Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

Allgemeine Relativitätstheorie 

— Skript zur Vorlesung — 

β-Version 

12. Juli 2012 

Prof. Dr. Haye Hinrichsen 

Lehrstuhl für Theoretische Physik III 

Fakultät für Physik und Astronomie 

Universität Würzburg 

Sommersemster 2012

Inhaltsverzeichnis 

1 Mathematische Grundlagen 3 

1.1 Elemente der Gruppentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.1 Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.1.2 Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.1.3 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.1.4 Quotientengruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.1.5 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.1.6 Kern, Bild und dazugehörige Quotientengruppen . . . . . . . . . . . . 6 

1.2 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.2.1 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.2.2 Vektorraumaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.2.3 Darstellung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.2.4 Affine Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.3 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.3.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.3.2 Darstellung linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.3.3 Basistransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.4 Zusammengesetzte Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.4.1 Direkte Summe ⊕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.4.2 Darstellung direkter Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.4.3 Tensorprodukt ⊗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

1.4.4 Rechenregeln für Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

1.4.5 Darstellung des Tensorprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.5 Multilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.5.1 1-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.5.2 Darstellung von 1-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.5.3 Basistransformation von 1-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

1.5.4 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.5.5 Darstellung von Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

1.5.6 Tensoren versus Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

1.5.7 Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

1.5.8 Darstellung des Tensorprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.5.9 Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.5.10 Darstellung einer Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

1.5.11 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie


1.6 Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.6.1 Metrischer Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.6.2 Darstellung des metrischen Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

1.6.3 Musikalischer Isomorphismus V ↔ V ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

1.6.4 Darstellung von ♭ und ♯: Heben und Senken von Indices . . . . . . . . 27 

1.6.5 Anwendung der musikalischen Operatoren auf Tensoren . . . . . . . . 28 

1.6.6 Transformationsverhalten der Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

1.6.7 Nützliche Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2 Differentialformen 31 

2.1 Äußere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

2.1.1 Äußeres Produkt (Keilprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

2.1.2 q-Multivektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

2.1.3 p-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

2.1.4 Äußere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

2.1.5 Darstellung von p-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

2.1.6 Interpretation von p-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

2.1.7 Volumenform ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

2.1.8 Darstellung der Volumenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

2.1.9 Kontraktion ι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

2.1.10 Darstellung der Kontraktion ι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

2.2 Hodge-Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

2.2.1 Anschauliche Beschreibung der Hodge-Dualität . . . . . . . . . . . . . 39 

2.2.2 Verallgemeinertes Skalarprodukt auf p-Formen . . . . . . . . . . . . . 40 

2.2.3 Darstellung des verallgemeinerten Skalarprodukts . . . . . . . . . . . 41 

2.2.4 Hodge-Dualität auf der Basis des verallgemeinerten Skalarprodukts . . 41 

2.2.5 Hodge-Stern-Operator ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

2.2.6 Darstellung des Hodge-Stern-Operators ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

2.2.7 Eigenschaften des Hodge-Stern-Operators ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . 44 

2.2.8 Hodge-Stern-Operator in orthonormalen Basen . . . . . . . . . . . . . 44 

2.2.9 Selbstdualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

2.3 Funktionen, Koordinatensysteme und Differentialformen . . . . . . . . . . . . 46 

2.3.1 Skalare Funktionen, Kurven und Richtungsableitung . . . . . . . . . . 46 

2.3.2 Differentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

2.3.3 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

2.3.4 Koordinatenbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

2.3.5 Darstellung von Feldern in Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . 52 

2.3.6 Wechsel zwischen verschiedenen Koordinatensystemen . . . . . . . . . 53 

2.3.7 Entartete Differentialformen und Nullvektorfelder . . . . . . . . . . . 55 

2.4 Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

2.4.1 Verallgemeinertes Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

2.4.2 Äußere Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

2.4.3 Darstellung der äußeren Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

2.4.4 Lemma von Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

2.4.5 Zusammenhang mit der gewöhnlichen Vektoranalysis . . . . . . . . . . 59 

2.4.6 Lie-Klammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

2.4.7 Kodifferentialoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

iv


2.5 Integration von Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

2.5.1 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

2.5.2 Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

2.5.3 Integrale über p-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

2.5.4 Theorem von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

2.6 Tensorwertige Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

3 Spezielle Relativitätstheorie 65 

3.1 Nichtrelativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

3.1.1 Raum und Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

3.1.2 Klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

3.1.3 Symplektischer Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

3.1.4 Vorsymplektische Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

3.1.5 Raumzeitliche Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

3.1.6 Beispiel: Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

3.2 Spezielle Relativitätstheorie – Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

3.2.1 Postulate der speziellen Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . 73 

3.2.2 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

3.2.3 Minkowskiraum und Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

3.2.4 Lorentz-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

3.3 Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

3.3.1 Hamiltonsche Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

3.3.2 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

3.3.3 Relativistisches freies Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

4 Differentialgeometrie 85 

4.1 Elementare Konzepte der Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 

4.1.1 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 

4.1.2 Karten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

4.1.3 Kartenwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

4.1.4 Funktionen auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

4.1.5 Tangentialraum und Kotangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

4.2 Paralleltransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

4.2.1 Transport geometrischer Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

4.2.2 Paralleltransport von Tangentialvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

4.2.3 Ableitung von Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

4.2.4 Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

4.2.5 Darstellung des Zusammenhangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 

4.2.6 Darstellung des Zusammenhangs in der Koordinatenbasis . . . . . . . 97 

4.2.7 Kovariantes Transformationsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

4.2.8 Geodätische Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

4.2.9 Berechnung des Zusammenhangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

4.2.10 Kovariante Ableitung beliebiger Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . 101 

4.2.11 Äußere Ableitung tensorieller Formen * . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

