Lösungen Woche 2 - StudiFIT - Hochschule für Technik, Wirtschaft ...

Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur LeipzigVorkurs Mathematik 2013Tag 6 - Montag, 23.09.13 - LösungenLösen von Gleichungen - Teil 21. Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen der folgenden Gleichungen:a) 22 + 3 x = 3 x+1D x = R, L = {log 3 11}b) 4 x2 −x+1 = 8 xD x = R, L = { 1 2 ; 2}c) 5e x · e x 2 = 10e xD x = R, L = { 25ln 2}d) 5 (x2 +x−2)(3−x) = 1D x = R, L = {−2; 1; 3}( ) 2x−3 ( 3x+53 4e) =4 3)D x = R, L = {− 2 5 }2. Lösen Sie folgende Gleichungen:a) ln(x − 1) + ln 3 = ln(x 2 − 1)D x = (1, + ∞), L = {2}b) ln x + ln(x + 1) = ln 24 − ln(x − 1)D x = (1, + ∞), L = {3}c) lg(x − 14) = 1 + 1 2lg(3x − 11)D x = (14, + ∞), L = {324}d) lg x − lg 4 = lg 35 − lg(x + 4)D x = (0, + ∞), L = {10}e) log x (x + 2) = 2D x = (0, 1) ∪ (1, + ∞), L = {2}

All Sperry Van Ness® Offices Independently Owned and Operated.1 . Financial Analysis

6. Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen:a) √ x 2 − 5x + 4 > x − 3D x = (−∞, 1] ∪ [4, + ∞)L = (−∞, 1] ∪ (5, + ∞)b) √ x 2 − x − 12 < xD x = (−∞, − 3] ∪ [4, + ∞)L = [4, + ∞)4

Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur LeipzigVorkurs Mathematik 2013Tag 7 - Dienstag, 24.09.13 - LösungenDifferentialrechnung und Anwendungen1. Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f.a) f(x) = −2x 5 + 3x 3 − 1 2 x−2 + 4f ′ (x) = −10x 4 + 9x 2 + x −3√b) f(x) = √ 2x− 3 3 x2 + 6 3√ xxf ′ (x) = −√ 1 − 2x3 3√ x− 3√ 4x5c) f(x) = sin x − cos x + ln xf ′ (x) = cos x + sin x + 1 xd) f(x) = cos(4x) + sin(−9x)f ′ (x) = −4 sin(4x) − 9 cos(−9x)e) f(x) = 2 x − log 2 xf ′ (x) = ln 2 · 2 x − 1ln 2 · 1xf) f(x) = ln(x 3 )f ′ (x) = 3 · 1x = 3 xg) f(x) = 13x−4f ′ (x) = − 3(3x−4) 2h) f(x) = √ e xf ′ (x) = 1 2√ ex2. Bilden Sie unter Verwendung von Produkt-, Quotienten- und/oder Kettenregeldie erste Ableitung f ′ der Funktion f.a) f(x) = (1 − x 4 ) 5f ′ (x) = 5 · (1 − x 4 ) 4 · (−4x 3 )b) f(x) = √ x · sin(2x)f ′ (x) = 12 √ x · sin(2x) + √ x · cos(2x) · 2c) f(x) = (ln x) 2f ′ (x) = 2 ln x · 1x = 2 ln xx

