehe Druckverteilung).- 21 -

KAPITEL C - Fluide im GleichgewichtMoment um x-Achse:y D F =mit∫A∫yp dA = ρgh = y sin θA∫yh dA = ρg sin θAy 2 dAF = ρgh S A = ρg sin θ y S A∫und y 2 dA = I x (Flächenträgheitsmoment bezüglich der x-Achse [m 4 ])y D ρg sin θ y S A = ρg sin θ I xAy D = I xy S AI x = I ξ + Ay 2 S Steinerscher Satz. (I ξ Flächenträgheitsmoment bezüglichder zur x parallelen Schwerachse ξ [m 4 ])Damit folgt schließlich die y-Koordinate des Druckmittelpunktes D:y D =I ξy S A + y Sbzw.h D = I ξy S A sin θ + y S sin θ= I ξh S A sin2 θ + h S(C.4)- Offensichtlich ist y D > y S .Moment um y-Achse:x D F =∫A∫xp dA = ρgA∫xh dA = ρg sin θAxy dAF = ρgh S A = ρg sin θ y S A∫und xy dA = I xy (Zentrifugalmoment bezüglich der x- und y-Achse [m 4 ])x D ρg sin θ y S A = ρg sin θ I xyAx D = I xyy S AI xy = I ηξ + Ax S y S Steinerscher Satz. (I ηξ Zentrifugalmoment bezüglichder zu x und y parallelen Schwerachsen ξ und η [m 4 ])Damit folgt die x-Koordinate des Druckmittelpunktes D:x D =I ηξy S A + x S bzw. x D = I ηξh S A sin θ + x S(C.5)- Es ist I ηξ = 0 und damit x D = x S , wenn die Fläche symmetrisch zur η- und/oder ξ-Achse ist.- Mit zunehmender Tiefenlage der Fläche verringert sich der Einfluß der Flächenwerte A, I ξ undI ηξ auf die Lage des Druckmittelpunktes, wie aus Gleichungen (C.4) und (C.5) für y S → ∞leicht ersichtlich ist. Im Grenzfall fallen Druckmittelpunkt und Schwerpunkt zusammen.- 22 -

防 でも 概 略 調 査 や 詳 細 調 査 に 組 入 れるものとする。踏 査 の 内 容 は 主 として 目 視 観 察 であるが、 現 地 チェックとして 簡 易に 行 なえるコーンペネトロメータによる 表 層 土 のサウンディング 調 査やハンドスコップ,ハンドオーガー 等 による 試 料 採 取 を 行 って 土 の 観察 を 行 なうことも、 時 により 必 要 である。さらに 観 察 した 代 表 的 な 試料 について、 粒 度 試 験 や 自 然 含 水 比 などの 土 質 試 験 を 実 施 しておくと、現 地 観 察 による 判 断 がより 確 実 なものとなる。現 地 踏 査 において、 観 察 すべき 事 項 は 次 のとおりで、その 結 果 は 資料 調 査 結 果 をとりまとめた 平 面 図 や 断 面 図 に 追 加 記 載 し、 予 備 調 査 の総 合 判 断 として 記 述 する。1 既 設 堤 防 の 高 さ, 天 端 幅 ,のり 勾 配 , 護 岸 , 裏 のり 尻 等 の 断 面 形 状2 表 層 の 土 質3 植 生 , 護 岸 等 の 表 面 保 護 状 況4 堤 外 地 の 状 況 ( 高 水 敷 , 低 水 護 岸 , 低 水 路 , 水 制 など)5 堤 内 地 の 状 況 ( 堤 内 排 水 , 堤 内 地 地 盤 高 , 土 地 利 用 状 況 など)6 堤 防 の 縦 断 的 , 横 断 的 な 沈 下 状 況 の 有 無7 堤 防 の 被 災 箇 所 での 痕 跡 状 況8 のり 崩 れ, 亀 裂 , 漏 水 跡 , 洗 掘 跡 , 水 防 活 動 跡9 構 造 物 の 変 状 状 況 と 構 造 物 周 辺 の 堤 防 の 変 状 状 況構 造 物 周 辺 の 堤 防 は、 堤 防 と 構 造 物 の 沈 下 の 違 いにより 生 じる 空 洞やクラックおよびゆるみ 等 が 原 因 で、 洪 水 時 に 漏 水 や 破 壊 に 至 ることもあり、 堤 防 の 弱 点 箇 所 に 最 もなりやすい。したがって、 拡 築 工 事 の 対 象 区 域 にある 既 設 構 造 物 が 何 らかの 変 状をきたしているか、 構 造 物 周 辺 の 堤 防 などに 何 らかの 変 状 をきたしているかを 観 察 することは 非 常 に 重 要 である。表 2.3.1 に 構 造 物 がある 場 合 の 現 地 踏 査 のポイントを 示 しておく。- 41 -

KAPITEL C - Fluide im GleichgewichtInterpretation der GleichungenTreppenanalogon (dargestellt für eine vertikal gekrümmte Fläche konstanter Breite)Satz 5:Bei vertikal gekrümmten Flächen errechnet sich die- Horizontalkomponente der Druckkraft aus der Druckverteilung auf eine gedachte vertikaleFläche, die sich aus der Horizontalprojektion der wirklichen Fläche ergibt,- Vertikalkomponente der Druckkraft als Gewicht des über der Fläche stehenden odergedachten Flüssigkeitskörpers.Ergänzende Beispiele zu Satz 5Entgegengesetzte Horizontal komponenten:Die Wirkungslinien der Druckkräfte F H1 , F H2 und F H gehen durch den Schwerpunkt der entsprechenden,durch die Druckverteilung gebildeten Fläche, bzw. durch den Druckmittelpunkt der projiziertenWandfläche (siehe Abschnitt C.5).- 24 -

C.6. Hydrostatischer Druck auf gekrümmte FlächenEntgegengesetzte Vertikal komponenten:Die horizontale Druckkomponente F HHorizontalprojektion der Wand.ergibt sich aus der dreieckförmigen Druckverteilung an derF H = 1 2 · ρgh · h = 1 2 ρgh2(C.7)Die Wirkungslinie von F H geht durch den Schwerpunkt der Dreiecksfläche.Längs (1)-(2) ist die Vertikalkomponente der Druckkraft nach oben gerichtet. Der Druck ist an jedemPunkt gleich ρgz, sodaß die Resultierende F V 1 wieder gleich dem Gewicht des über der Flächestehenden (gedachten) Wasserkörpers ist. Längs (2)-(4) ergibt sich die nach unten gerichtete KraftkomponenteF V 2 . Die Wirkungslinien von F V 1 und F V 2 gehen jeweils durch den Schwerpunkt desentsprechenden Wasserkörpers.Die über dem Wandstück (2)-(3) befindlichen Flächenanteile der entgegengesetzt gerichteten Druckverteilungenheben sich auf, sodaß in der Überlagerung das von der Wand (1)-(2)-(3) eingeschlosseneund über der Wand (3)-(4) liegende Flächenstück verbleibt (siehe Skizze). Somit entstehen zwei neueResultierende F V a und F V b , deren Wirkungslinien wieder durch die Schwerpunkte der entsprechendenFlächen gehen.Es sind nun zwei Fälle zu unterscheiden:Falls F V a ≠ F V b , existiert eine resultierende Vertikalkomponente.Falls F V a = F V b , ist die Resultierende gleich Null, es verbleibt aber ein Moment.- 25 -

KAPITEL C - Fluide im GleichgewichtDie Kraft F V a beinhaltet einen Auftriebseffekt, der durch eine Wasserverdrängung infolge Wandwölbunghervorgerufen wird, wie in dem folgenden Beispiel unmittelbar ersichtlich ist.Bei dreidimensional gekrümmten Flächen sind ganz analog die Vertikalkomponente F z = F V und zweiHorizontalkomponenten F x und F y zu ermitteln, wobei die Wirkungslinien dieser Komponenten imallgemeinen nicht durch einen Punkt gehen, d.h. sie bilden ein Moment. (Daß im zuvor betrachtetenzweidimensionalen Fall ein Moment anstelle einer Vertikalkomponente verbleibt, stellt dagegen einenseltenen Ausnahmefall dar.)Bei Zylinder- und Kugelflächen geht die resultierende Druckkraft durch den Mittelpunkt (Begründung!?).C.7 Hydrostatischer Auftriebinhomogener Körper:GF AρVmgeht durch den Körperschwerpunktgeht durch den Schwerpunkt derverdrängten WassermengeMasse des verdrängten Wasservolumens VKörpermasseSatz 6:(Archimedes ∗ ) Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdrängten Wassermenge.∗Die hydraulische Schraubedes ArchimedesArchimedes(287 - 212 v.Chr.), der größte Mathematiker des Altertums,entdeckte das Auftriebsgesetz und die Gesetze der Schwimmstabilität (Kippsicherheitschwimmender Körper), denen die nachfolgenden zwei Jahrtausendewenig hinzuzufügen hatten. Ebenso bekannt ist seine Berechnung von Kreisund Kugel und damit der Zahl π. Von ihm selbst viel weniger geachtet warenseine ”Ingenieurleistungen“, z.B. die hydraulische Schraube, Kriegsmaschinenzur Verteidigung von Syrakus, etc.- 26 -

KAPITEL C - Fluide im GleichgewichtBeispiel 2Ein mit Flüssigkeit gefülltes Gefäß wird mit konstanter Beschleunigung in x-Richtung bewegt. Auf dieFlüssigkeitsteilchen wirkt die Schwerkraft sowie die d’Alembertsche Trägheitskraft entgegengesetztzur Beschleunigung.⃗f =⎧⎪⎨⎪⎩f xf yf z⎫⎪ ⎬⎪ ⎭=⎧⎪⎨⎪⎩−a0−g⎫⎪⎬⎪⎭Beispiel 3 ∗Ein mit Flüssigkeit gefülltes Gefäß dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Unter der Voraussetzung,daß sich Flüssigkeit und Gefäß zueinander in relativer Ruhe befinden, wirkt auf die Flüssigkeitsteilchendie Schwerkraft und die d’Alembertsche Trägheitskraft als Reaktion auf die zum Drehzentrumhin gerichtete Zentrifugalbeschleunigung.Zweckmäßigerweise verwendet man hier Zylinderkoordinaten.⎧⎫⎨⎬⃗f =⎩f rf z⎫⎬⎭ = ⎧⎨⎩ω 2 r−g⎭Totales Differential des Druckes, d.h. Änderung des Druckes bei vorgegebener Ortsänderung ⃗ ds =(dx, dy, dz), d.h. beim Übergang vom Punkt x, y, z zum Punkt x + dx, y + dy, z + dz:p = p(x, y, z) dreidimensionales Druckfelddp = ∂p(∂p ∂p ∂pdx + dy +∂x ∂y ∂z dz = ∂x , ∂p∂y , ∂p )· (dx, dy, dz)∂z∗ Lexis Claude Clairot (1713 - 1765), französischer Mathematiker, vollendete die Hydrostatik, indem er das hydrostatischeGleichgewichtsprinzip entwickelte und auf drehende Behälter anwendete.- 28 -

frei für Notizen

Kapitel DKinematik der Strömungen- 33 -

KAPITEL D - Kinematik der StrömungenD.1 Geschwindigkeit, Bahn-, Strom-, Streich- und ZeitlinieStrömungsmechanik ist die Lehre von Bewegung und Kräftegleichgewicht der Fluide, wobei die einzelnenMassenteilchen im Zeitablauf große gegenseitige Verschiebungen erfahren, sodaß ein Zusammenhaltder Gesamtmasse wie bei den festen Körpern nicht mehr gegeben ist. Demgemäß erfordert diegesetzmäßige Erfassung strömender Fluide besondere Betrachtungsweisen.Bei der Lagrangeschen ∗ Betrachtungsweise faßt man zu einem Zeitpunkt t 0 das Fluid aus punktförmigenEinzelmassen zusammengesetzt auf und verfolgt den anschließenden Bewegungsablauf jedes einzelnenMassenelementes zur Zeit t > t 0 . Die Lage eines Teilchens wird• zum Zeitpunkt t 0 durch den Ortsvektor ⃗r 0 = (x 0 , y 0 , z 0 )• und danach zeitabhängig durch den Ortsvektor ⃗r = ⃗r(⃗r 0 , t) = (x(⃗r 0 , t), y(⃗r 0 , t), z(⃗r 0 , t)) dargestellt.Verfolgt man den Weg eines Fluidteilchens,so entsteht eine Bahnlinie, die als Zeitaufnahmeeines markierten Teilchens angesehen werden kann. ImZeitintervall dt wird längs dieser Bahnlinie der Wegd⃗s = ⃗r(t + dt) − ⃗r(t) = d⃗rzurückgelegt.Daraus erhält man die Geschwindigkeit des betrachteten Teilchens zum Zeitpunkt t an der Stelle⃗r = ⃗r(⃗r 0 , t):d⃗rdt = d⃗sdt = ⃗v(⃗r 0, t) = (v x , v y , v z )(D.1)Der Geschwindigkeitsvektor muß die Bahnlinie natürlich tangieren. Ist umgekehrt die Geschwindigkeitgegeben, so kann die neue Lage ⃗r(⃗r 0 , t 1 ): eines Fluidteilches zum Zeitpunkt t 1 berechnet werden:∫x 1d⃗s = ⃗vdt ⇒ (dx, dy, dz) = (v x dt, v y dt, v z dt) ⇒x 0dx = x 1 − x 0 =∫ t 1t 0v x dt ⇒ x 1 = x 0 +∫ t 1∫ t 1y 1 = y 0 + v y dtt 0v x dt (D.2)t 0∫ t 1z 1 = z 0 + v z dtt 0∗ Johann Louis Lagrange (1763 - 1813, Frankreich), Mathematiker und theoretischer Mechaniker. Er führte dasGeschwindigkeitspotential und die Stromfunktion (siehe Skript Strömungsmechanik II) in die Hydromechanik ein. Außerdemleitete er die Gleichung für die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit in offenen Gerinnen ab). Die oben erwähnteLagrangesche Betrachtungsweise geht allerdings auf Euler zurück.- 34 -

D.1. Geschwindigkeit, Bahn-, Strom-, Streich- und ZeitlinieBei Lagrangescher Betrachtungsweise erhält man die Beschleunigung aus der Ableitung der Geschwindigkeitnach der Zeit bei festgehaltenem r 0 , d.h. aus der partiellen Ableitung ∂⃗v∂t . Wendetman auf ein Massenteilchen das Newtonsche Grundgesetz (Kraft = Masse * Beschleunigung) an,so ergeben sich die Lagrangeschen Gleichungen der Strömungsmechanik, deren Lösung jedoch imallgemeinen auf größere mathematische Schwierigkeiten stößt.Deshalb wird man in der Regel die wesentlich vorteilhaftere Eulersche ∗ Betrachtungsweise anwenden,die das individuelle Schicksal“ der Massenteilchen unbeachtet läßt, und stattdessen danach fragt,”welche Geschwindigkeit (und andere Größen) an einem festgehaltenen Ort zu jedem Zeitpunkt t herrschen.Die strömungsmechanischen Größen werden also nicht den Fluidteilchen, sondern den Punkten(x, y, z, t) des Raum-Zeit-Kontinuums zugeordnet. Man kommt somit zu einer Feldbetrachtung zubestimmten Zeitpunkten. So gibt es z.B. Geschwindigkeits- und Druckfelder.Das Geschwindigkeitsfeld ist ein Vektorfeld, das sich in einem Versuch sichtbar machen läßt:Hierzu werden einem strömenden Fluid Schwebstoffteilchen zugesetzt und zum Zeitpunkt t mit einerBelichtungsdauer ∆t“ fotografiert. Auf dem Foto hinterlassen die Schwebstoffteilchen Spuren der”Länge ∆s, die je nach Ausgangslage (x, y, z) unterschiedliche Länge und Richtung aufweisen. Darausergeben sich die Geschwindigkeiten in bekannter Weise:v(x, y, z, t) =lim∆t→0∆s∆t = dsdt(D.3)Im Gegensatz zur Lagrangeschen Betrachtungsweisewird der weitere Weg derSchwebstoffteilchen nicht mehr verfolgt, danur die ”Feldaufnahme“ zu den einzelnenZeitpunkten t ermittelt werden soll.Verschiebung eines SchwebstoffteilchensZur anschaulichen Darstellung des Geschwindigkeitsfelds werden Stromlinien eingeführt. Darunterversteht man Linien, die an jeder Stelle des Strömungsgebietes in der Richtung der dort herrschendenGeschwindigkeit verlaufen, d.h. die Geschwindigkeitsvektoren tangieren die Stromlinien.Der Stromlinienverlauf läßt sich (für einen bestimmten Zeitpunkt t) aus dem Geschwindigkeitsfeld⃗v(x, y, z) = (v x , v y , v z ) ableiten. Geschwindigkeitsvektor ⃗v und Wegelement d⃗s auf der Stromliniesind in einem betrachteten Punkt parallel:⃗v × d⃗s = ⃗0 = (0, 0, 0)(D.4)(⃗v und d⃗s spannen bei Parallelität keine Parallelogrammfläche auf, sodaß das Vektorprodukt gleich∗ Leonhard Euler (1707 - 1783), Schweizer Mathematiker mit bahnbrechenden Leistungen in allen Bereichen derMathematik und Mechanik. Er vollendete die Grundlagen der klassischen Hydromechanik der Flüssigkeiten und kompressiblenGase. Genannt seien seine exakte Begriffsbildung für den Druck und das Eulersche Schnittprinzip. Sie ermöglichtenihm die Anwendung des Newtonschen Gesetzes auf ein Flüssigkeitsteilchen (s. Kapitel F) und daraus die Ableitungder ebenfalls nach ihm benannten Grundgleichungen der Hydromechanik; das sind: partielle Differentialgleichungen zurBeschreibung der idealen Strömung, deren Integration längs einer Stromlinie wiederum zur Bernoulli-Gleichung führt.- 35 -

KAPITEL D - Kinematik der Strömungendem Nullvektor ist.)⃗v × d⃗s =⃗e x ⃗e y ⃗e zv x v y v zdx dy dz= (v y dz − v z dy, −v x dz + v z dx, v x dy − v y dx)Aus der Bedingung ⃗v × d⃗s = ⃗0 ergeben sich drei Differentialgleichungen für die Projektionen derStromlinien auf die y-z-Ebene, z-x-Ebene und x-y-Ebene:dzdy = v zv y⇒ in der y-z-Ebenedxdz = v xv z⇒ in der z-x-Ebene (D.5)dydx = v yv x⇒ in der x-y-EbeneBei ebenen Problemen sind dz = 0 und v zStromlinie y(x) verbleibt.= 0, sodaß nur die letzte Differentialgleichung für dieEigenschaften der StromlinienIm Gegensatz zu den Bahnlinien schneiden sich Stromlinien nie, da sonst in dem Schnittpunkt zwei Geschwindigkeitenverschiedener Richtung auftreten würden, was nicht möglich ist. Außerdem verlaufendie Stromlinien im Feldinneren stets ohne Knicke, da sonst unendlich große Beschleunigungen auftretenmüßten. In sogenannten Staupunkten am Rande des Feldes können sich die Stromlinien dagegenverzweigen bzw. Knicke aufweisen. Im Verzweigungs- oder Staupunkt ist die Geschwindigkeit stetsNull, da der Geschwindigkeitsvektor nur eine eindeutige Richtung aufweisen kann - eine Bedingung,die bei einer Verzweigung oder einem Knick nicht erfüllbar ist.Bislang wurde das Geschwindigkeitsfeld nur zu einem bestimmten Zeitpunkt betrachtet. Bei sogenannteninstationären Strömungen treten zeitliche Änderungen auf, sodaß sich zu jedem Zeitpunktein neues Stromlinienbild ergibt. Zeitunabhängige Strömungen heißen dagegen stationär.Ob eine Strömung stationär oder instationär ist, kann von dem gewählten Koordinatensystem abhängen.In der Abbildung ist die gleiche Strömung auf zwei Weisen a und b dargestellt. Ein Zylinder wird mitkonstanter Geschwindikeit ⃗v durch ein ruhendes Fluid geführt. Heftet man das Koordinatensystem- 36 -

D.2. Stromröhre und Stromfadenmit dem Ursprung 0 an den Körper, so erscheint die Strömung stationär (siehe a). Ein raumfestesKoordinatensystem läßt dagegen die Strömung instationär erscheinen (siehe b), da das dargestellteStromlinienbild vom bewegten Zylinder mitgeführt wird.Neben der Geschwindigkeit werden noch weitere strömungsmechanische Feldgrößen betrachtet. Dieskönnen unter anderem Druck, Dichte, Temperatur oder Salzgehalt des Fluids sein, also skalare Größen,die ein Skalarfeld bilden – im Gegensatz zum Vektorfeld der Geschwindigkeiten.Außer Bahnlinie und Stromlinie werden noch weitere kinematische Begriffe von Bedeutung definiert:Streichlinie:Momentaufnahme aller Fluidteilchen, die einen bestimmten Punkt passiert haben.Beispiel: Rauchfahne eines Schornsteins.Bei stationären Strömungen fallen Bahn-,Strom- und Streichlinie zusammen.Zeitlinie:Zu einem Zeitpunkt werden längs einer Linie Fluidteilchen markiert. Man betrachtetzu einem späteren Zeitpunkt die von den markierten Teilchen gebildete Linie.D.2 Stromröhre und StromfadenDie Lösung strömungsmechanischer Probleme gestaltet sich im dreidimensionalen Fall i.a. sehr schwierig;gewisse Vereinfachungen bieten dagegen zweidimensionale Betrachtungen, die die physikalischenVorgänge streng genommen nicht exakt wiedergeben, aber häufig eine brauchbare Näherung darstellen.Betrachtet man speziell Strömungen in Rohren und Gerinnen, so führt i.d.R. eine eindimensionale Beschreibungder Vorgänge bereits zu hinreichend genauen Resultaten. Bei diesem Problemkreis verläuftdie Strömung in einer durch die Rohr- bzw. Gerinneachse ausgezeichneten Richtung und die geringen,senkrecht zu dieser Achse auftretenden Bewegungen werden vernachlässigt.Für die eindimensionale Eulersche Betrachtungsweise (die wir ausschließlich anwenden werden) bedientman sich weiterer kinematischer Gebilde, die eng mit dem Stromfadenbegriff zusammenhängen:Stromröhre:Die Summe aller Stromlinien, die durch eine ortsfeste Linie gehen, bildet eineStromlinienfläche. Ist diese Linie geschlossen, so entsteht die Mantelflächeeiner Stromröhre. Da sich Stromlinien nicht schneiden bzw. GeschwindigkeitenStromlinien tangieren, ist ein Massenfluß durch die Mantelfläche der Stromröhrenicht möglich.Stromlinienfläche- 37 -

KAPITEL D - Kinematik der StrömungenStromröhreBildet man eine Stromröhre in einer dreidimensionalen, instationären Strömung,so handelt es sich hierbei gemäß der Eulerschen Betrachtungsweise um eineMomentaufnahme, d.h. die Stromröhren verändern mit der Zeit ihre Lage undForm.In der Hydraulik werden dagegen ortsfeste, durch die Rohr- bzw. Gerinnewandungdefinierte Stromröhren betrachtet.Die strömungsmechanischen Größen, insbesondere die Geschwindigkeiten, sind in einer Stromröhrenicht nur längs der Stromröhrenachse, sondern auch normal dazu veränderlich. Trägt man diese Größenüber einer Querschnittsfläche A auf, so ergibt sich ein sogenanntes Profil. Ein Geschwindigkeitsprofilstellt also die Geschwindigkeitsverteilung senkrecht zur Achse dar. In der Regel wird jedoch mit Mittelwertengerechnet, die aus diesen Profilen gewonnen werden.Stromfaden:Stromlinien, die durch eine endliche Fläche A gehen, bilden eine Stromröhre.Stellt diese Fläche dagegen eine infinitesimale Größe dA dar, so entsteht einStromfaden. Über dA werden die betrachteten strömungsmechanischen Größen(im Gegensatz zu A in der Stromröhre) natürlich nicht mehr variabel angesetzt.Die Betrachtung des Stromfadens führt zur Stromfadentheorie, in der die Problemedurch eindimensionale Gleichungen längs einer Raumkurve beschriebenwerden.StromfadenDie Summierung aller Stromfäden in einem Rohr oder Gerinne führt auf natürliche Weise zur Stromröhrentheorie.In der Stromfadentheorie werden die grundlegenden Gesetze abgeleitet, während in der Stromröhrentheoriedie Erweiterung auf die Rohr- und Gerinnehydraulik und die empirische Berücksichtigungzusätzlicher Effekte (z.B. Strömungswiderstand, Geschwindigkeitsverteilung) vollzogen wird.D.3 BeschleunigungDie Kinematik (das heißt der Bewegungsablauf) einer Strömung wird durch auf das Fluid wirkendeKräfte (die Dynamik) bestimmt. Die entsprechenden Grundgleichungen der Strömungsmechanik erhältman aus dem Newtonschen Grundgesetz (Impulsgleichung):d(m⃗v)dt= ⃗ Fm⃗v⃗FImpuls ∗ (= Masse · Geschwindigkeit)auf die Masse m wirkende resultierende KraftBei zeitlich unveränderlicher Masse resultiert daraus die bekannte Beziehung:m d⃗vdt = m⃗a = ⃗ FNeben der Geschwindigkeit ⃗v kommt also als weitere wichtige kinematische Größe die Beschleunigung ⃗ain Betracht. Wir beschränken uns auf die Eulersche Betrachtungsweise und speziell auf die Stromfadenbzw.Stromröhrentheorie.∗ siehe Fußnote zu Abschnitt F.1- 38 -

D.3. BeschleunigungFührt man längs eines Stromfadens die Koordinate s ein, so ist im allgemeinen Fall (ungleichförmigund instationär) die Geschwindigkeit eine Funktion von s und t:v = v(s, t)v ist positiv, wenn die Strömung in Richtung der s-Koordinate verläuft.Denkt man sich die Geschwindigkeit v(s, t) über der s-t-Ebene als Fläche im s-t-v-Raum dargestellt,so kann die Änderung von v unmittelbar abgelesen werden, wenn man von einem Punkt (s, t) zu einemPunkt (s + ds, t + dt) übergeht. Sei v = v(s, t), dann ist v(s + ds, t + dt) = v + dv und es gilt:dv = (tan α)ds + (tan β)dt (siehe Abbildung)= ∂v ∂vds +∂s ∂t dtDivision der totalen Geschwindigkeitsänderung auf der Stromlinie durch dt ergibt die substantielleBeschleunigung, die sich aus konvektiver und lokaler Beschleunigung zusammensetzt:dvdt= ∂v ds∂s dt + ∂v∂tBeachtet man noch, daß die Substanz (das Fluidteilchen) in der Zeit dt den Weg ds = vdt zurücklegt,so folgtdvdt = v ∂v∂s + ∂v∂t = 1 ∂(v 2 )+ ∂v2 ∂s ∂t(D.6)lokale Beschleunigungkonvektive Beschleunigungsubstantielle Beschleunigung- 39 -