4.3 Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 

4.3.1 Riemannscher Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 

4.3.2 Darstellung des Riemannschen Krümmungstensor . . . . . . . . . . . 105 

4.3.3 Symmetrien des Krümmungstensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 

v


4.3.4 Ricci-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

4.3.5 Interpretation des Krümmungstensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

5 Elektrodynamik als Eichtheorie 109 

5.1 U(1)-Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

5.1.1 Intrinsische Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

5.1.2 Darstellung der intrinsischen Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . 111 

5.1.3 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 

5.1.4 Zweidimensionale U(1)-Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 

5.1.5 Kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 

5.1.6 Intrinsische Krümmung: Das elektromagnetische Feld . . . . . . . . . 115 

5.1.7 Das elektromagnetische Feld als Differentialform . . . . . . . . . . . . 116 

5.2 Elektrodynamik im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 

5.2.1 Wirkungsfunktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 

5.3 Elektrodynamik in Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

5.3.1 U(1)-Eichsymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

5.3.2 Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

5.3.3 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

5.3.4 Darstellung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

5.3.5 Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

6 Feldgleichen der Allgemeinen Relativitätstheorie 121 

6.1 Konzept der Allgemeinen Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 

6.1.1 Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 

6.1.2 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 

6.1.3 Invarianz unter Diffeomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 

6.1.4 Die physikalische Bedeutung der Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . 129 

6.2 Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 

6.2.1 Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 

6.2.2 Wirkung SG des Gravitationsfeldes und Feldgleichungen im Vakuum . 131 

6.2.3 Wirkung SM der Materiefeldes und Form der Feldgleichungen . . . . . 132 

6.2.4 Form des Energie-Impuls-Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 

6.2.5 Schwachfeldnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 

6.2.6 Newtonscher Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 

7 Sternmodelle 143 

7.1 Schwarzschild-Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 

7.1.1 Schwarzschildmetrik im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 

7.2 Radialsymmetrische Himmelskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 

7.2.1 Sterngleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 

7.2.2 Weiße Zwerge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 

7.2.3 Neutronensterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 

7.3.1 Innere Schwarzschildmetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 

7.3.2 Absolute Stabilitätsgrenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 

7.3.3 Flug durch den Schwarzschildradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 

7.3.4 Gravitationskollaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 

7.3.5 Supernovae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 

vi


7.3.6 Schwarze Löcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 

8 Kosmologie 165 

8.1 Die Friedmann-Robertson-Walker-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 

8.1.1 Das Kosmologische Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 

8.1.2 Herleitung der FRW-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 

8.1.3 Entfernungen in der FRW-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 

8.2 Die Friedmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 

8.2.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 

8.2.2 Friedmannsche Weltmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 

8.3 Unser Universum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 

8.3.1 Das Hubble-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 

8.3.2 Abstandsmsessungen im Weltraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 

8.3.3 Modellierung unseres Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 

8.3.4 Die Dunkle Energie und die Kosmologische Konstante . . . . . . . . . 183 

9 Hamiltonsche Formulierung 185 

9.1 Alternative Formulierungen der ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 

9.1.1 Vierbeinfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 

9.1.2 ART im Vierbeinformalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 

vii

Vorwort 

Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfliesst an sich und vermöge ihrer 

Natur gleichförmig, und ohne Beziehung auf irgendeinen äußeren Gegenstand. 

Genau wie diese Behauptung ist auch dieses Skript bestimmt nicht ganz fehlerfrei. Bitte helfen 

Sie mit und benachrichtigen Sie mich bei Fehlern in den bereits vollständigen Kapiteln per 

Email. 

(hinrichsen at physik uni-wuerzburg de). 

Vielen Dank 

H. Hinrichsen 

Würzburg, SS 2012 


1 Mathematische Grundlagen 

1.1 Elemente der Gruppentheorie 

1.1.1 Gruppe 

Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer inneren binären Verknüpfung ∗ : G × G → G, die folgende 

Eigenschaften besitzt: 

(i) Die Klammerung spielt keine Rolle, d.h. die Verknüpfung ist assoziativ: 

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ∀a,b,c ∈ G. 

(ii) Es existiert ein neutrales Element e ∈ G so dass e∗g = g∗e = g für alle g ∈ G. 

(iii) Zu jedem g ∈ G gibt es ein inverses Element g −1 so dass g ∗ g −1 = e ist. 

(iv) Wenn die Verknüpfung außerdem symmetrisch ist, wenn also a∗b = b∗a gilt, 

spricht man von einer kommutativen oder auch Abelschen Gruppe. 

Eine Teilmenge U ⊂ G heißt Untergruppe von G, wenn U selbst eine Gruppe ist. Für alle u,v ∈U 

ist auch u ∗ v ∈ U, d.h. die Verknüpfung führt nicht aus der Untergruppe heraus. 

Eine Gruppe heißt 

- endlich, wenn sie eine endliche Anzahl von Elementen besitzt. 

- diskret, wenn die Elemente abzählbar sind. 

- kontinuierlich, wenn die Elemente kontinuierlich parametrisiert werden können. 

- Lie-Gruppe, wenn sie kontinuierlich und in einem noch zu präzisierenden Sinne um das 

neutrale Element Taylor-entwickelbar ist. 

In der Physik stellen wir uns die Gruppenelemente in der Regel als Transformationen vor, die 

durch Hintereinanderausführung ’◦’ miteinander verknüpft sind. Wenn diese Transformationen 

das betrachtete physikalische System invariant lassen, spricht man von einer Symmetriegruppe. 

Typische Beispiele sind Translationen und Rotationen. 

Beispiel: Ein einfaches Beispiel für eine endliche Gruppe ist die Spiegelungsgruppe Z2. Sie besteht 

aus zwei Elementen {e,s}, wobei das neutrale Element e nichts tut und s spiegelt. Die Spiegelung ist 

eine Involution, d.h. sie ist zu sich selbst invers: s ◦ s = e. Ein weiteres Beispiel ist die Gruppe Pn der 

Permutationen von n Objekten, die n! Elemente besitzt. 

Eine endliche Gruppe ist immer diskret, der Umkehrschluss trifft allerdings nicht zu. Die Addition 

ganzer Zahlen Z ist beispielsweise eine diskrete, jedoch unendliche Gruppe. Das neutrale Element ist 

0, das zu n inverse Element ist −n. 



Ein Beispiel für eine kontinuierliche Gruppe sind die Drehungen in n Dimensionen, SO(n), die über 

kontinuierliche Drehwinkel parametrisiert wird. Wie wir weiter unten besprechen werden, kann man 

infinitesimale Drehungen betrachten, die SO(n) ist also eine Lie-Gruppe. 

1.1.2 Nebenklassen 

Verknüpft man alle Elemente einer Untergruppe U ⊂ G mit einem anderen Gruppenelement 

a ∈ G, das nicht zu dieser Untergruppe gehört, so wird man aus der Untergruppe herausgeführt. 

Die Bildmenge wird als Nebenklasse (engl. coset) bezeichnet. Je nachdem, ob die Elemente der 

Untergruppe von links oder rechts mit a verknüpft werden, unterscheidet man 

Linksnebenklasse: aU = {a ∗ u | u ∈ U} 

Rechtsnebenklasse: Ua = {u ∗ a | u ∈ U} 

Verschiedene Gruppenelemente a,b ∈ G können die gleiche Nebenklasse aU = bU bzw. Ua = 

Ub erzeugen, in diesem Fall gilt a ∗ b −1 ∈ U. Nebenklassen (mit Ausnahme von eU = Ue = U) 

sind keine Untergruppen, da sie kein neutrales Element besitzen. 

Beispiel: Wir betrachten die Gruppe der Translationen in zwei Dimensionen, repräsentiert durch 

einen Verschiebungsvektor (∆x,∆y). Die Menge aller Translationen in x-Richtung u = (∆x,0) bilden 

eine Untergruppe U. Das Gruppenelement a = (0,3), das drei Einheiten in y-Richtung verschiebt, 

induziert die Nebenklasse aU aller Verschiebungen von der Form (∆x,3), die sich als Parallele 

zur x-Achse auffassen lässt. Da die Gruppe kommutativ ist, sind Rechts- und Linksnebenklassen 

identisch. Verschiedene Gruppenelemente können die gleiche Nebenklasse erzeugen, z.B. induziert 

das Gruppenelement b = (5,3) die gleiche Nebenklasse wie a, d.h. aU = bU. In diesem Fall gilt 

a ∗ b −1 = a − b = (−5,0) ∈ U. 