d) f(x) = 2 · [sin x · (x − tan x)]f ′ (x) = 2 · [cos x · (x − tan x) + sin x · (1 − (1 + tan 2 x))]e) f(x) = ln xf ′ (x) =(Quotientenregel)x1x·x−ln x·1x 2= 1−ln xx 2f) f(x) = ex +e −x2x 2f ′ (x) = x(ex −e −x )−2(e x +e −x )2x 3g) f(x) = 3 sin xf ′ (x) = ln 3 · 3 sin x · cos xh) f(x) = ln( 4 √cos2 x)f ′ (x) = 1 2 · 1cos x · (− sin x) = −1 2 tan xi) f(x) = cos(x2 )πx= 1 π · cos(x2 )xf ′ (x) = 1 π · (−2 sin(x2 ) − cos(x2 )x) 23. Bilden Sie die ersten vier Ableitungen der folgenden Funktionen und gebenSie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung an.a) f(x) = x1−xf ′ (x) = 1−x−x·(−1)(1−x) 2= 1−x+x(1−x) 2 = 1(1−x) 2= (1 − x) −2f ′′ (x) = −2(1 − x) −3 · (−1) = 2(1 − x) −3f ′′′ (x) = −6(1 − x) −4 · (−1) = 6(1 − x) −4f (4) (x) = −24(1 − x) −5 · (−1) = 24(1 − x) −5allgemeine Formel: f (n) (x) = n! · (1 − x) −(n+1)b) f(x) = ln xf ′ (x) = 1 x = x−1f ′′ (x) = −x −2f ′′′ (x) = 2x −3f (4) (x) = −6x −4allgemeine Formel: f (n) (x) = (−1) (n+1) · (n − 1)! · x −n4. Von den folgenden Funktionen sind Definitionsbereich, Wertebereich, Achsenschnittpunkte,Extremwerte, Monotonieintervalle und das Verhalten für|x| → ∞ zu bestimmen. Skizzieren Sie die Graphen.a) f(x) = x 2 e xD f = R; W f = [0, ∞), denn x 2 ≥ 0, e x > 0 ∀ x ∈ RNullstellen: 0 = x 2 · e x ↔ 0 = x 2 ↔ x = 0 (doppelte Nullstelle)SP mit der y-Achse: f(0) = 0 2 · e 0 = 0 (vgl. Nullstelle)6

Ableitungen:f ′ (x) = 2x · e x + x 2 · e x = e x (x 2 + 2x) = x · e x (x + 2)f ′′ (x) = e x (x 2 + 2x) + e x (2x + 2) = e x (x 2 + 4x + 2)Extrema:P min (0; 0), P max (−2; 4 e) 2Monotonie:f ′ (x) ≥ 0 ↔ xe x (x + 2) ≥ 0 ↔ x(x + 2) ≥ 0↔ x ∈ (−∞; −2] ∨ x ∈ [0; ∞) (Parabel y=x(x+2) zeichnen!)⇒ f ist monoton wachsend für x ∈ (−∞; −2] und x ∈ [0; ∞), f istmonoton fallend für x ∈ [−2; 0].Verhalten im Unendlichen:x → +∞ : lim x 2 e x = +∞x→∞x → −∞ : limx→−∞ x2 e x = 05y43214 3 2 1 1 2xb) f(x) = ex1+xD f = R \ {−1} (einfache Nenner-Nst., keine Zählernst., also einfachePolstelle); W f = R \ [0, 1), denn e x ≥ x + 1 ∀ x ≥ 0Nullstellen: keine, denn e x ≠ 0 ∀x ∈ D fSP mit der y-Achse: f(0) = e01+0= 1 ⇒ SP (0; 1)Ableitungen:f ′ (x) =xex(1+x), f ′′ (x) = (x2 +1)e x2 (1+x) 3Extremum: P min (0; 1)Monotonie:f ′ (x) ≥ 0 ↔xex(1+x)≥ 0 ↔ xe x ≥ 0 ↔ x ≥ 0 ↔ x ∈ [0; ∞)2⇒ f ist monoton fallend für x ∈ (−∞; −1) und für x ∈ (−1; 0](Polstelle bei x = −1 dazwischen) und f ist monoton steigend fürx ∈ [0; ∞).Verhalten im Unendlichen:(e x ist dominierender Term gegenüber 1 + x )ex → −∞ : limx= −0 (von unten gegen Null)x → +∞ : limx→∞x→−∞ 1+xe x1+x = limx→∞e x 1 = +∞7

y543213 2 1 1 2 3x125. Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen Lage und Art aller lokalenExtremwerte und skizzieren Sie die Graphen.a) f(x) = 2x 4 − 4SP mit der y-Achse: (0; −4)Nullstellen: x 1 = 4 √2 ≈ 1, 1892, x2 = − 4 √2 ≈ −1, 1892Ableitungen:f ′ (x) = 8x 3 , f ′′ (x) = 24x 2 , f ′′′ (x) = 48x, f (4) (x) = 48Extremum: P min (0; −4)1086421.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 x24yb) f(x) = 1x−1einfache Polstelle x = 1 (Nennernullstelle, aber keine Zählernullstelle),f(0) = −1, keine NullstellenAbleitungen:f ′ (x) = − 1(x−1)hat keine Nullstellen ⇒ keine lokalen Extrema!2y543214 3 2 1 1 2 3 4x123458

