Seminar 1 - StudiFIT - Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur ...

Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig
Vorkurs Mathematik 2012
Seminar 1 - Montag, 17.09.12 - Lösungen
Termumformungen
1. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Anwendung der Potenzgesetze:
a) 9a n x 7 b) 81
4 x4a−3 y c)
d) 11ab − 17b + 9a 2 e) 9 f)
6x 2 a 3
b 3 (1 − a)
ab 2
cxz 2
2. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Anwendung der Gesetze der
Potenz- und Wurzelrechnung:
a) x 2 − 2x + 1 b) a 4 c) ab2 x 7
f) 1 2
√
a2 + b 2
g) a + b
c
3. Vereinfachen Sie folgende Terme:
a) 7 96 a − b 4
b) 0 c)
4. Kürzen Sie folgende Brüche:
a) a − 13
5 b b) a2 + b 2
a + b
1
2(2a + b)
c 9 z 2 d) √ 32 e) − √ 75
h) 2a i) a 2n+1 j) ab 2
d) a + 1
a − 1
e)
b
a 2
c) a + b d) 4a
3y − x b
5. Zerlegen Sie folgende Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmengesetze:
a) 2 ln a − ln b b) 4 3 ln a
c) 1 3 (lg a + 2 lg c − lg b − lg d) d) 1
lg a − 2 lg b
2
6. Fassen Sie durch Anwendung der Logarithmengesetze zu einem Term zusammen:
√
3√ a · b
a) ln
b) ln a · bn
√
c
m√ c) ln 3 (a + b)(u − v)
c
√
d) lg a(a 2 − b 2 ) n e) lg a 3 (a + b) √ √
a − b
3 a2 + b
f) lg
2
ab
3√
a2 − b 2

7. Berechnen Sie x durch Anwendung der Logarithmengesetze:
a) 8 b) 2 c) 30 d) 2 e) √ 2 f) ln 3 + 5 2
8. Wenden Sie die binomischen Formeln an und vereinfachen Sie weitgehend:
a) a 2 − 6ab + 9b 2 b) 4a
c) 16a 4 + 16a 2 + 34a − 24 d) a 2 + 2ab + b 2 − 1
9. Ergänzen Sie zu vollständigen Quadraten:
a) (x − 3) 2 − 10 b) 4(a − 1, 5) 2 + 11
c) 2(y − 2) 2 − 4 d) (2a − 3) 2 + (3b − 4) 2 − 25
10. Vereinfachen Sie folgende Brüche durch Ausklammern bzw. Polynomdivision:
a) 5c b) b − 1 2
c) 8b − 5a d) a 2 − 3a + 4
2

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Vorkurs Mathematik 2012
Seminar 2 - Montag, 17.09.12 - Lösungen
Mengenlehre, Termumformungen
1. Vervollständigen Sie die Tabelle mit Mengendarstellungen:
Lösung:
verbale Beschreibung Aufzählung Erfüllungsmenge
Menge aller geraden, natürlichen {2, 4, 6, 8}
n
{n∈N :
2
∈N ∧ n

4. Fassen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich zusammen.
Welcher Wert ergibt sich für a = 3?
2a
a) 2 +1
19
(a 2 −1)(a 2 −4)
, für a = 3:
40
b)
2−4a−2a 2
(a+1) 2 (a−1) 2 , für a = 3: − 7 16
5. Vereinfachen Sie folgende Doppelbrüche: (beachte: ohne DB-Betrachtung!)
a) a + b b)
b
a
6. Vereinfachen Sie durch Polynomdivision:
a) a − 5 − 50
a−5
b) 4a 4 + 5a 2 b + 3b 2
7. Vereinfachen Sie folgende Terme durch Anwendung der Potenz- bzw. Wurzelgesetze:
(Voraussetz.: alle Wurzeln sollen in R bildbar sein, Nenner ungleich Null )
a) 6(x − 1) √ x(x + 1) b) 3x − 3
8. Berechnen Sie ohne Taschenrechner unter Verwendung von Logarithmengesetzen:
a)
3
2
b) 12
4