KAPITEL D - Kinematik der StrömungenDie lokale Beschleunigung ∂v/∂t stellt die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit an einem festenOrt auf der Stromlinie dar. Bei stationärer Strömung ist ∂v/∂t = 0.gibt die Geschwindigkeitsänderung von Ort zu Ort bei fest vor-Die konvektive Beschleunigung v ∂v∂sgegebenem Zeitpunkt an.Die Abbildung zeigt eine Stromröhre der Länge ds mit abnehmender Querschnittsfläche und stationärerStrömung. Offensichtlich nimmt die Geschwindigkeit infolge der Verengung zu, sodaß dieFluidteilchen beschleunigt werden. In diesem Fall der stationären Strömung ist die substantielle Beschleunigunggleich der konvektiven, welche sich nur bei einer Ortsveränderung, die das bewegte Teilchenerleidet, feststellen läßt. Bei instationärer Strömung erfährt das Teilchen mit der Zeit noch einezusätzliche Beschleunigung infolge lokaler Geschwindigkeitsänderungen ∂v/∂t.Man unterscheidet häufig die folgenden Strömungsfälle:stationäre Strömung . . . . :instationäre Strömung . . .:gleichförmige Strömung . :ungleichförmige Strömung:∂v∂t∂v∂t∂v∂s∂v∂s= 0≠ 0= 0≠ 0(In der sich verengenden Stromröhre wird also eine ungleichförmige Strömung repräsentiert.)- 40 -

Kapitel ETransport von Masse, Impuls undEnergie- 41 -

KAPITEL E - Transport von Masse, Impuls und EnergieDie Querschnittsfläche A sei mit einer Geschwindigkeit der Fluidteilchen v durchströmt. In dem Zeitraum∆t legen die Teilchen den Weg ∆s zurück, sodaß in dieser Zeit das Volumen ∆V = Av ∆t durchden Querschnitt strömt. Im instationären Fall ist die Geschwindigkeit v mit der Zeit veränderlich, undman definiert daher zweckmäßigerweise den Momentanwert Av als Grenzwert vonlim∆t→0∆V∆t= Av = ˙V = QMit˙V = Q = Av [m 3 /s]erhält man den sogenannten Volumenstrom, Volumendurchsatz oder Durchfluß, d.h. das Volumen, daspro Zeiteinheit den Querschnitt A durchfließt.Entsprechend ist dann ρQ der Massenstrom, d.h. die Fluidmasse, die pro Zeiteinheit den Querschnittdurchfließt:ṁ = ρQ = ρvA[kg/s]An die mit der Geschwindigkeit ⃗v bewegten Fluidteilchen sind noch weitere physikalische Eigenschaftenwie Impuls ( ⃗ I = m⃗v) oder kinetische Energie ( E kin = mv 2 /2 ) gebunden, die ebenso wie die proZeiteinheit durch eine Querschnittsfläche strömende Masse einem Transportprozeß unterliegen.Analog zum Volumen- bzw. Massenstrom definiert man auch hier einen Impuls- bzw. Energiestrom:⃗˙ I = ṁ⃗v [N] Impuls, der pro Zeiteinheit eine Querschnittsfläche durchfließt.Beachte: Der Impulsstrom hat die Maßeinheit einer Kraft.Ė kin = ṁv 2 /2 [J/s = W] Kinetische Energie, die pro Zeiteinheit eine Querschnittsflächedurchfließt.Das Produkt I ⃗ = m⃗v aus Masse und Geschwindigkeit ist der Impuls (oder die Bewegungsgröße)eines Massenpunktes. Bei Körpern mit der Masse m (siehe auch Abschnitt F.1) ist der Impuls I ⃗ =∫m⃗vdm. Soweit aber im folgenden für alle betrachteten Massenteilchen dm gleiche Geschwindigkeit vvorausgesetzt wird, gilt ∫ m⃗vdm = m⃗v.E.1 Transport durch StromfadenDie (sehr kleine) Querschnittsfläche A des Stromfadens wird mitder Geschwindigkeit v durchströmt, während ein Massenfluß überdie Mantelfläche ausgeschlossen ist.Für den Volumenstrom erhalten wir hier˙V = Q = vA [m 3 /s] (E.1)als skalare Größe.- 42 -

E.1. Transport durch StromfadenMultiplikation des Volumenstromes mit der Dichte ρ ergibt den entsprechenden Massenstromṁ = ρQ = ρvA [kg/s], (E.2)der ebenfalls eine skalare Größe darstellt.Der Impuls einer Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, wird durch die Größe⃗I = m⃗vdefiniert. Entsprechend stellt das Produkt aus Massenstrom und Geschwindigkeit den Impulsstromdar:⃗˙ I = ṁ⃗v = ρQ⃗v = ρv⃗vA [N] (E.3)Der Betrag dieser vektoriellen Größe ist˙ I = ṁv = ρvQ = ρv 2 A[N]Die Einheit des Impulsstromes ist die einer Kraft.Analog zum Impuls ist die Energie einer Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit ⃗v bewegt, gegebendurch die Größe()E = m u + v 2 /2 + gz= me [J]Die dabei berücksichtigten Energieanteile sind- innere (thermische) Energie mu- kinetische Energie mv 2 /2- potentielle Energie mgzDem Volumen-, Massen- und Impulsstrom entspricht demzufolge ein Energiestrom (skalare Größe)durch den Querschnitt A()Ė = ṁ u + v 2 /2 + gz + p/ρ= ṁ (e + p/ρ) [J/s=W] (E.4)Die Einheit des Energiestroms ist die einer Leistung.Der Energiestrom enthält folgende Anteile:ṁu ˆ= innere Energie/Zeiteinheitṁv 2 /2 ˆ= kinetische Energie/Zeiteinheitṁgz ˆ= Lageenergie/Zeiteinheitṁp/ρ ˆ= Druckenergie/Zeiteinheit}potentielle Energiepro Zeiteinheit- 43 -

KAPITEL E - Transport von Masse, Impuls und EnergieZu der gegebenen Energie E der Masse m tritt demnach beim Energiestrom Ė ein neuer und fürStrömungen eigentümlicher Anteil ṁp/ρp auf, den man wie folgt erklären kann:Die Druckkraft pA wirkt auf Fluidteilchen, die sich in der Zeit ∆t umdie Strecke v∆t weiterbewegen. Dabei leistet die Druckkraft in der Zeit∆t die Arbeit pA v∆t und ihre Leistung (Arbeit/Zeiteinheit) ist somit:pAv = p/ρ ρAv = p/ρṁInnere Energie/Zeiteinheit ṁu:u ist die auf die Masseneinheit bezogene innere Energie des Fluids. Beiden hier behandelten Strömungsvorgängen handelt es sich ausschließlichum thermische Energie. (Näheres s. Abschnitt F.5).E.2 Transport durch StromröhreIm Gegensatz zum Stromfaden weist die Stromröhre eine über den Querschnitt veränderliche Geschwindigkeitsverteilungauf. Deshalb zerlegt man die Stromröhre in Stromfäden und integriert dieim Stromfaden betrachteten physikalischen Größen (z.B. Volumen-, Massen-, Impuls-, Energiestrom)über den Stromröhrenquerschnitt auf.Stromröhre, in Stromfäden zerlegtA sei der Stromröhren- und dA ein infinitesimalerStromfadenquerschnitt. In der Stromröhrentheoriewürde man durch Mitnahme desGeschwindigkeitsprofils zu einer dreidimensionalenBetrachtung gelangen. Ersetzt man dagegendas Geschwindigkeitsprofil v durch einemittlere Geschwindigkeit ¯v, die sich nur noch inRichtung der Stromröhrenachse ändert, so erhältman wieder wie bei der Stromfadentheorie eineeindimensionale Erfassung der Strömungsvorgänge.- 44 -

E.2. Transport durch StromröhreSchnitt durch eine Stromröhre mit Geschwindigkeitsprofilv und mittlerer Geschwindigkeit ¯vUm die ebenfalls von der Geschwindigkeit v abhängigenund damit über den Querschnitt A veränderlichenGrößen wie Volumen-, Massen-, Impuls- oder Energiestromauf die mittlere Geschwindigkeit ¯v beziehen zukönnen, müssen die folgenden Ausdrücke ausgewertetwerden:∫ ∫∫v dA, v 2 dA, und v 3 dAAAADie mittlere Geschwindigkeit ¯v in einer Stromröhre wird derart definiert, daß der Volumenstrom Qdurch den Stromröhrenquerschnitt A erhalten bleibt:Q =∫Av dA = ¯vABei dieser Betrachtung wird vorausgesetzt, daß die Geschwindigkeiten v annähernd parallel gerichtetsind, d.h. der Fluidteilchenfluß erfolgt orthogonal zur Fläche A.Die Mittelung der Größen v 2 und v 3 führt nicht zu den Mittelwerten ¯v 2 und ¯v 3 :∫Av 2 dA ≠ ¯v 2 Aetc.Diese Abweichungen werden durch die Einführung profilabhängiger Beiwerte erfaßt:∫A∫Av 2 dA = β¯v 2 A = β¯vQv 3 dA = α¯v 3 A = α¯v 2 QWenn das Geschwindigkeitsprofil bekannt ist, lassen sich α und β berechnen:¯v = 1 Aβ =α =∫A1¯v 2 A1¯v 3 Av dA∫A∫A(E.5)v 2 dA, β ≥ 1 (E.6)v 3 dA, α ≥ 1 (E.7)- 45 -

KAPITEL E - Transport von Masse, Impuls und EnergieUnter Anwendung obiger Mittelungsprozesse lassen sich die in Abschnitt E.1 für den Stromfadenabgeleiteten Größen auf die Stromröhre übertragen.Volumenstrom Q =∫Av dA = ¯vA entspricht Gl. (E.1) (E.8)Massenstrom ṁ =∫Aρv dA = ρ¯vA = ρQ entspricht Gl. (E.2) (E.9)Impulsstrom∫⃗˙ I =Aρv⃗v dADer Betrag des Impulsstromes ist˙ I =∫Aρv 2 dA = ρβ¯v 2 A = βṁ¯vDa bei der Integration die Richtung des Impulsstromes erhalten bleibt (⃗v wird stets annähernd orthogonalzu A vorausgesetzt), ergibt sich die Vektorgröße zu⃗˙ I = βṁ ⃗¯v entspricht Gl. (E.3) (E.10)Energiestrom Ė = ∫A(gz + p ρ + v22 + u )ρv dAAnnahmen: − Die Druckverteilung über A sei hydrostatisch.Dann ist (gz + p/ρ) konstant über A.− Die Temperatur sei konstant über A.Dann ist u konstant über A.(E.11)Damit erhalten wirĖ= ρ(gz + p ) ∫ρ + u= ρ= ρ¯vAv dA + ρ 2AA(gz + p )ρ + u ¯vA + ρ 2 α¯v3 A(gz + p ρ + α ¯v22 + u )∫v 3 dAĖ = ṁ(gz + p ρ + α ¯v22 + u )entspricht Gl. (E.4)(E.12)- 46 -

E.2. Transport durch StromröhreDie maximalen und minimalen Zahlenwerte für α und β sind:v max ≥ ¯v ≥ v max /2 mittlere Geschwindigkeit1 ≤ β ≤ 1.3¯3 Impulsbeiwert1 ≤ α ≤ 2.00 EnergiebeiwertidealelaminareStrömungStrömungBeispiel 1: Ideale Strömungv = const. ❀ ¯v = v, α = β = 1Dieser Idealfall wird bei realen Strömungen nicht erreicht, da durch die Haftbedingung an der Strömungsbegrenzung(s. Kapitel G) immer ein ungleichförmiges Geschwindigkeitsprofil über dem Fließquerschnittentsteht.Beispiel 2: Laminare StrömungA = Kreisquerschnittv =[ ( ) ]r21 − v maxR(Geschwindigkeitsprofil = Paraboloid)Mit dA = 2πr dr und A = πR 2 folgt¯v = 2 R 2 v maxβ = 8 ∫RR 2α = 16R 20∫R0∫ R [0( ) ]r21 − r dr = v max /2R[ ( ) ]r2 21 − r dr = 4 R3 = 1, 3¯3 . . .[ ( ) ]r2 31 − r dr = 2, 0R(Wie im Abschnitt G.4 noch näher ausgeführt wird, repräsentiert dieses Profil den Sonderfall einerlaminaren Strömung. Man beachte den sehr großen Beiwert α = 2.)- 47 -

KAPITEL E - Transport von Masse, Impuls und EnergieBeispiel 3: turbulente StrömungSehr häufig tritt der Fall auf, daß ¯v ≃ v max und α ≃ β ≃ 1 ist.(Genauer: α ≃ 1, 06 und β ≃ 1, 02)Hierbei handelt es sich um ausgeprägte turbulente Strömungen,bei denen ein gedrungenes Geschwindigkeitsprofil vorliegt.Siehe auch Abschnitt G.5.E.3 Transport durch eine gekrümmte FlächeIn Abschnitt E.2 wurde vorausgesetzt, daß die Geschwindigkeiten annähernd orthogonal zum StromröhrenquerschnittA gerichtet sind. Im folgenden wird der Fluß durch eine Fläche allgemeiner gefaßt.d ⃗ A⃗vFlächenvektor, steht normal zur Fläche, sein Betragist gleich der Größe des Flächenelements dA.Durchströmung von dA ist nicht zwangläufig normalzur Fläche.Volumenstrom:durch dA : dQ = ⃗v dA ⃗ = |⃗v| · |dA| ⃗ cos θ = v dA cos θ∫durch A : Q = ⃗v dA ⃗ entspricht Gl. (E.1) und Gl. (E.8) (E.13)Beachte:Aθ im 1. oder 4. Quadrantencos θ > 0dQ > 0θ im 2. oder 3. Quadrantencos θ < 0dQ < 0- 48 -

E.4. Transportprozesse infolge DiffusionMassenstrom:durch dA : dṁ = ρ dQ = ρ⃗v dA∫⃗durch A : ṁ = ρ⃗v dA ⃗ entspricht Gl. (E.2) und Gl. (E.9) (E.14)Impulsstrom:Adurch dA :durch A :d ⃗˙ I = dṁ ⃗v = ρ⃗v dQ = ρ⃗v(⃗v dA)⃗∫⃗˙ I = ρ⃗v (⃗v dA) ⃗ entspricht Gl. (E.3) und Gl. (E.10) (E.15)AEnergiestrom:(durch dA : dĖ = e + p ) (dṁ = ρ e + p )⃗v dAρρ⃗durch A : Ė =∫A(ρ e + p )⃗v dA ρ⃗ entspricht Gl. (E.4) und Gl. (E.12) (E.16)E.4 Transportprozesse infolge DiffusionWir haben bisher in diesem Kapitel die Fluidteilchen als Träger ihrer Masse, ihres Impulses und ihrerEnergie betrachtet und kamen aufgrund der Bewegung der Teilchen zum Konzept des Transportes vonMasse, Impuls und Energie. Es handelt sich dabei um einen Transport in Richtung des Geschwindigkeitsvektors(advektiver, manchmal auch konvektiver Transport genannt).Neben der Advektion ist die Diffusion in Richtung eines Konzentrationsgefälles der zweite wichtigeMechanismus eines Transports. Denken wir z.B. an die Diffusion von gelöstem Salz von Bereichenhoher Konzentration zu denen niedriger Konzentration sowie an die Wärmeleitung von Bereichenhoher Temperatur zu denen niedriger Temperatur. Ganz analog gibt es einen Transport des Impulsesvon Bereichen hohen Impulses zu denen niedrigen Impulses.Die Gesetzmäßigkeiten dieser Prozesse hängen eng zusammen mit den internen Strömungsmechanismen,die vor allem durch die Eigenschaft der Turbulenz und der Fluidviskosität geprägt sind, und diewir später noch einmal aufgreifen werden.- 49 -

frei für Notizen

Kapitel FErhaltungssätze derStrömungsmechanik- 51 -

F.1 Grundgleichungen für KörperKAPITEL F - Erhaltungssätze der StrömungsmechanikAls Grundgleichungen für die Kinetik der Körper lernten Sie in der Mechanik die Sätze von derMassenerhaltung / Impulserhaltung / Energieerhaltungkennen, die wir uns hier getrennt für Massenpunkte und für Körper noch einmal in Erinnerung rufenwollen.Massenpunkt der Masse m Körper der Masse m =∫dmm = const.dmdt= 0Massenerhaltung∣∫dm = const.∫ddm = 0dt(F.1)Die Masse vorhandener Materie bleibt erhalten.Impulserhaltung(2. Newtonsches Gesetz)ddt (⃗vm) = ∑ ∣ ∫∣∣∣ F ⃗ddt⃗v dm = ∑ ⃗ F(F.2)Der Zuwachs des Impulses ∗ ist gleich der Summe aller äußeren Kräfte.Mit äußeren Kräften sind hier sowohl Massenkräfte (z.B. Schwerekräfte) als auch Oberflächenkräfte(z.B. Reibungskräfte, Druckkräfte) gemeint.dEdtEnergieerhaltung(1. Hauptsatz der Thermodynamik)= ˙Q + ¯P∣∫ddte dm = ˙Q + ¯P (F.3)Der Zuwachs der Energie ist gleich der Zufuhr von Wärme (Q)plus der Leistung äußerer Kräfte ( ¯P ).Als Energie (E) wird hier sowohl die mechanische (d.h. potentielle und kinetische) als auch die thermischeEnergie betrachtet, also∗ Was wir hier Impuls nennen (das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit) wird in der Mechanik meist mit demBegriff Bewegungsgröße gekennzeichnet. Impuls ist dort eine über einen kurzen Zeitraum wirkende Kraft, und es giltdann Impuls gleich Änderung der Bewegungsgröße∑ ⃗F ∆t = m ∆v- 52 -

F.2.Übergang vom Fluidvolumen zum KontrollraumE = m(gz + v22 + u )∣E ==∫e dm∫ ( gz + v22 + u )dmmit u = thermische Energie/Masseneinheit.Massenpunkte und Körper, wie sie in der Festkörper-Mechanik betrachtet werden, sind sog. geschlosseneSysteme, in denen eine vorgegebene Masse von der Umgebung durch materielle oder gedachte,auf jeden Fall aber durch massenundurchlässige, Begrenzungsflächen getrennt ist.F.2 Übergang vom Fluidvolumen zum KontrollraumDem Körper der Festkörpermechanik entsprichtin der Strömungsmechanik dasFluidvolumen mit einer definierten Massem. Im Bild ist ein solches Volumen markiertund zu den Zeitpunkten t 1 und t 2dargestellt.Betrachtet man das beliebig abgegrenzte Fluidvolumen und seine Bewegung durch den Raum, so stelltauch das die Betrachtung eines geschlossenen Systems dar, und die drei Erhaltungssätze sind in obigerFormulierung prinzipiell anwendbar. Allerdings treten dabei praktische Schwierigkeiten auf, weil1.) sich die Begrenzungsflächen verformen.2.) das Interesse nicht so sehr an der Bewegung und dem Verformungszustand einer vorgegebenenMasse des Fluids besteht, sondern an dem Effekt der Bewegung des Fluids auf seine Begrenzungen,z.B. Rohrwände, Flußbett, Wehrkörper, windumströmte Bauwerke, etc.Beispiele:durchströmte Rohrverzweigungüberströmter WehrrückenEs interessiert wenig, wo sich eine betrachtete Masse m bzw. sein Volumen zu jedem Zeitpunktbefindet und welche Form sie hat. Wichtiger zu wissen ist: Wie sind Geschwindigkeit und Druckan jedem Punkt des Rohres? Wie ist die Druckverteilung auf dem Wehrrücken, welche Geschwindigkeitenherrschen an jedem Punkt der Strömung?- 53 -

KAPITEL F - Erhaltungssätze der StrömungsmechanikWir werden zwangsläufig zu dem Konzept des Kontrollraums (einem sog. offenen System)geführt. Ein Kontrollraum ist ein beliebig abgegrenztes, raumfestes Volumen, das durchströmtwird, seine Oberfläche (Kontrollfläche) ist also massendurchlässig. Raumfest heißt: Vorgegebennach Gestalt und Größe und in der Regel unbeweglich im Raum. In manchen Anwendungen sindallerdings auch Kontrollräume zweckmäßig, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.Der Übergang vom mitströmenden Fluidvolumen auf den raumfesten Kontrollraum entspricht demübergang von der Lagrangeschen auf die Eulersche Betrachtungsweise (Abschnitt D.1), wobeianstelle von einzelnen die in einem Volumen enthaltenen Fluidteilchen in integraler Form untersuchtwerden.In der Abbildung sind Lage und Form eines Fluidvolumens zu verschiedenen Zeitpunkten t 0 , t 0 +∆t, t 1 und t 2 dargestellt. Zum Zeitpunkt t 0 sind die Kontrollraumgrenzen mit der Oberfläche desFluidvolumens identisch.Um nach Euler die Strömungsvorgänge zu den Zeiten t 0 , t 1 , t 2 etc. im raumfesten Kontrollraumzu erhalten, benötigt man den momentanen Durchfluß durch die Kontrollraumgrenzen; dazu werdenkleine Massenverschiebungen während der Zeitspanne ∆t betrachtet.Wir wollen hier nun die drei Grundgesetze für Erhaltung von Masse, Impuls und Energie umformulierenvon dem Fluidvolumen, das sich mit der Strömung mitbewegt, zum ortsfesten Kontrollraum.- 54 -

F.3. Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung)Ausströmen,cos θ > 0Einströmen,cos θ < 0Zur Zeit t seien Fluidvolumen und Kontrollraum identisch (gekennzeichnet als Bereich I, starke Umrandung);zur Zeit t + ∆t hat sich das Fluidvolumen verschoben (gestrichelte Umrandung), währendder Kontrollraum als Bereich I erhalten bleibt. Mit Bereich II wird die linke und mit Bereich III dierechte Sichel bezeichnet.F.3 Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung)Für den Zeitraum ∆t erhält man als Zuwachs der Masse m im Fluidvolumenm t+∆t − m t =(∫I∫ ∫ ) (∫ )ρ dV − ρ dV + ρ dV − ρ dVIIIII t+∆t I tBeide Seiten der Gleichung werden durch den Zeitschritt ∆t dividiert und die Glieder der rechten Seiteumsortiert.m t+∆t − m t∆t= (∫ I ρ dV ) t+∆t − (∫ I ρ dV ) t∆t− (∫ II ρ dV ) t+∆t∆t+ (∫ III ρ dV ) t+∆t∆tDie gliedweise Durchführung des Grenzüberganges ∆t → 0 ergibt:1. Glied:dm= d ∫dt dtdmZuwachsrate von m im Fluidvolumen2. Glied:∫∂ρ dV∂t KRZuwachsrate von m im Kontrollraum∫∫3. Glied: ρ⃗v dA ⃗ = ρv cos θ dA Eintritt von m durch die Kontrollraumfläche(cos θ < 0)4. Glied:∫ρ⃗v d ⃗ A =∫ρv cos θ dAAustritt von m durch die Kontrollraumfläche(cos θ > 0)Das 3. und 4. Glied können in einem Ausdruck zusammengefaßt werden, wobei das Vorzeichen voncos θ angibt, ob es sich um Eintritt oder Austritt von Masse aus dem Kontrollvolumen handelt.Damit erhält man:∫ddtdm = ∂ ∂t∫KR∫ρ dV + ρ⃗v dA⃗KF- 55 -(F.4)

KAPITEL F - Erhaltungssätze der StrömungsmechanikLaut dem Gesetz von der Erhaltung der Masse für ein Fluidvolumen – Gleichung (F.1) – verschwindetdie linke Seite, und für den Kontrollraum gilt:∂∂t∫KR∫ρ dV = − ρ⃗v dA⃗KF(F.5)bzw.∂m KR∂t= ṁ ein − ṁ aus (F.6)Der Zuwachs von Masse in einem Kontrollraum ist gleich der Differenz zwischen ein- und austretendemMassenstrom.Im stationären Fall ist offensichtlichṁ ein − ṁ aus = 0(F.7)Für einen normal durchströmten Querschnitt A gilt (siehe Abschnitte E.1, E.2)ṁ = ρQ = ρv ASonderfälle der KontinuitätsgleichungF.3.1Dichtebeständige Strömung∂m∂t= ṁ 1 − ṁ 2Wenn die Strömung stationär ist, gilt ∂m∂tsie dichtebeständig (ρ = const.) ist; dann ist nämlich ∂m∂tSomit ist ∗= 0. Das gilt aber auch bei instationärer Strömung, sofern= ∂(ρV )∂t= 0, da auch V konstant ist.ṁ 1 = ṁ 2 ; Q 1 = Q 2 ; v 1 A 1 = v 2 A 2 (F.8)∗ Benedetti Castelli (1577 - 1644), Schüler des Galilei, formulierte die Kontinuitätsgleichung wie folgt: ”DurchQuerschnitte eines Flusses strömen gleiche Wassermengen in gleichen Zeiten, selbst wenn die Querschnittsflächen nichtgleich sind“, und weiter: ”Fließt die gleiche Wassermenge durch zwei ungleiche Querschnittsflächen, so sind die Querschnittsflächenumgekehrt proportional den Geschwindigkeiten“. Im Grundsatz hatte allerdings Lonardo da Vinci dieseGedanken schon 100 Jahre vorher ausgesprochen.- 56 -

F.4. Impulserhaltung (Impulssatz)F.3.2Dichteveränderliche StrömungIm stationären Fall ist ∂m∂t= 0. Damit gilt wie bei der dichtebeständigen Strömungṁ 1 = ṁ 2 , jedoch mit ρ 1 Q 1 = ρ 2 Q 2 und ρ 1 v 1 A 1 = ρ 2 v 2 A 2 ;Im instationären Fall folgt aus ∂m∂t= ṁ 1 − ṁ 2V ∂ρ∂t = ρ 1Q 1 − ρ 2 Q 2 = ρ 1 v 1 A 1 − ρ 2 v 2 A 2 ;(F.9)ist also der Zufluß größer als der Ausfluß, so findet im Kontrollraum eine Dichteerhöhung (und damiteine Druckerhöhung) statt.F.3.3Dichtebeständige Strömung mit freier OberflächeDie Flüssigkeit mit dem Volumen Vfüllt nur einen Teil des gewähltenKontrollraums aus.Im stationären Fall ist neben ρ auch V konstant, sodaß mit ∂m∂t= ∂ (ρV ) = 0 wieder (F.8) gilt:∂tṁ 1 = ṁ 2 ; Q 1 = Q 2 ; v 1 A 1 = v 2 A 2Im instationären Fall ändern sich mit steigendem oder fallendem Flüssigkeitsspiegel die Masse unddas Volumen der Flüssigkeit im Kontrollraum. Somit gilt∂m∂t= ṁ 1 − ṁ 2 ;∂V∂t= Q 1 − Q 2 = v 1 A 1 − v 2 A 2 . (F.10)Ist der Zufluß größer (kleiner) als der Ausfluß, so steigt (fällt) der Wasserspiegel.F.4 Impulserhaltung (Impulssatz)Die Änderung des Impulses I im Zeitraum ∆t im Fluidvolumen ergibt sich zuI t+∆t − I t =(∫I∫∫ ) (∫ )⃗vρ dV − ⃗vρ dV + ⃗vρ dV − ⃗vρ dVIIIII t+∆t I tAnalog zur Vorgehensweise bei der Herleitung der Kontinuitätsgleichung im Kapitel F.3 wird dieGleichung durch den Zeitschritt ∆t dividiert und der Grenzübergang ∆t → 0 durchgeführt.I t+∆t − I t∆t= (∫ I ⃗vρ dV ) t+∆t − (∫ I ⃗vρ dV ) t− (∫ II ⃗vρ dV ) t+∆t∆t∆t- 57 -+ (∫ III ⃗vρ dV ) t+∆t∆t