(c) f(x) =12) xSP mit der y-Achse: (0; 1), keine Nullstellenf überall streng monoton fallend, also keine ExtremaProbe mittels der Ableitung:f ′ (x) = ln 1 2 ·4y(12) x= (ln 1 − ln 2) ·( x ( x112)= − ln 2 · 2)< 0 ∀ x ∈ R3212 1 1 2xd) f(x) = e 2x−1D f = R, SP mit der y-Achse: (0; 0, 36788), keine Nullstellenf ist auf ganz D f streng monoton wachsend, also keine ExtremaProbe: f ′ (x) = 2 · e 2x−1 > 0 ∀ x ∈ Ry543211.0 0.5 0.5 1.0xe) f(x) = ln(3x − 2)D f = ( 2 3 ; ∞), kein SP mit der y-Achse, Nullstellen x 0 = 1f ist auf ganz D f streng monoton wachsend, also keine ExtremaProbe: f ′ (x) = 33x−2 > 0 für x ∈ D f2y110.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x23f) f(x) = 2 cos( 1 2 x)D f = R, f(0) = 2 cos(0) = 2 → SP mit der y-Achse: (0; 2)Nullstellen: x = (2k + 1)π, k ∈ Zf gerade Funktion, periodisch mit kleinster Periode 4π9

Ableitungen:f ′ (x) = − sin( 1 2 x)f ′′ (x) = − 1 2 cos(1 2 x)Extrema:P min ((4m + 2)π; −2), P max (4mπ; 2), (m ∈ Z)2y110 5 5 10x12g) f(x) = 1 3 · 10xD f = R, SP mit der y-Achse (0; 1 3), keine Nullstellenf ist auf ganz D f streng monoton wachsend, also keine ExtremaProbe: f ′ (x) = 1 3 · ln 10 · 10x > 0y86421.0 0.5 0.5 1.0xh) f(x) = e −x2D f = R, SP mit der y-Achse (0; 1), keine Nullstellenlim = lim ex→−∞ e−x2 −x2 = 0x→∞Ableitungen:f ′ (x) = e −x2 · (−2x), f ′′ (x) = e −x2 · (4x 2 − 2)Extremum: P max (0; 1)y43211.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 x6. Welchen Winkel α bildet die Tangente im Punkt P 0 (x 0 ; y 0 ) an die Kurvey = f(x) mit der x-Achse?a) f(x) = 3 √ x + 1, x0 = 010

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a) Seitenlängen der Koppel mit x und y bezeichnen, u = 300 m, FlächeA maximierenA = x · y, u = 2x + 2y ⇒ y = 1 2(u − 2x)A(x) = x · 12 (u − 2x) = 1 2ux − x2A ′ (x) = 1 2 u − 2xA ′′ (x) = −2x max = u 4 , y max = u 4 , A max = u216⇒ quadratische Koppel mit Seitenlänge 75 m bauen, ergibt 5625 m 2Grasfläche für die Pferde!b) l = 500 m, l = 2 · (2x + 2y) + 4 = 4x + 4y + 4 ⇒ y = 1 4(l − 4x − 4)A(x) = x · y = x · 14 (l − 4x − 4) = 1 4 lx − x2 − x → Max!A ′ (x) = 1 4 l − 2x − 1A ′′ (x) = −2Maximum in x max = 1 2 ( l 4 − 1) = l 8 − 1 2 ,y max = l 8 − 1 2⇒ quadratische Koppel mit Seitenlänge 62 m bauen, ergibt 3844 m 2Fläche!14

Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur LeipzigVorkurs Mathematik 2013Tag 8 - Mittwoch, 25.09.13 - Aufgaben und LösungenIntegralrechnung und Anwendungen1. Berechnen Sie die nachfolgenden unbestimmten Integrale:a) ∫ 5x 3 − 7x + 2 dx = 5 4 x4 − 7 2 x2 + 2x + Cb) ∫ 2xdx = 2 · ln(|x|) + Cc) ∫ 4√ √2x5 dx = 4 2 · 49 · x 9 4 + Cd) ∫ e x + 3 sin x − cos x dx = e x − 3 cos x − sin x + Ce) ∫ tan x dx = − ln(| cos x|) + C(Grundintegral, Beweis: siehe Aufgabe zur Substitution!)f) ∫ 3 x − 12dx = 3xx ln 3 + 1ln 2·2+ C xg) ∫ 1cos 2 xdx = tan x + C(Grundintegral, Beweis durch Ableiten oder mit Substitutionz := tan x, dx =dz1+z, cos 2 x = 12 1+z) 2h) ∫ (x 2 +2) 2x 3dx = x22 + 4 ln(|x|) − 2 x 2 + C2. Berechnen Sie nachfolgende Integrale durch partielle Integration:a) ∫ x sin x dx = −x cos x + sin x + Cb) ∫ cos 2 x dx = 1 2(sin x cos x + x + C)c) ∫ ln x dx = x ln x − x + Cd) ∫ x 2 e x dx = e x (x 2 − 2x + 2) + C3. Bestimmen Sie die nachfolgenden Integrale unter Verwendung einer Substitution:a) ∫ 1(3x−7) 2 dx = − 13(3x−7) + Cb) ∫ √ −4x + 5 dx = − 1 6√(−4x + 5)3 + Cc) ∫ 3x 22x 3 −4 dx = 1 2 ln |x3 − 2| + 1 2 ln 2 + C = 1 2 ln |x3 − 2| + C 1d) ∫ x √ x 2 + 1 dx = 1 3√(x2 + 1) 3 + C

e) ∫ tan x dx = ∫ sin xcos xdx = − ln | cos x| + Cf) ∫ (ln x) 2xdx = 1 3 (ln x)3 + C4. Berechnen Sie:a)b)c)d)e)f)∫ 1−1π∫3π4∫ 81∫ln 50∫ 0−1(x + 1) dx = 2sin x dx = −1+√ 22≈ 0, 2071dxx 3√ x = 3 2e 3x dx = 1243= 41, 3dx3x−2 = 1 3(ln 2 − ln 5)≈ −0, 3054∫ 10(ax 2 − b) 2 dx = a25 − 2 3ab + b25. Berechnen Sie mit partieller Integration:a)b)c)d)∫ 1−1π∫0∫ 21π∫20x · e x dx = 2 e≈ 0, 7358e x · sin x dx = 1 2 (eπ + 1) ≈ 12, 0703ln xxdx = 1 2 2(1 − ln 2) ≈ 0, 1534sin x · cos x dx = 1 26. Berechnen Sie unter Verwendung einer Substitution:a)c)∫ 0−π√∫ 20sin 3 x · cos x dx = 0 b)π∫2x √ 3 − x 2 dx = 1 3 (3√ 3 − 1) ≈ 1, 39870e sin x · cos x dx = e − 1 ≈ 1, 718316

d)∫ 10x16−9xdx = − 1 2 18(ln 7 − 2 ln 4) ≈ 0, 045937. Bestimmen Sie den Inhalt der Flächen, die durch folgende Kurvenvollständig begrenzt sind:a) y = 4 − x 2 und y = 04y321x2 1 1 2A = 32 3FEb) y = ln x, x = e und y = 0y1.00.80.60.40.2x0.5 1.0 1.5 2.0 2.5A = 1 FEc) y = x 2 − 2x + 3, y = 4x − 2, x = 0y15105A =∫ 101 2 3 4 5(x 2 − 2x + 3) − (4x − 2) dx +x∫ 51(4x − 2) − (x 2 − 2x + 3) dx= 13 FE(Die Aufgabe könnte auch so verstanden werden, dass nur die linkeTeilfläche gemeint ist, dann: A = 7 3 FE.)d) y = x 4 − 9x 2 , y = 0y3 2 1 1 2 3x51015A = 2 · |20∫ 30x 4 − 9x 2 dx| = 3245= 64, 8 FE17

Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur LeipzigVorkurs Mathematik 2013Tag 9 - Donnerstag, 26.09.13 - LösungenElementare Geometrie, Vektorrechnung, Analytische Geometrie1. Bestimmen Sie mit dem Sinus- oder Kosinussatz die weiteren Größen desDreiecks. Ist das Dreieck eindeutig gegeben?a) geg.: α = 55°, c = 7, 34, β = 48° (d. h. eine Seite und die zwei angrenzendenWinkel, also die Stücke für den Kongruenzsatz wsw, daher istdas Dreieck eindeutig)γ = 77°, a = 6, 17, b = 5, 60b) geg.: a = 8, 45, b = 6, 38, α = 68, 5°(Da a > b gilt, sind hier die Stücke für den Kongruenzsatz ssw gegeben,deshalb ist auch dieses Dreieck eindeutig)β = 44,63° , γ = 66,87°(Mit der anderen Lösung β = 180° - 44,627345° ≈ 135,37° existiertkein zulässiger Wert für γ.)c = 8, 35c) geg.: a = 9, 35, b = 14, 25, α = 39, 2°(Da diesmal a < b ist, sind die Voraussetzungen für den Kongruenzsatzssw nicht erfüllt. Deshalb sind hier zwei Lösungen zu erwarten.)β 1 = 74,42° , γ 1 = 66,38°Mit der anderen Lösung β 2 = 180° - 74,419324° ≈ 105,58° lässt sichein zweiter zulässiger Wert für γ berechnen: =⇒ γ 2 = 35,22°c 1 = a · sin γ 1sin α = 13, 55 bzw. c 2 = a · sin γ 1sin α= 8, 53d) geg.: a = 5, 62, γ = 115°, b = 8, 5 (d. h. zwei Seiten und der eingeschlosseneWinkel, also die Stücke für den Kongruenzsatz sws, deshalbist das Dreieck eindeutig)c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ =⇒ c = 12, 01α = 25,09° , β = 39,91°e) geg.: a = 3, 43, b = 5, 26, c = 7, 95 (d. h. alle drei Seiten. Da dieDreiecksungleichung jeweils erfüllt ist, sind hier also die Stücke fürden Kongruenzsatz sss gegeben, deshalb ist das Dreieck eindeutig)c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ =⇒ γ = 131,2°α = 18,94° , β = 29,86°

f) a = 1, 27, b = 4, 68, c = 6, 89 (d. h. wieder alle drei Seiten. Diesmalist aber die Dreiecksungleichung nicht erfüllt, hier ergibt sich keinDreieck)(Wenn man die Gültigkeit der Dreiecksungleichung nicht überprüft,merkt man während der Rechnung, dass Widersprüche auftreten, z.B.:c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ −→ cos γ = a2 +b 2 −c 22·a·b= −23,956811,8872= −2, 015(Der Betrag eines Kosinus kann nicht größer als 1 werden!)2. Eine Person mit Augenhöhe von 1, 60 m steht 27 m von einem Baumentfernt und visiert die Spitze des Baumes unter einem Winkel von 25° zurHorizontalen an.Wie hoch ist der Baum?rechtwinkliges Dreieck skizzieren: Grundseite ader Länge 27 m, senkrecht dazu Seite b, Hypothenusec, a ist Ankathete des Winkels α = 25°.Auge1.6Α27cb1.6Aus der Definition des Kosinus kann zunächst c bestimmt werden: c =≈29, 79 mAus Satz des Pythagoras: b = √ c 2 − 27 2 m ≈ 12, 59 m(Alternative: tan α = b averwenden und damit b direkt bestimmen)Höhe des Baumes setzt sich aus b und der Augenhöhe zusammen:h = b + 1, 6m ≈ 14, 19 m.Der Baum ist also ca. 14, 19 Meter hoch.3. Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche von 100 cm 2 .Die Seitenkanten (zwischen einer Ecke der Grundfläche und Spitze derPyramide) sind 13 cm lang.a) Wie hoch ist die Pyramide?b) Wie groß ist der Winkel α zwischen Seitenflächen und Grundfläche?Skizzieren: Grundfläche ist ein Quadrat mitSeitenlänge a = 10 cm und Diagonalen derLänge ddaa19