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Vorkurs Mathematik 2012
Seminar 3 - Dienstag, 18.09.12 - Lösungen
Umgang mit Summenzeichen, Eigenschaften von Funktionen
1. Rechnen mit Summenzeichen
(a) Schreiben Sie die folgenden Summen aus:
5∑
3∑
4∑
k 2 = 55, (2i + 1) = 16, (k + 1) = 4k + 4
k=1
i=0
(b) Schreiben Sie mit Summenzeichen (Beachte: Die Lösungen sind nicht
eindeutig!):
∑
3+. . .+100 = 100
k, 4 3 +. . .+20 3 ∑
= 10 (2k) 3 ∑
, z −10 +. . .+z 10 =
10
k=3
j=1
k=2
z k
k=−10
(c) Zeigen Sie unter Verwendung von Rechengesetzen bzw. durch ein Gegenbeispiel:
n∑
(a k + b k ) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 ) + . . . + (a n + b n )
k=0
= a 0 + b 0 + a 1 + b 1 + . . . + a n + b n
= (a 0 + a 1 + . . . + a n ) + (b 0 + b 1 + . . . + b n ) = n ∑
n∑
(a k · b k ) = a 0 · b 0 + a 1 · b 1 + . . . + a n · b n
k=0
k=0
∑
a k + n b k ,
≠ a 0 b 0 +a 0 b 1 +. . .+a 0 b n +a 1 b 0 +. . .+a 1 b n +. . . a n b 0 +a n b 1 +. . .+a n b n
∑
= ( n ∑
a k ) · ( n b k )
k=0
k=0
(d) Lassen sich die folgenden Terme zu einer Summe zusammenfassen?
Geben Sie, falls möglich, die Lösung an bzw. begründen Sie, warum
kein solches Zusammenfassen möglich ist.
10∑ ∑
a k + 15 ∑
a i = 15 ∑
a k = 15 a i ,
k=0
i=11
k=0
i=0
7∑ ∑
a k + 10 ∑
a k = 10 ∑
a k + 7 a k (”Überlappung” beider Summen),
k=0
k=5
k=0
k=5
4∑ ∑
a k + 10 ∑
a k = 10 ∑
a k − 7 a k (”Lücke” zwischen beiden Summen)
k=0
k=8
k=0
k=5
2. Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich D f .
Ermitteln Sie für die Funktionen in a), c), e), f), g) und h) die Nullstellen.
Welche der Funktionen besitzen einen Schnittpunkt mit der y-Achse?
k=0

a) D f = [1; 6], keine Nullstellen
b) D f = {−1} ∪ [2; 3]
c) D f = { π 2 · (1 + 4k) | k ∈ Z} , Nullstellenmenge {π 2
d) D f = [1; 4]
+ k · 2π | k ∈ Z}
e) D f = [−2; 0) ∪ (0; 1), Nst. nur grafisch oder mit Näherungsverfahren
auffindbar: 0,4706974
f) D f = {x | x ∈ ( − π 2 + 2k · π; π 2 + 2k · π) , k ∈ Z}, Nullstellenmenge
L = {k · 2π | k ∈ Z}
g) D f = (−∞; 0), keine Nullstellen
h) D f = R \ {−2; 2}, Nullstellenmenge {− √ 5; − √ 3; √ 3; √ 5}
Schnittpunkte mit der y-Achse:
Nur für die Funktionen in f) und h) gilt 0 ∈ D f .
f) f(0) = 0 −→ Schnittpunkt (0; 0)
h) f(0) = ln(4) ≈ 1, 38629 −→ Schnittpunkt (0; 1, 38629)
3. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Monotonie und Beschränktheit:
a) f(x) = x 2 − 1, x ∈ (−1; 5), ist monoton fallend in (−1; 0] und
monoton wachsend in [0; 5),
untere Schranke : f(0) = −1, obere Schranke: f(5) = 24
b) f(x) = 1
x+1
, x ∈ [−5; −1) ∪ (−1; 5], ist überall (streng) monoton
fallend.
Da f bei x = −1 eine einfache Polstelle hat, ist die Funktion unbeschränkt.
c) f(x) = 3x−1 ist überall streng monoton wachsend und unbeschränkt.
d) f(x) = √ x + 1, x ∈ [−1; ∞)
f ist im geg. Definitionsbereich (streng) monoton wachsend.
f ist in [−1; ∞) nach unten beschränkt (kleinste Schranke f(−1) = 0).
f ist in [−1; ∞) nach oben unbeschränkt.
4. Welche der folgenden Funktionen sind gerade oder ungerade Funktionen?
a) ungerade b) gerade c) weder gerade noch ungerade
d) ungerade e) gerade f) weder gerade noch ungerade
6

