Institut für Strömungsmechanik und Umweltphysik im Bauwesen

F.4. Impulserhaltung (Impulssatz)F.3.2Dichteveränderliche StrömungIm stationären Fall ist ∂m∂t= 0. Damit gilt wie bei der dichtebeständigen Strömungṁ 1 = ṁ 2 , jedoch mit ρ 1 Q 1 = ρ 2 Q 2 und ρ 1 v 1 A 1 = ρ 2 v 2 A 2 ;Im instationären Fall folgt aus ∂m∂t= ṁ 1 − ṁ 2V ∂ρ∂t = ρ 1Q 1 − ρ 2 Q 2 = ρ 1 v 1 A 1 − ρ 2 v 2 A 2 ;(F.9)ist also der Zufluß größer als der Ausfluß, so findet im Kontrollraum eine Dichteerhöhung (und damiteine Druckerhöhung) statt.F.3.3Dichtebeständige Strömung mit freier OberflächeDie Flüssigkeit mit dem Volumen Vfüllt nur einen Teil des gewähltenKontrollraums aus.Im stationären Fall ist neben ρ auch V konstant, sodaß mit ∂m∂t= ∂ (ρV ) = 0 wieder (F.8) gilt:∂tṁ 1 = ṁ 2 ; Q 1 = Q 2 ; v 1 A 1 = v 2 A 2Im instationären Fall ändern sich mit steigendem oder fallendem Flüssigkeitsspiegel die Masse unddas Volumen der Flüssigkeit im Kontrollraum. Somit gilt∂m∂t= ṁ 1 − ṁ 2 ;∂V∂t= Q 1 − Q 2 = v 1 A 1 − v 2 A 2 . (F.10)Ist der Zufluß größer (kleiner) als der Ausfluß, so steigt (fällt) der Wasserspiegel.F.4 Impulserhaltung (Impulssatz)Die Änderung des Impulses I im Zeitraum ∆t im Fluidvolumen ergibt sich zuI t+∆t − I t =(∫I∫∫ ) (∫ )⃗vρ dV − ⃗vρ dV + ⃗vρ dV − ⃗vρ dVIIIII t+∆t I tAnalog zur Vorgehensweise bei der Herleitung der Kontinuitätsgleichung im Kapitel F.3 wird dieGleichung durch den Zeitschritt ∆t dividiert und der Grenzübergang ∆t → 0 durchgeführt.I t+∆t − I t∆t= (∫ I ⃗vρ dV ) t+∆t − (∫ I ⃗vρ dV ) t− (∫ II ⃗vρ dV ) t+∆t∆t∆t- 57 -+ (∫ III ⃗vρ dV ) t+∆t∆t