Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II ...

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikTrainingsaufgaben zur Klausurvorbereitungin Statistik I und IIThema: Nichtlin. EinfachregressionAufgabe 1: Kfz-HaltungskostenVon 4 Kfz-Haltern sind im letzten Jahr die Kfz-Haltungskosten pro km und die Kilometerleistungbekannt:Haltungskosten (e/km) 0.5 0.2 0.35 0.4Fahrleistung (km) 14000 42000 14000 25000(a) Bestimmen Sie die Koeffizienten der Regression ŷ(x) = a + b/x(b) Bestimmen Sie die mittleren Fixkosten, die variablen Kosten sowie die Preiselastizitätbei einer Fahrleistung von 20000 km(c) Zeichnen Sie die Daten und die Regressionsfunktion in ein Diagramm ein.Lösungsvorschlag zu Aufgabe 1: Kfz-Haltungskosten(a) ŷ = a + b/x, a = 0.137e, b = 3396ekm(b) Fixkosten: 3396e; Variablen Kosten: 0.137e/km(c) Scatterplot mit Fitgeraden:Haltungskosten (Euro/km)0.60.50.40.30.20.100 10000 20000 30000 40000 50000Fahrleistung (km)www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 1

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikAufgabe 2: WeltenergieverbrauchDer Weltenergieverbrauch in Exajoule (EJ, 10 18 J) veränderte sich wie folgt:JahrWeltenergieverbrauch (EJ)1900 151920 301940 501960 1301972 230(i) Führen Sie die nichtlineare Regression mit der Funktiondurch.ŷ(x) = ae bxLösungsvorschlag zu Aufgabe 2: WeltenergieverbrauchDurch die Variablentransformationz = lnywird die Aufgabe in eine lineare Regression übergeführt, dennẑ(x) = ln(ŷ(x)) = lna + bx = ã + bxDie Koeffizienten ã und b werden durch die übliche lineare Regression bestimmt:ã = ¯z − b¯x, b =∑xi z i − n¯x¯z∑ x2i− n¯x 2Wir benötigen also vier Summen,n∑x i = n¯x,i=1n∑z i = n¯z,i=1n∑x i z i ,i=1n∑x 2 ii=1die wir, wie üblich, über eine Arbeitstabelle berechnen:www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 2

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikJahr x i y i z i = lny i x 2 ix i z i1900 0 15 2.711920 20 30 3.401940 40 50 3.911960 60 130 4.871972 72 230 5.44n¯xn¯z∑ ni=1 x2 i∑ ni=1 x iz iDaraus ã = 2.63 und b = 0.03739, alsound nach Rücktransformation y = e z :ẑ(x) = 2.63 + 0.03739xŷ(x) = eẑ(x) = e 2.63 e 0.03739x = 13.8 ∗ e 0.03739x .Hinweis: Sie können statt mit dem natürlichen Logarithmus ln auch mit dem Zehnerlogarithmuslog rechnen. In diesem Fall erhalten Sieẑ(x) = log(ŷ(x)) = 1.14 + 0.01624xundŷ(x) = 10ẑ(x) = 10 1.14 10 0.01624x = 13.8 ∗ 10 0.01624x .ln(Welt-Energieproduktion (EJ))65.554.543.532.51900 1920 1940 1960 1980Jahrwww.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 3