F.4. Impulserhaltung (Impulssatz)Die Beträge der Impulsströme sindI˙1 = βρ v1A 2 1 und I2 ˙ = βρ v2A 2 2In den Impulssatz geht die Differenz ⃗˙ I1 − ⃗˙ I2 ein, d.h. die zwischen den Querschnitten 1 und 2 stattfindendeÄnderung des Impulsstroms ⃗˙ I. Um diese Impulsänderung zu bewirken, muß eine äußereKraft, bildlich gesprochen eine Umlenkkraft, aufgebracht werden. Die Impulsänderung kann eine reineRichtungsänderung sein (wenn z.B. A 1 = A 2 ), sie kann aber auch eine Änderung des Betrags desImpulsstroms beinhalten (wenn A 1 ≠ A 2 ).Man beachte, daß die Druckkraft−→p 1 A 1 und der Impulsstrom ⃗˙I1 auf derselben Wirkungslinie liegen−→p 2 A 2 und denund beide in Richtung des Kontrollraums weisen. Dasselbe gilt für die Druckkraftumgekehrten Impulsstrom − ⃗˙ I2 (der ausströmende Impuls geht negativ in den Impulssatz ein).Interpretiert man den Impulsstrom als eine Kraft (er hat die Maßeinheit [N]), so erhält man diesogenannten Stützkräfte als Addition von Druckkraft und Impulsstrom (am Querschnitt 1), bzw.Druckkraft und umgekehrten Impulsstrom (am Querschnitt 2).S 1 = p 1 A 1 + βρ v 2 1A 1S 2 = p 2 A 2 + βρ v 2 2A 2Mit Hilfe der Stützkräfte ist das Strömungsproblem rechnerisch auf ein rein statisches zurückgeführt.Im gegebenen Fall addieren sich vektoriell Reaktionskraft, Stützkräfte und Gewichtskraft zu null.⃗F + ⃗ S 1 + ⃗ S 2 + ⃗ G = 0(F.14)F.4.2Stromröhre, instationär∫∂In der instationären Strömung ist das Integral ρ⃗v dV , das den Zuwachs des Impulses im Kontrollraumdarstellt, auszuwerten, wozu die Kenntnis der Geschwindigkeitsverteilung im Innern des∂t KRKontrollraums notwendig ist. Es wird hier deshalb ein einfacher Strömungsfall vorausgesetzt, nämlichdie Stromröhre:- 59 -

KAPITEL F - Erhaltungssätze der StrömungsmechanikDie Kontinuitätsgleichung (stationär und instationär) lautetv(s) A(s) = v 1 A 1 = v 2 A 2 = QDas Volumenelement dV wird gewählt zu dV = A(s) ds. Damit gilt∫∂ρ ⃗v dV = ∂ ∂t KR ∂t∫21ρ v(s) A(s) d⃗s = ρ ∂Q∂t∫2d⃗s = ρ ⃗ l1∂Q∂tDas vektorielle Wegelement d⃗s ergibt über die Achse der Stromröhre aufintegriert den Vektor ⃗ l.(Siehe vorhergehende Abbildung)Die Reaktionskraft ⃗ F der instationären Stromröhre errechnet sich somit aus Gl. (F.11) unter Berücksichtigungder Gleichung (F.14) zu⃗F = ρ ⃗ l∂Q (∂t − ⃗S1 + S ⃗ )2 + ρ ⃗g V(F.15)F.5 Energieerhaltung (Energiesatz)Mit e = gz + v 2 /2 + u erhält man die Änderung der Energie im Zeitraum ∆t für das Fluidvolumen,wobei e die auf die Masse bezogene Energie ist [J/kg].E t+∆t − E t =(∫I∫∫ ) (∫ )eρ dV − eρ dV + eρ dV − eρ dVIIIII t+∆t I tNach Division durch den Zeitschritt ∆t und dem Grenzübergang ∆t → 0 erhält man:E t+∆t − E t∆tddt∫e dm = ∂ ∂t= (∫ I eρ dV ) t+∆t − (∫ I eρ dV ) t∆t∫KR∫ (eρ dV + eρ ⃗v d ⃗ )AKF− (∫ II eρ dV ) t+∆t∆t+ (∫ III eρ dV ) t+∆t∆tLaut Gleichung (F.3) (Energieerhaltung für ein System) ist die linke Seite der Gleichung gleich ˙Q + ¯P ,wobei ¯P natürlich auch die Leistung der Druckkräfte auf die bewegliche Oberfläche des Fluidvolumensenthält.Beim Übergang zum Kontrollraum müssen wir ¯P aufspalten in eben diese Leistung der Druckkräfteund die Leistung ∫ der verbleibenden äußeren Kräfte, d.h. ¯P = PDr + P . Erinnern wir uns jetzt nochan P Dr = − p⃗v dA ⃗ (s. Kapitel E), dann gilt für den Kontrollraum∂∂t∫KR∫ (eρ dV = ˙Q + P − e + p )ρ ⃗v dAKF ρ⃗mit e = gz + v 2 /2 + u(F.16)- 60 -

F.5. Energieerhaltung (Energiesatz)bzw.∂E KR∂t= ˙Q + P + Ėein − Ėaus (F.17)Der Zuwachs an Energie im Kontrollraum ist gleich der Summe aus Wärmezufuhr, Leistungder äußeren Kräfte und der Differenz zwischen ein- und austretendem Energiestrom.Im stationären Fall ist offensichtlich:˙Q + P + Ėein − Ėaus = 0(F.18)P ist also die Zufuhr bzw. die Abgabe mechanischerLeistung. Für praktische Belange ist besonders diesog. Wellenarbeit wichtig, d.h. technische Arbeitdurch Pumpen und Turbinen. Pumpen führen demKontrollraum Energie zu, Turbinen führen Energiean die Umgebung ab.Für einen normal durchströmten Querschnitt A gilt (siehe Abschnitte E.1 und E.2):Ė =(gz + p )ρ + αv2 2 + u ρv ADie folgenden Sonderfälle des Energiesatzes gelten nur für dichtebeständige Fluide (ρ = const.).F.5.1Stromröhre, stationär(ohne Wärmeaustausch über die Mantelfläche)Die Annahme der Stationärität der Strömung beinhaltet, daß ∂E KR= 0. Vernachlässigt man die∂tWärmezufuhr ˙Q, die ohnehin nur in gewissen gasdynamischen Anwendungen einen Einfluß auf die- 61 -

KAPITEL F - Erhaltungssätze der StrömungsmechanikStrömung (d.h. auf die Drücke und Geschwindigkeiten) hat, so erhält manĖ 1 + P =(Ė2gz 1 + p 1ρ + α v2 12 + u 1)ρ v 1 A 1 + P =(gz 2 + p )2ρ + α v2 22 + u 2 ρ v 2 A 2Unter Beachtung der Kontinuitätsgleichung ρ v 1 A 1 = ρ v 2 A 2 = ṁ folgtgz 1 + p 1ρ + α v2 12 + Ṗ m − (u 2 − u 1 ) = gz 2 + p 2ρ + α v2 22(F.19)Jeder Term der Gleichung hat die Dimension einer Leistung bezogen auf den Massenstrom und damitdie Maßeinheit [W/(kg/s) = (Nm/s)/(kg/s) = m 2 /s 2 ]. Im einzelnen haben die Terme folgende Bedeutung:gz 1 + p 1ρ + α v2 12Pṁ: Strom mechanischer Energie durch den Querschnitt 1, bezogen auf denMassenstrom ṁ: Wellenarbeit bezogen auf den Massenstromu 2 − u 1 : bedeutet einen Zuwachs thermischer Energie auf Kosten mechanischerEnergie, d.h. durch Fluidreibung wird mechanische Energie in Wärmeenergieumgewandelt.Diese Energie ist für mechanische Arbeit verloren, deswegen die BezeichnungenStrömungsverlust, Reibungsverlust, Dissipation (s. Kapitel G).u 2 − u 1 = 0 ideale (d.h. reibungsfreie) Strömungu 2 − u 1 > 0 reibungsbehaftete Strömungu 2 − u 1 < 0 ist nur möglich, wenn vom KontrollraumWärme nach außen abgeführt wird.Dividiert man Gleichung (F.19) durch g, so erhält man die erweiterte Bernoulli-Gleichung (F.20).Darin haben alle Terme die Dimension einer Länge.z 1 + p 1ρg + α v2 12g + Pgṁ = z 2 + p 2ρg + α v2 22g + h v(F.20)h v = u 2 − u 1ist die Verlusthöhe, d.h. der reibungsbedingte Strömungsverlust ausgedrückt in einergLänge. Inhalt des Kapitels G ist die Berechnung der Verlusthöhe aus Geschwindigkeit, Fluideigenschaftenund Rauheit der Strömungsbegrenzungen. Die wichtige Anwendung von Gleichung F.20 aufRohrströmungen erfolgt im Kapitel H.- 62 -

F.5. Energieerhaltung (Energiesatz)F.5.2Stromröhre, instationärZusätzlich zu den Termen, die bei der stationären Strömung auftreten, muß hier der zeitliche Zuwachsder Energie im Kontrollraum berücksichtigt werden, also∂E KR∂t= ∂ ∂t∫KR(gz + v22 + u )ρ dVdarin ist das Volumenelement dV = A ds eine Scheibe senkrecht zur Stromröhre. Die Werte z und uwerden als zeitlich konstant betrachtet, sodaß sie bei der zeitlichen Ableitung herausfallen.∂E KR∂t∫2= ∂ ∂t1α v22 ρ A ds∫2∂ v 2= α ρ∂t 2 A ds1∫2= α ρ v ∂v∂t A ds1Mit der Kontinuitätsgleichung ṁ = ρ vA = ρ v 1 A 1abhängig und es folgt= ρ v 2 A 2 ist ṁ zwar von t, nicht aber von s∂E KR∂t∫2∂v= α ṁ∂t ds1Dividiert man durch ṁ, so kann dieser Term additiv auf der rechten Seite von Gleichung (F.19) ergänztwerden.∫gz 1 + p 1ρ + α v2 12 + Ṗ m − gh v = gz 2 + p 22ρ + α v2 22 + α ∂v∂t ds1(F.21)Eine alternative Form für das Integral ergibt sich mit vA = v 1 A 1 = v 2 A 2 :∫2∂vα∂t ds = α ∂v ∫21 A 1∂t A ds = α ∂v ∫22 A 2∂t A ds111Die neu entstandenen Integrale sind nur geometrieabhängig und stellen somit Konstanten dar.- 63 -

KAPITEL F - Erhaltungssätze der StrömungsmechanikF.5.3Bernoulli-GleichungAus dem auf der Vorseite abgeleiteten Energiesatz für die Stromröhre läßt sich die klassische Formder Bernoulli ∗ -Gleichung durch folgende Vereinfachungen erhalten.Die Stromröhre wird zum Stromfaden mit konstanter Geschwindigkeit über den Querschnitt. Somitgilt α = 1.Ideale Strömung wird vorausgesetzt, h v = 0. Wellenarbeit P wird nicht berücksichtigt, P = 0.gz 1 + p 1ρ + v2 12∫= gz 2 + p 22ρ + v2 22 + ∂v∂t ds1(F.22)z 1 + p 1ρ g + v2 12g= z 2 + p 2ρ g + v2 22g + 1 ∫2∂vg ∂t ds1(F.23)Bei stationärer Strömung fällt selbstverständlich das Glied mit dem Integral weg. Es verbleibt danndie Aussage, daß bei stationärer, idealer Strömung der Energiestrom längs des Stromfadens konstantist.gz + p ρ + v22z + pρ g + v22g= const. (F.24)= const. (F.25)Anschaulich läßt sich diese Aussage darstellen, wenn man in Gleichung (F.25) folgende Bezeichnungenpeinführt: z = geodätische Höhe,ρ g = Druckhöhe, v 22g = Geschwindigkeitshöhe.∗ Johann Bernoulli (1667 - 1748) und sein Sohn Daniel Bernoulli (1700 - 1782)waren Angehörige der berühmten SchweizerBernoulli-Familie von Physikern und Mathematikern.In ihren Büchern “Hydraulica“ (Johann)und “Hydrodynamica“ (Daniel) begündeten Vaterund Sohn in hartem Wettbewerb die Strömungsmechanikund erklärten dabei insbesondere dieWechselwirkung zwischen Druck und Geschwindigkeitin stationären und instationären Strömungen(Bernoulli-Gleichung).- 64 -Bilder aus der “Hydraulica“ zur Herleitungder Bernoulli-Gleichung und des Drucks einesWasserstrahls auf eine Platte.

F.5. Energieerhaltung (Energiesatz)Dann folgt:In idealer Strömung ist längs einesStromfadens die Summe aus geodätischer,Druck- und Geschwindigkeitshöhe konstant.Die Beobachtung lehrt jedoch, daß bei realer Strömung der Energiestrom durch Reibung in Strömungsrichtungabnimmt, was in Gleichung Gl. (F.20) durch die Verlusthöhe h v berücksichtigt ist.Die Bernoulli-Gleichung gilt selbstverständlich auch für eine sich längs des Stromfadens änderndeQuerschnittsfläche. Da letztere in der Gleichung aber nicht explizit erscheint, ist sie ohne Änderungenauch auf eine Stromlinie anwendbar.F.5.4Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichunga) HydrostatikDie lineare Druckzunahme mit der Wassertiefe in einer stehenden Flüssigkeit folgt unmittelbaraus Gleichung (F.23)mit v 1 = v 2 = 0 und p 1 = 0z 1 = z 2 + p 2ρg ;p 2 = ρghb) StaudruckBei der Umströmung eines Körpers tritt an der Vorderseite immer eine Verzweigung einer Stromlinieauf. Im betreffenden Punkt, dem Staupunkt S, ist die Geschwindigkeit null (sonst würde einGeschwindigkeitssprung vorhanden sein, zu dem eine unendliche Beschleunigung nötig wäre).Weit vor dem Körper seien p 1 und v 1 gegeben. Mit z 1 = z 2 und v 2 = 0 ergibt sichp 1ρg + v2 12g= p 2ρgp 2 − p 1 = ρ v2 12(F.26)Im Staupunkt tritt also gegenüber dem Druck in der vom Körper unbeeinflußten Strömung eineDruckerhöhung von p 2 auf, dem sog. Staudruck. Bewegt man sich vom Staupunkt längs derKörperkontur weiter, so lehrt die Bernoulli-Gleichung, daß der Druck wegen zunehmenderGeschwindigkeit wieder abnehmen muß.- 65 -

KAPITEL F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanikc) Ausfluß aus GefäßenDurch eine kleine Öffnung fließe im Punkt 2 Flüssigkeit auseinem Gefäß, dessen Oberfläche so groß sei, daß deren Sinkgeschwindigkeitvernachlässigbar ist.Dann gilt, da p 1 = p 2 = 0z 1 = z 2 + v2 22g ; v 2 = √ 2gh . (F.27)Diese auf Torricelli ∗ zurückgehende Gleichung besagt, daß die Ausflußgeschwindigkeit gleichder Fallgeschwindigkeit eines aus der Höhe h fallenden Körpers ist.d) Druck- und GeschwindigkeitsänderungenGanz allgemein lehrt die Bernoulli-Gleichung, daß längs einer Stromlinie (Stromfaden, Stromröhre)eine Geschwindigkeitsabnahme mit einer Druckzunahme und eine Geschwindigkeitszunahmemit einer Druckabnahme verbunden ist. Diesen dynamischen Druckänderungen ist dieWirkung des hydrostatischen Drucks überlagert, sofern längs der Stromlinie Höhenunterschiedevorhanden sind.F.6 Zusammenhang zwischen Impulssatz und Bernoulli-GleichungIn Abschnitt F.4 wurde der Impulssatz hergeleitet, indem das zweite Newtonsche Gesetz auf einbewegliches Fluidvolumen angewendet und eine Umformulierung für einen ortsfesten Kontrollraumvorgenommen wurde. Der Impulssatz ist damit eine vektorielle Beziehung zwischen allen am Kontrollraumangreifenden Kräften und den ein- und austretenden Impulsströmen.Die klassische Bernoulli-Gleichung (F.25) ergab sich in Abschnitt F.5.3 als ein Sonderfall des allgemeinenEnergieerhaltungssatzes. Letzterer ist in Gl. (F.16) unter Berücksichtigung sowohl der mechanischen(potentiellen und kinetischen) als auch der inneren (thermischen) Energie sowie der durchPumpen und Turbinen zugeführten bzw. entnommenen Energie formuliert worden. Dies ist sinnvoll,weil sich so Reibung als Zuwachs innerer Energie auf Kosten mechanischer Energie darstellen läßt undweil sich Pumpen und Turbinen logisch in die Energiebilanz einfügen.Unter Vernachlässigung von Wärmezufuhr, Reibung, Pumpen und Turbinen reduziert sich der Energieerhaltungssatzzu der Aussage, daß die mechanische Energie erhalten bleibt. In Anwendung aufeine Stromröhre bedeutet dies, daß der Energiestrom längs der Stromröhre konstant ist,ρQ(gz + p ρ + v22)= const.∗ Evangelista Torricelli (1608 - 1647, Italien) formulierte:Flüssigkeiten, die aus einer Öffnung heftig ausströmen, haben die gleiche Geschwindigkeit,die ein schwerer Körper oder ein Tropfen der Flüssigkeit haben”würde, wenn sie aus der Höhe der Oberfläche bis zur Höhe der Öffnung fallenwürden“.Bereits mehr als 100 Jahre früher hatte Leonardo da Vinci das nebenstehendeBild mit den Trajektorien gezeichnet, die beim Austritt eines Strahlsin Abhängigkeit des Abstandes von der Oberfläche entstehen.- 66 -

F.6. Zusammenhang zwischen Impulssatz und Bernoulli-GleichungMit Q = const. (Kontinuitätsgleichung) und ρ = const. (Inkompressibilität) entsteht die klassischeBernoulli-Gleichung.z + pρg + v22g = const.Da in dieser nur die mechanische Energie und der reibungsfreie Fall betrachtet wird, ist es alternativauch möglich, sie aus dem Impulssatz oder direkt aus dem zweiten Newtonschen Gesetz herzuleiten.In den meisten Lehrbüchern wird so vorgegangen, und deshalb soll diese Ableitung nachfolgend wiedergegebenwerden.Man betrachte ein Element ds eines gekrümmten Stromfadens mit veränderlicher Querschnittsfläche Aund wende auf dieses das zweite Newtonsche Gesetz an. (Die Anwendung des Impulssatzes führt zudemselben Ergebnis, ist aber etwas umständlicher.) Die Summe aller am Fluidvolumen in s-Richtungangreifenden Kräfte ist gleich dem Produkt aus Masse und substantieller Beschleunigung.pA + p dA − (p + dp)(A + dA) − ρgA ds sin α = ρA ds dvdtDer zweite Term p dA stellt die Druckkraftkomponente dar, die von der Wand auf das Fluidvolumenin s-Richtung wirkt.Die substantielle Beschleunigung dvdt = ∂v ∂v+v∂t ∂sstationäre Strömung betrachtet wird, ∂v∂tVariable verbleibt, sodaß v ∂v∂ssin α wird ersetzt durch dzds .als vdvds∂v(Gl. (D.6)) vereinfacht sich zu v , da hier nur die∂s= 0. Das bedeutet aber auch, daß s als einzige unabhängigegeschrieben wird.Beim Ausmultiplizieren wird der Term mit dem Produkt dp dA als Term höherer Ordnung vernachlässigt.Damit entsteht folgende Gleichungρg dz + dp + ρv dv = 0- 67 -

KAPITEL F - Erhaltungssätze der Strömungsmechanik( )v2ρg dz + dp + ρ d2= 0Für inkompressible Strömung gilt demnachd(ρgz + p + ρ v22)ρgz + p + ρ v22z + pρg + v22g= 0= const.= const.Dies ist die klassische Bernoulli-Gleichung für die stationäre, inkompressible, reibungsfreie Strömung.Sie besagt, daß die Summe aus geodätischer Höhe, Druckhöhe und Geschwindigkeitshöhe längs desStromfadens konstant ist.- 68 -

Kapitel GStrömungswiderstand- 69 -

KAPITEL G - StrömungswiderstandJedes wirkliche (reale) Fluid weist auf Grund seiner Zähigkeit (Viskosität) einen Verformungswiderstand(innere Reibung) auf und unterscheidet sich dadurch von dem als reibungsfrei angenommenenidealen Fluid. Die Zähigkeit bewirkt, wiederum im Gegensatz zum idealen Fluid, eine Haftung desrealen Fluids an festen Wänden.ideales Fluidreales, d.h. zähes FluidNun werden sich Luft und Wasser nicht wie Teer oder Honig verhalten, d.h. ihre sehr geringe Zähigkeitläßt den Einfluß infolge Haftung an der Wand rasch abklingen, sodaß außerhalb einer Grenzschichtdie Zähigkeit des Fluids nicht mehr in Erscheinung tritt; das Fluid verhält sich dort wie ein ideales.Verfolgt man nun die Grenzschicht längs einer Wandung, so ist eine Zunahme der Grenzschichtdickein Fließrichtung zu verzeichnen. Dies führt z.B. bei genügend langen Rohren dazu, daß sich die Grenzschichtüber den gesamten Fließquerschnitt erstreckt.Wir werden uns in den Abschnitten G.1 bis G.6 ausschließlich dem Reibungswiderstand in langenRohren bzw. Gerinnen widmen. Erst in den Abschnitten G.7 und G.8 werden wir auf weitere Grenzschichtphänomene,wie Ablösungserscheinungen und dem daraus resultierenden Formwiderstand eingehen.G.1 Schubspannungen infolge Viskosität (Zähigkeit)und ScheinviskositätIm Gegensatz zur trockenen Reibung fester Körper ist die innere Reibung zwischen zwei Fluidelementenvom dort herrschenden Druck unabhängig und hängt stattdessen von den Geschwindigkeitsunterschiedenbenachbarter Fluidteilchen ab (präziser ausgedrückt: vom Geschwindigkeitsgradientensenkrecht zur Fließrichtung).In obiger Abbildung befinde sich eine dünne Fluidschicht zwischen zwei Platten, von denen die oberemit der Geschwindigkeit v bewegt wird und die untere fest ist. Aufgrund der Haftbedingung wird dasFluid an der oberen Platte ebenfalls die Geschwindigkeit v aufweisen, während an der unteren Plattedie Geschwindigkeit Null sein muß. Die Zähigkeit des Fluids bewirkt, daß der Formänderung (Scherung)der Fluidschicht ein Widerstand entgegengesetzt wird, d.h. an der Platte treten Wandschubspannungenτ 0 auf (τ 0 wirkt auf das Fluid). Ebenso werden im Inneren des Fluids Schubspannungen τübertragen. Für Wasser und Luft und viele industriell wichtige Fluide besteht eine lineare Beziehungzwischen Schubspannung und Geschwindigkeitsgradienten, deren Proportionalitätsfaktor η die dyna-- 70 -

Schubspannungen infolge Viskosität (Zähigkeit) und Scheinviskositätmische Zähigkeit genannt wird.τ = η dvdnNewtonsches ∗ Zähigkeitsgesetz (G.1)Neben der dynamischen Zähigkeit η [kg/(m s)] wird noch die kinematische Zähigkeit ν = η/ρ [m 2 /s]als Stoffgröße verwendet. Fluide, die dieser Beziehung genügen, werden als ”Newtonsches Fluid“bezeichnet (nach Newton, der diese Beziehung dem Sinne nach bereits formulierte).Das Konzept des ”Newtonschen Fluids“ ist offensichtlich analog zu dem des “Hookeschen Körpers“der Festkörpermechanik. Jedoch sind beim ersten die Schubspannungen proportional den Verformungsgeschwindigkeiten,beim zweiten porportional den Verformungen.Die Zähigkeit wird von der Molekularbewegung beeinflußt, die bei Flüssigkeiten und Gasen verschiedenartigverläuft. Die Flüssigkeit weist im Gegensatz zu festen Körpern eine aufgelockerte Gitterstrukturauf, die ein gegenseitiges Vorbeigleiten (Fließen) der Moleküle, wenn auch nicht ohne Widerstand,zuläßt. Da sich die Gitterstruktur bei Temperaturerhöhungen zunehmend auflockert, wird dem Fließvorgangentsprechend weniger Widerstand entgegengesetzt – die Zähigkeit nimmt also dementsprechendab.Bei Gasen erhöht sich dagegen die Zähigkeit (Viskosität), wenn die Temperatur zunimmt. Sie wirdhervorgerufen durch eine mittlere Schwankungsbewegung der Gasmoleküle, die eine ”freie Weglänge“l und eine Geschwindigkeit c aufweist. Diese Bewegung führt zu einem lateralen Impulsaustausch mitgegenseitiger Beschleunigung und Verzögerung der Gasschichten.Betrachtet man zwei Gasschichten (1) und (2) der Stärke l, so weisen diese die mittleren Geschwindigkeitenv 1 und v 2 = v 1 +l dv auf. Wir wollen nun die Schubspannung zwischen den Schichten berechnendnund führen zwei Kontrollräume KR 1 und KR 2 ein, die sich jeweils mit der Schichtengeschwindigkeitmitbewegen. Im Mittel erzeugt die Schwankungsbewegung einen Massenstrom ṁ = ρ c 3 A † durch dieKontrollraumfläche A. Bezüglich der mitbewegten Kontrollräume weisen die aus der Nachbarschichteindringenden Moleküle die Relativgeschwindigkeit l dv auf, sodaß der Massenstrom ṁ zugleich einendn∗ Isaac Newton (1642 - 1727) widmete den zweiten Band seiner ”Principia Mathematical Philosophiae Naturalis“den Flüssigkeiten und Gasen. Der ursprüngliche Anlaß seiner Beschäftigung mit dem Strömungswiderstand war dieWiderlegung der Anhänger von Descartes, die davon ausgingen, daß der gesamte Raum mit Materie gefüllt sei. Dieswidersprach Newtons Vorstellung von der Planetenbewegung, die nur in einem leeren Raum möglich war. Er führtezahlreiche Experimente mit Pendeln und Fallgewichten in Luft, Wasser und Quecksilber durch. Daß sich auch ein Genieirren kann, belegte er mit seiner falschen theoretischen Begründung des von Torricelli angegebenen Ausflußgesetzes(s. Abschn. F.5.4c). Die richtige lieferte erst Johann Bernoulli.† Mit dem Faktor 1/3 wird berücksichtigt, daß aufgrund wechselnder Bewegungsrichtungen (dreidimensionale Bewegungder Moleküle) nur ein Teil der Bewegung einen Massenstrom durch die Fläche A bewirkt.- 71 -