Aus dem Satz des Pythagoras erhält man die Länge der Diagonalen:d = 10 · √2cm, d 2 = 5 · √2cm.neue Skizze: im Schnittpunkt der beiden Diagonalensteht die Pyramidenhöhe h senkrechtauf der Grundfläche, es ergibt sich also einauf einer Grundseite der Länge d 2stehendesrechtwinkliges Dreieck , senkrecht dazu Höheh und einer Seitenkanten der Pyramide als Hypothenuse.Aus √dem Satz des Pythagoras folgt an diesem Dreieck:h = 13 2 − ( d 2 )2 cm ≈ 10, 91 cm13d2hWinkel α zwischen Seitenflächen und Grundfläche:Skizziere rechtwinkliges Dreieck: Grundseiteder Länge a 2= 5 cm ist Ankathete des gesuchtenWinkels α, senkrecht zur GrundseiteKathete der Länge h, Hypothenuse sΑsha2nach Pythagoras: s 2 = ( a 2 )2 + h 2 ⇒ s = 12 cmAus Definition des Kosinus: cos α = a 2s= 5 12⇒ α ≈ 1, 1410 ̂= 65, 38°4. Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck?a) Skizzieren Sie beliebige n-Ecke für n = 3, 4, 5 und bestimmen Siederen Innenwinkelsumme!Skizzen liefern:n = 3 → S 3 = 180°, n = 4 → S 4 = 360°= 2 · 180°,n = 5 → S 5 = 540°= 3 · 180°20

) Stellen Sie eine Vermutung über die allgemeine Formel für die Innenwinkelsummeeines n-Ecks in Abhängigkeit von n ∈ N \ {1; 2} auf.(Zusatz: Beweisen Sie Ihre Formel mit Vollständiger Induktion!)Vermutung: S n = (n − 2) · 180° für n ∈ N, n ≥ 3Beweis:M := {n ∈ N : S n = (n − 2)180 ◦ }IA: n = 3 : (n − 2)180 ◦ = (3 − 2) · 180 ◦ = 180 ◦IV: Sei n ∈ M bereits bewiesen, d.h. S n = (n − 2)180 ◦IS: Ein (n + 1)-Eck entsteht aus einem n-Eck durch anfügen einesDreiecks, also ist nach dem IA S n+1 = S n + 180 ◦⇒ S n+1 = (n − 2) · 180 ◦ + 180 ◦ = (k − 1) · 180 ◦ = [(k + 1) − 2] · 180 ◦Aus IA, IV und IS folgt die Behauptung M = N \ {1; 2}.5. Wie lauten die Vektoren, die vom Punkt A(3, −4, −2) ausa) zum Punkt B(7, −4, 6)b) zum Koordinatenursprungc) senkrecht auf die Koordinatenachsenzeigen?zu a) −→ AB = −→ −→ OB − OA = (4, 0, 8)Tzu b) −→ AO = (−3, 4, 2) Tzu c) senkrechte Projektionen auf die Achsen:A auf die x-Achse projiziert ergibt A 1 (3, 0, 0), gesuchter Vektor ist−−→AA 1 = (0, 4, 2) TA auf die y-Achse projiziert ergibt A 2 (0, −4, 0), gesuchter Vektor ist−−→AA 2 = (−3, 0, 2) TA auf die z-Achse projiziert ergibt A 3 (0, 0, −2), gesuchter Vektor ist−−→AA 3 = (−3, 4, 0) T⎛ ⎞ ⎛ ⎞16. Berechnen Sie für die Vektoren ⃗a = ⎝2⎠ und ⃗ 6b = ⎝ 4 ⎠ die Produkte3−2a) ⃗a ·⃗b, b) ⃗a × ⃗ b sowie c) den Winkel α zwischen ⃗a und ⃗ b.⎛ ⎞⃗a ·⃗b = 8, ⃗a × ⃗ −16(b = ⎝220 ⎠, α = arccos ≈ 73°7)−821

