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Spiegel 2Begründung des Reflexionsgesetzes mit dem Fermat-PrinzipVon P aus läuft ein Lichtstrahl zumPunkt F auf der Spiegelfläche undvon dort zu Punkt A. F ist so zubestimmen, dass der gesamteWeglänge | PF |+| FA | möglichst kurzwird.Definiere P’ so, dass s dieMittelsenkrechte zu PP' ist.• | PF |=| P' F |PP’Fs• gesamte Weglänge | PF |+| FA|=| P' F |+| FA|.AWeglänge minimal: F liegt auf P' A .Sonst: | P' F | + | FA | > | P' A | .

Spiegel 4P‘PDas Auge nimmt den Punkt P‘ als Quelle der Strahlen wahr.Untersuchung des Strahlengangs:Beschränkung auf die EinfallsebeneSpiegelebene ⇒ SpiegelachseRäumliche Spiegelung ⇒ Geradenspiegelung

) GeradenspiegelungenDefinition 2.1Es sei g eine Gerade der Ebene E.Eine Abb. S g : E → E heißt Geradenspiegelung (Achsenspiegelung)⇔ für jeden Punkt P und seinen Bildpunkt P' gilt:Ist P ∉ g, so ist g die Mittelsenkrechte von PP‘Ist P ∈ g, so ist P' = P.P'gPHandelndes Durchführen von Geradenspiegelungen:• Falten und Klecksen; Falten und Schneiden; Falten und Kohlepapier;Falten und Durchstechen• kariertes PapierGeradenspiegelung

Eigenschaften einer Geradenspiegelung S g:Die Umkehrabbildung einer Geradenspiegelung S gist die selbeGeradenspiegelung S g: S g-1= S g1 Punktepaar (P,P') (P ≠P') legt die Abbildung eindeutig fest.Zu zwei verschiedenen Punkten P, Q gibt es genau eineAchsenspiegelung S gmit S g(P)=Q.Fixelemente von S g:Fixpunkte: alle Punkte von gFixpunktgerade: gFixgeraden: g; alle Senkrechten zu gInvarianten:geradentreulängentreuwinkelmaßtreuflächeninhaltstreunicht umlaufsinntreuGeradenspiegelung-Eigenschaften 1

Weitere, hieraus und aus der Definition beweisbare Eigenschaften einerGeradenspiegelung S ghgh‘Ist nicht h || g, so schneiden sich h und h' auf g.g halbiert den Winkel zwischen h und h' .Geradenspiegelung-Eigenschaften 2

ProblemstellungFolgende Probleme im Zusammenhang mit Kongruenzabbildungensollen behandelt werden:Gibt es außer den Achsenspiegelungen noch weitereKongruenzabbildungen?Welche Typen können das sein? Kann man sie einfachklassifizieren?Welche Typen von Kongruenzabbildungen erhält man, wenn manmehrere Achsenspiegelungen hinter einander ausführt?

Verkettung- KongruenzabbildungBevor wir uns mit der Verkettung von Achsenspiegelungen im Einzelnenbefassen, sollen noch einige Eigenschaften von Kongruenzabbildungenbewiesen werden.Wir verwenden wiederum alle in Kapitel 1.6 aufgeführten „Axiome“.Satz 2.3Die Verkettung von zwei Kongruenzabbildung ist eineKongruenzabbildung.Beweis:Unmittelbare Folge aus der Definition.

Winkeltreue- KongruenzabbildungSatz 2.4Jede Kongruenzabbildung ist winkelmaßtreu und flächeninhaltstreu.WinkeltreueCh Sg Sh S ’Winkel α sei ∠ g S, h SBildwinkel α’ sei ∠g S’,h S’.αC’B’g S ’Wähle Punkt B auf g Sund Punkt C auf h S.SBS’α’Wegen der Längentreue der Kongruenzabbildungen:Für das Bilddreieck S’B’C’ istSB = S'B', BC = B'C', CS = C'S'Damit stimmen die Dreiecke auch in allen Winkeln überein, also ist α’=α.