1.1.3 Normalteiler 

Eine Untergruppe N ⊂ G heißt Normalteiler (engl. normal subgroup), wenn ihre Links- und 

Rechtsnebenklassen identisch sind, wenn also gN = Ng für alle g ∈ G gilt. Man schreibt in 

diesem Fall N ⊳ G bzw. N � G. Normalteiler sind invariant unter Konjugation, d.h. N = gNg −1 

für alle g ∈ G. In einer kommutativen Gruppe sind alle Untergruppen automatisch Normalteiler. 

Beispiel: Als Beispiel betrachten wir die nichtkommutative Gruppe der orthogonalen Transformation 

in drei Dimensionen O(3), die bekanntlich Drehungen und Achsenspiegelungen umfasst. Wie man 

sich leicht überzeugen kann, bilden die Drehungen um die z-Achse zwar eine Untergruppe, aber keinen 

Normalteiler, weil Drehungen um verschiedene Achsen nicht kommutieren. Die zu Z2 isomorphe 

Untergruppe der Achsenspiegelung ist dagegen ein Normalteiler, weil Spiegelungen mit Drehungen 

kommutieren. 

1.1.4 Quotientengruppen 

Die Menge aller Nebenklassen eines Normalteilers N � G bildet wiederum eine Gruppe mit der 

Verknüpfung aN ∗bN = (a∗b)N und dem neutralen Element eN = N, die als Quotientengruppe 

bzw. Faktorgruppe G/N bezeichnet wird. Bei endlichen Gruppen gilt für die Anzahl der Elemente 

|G/N| = |G|/|N|. 


1.1 Elemente der Gruppentheorie 5 

Beispiel: Auf das vorhergehende Beispiel bezogen ist O(3)/Z2 = SO(3) die Gruppe der orthogonalen 

Transformationen ohne Spiegelungen. Ein weiteres Beispiel ist die Permutationsgruppe Pn mit der 

Untergruppe der zyklischen Verschiebungen Zn, z.B. 

P3 = {123,132,213,231,312,321}, Z3 = {123,231,312} ⇒ P3/Z3 = {〈123〉,〈132〉}. 

Da Zn ⊳ Pn ein Normalteiler ist, existiert die Quotientengruppe Pn/Zn, bestehend aus allen Umordnungen 

bis auf zyklische Verschiebung. Offenbar ist Pn/Zn ∼ = Pn−1. 

1.1.5 Homomorphismen 

Ein Homomorphismus (von homomorph = ähnlich geformt) ist eine Abbildung, welche im weitesten 

Sinne die Struktur des abzubildenden Objekts erhält. 1 Je nach Art der Abbildung wird der 

Begriff des Homomorphismus weiter präzisiert: 

- Ein Isomorphismus ist ein bijektiver, also invertierbarer Homomorphismus. 

- Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus eines Objekts auf sich selbst. 

- Ein Automorphismus ist ein Isomorphismus eines Objekts auf sich selbst. 

Iso- bzw. Automorphismen erhalten also die Struktur ohne Informationsverlust, während Homobzw. 

Endomorphismus die Struktur nur teilweise erhalten, vergleichbar mit einer Projektion. Je 

nach Art der abgebildeten Objekte unterscheidet man verschiedene Arten von Homomorphismen. 

Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung h : G → H von einer Gruppe G in eine 

Gruppe H, so dass für alle a,b ∈ G gilt 

h(a ∗ b) = h(a) ∗ h(b). (1.1) 

Dabei bezeichnen die Sterne auf der linken und rechten Seite die Gruppenverknüpfung in G 

bzw. H. Die Definition besagt, dass die Gruppenverknüpfung von G durch h strukturerhaltend 

auf die Gruppenverknüpfung von H abgebildet wird. Aus dieser Gleichung folgt ebenfalls, dass 

ein Gruppenhomomorphismus das Inverse durchschleift, also h(a −1 ) = h(a) −1 ist. 

Zwei Gruppen heißen isomorph (gleich gebaut), wenn zwischen ihnen ein Isomorphismus 

existiert. Üblich ist die Notation G ∼ = H. Im Gegensatz zum Isomorphismus, der die Gruppenstruktur 

ohne Informationsverlust abbildet, kann ein Homomorphismus die Gruppenstruktur 

von G teilweise oder ganz ‘wegprojezieren’. Ein extremer Fall ist die triviale Abbildung 

h : G → H : a → e ∈ H, die jedes Element von G auf das neutrale Element von H abbildet, jede 

Gruppe ist also homomorph zur Identität. 

Beispiel: 

(a) Die Gruppe der reellen Zahlen mit der Verknüpfung + ist homomorph zur Gruppe SO(2) der 

Drehungen um den Ursprung in einer Ebene, wobei die reelle Zahl auf den Drehwinkel abgebildet 

wird. Diese Abbildung ist nicht invertierbar, da Drehwinkel modulo 2π nicht unterscheidbar sind. 

(b) Die Gruppe der reellen Zahlen mit der Verknüpfung + ist isomorph zur Gruppe der positiven reellen 

Zahlen mit der Verknüpfung ·, wobei die Exponentialfunktion der (invertierbare) Isomorphismus 

zwischen den beiden Gruppen ist. Wir schreiben (R,+) ∼ = (R + ,·). 

(c) Sei Pn die Gruppe der Permutationen von n Objekten, die identische Permutation e ∈ Pn das 

entsprechende neutrale Element und s ∈ Pn mit s �= e eine willkürlich gewählte Transposition, d.h. 

1 Davon zu unterscheiden ist der Begriff des Homeomorphismus, der die Topologie eines Objektes erhält. 



s ◦ s = e. Die Abbildung h : Pn → Pn mit 

h(p) = 

� 

e falls sign(p) = 1 

s falls sign(p) = −1 

ist ein Endomorphismus von Pn auf sich selbst. Dieser Endomorphismus erhält lediglich das Signum 

der Permutation und bildet es auf eine bestimmte Transposition ab. 

(d) Die Gruppe der reellen Zahlen ohne Null R\0 mit der Verknüpfung der Multiplikation wird durch 

Kehrwertbildung auf sich selbst abgebildet. Da die Kehrwertbildung invertierbar ist, handelt es sich 

um einen Automorphismus. 