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikWelt-Energieproduktion (EJ)3002502001501005001900 1920 1940 1960 1980Jahr(ii) Wie hoch ist der mit diesen Zahlen prognostizierte Verbrauch 1980 und 2020? Einfachdie x-Werte einsetzen (drei signifikante Stellen):• 1980: x = 80, ŷ(x) = 13.8e 0.03739∗80 = 275 EJ• 2020: x = 120, ŷ(x) = 13.8e 0.03739∗120 = 1230 EJHinweis: Mit ŷ(x) = 13.8 ∗ 10 0.01624x erhalten Sie – bis auf Rundungsfehler – natürlichdieselben Ergebnisse.(iii) Im welchem Jahr wäre, bei unverändertem exponentiellen Wachstum, der Energieverbrauchso groß wie die jährliche Energie von 5 Millionen EJ, die von der Sonne auf dieErde trifft?Lösung: Es gilt lny = ln(5000000) = 15.42 und damitmit der LösungIm Jahreẑ(x) = 2.63 + 0.03739x = 15.42x = (15.42 − 2.63)/0.03739 = 342.1900 + 342 = 2242würden wir also so viel Energie verbrauchen, wie wir von der Sonne bekommen.Bemerkung zum Hintergrund. Dieses Ergebnis kann offensichtlich unmöglich eintreffen;aufgrund der Erderwärmung sind auch viel niedrigere Verbräuche undenkbar. Darausergeben sich offensichtlich harte Grenzen des Wachstums. Zahlenmaterial undÜberlegungen u.a. dieser Art waren Basis für den berühmten Bericht “Grenzen desWachstums” des Club of Rome (1972), der ökologisches Bewusstsein erstmals einerweiten Öffentlichkeit nahebrachte. Der tatsächliche Energieverbrauch verließ übrigensab etwa 1973 (Ölkrise? Club of-Rome Bericht??) den Pfad des exponentiellen Wachstums.www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 4

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikAufgabe 3: Fundamentaldiagramm des VerkehrsflussesBemerkung im Voraus: in der Aufgabe wird die lineare und nichtlineare Regression geübt. Dader Inhalt nicht einfach aber wichtig ist, wird eine ausführliche Musterlösung bereitgestellt.Eines der wichtigsten und einfachsten Hilfsmittel zur Analyse von Verkehrs-Strömen undzur Stauprognose ist das sogenannte Fundamentaldiagramm, bei dem der VerkehrsflussQ (Fahrzeuge pro Zeiteinheit, die eine feste Stelle überqueren) in Abhängigkeit der Verkehrsdichteρ (Fahrzeuge pro Strecke) aufgetragen ist. Üblicherweise werden die Daten für jedeSpur getrennt mittels Doppel-Induktionsschleifen gewonnen und (z.B.) pro Minute ein Wertfür die Dichte und den Fluss ausgegeben.Induktionschleifen − DetektorenKfz iv_i... messen (i) Zeiten t_i, (ii) Geschwindigkeiten v_i, (iii) SpurAls einfaches Beispiel betrachtenwir nun für freien und gestauten Verkehr je 6 Datenpunkte(enspricht 6 Minuten). Der Fluss ist in der Einheit Fz. pro Stunde angegeben:Dichte (frei) 5 9 17 13 6 22Fluss (frei) 600 1140 1800 1440 660 2040Dichte (gestaut) 28 55 65 45 32 35Fluss (gestaut) 1320 480 720 1200 1560 1120(a) Ein Messschleifen-Detektor einer gegebenen Spur misst in jeder Minute die Zahl der überihn gefahrenen Fahrzeuge sowie die Geschwindigkeiten v i der Fahrzeuge. Wie würde mandaraus die Werte in der Tabelle bestimmen, d.h. den Fluss Q und eine bestmöglicheSchätzung für die Dichte ρ?(b) Berechnen Sie, jeweils getrennt für die sechs Punkte freien und gestauten Verkehrs, dielinearen RegressionenˆQ 1 (ρ) = a + bρ.(c) Bestimmen Sie für den freien Verkehr die mittlere “Wunschgeschwindigkeit” V 0 durchVergleich der Steigung der Regression ˆQ 1 (ρ) mit der BeziehungQ frei (ρ) = V 0 ρ.Anders aufgedrückt: Die Wunschgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die man ohneBeeinflussung durch andere fahren möchte, d.h. die Steigung des Fundamentaldiagrammsan der Stelle verschwindener Dichte:V 0 = ∂Q∂ρ .www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 5

