Institut für Strömungsmechanik und Umweltphysik im Bauwesen

F.6. Zusammenhang zwischen Impulssatz und Bernoulli-GleichungMit Q = const. (Kontinuitätsgleichung) und ρ = const. (Inkompressibilität) entsteht die klassischeBernoulli-Gleichung.z + pρg + v22g = const.Da in dieser nur die mechanische Energie und der reibungsfreie Fall betrachtet wird, ist es alternativauch möglich, sie aus dem Impulssatz oder direkt aus dem zweiten Newtonschen Gesetz herzuleiten.In den meisten Lehrbüchern wird so vorgegangen, und deshalb soll diese Ableitung nachfolgend wiedergegebenwerden.Man betrachte ein Element ds eines gekrümmten Stromfadens mit veränderlicher Querschnittsfläche Aund wende auf dieses das zweite Newtonsche Gesetz an. (Die Anwendung des Impulssatzes führt zudemselben Ergebnis, ist aber etwas umständlicher.) Die Summe aller am Fluidvolumen in s-Richtungangreifenden Kräfte ist gleich dem Produkt aus Masse und substantieller Beschleunigung.pA + p dA − (p + dp)(A + dA) − ρgA ds sin α = ρA ds dvdtDer zweite Term p dA stellt die Druckkraftkomponente dar, die von der Wand auf das Fluidvolumenin s-Richtung wirkt.Die substantielle Beschleunigung dvdt = ∂v ∂v+v∂t ∂sstationäre Strömung betrachtet wird, ∂v∂tVariable verbleibt, sodaß v ∂v∂ssin α wird ersetzt durch dzds .als vdvds∂v(Gl. (D.6)) vereinfacht sich zu v , da hier nur die∂s= 0. Das bedeutet aber auch, daß s als einzige unabhängigegeschrieben wird.Beim Ausmultiplizieren wird der Term mit dem Produkt dp dA als Term höherer Ordnung vernachlässigt.Damit entsteht folgende Gleichungρg dz + dp + ρv dv = 0- 67 -