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Vorkurs Mathematik 2012
Seminar 4 - Dienstag, 18.09.12 - Lösungen
Eigenschaften von Funktionen
1. Gegeben sei die Funktion y = f(x) = √ x − 2 + 1.
a) Skizzieren Sie die Funktion und geben Sie den (maximalen)
Definitions- und Wertebereich der Funktion an. (Ohne TR!)
y
1
✻
y = √ x − 2 + 1
✻(2)
y = √ x
(1) y = √ x − 2
✲
✲
1 x
D f = [2; ∞), W f = [1; ∞)
b) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von f (aus der Skizze bzw.
rechnerisch).
f ist für den gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend.
( )
2. Gegeben ist die Funktion y = f(x) = 2 · ln 3x − 1 .
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f.
D f = ( 1 3 , ∞)
b) Wo schneidet f die x- bzw. y-Achse?
SP mit der y-Achse: keiner, genau eine Nullstelle bei x = 2 3 .
c) Berechnen Sie f(0, 5) = −2 ln 2, f(1) = 2 · ln 2 und f(3) = 6 · ln 2.
d) Skizzieren Sie den Funktionsverlauf von f.
y
4
3
2
1
1
1
3
2
3
1
2 3
x
2

⎧
3. Bestimmen Sie zu ⎨
f(x) =
⎩
die Funktionswerte
f(−1) = 2,
f ( π
2)
= 1, f
( π
3
3 −x − 1 für −1 ≤ x < 0
tan ( )
x
2
für 0 ≤ x < π
x(x 2 − 2) −1 für π ≤ x ≤ 6
4. Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = x+1
x−1
a) den Definitionsbereich D f = R \ {1},
) √
=
1
3 3, f(4) =
2
7 , f(6) = 3 17
b) die Funktionen g 1 (x) = f(2x) = 2x+1
2x−1 , g 2(x) = 2f(x) = 2x+2
g 3 (x) = f(x 2 ) = x2 +1
x 2 −1 ,
g 4(x) = [f(x)] 2 = x2 +2x+1
x 2 −2x+1 .
x−1 ,
5. Bestimmen Sie h 1 (x) = f(g(x)) und h 2 (x) = g(f(x)) für f(x) = x 2 und
g(x) = 2 x .
f(g(x)) = 4 x , g(f(x)) = 2 (x2 )
6. Es sei
⎧
⎨ 3 x für −1 ≤ x < 0
f(x) = 4 für 0 ≤ x < 1
⎩
3x − 1 für 1 ≤ x ≤ 3.
a) Bestimmen Sie die Funktionswerte
f(−1) = 1 3 , f(−0, 5) = 1 3√
3 ≈ 0, 57735, f(0) = 4, f(0, 5) = 4,
f(1) = 2, f(2) = 5, f(3) = 8
b) Skizzieren Sie den Funktionsverlauf von f.
8
y
6
4
2
1 1 2 3
x
7. Schreiben Sie unter Verwendung eines ∑ - Zeichens:
∑
(a) 7 + 11 + 15 + . . . + 39 = 8 (4i + 7)
i=0
(b) 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . + 1
11
1024 = ∑ 1
2 i−1
(c)
i=1
1
1 · 2 + 1
2 · 3 + 1
3 · 4 + . . . + 1
n · (n + 1) =
n∑
k=1
1
k(k + 1)
8