Flächeninhaltstreue - KongruenzabbildungFlächeninhaltstreueVorgriff auf die späteren Ausführungen zum Flächeninhaltsbegriff:Der Flächeninhalt von Rechtecken bleibt erhalten.Rechteck ABCD ⇒Rechteck A‘B‘C‘D‘da Kongruenzabbildungen winkeltreu sind.Seitenlängen Bildrechteck A’B’C’D’ =Seitenlängen Rechteck ABCDda Kongruenzabbildungen längentreu sind.⇒Flächeninhalte bleiben gleich, da der Flächeninhalt beliebigerFiguren (z.B. von Ellipsen) als Grenzwert geeigneter Folgenvon Quadraten definiert wird.

Parallelentreue- KongruenzabbildungSatz 2.5Jede Kongruenzabbildung ist parallelentreu.Beweis:Folgt unmittelbar aus der Geradentreue und der Bijektivität vonKongruenzabbildungen (Übungsaufgabe).

Eindeutigkeit- Kongruenzabbildung 1Satz 2.6Durch das Abbilden eines einzigen Dreiecks ist eineKongruenzabbildung eindeutig festgelegt.Beweis:Das Bild eines (nicht ausgearteten) Dreiecks ABC sei A’B’C‘.P sei beliebiger PunktP’CFPC’ F’B’ABA’Zu zeigen: Bild P‘ von P eindeutig festgelegt.Zeichne die Gerade AP(für P ≠A)

Eindeutigkeit- Kongruenzabbildung 2P’CFPC’ F’B’AB1.Fall: AP schneidet die Gerade BC in einem Punkt F.Bildpunkt F’ von F liegt auf B’C’ .A’Geradentreue und Längentreue ⇒⇒ F‘ eindeutig bestimmt .BF = B'F', CF =C'F'P’ liegt auf A’F’ .Längentreue ⇒F ' P'=FPP’ eindeutig bestimmt.

Eindeutigkeit- Kongruenzabbildung 3P’CFPC’ F’B’ABA’2.Fall: AP schneidet die Gerade BC nicht.⇒ zur Übung selbst bearbeiten.3.Fall: P=A. ⇒ AP ist nicht definiert.P’=A’ ⇒ P’ eindeutig bestimmt.

Verkettung 2 Kongruenzabbildungen-2.3 – Satz 2.7-12.3 Hintereinanderausführen von 2 AchsenspiegelungenSatz 2.7Die Hintereinanderausführung von 2 Achsenspiegelungen ist eineDrehung oder eine Verschiebung.Dabei gilt:Experimentieren mit DynaGeoZusammenfassung der Ergebnisse:Schneiden sich die beiden Achsen in Z unter ∠α, so lässt sich dieZweifachspiegelung durch eine Drehung um Z um ∠ 2α ersetzen.Die Reihenfolge der Achsenspiegelung legt den Winkel fest:α ist der Winkel, der überstrichen wird, wenn die erste Spiegelachse imGegenuhrzeigersinn auf die zweite Spiegelachse gedreht wird.

Verkettung 2 Kongruenzabbildungen-2.3 - Satz 2.7 -2Sind die beiden Achsen parallel im Abstand a, so lässt sich dieZweifachspiegelung durch eine Verschiebung um 2a senkrecht zurAchsenrichtung ersetzen.Die Reihenfolge der Achsenspiegelung legt die Richtung derVerschiebung fest:Die Verschiebung erfolgt von der ersten Spiegelachse auf die zweiteSpiegelachse zu.hgh2aag2αα

Drehungen-DefinitionDefinition einer DrehungDefinitionEs sei Z ein Punkt der Ebene E, α eine Winkelgröße.Eine Abbildung D Z,α : E → E heißt Drehung⇔ für jeden Punkt P und seinen Bildpunkt P' gilt:P' Z = PZ∠ PZP' = αIst P = Z, so ist P' = Z = P.P'ZαP