KAPITEL G - StrömungswiderstandImpulsstromI ˙ = | ⃗˙ c dvI| = ρ Al3 dn(bzw.⃗˙ I1 = − ⃗˙ I2 )bewirkt. Der einströmende Impulsstrom entspricht einer Schubkraft τA an der Fläche A, sodaß nachDivision durch A folgtτ = ρ c 3 l dvdn = η dvdnDie Zähigkeit von Flüssigkeiten und Gasen ist eine (temperaturabhängige) Fluideigenschaft, die sichaus den stoffspezifischen Molekularbewegungen ableiten läßt. Nun können in den strömenden Fluidenungeordnete Schwankungsbewegungen auftreten, die über den molekularen Bereich hinausgehen. Eshandelt sich hierbei um sogenannte turbulente Bewegungen mehr oder weniger großer Fluidballen.Verläuft die Bewegung dagegen in geordneten Bahnen (von molekularen Schwankungen abgesehen),so spricht man von laminarer Strömung oder Schichtenströmung. Entscheidungskriterien über dasAuftreten von laminaren und turbulenten Fließformen werden in Abschnitt G.3 genannt – wir interessierenuns hier für die Auswirkung der Turbulenz auf die Schubspannung und benutzen dazu nacheinem Gedanken von Prandtl wieder das Modell der molekularen Schwankungsbewegung. Dazu wirdc/3 durch die mittlere Schwankungsgeschwindigkeit c ′ und l durch den Prandtlschen Mischungswegl ′ ersetzt und wir erhalten für die Schubspannung infolge Turbulenzτ ′ = ρ c ′ l ′ dvdn= η′dvdn(G.2)Die Größe η ′ stellt nun keine Stoffgröße mehr dar, denn c ′ und l ′ hängen von den Fließbedingungen abund sind im allgemeinen örtlich verschieden. Im Gegensatz zur Fluideigenschaft η stellt η ′ scheinbareine Viskosität dar. Man spricht deshalb von scheinbarer Zähigkeit der turbulenten Strömung. Dieunmittelbare Wirkung beider Phänomene äußert sich im Auftreten von Schubspannungen, die einemReibungswiderstand entsprechen, wobei i.a. die turbulente (scheinbare) Reibung wesentlich größer alsdie laminare ist:τ ′ ≫ τDie Größen c ′ und l ′ sind einer theoretischen Berechnung noch nicht vollständig zugänglich, da diegesetzmäßige Verursachung der Turbulenz noch ungeklärt ist.Mit einer Kombination aus theoretischen Überlegungen und Experimenten ist jedoch eine rechnerischeErfassung bei Rohr- und Gerinneströmungen für praktische Zwecke hinreichend gelungen. Dieexperimentelle Forschung kann hier nur im Ergebnis wiedergegeben werden; weitere Einzelheiten dazufindet man in der Fachliteratur.- 72 -

G.2. Beziehung zwischen Wandschubspannungund Verlust an StrömungsenergieG.2 Beziehung zwischen Wandschubspannungund Verlust an StrömungsenergieBetrachtet man die Wasserspiegel in zwei Standrohren, die einem durchströmten Rohr aufgesetzt sind,so zeigt es sich, daß der Wasserstand im Standrohr (2) niedriger als im Standrohr (1) ist. Offensichtlichnimmt also der Druck in Fließrichtung ab.Beschränken wir uns momentan auf ein horizontales Rohr, so ist leicht einzusehen, daß auf dieFluidsäule zwischen den Querschnitten (1) und (2) eine resultierende Druckkraft in Fließrichtungwirkt. Es muß also auf die Fluidsäule eine durch die Wandschubspannung verursachte Widerstandskraftwirken, die mit der Druckkraft im Gleichgewicht steht.Andererseits ( stellt ) die Abnahme des Druckes in Fließrichtung eine Verringerung der Strömungsenergiepρg + z + α v2in Fließrichtung dar, da ja z und v konstant sind.2gWir wollen deshalb als erstes eine Beziehung zwischen der Wandschubspannung und dem Energieverlustherleiten, und erst später sehen, wie man diese beiden Größen für eine vorgegebene Durchflußmengebestimmt.G.2.1RohrleitungWandschubspannungen τ 0 wirkenauf das strömende FluidWir betrachten ein Rohrstück der Länge l, dem konstanten Querschnitt A bzw. Umfang U und derRohrachsenneigung θ.Wegen A = const. und ρ = const. ist die Geschwindigkeit v = const., sodaß I ˙ ein = I ˙ aus ist. DerImpulssatz Gl. (F.13) geht somit in eine Gleichgewichtsbedingung der in Richtung der Rohrachse- 73 -

KAPITEL G - Strömungswiderstandwirkenden Kräfte über:∑F = p1 A − p 2 A − τ} {{ } 0 Ul + ρg Al sin θ} {{ } } {{ }Druck- Schub- GewichtskraftDer Sinus des Neigungswinkels θ läßt sich durch die geodätische Höhe z ausdrücken= 0Damit folgtsin θ = (z 1 − z 2 )/l .(p 1 − p 2 ) A − τ 0 Ul + ρg A (z 1 − z 2 ) = 0( ) ( )p1ρg + z p21 −ρg + z 2= Ulρg A τ 0(G.3)Andererseits liefert die erweiterte Bernoulli-Gleichung Gl. (F.19) die folgende Beziehung, wobeiWellenarbeit P Null gesetzt ist.gz 1 + p 1ρ + α v2 12 = gz 2 + p 2ρ + α v2 22 + gh vWegen v 1 = v 2 reduziert sich die Gleichung zu( ) ( )p1ρg + z p21 −ρg + z 2= h v (G.4)Man beachte, daß die Wandschubspannung τ 0 keine Arbeit leistet, und somit nicht in die Energiebilanzeingeht (v = 0 an der Wand).Die Größe h v wird als Verlusthöhe definiert und stellt den Verlust an Strömungsenergie in der Dimensioneiner Länge dar.Durch Vergleich von Gl. (G.3) und Gl. (G.4) folgt die Beziehung zwischen Verlusthöhe h v und Wandschubspannungτ 0 :h v =Ulρg A τ 0 bzw. τ 0 = ρg A h vUl(G.5)Beim Kreisquerschnitt mit dem Durchmesser D ist der Quotient aus Querschnittsfläche Aund Umfang UAU = π (D/2)2π D= D 4❀ D = 4A UMan definiert nun für beliebige Querschnitte denhydraulischen Durchmesser D h = 4A U ,der beim Kreisquerschnitt gerade mit dem Kreisdurchmesser D identisch ist.- 74 -

Beziehung zwischen Wandschubspannung und Verlust an StrömungsenergieUnter Verwendung des hydraulischen Durchmessers kann Gl. (G.5) umgeschrieben werden:h v = 4ρglτ 0 bzw. τ 0 = 1 D h 4 ρg D hh vl(G.6)mitD h = 4A UA =U =durchströmter Querschnittbenetzter UmfangG.2.2Offenes GerinneDie Gleichung Gl. (G.5) bzw. Gl. (G.6) gilt auch für Freispiegelgerinne. Wir werden die Ableitung fürdas Gerinne jedoch wiederholen, um dabei auf einige Besonderheiten dieser Strömung einzugehen.Für das dargestellte Gerinnestück der Länge l und dem Neigungswinkel θ sei eine gleichförmige Bewegungund konstanter Fließquerschnitt A vorausgesetzt. Wassertiefe h und Geschwindigkeit v sindebenfalls konstant. Wie bei der Rohrleitung heben sich auch hier I ein und I aus in der ImpulsgleichungGl. (F.13) gegenseitig auf. Außerdem sind noch die Druckkräfte ρg h S A an den Stellen (1) und (2)gleich. Damit ist allein die Gewichtskomponente mit der Schubkraft im Gleichgewicht:ρg Al sin θ = τ 0 UlEs ist sin θ = z 1 − z 2= (z 1 + h) − (z 2 + h)} {{ l } } {{ l }I SoI W,wobei mit I So das Sohlgefälle und mit I W das Wasserspiegelgefälle bezeichnet wird. (Bei gleichförmigemAbfluß (Normalabfluß) ist I So = I W ).Ersetzt man sin θ durch den Ausdruck für I So , so folgt:z 1 − z 2 =U lρg A τ 0 = 4ρglD hτ 0(G.7)Dieser Gleichgewichtsbeziehung wird nun wie zuvor bei der Rohrströmung eine Energiebilanz gegenübergestellt.Dazu schreiben wir den Energiesatz (F.19) in eine dem Gerinne angepaßte Form um.- 75 -

KAPITEL G - StrömungswiderstandIm Gerinne wird eine hydrostatische Druckverteilung angenommen,sodaß für jeden Punkt des Querschnitts die Größep+ z konstant ist.ρgBezieht man z auf die Gerinnesohle, so istpρg = h (Wassertiefe).Der Energiesatz lautet nung (z 1 + h 1 ) + α v2 12 = g (z 2 + h 2 ) + α v2 22 + gh voder umgeformt:(z 1 + h 1 + α v2 12g ) − (z 2 + h 2 + α v2 22g ) = h v(G.8)Bei vorausgesetzter gleichförmiger Strömung und konstantem Fließquerschnitt A ist h 1 = h 2 undv 1 = v 2 , Damit ergibt der Vergleich von Gl. (G.7) und (G.8) in Übereinstimmung mit Gl. (G.5):h v =Ulρg A τ 0Die Beziehungen (G.5) bzw. (G.6) sind also für Rohr- und Gerinneströmungen gültig und gestatten,den infolge Wandreibung auftretenden Verlust an Strömungsenergie durch die Wandschubspannungauszudrücken.Über die Ursache der Wandschubspannung und ihre Berechnung aus der Fließgeschwindigkeit ist damitnoch nichts ausgesagt – dies soll nun Inhalt der folgenden Abschnitte sein.G.3 FließartenNach einem Versuch von Reynolds ∗ lassen sich in einer Rohrströmung zwei grundlegend verschiedeneStrömungsformen nachweisen:laminare Strömungturbulente Strömung∗ Osborne Reynolds (1842 - 1912), britischer Ingenieur und Physiker, war einer der großen Experimentatoren in derStrömungsmechanik (und anderen Gebieten). Er demonstrierte die Kavitation, arbeitete mit hydraulischen Tidemodellenund studierte den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung. Die Reynolds-Zahl wurde von ihm als maßgeblicheKennzahl der Strömung entwickelt. Ebenfalls schuf er das Konzept, die turbulente Strömung als eine Überlagerungeiner Grundströmung mit turbulenten Schwankungen aufzufassen, wodurch es ihm gelang, die Grundgleichungen derzähigkeitsbehafteten Strömung (Navier-Stokes-Gleichungen) auch auf die turbulente Strömung anzuwenden.- 76 -

G.3. FließartenMengt man einer Rohrströmung über ein Röhrchen einen Farbstoff bei, so kann unter gewissen Versuchsbedingungenerreicht werden, daß dieser als geradliniger Strahl von der Strömung mitgeführtwird. Dies läßt erkennen, daß sich die Flüssigkeitsteilchen auf wohlgeordneten Bahnen bewegen. Einederartige Strömung wird laminar genannt. Ändert man die Versuchsbedingungen, z.B. durch Erhöhungder Fließgeschwindigkeit, so bemerkt man, daß der Farbstrahl unruhig wird und an wechselnden Stellenzerflattert. Bei zunehmender Geschwindigkeit verschwindet er schließlich, d.h. der Farbstoff hatsich mit dem Wasser völlig vermischt.Beim Übergang in die neue Strömungsform treten offensichtlich Schwankungen, d.h. Quer- und Längsbewegungenauf, die Bewegung der Fluidteilchen verläuft wirbelig. Die Entstehung dieser turbulentenStrömung kann durch Anfangsstörungen am Rohreinlauf oder durch Erschütterungen beschleunigtwerden.Nach einem Vorschlag von Reynolds (1895) wird die turbulente Strömung in eine Grundbewegungund eine unregelmäßige Schwankungsbewegung (Mischbewegung) aufgeteilt:⃗v ∗ = ⃗v + ⃗v ′Hierbei ist ⃗v der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeit ⃗v ∗ der Fluidteilchen und ⃗v ′ die Schwankungsgeschwindigkeit.Für die übrigen Strömungsgrößen gelten entsprechende Beziehungen:Druck p ∗ = p + p ′Dichte ρ ∗ = ρ + ρ ′Temperatur T ∗ = T + T ′etc.Die unregelmäßig schwankenden Größen ⃗v ′ , p ′ etc. sind einer direkten Berechnung kaum zugänglich undkönnen allenfalls mit statistischen Methoden erfaßt werden. Man wird daher in der Regel versuchen,Beziehungen für den zeitlichen Mittelwert ⃗v, p etc. anzugeben.Der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeit ⃗v ist1∆tt 0 ∫+∆tt 0⃗v ∗ dt = 1 ∆tt 0 ∫+∆tt 0⃗v dt + 1 ∆tt 0 ∫+∆tt 0⃗v ′ dt = ⃗v + 1 ∆tt 0 ∫+∆tt 0⃗v ′ dtErfahrungsgemäß verschwindet die Schwankungsbewegung einer turbulenten Strömung während eineshinreichend großen Zeitintervalls im Mittel. Dies ist eigentlich nicht selbstverständlich und stellt eineCharakterisierung der Turbulenz dar.Man definiert daher:Daraus folgt:t 0 ∫+∆tt 0⃗v ′ dt = 01∆tt 0 ∫+∆tt 0⃗v ∗ dt = ⃗vWir werden im folgenden nur die zeitlichen Mittelwerte betrachten und darüberhinaus bei Rohr- undGerinneströmungen die Geschwindigkeit über den Querschnitt mitteln:- 77 -

KAPITEL G - Strömungswiderstandv m = 1 A∫v dA(vergl. Abschnitt 5.2)(im folgenden wird der Index mweggelassen, wenn sich aus dem Zusammenhangergibt, daß die querschnittsgemittelteGeschwindigkeitgemeint ist).Geschwindigkeitsprofilbei (1) laminarer und(2) turbulenter StrömungDie Fließform wirkt sich auf die Ausbildung des Geschwindigkeitsprofils aus (siehe obige Abb.), wobeisich im turbulenten Fall aufgrund des lateralen Impulsaustausches eine relativ gleichmäßige Verteilungeinstellt:v m = 0, 5 v max bei laminarer Strömungv m ≃ 0, 8 v max bei turbulenter StrömungIn Abschnitt G.1 wurde bereits darauf hingewiesen, daß turbulente Querbewegungen einen erheblichenImpulsaustausch quer zur Hauptströmung bewirken, was wiederum mit einer Scheinzähigkeit undentsprechenden Schubspannungen verbunden ist. Es ist deshalb beim Übergang von der laminarenzur turbulenten Fließform ein sprunghafter Anstieg des Reibungsverlustes zu verzeichnen, der sich ineinem erheblichen Druckabfall äußert.Die Fließform hat bei Rohr- und Gerinneströmungen, bei Grenzschichtströmungen etc. grundlegendverschiedene Auswirkungen auf Bewegungsform der Strömung und Quantität der Strömungsgrößen.Wir interessieren uns deshalb für die Frage, wann eine laminare und wann eine turbulente Strömungvorliegt.Reynolds hat im Jahre 1883 dargelegt, daß der Umschlag einer laminaren Strömung in eine turbulentevon der nach ihm benannten ZahlRe = vdν[dimensionslos]abhängt. Dabei istv mittlere Fließgeschwindigkeitd Rohrdurchmesser, der allgemein durch den hydraulischen (Abschnitt G.2.1)Durchmesser D h ersetzt werden kannν kinematische Zähigkeit des Fluids (Abschnitt G.1)Auf experimentellem Wege gelangt man zu der Aussage, daß unterhalb einer kritischen Reynoldszahldie Strömung immer laminar bleibt und Störungen wieder abklingen. Die kritische Reynoldszahl wirddurch die jeweilige Versuchseinrichtung beeinflußt und daher wie folgt definiert:Re < 2300 laminare FließformRe > 2300 turbulente FließformIn mit höchster Sorgfalt durchgeführten Versuchen treten laminare Strömungen noch bei ReynoldszahlenRe = 24.000 auf – bei geringsten Störungen erfolgt jedoch ein plötzlicher Umschlag in Turbulenz.- 78 -

G.4. Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilungbei laminarer RohrströmungIn den meisten technischen Anwendungsbereichen treten jedoch immer Störungen auf und zudem sindhier die Reynoldszahlen meist sehr hoch (z.B. 10 5 – 10 7 ), sodaß in der Regel turbulente Strömungenvorliegen.Wie die Existenz einer kritischen Kennzahl ( Re ) bereits andeutet, ist der Umschlag von der laminarenin die turbulente Strömungsform ein Stabilitätsproblem. Die laminare Strömung ist immer eine möglicheStrömungsform. Überschreitet aber die Fließgeschwindigkeit einen bestimmten Wert ( vdν > 2300)wird die laminare Strömung gegen geringste Störungen instabil und geht in die dann stabile turbulenteStrömungsform über.G.4 Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilungbei laminarer RohrströmungRohrströmungen mit Reynoldszahlen kleiner als 2300 kommen in den technischen Anwendungenselten vor, wenn man von sehr dünnen Rohren mit geringer Fließgeschwindigkeit einmal absieht(Re < 2300 ❀ vd < 2300 · ν = 0, 0023 m 2 /s bei Wasser).Die laminare Rohrströmung ist jedoch im Gegensatz zur turbulenten einer theoretischen Betrachtungzugänglich und erlaubt die Darstellung einiger grundsätzlicher Zusammenhänge.Wie in Abschnitt G.2.1 betrachten wir ein Kreisrohr der Länge l mit dem Radius R = d/2 und wendenGleichung (G.5) auf einen zylindrischen Flüssigkeitskörper mit dem veränderlichen Radius r an. Dabeiist die Wandschubspannung τ 0 durch die Schubspannung τ im Inneren des Fluids zu ersetzen.Mit A = πr 2 und U = 2πr sowie dem Newtonschen Zähigkeitsgesetzτ = η dvdn= −ηdvdrτ = 1 2 ρg r l h v = −η dvdr(bei negativem v ist τ positiv) folgt:= −ρνdvdr- 79 -

KAPITEL G - StrömungswiderstandIntegration vondvdrergibt= − gr2νh vlv(r) = − gr24νh vl+ CAus der Randbedingung v(R) = 0 (Haftbedingung) folgt für die IntegrationskonstanteC = gR24νh vlsodaß sich bei laminarer Kreisrohrströmung das folgende parabolische Geschwindigkeitsprofil einstellt:v(r) = gR24ν()1 − r2 hvR 2 l(G.9)v max = v(0) = gR24ν(v(r) =h vl1 − r2R 2 )v maxDie über den Querschnitt gemittelte Geschwindigkeit istv m = 1 2 v max (siehe Abschnitt E.2, Beispiel 2)sodaß wir schließlichh v = 8νlgR 2 v m(G.10)erhalten. Der Verlust an Strömungsenergie hängt also bei laminarer Rohrströmung linear von derFließgeschwindigkeit ab. Wir wenden nun Gleichung (G.10) auf ein horizontales Rohr an und betrachtendie Energiebilanz mit (F.19).z 1 + p 1ρg + α v2 12g= z 2 + p 2ρg + α v2 22g + h vWegen z 1 = z 2 , v 1 = v 2 erhält manp 1 − p 2 = ρg h v = 8ρν lR 2 v m- 80 -

G.5. Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilungbei turbulenter Rohrströmung❀ p 1 − p 2 = 8η lR 2 v m Hagen-Poiseuillesches ∗ Gesetz (G.11)Dieses Gesetz liefert den Druckverlust bei laminarer Rohrströmung und wurde von Hagen (1839) undPoiseuille (1841) auf experimentellem Wege gefunden. Hagen hat dabei bereits erkannt, daß es nurfür ein vollausgebildetes parabolisches Profil – vergleiche (G.9) – gilt, also nicht im Anfangsbereichder Rohrmündung.Wir bringen das Fließgesetz (G.10) noch in eine besondere Form, die auch bei der turbulenten Rohrströmungund den Gerinneströmungen verwendet wird, und gelangen so zu einer einheitlichen Darstellungder Verlusthöhe h v , die eine größere Anzahl meist empirisch gewonnener Formeln ablöst.Beim Kreisrohr ist der Durchmesser d mit dem hydraulischen Durchmesser D h = 4A/U identisch,sodaß der Radius R in (G.10) mit D h /2 verallgemeinert werden kann.h v = 8νlgR 2 v m = 64νvD hl v 2D h 2gWir definieren nun den laminaren Reibungsbeiwertλ = 64Reund erhaltenmit der ReynoldszahlRe = vD hνh v = λ lD hv 22gλ = 64Re(G.12)Kreisrohr: D h = d = 2RIn dieser Form wurde das Fließgesetz von Darcy (1858) und Weisbach (1855) für turbulenteStrömung angegeben.Im nächsten Abschnitt soll nun für den dimensionslosen Reibungsbeiwert λ eine Beziehung bei turbulenterStrömung angegeben werden.G.5 Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilungbei turbulenter RohrströmungGleichungen werden im weiteren für einen Kreisquerschnitt hergeleitet.Wie in Abschnitt G.4 bereits dargelegt, verwenden wir das allgemeinere Widerstandsgesetz (Fließgesetz)nach Darcy und Weisbach:h v = λl v 2D h 2g(G.13)∗ Gottfried Hagen (1779 - 1884), deutscher Ingenieur, und J. C. Poiseuille (1799 - 1869), französischer Physiker,arbeiteten gleichzeitig, aber ohne Kenntnis voneinander an der Durchströmung von Rohren. Hagen studierte bereits vorReynolds den Übergang von laminarer zur turbulenten Strömung.- 81 -

KAPITEL G - StrömungswiderstandDer Reibungsbeiwert λ konnte für die laminare Strömung theoretisch unter der Voraussetzung R = D h2abgeleitet werden:λ = 64Rebei laminarer Strömung(G.14)Im turbulenten Fall können wir für den Beiwert nach Colebrook-White (1938/39) schreiben:( )12, 51√ ⇐ −2 logλ Re √ λ + k3, 71D h(G.15)λ = Reibungsbeiwert[dimensionslos]Re = Reynoldszahl Re = vD hν[dimensionlos]k = äquivalente Sandrauheit [m]D h = hydraulischer Durchmesser [m], Kreisrohr: D h = dk/D h = relative Sandrauheit [dimensionslos]Diese implizite Beziehung ist für eine rechnerische Auswertung sehr unhandlich und wurde von Moody∗ als Diagramm ausgewertet (s.S. 83)Die Formel von Colebrook-White stellt eine Interpolation verschiedener Sonderfälle turbulenterRohrströmungen dar, deren Gesetzmäßigkeiten im einzelnen durch Experimente, gekoppelt mit theoretischenÜberlegungen, ermittelt wurden.Neben den Größen Strömungsgeschwindigkeit v, Durchmesser D h und kinematischer Zähigkeit ν, diesich in der Reynoldszahl Re =vD hniederschlagen, kann bei turbulenter Strömung die Wandbeschaffenheit(d.h. die Rauheit) von maßgeblichem Einfluß auf die Rohrreibung sein. Experimenteνhaben gezeigt, daß sich Rohre mit geringer Rauheit und bei geringerer Reynoldszahl als technischoder hydraulisch glatt verhalten. Bei derartigen Rohren stellt man also keinen Rauheitseinfluß fest,sodaß die Reibungszahl λ nur von der Reynolds-zahl Re abhängt, wie im laminaren Fall.Für laminare Strömungen ergibt sich kein Einfluß der Wandrauheit, wie die Experimente von Hagenund Poiseuille um 1840 gezeigt haben (G.11), und der Reibungsbeiwert ist nur von derReynoldszahl abhängig:λ = 64ReGl. (G.12)∗ Das 1944 von Moody in den U.S.A. veröffentlichte Diagramm ist die Synthese der Forschungsarbeiten vieler Wissenschaftler.Die laminare Strömungsform war eingehend von Hagen (1834) und Poiseuille untersucht worden. DieKurve für hydraulisch glatte Rohre (k/D h = 0) entspricht der 1913 von Blasius angegebenen Gleichung (G.16), die1933 von Prandtl zur Gleichung (G.17) erweitert und von Nikuradse experimentell bestätigt wurde. Der vollkommenrauhe Bereich wurde von Prandtl (1931) und v. Kármán (1930) wiederum mit experimenteller Unterstützungdurch Nikuradse mittels Gleichung (G.18) beschrieben. Coolebrook und White füllten schließlich (1938) durch eineInterpolationsformel (Gl. G.15) den sog. Übergangsbereich aus. Diese Gleichung deckt auch den Bereich aller früherenFormeln mit ab (mit Ausnahme des laminaren Bereiches).- 82 -

Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung bei turbulenter Rohrströmung- 83 -

KAPITEL G - StrömungswiderstandFür turbulente Strömungen in hydraulisch glatten Rohren hat Blasius (1913) ein Gesetz angegeben,wonach ebenfalls λ nur von Re abhängt.λ =0, 3164√Re(G.16)Spätere Versuche haben jedoch gezeigt, daß diese Formel für Re > 100.000 nicht mehr zutrifft.Zu einem allgemeingültigen Gesetz gelangt man durch theoretische Überlegungen, wobei einige Konstantenexperimentell ermittelt werden müssen (siehe z.B. Truckenbrodt, Strömungsmechanik, S.206/207). Wie bei der laminaren Strömung wird auch hier zunächst das Geschwindigkeitsprofil ermittelt:( )vR − r= 5, 75 log v τ + 5, 5v τ νv τ =√ τ0ρSchubspannungsgeschwindigkeit (Definition)τ 0 = ρ λ 8 v2 m Wandschubspannung, folgt aus (G.6) und (G.13)5, 75 und 5, 5 Meßwerte(Die Beziehung gilt nicht in Wandnähe, da dort eine dünne laminare Schicht ”haftet“, und gilt imübrigen nur näherungsweise. In Rohrmitte weist das Profil einen Knick auf.)Nun muß noch die mittlere Geschwindigkeit v m ermittelt werden (vergleiche das Vorgehen im laminarenFall, Abschnitt G.4. Sie ergibt sich zuv m = v max − 4, 07v τ( Rvτv max = v(r = 0) = v τ[5, 75 logν(4, 07 experimentell ermittelt)) ]+ 5, 5Eliminieren von v max und Einsetzen von√λv τ = v m , sowie R = d/2 ergibt schließlich81(√ = 2 log Re √ )λ − 0, 8λ(G.17)wobei die Zahlenwerte 2 und 0,8 den sorgfältigen Meßwerten von Nikuradse (1932) nachträglichangepaßt worden sind. Die Beziehung (G.17) bestätigt die Formel nach Blasius für den BereichRe < 100.000.Beim Widerstandsgesetz des rauhen Rohres kommt die Abhängigkeit des Reibungsbeiwerts λ von derWandbeschaffenheit neu hinzu (bislang nur λ = λ(Re)).- 84 -

Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung bei turbulenter Rohrströmunghydraulisch glatt Übergangsbereich vollkommen rauhδ 0 > k δ 0 < k δ 0 ≃ 0Um zu einer quantitativen Aussage über die Wandrauheit zu gelangen, hat man die sogenannteäquivalente Rauheit k (auch k s ) eingeführt. Die experimentellen Untersuchungen beziehen sich aufRohre, deren Wandung mit Sandkörnern vom Durchmesser k beklebt worden sind. Die tatsächlicheWandbeschaffenheit (z.B. Gußeisenrohr-Verkrustung) wird dabei durch ein äquivalentes k ausgedrückt,das zu gleichen Reibungsverlusten führt. (s.S. 86)Wichtig ist, daß für die grundlegenden Untersuchungen die natürliche bzw. technische Wandbeschaffenheitin ihrer Vielfalt durch eine definierte geometrische Größe (nämlich k) ersetzt wird.Als dimensionslose Größe zur Erfassung der Wandrauheit wird die relative Rauheit k/D h eingeführt.Gesucht wird nun eine Beziehung λ = λ(Re, k/D h ), wobei D h der hydraulische Durchmesser ist (AbschnittG.2.1).Man stellt nun fest, daß drei Fälle zu unterscheiden sind:λ = λ(Re){laminarturbulent, hydraulisch glattλ = λ(Re, k/D h ) turbulent, Übergangsbereichλ = λ(k/D h ) turbulent, vollkommen rauhWenn die Wandunebenheiten durch eine laminare Unterschicht der Dicke δ 0 eingehüllt werden (sieheAbb.), so verhält sich das Rohr wie ein glattes. Die laminare Unterschicht ist natürlich erst recht beivöllig laminarer Strömung vorhanden. Somit ergibt sich in diesem Fall für λ keine Abhängigkeit vonk/D h (siehe (G.12) und (G.17)).In einem Übergangsbereich wird infolge Abnahme der laminaren Schichtstärke δ 0 die Wandrauheit knur teilweise aktiviert. Es ist deshalb sinnvoll, den vollkommen rauhen Bereich zu untersuchen, damitder im Experiment vorgegebene Korndurchmesser k tatsächlich zur Wirkung kommt.- 85 -

