Tag 7 - StudiFIT - Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur ...

Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur LeipzigVorkurs Mathematik 2013Tag 7 - Dienstag, 24.09.13 - AufgabenDifferentialrechnung und AnwendungenThemen:ˆ Differentiationsregeln der Grundfunktionenˆ Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, Formel für die n-te Ableitungˆ Kurvendiskussion unter Verwendung der Differentialrechnungˆ Tangentengleichung, Anstiegswinkelˆ Extremwertaufgaben1. Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f.a) f(x) = −2x 5 + 3x 3 − 1 2 x−2 + 4√b) f(x) = √ 2x− 3 3 x2 + 6 3√ xxc) f(x) = sin x − cos x + ln x d) f(x) = cos(4x) + sin(−9x)e) f(x) = 2 x − log 2 x f) f(x) = ln(x 3 )g) f(x) = 13x−4h) f(x) = √ e x2. Bilden Sie unter Verwendung von Produkt-, Quotienten- und/oder Kettenregeldie erste Ableitung f ′ der Funktion f.a) f(x) = (1 − x 4 ) 5 b) f(x) = √ x · sin(2x)c) f(x) = (ln x) 2 d) f(x) = 2 · sin x · (x − tan x)e) f(x) = ln xxf) f(x) = ex +e −x2x 2g) f(x) = 3 sin x h) f(x) = ln( 4 √cos2 x)i) f(x) = cos(x2 )πx3. Bilden Sie die ersten vier Ableitungen der folgenden Funktionen und gebenSie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung an.a) f(x) = x1−x(x ≠ 1)b) f(x) = ln x (x > 0)

4. Von den folgenden Funktionen sind Definitionsbereich, Wertebereich, Achsenschnittpunkte,Extremwerte, Monotonieintervalle und das Verhalten für|x| → ∞ zu bestimmen. Skizzieren Sie die Graphen.a) f(x) = x 2 e x b) f(x) = ex1+x5. Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen Lage und Art aller lokalenExtremwerte und skizzieren Sie die Graphen.( ) xa) f(x) = 2x 4 − 4 b) f(x) = 11x−1c) f(x) =2d) f(x) = e 2x−1 e) f(x) = ln(3x − 2) f) f(x) = 2 cos( 1 2 x)g) f(x) = 1 3 · 10x h) f(x) = e −x26. Welchen Winkel α bildet die Tangente im Punkt P 0 (x 0 ; y 0 ) an die Kurvey = f(x) mit der x-Achse?a) f(x) = 3 √ x + 1, x0 = 0 b) f(x) = sin(2π − x), x 0 = πc) f(x) = (x − 1)e x , x 0 = 17. In welchen Kurvenpunkten liegen Tangenten an die Kurve y = f(x) an,welche die x-Achse unter einem Winkel von 45° schneiden?a) f(x) = x2 −32xb) f(x) = cos(2x)8. Auf zwei geradlinig verlaufenden Straßen, welche einander senkrecht kreuzen,fahren zwei Fahrzeuge senkrecht zueinander auf die Straßenkreuzungzu (und dann weiter geradeaus). Fahrzeug 1 hat eine konstante Geschwindigkeitvon 10 m s , Fahrzeug 2 von 15 m s. Wenn Fahrzeug 1 zur Zeit t = 0die Kreuzungsmitte passiert, ist Fahrzeug 2 noch 60 m von der Kreuzungsmitteentfernt.Zu welchem Zeitpunkt t > 0 sind die beiden Fahrzeuge einander amnächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt? Wie weit sindsie dann von der Kreuzungmitte entfernt?2

9. Ein Körper wird schräg nach oben geworfen. Die Flugbahn (Höhe in m inAbhängigkeit von der Weite) kann beschrieben werden durchy = h(x) = − x2+ x + 2 (x ≥ 0).50Welche Höhe erreicht der Körper maximal? Wie weit wird der Körpergeworfen?10. Ein Tunnel hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. DerTunnelumfang ist U. Für welchen Halbkreisradius wird die Querschnittsflächedes Tunnels am größten?11. Ein Pferdebesitzer will ein rechteckiges Stück Koppel einzäunen. Dafür hater Weidezaun in einer Gesamtlänge von 300 Metern zur Verfügung.a) Wie lang müssen die Seiten der Koppel sein, damit seine Pferde darinmöglichst viel Gras zum Fressen haben?b) Welche Abmessungen hat eine Koppel maximaler Fläche, wenn siemit einem Weidedraht von 500 Metern Gesamtlänge doppelt umzäuntwerden soll und für die Verbindung zwischen den beiden Umzäunungenund zur Weidebatterie insgesamt 4 Meter Draht gebraucht werden?3