Institut für Strömungsmechanik und Umweltphysik im Bauwesen

KAPITEL D - Kinematik der StrömungenD.1 Geschwindigkeit, Bahn-, Strom-, Streich- und ZeitlinieStrömungsmechanik ist die Lehre von Bewegung und Kräftegleichgewicht der Fluide, wobei die einzelnenMassenteilchen im Zeitablauf große gegenseitige Verschiebungen erfahren, sodaß ein Zusammenhaltder Gesamtmasse wie bei den festen Körpern nicht mehr gegeben ist. Demgemäß erfordert diegesetzmäßige Erfassung strömender Fluide besondere Betrachtungsweisen.Bei der Lagrangeschen ∗ Betrachtungsweise faßt man zu einem Zeitpunkt t 0 das Fluid aus punktförmigenEinzelmassen zusammengesetzt auf und verfolgt den anschließenden Bewegungsablauf jedes einzelnenMassenelementes zur Zeit t > t 0 . Die Lage eines Teilchens wird• zum Zeitpunkt t 0 durch den Ortsvektor ⃗r 0 = (x 0 , y 0 , z 0 )• und danach zeitabhängig durch den Ortsvektor ⃗r = ⃗r(⃗r 0 , t) = (x(⃗r 0 , t), y(⃗r 0 , t), z(⃗r 0 , t)) dargestellt.Verfolgt man den Weg eines Fluidteilchens,so entsteht eine Bahnlinie, die als Zeitaufnahmeeines markierten Teilchens angesehen werden kann. ImZeitintervall dt wird längs dieser Bahnlinie der Wegd⃗s = ⃗r(t + dt) − ⃗r(t) = d⃗rzurückgelegt.Daraus erhält man die Geschwindigkeit des betrachteten Teilchens zum Zeitpunkt t an der Stelle⃗r = ⃗r(⃗r 0 , t):d⃗rdt = d⃗sdt = ⃗v(⃗r 0, t) = (v x , v y , v z )(D.1)Der Geschwindigkeitsvektor muß die Bahnlinie natürlich tangieren. Ist umgekehrt die Geschwindigkeitgegeben, so kann die neue Lage ⃗r(⃗r 0 , t 1 ): eines Fluidteilches zum Zeitpunkt t 1 berechnet werden:∫x 1d⃗s = ⃗vdt ⇒ (dx, dy, dz) = (v x dt, v y dt, v z dt) ⇒x 0dx = x 1 − x 0 =∫ t 1t 0v x dt ⇒ x 1 = x 0 +∫ t 1∫ t 1y 1 = y 0 + v y dtt 0v x dt (D.2)t 0∫ t 1z 1 = z 0 + v z dtt 0∗ Johann Louis Lagrange (1763 - 1813, Frankreich), Mathematiker und theoretischer Mechaniker. Er führte dasGeschwindigkeitspotential und die Stromfunktion (siehe Skript Strömungsmechanik II) in die Hydromechanik ein. Außerdemleitete er die Gleichung für die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit in offenen Gerinnen ab). Die oben erwähnteLagrangesche Betrachtungsweise geht allerdings auf Euler zurück.- 34 -