KAPITEL G - StrömungswiderstandWiderstandsgesetz für Rohrströmungenh v = λl v 2D h 2g ; D h = 4A U ; τ 0 = ρg Al U h vÄquivalente Rauheit k für rauhe RohreStahlrohrek [mm]Leitungen aus gezogenem Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,01 bis 0,05Geschweißte Rohre von handelsüblicher Güte:neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,05 bis 0,10nach längerem Gebrauch gereinigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,15 bis 0,20mäßig verrostet, leichte Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,40schwere Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Genietete Leitungen mit Längs und Quernähten:a) Bleckdicke unter 5 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,65b) Blechdicke 5 bis 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,95c) Blechdicke über 12 mm und 6-12 mm, wennNietnähte mit Laschen verdeckt . . . . . . . . . . . . . . . . 3d) Blechdicke über 12 mm mit verlaschten Nähten . . . 5,5e) in ungünstigem Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bis 5oGußeisenrohreNeue Leitungen mit Flansch- oder Muffenverbindung . . . 0,15 bis 0,3Gußeiserne Rohre:inwendig bitumiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,12neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 bis 1angerostet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 1,5verkrustet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 3Beton und DruckstollenRohrleitungen und Stollen in Stahlbetonmit sorgfältig handgeglättetem Verputz . . . . . . . . . . . . . . 0,01neue Leitungen aus Schleuderbeton mit glattem Verputz 0,16Betonrohre, Glattstrich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,3 bis 0,8Druckstollen mit Zementverputz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 1,6Betonrohre, roh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 3Beton, schalungsrauh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l0Sonstige RohreAsbest-Zement-Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,1Holzrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,2 bis 1Tabelle nach Schröder, H. und Press, R.: Hydromechanik im Wasserbau;W. Ernst & Sohn, Berlin, München 1966- 86 -

G.6. Wandreibung bei Gerinneströmungvon Kármán (1930) und Prandtl (1932) haben zunächst wieder ein Gesetz für das Geschwindigkeitsprofilabgeleitet, woraus die folgende Beziehung (wie bei (G.17)) entsteht:( )1k√ = −2 log + 1, 14 (G.18)λ D hDie Werte 2 und 1,14 sind wiederum auf experimentellem Wege von Nikuradse (1933) gefundenworden.Für den Übergangsbereich erhält man durch Interpolation der Formeln (G.17), hydraulisch glatt und(G.18), vollkommen rauh nach Coolebrook-White (1938) eine Aussage. Die Beziehung (G.15) erfaßtalle Bereiche der turbulenten Strömung.G.6 Wandreibung bei GerinneströmungWie in Abschnitt G.2.2 bereits ausgeführt, erhalten wir aus (F.19) für das Freispiegelgerinne unterder Annahme einer hydrostatischen Druckverteilung die erweiterte Bernoulli-Energiegleichung füreinen Stromfaden an der Sohle (statt v m wird v geschrieben):z 1 + h 1 + v2 12g = z 2 + h 2 + v2 22g + h v mit α ≃ 1Außerdem führt man noch die folgenden Begriffe ein:Sohlgefälle I So = (z 1 − z 2 )/lWasserspiegelgefälle I W = [(z 1 + h 1 ) − (z 2 + h 2 )]/l[() (Energieliniengefälle I E == h v /lz 1 + h 1 + v2 12g−z 2 + h 2 + v2 22gBei hinreichend langen Gerinnen mit konstanten Fließbedingungen (Sohlgefälle, Reibung, Querschnittetc. konstant) stellt sich eine gleichförmige Strömung, der Normalabfluß ein, und es gilt)]/lh 1 = h 2 ; v 1 = v 2 ; I So = I W = I E- 87 -

KAPITEL G - StrömungswiderstandDer hydraulische Durchmesser D h wurde bereits in Abschnitt G.2.1 eingeführt:D h = 4A U , A durchflossener QuerschnittU benetzter Umfang(A repräsentiert die Gewichtskraftkomponente, U die Schubkraft infolge Wandreibung, siehe AbschnittG.2.2). Daneben wird noch der hydraulische Radius r h benutzt:r h = A U = D h4Experimente zeigen bei gleichförmiger Strömung die gleiche quadratische Abhängigkeit zwischen Fließgeschwindigkeitund Verlusthöhe wie bei der Rohrströmung. Es kann also wieder die Beziehung vonDarcy und Weisbach (G.13) benutzt werden:h v = λl v 2D h 2gbzw.I E = h vl= λ 1 D hv 22g(G.19)Der Reibungsbeiwert λ wird auch hier mit der Interpolationsformel von Colebrook-White (7.10b)bestimmt:( )12, 51√ ⇐ −2 logλ Re √ λ + k3, 71D h(G.20)Die Reynoldszahl wird wie bei der Rohrströmung mit Re = v D hνUmschlag der Fließform gilt die gleiche kritische Grenze:definiert, und für denRe < 2300 laminare StrömungRe > 2300 turbulente StrömungLaminare Gerinneströmungen sind im Bauwesen jedoch kaum vorhanden. Typische äquivalente Rauheitenk sind in der nachfolgenden Tabelle und entsprechende Werte im Diagramm am Ende desAbschnitts G.5 angegeben.Neben den Gleichungen von Darcy-Weisbach und Colebrook-White existieren noch eine Reihe(älterer) empirischer Gesetze, z.B. ist die Formel von Manning-Strickler (1923) ∗ am gebräuchlichsten:v = k St r 2/3hI 1/2E(G.21)∗ Im 18. und 19. Jahrhundert waren Ingenieure mit der Notwendigkeit konfrontiert, Rohrleitungen, Kanäle, Flußstaustufenbauen zu müssen, ohne daß die Gesetzmäßigkeiten des Fließwiderstandes bekannt waren. Sie führten teilweise ohneKenntnis voneinander Natur- und Labormessungen durch und entwickelten daraus empirische Gleichungen, in denen derFließwiderstand aus Geschwindigkeit, Rauheit, Durchmesser bzw. Wassertiefe berechnet wird. Angestrebt wurde eineGleichung, die für Gebirgs- und Flachlandflüsse, Kanäle, Rohrleitungen gleichermaßen anwendbar ist. Die Gleichungen,die dieses Ziel nur sehr bedingt erreichten, die aber z.T. noch heute verwendet werden, tragen meist den Namen ihrerErfinder.Schon 1757 führte Albert Brahm in seinem in Aurich erschienenen Buch ”Anfangsgründe der Deiche- und Wasserbaukunst“aus, daß die verzögernde Wirkung des Fließwiderstandes im Gleichgewicht mit der Schwerkraft und proportionaldem Quadrat der Fließgeschwindigkeit ist. Die erste Formel, die dies zum Ausdruck brachte, war die des FranzosenChezy (1718 - 1798). Es folgten weitere von Manning (1816 - 1897, Irland), Weisbach (1806 - 1871, Deutschland),Darcy (1803 - 1858, Frankreich), Gauckler (1826 - 1905, Frankreich), Ganguillet (1818 - 1894, Schweiz), Kutter(1818 - 1888, Schweiz), Strickler (1887 - 1963, Schweiz).- 88 -

G.6. Wandreibung bei GerinneströmungWiderstandsgesetze für GerinneströmungenDarcy-WeisbachI E = λ 1 v 2Manning-StricklerD h 2gv = k St r 2/3hI 1/2Ebzw.√ 8gv =λ r1/2 hI 1/2k St ˆ= RauheitsbeiwertEmit D h = 4 r hmit λ nach Colebrook-White (G.20) als Funktion der Reynolds-Zahl und derrelativen Rauheit k/D h . Darin ist k die äquivalente (Sand-)rauheit.Gerinne: k St [m 1/3 /s] k [mm]Glatte Holzgerinne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 0,60Glatter unversehrter Zementputz,glatter Beton mit hohem Zementgehalt 80 0,80Hausteinquader, gut gefugte Klinker . . . . . . . . . 70 . . . 80 1,8 . . . 1,5Alter Beton, Bruchsteinmauerwerk . . . . . . . . . . . 50 20Erdkanäle, regelmäßig, rein, ohne Geschiebemittlerer Kies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 75Natürliche Flußbetten, mit Geröllund Unregelmäßigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 30 bis 400Gebirgsflüsse mit grobem Geröll, beiruhendem Geschiebe mit unverkleideter,roher Felswand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 . . . 28 bis 1500wie vor, bei in Bewegung befindlichemGeschiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . 22 bis 3000Stollen und Betonrohrleitungen:Geschliffener Zementputz größter Glätte . . . . . 100 0,01Betonstollen von weniger sorgfältigerAusführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 . . . 80 10 . . . 0,16Alte, aus Einzelrohren bestehendeBetonrohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3 . . . 1Auszug aus Schröder, H. und Press, R.: Hydromechanik im Wasserbau;W. Ernst & Sohn, Berlin, München 1966- 89 -

KAPITEL G - StrömungswiderstandDiese Beziehung gewinnt man aus einem Potenzansatzv = k St r α h I β Ewobei α und β experimentell bestimmt worden sind. Unbefriedigend ist die ”Dimension“ des Rauheitsbeiwertesk St [m 1/3 /s], der nur von der Wandrauheit abhängt (also nicht wie λ auch von Re ).Die k St -Werte sind auf Seite 89 angegeben.Eine Beziehung zwischen λ und k St läßt sich (formal!) ableiten, wenn die Gleichungenv = (2g D h I E /λ) 1/2 aus (G.19) undgleichgesetzt werden:v = k St r 2/3hI 1/2Eaus (G.21)λ = 8g k −2St r−1/3 h(G.22)Beachte: Bestimmt man λ aus (G.22) und setzt dies in (G.19) ein, so benutzt man eigentlich dieFormel (G.21) nach Manning-Strickler.G.7 Grenzschichten und AblösungenIn den vorigen Abschnitten wurde der Verlust an Strömungsenergie infolge Wandreibung eingehendbehandelt. Wir kommen nun zu weitergehenden Betrachtungen über den Wandeinfluß auf Strömungen.Das Newtonsche Zähigkeitsgesetz τ = n dv läßt erkennen, daß sich Fluide geringer Zähigkeit η (z.B.dnWasser, Luft) bei Strömungen mit schwachem Geschwindigkeitsgefälle nahezu reibungsfrei verhalten(τ 0 ≃ 0). Tatsächlich stellt sich überwiegend eine derartige Strömung ein und lediglich in Wandnäheführt die Haftbedingung (v = 0 an der Wand) zu einer Übergangschicht mit starkem Geschwindigkeitsgradienten,sodaß selbst bei geringer Zähigkeit erhebliche Schubspannungen entstehen.Diese Übergangsschicht wurde von Prandtl ∗theoretischen Behandlung zugänglich gemacht.unter dem Begriff Grenzschicht eingeführt und einerDamit wird das Strömungsgebiet in einen äußeren, quasi reibungsfreien Bereich und eine Grenzschicht(Reibungsschicht) mit reibungsbehaftetem Fluid unterteilt.∗ Ludwig Prandtl (1875 - 1953) ist der wohl bedeutendsteStrömungsforscher dieses Jahrhunderts. Er führte die im 19.Jahrhundert sich isoliert entwickelnde theoretische Hydromechanikder Mathematiker mit der angewandten Koeffizientenhydraulik“der Ingenieure zusammen. Sein berühmte-”ster Beitrag ist die Grenzschichttheorie, durch die eine Vielzahlvon Strömungsphänomenen erklärt und berechnet werdenkonnte. Sie entstand in seinen Jahren an der damaligenTechnischen Hochschule Hannover (1901 - 03). Danach wurdeer Direktor des Kaiser-Wilhelm-Instituts für Strömungsforschungin Göttingen, das auf Jahrzehnte zum “Mekka“der Strömungsforscher in aller Welt wurde.- 90 -Prandtls Wasserkanal, den er mit der Hand betriebund in dem er seine ersten bahnbrechenden Untersuchungen(in Hannover) durchführte.

G.7. Grenzschichten und AblösungenDefinition derohne Reibung mit Reibung GrenzschichtdickeDer Übergang zwischen Grenzschicht und Außenströmung verläuft asymptotisch, sodaß die Grenzschichtdickeδ einer Festlegung bedarf. Häufig definiert man δ derart, daß die Geschwindigkeit außerhalbder Grenzschicht um maximal 1% infolge Wandreibung verzögert wird (siehe Abb.). Dabei wirdman nur dann von einer Grenzschicht sprechen, wenn diese relativ dünn bleibt, also infolge geringerZähigkeit der Wandreibungseinfluß rasch abklingt.Längs einer Wandung nimmt die Grenzschichtdicke laufend zu, was in Rohr- und Gerinneströmungenaufgrund langer Fließstrecken dazu führt, daß schließlich der gesamte durchströmte Querschnittunter Wandreibungseinfluß steht. Nur für diese vollausgebildete Strömung gelten auch die Fließgesetzeaus Abschnitt G.4 bis G.6, da ja in den Ableitungen ein entsprechendes Geschwindigkeitsprofilvorausgesetzt wurde.Wir kommen nun zu dem Fließverhalten in der Grenzschicht selbst. Bei einsetzender Strömung entstehtzunächst immer eine dünne laminare Schicht (Haftung an der Wand), die sich anschließend aufbaut. Inder Anlaufstrecke bleibt die Grenzschicht laminar und kann bei ausreichender Fließgeschwindigkeit undhinreichender Grenzschichtdicke, die ja mit Null beginnt und längs der Wandung zunimmt, turbulentwerden. (Auch hier lassen sich kritische Reynoldszahlen angeben.)Charakteristisch für Grenzschichtenist der Ablösevorgang bei umströmtenKörpern, der in der nebenstehendenDarstellung veranschaulichtwird, ohne daß er hier im einzelnenerklärt werden soll.- 91 -Ablösung anscharfkantigen Ecken

KAPITEL G - StrömungswiderstandDas Grenzschichtkonzept wurde von Ludwig Prandtl 1904 veröffentlicht und in den darauffolgendenJahrzehnten in Göttingen weiterentwickelt. Es ist vom technischen Standpunkt aus eine der wichtigstenEntwicklungen in der Strömungsmechanik und erlaubt die Erklärung vieler Phänomene, die vorherunverständlich und widersprüchlich schienen.G.8 Konzentrierte Fließverluste in Rohren und Gerinnen, ζ-WerteAblösung bei plötzlicher Querschnittserweiterung ∗Querschnittsveränderungen, Verzweigungen etc. sind immer mit Verlusten an Strömungsenergie verbunden,bei denen vor allem Ablösungen eine Rolle spielen. Sie sind meist nur geringfügig von derReynoldszahl abhängig, sodaß die entsprechenden Beiwerte ζ als Konstanten betrachtet werdenkönnen. Sie werden in der Formh v = ζ v22g(G.23)in der Bernoulli-Gleichung berücksichtigt.Insgesamt setzt sich die Verlusthöhe h v in der Bernoulli-Gleichung aus Wandreibungsverlusten undder Summe aller Einzelverluste zusammen.∗ aus Eck, B.: Technische Strömungslehre; Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1966- 92 -

G.8. Konzentrierte Fließverluste in Rohren und Gerinnen, ζ-WerteÖrtlich konzentrierte Verlusteh v= ζ v22gBei ζ : v = Geschwindigkeit unmittelbar hinter der StörstelleBei ζ ′ : v = Geschwindigkeit unmittelbar vor der StörstelleG.8.1Ein- und Auslaufverlusteζ = 0, 5 ζ = 0, 25 ζ = 0, 1 ζ ′ = 1, 0G.8.2Umlenkverluster m/d\ β 15 o 30 o 60 o 90 o2 0,03 0,06 0,12 0,145 0,03 0,05 0,08 0,1110 0,03 0,05 0,07 0,11\ β 15 o 30 o 60 o 90 oglatt 0,042 0,13 0,47 1,13rauh 0,062 0,16 0,68 1,27G.8.3VerzweigungsverlusteG.8.3.1scharfkantige Rohre (konst. Durchmesser)β 90 o 90 o 45 o 45 oQ a /Q ζ a ′ ζ d ′ ζ a ′ ζ d′0,2 0,88 -0,08 0,68 -0,060,4 0,89 -0,05 0,50 -0,040,6 0,95 0,07 0,38 0,070,8 1,10 0,21 0,35 0,20- 93 -β 90 o 90 o 45 o 45 oQ a /Q ζ a ζ d ζ a ζ d0,2 -0,40 0,17 -0,38 0,170,4 0,08 0,30 0,00 0,190,6 0,47 0,41 0,22 0,090,8 0,72 0,51 0,37 -0,17

KAPITEL G - StrömungswiderstandG.8.3.2 symmetrische Hosenrohre mit Q a /Q = 0, 5r m /d ζ0,5 4,40,75 2,41,0 1,61,5 1,02,0 0,8β ζ10 o 0,430 o 1,245 o 2,860 o 4,090 o 5,6G.8.4QuerschnittsänderungErweiterungζ ′ =Verengung( ) 2 (A1− 1ζ = 0, 5 1 − A ) 22A 2 A 1G.8.5VerschlußorganeDrosselklappeRingkolbenschieberbei Großrohrleitungen: ζ = 0, 3 ζ = 1, 5bei Versorgungsleitungen: ζ = 0, 5 bis ζ = 4, 0Quelle:Schröder, H. und Press, R.: Hydromechanik im Wasserbau; W. Ernst & Sohn, Berlin, München 1966Weitere Angaben:Idel ′ chik: Handbook of Hydraulic Resistance; Transl. from Russian, 1966Miller, Donald S.: Internal Flow Systems; BHRA Fluid Engineering, 1978- 94 -

Kapitel HElementare stationäre Rohrströmungen- 95 -

H.1 Grundsätzliche BeziehungenKAPITEL H - Elementare stationäre RohrströmungenDie Strömung in einer Rohrleitung ist das natürlichste und einfachste Beispiel für das strömungsmechanischeKonzept der Stromröhre. Mit Beschränkung auf stationäre, inkompressible Strömungenstehen uns aus den vorangegangenen Kapiteln folgende Grundgleichungen zur Verfügung:KontinuitätsgleichungQ 1 − Q 2 = 0(Gl. F.8)Impulssatz⃗F + ⃗ G + ⃗ S 1 + ⃗ S 2 = 0(Gl. F.14)S = Stützkraft, senkrechtauf SchnittflächeErweiterte Bernoulli-Gleichung(Skizze im nachfolgenden Text)z 1 + p 1ρg + α v2 12g + Pgṁ = z 2 + p 2ρg + α v2 22g + h v(F.20)mit der Verlusthöhe h v =(λl + ∑ ) v2ζD h 2g(G.13) mit (G.23)Der Impulssatz findet vorwiegend Anwendung bei der Berechnung der Kräfte von Fluid auf Rohrwände,insbesondere auf Rohrkrümmer, -verzweigungen, -vereinigungen und -querschnittsänderungen. Darüberist den in Kap. F.4 gemachten Ausführungen nichts hinzuzufügen, sodaß wir uns hier vorwiegend mitder Anwendung der erweiterten Bernoulli-Gleichung beschäftigen. Mit ihrer Hilfe werden wir Durchflüsse,Fließgeschwindigkeiten und Druckverteilungen in Rohrleitungen berechnen.- 96 -

H.1. Grundsätzliche BeziehungenOhne Wellenarbeit P wird für praktische Berechnungen folgende anschauliche Darstellung der Gleichung(F.20) benutzt:Der Ausdruck h E = z + pρg + α v22g- dem Abstand der Rohrachse über einem Bezugshorizont,- der Druckhöhe pρg, sowie der- Geschwindigkeitshöhe α v22g .trägt den Namen Energiehöhe und setzt sich zusammen ausAufgrund des Reibungsverlustes wird bei stationärer Strömung h E grundsätzlich in Fließrichtung kleiner,d.h.die Energielinie ist in Fließrichtung geneigt.In der Drucksonde steht der Wasserspiegel bis zur Drucklinie, im Pitotrohr bis zur Energielinie (letzteresgilt wegen der Ungleichförmigkeit des Geschwindigkeitsprofils nur näherungsweise).- 97 -

KAPITEL H - Elementare stationäre RohrströmungenH.2 Venturi-RohrDas Venturi-Rohr ∗ dient der Messung des Durchflusses in einem Rohr.Bei Vernachlässigung von Verlusten gilt die Bernoulli-Gleichungp 1ρg + α v2 12g = ∆z + p 2ρg + α v2 22gDie Beziehung zwischen der Ablesung der Quecksilbersäule R und den Drücken p 1 und p 2 ist hydrostatischgegeben durchund darausp 1 + ρgz + ρgR − ρ Hg gR − ρgz − ρg ∆z = p 2R =ρρ Hg − ρ( p1ρg − p 2ρg − ∆z ).Setzt man v 1 = Q/A 1 und v 2 = Q/A 2 in die Bernoulli-Gleichung ein und löst diese nach Q auf, soergibt sichQ = µA 1√2g(ρHg − ρ)αρRA 2 1 /A2 2 − 1(H.1)Der Beiwert µ wurde eingeführt, um die Abweichung des wirklichen Durchflusses von dem theoretischberechneten zu erfassen. Er kompensiert nicht berücksichtigte Reibungsverluste. Größenordnungsmäßigist µ = 0, 96 . . . 0, 99 und wird durch Eichung eines Venturi-Rohres gewonnen.Frage:Warum wird p 1 vor der Verengung und nicht hinter der Erweiterung gemessen?∗ Giovanni Battista Venturi (1746 - 1822), italienischer Physiker, führte umfangreiche Messungen in Rohrverengungenund Düsen durch und wurde zu einem der Wegbereiter der experimentellen Hydraulik.- 98 -

H.3. Pumpe, TurbineH.3 Pumpe, TurbineEine Pumpe führt einem Rohrsystem Energie P zu:Erweiterte Bernoulli-Gleichung: (F.20)z 1 + p 1ρg + α v2 1+ P2g gṁ = z 2 + p 2ρg + α v2 22g} {{ }} {{ }h E1h E2P = gṁ (h E2 − h E1 )P = ρgQ ∆h E(H.2)Mit z 1 = z 2 und A 1 = A 2 ist ∆h E = ∆pρg .P = Q ∆pDie Pumpe bewirkt dann eine Druckerhöhung ∆p und hält dadurch die Fördermenge Q aufrecht. Istdagegen z 1 < z 2 und A 2 < A 1 , so wird ein Teil der Leistung dazu verwendet, um den geodätischenHöhensprung ∆z zu überwinden und um das Wasser zu beschleunigen.P ist die dem Fluid zugeführte Leistung. Die Leistungsaufnahme der Pumpe P P ist wegen ihresbegrenzten Wirkungsgrades um 10÷20% höher. Ebenfalls ist die Leistungsaufnahme des Motors höherals die der Pumpe.P M η M P P η P PElektr. Netz =⇒ Motor =⇒ Pumpe =⇒ StrömungP P = η M P M ; P = η P P P ; P = η P η M P M- 99 -

KAPITEL H - Elementare stationäre RohrströmungenAufgabe:Ersetze Pumpe durch Turbine. Zeichnedas Energieliniendiagramm und entwickledie Gleichungen.Beachte:Die Turbine entnimmt der StrömungEnergie, sodaß eine Erniedrigung derEnergielinie erfolgt.Strömung =⇒ Turbine =⇒ Generator =⇒ Elektr. NetzH.4 Rohrsystem mit Pumpeh 1 − h E2 =h E3 − h E2 =h E3 − h 4 =()l A vλ A + ζ ein′ 2Ad A 2gPρg Q = η p P Pρg Q(λ Bl Bd B+ ζ aus) v2B2gBeispiel: gegeben: h 1 , l A , d A , λ A , ζ ein ′ ,h 4 , l B , d B , λ B , ζ aus ,Q, η PIn den Reservoirs sind die Wasserspiegelkoten gleichden Energiehöhen, da dort die Geschwindigkeitenv = 0 sind.h E1 = h 1 ; h E4 = h 4 ;gesucht:Dimensionierung der Pumpe,d.h. welche Förderhöhe ∆h E = h E3 − h E2 und welche Leistungsaufnahme P Pmuß die Pumpe haben, damit eine Fördermenge Q gepumpt werden kann?- 100 -

H.4. Rohrsystem mit PumpeRechengang:Verlusthöhe in Leitung A: h vA =Verlusthöhe in Leitung B: h vB =Förderhöhe:Leistung: P P = ρg QηP()l A Qλ A + ζ ein′ 2d A 2g A 2 A()l B Q2λ B + ζ ausd B 2g A 2 B∆h E = h 4 − h 1 + h vA + h vBDie Gesamtförderhöhe setzt sich aus den Reibungsverlustenh vA + h vB und der geodätischen Förderhöhe h 4 − h 1 zusammen.∆h EAufgabe: Zeichne das Energieliniendiagramm für ein Rohrsystem mit Turbine und entwickle dieGleichungen!- 101 -

frei für Notizen

Kapitel IElementare stationäreGerinneströmungen- 103 -

KAPITEL I - Elementare stationäre GerinneströmungenNeben den Rohrströmungen stellen die Gerinneströmungen das zweite elementare Anwendungsgebietdes Stromröhrenkonzepts dar. Im Abschnitt G haben wir bereits den Verlust an Strömungsenergieinfolge Wandreibung und Turbulenz betrachtet. In diesem Abschnitt werden nun einige grundlegende,durch die freie Oberfläche bedingte, also für die Gerinneströmung typische Erscheinungen behandelt.I.1 NormalabflußWir knüpfen an Abschnitt G.2.2 an und schreiben die Energiegleichung (G.8) für die stationäre Gerinneströmungz 1 + h 1 + α v2 12g = z 2 + h 2 + α v2 22g + h v(I.1)In Gerinnen mit der Sohlneigung I So = tanθ unterliegt der Fließvorgang einerseits einer Beschleunigungg sinθ und andererseits einer Verzögerung infolge Wandreibung. Ein gleichförmiger Abfluß,Normalabfluß genannt, kann sich einstellen, falls Gewichtskraftkomponente in Fließrichtung und Reibungswiderstandgleich sind:ρg Al sinθ = τ o UlFalls ρg Al sinθ > τ o Ul ist, so führt die Beschleunigung zu einer Geschwindigkeitszunahme und damitauch zu einer Vergrößerung des Reibungswiderstandes (vergl. Formel (G.19)), bis schließlich dasGleichgewicht hergestellt ist. Entsprechendes gilt für den umgekehrten Fall. Voraussetzung ist ein prismatischesGerinne konstanten Gefälles, konstanter Rauheit und ausreichender Länge. Der Normalabflußist damit ein Sonderfall der allgemeinen Fließbewegung in offenen Gerinnen. Für die Betrachtungungleichförmiger Strömungen stellt er eine wichtige Hilfsgröße dar. Wegen der Gleichförmigkeit desAbflusses gilt:v = const. (v = v n )h = const. (h = h n )I So = I W = I E (s. Abschnitt G.6)v und h erhalten den Index n, wenn ein Normalabfluß vorliegt.- 104 -