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Vorkurs Mathematik 2012
Seminar 5 - Mittwoch, 19.09.12 - Lösungen
Wichtige Funktionstypen
1. Entwickeln Sie die Graphen folgender Funktionen aus den Graphen der
jeweils zugehörigen Grundfunktionen:
b) y = ln(x − 1)
a) y = 1 − ln x
y ✻
y ✻
1
y = 1 − ln x
✠
y = ln x
✲
1 x
1
1
✛
y = ln x
✲
x
y = ln(x − 1)
y = − ln x
c) y = ln(1 − x)
y ✻
d) y = ln x 2
y ✻
y = ln(1 − x)
❄
1
1
✛
y = ln x
✲
x
y = ln(x − 1)
y = ln(−x)
y = ln x 2
✠ ❅❘
1
1
y = ln x
✲
x
2. Skizzieren Sie das Bild der ganzrationalen Funktionen f mit Hilfe der Achsenschnittpunkte
(Vielfachheit der Nullstellen beachten) und des Verhaltens
im Unendlichen:
a) f(x) = (x + 3)(x − 1) 2 (x − 4)
Nullstellen: (−3; 0), (1; 0) (doppelt), (4; 0)
y
40
Achsenabschnittspunkt mit der y-
20
Achse: (0; −12)
lim f(x) = ∞, lim f(x) = ∞ 2 2 4
20
x→∞ x→−∞
40
x

) f(x) = (x 2 − 1)(x + 1)
Nullstellen: (−1; 0) (doppelt), (1; 0)
Achsenabschnittspunkt mit der y-
Achse: (0; −1)
lim
x→∞
f(x) = ∞, lim
2 1 1 2
f(x) = −∞
1
2
x→−∞ 3
y
4
3
2
1
x
3. Skizzieren Sie das Bild der gebrochen rationalen Funktion f mit Hilfe der
Achsenabschnitte, Pole, Lücken und des Verhaltens im Unendlichen:
a) f(x) = 5(x+3)(x−2)
(x+5)(x+1)(x−4)
y
5
6 4 2 2 4 6
x
5
b) f(x) = x2 +x−2
x 2 −4x+3
y
5
4 2 2 4 6 8
x
5
c) f(x) = x3 +2x 2 −4x−8
y
x 2 −4x
40
20
5 5 10 15
x
20
4. Gegeben sind vier reellwertige Funktionen.
Führen Sie für diese Funktionen eine Kurvendiskussion durch. Dazu untersuchen
Sie im Einzelnen: Definitionsbereich und Stetigkeit der Funktion,
Symmetrien, Nullstellen und Schnittstellen mit der y-Achse, Verhalten im
Unendlichen und Monotonie. Abschließend skizzieren Sie den Graphen von
f.
10

( ) x 1
a) f(x) = = 1 2 2 = x 2−x
D f = R, SP mit der y-Achse: (0; 1), keine Nullstellen
f ist nach unten beschränkt durch 0 und nach oben unbeschränkt
f ist überall streng monoton fallend, nicht periodisch, nicht symmetrisch
4
y
3
2
1
2 1 1 2
x
b) f(x) = e −x2
D f = R , SP mit der y-Achse (0; 1), keine Nullstellen
Aus den Grundfunktionen y = e x bzw.y = e −x entsteht durch punktweise
Konstruktion (Wertetabelle) die Funktion f:
y
4
3
2
1
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 x
f ist für x ≤ 0 streng monoton wachsend und für x ≥ 0 streng
monoton fallend.
f ist nach unten beschränkt durch 0 und nach oben beschränkt durch
1.
f eine gerade Funktion und nicht periodisch.
c) f(x) = 1 − √ 2 − x
D f = (−∞, 2], SP mit der y-Achse (0; −0, 41), Nullstelle bei x = 1
f(x) = √ 2 − x = √ − (x − 2) geht aus g(x) = √ x durch eine Spiegelung
an der y-Achse und Verschiebung um zwei Einheiten parallel zur
x-Achse hervor.
f(x) = 1 − √ 2 − x geht aus g(x) = √ 2 − x durch Spiegelung an der
x-Achse und anschließender Verschiebung um eine Einheit parallel zur
y-Achse hervor.
11

2.5
2
2.0
1.5
1
→
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
1.0
0
0.5
x
−1
0.0
−5
−4
−3 −2 −1
x
0 1 2 3
4
5
−2
Aus der Skizze erkennt man: f ist für x ≤ 2 streng monoton wachsend,
nach unten unbeschränkt und nach oben beschränkt durch 1.
f ist weder gerade noch ungerade Funktion und nicht periodisch.
√ √
d) f(x) = (x + 2) 2 + (x − 2) 2 = |x + 2| + |x − 2|.
Nach Auflösung ⎧ der Beträge ergibt sich daraus
⎨ −2x,
f(x) =
⎩
x < −2
4, −2 ≤ x < 2
2x, x ≥ 2
.
D f = R, SP mit der y-Achse: (0; 4), keine Nullstellen
f ist für x ≤ −2 streng monoton fallend und für x ≥ 2 streng monoton
wachsend.
Die Funktion ist nach unten beschränkt durch 4 und nach oben unbeschränkt.
f ist eine gerade Funktion und nicht periodisch.
6
5
4
3
2
1
0
−3
−2
x
−1
−1
0 1
2
3
5. Vervollständigen Sie die folgenden Tabellen:
π 20
Bogenmaß 1 20π
180 3 π
62,832 0,01745 20,944
Gradmaß 57,2958° 3600° 1° 1200°
12