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistik(d) Im Kolonnenverkehr wird zum Vorderfahrzeug je nach Fahrer ein gewisser zeitlicherAbstand T gehalten (Fahrschule: “Abstand=halber Tacho”). Bestimmen Sie aus der linearenRegression des gestauten Verkehrs die mittlere Folgezeit T (Nettozeitlücke) derFahrer sowie die maximale Verkehrsdichte ρ max bei stehendem Verkehr durch den Vergleichmit der “Stauformel”Q stau (ρ) = 1 (1 − ρ ).T ρ maxWie verhält sich die Empfehlung der Fahrschule dazu?(e) Berechnen Sie Korrelationen und Bestimmungsmaß für die linearen Regressionen desfreien und gestauten Verkehrs.(f) Warum ist die lineare Regression für den freien Verkehr etwas fragwürdig? BetrachtenSie dazu den Wert der Regression an der Stelle ρ = 0. Führen Sie eine nichtlineareRegression durch mit der RegressionsfunktionˆQ 2 (ρ) = bρ + cρ 2 .Welchen Wert für die freie Wunschgeschwindigkeit V 0 erhält man mit diesem verbessertenAnsatz?(g) Man kann auch bei der linearen Regression berücksichtigen, dass aus äußeren Gründender Punkt (0, 0) fest gegeben ist, indem man den konstanten Term der Regressionsfunktionweglässt:ˆQ 3 (ρ) = bρZeichnen Sie auch für diesen Fall die Regressionsfunktion und bestimmen Sie die Geschwindigkeitim freien Verkehr.Lösungsvorschlag zu Aufgabe 3: Fundamentaldiagramm des VerkehrsflussesAufgabe (a): Bestimmung von Q und ρ(a) Bestimmung des Flusses Q durch Zählung der Fahrzeuge, die z.B. in einer Minute überden Detektor fahren:Anzahl der FahrzeugeQ =ZeitDer Fluß wird aber meistens in der Einheit Fz. pro Stunde angegeben (damit dieEinheit der Geschwindigkeit km/h ist, s.u.). Man m¨ßte also den Minutenwert mitdem Faktor 60 multiplizieren.(b) Bestimmung der bestmöglichen Schätzung der Dichte ρ: Die Dichte ist definiert durchρ =Anzahl der Fahrzeuge.Laengewww.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 6

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikDer Fluss, die Geschwindigkeit V und die Dichte hängen über die GleichungQ = V ρzusammen, wie man aus den Einheiten sofort erkennt:#FZh= km h · #FZkm .Damit ergibt sich die Dichte aus der Division von Q und V , wobei man die Geschwindigkeitals Mittelwert der n gemessenen Geschwindigkeiten v i (z.B.) innerhalb einerMinute nimmt. Z. B. erhält man V aus dem arithmetischen MittelV = 1 n∑v i .nBei dieser Mittlung werden allerdings die schnellen Fahrzeuge systematisch zu starkgewichtet, weil im Mittel mehr schnelle Fahrzeuge über den Detektor fahren. Denkbarwäre daher auch das harmonische Mittel V H , das die langsamen Geschwindigkeitenstärker gewichtet. Allgemein gilt V H < V . 1(c) Die Darstellung “Fluss über Dichte” nennt man Fundamentaldiagramm. Aus der Auftragungder 12 Datenpunkte bekommt man das folgende Diagramm.i22002000Fundamentaldiagramm Q(ρ) mit 12 DatenpaarenFreier VerkehrGestauter VerkehrVerkehrsfluss Q (Fz./h)180016001400120010008006004000 10 20 30 40 50 60 70Verkehrsdichte ρ (Fz./km)Aufgabe (b): Lineare RegressionRegression mit linearer Funktion:ˆQ(ρ) = a + bρ (1)b hat die Bedeutung einer Geschwindigkeit, a ist der Betrag bei verschwindener Dichte ρ =0. Die Normalengleichungen (quadratische Abweichungen minimieren . . .) führen zu derallgemeinen Lösunga = Q − bρ, b = s ρQs 2 . (2)ρ1 Am besten wäre aber ein Mittlung über eine feste Anzahl von Fahrzeugen N statt der Anzahl n pro Minute,aber die empirischen Detektordaten werden in der Literatur meistens als Zeitmittel gemessen/angegeben.www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 7