Verschiebungen-DefinitionDefinition einer VerschiebungDefinitionEs seien A,B zwei verschiedene Punkte der Ebene E.Eine Abbildung V A,B: E → E heißt Verschiebung um AB⇔ für alle Punkte P der Ebene gilt:- liegt P auf der Geraden AB, so auch P';PP'und AB sind gleichlang und gleichgerichtet.- Sonst bilden die Punkte ABP'P(in dieser Reihenfolge) ein Parallelogramm.BBP'P'APAP

Beweis Satz 2.7 - 1Beweis des Satzes 2.7.Gegeben sei die Verkettung der Spiegelung S gmit S h.1.Fall: g=h , d.h. Spiegelachsen g und h fallen zusammen.g=hS g= S h⇒ S goS h= id.idist Spezialfall einer Drehung (um 0°) odereiner Verschiebung (um Nullvektor).

Beweis Satz 2.7 - 22.Fall: g und h schneiden sich in Punkt Z unter dem Winkel α.α ist der Winkel, der überstrichen wird, wenn man g imGegenuhrzeigersinn auf h dreht.Sei P ein beliebiger Punkt, P’= S g(P) und P’’= S h(P’).Behauptung:P’’ entsteht aus P durch Drehung um Z um den Winkel 2α .Wir müssen alle möglichenLagen von P, P’ und P’’bezüglich der Achsen g und hbetrachten!P''hP'gPγ'γβ'β1. Unterfall:P , P’ und P’’ liegen wie in dernebenstehenden Abbildung .αZ

Beweis Satz 2.7 - 31.Behauptung:P, P’ und P’’ liegen auf einemKreisbogen um Z.P''hP'gKlar, da wegen der Längentreuevon S gund S hgilt ZP = ZP' = ZP' 'γ'γβ'βP2.Behauptung: ∠ PZP’’ = 2α .αWegen der Winkeltreue von S gund S hist β=β’ und γ=γ’.ZDa α=β’+γ = β+γ und∠ PZP’’= β+β’+γ+γ’ folgt∠ PZP’’= β+β+γ+γ = 2(β+γ) = 2α.

Beweis Satz 2.7 - 4Weitere Unterfälle:Andere Lagen von P, P’, P’’wie z.B. in dernebenstehenden Abbildung.→ ÜbungsaufgabeP''hPgP'αZ

Beweis Satz 2.7 - 53.Fall: g || h , g ≠ h mit Abstand a.Sei P ein beliebiger Punkt, P’= S g(P) und P’’= S h(P’).Behauptung:P’’ entsteht aus P durch Verschiebung um 2a in der Richtung senkrechtvon g nach h.Wir müssen alle möglichen Lagenvon P, P’ und P’’ bezüglich derAchsen g und h betrachten!gh1. Unterfall:P , P’ und P’’ liegen wie in dernebenstehenden Abbildung .Pb b' c c'M1P'M2P''1.Behauptung:P, P’ und P’’ liegen auf einerSenkrechten zu den Achsen gund h.Klar nach Definition derAchsenspiegelung!a

Beweis Satz 2.7 - 62.Behauptung: PP'' = 2a.Nach Definition derAchsenspiegelung istb = PM1= M1P'=b’c = P M = M ''= c’'2 2PPgP'hb b' c c'M1M2P''a = b’+c ⇒ = 2b+2c=2a .PP''aWeitere Unterfälle:ghAndere Lagen von P, P’, P’’ wiez.B. in der nebenstehendenAbbildung.→ ÜbungsaufgabeP'M1PaM2P''

Umkehrung Satz 2.7Auch die Umkehrung von Satz 2.7 gilt!C'CC'A'B'AA'70 °ACBB'ZBJede Drehung D Z,αlässt sich durch eine Doppelspiegelungersetzen. Dabei müssen sich die beiden Spiegelachsen in Z unter∠ ½ α schneiden.Jede Verschiebung v lässt sich durch eine Doppelspiegelung anparallelen Achsen im Abstand ½ v, senkrecht zu v, ersetzen.Orientierung des Winkels bzw. Verschiebungsrichtung beachten!Geben Sie jeweils solche Achsen an.Welche Bedingungen müssen dafür gelten?