1.1.6 Kern, Bild und dazugehörige Quotientengruppen 

Um den Informationsverlust eines Homomorphismus auszudrücken, betrachtet man 

- den Kern ker(h) = {a ∈ G|h(a) = e ∈ H}, also die Teilmenge von G, die vom 

Homomorphismus ‘wegprojeziert’ wird, und 

- das Bild img(h) = {h(a) ∈ H |a ∈ G}, also die Teilmenge von H, die vom 

Homomorphismus erreicht wird. 

Der Kern eines Homomorphismus ist ein Normalteiler, denn für alle b ∈ G gilt 

b ∗ ker(h) = ker(h) ∗ b = {a ∈ G|h(a) = h(b)} ⇒ ker(h) � G 

Damit induziert jeder Homomorphismus automatisch eine Quotentiengruppe G/ker(h). Umgekehrt 

existiert zu jedem gegebenen Normalteiler einer Gruppe ein entsprechender Homomorphismus, 

dessen Kern gerade dieser Normalteiler ist. 

Beispiel: In den vorangegangenen Beispielen sind die entsprechenden Quotientengruppen 

(a) (R,+)/SO(2) ∼ = 2πZ (Verschiebungen um Vielfache von 2π) 

(b) (R,+)/{0} = (R,+) (Isomorphismen dividieren nichts heraus) 

(c) Pn/{e,s} ∼ = Pn/Z2 (Menge aller positiven Permutationen) 

(d) (R\{0},·)/{1} = (R\{0},·) (Automorphismen dividieren nichts heraus) 

1.2 Vektorräume 

1.2.1 Körper 

Ein Körper K (engl. field) ist eine Menge von Elementen, die man sowohl addieren (+) als auch 

multiplizieren (·) kann. Ein Körper (K,+,·) erfüllt die folgenden Axiome: 

(i) (K,+) ist eine kommutative Gruppe. 

(ii) (K\{0},·) ist eine kommutative Gruppe. 

(iii) Addition und Multiplikation sind miteinander verträglich, so dass man Ausdrücke nach 

der Regel “Punkt vor Strichrechnung” ausmultiplizieren kann, d.h. es gilt das Distributivgesetz 

a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c. 


1.2 Vektorräume 7 

Beispiele sind die rationalen Zahlen Q, die reellen Zahlen R und die komplexen Zahlen C, 

nicht jedoch die ganzen Zahlen Z. Beachten Sie, dass beide Verknüpfungen unterschiedliche 

neutrale Elemente besitzen (Addition 0, Multiplikation 1) und dass im zweiten Axiom die Null 

ausgeschlossen werden muss, da man nicht durch Null teilen darf, die Null also bezüglich der 

Multiplikation kein Inverses besitzt. 

Bemerkung: Zahlenwertige Größen werden oft auch als Skalare und K als Skalarkörper bezeichnet. 

Unter Skalaren versteht man Größen, die unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sind, die 

also invariant unter Koordinatentransformationen sind. Der Betrag der Geschwindigkeit ist beispiels- 

weise ein Skalar, die Komponenten der Geschwindigkeit dagegen nicht. 

1.2.2 Vektorraumaxiome 

Ein linearer Vektorraum V über einem Skalarkörper K ist eine Menge von Elementen, genannt 

Vektoren, die skaliert (also in ihrer Länge geändert) und linear kombiniert (also addiert) werden 

können. Die Axiome lauten: 

(i) Vektoren bilden bezüglich der Addition eine kommutative Gruppe (V,+). 

(ii) Vektoren u,v ∈ V können mit Skalaren λ,µ ∈ K von links multipliziert werden. Die Skalarmultiplikation 

hat folgende Eigenschaften: 

- Homogenität: λ(µv) = (λ µ)v 

- Linearität in V : λ(u + v) = λu + λv 

- Linearität in K: (λ + µ)v = λv + µv 

- Neutrales Element 1 ∈ K: 1v = v. 

Folgendes ist dabei zu beachten: 

a) Da (V,+) eine kommutative Gruppe ist, besitzt ein Vektorraum ein ausgezeichnetes neutrales 

Element, nämlich den Nullvektor. Der physikalische Ortsraum besitzt aber keinen 

ausgezeichneten Vektor und ist deshalb streng genommen kein Vektorraum. 

b) Die Vektorraumaxiome sagen nichts über die Länge eines Vektors aus. Dazu benötigt man 

eine Norm oder eine Metrik. 

c) In einem Vektorraum ist weder der Abstand noch der Winkel zwischen Vektoren erklärt. 

Um Winkel zu definieren, benötigt man ein Skalarprodukt. 

Beispiel: Die komplexen 3 ×3-Matrizen können addiert und skalar multipliziert werden, bilden 

also einen Vektorraum über C. Allerdings gibt es keinen natürlichen von der Alltagserfahrung 

motivierten ‘Abstand’ oder ‘Winkel’ zwischen zwei Matrizen. Solche Begriffe müssten erst zu- 

sätzlich definiert werden. 

1.2.3 Darstellung von Vektoren 

Die Skalarmultiplikation ermöglicht die Bildung von Linearkombinationen v = ∑i λ i vi von Vektoren 

vi ∈ V mit Linearfaktoren λ i ∈ K. Dabei ist es üblich, obere und untere Indices zu verwen- 



Abbildung 1.1: Vektorraum R 2 : (a) In einem Vektorraum ist der Nullvektor (blauer Punkt) ein ausgezeichnetes 

Element. (b) Der Vektor v kann hier in diesem Beispiel mit Hilfe der Basis {e1,e2} durch v = 

2e1 + e2 dargestellt werden. (c) Ein affiner Raum besteht aus Punkten (von denen hier einige rot 

eingezeichnet sind), die durch Vektoren eines Vektorraums verbunden sind. Der affine Raum hat 

im wesentlichen die gleiche Struktur wie der Vektorraum, aber er besitzt kein ausgezeichnetes 

neutrales Element – alle Punkte sind gleichberechtigt. 

den, worauf wir im folgenden noch genauer eingehen werden. 

Eine Menge {vi} von Vektoren v1,v2,... heißt linear abhängig, wenn es eine nichttriviale 

Linearkombination gibt, die den Nullvektor ergibt. Eine linear unabhängige Menge {ei} von 

Vektoren e1,e2,...‘ heißt Basis von V , wenn jeder Vektor v ∈ V durch eine Linearkombination 

v = ∑ i 

dargestellt werden kann. Die Anzahl der Basisvektoren ist die Dimension d = dim(V ) des Vektorraums. 

Die Linearfaktoren vi ∈ K, die üblicherweise einen oberen Index tragen, werden als 

Koordinaten oder Komponenten des Vektors bezeichnet. Oftmals werden sie zu einem Spaltenvektor 

zusammengefasst, z.B: 

⎛ ⎞ 

v i ei 

v 1 

(1.2) 

v = ⎝v2 

v3 ⎠ (1.3) 

Die Komponenten beziehen sich auf die willkürlich gewählte Basis und ermöglichen eine Darstellung 

des Vektors (siehe Abb. 1.1b). Da die Wahl der Basis nicht eindeutig ist, gibt es für 

einen gegebenen Vektor im allgemeinen unendlich viele mögliche Darstellungen. 

