Grundlagen Stochastischer Prozesse in Biophysikalischen Systemen

4.1. Herleitung der MastergleichungAbbildung 4.1.: Links: Denition der Übergangsraten für einen Markov Prozess mit 3 Zuständen.Rechts: Wenn die detailed balance Beziehungen gelten (Gln.4.12 und 4.13) ist das Produkt der Übergangsraten in Vorwärtsrichtung(J ) gleich dem Produkt der Übergangsraten in Rückwärtsrichtung (J ),d.h. es gibt keinen Nettouss im System.Unter Benutzung von P 2 = 1 − P 1 folgt für den stationären ZustandP 1 =W 12W 12 + W 21, P 2 =Für n = 3 lautet die Mastergleichung (siehe Abb. 4.1)W 21W 12 + W 21.dP 1= W 12 P 2 + W 13 P 3 − (W 31 + W 21 ) P 1dtdP 2= W 21 P 1 + W 23 P 3 − (W 12 + W 32 ) P 2dtdP 3= W 31 P 1 + W 32 P 2 − (W 13 + W 23 ) P 3 ,dtd.h. stationäre Zustände werden jetzt durch die Gleichungen(W 12 P 2 − W 21 P 1 ) + (W 13 P 3 − W 31 P 1 ) = 0 (4.8)(W 21 P 1 − W 12 P 2 ) + (W 23 P 3 − W 32 P 2 ) = 0 (4.9)P 1 + P 2 + P 3 = 1 (4.10)beschrieben, wobei wir die aus dP 3 /dt = 0 folgende Gleichung durch die Normierungsbedingungersetzt haben. Die allgemeine Lösung dieses Gleichungssystems lautetP 1 = W 12W 23 + W 12 W 13 + W 13 W 32DP 2 = W 23W 31 + W 23 W 21 + W 21 W 13DP 3 = W 31W 32 + W 31 W 12 + W 32 W 21DD ≡ W 23 (W 12 + W 31 + W 21 ) + W 13 (W 21 + W 32 + W 12 )+ W 31 (W 32 + W 12 ) + W 21 W 32 ,(4.11)41