I.1. NormalabflußAls Beispiele für ungleichförmigen Abfluß seien die Senkungs- und Staulinie genannt:SenkungslinieStaulinieDie Relationen zwischen Sohlgefälle I So , Wasserspiegelgefälle I W und Energieliniengefälle I E sind derfolgenden Darstellung zu entnehmen:beschleunigt gleichförmig verzögert(Normalabfluß)I E < I W > I So I E = I W = I So I E > I W < I SoBerechnung des Normalabflusses(s. auch Abschnitt G.6)Die drei Grundaufgaben bei vorgegebener Querschnittsform, d.h. A(h) und U(h) sind bekannte Funktionender Wassertiefe hTyp gegeben: gesucht:1.) k bzw. k St , I So , Q h n , v n2.) k bzw. k St , I So , h n Q, v n3.) k bzw. k St , Q, h n I SoSie werden mit den Formeln von Darcy-Weisbach (G.19) mit dem Reibungsbeiwert λ nach Colebrook-White (G.20), siehe Moody-Diagramm, oder der von Manning-Strickler (G.21) gelöst. Der zweiteWeg ist bei breiten Rechteckquerschnitten einfacher, da er dann ohne Iterationen auskommt.- 105 -

KAPITEL I - Elementare stationäre GerinneströmungenBei Normalabfluß sind die Gefälle gleich: I E = I W = I So → I. Die grundlegenden Formeln lauten:Darcy-Weisbach: I = λ 1 D hv 2 n2gmit D h = 4A U(allgemein)bzw. D h = 4h (breiter Rechteckkanal)λ ist iterativ zu bestimmen. Da natürliche Fließgewässeri.d.R. voll turbulent sind, wählt manzweckmäßig den Startwert λ (0) am rechten Randdes Diagramms (zu k/D h passend).Manning-Strickler: v n = k St r 2/3h I1/2mit r h = A U (allgemein)bzw. r h = h (breiter Rechteckkanal)Tabelle der k St -Werte → Abschnitt G.6 und FormelsammlungGrundaufgabe 1: h n , v n aus k bzw. k St , I So , QManning-Strickler: Q A = k St r 2/3h I1/2QDarcy-Weisbach: I = λ 1 Q 2A ⇐k St r 2/3 ; r h(0) geschätzt a)√D h 2g A 2h I1/2λA ⇐ Q2g D h I ; D Qh(0), λ (0) geschätzt a) bh n ⇐k St hn 2/3(breites Rechteck)I 1/2( )Q 3/5h n ⇐b k St I 1/2 (breites Rechteck b) )❀ h n = h n (A),v n = Q/AGrundaufgabe 2: Q, v n aus k bzw. k St , I So , h nDarcy-Weisbach: I = λ 1 vn2√ D h 2gManning-Strickler: v n = k St r 2/3h2g Dh II1/2 ;v n ⇐ ; λλ(0) geschätzt a)r h = r h (A) b)D h = D h (A) b)❀ Q = Av nGrundaufgabe 3: I So aus k bzw. k St , Q, h nDarcy-Weisbach: I = λ 1 v 2 Manning-Strickler: vnn = k St r 2/3h I1/2D h 2g( ) 2vnmit A = A(h n ), v n = Q/A, D h = D h (A),I =k St r 2/3hRe = v n D h /ν, λ = λ(Re, k/D h ) b) mit A = A(h n ), v n = Q/A, r h = r h (A) b)a) ab hier iterieren!b) ohne Iteration- 106 -

I.2. WellengeschwindigkeitI.2 WellengeschwindigkeitDurch geringes Eintauchen einer Stauwand in eine Gerinneströmung mit der Fließgeschwindigkeitv wird eine Störung der Oberfläche erzeugt. Stromaufwärts pflanzt sich eine Schwallwelle mit derGeschwindigkeit c − v fort und stromabwärts eine Sunkwelle mit der Geschwindigkeit c + v. Die zurStrömung relative Fortpflanzungsgeschwindigkeit c kleiner Störungen kann nach den Formelnallgemeiner Querschnitt c =√g A b(I.2)Rechteckquerschnitt c = √ g h (I.3)berechnet werden, falls die folgende Voraussetzung zutrifft:• Vertikale Beschleunigungen sind vernachlässigbar.(D.h. Die Stromfäden haben vernachlässigbare Krümmung.)Diese Bedingung ist z.B. für winderzeugte Wellen auf dem Meer, auf Flüssen und Seen nicht erfüllt.Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit dieser Wellen ist auch von der Wellenlänge abhängig und deutlichkleiner als nach Gleichung (I.2).√g h1 < √ g h 2Betrachtet man Schwall- und Sunkwellen in Gerinnen,so sind die vertikalen Beschleunigungen sehr gering, unddie Wellengeschwindigkeit läßt sich aus Gl. (I.2) bzw.(I.4) ermitteln. Allerdings führt die unterschiedliche Wassertiefeim Wellenfrontbereich dort zu unterschiedlichenFortpflanzungsgeschwindigkeiten und demzufolge zu einerpermanenten Oberflächenverformung. Wenn sich diedargestellte Welle nach rechts bewegt, wird der Abstande vergrößert, d.h. eine Sunkwelle flacht sich ab.Bei umgekehrter Bewegungsrichtung (relativ zur Hauptströmung)wird sich der Abstand e verkleinern, d.h.eine Schwallwelle steilt sich auf.- 107 -

KAPITEL I - Elementare stationäre GerinneströmungenFür die Geschwindigkeit relativ zum Ufer c + v einer Welle sind vier Fälle zu unterscheiden:Schwallwelle,stromaufwärtsSunkwelle,stromabwärtsSchwallwelle,stromabwärtsSunkwelle,stromaufwärtsI.3 Strömen und Schießen, GrenzbedingungenAnmerkung: Weil es hier nur um die Darstellung prinzipieller Zusammenhänge geht, werden alleAbleitungen am Rechteckquerschnitt durchgeführt, und α grundsätzlich gleich 1,0 gesetzt.v = Q/A;mit A = bh folgtv = q/h, mit q = Q/b (I.4)Damit ist q immer der Abfluß pro Breitenmeter.Die Betrachtungen dieses Abschnitts beziehen sich auf einen Fließquerschnitt an einer festgehaltenenStelle des Gerinnes. Gefälle (I So , I w , I E ), Reibungsverlust, konvektive Beschleunigung etc. sind nurdurch Vergleich benachbarter Querschnitte erfaßbar und wirken sich somit auf die hier angestrebtenlokalen Beziehungen innerhalb eines Querschnitts nicht aus.Wir führen zunächst die folgenden Bezeichnungen ein:h = Wassertiefe h E = Energiehöhez = Sohlkote E = spezifische Energiehöhev 22g= Geschwindigkeitshöhe- 108 -

I.3. Strömen und Schießen, GrenzbedingungenFür stationäre (zeitunabhängige) Strömung erhält man für die Energiehöhe mit (I.4):h E= z + h + v22g = z + h +q22g h 2Die Sohlkote z stellt für einen bestimmten Fließquerschnitt eine Konstante dar, sodaß zweckmäßigerweisenur die spezifische Energiehöhe betrachtet wird:E = h +q2, mit q = Q/b (I.5)2g h2 Die Größen E, q und h, und aus ihnen abgeleitet auch v, stellen Zustandsgrößen dar, die den Fließzustandan einem Fließquerschnitt beschreiben. Gleichung (I.5) stellt eine Beziehung zwischen ihnenher und ist demnach eine Art Zustandsgleichung des Fließquerschnitts. Die Aussagen, die in dieserGleichung enthalten sind, kann man am besten erarbeiten, indem man sie untersucht1.) für q = const. ⇒ E = E(h)2.) für E = const. ⇒ q = q(h) .I.3.1 Betrachtungen bei vorgegebenemkonstanten qDie Funktion (I.5)E = h +q22g h 2besitzt zwei Asymptoten:h = 0 (E-Achse) undE = h (1. Winkelhalbierende).1. Folgerung: Eine Abflußmenge q kann bei gleicher spezifischer Energie mit zwei verschiedenen Wassertiefenabgeführt werden (konjugierte Wassertiefen).2. Folgerung: Eine Abflußmenge q kann nur abgeführt werden, wenn die spezifische Energie gleichoder größer einer minimalen spezifischen Energie, der Grenzenergie, ist. Beim Abfluß im Grenzzustandkönnen kleine Änderungen der spezifischen Energie verhältnismäßig große Änderungenim Wasserstand hervorrufen.- 109 -

KAPITEL I - Elementare stationäre GerinneströmungenWir betrachten nun speziell den Grenzzustand:E = h + q22g h 2(Gl. (I.5))❀ E gr = h gr + q22g h 2 grE gr ist das Minimum von E(h) an der Stelle h = h gr .dEdh ∣ = 0 ❀ 1 − q2= 0hgrgh 3 gr(I.6)❀ h gr = 3 √q 2gGrenztiefe(I.7)E gr = h gr + q22g h 2 gr= h gr + h3 gr2g h 2 gr= 3 2 h gr(Gl. (I.6))(mit (I.7))❀ h gr = 2 3 E gr Grenztiefe (I.8)v gr = qh gr=√2g(E gr − h gr )(Gl. (I.6))= √ gh gr (mit (I.8))❀ v gr = √ gh gr (I.9)Man vergleiche die Formeln (I.3) und (I.9).3. Folgerung: Unter Grenzbedingungen ist die Fließgeschwindigkeit gleich der Wellengeschwindigkeit.Der Abflußvorgang wird wie folgt definiert:strömender Abfluß: v < v gr und h > h gr (I.10)schießender Abfluß: v > v gr und h < h gr (I.11)Bei strömendem Abfluß können sich Störungen stromaufwärts ausbreiten (c > v), bei schießendemAbfluß dagegen nicht (c < v).- 110 -

I.3. Strömen und Schießen, GrenzbedingungenDer Abflußvorgang, ob strömend oder schießend, kann auch mit einer nach Froude ∗ benanntendimensionslosen Kennzahl definiert werden:Fr =v √ gh;Fr < 1 strömendFr = 1 GrenzzustandFr > 1 schießendUnter Beachtung von (I.9) und (I.10, I.11) läßt sich (I.12) unmittelbar ableiten.(I.12)I.3.2 Betrachtungen bei vorgegebenemkonstanten EAus Auflösung von (I.5) nach qE = h + q22g h 2√❀ q = h 2g(E − h)(I.13)4. Folgerung: Bei vorgegebener spezifischer Energie E kann nicht mehr als einemaximale Wassermenge q max abgeführt werden.Aus (I.13) folgt q = √ 2g √ Eh 2 − h 3 und durch die Ableitung√dq 2gdh = 1· √2 Eh 2 − h · (2Eh − 3 3h2 ) .q max(2Eh − 3h 2 ) = h(2E − 3h) = 0dqerhält man ausdh = 0 ,(erfüllt, wenn die rechte innere Ableitung verschwindet)❀ h = 2 3 E (I.14)Ein Vergleich von (I.14) mit (I.8) ergibt die5. Folgerung: Der maximale Abfluß bei vorgegebener spezifischer Energie E findet unter Grenzbedingungenstatt, d.h. h = h gr und v = v gr .Aus (I.13) und (I.14) folgt somitq max =√ 827 gE3 = 2 3 E √g 2 3 E(I.15)∗ William Froude (1846 - 1924), britischer Schiffsbauingenieur, entwickelte den ersten Schiffskanal zur Ermittlungdes Schiffswiderstands und legte dadurch den Grundstein zum sog. hydraulischen Modellversuchswesen. Die nach ihmbenannte Froude-Zahl hat er allerdings selbst nicht gekannt.- 111 -

KAPITEL I - Elementare stationäre GerinneströmungenI.3.3Bestimmung von h und v bei gegebener spezifischer Energie und DurchflußBei Änderung der spezifischen Energie E infolge Sohlschwellen oder -vertiefungen bzw. des auf dieBreite bezogenen Durchflusses q besteht oft die Notwendigkeit, den neuen Fließzustand (h, v) aus denneuen Werten (E, q) zu berechnen.Zunächst ist immer mit Gl. (I.15) zu überprüfen, ob die spezifische Energie E ausreichend ist, denDurchfluß q überhaupt zu transportieren! Die beiden Möglichkeiten sind:• q ≥ q max : Die Natur ”hilft sich selbst“ für Fall, daß die Energie nicht ausreicht: Es wird einAufstau von genau der Höhe erzeugt, daß die notwendige Energie gerade vorhanden ist. DerAbfluß findet also unter Grenzbedingungen statt, siehe (I.7 – I.9). Es wird dann v = √ gh gr undin Umkehrung von (I.8) E ⇐ E gr = 3 2 h gr .• q < q max : Wenn E groß genug ist, führt (I.5) auf eine kubische Gleichung für die unbekannteWassertiefe h mit je einer Lösung für den schießenden bzw. strömenden Zustand sowie einerweiteren (physikalisch unsinnigen), die immer negativ ist. Die Lösung der kubischen Gleichungkann umgangen werden mittels Umstellung von (I.5):E = h + v22g = h + q22g h 2 = h + C h 2 mit C = q22gDamit ergeben sich die Iterationsformeln:Startwert: h (0) = EStrömen:Iteration: h (ν+1) ⇐ E − Ch 2 (ν)(I.4) ❀ v = q/h(I.16)h (0) = 0h (ν+1)⇐Schießen:√CE − h (ν)(I.17)I.3.4GrenzgefälleVorgegeben sei ein Gerinne, in dem Querschnitt, Gefälle und Rauheit konstant sind. Für einen vorgegebenenAbfluß q wird sich bei genügender Länge des Gerinnes ein gleichförmiger Abfluß (Normalabfluß)einstellen, je nach Gefälle ist dieser Abfluß strömend oder schießend. Das Gefälle, bei dem der Abflußgerade unter Grenzbedingungen ablaufen würde, ist das Grenzgefälle I gr .Also gilt bei Normalabfluß:I So < I gr Normalabfluß ist strömendI So = I gr Normalabfluß unter GrenzbedingungenI So > I gr Normalabfluß ist schießendWir hatten dem E-h-Diagramm entnehmen können, daß eine Abflußmenge q bei gleicher spezifischerEnergie sowohl schießend als auch strömend abgeführt werden kann. Die obigen Aussagen über dasGefälle ergeben nun eine zusätzliche Bedingung, sodaß der Fließzustand eindeutig bestimmt ist.Wie im Abschnitt G.6 ausgeführt, kann das Gefälle nach den Formeln von Darcy-Weisbach oderManning-Strickler ermittelt werden:I So = I So (h)I gr = I gr (h gr )- 112 -

I.4. Fließwechsel bei GefälleänderungenI.4 Fließwechsel bei GefälleänderungenWie in Abschnitt I.3 abgeleitet, kann ein vorgegebener Abfluß q sowohl strömend als auch schießendabgeführt werden. Welcher Fließzustand sich einstellt, hängt vor allem von dem vorhandenen Gefälleab. Es ergibt sich also die Frage, wie bei einem Gefällewechsel der Übergang von einer Fließform indie andere vor sich geht.Dazu ist folgendes zu beachten:Schießen:Strömen:v > c; Störungen pflanzen sich mit v + c und v − c nur stromabwärts fort. Damit isteine Beeinflussung des Wasserspiegels nach oberstrom nicht möglich. Der Wasserspiegelstellt sich ganz unabhängig davon ein, welche Bedingungen unterstrom herrschen.v < c; Störungen pflanzen sich mit c−v stromaufwärts und mit c+v stromabwärts fort.Deswegen ist eine Beeinflussung des Wasserspiegels nach oberstrom möglich, sodaß sichdieser in Abhängigkeit davon einstellt, welche Bedingungen unterstrom herrschen.Im obigen Bild sei der Normalabfluß oberstrom des Sohlknicks strömend und unterstrom schießend. Inausreichender Entfernung vom Knickpunkt stellt sich der jeweilige Normalabfluß ein. Über den Knickpunktfließt das Wasser mit der dem gegebenen Abfluß Q zugehörigen minimalen spezifischen Energie,d.h. es stellt sich dort die Grenztiefe ein. Dadurch ist das Wasserspiegelprofil nach unterstrom (imSchießen) und nach oberstrom (im Strömen) widerspruchsfrei festgelegt; der Übergang vom Strömenzum Schießen erfolgt kontinuierlich.Im zweiten Bild sei der Normalabfluß oberstrom des Sohlknicks schießend und unterstrom strömend.Da im Schießen eine Beeinflussung des Wasserspiegels von unterstrom nicht möglich ist, wird der schießendeNormalabfluß sich bis zum Gefälleknick erstrecken. Analog ist im Strömen eine Beeinflussung desWasserspiegels von oberstrom nicht möglich, sodaß sich der strömende Normalabfluß bis zum Sohlknickerstreckt. Dort tritt also ein Sprung der Wassertiefe auf; der Übergang vom Schießen zum Strömen istdiskontinuierlich.- 113 -

KAPITEL I - Elementare stationäre GerinneströmungenDiese Art des Fließens wird mit Wechselsprung bezeichnet. Man kannihn leicht erzeugen, indem man einen Teller waagerecht unter einenfallenden Wasserstrahl hält, wobei sich auf dem Teller eine kreisförmigestehende Welle, d.h. ein Wechselsprung bildet.Kennzeichnend für den Wechselsprung ist der starke Verlust an Strömungsenergie, der in ihm stattfindet.Wir wollen nun die grundsätzlichen Beziehungen für einen Wechselsprung auf horizontaler Sohleableiten.Energiegleichung (Bernoulli):h 1 + v2 12g= h 2 + v2 22g + h vh v kann nicht vernachlässigt werden!Impulssatz:≈ 012 ρgh2 1 + ρh 1 v1 2 − ✒ τ 0 l = 1 2 ρgh2 2 + ρh 2 v22bzw. S 1 = S 2 (Stützkräfte)❀ 1 2 gh2 1 − 1 2 gh2 2 = v2 2 h 2 − v1 2 h 1Kontinuitätsgleichung:Q = v 1 h 1 b = v 2 h 2 b ; v 1 h 1 = v 2 h 2 = q- 114 -

I.4. Fließwechsel bei GefälleänderungenImpulssatz und Kontinuitätsgleichung ergeben zwei Gleichungen für die vier Unbekannten h 1 , v 1 , h 2und v 2 . Sind diese bekannt, so kann aus der Energiegleichung noch die Verlusthöhe h v berechnetwerden.Eine zweckmäßige Auflösung der Gleichungen sei exemplarisch für den Fall durchgeführt, daß dieBedingungen im Oberstrom (h 1 , v 1 ) gegeben sind.Mit h 1 und v 1 ist auch die Froudezahl gegeben: Fr 2 1 = v2 1gh 1. Mit der Kontinuitätsgleichung läßt sichdie Impulsgleichung umformen:h 2 1 − h 2 2 = 2 g (v2 2 h 2 − v 2 1 h 1 )= 2 g v2 1 h 2 1(h 1 + h 2 )(h 1 − h 2 ) = 2 g v2 1 h 2 1( 1h 2− 1 h 1)1h 1 h 2(h 1 − h 2 )h 1 + h 2 = 2 v2 1 h 2 1= 2Fr 2 h 2 11gh 1 h 2 h 2( h2h 1) 2+ h 2h 1− 2Fr 2 1 = 0h 2= 1 [ ]+(−)√1 + 8Fr 2 1 − 1h 1 2❀ h 2 (s. Fußnote) ∗ (I.18)Wegen Vertauschbarkeit der Indizes inden Ausgangsgleichungen gilt ebenso:h 1= 1 [ √]+ 1 + 8Fr 2 2 − 1h 2 2❀ h 1Aus der Kontinuitätsgleichung erhält man die Geschwindigkeit v 2 = v 1h 1h 2. Damit läßt sich schließlichder Verlust an Strömungsenergie im Wechselsprung ermitteln. Der Energiesatz liefert:h v = E 1 − E 2 =(h 1 + v2 12g)−(h 2 + v2 22g)[m]∗ Das negative Vorzeichen der Wurzel ergibt keine Lösung, da nur positive h-Werte in Betracht kommen.- 115 -

KAPITEL I - Elementare stationäre GerinneströmungenI.4.1Zusammenfassende Darstellung des Wechselsprungsh k= 1 [√]1 + 8Fr 2 j − 1h j 2Fr 1 = 1 . . . 1, 7 Welliger SprungFr 1 = 1, 7 . . . 2, 5 Schwacher Sprungh v = E 1 − E 2 = (h 2 − h 1 ) 34h 1 h 2E 2= (8Fr2 1 + 1) 3/2 − 4Fr 2 1 + 1E 1 8Fr 2 1 (2 + Fr 2 1)∆hE 1=√1 + 8Fr 2 1 − 3Fr 2 1 + 2Fr 1 = 2, 5 . . . 4, 5 Oszillierender SprungFr 1 = 4, 5 . . . 9, 0 Stetiger SprungFr 1 = > 9, 0 Starker SprungDer Energieverlust kann sehr hoch sein und überschreitet die Wandreibungsverluste um ein Vielfaches.So werden bei einer Froudeschen Zahl von 2 ca. 10% und bei Fr = 4 bereits ca. 40% derStrömungsenergie dissipiert.Trotzdem sind die damit verbundenen Temperaturerhöhungen sehr gering. Sie lassen sich berechnen,indem man die zur Erwärmung nötige Wärmemenge, ρQc∆T (mit der spezifischen Wärme c), demN mEnergieverlust ρgh v Q gleichsetzt. Daraus folgt ∆T = gh v /c. Mit c = 4200kg K und h v = 100 m(was sehr hoch, aber bei der Überströmung einer großen Talsperre denkbar ist) folgt ∆T = 0, 23 K.In diesen geringen Temperaturänderungen liegt die Ursache, daß bei hydrodynamischen Berechnungenzwar die Energieverluste, nicht aber die daraus resultierenden Temperaturänderungen und die mitdiesen verbundenen Dichteänderungen berücksichtigt werden.- 116 -

Kapitel JAusfluß und Überfall- 117 -

KAPITEL J - Ausfluß und ÜberfallDie Bernoulli-Gleichung erlaubt die Berechnung einiger einfacher, für die praktische Anwendungaber wichtiger Strömungen, von denen hier einige typische Fälle behandelt werden.J.1 Ausfluß durch kleine ÖffnungAusfluß aus einem GefäßEs istz 1 − z 2 = hp 1 = p 2 = 0 (bzw . atm. Druck)v 1 = A 2A 1v 2 .Mit v = v 2folgt aus der Bernoulli-Gleichung (F.25)( )h = v21 − A2 22g A 2 .1Falls A 1 ≫ A 2 kann man die Sinkgeschwindigkeit v 1 im Gefäß vernachlässigen und es gilt(Formel von Toricelli):v = √ 2g h .Die vorhandene Flüssigkeitsreibung führt zu einer verminderten Geschwindigkeitv = α √ 2g h ,wobei der Korrekturfaktor α je nach Größe von h den Wert 0,96 bis 1,0annimmt. Zur Berechnung des Ausflusses Q muß noch die Einschnürung(Kontraktion) des Strahls berücksichtigt werden:Q = µA √ 2g h mit µ = α A e /A (J.1)Ebenso kann der Ausfluß aus einem Staubecken berechnet werden, wenndie Zuströmgeschwindigkeit vernachlässigbar gering ist. Wir betrachtenwieder eine der Stromlinien, für die die Bernoulli-Gleichung gilt:Es istz 1 + h 1 = z 2 + hp 1 = ρg h 1p 2 = 0v 1 = A 2A 1v 2und v 2 = v ,sodaß aus der Bernoulli-Gleichung (F.25) für A 1 ≫ A 2 wieder die Formel von Toricelli folgt.Bei vernachlässigter Zuströmgeschwindigkeit v 1 erfolgt also eine Umsetzung der in Höhe der Öffnung- 118 -

J.2. Ausfluß durch große Öffnunggegebenen statischen Druckhöhe h in die Geschwindigkeitshöhe v 2 /2g = h. Auch hier gilt Formel(J.1).J.2 Ausfluß durch große ÖffnungWenn die Differenz h 2 − h 1 im Vergleich zu (h 1 + h 2 )/2 groß ist, kann die statische Druckänderunggegenüber dem mittleren Druck nicht mehr vernachlässigt werden (vergl. Abschnitt J.1), d.h. v istjetzt eine Funktion von h.v(h) = √ 2g hdQ = v(h) b(h) dhQ =∫h 2v(h) b(h) dhh 1Mit der Breite b = const. und unter Berücksichtigungdes Ausflußbeiwertes µ folgtQ = 2 3 µb √ 2g(h 3/22 − h 3/2 )1(J.2)J.3 Überfall über schmalkroniges WehrDie Überfallgleichung ergibt sich aus Abschnitt J.2mit h 1 = 0❀h 2 = hü .Q = 2 3 µ b h ü√2g hü(J.3)Bei scharfkantigem, belüftetem Überfall (sieheSkizze) beträgt µ ≈ 0, 64. Über dem Wehr ist dieWassertiefe deutlich geringer als die Grenzwassertiefe,da wegen der stark gekrümmten Stromfädenkeine hydrostatische Druckverteilung vorhandenist.- 119 -

KAPITEL J - Ausfluß und ÜberfallJ.4 Überfall über breitkroniges WehrBei geringer Krümmung der Stromfäden kann eine Berechnung als offenes Gerinne erfolgen. Vernachlässigtman Zuströmgeschwindigkeit und Reibungsverluste, so lautet die konstante Energiehöheh E beim Rechteckquerschnitt der Breite bh E= z + h + v22g = z + h +Q22g b 2 h 2 = z + E ,wobei die Größen z, h und v von x abhängen.Der Übergang vom Strömen zum Schießen erfolgt über der Wehrkrone, sodaß sich dort die Grenzbedingungeinstellt:h gr = 2 3 E = 2 3 (h E − z Krone ) = 2 3 h üund h gr = 3 √Daraus folgt Q = 2 3Q 2g b 2 .1 √√ b hü 2g hü3Diese Formel ist mit (J.3) identisch, wenn der Wert 1/ √ 3 = 0, 58 wieder durch den Überfallbeiwert µersetzt wird:Q = 2 √3 µ b h ü 2g hü mit µ = 0, 58- 120 -