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikDazu müssen die Mittelwerte Q, ρ, die Varianz s 2 ρ und die Kovarianz s ρQ berechnet werden.Weil der Mensch faul ist, programmiert er einen Computer, der für einen alle Werte aus denDaten (ρ i , Q i ) berechnet:Größe frei gestautQ 1280.0 1066.7ρ 12.0 43.3s 2 ρ 36.67 173.6s 2 Q290000 132089s ρQ 3210 -4008.9Damit ergeben sich die linearen Regressionen (gerundet auf 3 Stellen)frei :ˆQ (ρ) = 230 + 87.5 ρgestaut : ˆQ(ρ) = 2070 − 23.1 ρ.2000Data (x,y)linearer FitFreier Verkehr16001400Gestauter VerkehrData (x,y)linearer FitVerkehrsfluss Q (Fz./h)15001000500Verkehrsfluss Q (Fz./h)1200100080060040020000 5 10 15 20 25Verkehrsdichte ρ (Fz./km)00 20 40 60 80 100Verkehrsdichte ρ (Fz./km)Aufgabe (c): Wunschgeschwindigkeit V 0 im freien VerkehrDie Wunschgeschwindigkeit im freien Verkehr ist die Geschwindigkeit, die man ohne Beeinflussungdurch andere Fahrzeuge fahren möchte. Sie ist durch den Anstieg des Flusses beiverschwindener Dichte (d.h. ohne Beeinflussung durch andere) im freien Verkehr gegeben:Q frei (ρ) = V 0 ρ bzw. V 0 = dQ freidρ | 0. (3)Aus unserem Regressionsansatz erkennt man, dass der Parameter b im freien Verkehr derWunschgeschwindigkeit V 0 entspricht. Man bekommt aus der Regressionb ≡ V 0 ≈ 87.5 km h . (4)Die Einheit ergibt sich aus den Einheiten der vorliegenden Daten. Für einen Detektor auf derrechten Spur scheint die Größenordnung vernünftig, weil die LKW eine deutlich niedrigere“Wunschgeschwindigkeit” haben. Für eine linke Spur ist der erhaltende Wert für V 0 aber zuniedrig, da man mindestens eine Geschwindigkeit von V 0 100 km/h erwartet. In Aufgabe6 verbessern wir den Regressionsansatz und erhalten eine größere Steigung im Ursprung, sodass man beim Datensatz von einem Detekor auf der linken Spur ausgehen kann.www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 8

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikZusatz: Man kann noch mehr aus der Regression schliessen. Die Steigung des gestauten Verkehrsergibt nämlich die Geschwindigkeit der Stop-and-Go-Wellen, hier V SG ≈ −23.1 km/h.Das Minuszeichen bedeutet, dass die Welle entgegen der Fahrtrichtung, also stromaufwärts,läuft.Aufgabe (d): Abstand im gestauten VerkehrBestimmen wir erstmal durch Vergleich mit der Stauformel (Jam-Line)Q Stau (ρ) = 1 (1 − ρ )T ρ max(5)die Werte der mittleren Netto-Folgezeit bzw. Zeitlücke T und der maximalen Verkehrsdichteρ max :a = 1 T = 2070 1 ⇒ T = 1h 2070 h = 3600 s ≈ 1.74 s. (6)2070Im gestauten Verkehr liegt damit die mittlere Folgezeit bei ungefähr 1.7 s. Damit folgt fürρ maxb = − 1 = −23.1 km ⇒ ρ max = 2070 1 T ρ max hh · 1 km FZ≈ 89.623.1 h km . (7)Jetzt bleibt noch der Vergleich mit der “Faustregel” Abstand (in m) = halber Tacho. WelcheZeit entspricht der Aussage “Sicherheitsabstand mindestens gleich halber Tacho”? Wir benutzens = v · t, müssen aber die physikalischen Größen von s und v berücksichtigen, dennder Sicherheitsabstand gilt in m und der Tacho zeigt km/h. Am besten wir schreiben diephysikalischen Größen getrennt nach Skalar und Einheit als s = s ∗ · [s]. Mit [s] = m und[v] = km/h sowie s ∗ = v ∗ /2 ergibt sicht sicher = s v=s ∗ · mv ∗ · km/h= m · h2 · km= m · 3600 · s2 · 1000 · m= 3.6 · s2= 1.8 s.Diese 1.8 s gelten unabhängig von der gefahrenden Geschwindigkeit! Die Fahrschule könnteauch sagen: “Fahren sie mit einem zeitlichen Abstand von 1.8 s, dann sind die trotz Reaktionszeitvon ca. 1 s relativ auf der sicheren Seite.”Tatsächlich: die Faustregel ergibt eine Zeitlücke in vernünftiger Größenordnung, denn dieFahrzeuge befolgen im Mittel dieses T (bzw. liegen knapp darunter).www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 9

