Institut für Strömungsmechanik und Umweltphysik im Bauwesen

F.3. Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung)Ausströmen,cos θ > 0Einströmen,cos θ < 0Zur Zeit t seien Fluidvolumen und Kontrollraum identisch (gekennzeichnet als Bereich I, starke Umrandung);zur Zeit t + ∆t hat sich das Fluidvolumen verschoben (gestrichelte Umrandung), währendder Kontrollraum als Bereich I erhalten bleibt. Mit Bereich II wird die linke und mit Bereich III dierechte Sichel bezeichnet.F.3 Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung)Für den Zeitraum ∆t erhält man als Zuwachs der Masse m im Fluidvolumenm t+∆t − m t =(∫I∫ ∫ ) (∫ )ρ dV − ρ dV + ρ dV − ρ dVIIIII t+∆t I tBeide Seiten der Gleichung werden durch den Zeitschritt ∆t dividiert und die Glieder der rechten Seiteumsortiert.m t+∆t − m t∆t= (∫ I ρ dV ) t+∆t − (∫ I ρ dV ) t∆t− (∫ II ρ dV ) t+∆t∆t+ (∫ III ρ dV ) t+∆t∆tDie gliedweise Durchführung des Grenzüberganges ∆t → 0 ergibt:1. Glied:dm= d ∫dt dtdmZuwachsrate von m im Fluidvolumen2. Glied:∫∂ρ dV∂t KRZuwachsrate von m im Kontrollraum∫∫3. Glied: ρ⃗v dA ⃗ = ρv cos θ dA Eintritt von m durch die Kontrollraumfläche(cos θ < 0)4. Glied:∫ρ⃗v d ⃗ A =∫ρv cos θ dAAustritt von m durch die Kontrollraumfläche(cos θ > 0)Das 3. und 4. Glied können in einem Ausdruck zusammengefaßt werden, wobei das Vorzeichen voncos θ angibt, ob es sich um Eintritt oder Austritt von Masse aus dem Kontrollvolumen handelt.Damit erhält man:∫ddtdm = ∂ ∂t∫KR∫ρ dV + ρ⃗v dA⃗KF- 55 -(F.4)