6
π
Radius r Bogenlänge b Winkel α
π
1
3
60°
5 2π 72°
≈ 1, 90986 1 30°
√
28 7π 45°
2
13
36√
2π ≈ 1, 60437 65°
≈ 4, 9348 90°
π
π 2
2
6. Ermitteln Sie folgende Funktionswerte (mit TR, Werte auf 4 Stellen gerundet):
a) sin 0, 5 = 0,4794 (= sin 28,65°) b) cos 30° = 0,8660 (= 1 2√
3)
c) tan 1 = 1,557 (= tan 57,30°)
d) cos(2π + 1) = cos 1 = 0, 5430 (= cos 417,3°)
e) sin √ 2 + cos √ 3 = sin 1, 414 + cos 1, 732 = 0, 9878 − 0, 1606 = 0, 8272
(= sin 81,03° + cos 99,24°)
f) sin 10 = - 0,5440 (= sin 573,0°)
g) sin 10° = 0,1736
13

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Vorkurs Mathematik 2012
Seminar 6 - Mittwoch, 19.09.12 - Lösungen
Wichtige Funktionstypen
1. Entwickeln Sie die Graphen folgender Funktionen aus den Graphen der
jeweils zugehörigen
(
Grundfunktionen:
a) y(x) = 3 sin x + π )
b) y(x) = ∣ ∣4 − (x − 2) 2∣ ∣
2
D = R
D = R
3
2
10.0
1
7.5
5.0
0
−6
−5
−4
−3
x
−2
−1 0
−1
1
2
3
4 5
6
2.5
0.0
−2
−2
0
2
x
4
6
−3
c) y(x) = 2 1−x
Lösung:
D = R
8
6
4
2
0
−2
0
2
x
4
6
2. Setzen Sie den fehlenden Relationszeichen zwischen die folgenden Wertepaare
(ohne TR):
( ) −1/3 (
6√ 1 1
a) 2 < b) 1 − ln 2 < 1 − ln
2
2)
( π
) ( π
)
( π
)
( ) 5π
c) tan > tan d) tan
> tan
5 7 6 6
e) e x2 ≥ ln e ∀x ∈ R f) 1 + |2 cos (x + 1)| < log 2 16 ∀x ∈ R

3. Ermitteln Sie die Funktionswerte (ohne TR und Formelsammlung):
a) sin π 4 = 1 2√
2 (im Gradmaß: sin 45° = 1 2√
2)
b) cos π 3 = 1 2
(im Gradmaß: cos 60° = 1 2 )
c) sin 5 6 π = sin 1 6 π = 1 2
(im Gradmaß: sin 150° = sin 30° = 1 2 )
d) cos 4 3 π = − cos 1 3 π = −1 2
(im Gradmaß: cos 240° = − cos 60° = − 1 2 )
e) sin 8π 3 = sin 2π 3 = sin π 3 = √ 3
2
(im Gradmaß: sin 480° = sin 120° = sin 60° = 1 2√
3)
f) cos 23π
6
= cos −π
6 = cos π 6 = √ 3
2
(im Gradmaß: cos 690° = cos (−30°) = cos 30° = 1 2 )
4. Geben Sie die Amplitude und die kleinste Periode der Winkelfunktionen
an:
a) f(x) = 5 sin(2πx)
Amplitude: 5,
y
5
Periode: 1, denn 2π · 1 = 2π
1
1
0.5 1
Π
2
2 Π 4
3Π
2
6 2Π
x
5
) (x
b) g(x) = 2 3 cos 4
Amplitude: 2 3 , Periode: 8π, denn 8π 4 = 2π
y
1
2
3
Π 2Π 3Π 4Π 5Π 6Π 7Π 8Π x
2 3
1
( )
c) h(x) = sin x + π 4
+ 2
Amplitude: 1, Periode: 2π
(sin x wurde um π 4
nach links und 2 nach oben verschoben)
15