Anwendung Satz 2.7 – 2 DrehungenAnwendung von Satz 2.7AufgabeAufgabeWasWaskannkannmanmanüberüberdiedieVerkettungVerkettungvonvonzweizweiDrehungenDrehungensagen?sagen?C'A'B'C''A''B''60 °Z1AC45 °BZ2

AufgabeAufgabeKonstruierenKonstruierenSieSieAchsenAchsenfürfürzweizweiGeradenspiegelungen,Geradenspiegelungen,derenderenVerkettungVerkettungeineeineDrehungDrehungumum90°90°((180°180°,,45°)45°)ergibt.ergibt.ÜberprüfenÜberprüfenSieSiedurchdurchAusführenAusführenderderSpiegelungenSpiegelungeneineseinesDreiecks,Dreiecks,dassdasssichsichtatsächlichtatsächlichjeweilsjeweilsdiedieerwarteteerwarteteDrehungDrehungergibt.ergibt.AufgabeAufgabeDieDieGeradenGeradenf,f,g,g,h gehengehendurchdurcheineneinengemeinsamengemeinsamenPunkt,Punkt,derderWinkelWinkel∠ f,gf,gzwischenzwischenffundundg seisei30°,30°,derderWinkelWinkel∠ g,hg,hseisei70°.70°.DieDieDoppelspiegelungDoppelspiegelungS foSfoS gsollgsolldurchdurchzweizweiAchsenspiegelungenAchsenspiegelungendargestelltdargestelltwerden,werden,derendereneineeineAchseAchseh ist.ist.KonstruierenKonstruierenSieSiediediezweitezweiteAchse.Achse.Aufgaben zu Drehung

Verkettung 3 Kongruenzabbildungen-12.4 Hintereinanderausführen von 3 AchsenspiegelungenDie Zahl der zu untersuchenden Fälle von gegenseitiger Lage der Achsenzueinander ist hier viel größer als zuvor.1.Fall: Die Achsen schneiden sich in einem Punkt.hZgfhZgfDie Drehung desAchsenpaares(f,g) um Z ändertdie VerkettungS f o S g nicht.hg'f'S f o S g o S h = (S f o S g )o S h =(S f‘ o S g‘ )o S h = S f‘ o (S g‘ o S h )=S f‘ o id = S f‘Z⇒ eine Achsenspiegelung an f’

Verkettung 3 Kongruenzabbildungen-22.Fall: Die 3 Achsen sind parallel.Die Verschiebung desAchsenpaares (f,g) ändert dieVerkettung S f o S g nicht.f g hf‘g‘ = hS fo S go S h=(S fo S g)o S h=(S f‘o S g‘)o S h=S f‘o (S g‘o S h) =S f‘o Id = S f‘⇒ eine Achsenspiegelung S f‘an f’ .

Verkettung 3 Kongruenzabbildungen-33.Fall: Die Achsen bilden ein Dreieck.hBαfghBαfgZh90 °f'Bαg'1. Drehung von (f,g) um B , so dass g‘ ⊥ h, Z Schnittpunkt von g’ und h.Zhf'f'h''90 °ZBg'90 °90 °2. Drehung von (g‘,h) um Z so, dass h‘‘ ⊥ f‘g''S fo S go S h=(S fo S g)o S h=(S f‘o S g‘)o S h=S f‘o (S g‘o S h) =S f‘o (S g‘‘o S h‘‘) =(S f‘o S g‘‘)o S h‘‘Vorlage 1Vorlage 2

Verkettung 3 Kongruenzabbildungen-4f'(S f‘o S g‘‘) ist Verschiebung parallel zurSpiegelachse h‘‘ .Z90 °h''90 °Danach Spiegelung an h’’.g''⇒Verschiebung gefolgt von einer Spiegelung an einer zurVerschiebungsrichtung parallelen Achse.Solche Kongruenzabbildungen bezeichnen wir als„Schubspiegelung“.

