Nr. 165

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Quelle: Thiele, 1984, S. 166 rum Araki Murahide. Dieser behandelt in einem seiner Werke ein Problem, das Mamakosan oder Stiefkinder-Problem heißt und wie folgt lautet (Ahrens, 1913, S.143f.): Ein reicher Landedelmann in Japan hatte von seiner ersten Frau 15 und von seiner zweiten ebenfalls 15 Kinder. Letztere beseelte nun der Wunsch, dass einer ihrer leiblichen Kinder ihrem Manne im Besitz nachfolgen möge und unterbreitete diesem den folgenden Vorschlag: Alle 30 Kinder sollten sich in einer bestimmten Ordnung im Kreise aufstellen, und nun sollte ausgezählt werden, wobei jeder zehnte ausscheiden müsste. Der zuletzt Übriggebliebene sollte den Besitz erben. Der Gatte ging auf den Vorschlag ein; bei der Durchführung des Verfahrens stellte er zunächst mit Staunen, dann aber mit wachsendem Entsetzen fest, dass die Kinder der ersten Frau (in Bild 4 weiß gekleidet) nacheinander bis auf eines als Erben ausschieden. Es waren jetzt also nur noch ein Stiefkind und die 15 leiblichen Kinder (schwarz) der zweiten Frau übrig. Da glaubte diese, dass der Sieg den Ihrigen bereits sicher sei, und in dieser festen Erwartung schien es ihr ganz gleichgültig, wie weitergezählt würde. Sie fing also bei dem allein noch übriggebliebenen Stiefkind von neuem zu zählen an, tat dies jedoch in umgekehrter Richtung zu vorher. Wieder wurde jedes zehnte Kind ausgeschieden; dabei ergab sich jedoch das überraschende Resultat, dass nun nacheinander alle leiblichen Kinder der zweiten Frau getroffen und ausgeschieden wurden, sodass schließlich das eine Stiefkind als Erbe aus der Abzählung hervorging. Seki scheint das zur die Lösung erforderliche Rekursionsgesetz be- LOG IN Heft Nr. 165 (2010) F O R U M reits gekannt zu haben, das im Abendland zuerst von Leonhard Euler (1707–1783, Bild 3b, vorige Seite) entdeckt und im Jahr 1776 veröffentlicht wurde (in der Abhandlung Observationes circa novum et singulare progressionum genus, die Euler 1771 der Petersburger Akademie vorgelegt hatte). Die allgemeine Fragestellung lautet: Auf einem Kreis liegen n Punkte, die von 1 bis n durchnummeriert sind. Man zählt, mit Punkt 1 beginnend, der Reihe nach bis k. Der Punkt, den die Zahl k trifft, wird ausgestrichen. Bei dem in der Reihe nächsten Punkt beginnt man wieder zu zählen, und zwar wieder von 1 bis k; der entsprechende Punkt wird ausgestrichen – und so setzt man das Verfahren fort, bis alle Punkte ausgestrichen sind. Es soll berechnet werden, welche Nummer der Punkt hat, der als erster, zweiter, … (allgemein: als s-ter) ausgestrichen wird. Dabei sind n, k und s natürliche Zahlen; es kann k kleiner, gleich oder größer als n sein; s kann jedoch nicht größer als n sein. Fragt man, welcher Punkt als letzter ausgestrichen wird, hat man s = n zu setzen. Nun zu den Lösungen der Knobelei von Heft 122/123: Bild 4: Lösung des Problems der Stiefkinder. Zählbeginn an den Tafeln erkennbar; Stiefkind unten (mit eckiger Tafel). Das Josephus-Problem Zu Aufgabe 1: Es sollte ein Programm geschrieben werden, das den Auszählvorgang simuliert. LOG-IN-Leser Paul Weisenhorn hatte seinerzeit ein PASCAL-Programm gesandt, das die Nummern der Personen in der Reihenfolge ihres Ausscheidens sowie die zugehörige Runendarstellung lieferte. In JAVA umgeschrieben lautet es wie folgt: public class Petrus { // St. Peters Spiel (mit verketteter Liste) static class Knoten { int wert; Knoten nachfolger; Knoten (int zahl) {wert = zahl;} } // Ende Knoten public static void main (String[] eingabe) { int n = 10, k = 2; if (eingabe.length > 1) { n = Integer.parseInt (eingabe[0]); k = Integer.parseInt (eingabe[1]); } // Ende if String text = "\n PETRUS-PERMUTATION "; text += "(" + n + ", " + k + ")\n"; System.out.println(text); Knoten kopf = new Knoten(1); Knoten aktuell = kopf; for (int i = 2; i
Bild 5: Nummern der Ausscheidenden und Runendarstellung. 1 1 2 2, 1 3 2, 1, 3 4 2, 4, 3, 1 5 2, 4, 1, 5, 3 6 2, 4, 6, 3, 1, 5 7 2, 4, 6, 1, 5, 3, 7 8 2, 4, 6, 8, 3, 7, 5, 1 9 2, 4, 6, 8, 1, 5, 9, 7, 3 10 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, 5 11 2, 4, 6, 8, 10, 1, 5, 9, 3, 11, 7 12 2, 4, 6, 8, 10, 12, 3, 7, 11, 5, 1, 9 13 2, 4, 6, 8, 10, 12, 1, 5, 9, 13, 7, 3, 11 14 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 3, 7, 11, 1, 9, 5, 13 15 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 1, 5, 9, 13, 3, 11, 7, 15 16 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 3, 7, 11, 15, 5, 13, 9, 1 System.out.print(" "); for (int i = 1; i 1 und p(1, 3) = 1. In Verallgemeinerung von (2) gilt für den allgemeinen Fall (nach P. G. Tait, 1900): (3) p(n, k) = mod(p(n – 1, k) + k – 1, n) + 1 für n > 1 und p(1, k) = 1. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 p(n, 2) 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1 3 Tabelle 1(oben): Platznummer des letzten Ausgeschiedenen im Fall k = 2. Tabelle 2 (unten): Platznummer des letzten Ausgeschiedenen im Fall k = 3. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 p(n, 3) 1 2 2 1 4 1 4 7 1 4 7 10 13 2 5 8 11 14 17 20 2 5 70 F O R U M LOG IN Heft Nr. 165 (2010)
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