Grundlagen Stochastischer Prozesse in Biophysikalischen Systemen

2.2. Beschreibung durch VerbundwahrscheinlichkeitenBeispielSei Y X (t) wieder durch Y X (t) = cos (ωt + X) gegeben, wobei X ein in [0, 2π] gleichverteilterPhasenwinkel ist. Dann gilt für die Einzelwahrscheinlichkeit∫p 1 (y 1 , t 1 ) =dx δ [y 1 − Y x (t 1 )] p X (x)Zur Auswertung dieser Gleichung benutzen wir die Formeln= 1 ∫ 2πdx δ [y 1 − cos (ωt 1 + x)] . (2.1)2π 0∫ baδ [x − f (ϕ)] = ∑ i{dx δ (x − c) f (x) =δ (ϕ − ϕ i )|f ′ (ϕ i )|f (c) ,0 ,c ∈ (a, b)sonst(2.2)wobei die Summation in Gl. (2.2) über alle Lösungen der Gleichung x = f(ϕ) zu erstreckenist. Die Nullstellen des Arguments der δ-Funktion in Gl. (2.1) sind durch{y 1 = cos (ωt 1 + x) ↔x + ωt 1 = arccos y 1 ,x + ωt 1 = 2π − arccos y 1 ,0 < x + ωt 1 ≤ ππ < x + ωt 1 ≤ 2πgegeben. Damit erhalten wir für p 1 (y 1 , t 1 )p 1 (y 1 , t 1 ) = 1 ∫ 2π2π= 12π= 12π= 12π= 1 π0∫ 2π0∫ 2πdx δ [y 1 − cos (ωt 1 + x)]dx[ δ (x + ωt1 − arccos y 1 )|y 1 ′ (x)| + δ (x + ωt ]1 − (2π − arccos y 1 ))|y 1 ′ (x)|dx [δ (x + ωt 1 − arccos y 1 ) + δ (x + ωt 1 − (2π − arccos y 1 ))]0|− sin (ωt 1 + x)|[]1|sin(arccos y 1 )| + 1|sin (2π − arccos y 1 )|1√ , y1 − y2 1 ∈ (−1, 1),1d.h. die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert y 1 zu beobachten ist unabhängigvom genauen Zeitpunkt der Beobachtung. Das liegt in dem speziellen Fall daran, dassder zugrunde liegende Prozess stationär ist.23