Verkettung 3 Kongruenzabbildungen-54.Fall: 2 Achsen sind parallel.1. Unterfall: f || h oder g || hhgαfBhBαgfHier kann der Beweis wie zuvor durchgeführt werden:Drehen von Achsenpaar (f,g) um ihren Schnittpunkt Busw.⇒Schubspiegelung

Verkettung 3 Kongruenzabbildungen-52. Unterfall: f || g.BfhβgCf‘h‘g‘βCDrehen von Achsenpaar (h,g) um ihren Schnittpunkt C,so dass sich f‘ und g‘ in einem Punkt B schneiden.⇒ Lage wie im 3.Fall , der Beweis kann wieder wiezuvor zu Ende geführt werden.⇒Schubspiegelung

Verkettung 3 Kongruenzabbildungen-6Damit haben wir bewiesen:Satz 2.8Die Hintereinanderausführung von 3 Achsenspiegelungen ist eineAchsenspiegelung oder eine Schubspiegelung.Die bislang als Verkettung von Achsenspiegelungen gewonnenenKongruenzabbildungen Drehung, Verschiebung und Schubspiegelungsollen jetzt jeweils noch auf andere Art definiert werden.

Drehungen-12.5 Drehungen und ihre EigenschaftenDefinition 2.3Es sei Z ein Punkt der Ebene E, α eine Winkelgröße.Eine Abbildung D Z,α : E → E heißt Drehung⇔ für jeden Punkt P und seinen Bildpunkt P' gilt:P' Z = PZ∠ PZP' = αIst P = Z, so ist P' = Z = P.P'ZαP

Drehungen-2Eigenschaften einer Drehung D Z,α:D Z,α-1= D Z, - α= D Z, 360°- α2 verschiedene Punktepaare (P,P'), (Q,Q') legen die Drehungeindeutig fest (falls es eine solche gibt).

Drehungen-Aufgabe gleich lange StreckenAufgabeAufgabeZeigenZeigenSie,Sie,dassdasseseszuzuzweizweigleichgleichlangenlangennichtnichtparallelenparallelenStreckenStreckenPQ undund P' Q' genaugenaueineeineDrehungDrehunggibt,gibt,diedieP aufaufP‘P‘undundQ aufaufQ‘Q‘abbildet.abbildet.KonstruierenKonstruierenSieSieeineeinesolchesolche••durchdurchKonstruktionKonstruktioneineseinesZentrumsZentrumsZ undunddesdesDrehwinkelsDrehwinkelsα ,,••durchdurchKonstruktionKonstruktionvonvonzweizweiAchsenspiegelungen.Achsenspiegelungen.QP'Q'P

Drehungen-3Weitere Eigenschaften einer Drehung D Z,α:Fixelemente von D Z,α(für α ≠0°)Fixpunkte: ZFixpunktgeraden: keineFixgeraden: keine (für α ≠0°, α ≠180°).Invariantengeradentreu,längentreu,winkelmaßtreu,flächeninhaltstreu,umlaufsinntreu.Weitere beweisbare EigenschaftenIst Z ∈g, so ist Z ∈ g‘‚Gerade und Bildgerade haben von Z denselben Abstand ,Gerade und Bildgerade schneiden sich unter α (Begründung?).

