Institut für Strömungsmechanik und Umweltphysik im Bauwesen

D.1. Geschwindigkeit, Bahn-, Strom-, Streich- und ZeitlinieBei Lagrangescher Betrachtungsweise erhält man die Beschleunigung aus der Ableitung der Geschwindigkeitnach der Zeit bei festgehaltenem r 0 , d.h. aus der partiellen Ableitung ∂⃗v∂t . Wendetman auf ein Massenteilchen das Newtonsche Grundgesetz (Kraft = Masse * Beschleunigung) an,so ergeben sich die Lagrangeschen Gleichungen der Strömungsmechanik, deren Lösung jedoch imallgemeinen auf größere mathematische Schwierigkeiten stößt.Deshalb wird man in der Regel die wesentlich vorteilhaftere Eulersche ∗ Betrachtungsweise anwenden,die das individuelle Schicksal“ der Massenteilchen unbeachtet läßt, und stattdessen danach fragt,”welche Geschwindigkeit (und andere Größen) an einem festgehaltenen Ort zu jedem Zeitpunkt t herrschen.Die strömungsmechanischen Größen werden also nicht den Fluidteilchen, sondern den Punkten(x, y, z, t) des Raum-Zeit-Kontinuums zugeordnet. Man kommt somit zu einer Feldbetrachtung zubestimmten Zeitpunkten. So gibt es z.B. Geschwindigkeits- und Druckfelder.Das Geschwindigkeitsfeld ist ein Vektorfeld, das sich in einem Versuch sichtbar machen läßt:Hierzu werden einem strömenden Fluid Schwebstoffteilchen zugesetzt und zum Zeitpunkt t mit einerBelichtungsdauer ∆t“ fotografiert. Auf dem Foto hinterlassen die Schwebstoffteilchen Spuren der”Länge ∆s, die je nach Ausgangslage (x, y, z) unterschiedliche Länge und Richtung aufweisen. Darausergeben sich die Geschwindigkeiten in bekannter Weise:v(x, y, z, t) =lim∆t→0∆s∆t = dsdt(D.3)Im Gegensatz zur Lagrangeschen Betrachtungsweisewird der weitere Weg derSchwebstoffteilchen nicht mehr verfolgt, danur die ”Feldaufnahme“ zu den einzelnenZeitpunkten t ermittelt werden soll.Verschiebung eines SchwebstoffteilchensZur anschaulichen Darstellung des Geschwindigkeitsfelds werden Stromlinien eingeführt. Darunterversteht man Linien, die an jeder Stelle des Strömungsgebietes in der Richtung der dort herrschendenGeschwindigkeit verlaufen, d.h. die Geschwindigkeitsvektoren tangieren die Stromlinien.Der Stromlinienverlauf läßt sich (für einen bestimmten Zeitpunkt t) aus dem Geschwindigkeitsfeld⃗v(x, y, z) = (v x , v y , v z ) ableiten. Geschwindigkeitsvektor ⃗v und Wegelement d⃗s auf der Stromliniesind in einem betrachteten Punkt parallel:⃗v × d⃗s = ⃗0 = (0, 0, 0)(D.4)(⃗v und d⃗s spannen bei Parallelität keine Parallelogrammfläche auf, sodaß das Vektorprodukt gleich∗ Leonhard Euler (1707 - 1783), Schweizer Mathematiker mit bahnbrechenden Leistungen in allen Bereichen derMathematik und Mechanik. Er vollendete die Grundlagen der klassischen Hydromechanik der Flüssigkeiten und kompressiblenGase. Genannt seien seine exakte Begriffsbildung für den Druck und das Eulersche Schnittprinzip. Sie ermöglichtenihm die Anwendung des Newtonschen Gesetzes auf ein Flüssigkeitsteilchen (s. Kapitel F) und daraus die Ableitungder ebenfalls nach ihm benannten Grundgleichungen der Hydromechanik; das sind: partielle Differentialgleichungen zurBeschreibung der idealen Strömung, deren Integration längs einer Stromlinie wiederum zur Bernoulli-Gleichung führt.- 35 -