3
y
2
1
Π 4
Π
4
Π
2
3Π
4
Π
3Π
2
7Π
4
2Π
x
1
5. Vereinfachen Sie
a) cos(x + π) = − cos x
−→ cos(x + π) − cos x = − cos x − cos x = −2 · cos x
( )
b) sin x + π 2
= cos x, cos(x − π) = − cos x
( )
−→ sin x + π 2
− cos(x − π) = cos x − (− cos x) = 2 · cos x
)
c) cos
(x + 3 2 π = sin x
)
−→ cos
(x + 3 2 π − sin x = sin x − sin x = 0
6. Lösen Sie grafisch
a)
∣ 1 + 1 ∣ ∣∣∣
2 x <
∣ 1 − 1 ∣ ∣∣∣
2 x
D = R, L = (−∞, 0)
y
3
2
1
4 2 2 4
x
b) f 1 (x) > f 2 (x)
⎧
⎨ e −x , x < 0
mit f 1 (x) = x + 1, 0 ≤ x < 1
⎩
2, x ≥ 1
D = R
y
5
1
und f 2 (x) =
{ cos(x), x < 0
2 − (x − 1) 2 , x ≥ 0
4
3
2
1
4 2 2 4
x
L = (−∞, 0) ∪ (1, ∞)
1
16

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Vorkurs Mathematik 2012
Seminar 7 - Donnerstag, 20.09.12 - Lösungen
Gleichungen (Teil 1)
1. Lösen Sie folgende Gleichungen
a) 3 4 x − 4 (x − 4) = 3
3
D x = R, L = {4}
b) 2x + 1 + 3x + 1 + 5x + 1
2 4 8
D x = R, L = {0}
= 1 − 7x + 1
8
c) 4 − x ( 8 − x
− − x + 2 ) ( 8 − x
+ −
2 3 { } 4 6
14
D x = R, L =
13
d)
10 − 14x
8x
− 6 5 − 4
2x = 5
8x − 14x + 1
10x
{ 3
2}
D x = R\ {0}, L =
3(2 + x)
)
+ x = 1
8
− 12
5
2. Lösen Sie die Gleichungen
a)
b)
x 2 + 1
2x 2 − x − 1 + 2x
4x + 2 = x + 3
x − 1
D x = R \
{− 1 } {
2 , 1 , L = − 1 }
4
x 2 5
x + 2 +
2 x2 + 2x
x 2 + x − 2 = x − 2
2x − 2
D x = R\ {−2, 1},
L = {−1}
c) 16x2 − 20x + 4
= 2x − 1 3(2x + 1)
+
4x 2 − 16 2x − 4 2(x + 2)
{ 5
D x = R\ {−2, 2}, L =
2}

d)
x + 1
x 2 − x − 6 + 1
2x − 6 = 2
D x = R\ {−2, 3}, L =
3x + 6
{
− 24 }
5
3. Lösen Sie die folgenden Gleichungen
a) (43 + 10x) 2 + (66 + 10x) 2 = (79 + 14x) 2
D x = R, L = {−1; 9}
b) (3x − 5) 2 − (2x + 5) 2 = 0
D x = R, L = {0; 10}
3x − 10
c) 3x −
9 − 2x = 2 + 6x2 − 40
{ } 2x − 1
9
D x = R\
2 , 1
, L = {4; 11, 5}
2
4. Lösen Sie folgende Gleichungen
a) x 4 − 13x 2 + 36 = 0, L = {−3; −2; 2; 3}
b) (x 2 − 5) 2 + (x 2 − 1) 2 = 40, L = {− √ 7; √ 7}
c) x 10 + 6x 9 + 5x 8 = 0, L = {−5; −1; 0}
d) 2, 5x 5 + 7x 4 = −20x 3 , L = {0}
5. Lösen Sie folgende Betragsgleichungen:
a) |x + 3| = 14, D x = R, L = {−17 ; 11}
b) x + |x| = 0, D x = R, L = (−∞ ; 0]
2
c) 1 4 ·
x
∣3 − 2 ∣ ∣∣∣ 5∣ = x
2 + 1 3∣ , D x = R, L = {−1, 04 ; − 0, 4}
{
d)
2x − 4
∣ x + 3 ∣ = 2, D x = R\ {−3}, L = − 1 }
2
6. Lösen Sie folgende Gleichungen
a) x 3 + 2x 2 − x − 2 = 0, D x = R, L = {1, − 2, − 1}
b) x 4 − 2x 3 − 5x 2 + 6x = 0, D x = R, L = {−2; 0; 1; 3}
{
c) 6x 4 + 5x 3 − 38x 2 + 5x + 6 = 0, D x = R, L = −3,
1
2 , − 1 }
3 , 2
18