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikAufgabe (e): Korrelation und BestimmtheitsmaßDer Korrelationskoeffizient (nach Pearson) berechnet sich nach der Formel r xy = s xy /s x s y ,so dass man die folgenden Ergebnisse für die Größen ρ und Q erhält:frei : r ρQ = s ρQs ρ s Q=3210 √36.67√290000≈ 0.98,gestaut : r ρQ =−4008.9√173.6√132089≈ −0.84.Der negative Wert für den gestauten Verkehr spiegelt das Verhalten abnehmendes Flussesmit zunehmender Dichte wider. Die Daten für den freien Verkehr zeigen einen höheren Wertfür einen linearen Zusammenhang als der gestaute Verkehr.Das Bestimmtheitsmaß erhält man für lineare Zusammenhänge durch Quadrieren von r xy :frei : B ρ Q = r 2 ρQ ≈ 0.96gestaut : B ρ Q = r 2 ρQ ≈ 0.70.Aufgabe (f): Nichtlineare Regression für freien VerkehrWie in der linearen Regression gesehen, bekommt man für den freien Verkehr bei ρ = 0 einenFluss Q ≠ 0, was nicht vernünftig ist: bei keinem Fahrzeug auf der Strecke, kann auch keinesüber den Detektor fahren. Wir verbessern die Regression durch den AnsatzˆQ(ρ) = bρ + c ρ 2 . (8)Die Bedeutung des Parameters b ergibt sich aus seiner Einheit: [b] = Strecke/Zeit ist dieWunschgeschwindigkeit im freien Verkehr.Hier müssen wir eine direkte Regression durch Lösung des Gleichungssystems durchführen.Die Gleichungen folgen aus der Bedingung, dass die Fehler-Quadratsumme minimal wird:n∑F(b, c) = e 2 i = ∑ (Q i − ˆQ(ρ i )) 2i i= ∑ i(Q i − bρ i − c ρ 2 i ) 2 .Minimiert man die Summe der Quadrate der Abweichungen nach den Parametern b und c,so erhält man ein Gleichungssystem für die zwei Größen.I :II :∂F∂bdFdc!= 0 = ∑ i!= 0 = ∑ i∂F∂b∂F∂c(Qi − bρ i − cρ 2 ) 2i ,(Qi − bρ i − cρ 2 ) 2i .Daraus ergeben sich die Gleichungen∑I :i Q iρ i= b ∑ iρ 2 i + c ∑ iρ 3 iII :∑i Q iρ 2 i= b ∑ iρ 3 i + c ∑ iρ 4 i .Wir benutzen wieder einen Computer, um die Summen über Potenzen von ρ zu berechnen:www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 10