⎛ ⎞ ⎛ ⎞37. Prüfen Sie, ob ⃗a = ⎝4⎠ und ⃗ 2b = ⎝−5⎠ senkrecht aufeinander stehen.72⃗a ·⃗b = 3 · 2 + 4 · (−5) + 7 · 2 = 0 ⇒ ⃗a und ⃗ b senkrecht zueinander8. Gegeben sind die Geraden( ( 1 1g 1 : ⃗x = + t2)1)( 2und g 2 : ⃗x =1)( 1+ s .2)mit s, t ∈ R.a) Geben Sie je drei Punkte an, die auf g 1 bzw. g 2 liegen.Punkte auf g 1 : wähle t beliebig aus R: t = 0 ⇒ P 1 (1; 2),t = 1 ⇒ P 2 (2; 3), t = −1 ⇒ P 3 (0; 1)Punkte auf g 2 : wähle s beliebig aus R: s = 0 ⇒ Q 1 (2; 1),s = 1 ⇒ Q 2 (3; 3), s = 2 ⇒ Q 3 (4; 5)b) Prüfen Sie, ob die Geraden einander schneiden und berechnen Sie denSchnittpunkt (falls dieser existiert)!Löse das Gleichungssystem:(1) 1 + t = 2 + s(2) 2 + t = 1 + 2s⇒ s = 2, t = 3, S(4; 5).9. Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g an, welche durch diePunkte P 1 und P 2 verläuft, fallsa) P 1 (−2; 3; −5) und P 2 (1; −4; −1),b) P 1 (3; −2; 1) und P 2 (1; −2; 2)gegeben sind.Verwende z. B. den Ortsvektor von P 1 als Stützvektor und −−→ P 1 P 2 alsRichtungsvektor: ⃗x = −−→ OP 1 + t · −−→⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛P 1 P⎞2x −2 3zu a) ⃗x = ⎝y⎠ = ⎝ 3 ⎠ + t · ⎝−7⎠ , t ∈ Rz −5 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 3 −2zu b) ⃗x = ⎝y⎠ = ⎝−2⎠ + r · ⎝ 0 ⎠ , r ∈ Rz 1 122

10. Spannen die drei Punkte A(3, 1, −2), B(−1, 3, 4) und C(4, −2, −6) einDreieck auf? Wie groß ist sein Flächeninhalt?−→AB × −→ AC ≠ −→ 0 ⇒ −→ AB ≠ k · −→ AC,−→AB × −→ AC =⎛⎝10−1010⎞⎠ ≠ −→ 0Punkte bilden Dreieck.Flächeninhalt des Dreiecks: A ∆ = 1 ∣ −→ AB × −→AC∣ = 5 √ 3 FE.211. Es seien A(2, 0, 5), B(2, 4, 5) und C(0, 4, 9) die Eckpunkte eines Dreiecks.Berechnen Sie die Länge der Seitenhalbierenden durch B. Welchen Winkelschließen die Vektoren −→ AC und −→ AB ein?Sei M Mittelpunkt der Seite AC. Die Längeder Seitenhalbierenden durch B ist die Längedes Vektors −−→ BM.Koordinaten von M: x M = x A + x C, y M = y A + y C, z M = z A + z C,222⎛ ⎞−1−−→M(1, 2, 7), BM = ⎝ −2 ⎠ , ∣ −−→BM∣ = 32Winkel α zwischen den Vektoren −→ AC und −→ AB:−→AC · −→(AB2cos α =∣ −→AC∣ · ∣ −→, α = arccos ≈ 48°AB∣3)AMΑCB12. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(−2; 6), B(5; −1) und C(−3; −3).Welchen Mittelpunkt und welchen Radius hat der Umkreis des Dreiecks?A6Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunktder Mittelsenkrechten.M b42M4 2 2 4 6C24M aB23