Hinweis: Es ist wichtig, den Unterschied zwischen (a) der physikalischen Realität, (b) dem zur Mo- 

dellierung eingesetzten abstrakten mathematischen Objekt und (c) seiner Darstellung zu verstehen. 

Der physikalische Ortsraum wird beispielsweise im Rahmen der Newtonschen Mechanik durch den 

Vektorraum R 3 modelliert. Dieser Vektorraum ist ein abstraktes mathematisches Objekt. Um damit 

zu rechnen, benötigt man eine Darstellung, z.B. kartesische Koordinaten oder Polarkoordinaten. Für 

ein gegebenes abstraktes mathematisches Objekt gibt es in der Regel eine Vielzahl möglicher Darstel- 

lungen. Deren Klassifizierung ist Gegenstand eines eigenständigen Teilgebiets der Mathematik, der 

sogenannten Darstellungstheorie. 

Die mathematische Struktur eines Problems wird besonders transparent, wenn es darstellungsfrei 

formuliert wird. Um etwas jedoch konkret auszurechnen, ist in der Regel die Wahl einer Darstellung 

erforderlich. 


1.3 Lineare Abbildungen 9 

1.2.4 Affine Räume 

Ein affiner Raum ist eine Menge von Punkten, die durch Vektoren verbunden sind. 

Genauer: Ein affiner Raum A über einem Vektorraum V ist ausgestattet mit einer Abbildung A×A → 

V : p,q → −→ pq so dass gilt: 

- Die Abstände sind additiv, d.h. für alle p,q,r ∈ A gilt: −→ pq + −→ qr = −→ pr. 

- Unbegrenztheit, d.h. für alle p ∈ A und v ∈ V gibt es ein q ∈ A so dass v = −→ pq. 

Ein affiner Raum hat also im wesentlichen die gleiche Struktur wie der darunter liegende Vektorraum, 

besitzt aber im Gegensatz zu diesem kein ausgezeichnetes Element, d.h. keinen Ursprung 

oder Nullpunkt (siehe Abb. 1.1c). Der Übergang vom Vektorraum zum dazugehörigen 

affinen Raum wird oft so beschrieben, als würde man “den Ursprung (Nullpunkt) vergessen.” 

Physikalische Räume wie der Ortsraum der Newtonschen Mechanik sind affin, da sie keinen 

ausgezeichneten Ursprung besitzen. 

1.3 Lineare Abbildungen 

Im Abschnitt 1.1.5 haben wir den Begriff des Homomorphismus als strukturverträgliche Abbildung 

kennen gelernt und am Beispiel von Gruppenhomomorphismen diskutiert. Analog dazu 

sind Vektorraumhomomorphismen Abbildungen, die mit einer Vektorraumstruktur, also der 

Addition von Vektoren und der Multiplikation mit Skalaren, verträglich sind. Man kann leicht 

zeigen, dass die Vektorraumhomomorphismen lineare Abbildungen sind, die wir im folgenden 

einführen wollen. 

1.3.1 Definition und Eigenschaften 

Seien V,W zwei Vektorräume. Eine Abbildung A : V → W heißt linear, wenn für alle u,v ∈ V 

und λ,µ ∈ K gilt 

A(λu + µv) = λA(u) + µA(v). (1.4) 

In komplexen Vektorräumen gibt es darüber hinaus eine weitere Klasse von Vektorraumhomomorphismen, 

nämlich die antilinearen Abbildungen, auch konjugiert-linear oder semilinear genannt. 

Antilineare Abbildungen haben die Eigenschaft, dass Skalare konjugiert komplex durchgeschleift 

werden, d.h. 

A(λu + µv) = λ ∗ A(u) + µ ∗ A(v), (1.5) 

wobei der Stern für Komplexkonjugation steht. Während antilineare Abbildungen in der Quantentheorie 

häufig anzutreffen sind, spielen sie in der Relativitätstheorie eine eher untergeordnete 

Rolle. 

Ähnlich wie bei Gruppenhomomorphismen besitzen Vektorraumhomomorphismen einen Kern 

(Vektoren, die auf Null abgebildet werden) und ein Bild (Bildvektoren, die von der Abbildung 

erreicht werden): 

ker(A) = {v ∈ V |A(v) = 0} ⊆ V (1.6) 

img(A) = {A(v)|v ∈ V } ⊆ W (1.7) 



Kern und Bild sind Teilräume von V bzw. W, die den sogenannten Dimensionssatz erfüllen: 

dim � ker(A) � + dim � img(A) � = dim(V ). (1.8) 

Die Dimension des Bildraums wird als Rang der Abbildung bezeichnet: 

Außerdem gilt die Ungleichung 

rank(A) = dim � img(A) � 

(1.9) 

rank(A) ≤ min(dimV,dimW). (1.10) 

Eine lineare Abbildung kann nur dann vollen Rang rank(A) = dimV haben, wenn der Bildraum 

genug Platz bietet, wenn also dimW ≥ dimV ist. 

1.3.2 Darstellung linearer Abbildungen 

Sei A : V → W eine lineare Abbildung und seien {ei}, {f j} Basen von V bzw. W. Ein Vektor 

v ∈ V und dessen Bild w = A(v) ∈ W kann in diesen Basen durch 

v = v i ei und w = w j f j (1.11) 

dargestellt werden, wobei die Komponenten durch v i = e i (v) und w j = f j (w) gegeben sind. 

Wegen der Linearität von A ist 

A(v) = A(v i ei) = A(ei)v i , (1.12) 

wobei A(ei) ∈ W ist. Dieser Vektor lässt sich über der Basis {f j} in Komponenten 

A(ei) = A j (ei) 

� �� 

=: A j 

f j 

i 

(1.13) 

darstellen, also ist A(v) = A j 

i vi f j. Ein Vergleich mit A(v) = w = w j f j ergibt, dass die Komponenten 

der Vektoren durch 

w j = A j 

i vi 

(1.14) 

aufeinander abgebildet werden. Diese Abbildungsvorschrift wird mit Hilfe einer Matrix wie z.B. 

� 

w1 w2 � � 

A1 = 1 A1 2 A13 A2 1 A22 A2 �⎛ 

v 

⎝ 

3 

1 

v2 v3 ⎞ 

⎠ 

(1.15) 

mit der Rechenregel “Zeile mal Spalte” schematisiert. Lineare Abbildungen sind also für vorgegebene 

Basen als Matrix darstellbar. 


1.3 Lineare Abbildungen 11 

1.3.3 Basistransformationen 

Unter einer Transformation versteht man einen Isomorphismus, der das zu beschreibende Objekt 

umformt. Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene Arten von Transformationen: 

• Aktive Transformationen, mit denen das zu beschreibende Objekt manipuliert, also beispielsweise 

gedreht oder verschoben wird. 