Punktspiegelung-1Punktspiegelung (Sonderfall der Drehung; Drehwinkel α = 180°)Definition 2.4Sei Z ein Punkt der Ebene E.Eine Abbildung heißt Punktspiegelung an Z⇔ für jeden Punkt P und seinen Bildpunkt P‘ gilt:Ist P = Z, so ist P' = Z = Psonst halbiert Z die Strecke PP' .Zusätzliche Eigenschaften einerPunktspiegelung (gegenüber einerDrehung)PZ•D Z,180 -1 = D Z,180,•D Z,180liegt durch ein Punktepaar (P,P') eindeutig fest( falls P ≠P'),• alle Geraden durch Z sind Fixgeraden,• g' || g (Originalgerade und Bildgerade sind parallel).P‘

Verschiebungen-12.6 Verschiebungen und ihre EigenschaftenDefinition 2.5Es seien A,B zwei verschiedene Punkte der Ebene E.Eine Abbildung V A,B: E → E heißt Verschiebung um AB⇔ für alle Punkte P der Ebene gilt:- liegt P auf der Geraden AB, so auch P';PP'und AB sind gleichlang und gleichgerichtet.- Sonst bilden die Punkte ABP'P(in dieser Reihenfolge) ein Parallelogramm.BBP'P'APAP

Verschiebungen- 2Eigenschaften einer Verschiebung V A,B:V A,B -1= V B,AEine Verschiebung liegt durch 1 Punktepaar (P,P') eindeutig fest.Wir veranschaulichen die durch das Punktepaar (P,P') festgelegteVerschiebung oft durch einen Pfeil von P nach P’ und schreibenauch .P’PvFixelemente von V A,B: (für A ≠ B)• keine Fixpunkte,• alle Geraden parallel zu AB sind Fixgeraden.

Verschiebungen- 3Invarianten:• geradentreu,• winkelmaßtreu,• längentreu,• flächeninhaltstreu,• Umlaufsinn bleibt erhalten.Zusätzliche Eigenschaft:g' || g (d.h. Originalgerade und Bildgerade sind parallel).Begründung?

Verschiebungen-AufgabeAufgabeAufgabe(a)(a)ABDCABDCseiseieineinParallelogramm.Parallelogramm.ZeigenZeigenSieSiemitmitHilfeHilfederderDefinitionDefinition2.5,2.5,dassdassgiltgiltV A,B=A,B V C,D.C,D.(b)(b)ZeigenZeigenSieSiemitmitHilfeHilfederderDefinitionDefinition2.5,2.5,dassdassfürfürdiedieVerkettungVerkettungvonvonzweizweiVerschiebungenVerschiebungengiltgiltV A,BoVA,BoV B,C=B,C V A,C.A,C.Zu (a)Zu (b)CDCABAB

Schubspiegelungen-12.6 Schubspiegelungen (Gleitspiegelungen) und ihreEigenschaftenDefinition 2.6Schubspiegelungen sind Abbildungen, die aus demHintereinanderausführen einer Achsenspiegelung und einerVerschiebung bestehen.Dabei liegt die Spiegelachse parallel zur Verschiebungsrichtung.SchubspiegelungPgP’v

Schubspiegelungen-2Eigenschaften einer Schubspiegelung• Schubspiegelungen sind Verkettungen von Spiegelungen an 3 Achsen,von denen die ersten beiden parallel zueinander sind und die drittesenkrecht dazu ist.• Man kann die Reihenfolge von Verschiebung und Achsenspiegelungvertauschen, wenn die Verschiebung parallel zur Spiegelachseverläuft:o S g= S goPgP’v