J.5.ÜberfallbeiwerteJ.5 Überfallbeiwertea) b) c)d) e) f)Überfallform Kronenausbildung µnach ∗a) breit, scharfkantig, waagerecht . . . . . . . . . . . . . . . 0, 49 . . . 0, 51b) breit, gut abgerundete Kanten, waagerecht. . . . 0, 50 . . . 0, 55c) breit,vollständig abgerundetz.B. mit ganz umgelegter Stauklappe. . . . . . . . . 0, 65 . . . 0, 73d) scharfkantig, Überfallstrahl belüftet . . . . . . . . . . . ≈ 0, 64e) rundkronig, mit lotrechter Oberwasserundgeneigter Unterwasserseite. . . . . . . . . . . . . . . 0, 73 . . . 0, 75f) dachförmig, gut ausgerundet . . . . . . . . . . . . . . . . . . bis 0,79Man beachte die Analogie zu Formel J.1, denn wegen h gr = 2 3 h ü entspricht 2 3 h ü ziemlich genau der√Austrittsöffnung an der Wehrkrone. Der Toricelli-Ausdruck“ 2g hü ist natürlich für mittlere”Verhältnisse zu groß und wird über µ entsprechend vermindert.∗ Press, H.: Stauanlagen und Wasserkraftwerke,Teil II: Wehre, 2. Aufl. Berlin 1959, Wilh. Ernst & Sohn- 121 -

frei für Notizen

Kapitel KStrömungskräfte auf Körper- 123 -

KAPITEL K - Strömungskräfte auf KörperMit den Kräften, die von einem Fluid auf einen festen Körper ausgeübt werden, haben wir uns bereitsmehrfach beschäftigt. Im Rahmen der Hydrostatik wurden im Kapitel C dieses Skriptums die Kräfteuntersucht, die auf einen Körper in einem realen Fluid wirken. Der in Abschnitt F.4 eingeführte Impulssatzermöglicht es mit Hilfe eines sinnvoll gewählten Kontrollraums, bei dem die Strömung amEin- und Austritt bekannt sein muß, die Kräfte (aber keine Druckverteilungen) auf um- und durchströmteKörper zu bestimmen. In Kapitel G wurde der Strömungswiderstand in realen Strömungeneingeführt.In diesem Kapitel sollen nun die wichtigsten Phänomene, die bei der Umströmung bautechnischerProfile durch ein inkompressibles Newtonsches Fluid auftreten, näher beschrieben werden. Fluid bedeutetin diesem Zusammenhang, daß das strömende Medium flüssig oder gasförmig sein kann (vergl.auch Kap. G). Es ergeben sich dadurch keine prinzipiellen Unterschiede im Hinblick auf die wirkendenKräfte, wobei aber zu beachten ist, daß bei flüssigen Medien Kavitation auftreten kann. UnterKavitation versteht man das Auftreten von Dampfblasen in einer strömenden Flüssigkeit, wenn derörtliche Druck in der Strömung kleiner wird als der (temperaturabhängige) Dampfdruck. Beispielsweisebeträgt der Dampfdruck von Wasser bei 20 o C p Dampf = 0, 023 bar absolut. Die bei der Kavitationauftretenden Dampfbläschen brechen meist im weiteren Strömungsverlauf (bei Druckzunahme) unterstarker Geräuschentwicklung schlagartig zusammen und erodieren dabei den um- oder durchströmtenKörper bis hin zur völligen Zerstörung.In der Strömungsmechanik gelten strömende Medien, deren Dichteänderungen klein sind, ∆p/ρ ≃0, 5Ma 2 < 0, 05 als inkompressibel, d.h. bei Luftströmungen mit einer Machzahl Ma = v/a < 0, 3(a → Schallgeschwindigkeit) bzw. einer Strömungsgeschwindigkeit v, die ca. 100 m/s nicht überschreitet,wird die Kompressibilität vernachlässigt.Dieses Kriterium gilt jedoch nur für stationäreStrömungen. Die Berechnung derDruckwellenausbreitung in Flüssigkeitenund Gasen ist z. B. ohne Berücksichtigungder Kompressibilität auch bei mäßigenFließgeschwindigkeiten nicht möglich.Die im Bauwesen auftretenden Strömungsgeschwindigkeitensind auch in Gebietenmit extremen klimatischen Verhältnissen(Taifune, Tornados) mit 70 bis 80 m/s wesentlichgeringer, sodaß die Strömung in derErdatmosphäre ebenso wie die Strömungenflüssiger Medien für Anwendungen innerhalbdes Bauingenieurwesens als inkompressibelangesehen werden kann.Windzonenkarte für die BundesrepublikDeutschland nach DIN 1055-4 (2005)Windzone WZ 1 WZ 2 WZ 3 WZ 4v ref [m/s] 22,5 25,0 27,5 30,0q ref [kN/m 2 ] 0,32 0,39 0,47 0,56Windgeschwindigkeit und Staudruck in 10 m Höhe in ebenem, offenen Gelände, über 10 min gemittelt, mit einerÜberschreitenswahrscheinlichkeit von 0,02 pro Jahr- 124 -

K.1. Strömungskraft, Auftrieb und WiderstandK.1 Strömungskraft, Auftrieb und WiderstandMan betrachte einen Körper in einer Parallelströmung mit der Geschwindigkeit v ∞ und dem Druckp ∞ . In der Umgebung des Körpers wird die Geschwindigkeit nach Größe und Richtung gegenüber v ∞verändert und damit auch der Druck gegenüber p ∞ . Die resultierende Kraft ⃗ F auf den umströmtenKörper ergibt sich nun als Wirkung aller an der Körperoberfläche angreifenden Normal- und Schubspannungen.Die Wirkung der Schwerkraft auf die Druckverteilung (hydrostatischer Druckanteil) unddie dadurch verursachte hydrostatische Auftriebskraft auf den Körper bleiben außer Betracht. Sie kannbei Bedarf additiv der dynamischer Strömungskraft ⃗ F überlagert werden.dF A = (τ sinα − p cosα) dAdF W = (τ cosα + p sinα) dA(K.1)Die Wirkungslinie von ⃗ F wird durch die Körperkontur und die Anströmrichtung von v ∞ festgelegtund verläuft im allgem. nicht durch den Körperschwerpunkt.Mit Bezug auf ein körperfestes Koordinatensystem kann sich neben der Auftriebskraft F A , die imBauwesen oft auch als Quertriebskraft bezeichnet wird, und der Widerstandskraft F W auch ein NickmomentM ergeben.Körper, die symmetrisch zur Anströmrichtung sind, erfahren keine Auftriebskraft. Es sind jedochoszillierende Kraftwirkungen senkrecht zur Strömungsrichtung möglich, die durch unsymmetrischeAblösewirbel entstehen (Abschnitt K.3.2).Die resultierende Strömungskraft ⃗ F und damit auch F A und F W bestehen aus Anteilen, die sich durchIntegration der Schubspannungskräfte einerseits und der Druckkräfte andererseits über die Körperoberflächeergeben.- 125 -

KAPITEL K - Strömungskräfte auf KörperAuftrieb∫F A = F A (τ) + F A (p) =∫τ sin α dA −p cos α dA(K.2)AAWiderstand∫F W = F W (τ) + F W (p) =A∫τ cos α dA +Ap sin α dA(K.3)Reibungswiderstand F WRKörperwiderstandDruck- oder Formwiderstand F WDDie beim Widerstand vorgenommene Aufteilung in einen Druck- und einen Reibungsanteil ist beimAuftrieb bzw. bei der Querkraft nicht üblich.Bei gedrungenen und scharfkantigen Körpern ist derFormwiderstand sehr viel größer als der Reibungswiderstand,während das Verhältnis bei schlanken,sog. stromlinienförmigen Körpern geradezu umgekehrtist. Verständlich wird diese Erscheinung durch diean gedrungenen Körpern auftretenden und durch dieGrenzschichttheorie erklärbaren Ablösungen, die starkeDruckunterschiede zwischen Vorder- und Rückseitedes Körpers verursachen. Im Unterschied dazugehorcht die Druckverteilung an stromlinienförmigenKörpern den Gesetzen der Potentialtheorie.Solange keine Ablösungen auftreten, ist der Druckwiderstand sehr klein und die Widerstandskraftergibt sich aus den zähigkeitsbedingten Schubspannungen an der Oberfläche des Körpers (reiner Reibungswiderstand).Im Fahrzeug- und Flugzeugbau wird• der Reibungswiderstand dadurch minimiert, daß man nach Möglichkeit für eine laminare Grenzschichtsorgt,• der Druckwiderstand dadurch verringert, daß man die Ablösestelle möglichst weit nach hintenverschiebt.Obwohl die Vorgänge, die zur Existenz des Strömungswiderstandes führen, durch die Grenzschichttheoriephysikalisch geklärt sind, ist die theoretische Bestimmung des Widerstandes eines Körpersvon beliebiger Form nicht möglich. Für praktische Rechnungenist es deshalb üblich, den Widerstand mit dimensionslosenProportionalitätsfaktoren, den Widerstandsbeiwertenc, wie nebenstehend zu definieren. Dabei bezeichnetq den Staudruck.q = ρ 2 v ∞ 2F WR = c WR q A RF Wp = c Wp q A p[ kgm s 2 = N m 2 ](K.4)(K.5)- 126 -

K.1. Strömungskraft, Auftrieb und WiderstandA R ist dabei die Oberfläche des Körpers, an der die Schubspannung τden Reibungswiderstand hervorruft. Bei schlanken Körpern verwendetman statt der Oberfläche auch deren Projektion.A p ist die Stirnfläche senkrecht zur Strömungsrichtung.Für den Gesamtwiderstand der Körperumströmung erhält man:∫F W = c W q A bzw. F W =Ac W q dA(K.6)Die erste Form darf nur benutzt werden, wenn c W und q über die gesamte Fläche A konstant sind.Dabei wird die Fläche A bei gedrungenen Körpern in der Regel so gewählt wie A p , sodaßF W = c W q A p = c ′ R q A p + c p q A p= c R q A RA pA p+ c p q A pmit c ′ R = c Rbezogen auf A pA RA p❅ bezogen auf A RÄhnlich dem Gesamtwiderstand gilt für den Auftrieb∫F A = c A q A bzw. F A =Ac A q dA(K.7)Für Tragflügelprofile gilt allgemein: F A > F Wund das NickmomentM = c M q A tbzw. M = ∫ tc M q A dt(K.8)Die Beiwerte c A , c W , c M findet man in Tabellenwerken oft als Funktion des Anstellwinkels α aufgetragen.- 127 -

KAPITEL K - Strömungskräfte auf KörperDa sich die Fläche A mit dem Anstellwinkeländert, ist es zweckmäßig, eine konstante Flächeals Bezugsfläche zu wählen. Als solche wirdim allgemeinen die größte Projektionsfläche derbetreffenden Struktur (Tragflügel, Hallendachusw.) verwendet.Die Beiwerte c A , c W und c M sind im allgemeinenFall abhängig von- Trägheitskräften- Zähigkeitskräften- Schwerekräften- der Kompressibilität Beiwerte c A, c w, c M als Funktion des Anstellwinkelsund damit von der Reynolds-Zahl, der Froude-Zahl und von der Mach-Zahl, deren Einfluß imBereich des Bauwesens (inkompressible Strömung) vernachlässigt werden kann (die Mach-Zahl istdas Verhältnis von Strömungsgeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit).Sehr wichtig ist auch der Einfluß der Geometrie des Körpers sowie dessen Oberflächenrauheit.Es gilt also:c W = c W (Geometrie, Rauheit, Re , Fr , Ma )c A = c A (Geometrie, Rauheit, Re , Fr , Ma )c M = c M (Geometrie, Rauheit, Re , Fr , Ma )Nachfolgend soll an einigen Sonderfällen gezeigt werden, unter welchen Voraussetzungen der Einflußvon Re , Fr , oder Ma vernachlässigbar ist.1.) c W = c W (Geometrie, Rauheit, Ma )Strömung ohne Schwerkrafteinfluß. Sehr hohe Geschwindigkeiten (Ma > 0, 3) und dadurchKompressibilitätseffekte. Reynolds-Zahlen so hoch, daß Zähigkeitskräfte vernachlässigbargegenüber turbulenter Scheinzähigkeit.Beispiel: Flugzeuge über ca. 350 km/h.2.) c W = c W (Geometrie, Rauheit)Bei scharfkantigen Körpern schon bei mäßigen Geschwindigkeiten (Ma < 0, 3) geringerZähigkeitseinfluß.Beispiel: Umströmung scharfkantiger Bauprofile durch Wind.- 128 -

K.2. Körper in idealer Strömung3.) c W = c W (Geometrie, Rauheit, Re )Umströmung scharfkantiger Körper bei kleiner Geschwindigkeit– bzw. stromlinienförmiger Körperauch bei größerer (aber Ma < 0, 3).Beispiel: U-Boot in getauchtem Zustand.4.) c W = c W (Geometrie, Rauheit, Re , Fr )Wie 3.) jedoch Körper nicht vollständig umströmt. Ein Teil der Energie geht über in Wellenenergie,wodurch eine Abhängigkeit von der Froude-Zahl entsteht. Mit zunehmenderGeschwindigkeit wird der Einfluß von Re geringer.Beispiele: Brückenpfeiler, Schiff.K.2 Körper in idealer StrömungIn diesem Abschnitt wird die ideale und drehungsfreie Strömung um einige der für das Bauwesen wichtigenProfile behandelt ∗ . Unter diesen Voraussetzungen können die Gesetze der Potentialströmung zurAnwendung kommen. Wegen der fehlenden Zähigkeitswirkung greifen bei dieser Strömung nur Normalspannungen(Druck) an der Körperkontur an; die Strömung ist also reibungsfrei. Bei der realenUmströmung eines Körpers läßt sich i.d.R. der Bereich außerhalb der Grenzschicht gut mit den Verfahrender Potentialtheorie beschreiben. Auch wird der so ermittelte Druck der Grenzschicht aufgeprägtund entspricht somit in Bereichen ohne Ablösung dem tatsächlichen Druck auf den Körper. Hierausergibt sich die praktische Bedeutung der in diesem Kapitel erarbeiteten Berechnungsansätze, die alleauf der Lösung der Laplace-Gleichung unter Berücksichtigung der jeweiligen Randbedingungenberuhen.∗ Hier nur Kreiszylinder, wegen anderer Profile siehe Teil II des Skripts.- 129 -

KAPITEL K - Strömungskräfte auf KörperK.2.1Umströmung eines KreiszylindersNachfolgend soll nun die Geschwindigkeits- und Druckverteilungeines umströmten Kreiszylinders bestimmt werden. Dain diesem Abschnitt Körper in idealer Strömung betrachtetwerden, tritt hier keine Zähigkeit auf, gibt es keine Haftbedingungund auch keine Grenzschicht.Potential- und Stromfunktion werden beschrieben durch:Potentialfunktion Φ(r, β) = a (r + R 2 /r) cos βStromfunktion Ψ(r, β) = a (r − R 2 /r) sin βRadial- und Tangentialgeschwindigkeiten ergeben sich ausv r = 1 ∂Ψr ∂βv β = − ∂Ψ∂r= ∂Φ∂r= a [ 1 − (R/r) 2 ] cos β= 1 ∂Φr ∂β = −a [ 1 + (R/r) 2 ] sin βFür r → ∞ werden v r = a cos β und v β = − a sin β und damit ist a = v ∞ .Mit α = π − β, v α = −v β gilt auf der Körperkontur, d.h. für r = Rv R = 0v α = 2 v ∞ sin α(K.9)An den Stellen α = 0 und α = π wird v α = 0; dort stellen sich also Staupunkte (S) ein. Die größteUmströmungsgeschwindigkeit ergibt sich für α = π/2:v α = 2 v ∞(K.10)Die Druckverteilung auf der Körperkontur erhält man mit der Bernoulli-Gleichung:p ∞ + q ∞ = p + q mit dem Staudruck: q = ρ 2 v2 [ kgms 2 = N m 2 ]Bezogen auf den Staudruck der Anströmung erhält man schließlich die potentialtheoretisch ermitteltedimensionslose Druckverteilung c pc p = p − p ∞q ∞= 1 − qq ∞= 1 − v2v 2 ∞= 1 − 4 sin 2 α (K.11)- 130 -

K.2. Körper in idealer StrömungIn den beiden Staupunkten S istp − p ∞ = q ∞und der minimale Druck trittbei α = π/2 auf.→ p − p ∞ = −3 q ∞oder c p = −3Nebenstehende Abbildung gibt dieDruckverteilung wieder.Druckverteilung auf der Oberfläche eines Kreiszylinders bei inkompressibler Strömung ∗1) potentialtheoretisch (reibungslos);2) mit laminarem Reibungseinfluß (unterkritisch), Re = v ∞D/ν = 1, 86 · 10 5 bzw. Re = 1, 63 · 10 53) mit turbulentem Reibungseinfluß (überkritisch) Re = 6, 70 · 10 5 bzw. Re = 4, 35 · 10 5Zum Bestimmen des Gesamtwiderstandes F W muß der Druck p über die Oberfläche des Zylindersintegriert werden; der Reibungswiderstand F WR entfällt, da τ = 0.F W = F Wp =∫Up B cos α dU= B∫2π0∫= BRp R cos α dα2π0[q ∞ (1 − 4 sin 2 α) + p ∞]cos α dαd’Alembertsches Paradoxon:Bei inkompressibler und reibungsloser Strömung tritt keine Widerstandskraftauf. Das ist jedoch physikalisch falsch, denn erstensF W = 0(K.12)ist wegen der Wirkung der Schubspannungen an derOberfläche τ ≠ 0 und damit F WR ≠ 0 und zweitens tritt der im oberen Bild dargestellte Wiederanstiegdes Druckes auf der Rückseite des Zylinders bis hin zum Staudruck bei α = 180 o nicht auf, dasich Ablösungen bilden. Der tatsächliche Druckverlauf wird in der Abbildung durch die Kurven (2)und (3) dargestellt. Körper in realer Strömung werden in Abschnitt K.3 behandelt. Im Bauwesentreten umströmte Zylinder in vielfältiger Anwendung auf, z.B. als Masten, Schornsteine, Kühltürme,Vorderseiten von Brückenpfeilern oder Stützen von Offshore-Bauwerken usw.∗ G. Rosemeier: Winddruckprobleme bei Bauwerken; Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1976- 131 -

KAPITEL K - Strömungskräfte auf KörperK.3 Körper in realer StrömungDie Unterschiede zwischen den nach der Theorie idealer Strömungen vorhergesagten Strömungsformenund denen im realen physikalischen Vorgang ablaufenden werden jedem Beobachter eines Experimentsoffenbar. Sie zeigen sich sowohl im Stromlinienverlauf in der Umgebung des Körpers als auch in derDruckverteilung auf die Körperkontur und in der integralen Strömungskraft auf den Körper. Nicht sooffensichtlich und erst durch die Grenzschichttheorie (Prandtl, 1904) erklärt sind die Ursachen fürdiese Unterschiede. Einer rein rechnerischen Behandlung sind sie nur in einigen wenigen Spezialfällenzugänglich, sodaß sich dieser Abschnitt vorwiegend auf experimentelle Forschungsergebnisse stützt,die im Verbund mit theoretischen Überlegungen erzielt wurden.K.3.1Umströmter KreiszylinderDer Kreiszylinder ist ein häufig vorkommendes umströmtes Bauelement sowohl für Konstruktionen, diedem Wind ausgesetzt sind (Schornsteine, Türme, Masten) als auch für solche, die von Wasser umströmtwerden (meerestechnische Konstruktionen, Brückenpfeiler). Er ist gleichzeitig eine Querschnittsform,dessen Umströmung je nach Durchmesser, Rauheit und Anströmgeschwindigkeit sehr unterschiedlicheStrömungsformen zeigen kann. Zum Verständnis sollte man sich an einigen einfachen Aussagen derGrenzschichttheorie orientieren:Beginnend am Staupunkt vor dem Körper baut sich eine Grenzschicht auf, deren Dickeentlang der Körperkontur wächst.Im Bereich einer Geschwindigkeitserhöhung und damit einer Druckabnahme liegen dieStromlinien an der Körperkontur an, eine Ablösung findet nicht statt.Im Bereich einer Geschwindigkeitsabnahme findet eine Ablösung statt, wenn die korrespondierendeDruckzunahme ausreichend groß ist.Eine scharfe Kante am umströmten Körper legt die Ablösepunkte fest (Abreißkante), dagegenist bei abgerundeten Körpern die Lage der Ablösepunkte von der Anströmgeschwindigkeit(präzise: der Reynolds-Zahl) abhängig.Bei turbulenten Grenzschichten liegt der Ablösepunkt weiter hinten als bei laminarenGrenzschichten gleicher Anströmungsgeschwindigkeit.Diese Zusammenhänge spiegeln sich auch in folgender Betrachtung des unendlich langen, quer zurAchse angeströmten Zylinders wider (ebenes Problem). Betrachtet wird also eine zweidimensionaleStrömung mit der Reynolds-Zahl Re = vD/ν mit D als Zylinderdurchmesser. Neben der qualitativenBetrachtung der Umströmung ist der Körperwiderstand F W = c W q A mit der Projektion derStirnfläche des Zylinders A = LD und dem Staudruck q = ρ v 2 ∞/2, von besonderem Interesse.- 132 -

K.3. Körper in realer StrömungRe < 1Bei Luft und Wasser entspricht dies extrem kleinen Geschwindigkeiten;man spricht auch von schleichender Strömung. Die Trägheitsglieder in denNavier-Stokesschen Gleichungen ∗ können vernachlässigt werden.z.B.: D = 10 cm, ν = 10 −6 m 2 /s → v < 10 −3 cm/s.Für eine Kugel in schleichender Strömung gibt es nach Stokes (1851) eineanalytische Lösung:F W = 3 π D ρ ν v ∞bzw. F W = c W q A mit c W = 24/Re.Für den Zylinder ist entsprechendc W =8πRe (2 − ln Re)1 < Re < 5 Eine Erweiterung des Ansatzes von Stokes ist durch Oseen (1910) vorgenommenworden, der in seiner Ableitung die Trägheitskräfte teilweiseberücksichtigt und damit folgenden Beiwert für die Kugel erhält:c W = 24Re (1 + 316 Re)c W =8πRe · (2 − ln Re)für Zylinder5 < Re < 10 Mit zunehmender, aber aus technischer Sicht immer noch sehr kleiner Geschwindigkeit,löst sich an der Rückseite des Zylinders die laminare Grenzschichtab und es entsteht ein Ablösungsgebiet.10 < Re < 60 Die Ablösepunkte wandern nach vorne, wodurch sich das Ablösungsgebietvergrößert.60 < Re < 140 Die Ablösepunkte rücken noch weiter nach vorne und in der Ablösezone bildetsich ein Paar symmetrischer Wirbel. Dieser Zustand ist aber nicht stabilund schlägt in asymmetrische Wirbelbildung um (siehe nächstes Bild).∗ → Anhang Formelsammlung, Erläuterung im Teil II des Skripts- 133 -

KAPITEL K - Strömungskräfte auf Körper140 < Re < 3 · 10 5 Dieser wichtige Bereich entspricht bei D = 0, 1 m und ν = 10 −6m 2 /s einem Bereich der Anströmgeschwindigkeit von 0,0014m/s < v < 3 m/s. Die Ablösepunkte sind asymmetrisch unddabei alternierend. Hinter dem gerade vorn liegenden Ablösepunktbildet sich ein Wirbel aus, der sich mit geringerer Geschwindigkeitvom Körper fortbewegt als die weiter außen liegendeStrömung. Es entsteht eine Reihe alternierender Wirbel,die Kármánsche Wirbelstraße.Das Verhältnis vom Wirbelabstand D senkrecht zur Strömungsrichtung und Wirbelteilung L hängtauch bei großen Re -Zahlen von der Anströmgeschwindigkeit und der Körperform ab. Berechnungenund ausführliche Meßreihen, die v. Kármán (1881 - 1963) durchführte, ergaben, daß das Strömungsbildeiner Wirbelstraße nur dann stabil bleibt, wenn das Verhältnis D/L den Wert 0,208 annimmt.Dieser Wert gilt für den Anfang der Wirbelstraße. Im weiteren Strömungsverlauf wird L größer.Die praktische Bedeutung der Kármánschen Wirbel ist darin begründet, daß durch das alternierendeAblösen der Wirbel eine alternierende, instationäre Kraft besonders senkrecht zur Strömungsrichtung– aber auch in Strömungsrichtung – hervorgerufen wird ∗ . Für technische Belange ist die Kenntnis derFrequenz f K dieser schwingungsanregenden Kraft von großer Wichtigkeit. Sie wird in dimensionsloserForm als Strouhal-Zahl Sr angegeben:Sr = f K Dv ∞(K.13)Dabei ist die Strouhal-Zahl Sr eine Funktion der Reynolds- Zahl. Im Bereich 10 3 < Re < 10 5 istSr nahezu konstant, Sr = 0, 21.∗ Näheres siehe Abschnitt K.3.2- 134 -

K.3. Körper in realer StrömungRe > 3 ∗ 10 5Bei etwa Re = 5000 ist die Grenzschicht noch laminar, während dieAblösezone bereits turbulent ist. Mit zunehmender Anströmgeschwindigkeitbzw. Reynolds-Zahl wird erst der rückwärtige Teil und dannder überwiegende Teil der Grenzschicht turbulent. Dadurch verschiebensich die Ablösepunkte nach hinten, sodaß dieGesamtströmungskraft auf den Zylinder in einem gewissen Geschwindigkeitsbereich mit zunehmenderGeschwindigkeit abnimmt. Ist dieser sogen. überkritische Strömungszustand erreicht, nimmt die Kraftjedoch mit zunehmender Geschwindigkeit wieder zu.Der Übergang von unterkritischer zu überkritischer Strömung findet bei größerer Rauheit des Zylindersbzw. bei starker Turbulenz bereits bei kleineren Reynolds-Zahlen statt.Wie bereits erwähnt, ist der Widerstandsbeiwert c W sowohl von der Reynolds-Zahl als auch von derRauheit des umströmten Körpers abhängig. Ein Vergleich mit dem Reibungsbeiwert für durchströmteRohre (siehe Kapitel 7) scheint deshalb zweckmäßig:durchströmte Rohreλ = λ(Re)laminare Strömungλ = λ(Re, k/D)Übergangsbereichλ = λ(k/D)vollturbulente Strömung(vollkommen rauher Bereich)umströmte Körperc W = c W (Re)unterkritische Strömungc W = c W (Re, k/D)überkritische Strömungc W = c W (k/D)transkritische StrömungWiderstandsbeiwert einesumströmten, hydraulischglatten Kreiszylindersin Abhängigkeit von derReynolds-Zahl- 135 -

KAPITEL K - Strömungskräfte auf KörperDruckverteilung an einem umströmtenKreiszylinder und an einerumströmten KugelVergleich: theoretische Druckverteilung (Potential-Strömung)gemessene Druckverteilung (unterkritisch)gemessene Druckverteilung (überkritisch)Die experimentell ermittelten Widerstandsbeiwerte für die Umströmung eines hydraulisch glattenZylinders sowie entsprechende Druckverteilungen auf der Körperoberfläche sind in den oberen Bildernwiedergegeben.Auf der Vorderseite des Zylinders unterscheiden sich die Druckverteilungen nicht nennenswert; ab etwaφ = 30 o dafür umso stärker. Die Potentialströmung zeigt den typischen Wiederaufbau des Drucks aufder Zylinderrückseite zwischen φ = 90 o und φ = 180 o (2. Staupunkt), der bei der unterkritischenUmströmung gar nicht (vorn liegende Ablösepunkte) und bei der überkritischen Umströmung nurzum Teil auftritt (weiter hinten liegende Ablösepunkte).K.3.2AblösewirbelAblösewirbel entstehen durch die Wirkung der Zähigkeit in Diskontinuitätsflächen der Geschwindigkeit,wie sie durch Ablösung an umströmten Körpern auftreten:Die in den Bildern angedeuteten kleinen Wirbel sind instabil und bilden große stabile Wirbel, z.B. dieKármánschen Wirbel, die im vorherigen Abschnitt K.3.1 am Beispiel des umströmten Kreiszylinderserläutert wurden. Das alternierende Ablösen der Wirbel ruft eine periodische Kraftwirkung besonderssenkrecht zur Strömungsrichtung, aber auch in Strömungsrichtung hervor. Erfahrungsgemäß beträgtdas Verhältnis der maximalen Schwingungsamplituden (schwingungsfähige Struktur vorausgesetzt)quer zur Strömungsrichtung zu denen in Strömungsrichtung etwa 5:1, sodaß letztere im allgemeinenvernachlässigt werden können. Die Frequenz der durch die Wirbelablösung hervorgerufenen instationärenKraft wird in dimensionsloser Form durch die in Abschn. K.3.1 eingeführte Strouhal-Zahlangegeben.- 136 -