• Passive Transformationen, die zwischen verschiedenen Darstellungen vermitteln, wobei 

das zu beschreibende Objekt unverändert bleibt. 

In der linearen Algebra interessieren uns vor allem lineare Transformationen. Vektorraumautomorphismen, 

also lineare Abbildungen, die durch quadratische Matrizen beschrieben werden, 

sind aktive Transformationen, da sie gegebene Vektoren auf neue Vektoren abbilden. Davon zu 

unterscheiden sind passive lineare Transformationen, die zwischen verschiedenen Darstellungen 

vermitteln. Da eine Darstellung durch die Wahl der Basis festgelegt ist, handelt es sich also um 

Basistransformationen. 

Im folgenden betrachten wir eine Basistransformation, mit der eine Basis ei auf eine andere 

gestrichene Basis {e ′ i} abgebildet wird. Die neuen Basisvektoren müssen sich als Linearkombination 

über den alten Basisvektoren darstellen lassen, d.h. 

ei → e ′ i = ek ˜M k i 

(1.16) 

wobei ˜M die entsprechende Transformationsmatrix ist, deren Determinante ungleich Null sein 

muss. Während ein Vektor v ∈ V unter solch einer (passiven) Basistransformation unverändert 

bleibt, ändern sich jedoch seine Komponenten. Wegen v = vkek = v ′i 

e ′ 

i = v ′i 

ek ˜M k i erhält man 

durch Koeffizientenvergleich vk = v ′i ˜M k i . Daraus folgt das Transformationsgesetz für die Komponenten 

wobei M = ˜M −1 ist. 

v i → v ′i = M i jv j 

Merke: Wenn die Vektorkomponenten v i sich mit der Matrix M transformieren, müssen sich die 

Basisvektoren mit der Matrix M −1 transformieren und umgekehrt. 

(1.17) 

Basistransformation linearer Abbildungen: 

Ebenso transformiert sich die Darstellung einer linearen Abbildung A : V → V . Wenn w = Av 

ist, lautet die entsprechenden Darstellungen gemäß Gl. (1.14) in der ungestrichenen und der 

gestrichenen Basis 

w j = A j 

ivi , w ′ j ′ j 

= A iv′i (1.18) 

wobei A j 

i und A′ j 

i quadratische Matrizen sind. Wegen v′i = Mi jv j und w ′i 

= Mi jw j ergibt sich 

das Transformationsgesetz 

A ′ j 

i 

= M j 

k Ak ℓ ˜M ℓ i 

(1.19) 

oder kurz A ′ = MAM −1 . Nochmals sei darauf hingewiesen, dass die Basistransformation die 

lineare Abbildung als solche nicht verändert, sondern lediglich ihre Darstellung. 



1.4 Zusammengesetzte Vektorräume 

Zwei Vektorräume U und V über dem gleichen Skalarkörper K lassen sich auf unterschiedliche 

Weise zu einem neuen Vektorraum kombinieren. Dabei ist es wichtig, den Unterschied zwischen 

einer direkten Summe und einem Tensorprodukt zu verstehen. Darüber hinaus gibt es verschiedene 

Varianten von Tensorprodukten mit unterschiedlichen Symmetrieeigenschaften. 

1.4.1 Direkte Summe ⊕ 

Die direkte Summe U ⊕V (auch äußere direkte Summe genannt) ist die Menge aller geordneten 

Paare (u,v) von Vektoren u ∈ U und v ∈ V , ausgestattet mit der Addition (u1,v1) + (u2,v2) = 

(u1 + u2,v1 + v2) bzw. 2 

(u1 ⊕ v1) + (u2 ⊕ v2) = (u1 + u2) ⊕ (v1 + v2) (1.20) 

und der Skalarmultiplikation λ(u,v) = (λu,λv) bzw. 

λ(u ⊕ v) = (λu) ⊕ (λv). (1.21) 

Man kann leicht überprüfen, dass die so definierte direkte Summe ebenfalls ein Vektorraum ist. 

Die Dimension des Summenraums ist dabei die Summe der Einzeldimensionen: 

dim(U ⊕V ) = dim(U) + dim(V ). (1.22) 

Wenn A : U → U und B : V → V lineare Abbildungen sind, dann ist auf U ⊕ V eine lineare 

Abbildung A ⊕ B durch 

(A ⊕ B)(u ⊕ v) = (Au) ⊕ (Bv) (1.23) 

erklärt. Die Bildung der direkten Summe ist anschaulich leicht vorstellbar, z.B. ist der R 3 die 

direkte Summe aus R 2 (z.B. xy-Ebene) und R (z-Achse). 

1.4.2 Darstellung direkter Summen 

Ist {ei} eine Basis von U und {f j} eine Basis von V , so sind die kanonischen Basisvektoren des 

Summenraums U ⊕ V durch Kombination der Basisvektoren des einen Summanden mit dem 

neutralen Element des jeweils anderen Summanden gegeben, d.h. 

{(e1,0), (e2,0),..., (0,f1), (0,f2), ,...} (1.24) 

wobei ’0’ die jeweiligen Nullvektoren bezeichnet.Mit dieser Konstruktion bestätigt sich, dass 

sich bei der Bildung der direkten Summe die Dimensionen der Einzelräume addieren. 

Seien nun u ∈ U und v ∈ V über diesen Basen dargestellt, d.h. u = uiei und v = vifi. Üblicherweise 

werden die Komponenten von Vektoren als Spaltenvektoren notiert, z.B. 

⎛ 

u 

u = ⎝ 

1 

u2 u3 ⎞ 

� 

⎠, 

v1 v = 

v2 � 

. (1.25) 

2 Formal ist die direkte Summe U ⊕V einem kartesischem Produkt U ×V ähnlich, geht aber insofern darüber hinaus, 

als dass sie die Vektorräume nicht nur nebeneinander stellt, sondern zu einem neuen Vektorraum kombiniert. 


1.4 Zusammengesetzte Vektorräume 13 

Bei der Bildung der direkten Summe werden die Komponenten der Einzelvektoren einfach aneinandergehängt: 

⎛ 

u 

u ⊕ v = ⎝ 

1 

u2 u3 ⎞ 

� 

⎠ 

v1 ⊕ 

v2 ⎛ 

u 

� ⎜ 

= ⎜ 

⎝ 

1 

u2 u3 v1 v2 ⎞ 

⎟ 

⎠ 

(1.26) 

Die direkte Summe zweier linearer Abbildungen A : U → U und B : V → V besitzt im Summenraum 

eine Matrixdarstellung mit einer Blockdiagonalstruktur: 

⎛ 

A 

A ⊕ B = ⎝ 

1 1 A12 A13 A2 1 A22 A23 A3 1 A3 2 A3 ⎞ 

� 

⎠ 

B1 ⊕ 1 B 

3 

1 2 

B2 1 B2 ⎛ 

A 

� ⎜ 

= ⎜ 

2 ⎝ 

1 1 A12 A13 0 0 

A2 1 A22 A2 3 0 0 

A3 1 A3 2 A3 3 0 0 

0 0 0 B1 1 B12 0 0 0 B2 1 B2 ⎞ 

⎟ (1.27) 

⎠ 

2 

Hier sieht man sofort, dass nicht jede lineare Abbildung U ⊕V → U ⊕V in die Form A ⊕ B gebracht 

werden kann, sondern nur solche Abbildungen, die eine Blockdiagonalstruktur besitzen. 