7. Lösen Sie die Gleichungen
a) √ 4x 2 + √ 81 − 72x = 2x + 3
(
D x = −∞, 9 ]
, L = {0}
8
b) √ x 2 + 4x + 4 − √ x + 1 = x − 1
D x = [−1, ∞), L = {8}
c) √ 9x + 10 − √ x − 1 = √ 4x + 9
D x = [1, + ∞), L = {10}
d) x + 2 + √ 2x − 4 = 16
D x = [2, + ∞), L = {10}
e) √ 3(x + 2)
x + 7 = √
( 9x −
) 2
2
D x =
9 , + ∞ , L = {2}
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Vorkurs Mathematik 2012
Seminar 8 - Donnerstag, 20.09.12 - Lösungen
Gleichungen (Teil 1)
1. Lösen Sie die Gleichungen
a) bx − x(b + x) + 3b(x − b) = −b 2 , b > 0
D x = R, L = {b, 2b}
b) x 2 − 4x + 3 = 0
D x = R, L = {1, 3}
c) 2a(x + a) − 7(x + a 2 ) + x(x + 7) = 6ax, a > 0
D x = R, L = {−a, 5a}
2. Bestimmen Sie die rellen Lösungsmengen der folgenden Gleichungen:
a) x + 1 − 1
{
x − 1 = 0, D x = R\ {1}, L = ± √ }
2
b) 3x − 2 2x + 1 2(1 − 4x)
− 10 = +
5x + 10 3x + 6 x + 2
D x = R\ {−2}, L = {−11}
3. Die Gleichungen sind zu lösen:
a) x 3 − 5x 2 + 4x = 0
D x = R, L = {0, 1, 4}
b) x 4 − 13x 2 + 36 = 0
D x = R, L = {−3, − 2, 2, 3}
c) x 4 − x 3 − 10x 2 + 4x + 24 = 0, Hinweis: x 1 = 2, x 2 = 3
D x = R, L = {−2, 2, 3}
4. Es sind die Lösungen der folgenden Gleichungen in R gesucht:
(a) |6x + 4| = 1
D x = R, L = {− 5 6 ; − 1 2 }
(b) |x + 2| − |x| = 0
D x = R, L = {−1}
c) ∣ ∣ x 2 − 9 ∣ ∣ +
∣ ∣x 2 − 4 ∣ ∣ = 5
D x = R, L = [−3, − 2] ∪ [2, 3]

5. Wie lauten die Lösungsmengen der folgenden Wurzelgleichungen?
a) √ x − 5 = √ 4 − x
D x = ∅, L = ∅
b) √ x 2 + 5x + 1 = 2x − 1
(
D x = −∞, −5 − √ ) (
21 −5 + √ )
21
∪
, +∞ , L = {3}
2
2
c) √ 2x + 1 − √ x − 3 = 2
Lösung:
D x = [3, +∞), L = {4, 12}
d) 3 √ x + 3 + √ x + 6 = √ 4x + 33
D x = [−3, +∞), L = {−2}
21

