Kurs M.1 – Faszination Spieltheorie DSA – Akademie Metten 2004Kurzbeschreibung:1) Geschichtliches zum Thema SpieltheorieIn diesem ersten Vortrag soll den Teilnehmenden des Kurses die Historie der Spieltheorie aufgezeigtwerden. Wissenschaftler, die bedeutende Beiträge geleistet haben, können vorgestellt und Entwicklungender Spieltheorie dargestellt werden.Fragen, die sich im Rahmen dieses Vortrages stellen sind zum Beispiel:Wer waren die Herren Morgenstern und Neumann und was waren ihre wissenschaftlichen Verdienste(Nash, Selten, Harsanyi, Hesse...)?Was ist eigentlich Spieltheorie?Seit wann wird der Begriff Spieltheorie benutzt?Was ist das Ziel, wenn es denn überhaupt eins gibt, der Spieltheorie?Wo wird die Spieltheorie angewandt (heute / früher)?Welche Ziele verfolgt die Spieltheorie?Literatur:[Bor01, S. 511f.][BEG02, S. 1 - S. 9][Str03][Wal01][Sch03]Zweck der Spieltheorie,Ursprung und Entwicklung der Spieltheorie,Zu wichtigen Wissenschaftlern der Spieltheorie,Geschichte der Spieltheorie,kurz und knapp zu den Protagonisten.2) (Mathematische) Modelle für SpieleKurzbeschreibung:Wir wollen im Kurs versuchen, Spiele in Teilen auch mathematisch zu betrachten. Dazu benötigen wireinige Modelle, die uns erlauben, präzise zu formulieren, was wir eigentlich unter einem Spiel verstehenwollen. Je nachdem, um was für eine Art von Spiel es sich handelt, können unterschiedliche Modelle benutztwerden. Das Ziel des Vortrags besteht im wesentlichen darin, verschiedene Modelle vorzustellenund zu erklären, in welchen Fällen sich welches Modell eignet.Einige Modelle, die wir im Kurs benutzen wollen, sind zum Beispiel:Spiele in extensiver Form,Spiele in Baumform,Spiele in Normalform,Spiele mit gemischten Strategien,Spiele in expliziter Form,Spiele in Matrixform.Neben der theoretischen Einführung der verschiedenen Notationsformen für Spiele bietet sich hier einePräsentation von passenden Beispielen an.Literatur:[Bor01, S. 517 - S. 528][Güt92, S. 149 - S. 152][Güt92, S. 152 - S. 160]Übersicht über verschiedene Formen,Spiele in Normalform,Spiele in Matrixform.Seite 2
£DSA – Akademie Metten 2004Kurs M.1 – Faszination Spieltheorie3) Fixpunkte und FixpunktsätzeKurzbeschreibung:Dieser Vortrag liefert die mathematische Grundlage für einige der folgenden Vorträge.Nimmt man eine Kugel aus Knetmasse und knetet sie beliebig lange, ohne sie zu falten oder zu zerreißen,dann gibt es mindestens einen Punkt, der seinen Platz nicht geändert hat, wenn man am Endewieder die Kugelform herstellt und die Kugel wieder auf den alten Platz legt. Diese Aussage läßt sichbeweisen, erscheint aber gleichermaßen verblüffend wie nutzlos.Mathematisch liegt dieser Aussage ein sogenannter Fixpunkt-Satz zugrunde, der sich mit der Existenzund der Lage von unveränderten (d.h. Fix-) Punkten von Abbildungen befaßt.Unter einem Fixpunkt einer Abbildung versteht man einen Punkt ¨© mit der Eigenschaft¢¡¤£¦¥§£, also einen Punkt, der, wenn man ihn in die Abbildung einsetzt, wieder sich selbst liefert.¨¤¨In diesem Vortrag geht es darum, zunächst die Definition eines Fixpunktes für verschiedene Typen vonAbbildungen zu präsentieren und eine Reihe von Beispielen zu zeigen. Anschließend geht es um dieFrage, wie man für eine gegebene Abbildung prüfen kann, ob sie einen oder mehrere Fixpunkt(e)besitzt.Für die weiteren Vorträge spielt der sogenannte Fixpunkt-Satz von Brouwer eine wesentliche Rolle. DieserSatz soll im Rahmen dieses Vortrages bewiesen werden. Aber keine Angst: Der Beweis ist einfach(!) und vor allem ist er im Falle zweier Dimensionen sehr (!) geometrisch.Literatur:[Tis94, S. 100 - S. 136][LJKR87, S. 340f.][Aig04, S. 168 - S. 170]Allgemeines zu Fixpunkten,Allgemeines zu Fixpunkten,Beweis des Fixpunktsatzes von Brouwer.4) GleichgewichtspunkteKurzbeschreibung:Im Jahre 2001 eroberte ein Film die Kinocharts, welcher, mit vier Oscars prämiert, über das Lebeneines amerikanischen Mathematikers erzählt, der 1994 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaftengemeinsam mit Selten und Harshanyi erhielt. John Forbes Nash ersann in seinen Jugendjahren einenGleichgewichtszustand, der fortan unter der Bezeichnung Nash-Gleichgewicht weltweite Anerkennungund Anwendung fand.Ein Nash-Gleichgewicht ist eine Strategiekombination der Spieler, für die gilt, daß es für keinen Spielerprofitabel ist, seine Strategie zu ändern, wenn die anderen Spieler ihre Strategie unverändert lassen.Jeder Spieler wählt dann offenbar die beste Antwort auf die Strategie der anderen Spieler.In diesem Vortrag geht es darum, zunächst zu definieren, was man formal unter einem Gleichgewichtspunktoder einem Nash-Gleichgewicht versteht. Anhand einiger Beispiele soll das Konzept verdeutlichtund hinterfragt werden.Literatur:[Bor01, S. 529 - S. 545].Kurzbeschreibung:5) Existenz von GleichgewichtspunktenIm Anschluß an den Vortrag über Gleichgewichtspunkte soll es in diesem Vortrag darum gehen zuprüfen, unter welchen Voraussetzungen an das betrachtete Spiel es überhaupt Gleichgewichtspunktegibt.In bestimmten Fällen läßt sich ganz allgemein die Existenz solcher Gleichgewichtspunkte zeigen. Ineinigen expliziten Beispielen können und sollen sie berechnet werden.Seite 3
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