Dreiecksseite b in Vektorschreibweise: ⃗ b = −→ ( 1CA =9)Mittelsenkrechte ( ) auf ( ⃗ b: )−2, 5 9⃗m b = + t1, 5 −1Dreiecksseite a in Vektorschreibweise: ⃗a = −→ CB =( 82Mittelsenkrechte ( ) ( auf ⃗a: )1 2⃗m a = + s−2 −8Dreiecksseite c in Vektorschreibweise: ⃗c = −→ AB =)( 7−7)Mittelsenkrechte ( ) ( auf ⃗c:1, 5 7⃗m c = + r2, 5 7)SP bestimmen, z.B. durch Gleichsetzen von ⃗m a u. ⃗m b : M(0, 2; 1, 2)Radius r u des Umkreises: r u = √ (−2 − 0, 2) 2 + (6 − 1, 2) 2 ≈ 5, 28013. Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders mit den Ecken P (2, −1, 2),Q(2, 1, 2), R(2, 1, 0) und S(1, 1, 1). Bestimmen Sie einen Vektor, der zurDreiecksfläche P QR senkrecht steht.Q2.0PS1.5z1.00.50.5R1.00.0y0.00.51.01.5x1.02.0Das Volumen des Tetraeders beträgt 1 des Volumens des Spates, welcher6von den drei Vektoren −→ −→P Q, P R und −→ P S aufgespannt wird.Das Volumen des Spates findet man als Betrag des Spatprodukts der dreiVektoren:⎛ ⎞ ⎛ ⎞[V = 1 −→ −→ −→]∣ ∣∣∣ ∣∣∣−→ −→ −→)P S·(P R× P Q 6∣ P S, P R, P Q = 6 ∣ = −1 41 ⎝62 ⎠ · ⎝ 0 ⎠∣ −1 0 ∣ = 2 3 VE24

Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur LeipzigVorkurs Mathematik 2013Tag 10 - Freitag, 27.09.13 - LösungenQuadratische Ergänzung und Kegelschnitte1. Durch die Gleichung4x 2 + 4y 2 − 12x + 4y = 54ist ein Kreis in der Ebene gegeben.Bestimmen Sie für diesen Kreis den Mittelpunkt, den Radius und dieSchnittpunkte mit den Koordinatenachsen.Kreisgleichung: (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 = r 2 beschreibt Kreis mit MittelpunktM(x 0 , y 0 ) und Radius r ≥ 0 (Spezialfall r = 0: einzelner Punkt).nach quadratischer Ergänzung:(x − 3 2 )2 + (y + 1 2 )2 = 16Der Kreis hat also den Mittelpunkt M(1, 5; −0, 5) und den Radius r = 4.Schnittpunkte mit der x-Achse: in Kreisgleichung y = 0 setzen⇒ P 1 (5, 4686; 0), P 2 (−2, 4686; 0)Schnittpunkte mit der y-Achse: in Kreisgleichung x = 0 setzen⇒ P 3 (0; −4, 2081), P 4 (0; 3, 2081)2. Geben Sie die Gleichung aller Kreise an, die durch P (1; −1) verlaufen undden Mittelpunkt M(2; 2) haben.aus Skizze: nur ein Kreis möglich!(x − 2) 2 + (y − 2) 2 = r 2Koordinaten x = 1, y = −1 in Kreisgleichung einsetzen: r 2 = 10(x − 2) 2 + (y − 2) 2 = 103. Formen Sie die Gleichungen so um, dass vollständige Quadrate enthaltensind.Welche geometrischen Objekte in der Ebene werden durch die Gleichungenbeschrieben? Fertigen Sie jeweils eine Skizze an.

(a) x 2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0⇔ (x − 2) 2 + (y − 1) 2 = 4 Kreis mit M(2; 1) und r = 23y211 2 4x1(b) x 2 + y 2 + 6x − 2y = 15⇔ (x + 3) 2 + (y − 1) 2 = 25 Kreis mit M(−3; 1) und r = 565y18 3 2x345(c) x 2 + 4y 2 − 4x + 8y − 8 = 0⇔ (x−2)216+ (y+1)24= 1 Ellipse mit M(2; −1), großer Halbachse a = 4und kleiner Halbachse b = 2y13 2 1 2 61x234(d) 6y − x 2 − 4x − 16 = 0⇔ y = 1 6 x2 + 2 3 x + 8 39ynach oben offene Parabel5103215 2 1 2 61x(e) x 2 + y 2 + 8x − 10y = −41⇔ (x + 4) 2 + (y − 5) 2 = 0 beschreibt einzelnen Punkt P (−4; 5)26