1.4.3 Tensorprodukt ⊗ 

Die Tensorprodukt U ⊗V (auch äußeres Produkt genannt) wird ebenfalls von der Menge aller 

geordneten Paare (u,v) von Vektoren u ∈U und v ∈V erzeugt, jedoch ist die Vektorraumstruktur 

hier so implementiert, dass sich eine multiplikative Struktur ergibt. Insbesondere lässt sich das 

Tensorprodukt wie ein gewöhnliches Produkt gemäß der Regel 

(u1 + u2) ⊗ (v1 + v2) = (u1 ⊗ v1) + (u1 ⊗ v2) + (u2 ⊗ v1) + (u2 ⊗ v2) (1.28) 

ausmultiplizieren und ist bei Skalarmultiplikation bilinear in beiden Argumenten: 

(λu) ⊗ (µv) = λ µ(u ⊗ v). (1.29) 

Anmerkung: Diese Definitionseigenschaften unterscheiden sich erheblich von denen für die direkte 

Summe in Gl. (1.20)-(1.21). Bei der direkten Summe wird paarweise, beim Tensorprodukt dagegen 

‘jeder mit jedem’ verknüpft, wodurch gemischte Terme entstehen. 

Mit dem so definierten Tensorprodukt lässt sich die Menge der Produktvektoren 

PUV := {u ⊗ v|u ∈ U,v ∈ V } (1.30) 

definieren. Diese Menge bildet allerdings noch keinen Vektorraum, weil sich nicht jede Linearkombination 

aus zwei Produktvektoren u1 ⊗v1 und u2 ⊗v2 wiederum als Produktvektor u3 ⊗v3 

schreiben lässt. Der Tensorproduktraum U ⊗V ist deshalb als der Aufspann von P definiert, also 

der Menge aller möglichen Linearkombinationen von Produktvektoren: 3 

U ⊗V := 〈PUV 〉. (1.31) 

3 Sowohl die direkte Summe U ⊕V als auch das Tensorprodukt U ⊗V basieren auf geordneten Paaren von Vektoren 

aus U und V . Neben der unterschiedlichen Additionsregel besteht ein wesentlicher Unterschied darin, dass die 

geordneten Paare bereits den gesamten Summenraum umfassen, während sie im Tensorproduktraum nur eine 

spezielle Teilmenge (die der Produktvektoren) darstellen und der gesamte Vektorraum erst unter Hinzunahme 

aller Linearkombinationen aufspannt wird. 



In diesem Aufspann sind die Vektorraumaxiome erfüllt und man kann sich leicht überzeugen, 

dass die Dimension dieses Raumes gleich dem Produkt der Einzeldimensionen ist: 

dim(U ⊗V ) = dim(U)dim(V ). (1.32) 

U und V bezeichnet man als die Tensorkomponenten des Tensorprodukts U ⊗V . Eine anschauliche 

Deutung des Tensorprodukts ist schwierig, da der erste nichttriviale Fall R 2 ⊗ R 2 bereits 

auf einen vierdimensionalen Raum führt. 

Da ein Tensorprodukt auf geordneten Paaren basiert, ist im allgemeinen U ⊗V �= V ⊗U, d.h. 

das Tensorprodukt ist nicht kommutativ und die Tensorkomponenten haben somit eine individuelle 

voneinander unterscheidbare Identität. 

Bemerkung: Sie kennen Tensorprodukte wahrscheinlich bereits aus der Quantentheorie. Für Zen- 

tralpotentiale faktorisieren beispielsweise die Eigenfunktionen in ψn(r) in einen Radialanteil u(r) 

und eine Kugelflächenfunktion Ylm(θ,φ). Statt |ψn〉 = |u〉 ⊗ |Ylm〉 schreibt man allerdings oft nur 

|ψn〉 = |u〉|Ylm〉. In ganz ähnlicher Weise benutzt man für Systeme mit mehreren Spins die Notation 

| ↑↑〉 = | ↑〉| ↑〉 statt | ↑〉 ⊗ | ↑〉. 

1.4.4 Rechenregeln für Tensorprodukte 

Das Tensorprodukt zweier linearer Abbildungen ist dadurch definiert, dass die Einzelabbildungen 

auf jeder Tensorkomponente separat wirken, d.h. 

(A ⊗ B)(u ⊗ v) = (Au) ⊗ (Bv). (1.33) 

Eine lineare Abbildung C : U ⊗V → U ⊗V , die sich in der Form C = A ⊗ B schreiben lässt, 

heißt faktorisierbar. Solche Abbildungen wirken auf die beiden Tensorfaktoren separat, ohne 

sie miteinander zu mischen oder in Beziehung zu bringen. Das Transponieren bzw. Adjungieren 

faktorisierbarer linearer Abbildungen wird in allen Tensorkomponenten einzeln durchgeführt, 

d.h. 

(A ⊗ B) T = A T ⊗ B T , (A ⊗ B) † = A † ⊗ B † . (1.34) 

Bemerkung: Im Gegensatz zu verketteten linearen Abbildungen (Matrixprodukten), bei denen sich 

die Reihenfolge der Faktoren unter Transposition gemäß (A1A2) T = AT 2 AT 1 umkehrt, bleibt die Reihenfolge 

der Tensorfaktoren erhalten. Bei einer Mischung dieser beiden Produktarten gilt deshalb 

z.B.[(A1A2) ⊗ (B1B2B3)] T = (A T 2 AT 1 ) ⊗ (BT 3 BT 2 BT 1 ). 

Das Tensorprodukt zweier Skalare λ,µ ∈ C wird formal als Multiplikation in C aufgefasst: 

λ ⊗ µ ≡ λ µ . (1.35) 

Die Determinante eines Tensorprodukts ist das Produkt der Determinanten der Faktoren: 

det(A ⊗ B) = detA detB. (1.36) 

Tensorprodukte können ohne weiteres mehrfach durchgeführt werden, z.B. kann ein Hilbertraum 

V als dreifaches Tensorprodukt V = V1 ⊗V2 ⊗V3 von Einzelräumen V1,V2,V3 definiert werden. 