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistik∑∑ i ρ2 i = 1084∑ i ρ3 i = 18828∑ i ρ4 i = 354820∑ i Q iρ i = 111420i Q iρ 2 i = 1882020Man bekommt mit den in der Tabelle gegebenen Koeffizieten ein lineares Gleichungssystem(2 Gleichungen) für die Parameter b und c. Als Ergebnis ergibt sich die RegressionsfunktionˆQ (ρ) = 136ρ − 1.92 ρ 2 . (9)Mit diesem Ansatz bekommt man also eine höhere Wunschgeschwindigkeit von V 0 ≈ 136 km/h. Dies hat man durch die Fixierung des Ursprungs (0, 0) erreicht. Weiterhin erkennt man anhandder Ableitung, dass die Steigung mit zunehmender Dichte abnimmt: die Durchschnittsgeschwindigkeitnimmt bei zunehmender Verkehrsdichte ab.Aufgabe (g): Lineare Regression ohne KonstanteEin weiterer Ansatz ist natürlich auch möglich: ˆQ(ρ) = bρ. Es ergibt sich lediglich eineGleichung für den Parameter b:dFdb!=0 −→ ∑ iQ i ρ i = b ∑ iρ 2 i . (10)Damit ergibt sich der – schon ganz vernünftige – Wert b = 111420/1084 ≈ 102.8 km/h fürdie Wunschgeschwindigkeit.Achtung, der Ansatz mit einer Ursprungsgeraden ist qualitativ etwas anderes als die lineareRegression mit den zwei Parametern a und b. Das sieht man an der obigen Formel fürb. Die Gleichung ist anders als im System mit 2 Gleichungen für a, b.Merke: Das Ergebnis hängt vom Ansatz ab; mit einem ungeeigneten Ansatz (hier ˆQ(ρ) =a + bρ) erhält man falsche Aussagen. Besser ist hier ˆQ(ρ) = bρ, am besten die nichtlineareRegression.Freier Verkehr2000Data (x,y)quadratischer Fitlinearer FitVerkehrsfluss Q (Fz./h)1500100050000 5 10 15 20 25Verkehrsdichte ρ (Fz./km)www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 11

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikZusätzliche AnmerkungDie Wirklichkeit ist etwas komplizierter: zunächst muss man mehr Datenpunkte betrachtenum Aussagen treffen zu können. In dem nächsten Diagramm sind echte Detektordatenaufgezeichnet. Man sieht sofort einen Unterschied für Dichten im gestauten Verkehr. DieQ-Werte schwanken sehr stark und anscheinend völlg zufällig. Dieses Verhalten – in derwissenschaftlichen Diskussion als wide and erratic scattering bekannt – ist erst vor einigenMonaten quantitativ erklärt worden. In der Arbeit wurde eine Korrelationsanalyse durchgeführtund ein hoher Korrelationskoeffizient (nahe 1) für einen verbesserten Ansatz derFit-Funtion bzw. Jam-Line gefunden. Weiterhin wurde auch noch gezeigt, dass die Streuungeinzelner Datenpunkte – gemessen durch die Varianz – korreliert ist, d.h. die Varianz geradenicht wie N −1 abnimmt (wie es für unabhängige Zufallsvariablen gilt), sondern langsamermit ca. N −0.7 . Das Paper 2 kann man auf dem preprint-Server xxx.uni-augsburg.de im Katalogcond-mat unter “abstract” cond-mat/0212295 abrufen .30002500Fluss Q (Fz/h/Spur)20001500100050000 20 40 60 80 100Dichte ρ(Fz/km)Aufgabe 4: Bremsweg in Abhängigkeit der GeschwindigkeitEs wurde der Bremsweg s in Abhängigkeit von der gefahrenden Geschwindigkeit v untersucht.Sechs Messwerte sind gegeben:Geschwindigkeit v in m/s 5 14 22 28 33 40Bremsweg s in m 15 49 146 254 340 4602 Experimental time gap distributions and erratic scattering in heterogeneous flows von K. Nishinari, M.Treiber und D. Helbing.www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 12

