Ideale und Reale Gase

Herleitung des idealen GasgesetzesV T,n = const/p=> pV = const(Boyle-Mariotte)pVT2T1const2const1VpV ist unabhängig von V aber abhängig von T const abhängig von T (größeres T größere const)wie const2 in const1 umrechnen?p konstant halten dann ändert sich V ~ T const = const’ * Tnicht auf konstantes p beschränkt da wieder Boyle Mariott gilt=> pV = const’*Tnun T und p konstant halten dann ändert sich V ~ n (Satz vonAvogadro) const’ = const’’ * n p* V = const’’ * n * Tp, V, T und n für verschiedene Systeme messen und const’’ berechnen

const’’ = 8.314 J/(K*mol) = R = GaskonstanteIdeales Gasgesetz:p * V = n * R * T=> wenn p, T und n gegeben dann ist V festgelegt:V = nRT/PUnter Standardbedingungen (p = 1atm, T = 273 K und n = 1mol)besitzen alle idealen Gase ein Molvolumen von 22.4 L.Einheitenp = F /A (F = Kraft [N = kg * m /s 2 ])(A = Fläche [m 2 ])also p = [N/m 2 ] = [Pascal]Vergleich ideales Gas versus reales Gas

Vergleich ideales Gas versus reale GaseZ = pV m /RTKompressionsfaktorZ = 1 für ideales VerhaltenZ < 1 für mittlere Drücke, Gase leichter zu komprimieren, daAnziehungskräfte überwiegenZ > 1 gilt für alle Gase bei hohen Drücken, Gase schwererkomprimierbarer wegen Abstoßungskräften

Reales Gas CO 2

Reale GaseAnziehungskräfte und Abstoßungskräfte zwischen den MolekülenAbstoßungskräfte erst bei sehr kleinen Abständen(harte Kugeln annehmen) Anziehung dominiert verminderter Außendruckp ideal = p real + p anziehungp real = p ideal - p anziehungdie Anziehungskräfte sind propotional dem Quadrat der Dichte derTeilchenp anziehung = a(n/V) 2 bzw. p anziehung = a/(V m ) 2Moleküle sind keine Punkte, sie haben ein EigenvolumenV ideal = V real – V eigenV real = V ideal + V eigenVolumen V Molekül eines Moleküls (als Kugel angenommen) ist:

4 π r3V Molekül = 3rrBei zwei Kugeln schließen sie gegenseitig ihre Mittelpunkte auseinem Volumen V Ausschluss aus:V Ausschluss =4π (2 r ) 3 = 8 * V3Molekül2r statt r, da die Moleküle beim Abstand 2r stoßenDies gilt für zwei Moleküle, bezogen auf ein Molekül also:V eigen = b = (16π/3) * r 3Damit ergibt eine modifizierte Gleichung zur Beschreibung desVerhaltens von realen Gasen⎛⎜⎜⎜⎝⎞⎟p +a⎟•⎛V−b⎞⎜ ⎟ = RTV 2 ⎟ ⎝ mol ⎠ mol ⎠van-der Waals- Gleichung

van-der-Waals-Gleichung am einfachsten nach p aufzulösenR • Tp(V m ,T) = − ( V m − b ) V 2 maBerechnung des kritischen PunktesKritischer Punkt ist Wendepunkt mit waagerechter Tangente∂p∂V=> = 0∂2p∂V2und = 0Damit Parameter des kritischen Punktes berechnen:∂p∂V= 0=>−( − b)V mRT22a+V 3 m= 0=>2aV 3 m( − b) 2V mRT= [1]∂2p∂V2= 0=>+2RT( −b)V m6a−3 V 4 m= 0=>6aV 4 m2RT= [2]( − b) 3V m[] 1[ 2]=>Vm3( − b)V m2= => Vmk = 3beinsetzen in [1]:2a RT = =>8aT =27b34b2k 27bR

V km und T k einsetzen in van-derWaals-Gleichung:⎛⎜⎝p ka+9b2⎞⎟⎠8a• ( 3b−b)= R •27bR=>⎛⎜⎝=>k a ⎞ 4ap + ⎟ =9b227b2k p =⎠a27b 2Man kann auch ausgehend vom idealen Gasgesetz das reale Verhaltendurch eine Potenzreihenentwicklung des Drucks oder Volumensbeschreiben.Diese Gleichung heißt Virialgleichung (Kammerlingh-Onnes):pV = RT (1 + B’p + C’p 2 + D’p 3 + …..)pbzw.BVCV 2DV 3pV = RT (1 + + + + ........)VKoeffizienten B, C, D sind die Virialkoeffizienten (sind Funktionenvon T)

Koeffizienten für einige reale Gase2.VirialkoeffizientBvan-der-Waals-KoeffizientenSubstanz [cm 3 mol -1 ](273 K)a[L 2 MPa mol -2 ]b[10 -2 L mol -1 ]N 2 -10.5 0.1408 3.913CO 2 -149.7 0.3640 4.267O 2 -22.0 0.1396 3.183H 2 13.7 0.2509 2.661He 12.0 0.0034 2.37Kritische Parameter für einige GaseSubstanz p k [MPa]kV m [cm 3 mol -1 ] T k [K]N 2 0.339 90.1 126.3CO 2 0.739 94.0 304.2O 2 0.508 78.0 154.8H 2 13.00 64.9 33.23He 0.029 57.8 5.2Es gibt noch andere (genauere) molekulare Herleitungen derGasgleichungen für reale Gase (qualitativ alle ähnlich)