Schubspiegelungen -AufgabeAufgabe:Aufgabe:VerkettungVerkettungeinereinerbeliebigenbeliebigenVerschiebungVerschiebungmitmiteinereinerSpiegelungSpiegelungGegebenGegebenististeineeineVerschiebungVerschiebungV AB undAB undeineeineAchsenspiegelungAchsenspiegelungS g .g .DieDieEntfernungEntfernungvonvonA undundB sollsoll6 cmcmbetragen,betragen,g mitmitABABeineneinenWinkelWinkelvonvon30°30°einschließeneinschließen(Skizze).(Skizze).a)a)ZeigenZeigenSie,Sie,dassdassV AB oAB S g ≠g ≠S g oVg oV AB ist.AB ist.b)b)ZeigenZeigenSie,Sie,dassdassV AB oAB S g eineg eineSchubspiegelungSchubspiegelungergibt.ergibt.MarkierenMarkierenSieSiediedieSpiegelachseSpiegelachseundunddendenVerschiebungsvektor.Verschiebungsvektor.BeschreibenBeschreibenSie,Sie,wiewiediedieneueneueSpiegelachseSpiegelachseundundderderVerschiebungsvektorVerschiebungsvektormitmitg undunddemdemaltenaltenVerschiebungsvektorVerschiebungsvektorzusammenhängen.zusammenhängen.Beweisideenzu b)?AgB

Aufgabe:Aufgabe:EigenschaftenEigenschaftenvonvonSchubspiegelungen.Schubspiegelungen.BeweisenBeweisenSieSiedendenfolgendenfolgendenSatz:Satz:BeiBeieinereinerSchubspiegelungSchubspiegelungliegtliegtfürfürjedenjedenPunktPunktP undundseinenseinenBildpunktBildpunktP’P’derderMittelpunktMittelpunktderderStreckeStreckePP' aufaufderderSpiegelachse.Spiegelachse.UntersuchenUntersuchenSie,Sie,obobdieserdieserSatzSatzauchauchrichtigrichtigwäre,wäre,wennwennmanmanbeibeiderderDefinitionDefinitionderderSchubspiegelungSchubspiegelungdiedieBedingungBedingung„der„derVerschiebungsvektorVerschiebungsvektorististparallelparallelzurzurSpiegelachse“Spiegelachse“wegließe.wegließe.gPxx P‘

Kongruenzabbildungen - Produkte von Achsenspiegelungen 12.8 Kongruenzabbildungen - Produkte von AchsenspiegelungenNach dieser Vorarbeit: Klassifizierung aller Kongruenzabbildungen.Zusammenfassung des bisherigen Vorgehens:• Kongruenzabbildungen sind bijektive, geradentreue, längentreueAbbildungen der Ebene.• Achsenspiegelungen sind Kongruenzabbildungen.• Verkettung von Achsenspiegelungen sind Kongruenzabbildungen.• Jede Kongruenzabbildung ist durch die Abbildung eines Dreieckseindeutig festgelegt.• Verkettung von höchstens 3 Achsenspiegelungen ergeben folgendeAbbildungstypen :►Achsenspiegelung bei 1 Achse (gegensinnige Abbildung),►Drehung oder Verschiebungen bei 2 Achsen (gleichsinnige Abbildung),►Schubspiegelung oder Achsenspiegelung bei 3 Achsen (gegensinnigeAbbildung).

Kongruenzabbildungen - Produkte von Achsenspiegelungen 2Ziel:Jede Kongruenzabbildung ist durch höchstens 3Achsenspiegelungen darstellbar.Dazu beweisen wir zunächst den folgenden Satz.Satz 2.9Gegeben seien zwei Dreiecke ABC und A*B*C* mit gleich langenSeiten.Dann lässt sich Dreieck ABC auf Dreieck A*B*C* durch eineVerkettung von höchstens 3 Achsenspiegelungen abbilden.CB*BC*AA*

Kongruenzabbildungen - Produkte von Achsenspiegelungen 3CfC'gC''hB*BB'C*AA*f: A a A* , ( B a B’, C a C’)g: B’a B* ; A* bleibt fest, ( C’a C’’)h: C’’ a C* ; A* und B* bleiben fest.