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Vorkurs Mathematik 2012
Seminar 9 - Freitag, 21.09.12 - Lösungen
Gleichungen (Teil 2)
1. Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen der folgenden Gleichungen:
a) 22 + 3 x = 3 x+1
D x = R, L = {log 3 11}
b) 4 x2 −x+1 = 8 x
D x = R, L = { 1 2 ; 2}
c) 5e x · e x 2 = 10
e x
{ } 2
D x = R, L =
5 ln 2
d) 2 x+1 − 3 x = 2 x+3 − 3
{ x+2
}
2 ln 2 − ln 3
D x = R, L =
ln 2 − ln 3
e) 3x + 3 −x
3 x+1 − 1 = 5 12
D x = R \ {−1}, L = {1}
2. Lösen Sie folgende Gleichungen:
a) ln(x − 1) + ln 3 = ln(x 2 − 1)
D x = (1, + ∞) , L = {2}
b) ln x + ln(x + 1) = ln 24 − ln(x − 1)
D x = (1, + ∞), L = {3}
c) lg(x − 14) = 1 + 1 2
lg(3x − 11)
D x = (14, + ∞), L = {324}
d) lg x − lg 4 = lg 35 − lg(x + 4)
D x = (0, + ∞), L = {10}
3. Gesucht sind alle Lösungen der Gleichungen
a) sin x = −2
D x = R,
L = ∅

) sin x = −1
{
D x = R, L = x ∈ R
∣ x = 3π }
2 + 2πn, n ∈ Z
c) cos x = 0
{
∣
D x = R, L = x ∈ R ∣x = π }
2 + πn, n ∈ Z
d) sin x = √ 3/2
D x = R, L =
{(−1) nπ }
3 + πn, n ∈ Z
e) tan x = √ 3
Lösung:
{ π
} {
D x = R\
2 + πk, k ∈ Z ∣
, L = x ∈ R ∣x = π }
3 + πk, k ∈ Z
4. Lösen Sie folgende Gleichungen
a) cos 2 x + cos x = 3 { 4
D x = R, L = x ∈ R
∣ x = π 3 + k · 2π ∨ x = 5 }
3 π + k · 2π, k ∈ Z
b) √ 3 sin x = cos x
{
∣
D x = R, L = x ∈ R ∣x = π }
6 + πk, k ∈ Z
c) cos 2 x + 5 sin 2 x − 4 sin x = 0
{
∣
D x = R, L = x ∈ R ∣x = (−1) nπ }
6 + πn, n ∈ Z
d) sin x − cos x = 1
{
∣
D x = R, L = x ∈ R ∣(−1) nπ 4 + π }
4 + πn, n ∈ Z
e) sin x + cos x = 1
cos x
D x = R\{ 1 2 π, 3 2 π, 5 2
{x π...}, L = ∈ R ∣ x = k · π ∨ x = π }
4 + k · π, k ∈ Z
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Vorkurs Mathematik 2012
Seminar 10 - Freitag, 21.09.12 - Lösungen
Gleichungen (Teil 2)
1. Lösen Sie folgende Gleichungen:
a) 5 (x2 +x−2)(3−x) = 1, D x = R, L = {−2; 1; 3}
b) 5 x−3 + 2 · 5 x−2 =
{
5, 08
}
ln 635 − ln 11
D x = R, L =
ln 5
( ) 2x−3 ( ) 3x+5 {
3 4
c) = , D x = R, L = − 2 }
4 3
5
2. Bestimmen Sie die rellen Lösungsmengen der folgenden Gleichungen:
a) lg(x − 2) − 1 2 lg 4 = 1 lg 125 − lg(x + 1)
3
D x = (2, + ∞), L = {4}
(b) log 3 (9 x − 6) = x
D x = {x ∈ R| x > log 9 6} , log 9 6 ≈ 0, 82, L = {1}
(c) 2 lg 2 (x 3 ) − 3 lg x − 1 = 0
{ } 1 √
D x = (0, + ∞), L = 6√ ; 3 10 (≈ {0, 6813; 2, 1544})
10
d) log x (x + 2) = 2
D x = (0, 1) ∪ (1, + ∞), L = {2}
3. Die Gleichungen sind zu lösen:
√
2
a) cos (2x) = −
2 , D x = R, L =
{± 3 }
8 π + πn, n ∈ Z
b) sin (2x + 3) = 1 2 , D x = R, L =
{(−1) n π 12 + π 2 n − 3 }
2 , n ∈ Z
c) sin 5x − sin x =
{
0
∣
D x = R, L = x ∈ R ∣x = πn ∨ x = π 6 + π }
3 n, n ∈ Z
(d) sin 2x + 5 sin x +
{
5 cos x + 1 = 0
D x = R, L = x ∈ R
∣ x = 3π }
4 + πn, n ∈ Z