Grundlagen Stochastischer Prozesse in Biophysikalischen Systemen

2.4. Spektrale Leistungsdichte und Wiener-Khinchin TheoremDa c(ω) im Allgemeinen komplex-wertig ist, denieren wir die reelle Autokorrelationsfunktionder spektralen Komponenten durch〈c (ω) c∗ ( ω ′)〉 ∫1 ∞ ∫ ∞=(2π) 2 dt dt ′ 〈 (e −iωt+iω′ t ′ Y (t) Y t′ )〉t ′ =t+τ=12π−∞∫ ∞−∞= δ ( ω − ω ′) 12π−∞dt e −i(ω−ω′ )t 12π∫ ∞−∞∫ ∞−∞dτ e iω′τ 〈Y (t) Y (t + τ)〉dτ e iωτ κ (τ) , (2.6)wobei wir im letzten Schritt die Denition der Autokorrelationsfunktion in Gl. (2.5),sowie die Denition der δ-Funktionδ ( ω − ω ′) = 1 ∫ ∞dt e −i(ω−ω′ )t2πbenutzt haben.Der in Gl. (2.6) auftretende AusdruckS (ω) = 12π∫ ∞−∞−∞dτ e iωτ κ (τ)wird als spektrale Leistungsdichte bezeichnet. Sie lässt sich wegen κ(τ) = κ(−τ) auch inder FormS(ω) = 1 ∫ ∞dτ e iωτ κ (τ) τ→−τ = 1 ∫ −∞d (−τ) e iω(−τ) κ (−τ)2π −∞2π ∞= 1 ∫ ∞dτ e −iωτ κ (τ) = 1 ∫ ∞dτ cos (ωτ) κ (τ) .2π −∞ π 0schreiben, woraus ersichtlich wird, dass die spektrale Leistungsdichte und die Autokorrelationsfunktioneines stationären Prozesses über die Fouriertransformation miteinanderverknüpft sind, alsoS (ω) = 12πκ (τ) =∫ ∞−∞∫ ∞−∞dτ e −iωτ κ (τ) (2.7)dω e −iωτ S (ω)was als Wiener-Khinchin Theorem bezeichnet.BemerkungAus der Beziehung (siehe Gl. 2.6)〈c (ω) c∗ ( ω ′)〉 = δ ( ω − ω ′) S (ω)folgt, dass die spektrale Leistungsdichte gleich dem mittleren Betragsquadrat der demProzess zugeordneten Fourierkomponenten ist. Insbesondere folgt aus der Stationaritätdes Prozesses, dass spektrale Komponenten zu verschiedenen Frequenzen (ω ≠ ω ′ ) unkorreliertsind.27