Kongruenzabbildungen - Produkte von Achsenspiegelungen 4Satz 2.10Jede Kongruenzabbildung lässt sich als Einfach-, Zweifach- oderDreifachspiegelung darstellen.Beweis• Zur Kongruenzabbildung f wählt man ein beliebiges Dreieck ABC aus.• f bildet ABC auf das Dreieck A*B*C* ab.• A*B*C* hat gleiche Seitenlängen wie ABC.• Dreieck ABC wird durch eine Verkettung g von ≤ 3Achsenspiegelungen auf A*B*C* abgebildet (Satz 2.9).• g ist eine Kongruenzabbildung.• Kongruenzabbildungen sind durch das Bild eines Dreiecks eindeutigbestimmt (Satz 2.6).• ⇒ f = g, f wird also durch ≤ 3 Achsenspiegelungen dargestellt.Satz 2.11 (Dreispiegelungssatz)Die Verkettung von beliebig vielen Achsenspiegelungen lässt sichauf eine Verkettung von ≤ 3 Achsenspiegelungen reduzieren.

Kongruenzabbildungen - Produkte von Achsenspiegelungen 5Satz 2.12Jede Kongruenzabbildung ist von einem der Typen● Achsenspiegelung,● Drehung,● Verschiebung,● Schubspiegelung.BeweisEinfache Folgerung aus Satz 2.10. und der Analyse der Verkettung von≤ 3 Achsenspiegelungen.

Hintereinanderausführen von 4 und mehr Geradenspiegelungen 12.9 Hintereinanderausführen von 4 und mehrGeradenspiegelungenGezeigt:Verkettung von beliebig vielen Achsenspiegelungen ⇒Verkettung von ≤ 3 AchsenspiegelungenNicht gezeigt:Wie ergeben sich diese Achsenspiegelungen aus den gegebenenAchsenspiegelungen?Verkettung von zwei Drehungen ⇒ Anwendung von Satz 2.7 , AufgabeVerkettung von zwei Verschiebungen ⇒ nächste SeiteVerkettung einer Verschiebung und einer Drehung ⇒ Aufgabe

Hintereinanderausführen von 4 und mehr Geradenspiegelungen 2Verkettung von zwei VerschiebungenfghZugpunktCiABDrehung von (g,h) um C, so dass g’ auf AC fällt

Hintereinanderausführen von 4 und mehr Geradenspiegelungen 3fZugpunkt1h'CZugpunkt2g'AiB

Hintereinanderausführen von 4 und mehr Geradenspiegelungen 4Zugpunkt1Zugpunkt2g''CAf'i'Bh''f‘ und i‘ sind parallel und ihr Abstand ist die Hälfte der Länge der Seite AB

Hintereinanderausführen von 4 und mehr Geradenspiegelungen 5Wir halten diese Ergebnisse nochmals fest.Satz 2.13● Die Verkettung von zwei Drehungen ist eine Verschiebung,wenn für die Drehwinkel α 1und α 2gilt α 1+α 2=360° , andernfallseine Drehung um den Winkel α 1+α 2.● Die Verkettung von zwei Verschiebungen ist eineVerschiebung nach den Gesetzen der Vektoraddition.Satz 2.14● Die Verkettung von 4 Achsenspiegelungen ist eine Drehung odereine Verschiebung.● Die Verkettung von 4 Achsenspiegelungen lässt sich stetsersetzen durch die Verkettung von 2 (geeigneten)Achsenspiegelungen .

Hintereinanderausführen von 4 und mehr Geradenspiegelungen 6Weiterer Beweis für den Dreispiegelungssatz (Satz 2.11):Reduktion der Anzahl der Achsenspiegelungen schrittweise.Sei n die Anzahl der Achsenspiegelungen, n > 4.S 1o S 2o S 3o S 4o . .. o S n=(S 1o S 2o S 3o S 4) o ... o S n=(S’ 1o S’ 2) o ... o S nwobei S 1o S 2o S 3o S 4=S’ 1o S’ 2(wegen Satz 2.14)⇒ für n ≥ 4 lässt sich die Anzahl der Achsenspiegelungen schrittweiseum jeweils 2 reduzieren.⇒ stets Reduktion auf maximal 1, 2 oder 3 Achsenspiegelungenmöglich.