Institut für Strömungsmechanik und Umweltphysik im Bauwesen

KAPITEL F - Erhaltungssätze der StrömungsmechanikLaut dem Gesetz von der Erhaltung der Masse für ein Fluidvolumen – Gleichung (F.1) – verschwindetdie linke Seite, und für den Kontrollraum gilt:∂∂t∫KR∫ρ dV = − ρ⃗v dA⃗KF(F.5)bzw.∂m KR∂t= ṁ ein − ṁ aus (F.6)Der Zuwachs von Masse in einem Kontrollraum ist gleich der Differenz zwischen ein- und austretendemMassenstrom.Im stationären Fall ist offensichtlichṁ ein − ṁ aus = 0(F.7)Für einen normal durchströmten Querschnitt A gilt (siehe Abschnitte E.1, E.2)ṁ = ρQ = ρv ASonderfälle der KontinuitätsgleichungF.3.1Dichtebeständige Strömung∂m∂t= ṁ 1 − ṁ 2Wenn die Strömung stationär ist, gilt ∂m∂tsie dichtebeständig (ρ = const.) ist; dann ist nämlich ∂m∂tSomit ist ∗= 0. Das gilt aber auch bei instationärer Strömung, sofern= ∂(ρV )∂t= 0, da auch V konstant ist.ṁ 1 = ṁ 2 ; Q 1 = Q 2 ; v 1 A 1 = v 2 A 2 (F.8)∗ Benedetti Castelli (1577 - 1644), Schüler des Galilei, formulierte die Kontinuitätsgleichung wie folgt: ”DurchQuerschnitte eines Flusses strömen gleiche Wassermengen in gleichen Zeiten, selbst wenn die Querschnittsflächen nichtgleich sind“, und weiter: ”Fließt die gleiche Wassermenge durch zwei ungleiche Querschnittsflächen, so sind die Querschnittsflächenumgekehrt proportional den Geschwindigkeiten“. Im Grundsatz hatte allerdings Lonardo da Vinci dieseGedanken schon 100 Jahre vorher ausgesprochen.- 56 -