Grundlagen Stochastischer Prozesse in Biophysikalischen Systemen

4.1. Herleitung der MastergleichungDiese Gleichung besagt, dass, wenn das System im Zustand y startet, die Wahrscheinlichkeit,dass es in einem kleinen Zeitintervall ∆t im Zustand x endet, durch die Wahrscheinlichkeit1 − q 0 (y)∆t gegeben, dass es im Zustand y bleibt plus der Wahrscheinlichkeit,dass es einen Übergang in den Zustand x macht. Insofern kann die Funktion W (x|y) alsÜbergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit angesehen werden.Setzen wir diese Entwicklung in die Chapman-Kolmogorov Gleichung ein, erhalten wir∫p(x, t + ∆t|z) = dy p(x, ∆t|y)p(y, t|z)∫∫= dy (1 − q 0 (y)∆t) δ(x − y)p(y, t|z) + dy W (x|y)p(y, t|z)∆t∫= (1 − q 0 (x)∆t) p(x, t|z) + dy W (x|y)p(y, t|z)∆t,was unter Beachtung von (4.2) und Umordnung in∫∫p(x, t + ∆t|z) − p(x, t|z)= dy W (x|y)p(y, t|z) −∆tdy W (y|x)p(x, t|z)und schlieÿlich im Limes ∆t → 0 in die Mastergleichung∫∫ddt p(x, t|z) = dy W (x|y)p(y, t|z) − dy W (y|x)p(x, t|z) (4.4)übergeht mit der Anfangsbedingung p(x, 0|z) = δ(x − z).Bemerkungen1. Für diskrete Zufallsgröÿen lautet die (zeithomogene) Mastergleichungddt P (n, t|m) = ∑ l[W (n|l) p(l, t|m) − W (l|n) p(n, t|m)] (4.5)mit der Anfangsbedingung P (n, 0|m) = δ nm .2. Wenn man die Beschränkung auf zeithomogene Markov Prozesse fallen lässt, werdendie Funktionen q(x|z) in (4.1), und damit auch die Übergangsraten W (x|z) →W t (x|z), zeitabhängige Funktionen. An der Form der Mastergleichung ändert sichnichts, nur beschreiben die Lösungen p(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) dann, im Allgemeinen, keinezeithomogenen Prozesse mehr.3. Im Gegensatz zur Chapman-Kolmogorov Gleichung (3.2) ist die Mastergleichung(Gl. 4.5), bei vorgegebenen Übergangsraten W (n|m), eine lineare Gleichung zurBestimmung der Übergangswahrscheinlichkeiten des zugrunde liegenden MarkovProzesses. In diesem Sinne sind die Übergangsraten als phänomenologische Gröÿenanzusehen, die sich entweder aus mikroskopischen Theorien ableiten lassen odernach Plausibilitätsgesichtspunkten zu wählen sind.39