Institut für Strömungsmechanik und Umweltphysik im Bauwesen

F.5. Energieerhaltung (Energiesatz)F.5.2Stromröhre, instationärZusätzlich zu den Termen, die bei der stationären Strömung auftreten, muß hier der zeitliche Zuwachsder Energie im Kontrollraum berücksichtigt werden, also∂E KR∂t= ∂ ∂t∫KR(gz + v22 + u )ρ dVdarin ist das Volumenelement dV = A ds eine Scheibe senkrecht zur Stromröhre. Die Werte z und uwerden als zeitlich konstant betrachtet, sodaß sie bei der zeitlichen Ableitung herausfallen.∂E KR∂t∫2= ∂ ∂t1α v22 ρ A ds∫2∂ v 2= α ρ∂t 2 A ds1∫2= α ρ v ∂v∂t A ds1Mit der Kontinuitätsgleichung ṁ = ρ vA = ρ v 1 A 1abhängig und es folgt= ρ v 2 A 2 ist ṁ zwar von t, nicht aber von s∂E KR∂t∫2∂v= α ṁ∂t ds1Dividiert man durch ṁ, so kann dieser Term additiv auf der rechten Seite von Gleichung (F.19) ergänztwerden.∫gz 1 + p 1ρ + α v2 12 + Ṗ m − gh v = gz 2 + p 22ρ + α v2 22 + α ∂v∂t ds1(F.21)Eine alternative Form für das Integral ergibt sich mit vA = v 1 A 1 = v 2 A 2 :∫2∂vα∂t ds = α ∂v ∫21 A 1∂t A ds = α ∂v ∫22 A 2∂t A ds111Die neu entstandenen Integrale sind nur geometrieabhängig und stellen somit Konstanten dar.- 63 -