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistik6050Bremsweg (m)4030201000 2 4 6 8 10 12 14 16Geschwindigkeit (m/s)(a) Zunächst brauchen wir ein “Modell” für eine Regressionsfunktion. Leiten Sie den Bremswegs in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v her, indem Sie von einer konstantenBremsverzögerung a ausgehen.(b) Führen Sie nun eine Regression mit dem entsprechenden Ansatz aus (a) durch,ŝ(v) = v22 a , (11)und bestimmen die die Größe a. Welchen Wert kann man ungefähr erwarten? Warumist die Regression “quasilinear”?(c) Zusätzlich zum quadratischen Term betrachten wir nun den Ansatzŝ(v) = t reak v + v22 a . (12)Welche Einheit hat der Parameter t reak ? Wir interpretieren ihn als Reaktionszeit. BestimmenSie t reak und a mittels Regression.Lösungsvorschlag zu Aufgabe 4: Bremsweg in Abhängigkeit der GeschwindigkeitWir sollten uns kurz den Zusammenhang von Bremsweg und Geschwindigkeit vergegenwärtigen.Für den einfachsten Fall einer konstanten Bremsverzögerung a ergeben sich die folgendenGleichungen:dv= ˙v = a = constdtdsdt = ṡ = v = a ts = 1 2 a t2 .Aus den beiden letzten Gleichungen kann man t eliminieren und wir bekommen den Bremswegals Funktion der Geschwindigkeit:s(v) = v22 a . (13)Der Bremsweg hängt also quadratisch von der Geschwindigkeit v ab!www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 13

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikQuadratischer Ansatz60DatenFit x 2 /(2a)50Bremsweg (m)4030201000 2 4 6 8 10 12 14 16Geschwindigkeit (m/s)Final set of parameters Asymptotic Standard Error======================= ==========================a = 1.67162 +/- 0.03819 (2.284%)Quadratischer Ansatz mit t reak60DatenFit tr*x+x 2 /(2a)50Bremsweg (m)4030201000 2 4 6 8 10 12 14 16Geschwindigkeit (m/s)final set of parametersAsymptotic Standard Errorwww.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 14

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistik======================= ==========================a = 1.83677 +/- 0.2036 (11.08%)t_r = 0.920338 +/- 1.004 (109.1%)Aufgabe 5: Bremsweg: Berechnung des BestimmtheitsmaßesAus Fahrtests sind 4 Messwerte gegeben:Geschwindigkeit v in m/s 3 6 10 15Bremsweg s in m 6.2 12.5 29.4 56.66050Bremsweg (m)4030201000 2 4 6 8 10 12 14 16Geschwindigkeit (m/s)(a) Die Regression mit der Modell-Funktionŝ(v) = v22a(14)hat für die Beschleunigung den Wert a = 1.92 m/s 2 ergeben. Bestimmen Sie das BestimmtheitsmaßB, indem Sie zunächst das Unbestimmtheitsmaß U berechnen.(b) Ein Regressionsansatz, der auch die Reaktionszeit t r beim Bremsvorgang berücksichtigt,ŝ(v) = t r v + v22 a , (15)ergibt die Parameter t r = 1.21 s und a = 2.92 m/s 2 . Bestimmen Sie ebenfalls das Bestimmtheitsmaßund vergleichen Sie mit Aufgabe (a).(c) Zum Vergleich probieren wir den linearen Ansatzŝ(v) = αv, (16)der den Wert α = 3.34 s ergibt. Wie groß ist das Bestimmtheitsmaß mit diesem, offensichtlichfalschen Ansatz? Darf man in diesem Fall auch mit der Formel B = r 2 xyarbeiten?www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 15