K.3. Körper in realer Strömunga) ∗ Kármánsche Wirbelstraßehinter einem Kreiszylinderb) ∗ Bewegungskurve desProfilmittelpunktes p ′c)∗ Strouhal-Zahl Sr in Abhängigkeit von derReynolds-Zahl für einen KreiszylinderDie regelmäßige Kármánsche Wirbelstraße entsprechend der Abbildung a) tritt nur im Bereich vonReynolds-Zahlen zwischen etwa 140 und 3 · 10 5 auf. Nur in diesem Bereich ist die alternierendeQuerkraft so periodisch, daß sie schwingungsanregend wirken kann. Ist dann der Zylinder schwingungsfähiggelagert und stimmt die Frequenz der Ablösungen mit der Eigenschwingungsfrequenz desZylinders überein, treten Schwingungen auf, die z.B. das ”Singen“ von Telegraphenleitungen bewirken.Im Bereich 140 < Re < 500 ergibt sich nach den Messungen eine eindeutige Abhängigkeit derStrouhal-Zahl von der Reynolds-Zahl, entsprechend Abbildung c).Für Re > 1000 kann mit Sr = 0, 21 gerechnet werden. Ebenso ist die Amplitude der alternierendenKraft von der Reynolds-Zahl abhängig (siehe folgende Abbildung).F K = c A,Kρv 22 D sin(2πf Kt)Querauftriebsbeiwert c A,K des quer angeströmten Kreiszylinders als Funktion der Reynolds-Zahl∗ Abb. a), b) und c) nach H.W. Försching: Grundlagen der Aeroelastik; Springer 1974- 137 -

K.4 Kraftbeiwerte und Strouhal-Zahlen fürBauprofile und BauwerkeKAPITEL K - Strömungskräfte auf KörperBauprofile und Bauwerke sind in der Regel scharfkantig, sodaß klar definierte Abreißkanten vorhandensind. Dadurch sind die Strömungskräfte nur geringfügig von der Reynolds-Zahl abhängig, unddie Beiwerte für Widerstand, Auftrieb, Quertrieb (Kraftbeiwerte) werden im technisch interessantenBereich als Konstante betrachtet. Nachfolgend sind für die angeströmte Platte sowie für eine Reihetypischer Profile die Kraftbeiwerte und einige Strouhal-Zahlen zusammengestellt:senkrecht angeströmte Platte; Breite b, Höhe h ∗b/h 1 2 4 10 18 ∞ Kreisplattec w 1, 10 1, 15 1, 19 1, 29 1, 4 2, 01 1, 11Abb. 11.1: Abhängigkeit der Kraftbeiwerte c w , c A undc M von der Anströmrichtung für eine Platte mit b/h ≈ 4F A = c A q b hF W = c W q b hM = c M q b 2 hFür die senkrecht angeströmte Platte α = 0 o ergeben die Schubspannungen keine Komponentein Strömungsrichtung, sodaß der Strömungswiderstand sich ausschließlich aus dem Formwiderstand(Druckwiderstand) bildet. Umgekehrt ist der Strömungswiderstand nur gleich dem verhältnismäßiggeringen Reibungswiderstand, wenn die Platte in Strömungsrichtung weist (α = 90 o ); bei dieser Betrachtungwird die Plattendicke vernachlässigt.∗ z.B. ISBN 3-87700-033-9: Handbuch der Werften; 15. Band 1980oder ISBN 0-86017-1019: Dynamics of Marine Structures; CIRIA Report UR 8 (2nd. Ed.), October 1978→ in beiden Veröffentlichungen sind zahlreiche Literaturangaben enthalten- 138 -

K.4 Bauprofile und Bauwerke – Beiwerteα 0 o 45 o 90 o 135 o 180 oα0 o 45 o 90 o 135 o 180 oc n 1,90 1,80 2,00 -1,80 -2,00c t 0,95 0,80 1,70 -0,10 0,10c n 1,60 1,50 0 -1,50 -1,60c t 0 1,50 1,90 1,50 0c n 1,75 0,85 0,10 -0,75 -1,70c t 0,10 0,85 1,75 0,75 -0,10c n 2,00 1,80 0 -1,80 -2,00c t 0 0,10 0,10 0,10 0c n 1,60 1,50 -0,95 -0,50 1,50c t 0 -0,10 0,70 1,05 0c n 2,10 1,40 0 -1,40 -2,10c t 0 0,70 0,75 0,70 0c n 2,00 1,20 -1,60 -1,10 -1,70c t 0 0,90 2,15 2,40 -2,10c n 2,00 1,55 0 -1,55 -2,00c t 0 1,55 2,00 1,55 0c n 2,05 1,85 0 -1,60 -1,80c t 0 0,60 0,60 0,40 0Ro < 35 · 10α 0 o 15 o 30 o 45 o 60 o 75 o 90 oc n 1,40 1,20 0 -1,20 -1,40c t 0 1,60 2,20 1,60 0c n 1,7 1,7 1,4 1,1 1,1 1,1 0c t 0 0,2 0,3 0,4 0,4 0,2 0,1c n 2,05 1,95 -0,50 -1,95 -2,00c t 0 0,60 0,90 0,60 0c W 1,2 1,0 0,8 0,4 0,2 0 0−c A 0 0,2 0,4 0,4 0,3 0,1 0Abb. 11.2: Kraftbeiwerte von Fachwerkeinzelstäben für verschiedene Anströmrichtungen ∗ProfilSr = f k dv ∞ProfilSr = f k dv ∞ProfilWindrichtg.Windrichtg.Windrichtg.Sr = f k dv ∞0,14 0,17 0,150,12 0,180,14 0,18 0,120,18 0,180,15 0,15 0,140,16∗ nach D. Sachs: Wind Forces in Engineering; Pergamon Press; Oxford, New York, Braunschweig; 1972- 139 -❀ nächste S.

KAPITEL K - Strömungskräfte auf KörperProfilSr = f k dv ∞ProfilSr = f k dv ∞ProfilWindrichtg.Windrichtg.Windrichtg.Sr = f k dv ∞0,18 0,15 0,150,160,15 0,15 0,150,140,180,17 0,14 0,200,15 0,15Abb. 11.3: Strouhal-Zahlen als Funktion des Querschnitts ∗Abb. 11.4: Widerstandsbeiwerte turmartiger,quaderförmiger Gebäude ‡und nach DIN 1055-4 (alt)Abb. 11.5: Vergleich der Auftriebsbeiwerte eines windschnittigenmit denen eines bautechnischen Profils ‡∗ G. Rosemeier: Winddruckprobleme bei Bauwerken; Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1976‡ ebenda- 140 -

K.4 Bauprofile und Bauwerke – BeiwerteIm Hinblick auf die sogenannten Schlagschwingungen (Galloping) ∗ von Profilen unter stationärer Anströmungist es wichtig, für einige typische Querschnitte die Kraftbeiwerte als Funktion der Anströmrichtungaufzutragen:Abb. 11.6: Auftriebsbeiwerte einiger technisch wichtiger Profile †∗ siehe Skript Strömungsmechanik II† nach Försching. H.W.: Grundlagen der Aeroelastik; Springer, 1974- 141 -

KAPITEL K - Strömungskräfte auf KörperQuerschnitt undRauheitStehende Zylinder mitSchlankheitsgrad H/D25 7 1Widerstandsbeiwertc W im überkritischenReynolds-Bereichglatt 0,55 0,50 0,45Abb. 11.7: Widerstandsbeiwerte vonunendlich langen Kreiszylindern mittechnischer Rauheit ∗mäßig rauh 0,90 0,80 0,70sehr rauh 1,20 1,00 0,80glatt, scharfkantig 1,40 1,20 1,00K.5 Druckverteilungen auf BauwerkeIn Ergänzung zu Abschnitt K.4 sollen jetzt die auf ganze Bauwerke wirkenden Kräfte und Druckverteilungennäher untersucht werden. Dies geschieht hier in enger Anlehnung an G. Rosemeier: Winddruckproblemebei Bauwerken; Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1976. In diesem Buch istauch eine Vielzahl von weiteren Literaturhinweisen enthalten.Für das Bemessen von Bauwerken ist eine möglichst genaue Kenntnis der bei der Windbelastungauftretenden Kräfte von großer Bedeutung.Bei tragflügelähnlichen Querschnitten treten z.B. im Bereich kleinerAnstellwinkel Sogbeiwerte bis | c |= 3 auf, die sich auf die Befestigungsstrukturen(z.B. Fassadenanker) dieser Elemente auswirken.Andererseits sind gerade diese Querschnittsformen sehr stabil im Hinblickauf das Entstehen strömungserzeugter Schwingungen.Tragflügelähnliche Querschnitteder BaupraxisInsbesondere bei weit auskragenden Dachkonstruktionen sind die hohenSogbeiwerte zu berücksichtigen, wie spektakuläre Unfälle mitStadiondächern gezeigt haben.∗ nach Zuranski, J.A.: Windbelastung von Bauwerken und Konstruktionen; R. Müller, Köln-Braunsfeld- 142 -

K.5. Druckverteilungen auf BauwerkeNachfolgend wird an einigen speziellen Beispielen statischer Windkraftprobleme gezeigt, an welchenStellen die Gebäude besonders gefährdet und von welcher Größenordnung die dabei auftretendenKraftbeiwerte sind.Abhebeprobleme bei mehrschichtigen Wänden ∗Sturmschäden an Dächern zeigen, daß gerade dieseGebäudeteile durch Windlasten stark beanspruchtwerden. Im Bauwesen wird zwischen• völlig geschlossenen,• teilweise offenen• und offenen BauwerkenAbb. 11.8: Windlastbeiwerte von Stadiondächern nachVersuchen. Im Versuch ermittelte Druckbeiwerte † :a) Wind von vorne (innen)b) Wind von hinten (außen)unterschieden. Aus Messungen ist bekannt, daßvöllig geschlossene Bauweisen nicht zu erreichensind und deshalb ein gewisser Druckausgleichzwischen Überdruck- und Unterdruckzonen stetsstattfindet. In der aktuellen Fassung der DIN 1055wird dieser Effekt jedoch nicht berücksichtigt.∗ nach Haage, K. / Kramer, L.: Neue Erkenntnisse über Windbelastung auf Flachdächern; Das Baugewerbe 3, 1975, 26† Fischer, M.: Überdachung der Haupttribüne des Stuttgarter Neckarstadions; Der Stahlbau 42, 1974- 143 -

KAPITEL K - Strömungskräfte auf KörperK.5.1Wichtigste deutsche Windlastvorschriften (Auszug)DIN 1055, Teil 4 ∗ gibt von der Höhe über Geländeabhängige maßgebliche Windgeschwindigkeiten gemäßnebenstehender Tabelle vor und Beiwerte c p , diedurch Bauwerksart und Anströmrichtung festgelegtwerden. Aus diesen errechnet sich eine durchschnittlicheFlächenbelastung:w = c p q(K.14)Die Schaubilder der nächsten Seiten mit den unterschiedlichenc p -Beiwerten der angeströmten (Luv-)und der windabgewandten (Lee-)Seite sind der Normentnommen.mit w Winddruck auf dieBauwerksoberflächeq = 1 2 ρ v2 ∞ (Staudruck)c pWinddruckbeiwert(Sog negativ)Höhe z über v ∞ (z) qGelände m m/s kN/m 2von 0 bis 8 28,3 0,5über 8 bis 20 35,8 0,8über 20 bis 100 42,0 1,1über 100 45,6 1,3Für rechtwinklig zum Wind stehende Wände ergibt sich demnach allgemeinc p = +0, 8 (Druck) auf der Luv- bzw.c p = −0, 5 (Sog) auf der Leeseite undc p ≥ −0, 7 auf den annähernd in Windrichtung stehenden SeitenFür Rand- und Eckbereiche werden die Beiwerte erheblich erhöht. Stark abhängig von der Dachneigungsind die Druckbeiwerte für die Dachflächen, siehe Abb. 11.9.Abb. 11.9: Druckbeiwerte c p für Sattel- Pult- und Flachdächer †∗ veraltete Fassung von August 1986† aus DIN 1055 (alt) zu nachfolgenden Dachsystemen- 144 -

K.5. Druckverteilungen auf BauwerkeAbb. 11.10: Aerodynamische Druckbeiwerte von Dachsystemen nach DIN 1055 (alt)— Beispiel einer Normvorschrift —- 145 -

KAPITEL K - Strömungskräfte auf KörperAbb. 11.11: Druckbeiwerte für offene Gebäude nach DIN 1055 (alt)Die Winddruckverteilungen in den Abbildungen 11.9 bis 11.11 sind stark schematisiert. Eine detailiertereVerteilung zeigt Bild 11.12 rechts; das Diagramm links ist in die Norm eingegangen.Weiterhin finden sich in der DIN 1055 (alt) auch Kraftbeiwerte c F für sehr viele einzelne undzusammengesetzte Profile (vergleiche K.4) sowie Druckbeiwerte für verschiedenste Bauformen vonfreistehenden Dächern.- 146 -

K.5. Druckverteilungen auf BauwerkeAbb. 11.12: Außendruckbeiwertefür vollwandige, dichte Bauwerkevon rechteckigem Grundriß mitebenen Dachflächen ∗Generell wird in der Norm für Flächen von Baukörpern auf eine genaue Unterteilung der Windlast verzichtet undeine gleichmäßig verteilte Last angenommen – mit schematisierten Erhöhungen in Rand- und Eckbereichen. VoralIem bei der Bemessung von Befestigungen von Strukturen, die der Windlast ausgesetzt sind, ist diese Vorschriftaber u.U. nicht ausreichend, d.h. es sind erhöhte Werte für die Bemessung anzunehmen.K.5.2Ergänzende BetrachtungenUm einen besseren Einblick in diesen Problemkreis zu bekommen, sind in der Vergangenheit vieleModellversuche durchgeführt worden † . Von maßgebendem Einfluß bei Sattel- Pult- und Flachdächernsind der Dachneigungswinkel α und die Ausbildung des Daches.Abb. 11.13: Strömungsbild eines geschlossenen Hausquerschnitts ‡∗ nach: Wind Effects on buildings and Structures; London 1963, Ottawa 1967, Tokyo 1971, London 1975und weitere Seminarreihen† siehe z.B. Lusch, G. und Truckenbrodt, E.: Windkräfte an Bauwerken; Berichte aus der Bauforschung 41,W. Ernst und Sohn, Berlin 1964‡ ebenda- 147 -

KAPITEL K - Strömungskräfte auf KörperDer Dachteil im Anströmungsbereich entspricht zunächst der senkrecht zur Strömung angestelltenPlatte, deren Überdruck-Beiwert vonc p = 0, 8bei sehr langen Platten bis auf etwa c p =1,2 ansteigen kann. Am Dachansatz erfolgt die erste Grenzschichtablösung,die sich meist in einem kräftigen Wirbel mit entsprechenden Unterdruckbeiwertenbemerkbar macht (Abb. 11.12 und 11.13). Bei steiler Dachneigung ist die Ablösezone klein, sodaß derder Anströmung ausgesetzte (luvseitige) Dachteil wieder in eine Überdruckzone gerät.Am Dachfirst erfolgt in jedem Fall die endgültige Grenzschichtablösung mit einer klar ausgeprägtenAblösezone (Leebereich) und einem im zeitlichen Mittel konstanten Unterdruck.Die Darstellung des mittleren Drucks als Grundlageeiner Bemessungsvorschrift ist vor allem beiFlachdächern und auch bei schwach geneigtenDächern problematisch, da durch örtliche Wirbelerscheinungenwesentlich vergrößerte Sogbeiwerte auftreten.Dieser Effekt wird normenmäßig (DIN 1055(alt) durch vergrößerte Sogbeiwerte vor allem an denDachkanten berücksichtigt.Gerade bei Flachdächern erstrecken sich die Nachlaufwirbelüber einen verhältnismäßig großen Dachbereich.Durch Messungen ist belegt, daß die dabeientstehenden Sogbeiwerte durch eine Randattika erheblichabgemindert werden können (Abb. 11.13 und11.14).Die Druckverteilung durch Wind auf Bauwerke darfnicht nur am Einzelbauwerk betrachtet werden, sondernmuß im Zusammenhang mit der Umgebung untersuchtwerden. Gebäude, die z.B. die Bauwerke derUmgebung wesentlich überragen, können die Windverhältnissein ihrer Umgebung stark beeinflussen, wieAbb. 11.15 zeigt.Abb. 11.14: Flachdach ohne und mit Randattika∗∗ nach Haage, K. und Kramer, L.:Neue Erkenntnisse über Windbelastung auf Flachdächern; Das Baugewerbe 3, 1975, 26- 148 -

K.5. Druckverteilungen auf BauwerkeAbb. 11.15: Luftströmung um eine Gruppe niedriger Gebäude und ein Scheibenhochhaus ∗Zwischen Luv- und Leeseite eines Gebäudes sind die Druckdifferenzen sehr hoch. Aus diesem Grundentstehen Luftströmungen von den Überdruckbereichen zu den Unterdruckzonen z.B. durch enge Passagenzwischen Gebäuden, durch Durchgänge und Durchfahrten. Die Druckverteilungen können beispeziellen Gruppierungen nur durch Modellexperimente im Windkanal ermittelt werden.∗ Wise, A., Sexton, D.E. und Lillywhite, S.S.T.:Studies of Airflow Round Buildings; The Architects Journal, Vol.141, 1965- 149 -

frei für Notizen

Anhang IFormeln zur StrömungsmechanikAnmerkung: Im Fachgebiet Strömungsmechanik wird zu Klausuren eine weitere Formelsammlungausgeteilt. Deren Umfang ist identisch mit dem dieses Anhangs.- I.1 -

ANHANG I - FormelsammlungZahlenwerteGröße Zeichen Wert Näherung für KlausurenAtmosphärischer Normaldruck p 0 103.000 Pa 100 kPa = 10 mWsErdbeschleunigung g 9,81 m/s 2 10 m/s 2Stoffwerte (20 o C, Normaldruck)(1 g/cm 3 = 1 kg/l = 1 t/m 3 )Wasser ν W = 1, 0 · 10 −6 m 2 /s ρ W = 1000,0 kg/m 3Luft ν L = 14, 9 · 10 −6 m 2 /s ρ L = 1,2 kg/m 3 ν = ηErdöl (Baku) νÖ = 2, 6 · 10 −6 m 2 /s ρÖ = 824,0 kg/m 3 ρ ; τ = η ∂v∂nHydrostatikLage desDruckmittelpunktesp = ρ ghF x = p S A xF z = ρ gVF = p S A (eben)x D =y D =I ξηy S · A + x SI ξy S · A + y SSchwimmstabilitäth M = I xV − erelativ ruhende Fluide inbewegten Gefäßenp B = p A + ρf r = ω 2 · r∫ BA⃗f ⃗ dsErhaltungssätzeMassenerhaltung∂v x∂x + ∂v y∂y + ∂v z∂zEnergieerhaltungρ 1 v 1 A 1 = ρ 2 v 2 A 2 bzw.v 1 A 1 = v 2 A 2 (ρ = const.)= 0ImpulserhaltungS = βρ v 2 A + püA = βρ Qv + püA⃗S ein + S ⃗ aus + Fäuβere ⃗ + G ⃗ = 0spezifische Energiez 1 + p 1ρg + αv2 12g + Pgṁ = z 2 + p 2ρg + αv2 22g + h vE = h + v22gZahlenangaben sind Näherungswerte zu Übungszwecken ohne Anspruch auf Vollständigkeit- I.2 -

Formeln zur StrömungsmechanikÖrtlich konzentrierte Verlusteh v= ζ v22gBei ζ : v = Geschwindigkeit unmittelbar hinter der StörstelleBei ζ ′ : v = Geschwindigkeit unmittelbar vor der Störstelle1. Ein- und Auslaufverlusteζ = 0, 5 ζ = 0, 25 ζ = 0, 1 ζ ′ = 1, 02. Umlenkverluster m/d\ β 15 o 30 o 60 o 90 o2 0,03 0,06 0,12 0,145 0,03 0,05 0,08 0,1110 0,03 0,05 0,07 0,11\ β 15 o 30 o 60 o 90 oglatt 0,042 0,13 0,47 1,13rauh 0,062 0,16 0,68 1,27Streckenabhängige VerlusteDarcy-Weisbachh v = λl v 2D h 2g ; D h = 4A U ; τ 0 = ρg Al U h v3. Verzweigungsverluste3.1 scharfkantige Rohre (konst. Durchmesser)β 90 o 90 o 45 o 45 oQ a/Q ζ a ′ ζ d ′ ζ a ′ ζ d′0,2 0,88 -0,08 0,68 -0,060,4 0,89 -0,05 0,50 -0,040,6 0,95 0,07 0,38 0,070,8 1,10 0,21 0,35 0,20β 90 o 90 o 45 o 45 oQ a/Q ζ a ζ d ζ a ζ d0,2 -0,40 0,17 -0,38 0,170,4 0,08 0,30 0,00 0,190,6 0,47 0,41 0,22 0,090,8 0,72 0,51 0,37 -0,173.2 symmetrische Hosenrohre mit Q a /Q = 0, 5r m/d ζ0,5 4,40,75 2,41,0 1,61,5 1,02,0 0,8Manning Stricklerβ ζ10 o 0,430 o 1,245 o 2,860 o 4,090 o 5,6Stahlrohrek [mm]Leitungen aus gezogenem Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,01 bis 0,05Geschweißte Rohre von handelsüblicher Güte:neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,05 bis 0,10nach längerem Gebrauch gereinigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,15 bis 0,20mäßig verrostet, leichte Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . . 0,40schwere Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Genietete Leitungen mit Längs und Quernähten:a) Bleckdicke unter 5 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,65b) Blechdicke 5 bis 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,95c) Blechdicke über 12 mm und 6-12 mm, wennNietnähte mit Laschen verdeckt . . . . . . . . . . . . . . . 3d) Blechdicke über 12 mm mit verlaschten Nähten . . 5,5e) in ungünstigem Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bis 5oGußeisenrohreNeue Leitungen mit Flansch- oder Muffenverbindung . . . 0,15 bis 0,3Gußeiserne Rohre:inwendig bitumiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,12neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 bis 1angerostet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 1,5verkrustet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 3Beton und DruckstollenRohrleitungen und Stollen in Stahlbetonmit sorgfältig handgeglättetem Verputz . . . . . . . . . . . . . 0,01neue Leitungen aus Schleuderbeton mit glattem Verputz 0,16Betonrohre, Glattstrich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,3 bis 0,8Druckstollen mit Zementverputz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 1,6Betonrohre, roh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 3Beton, schalungsrauh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l0Sonstige RohreAsbest-Zement-Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,1Holzrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,2 bis 1v = k St r 2/3hI 1/2E ; r h = A UGerinne: k St [m 1/3 /s] k [mm]Glatte Holzgerinne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 0,60Glatter unversehrter Zementputz,glatter Beton mit hohem Zementgehalt . 80 0,80Hausteinquader, gut gefugte Klinker . . . . . . . 70 . . . 80 1,8 . . . 1,5Alter Beton, Bruchsteinmauerwerk . . . . . . . . . 50 20Erdkanäle, regelmäßig, rein, ohne Geschiebemittlerer Kies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 75Natürliche Flußbetten, mit Geröllund Unregelmäßigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 30 bis 400Gebirgsflüsse mit grobem Geröll, beiruhendem Geschiebe mit unverkleideter,roher Felswand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 . . . 28 bis 1500wie vor, bei in Bewegung befindlichemGeschiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . 22 bis 3000Stollen und Betonrohrleitungen:Geschliffener Zementputz größter Glätte . . . 100 0,01Betonstollen von weniger sorgfältigerAusführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 . . . 80 10 . . . 0,16Alte, aus Einzelrohren bestehendeBetonrohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3 . . . 1Tabellen nach Schröder, H. und Press, R.: Hydromechanik im WasserbauW. Ernst & Sohn, Berlin, München 1966- I.3 -

ANHANG I - FormelsammlungReibungsbeiwert λ nach Colebrook-Whiteλ0.07✻0.06k/D0,03300.050.040.030,01600,00830,00400,00200.020,00100,00040,00020,00010.011} 2 {{ 4 6 8}1} 2 {{ 4 6 8}1} 2 {{ 4 6 8}1} 2 {{ 4 6 8 10}∗10 3 ∗10 4 ∗10 5 ∗10 6laminar (Re < 2330): λ = 64Returbulent (Re > 2330):1√λ⇐ −2 · 10 log( 2, 51Re √ λ +)k3, 71 D(iterativ!)Re = vD ν✲Wechselsprungh 2h 1= 1 2(√1 + 8Fr 2 1 − 1Grenzzustand√q 2h gr = 3 g= 2 3 E grv gr = √ gh gr)Spiegelliniengleichungdhds = I h 3 (s) − h 3 nSoh 3 (s) − h 3 grÜberfall: Q = 2 3 µ b h ü√2g hüForm Kronenausbildung µbreit, scharfkantig, waagerecht . . . . . . . . . . . . 0, 49 ÷ 0, 51breit, gut abgerundete Kanten, waagerecht 0, 50 ÷ 0, 55breit,vollständig abgerundetz.B. mit ganz umgelegter Stauklappe . . . . 0, 65 ÷ 0, 73scharfkantig, Überfallstrahl belüftet . . . . . . . ≈ 0, 64rundkronig, mit lotrechter Oberwasserundgeneigter Unterwasserseite . . . . . . . . . . . 0, 73 ÷ 0, 75dachförmig, gut ausgerundet . . . . . . . . . . . . . . bis 0,79Überfallbeiwerte nach Press, H.: Stauanlagen und Wasserkraftwerke,Teil II: Wehre2. Aufl. Berlin 1959, Wilh. Ernst & Sohn- I.4 -

Formeln zur StrömungsmechanikPotentialtheoriev x = ∂Φ∂xv y = ∂Φ∂yv x = ∂Ψ∂yv y = − ∂Ψ∂xLaplace-DGl∆Φ = ∂2 Φ∂x 2 + ∂2 Φ∂y 2 + ∂2 Φ∂z 2Zirkulation∮ ∫Γ = ⃗v ds ⃗ = rot⃗v dABARotationrot(⃗v(x, y, z)) =⎡⎢⎣∂v z∂y − ∂v y∂z∂v x∂z − ∂v z∂x∂v y∂x − ∂v x∂y⎤⎥⎦StrömungskräfteStaudruck: q = ρ 2 v2 ∞ c-Werte werden bei Bedarf gestelltAuftrieb: F A =∫Aq c a dA Widerstand: F W =∫Aq c W dANickmoment:∫Moment∫um Achse z = 0:M N = q c M b dA M = q c W z dAAAKinetik der räumlichen StrömungNavier-Stokes-Gleichung⃗f − 1 gradp + ν∆v =⃗ ρdvdt = (⃗v grad) ⃗v + ∂v ⃗∂tDimensionslose KennzahlenGrundwasserFiltergesetz nach DarcyvFr = √ g hFilter k F [m/s]⃗v F = −k F gradh Ton ≈ 1 · 10 −10v A = v Schluff ≈ 1 · 10 −8Re = v dνFSand ≈ 1 · 10 −4nKies ≈ 1 · 10 −2 Eu = ∆pρ v 2- I.5 -

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