Institut für Strömungsmechanik und Umweltphysik im Bauwesen

KAPITEL F - Erhaltungssätze der StrömungsmechanikDie Kontinuitätsgleichung (stationär und instationär) lautetv(s) A(s) = v 1 A 1 = v 2 A 2 = QDas Volumenelement dV wird gewählt zu dV = A(s) ds. Damit gilt∫∂ρ ⃗v dV = ∂ ∂t KR ∂t∫21ρ v(s) A(s) d⃗s = ρ ∂Q∂t∫2d⃗s = ρ ⃗ l1∂Q∂tDas vektorielle Wegelement d⃗s ergibt über die Achse der Stromröhre aufintegriert den Vektor ⃗ l.(Siehe vorhergehende Abbildung)Die Reaktionskraft ⃗ F der instationären Stromröhre errechnet sich somit aus Gl. (F.11) unter Berücksichtigungder Gleichung (F.14) zu⃗F = ρ ⃗ l∂Q (∂t − ⃗S1 + S ⃗ )2 + ρ ⃗g V(F.15)F.5 Energieerhaltung (Energiesatz)Mit e = gz + v 2 /2 + u erhält man die Änderung der Energie im Zeitraum ∆t für das Fluidvolumen,wobei e die auf die Masse bezogene Energie ist [J/kg].E t+∆t − E t =(∫I∫∫ ) (∫ )eρ dV − eρ dV + eρ dV − eρ dVIIIII t+∆t I tNach Division durch den Zeitschritt ∆t und dem Grenzübergang ∆t → 0 erhält man:E t+∆t − E t∆tddt∫e dm = ∂ ∂t= (∫ I eρ dV ) t+∆t − (∫ I eρ dV ) t∆t∫KR∫ (eρ dV + eρ ⃗v d ⃗ )AKF− (∫ II eρ dV ) t+∆t∆t+ (∫ III eρ dV ) t+∆t∆tLaut Gleichung (F.3) (Energieerhaltung für ein System) ist die linke Seite der Gleichung gleich ˙Q + ¯P ,wobei ¯P natürlich auch die Leistung der Druckkräfte auf die bewegliche Oberfläche des Fluidvolumensenthält.Beim Übergang zum Kontrollraum müssen wir ¯P aufspalten in eben diese Leistung der Druckkräfteund die Leistung ∫ der verbleibenden äußeren Kräfte, d.h. ¯P = PDr + P . Erinnern wir uns jetzt nochan P Dr = − p⃗v dA ⃗ (s. Kapitel E), dann gilt für den Kontrollraum∂∂t∫KR∫ (eρ dV = ˙Q + P − e + p )ρ ⃗v dAKF ρ⃗mit e = gz + v 2 /2 + u(F.16)- 60 -