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikLösungsvorschlag zu Aufgabe 5: Bremsweg: Berechnung desBestimmtheitsmaßesMit dem (Un-)Bestimmtheitsmaß hat man ein Maß, mit dem man die Qualität einer Regressionbewerten kann: “Wie gut beschreibt der Regressionsansatz meine Daten?” Das UnbestimmtheitsmaßU ist definiert alsU = s2 es 2 y=Quadratsumme der nicht-erklärten Abweichungen. (17)Quadratsumme der GesamtabweichungenAn diesem Ausdruck sollte man sich den Fall U > 1 klarmachen: Die Streuung zwischen“Modell” und Daten sind größer als die triviale Annahme einer Konstanten, nämlich ȳ.Damit ist auch klar, dass U = 1 schon denkbar schlecht ist! Ausserdem sieht man sofort,wann U = 0 gilt: der Nenner verschwindet, wenn Regressionsfunktion und empirische Datenan jeden Punkt i identisch sind. Die beiden Quadratsummen sind definiert als, wobei manabkürzend schreibt ŷ i ≡ ŷ(x i ):s 2 e = 1 ∑(y i − ŷ i ) 2 ,nis 2 y = 1 ∑(y i − ȳ i ) 2 .niBeachte, dass s 2 y die gewöhnliche Varianz darstellt, die sich aus den Daten ergibt. Bei dieserAufgabe ist die abhängige Variable der Bremsweg, der hier mit s bezeichnet ist. Für dieVarianz brauchen wir ihren Mittelwert,¯s = 1 ∑s i = 26.175 m ≈ 26.2 m, (18)4und damit ergibt sichs 2 y = 1 4∑ii(s i − ¯s) 2 = 1522.14≈ 380.5 m 2 . (19)Da wir hier nichtlineare Funktionen vorliegen haben, müssen wir das Bestimmtheitsmaß Büber das Unbestimmtheitsmaß berechnen. Im Fall der linearen Regression gibt es auch eineBeziehung über die Kovarianz.Teil a)Für die Regressionsfunktion ŝ(v) = v22a muß man die Werte ŝ i ≡ ŝ(v i ) berechnen, um darauss 2 e bestimmen zu können:s 2 e = 1 4∑Damit ergibt sich das Unbestimmtheitsmaßund damit das Bestimmtheitsmaßi(s i − ŝ i ) 2 ≈ 39.894≈ 9.973. (20)U ≈ 9.973 ≈ 0.026 (21)380.5B = 1 − U ≈ 0.974. (22)Damit ist 97.4% der Streuung durch das “Modell” (des Regressionsansatz) erklärt.www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 16

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistikTeil b)Mit der Fit-Funktion ŝ(v) = t r v + v22 aDamit ergibt sichs 2 e = 1 4∑ierhält man analog zum obigen Vorgehen(s i − ŝ i ) 2 ≈ 1.9504≈ 0.488. (23)U ≈ 0.488 ≈ 0.00128 und B = 1 − U ≈ 0.999. (24)380.5Mit dem verbesserten Ansatz lassen sich immerhin 99.9% der Streuungen erklären.Teil c)Mit dem offensichtlich falschen Ansatz ŝ(v) = αv erhält mans 2 e ≈ 129.704≈ 32.43. (25)und damitU ≈ 0.0852 und B = 1 − U ≈ 0.915. (26)Mit B ≈ 92% ist dieser Ansatz erwartungsgemäß am wenigsten in der Lage, die Daten zubeschreiben.Aufgabe 6: Benötigkte Leistung bei KonstantfahrtDie maximale Geschwindigkeit hängt neben dem c w -Wert, der Stirnfläche und der Dichte derLuft vor allem von der Leistung des Motors ab. Wenn man die Leistung P des Motors alsunabhängige Variable auffasst, ergibt sich daraus die maximale Geschwindigkeit. Es liegen 5typische Kennzahlen bekannter Autos vor:Leistung P (PS) 25 34 90 180 420max. Geschwindigkeit v max 115 120 180 230 300300maximale Geschwindigkeit (km/h)2502001501005000 50 100 150 200 250 300 350 400 450Leistung (PS)www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 17

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistik(a) Theoretisch erwartet man den Zusammenhangv max ∼ P 1/3 (27)zwischen P und v max . Bestimmen Sie die Koeffizienten α und β aus dem nichtlinearenRegressionsansatzˆv max (P) = α · P β . (28)Stimmt das Ergebnis ungefähr mit der theoretischen Erwartung überein?(b) Wie groß ist demnach die maximale Geschwindigkeit für einen PKW mit 75 (bzw. 175)PS?Lösungsvorschlag zu Aufgabe 6: Benötigkte Leistung bei Konstantfahrtmaximale Geschwindigkeit (km/h)320300280260240220200180160140120100DatenFit0 50 100 150 200 250 300 350 400 450Leistung (PS)Final set of parameters Asymptotic Standard Error======================= ==========================a = 37.1327 +/- 2.388 (6.431%)b = 0.347403 +/- 0.01214 (3.493%)www.mtreiber.de/statistikTrainingsaufg Thema: Nichtlin. Einfachregression, Seite 18