1.4 Zusammengesetzte Vektorräume 15 

1.4.5 Darstellung des Tensorprodukts 

Ist {ei} wie gehabt eine Basis von U und {f j} eine Basis von V , so erhält man eine Basis des 

Produktraums durch Bildung aller möglichen Produkte der Basisvektoren: 

{e1 ⊗ f1, e1 ⊗ f2, e1 ⊗ f3,... 

e2 ⊗ f1, e2 ⊗ f2, e2 ⊗ f3,... 

e3 ⊗ f1, e3 ⊗ f2, e3 ⊗ f3,... 

...,} 

(1.37) 

Als übliche Konvention werden die Basisvektoren dabei lexikographisch geordnet. Wie man 

leicht sehen kann, ist dim(U ⊗V ) = dim(U)dim(V ). 

In der so konstruierten Darstellung kann das Tensorprodukt von Vektoren auf folgende Weise 

gebildet werden. Sei dazu wiederum u = u i ei und v = v i fi. Dann ist u ⊗ v = ∑i, j u i v j (ei ⊗ f j), in 

der Spaltenvektornotation hat man also beispielsweise 

⎛ 

u 

u ⊗ v = ⎝ 

1 

u2 u3 ⎞ 

� 

⎠ 

v1 ⊗ 

v2 ⎛ 

u 

⎜ 

� ⎜ 

= ⎜ 

⎝ 

1v1 u1v2 u2v1 u2v2 u3v1 u3v2 ⎞ 

⎟ 

⎠ 

(1.38) 

Im Gegensatz zur direkten Summe, bei der man die beiden Spaltenvektoren einfach aneinander 

hängt, werden Tensorprodukte von Vektoren gemäß der Regel „jeder mit jedem” durch Multiplikation 

der Komponenten gebildet. Auch hier ist es üblich, die Komponenten entsprechend ihrer 

Mehrfachindices lexikographisch zu ordnen. 

Im obigen Beispiel erhält man einen sechskomponentigen Vektor, der aber nur aus fünf unabhängigen 

Komponenten gebildet wird. Hier bestätigt sich anschaulich, dass die Produktvektoren 

in der Tat nur eine Teilmenge des gesamten sechsdimensionalen Raums darstellen. 

Bemerkung: Man beachte, dass bei der Bildung des Tensorprodukts auch die entsprechenden physikalischen 

Einheiten miteinander multipliziert werden. Repräsentieren beispielsweise u und v Abstände 

mit der Einheit einer Länge, so besitzt das Tensorprodukt die Dimension einer Fläche. Mit dem 

Tensorprodukt können auch Vektoren mit unterschiedlichen physikalischen Einheiten multipliziert 

werden. 

Das Tensorprodukt zweier linearer Abbildungen sieht folgendermaßen aus: 

A ⊗ B = 

= 

⎛ 

⎝ 

⎛ 

A1 1 A12 A13 A2 1 A22 A23 A3 1 A3 2 A3 3 

⎞ 

� 

⎠ 

B1 ⊗ 1 B1 � 

2 

B 2 1 B2 2 

A 1 1 B1 1 A1 1 B1 2 A1 2 B1 1 A1 2 B1 2 A1 3 B1 1 A1 3 B1 2 

⎜ 

A 

⎜ 

⎝ 

1 1B21 A11 B22 A12 B21 A12 B22 A13 B21 A13 B22 A2 1B11 A21 B12 A22 B11 A22 B12 A2 3B11 A2 3B1 2 

A2 1B21 A21 B22 A22 B2 1 A22 B22 A23 B21 A23 B22 A3 1B11 A3 1B12 A3 2B11 A3 2B12 A3 3B11 A3 3B12 A3 1B21 A3 1B22 A3 2B21 A3 2B22 A3 3B21 A3 3B2 ⎟ 

⎠ 

2 

Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie 

⎞ 

(1.39)


Bemerkung: Beitrag von Martin Paulig: In der Praxis ist es hilfreich, die Tensorproduktbildung zu 

automatisieren. Eine einfache Mathematica R○ -Funktion, die sowohl Vektoren als auch Matrizen mit 

beliebiger Dimensionalität in dem üblichen Listenformat nach den obigen Regeln multipliziert, nimmt 

nur zwei Zeilen in Anspruch: 

Attributes[CircleTimes] = {Flat, OneIdentity}; 

CircleTimes[a_List, b_List] := KroneckerProduct[a, b]; 

Für das Tensorprodukt |c〉 = |a〉 ⊗ |b〉 schreibt man dann einfach 

cvec = {a1,a2,a3} ⊗ {b1,b2} 

wobei man das Symbol ⊗ durch die Tastenfolge ESC c * ESC eingibt. Das oben definierte Tensor- 

produkt funktioniert auch für Matrizen. 

1.5 Multilinearformen 

1.5.1 1-Formen 

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Eine Linearform oder auch 1-Form ist eine Abbilung 

α : V → K mit den Eigenschaften 

• Additivität: α(u + v) = α(u) + α(v) für alle u,v ∈ V . 

• Homogenität: α(λv) = λα(v) für alle v ∈ V und λ ∈ K. 

Eine 1-Form ist also vereinfacht gesagt eine lineare black box, die Vektoren auf Zahlen abbildet. 

Man kann zwei 1-Formen α,τ addieren, indem man einfach ihre Ergebnisse addiert. Ebenso 

kann man eine 1-Form mit einem Skalar λ ∈ K multiplizieren, indem man ihr Ergebnis mit 

einem Skalar multipliziert. In Formeln ausgedrückt: 

(α + τ)(v) := α(v) + τ(v), (λα)(v) := λα(v). (1.40) 

Man kann leicht zeigen, dass α + τ und λα wiederum additive homogene Abbildungen, also 

wiederum 1-Formen sind. Die Menge aller 1-Formen besitzt deshalb ebenfalls eine Vektorraumstruktur. 

Der Vektorraum der 1-Formen wird dualer Vektorraum bzw. Dualraum, manchmal auch 

Kovektorraum genannt und mit dem Symbol V ∗ bezeichnet. 

Merke: Eine 1-Form ist vereinfacht ausgedrückt eine lineare Maschine, die Vektoren eines Vektor- 

raums V auf Zahlen abbildet. Die Menge aller 1-Formen ist ebenfalls ein Vektorraum und wird als 

Dualraum V ∗ bezeichnet. 

Man beachte, dass sich 1-Formen nicht zur Definition der Länge eines Vektors eignen. Die Länge 

eines Vektors sollte nämlich stets positiv sein, während eine 1-Form wegen α(−v) = −α(v) 

auch negative Ergebnisse liefern kann. 


1.5 Multilinearformen 17 

Abbildung 1.2: 1-Form im R 2 . Eine 1-Form α lässt sich anschaulich als eine Art Feld auf dem Vektorraum vorstellen, 

das in der Abbildung durch die Intensität der Blaufärbung visualisiert wird. Da die 1-Form 

linear ist, müssen die “Äquipotentiallinien” dieses Feldes parallele Geraden sein. Wendet man eine 

1-Form auf einen Vektor v an, dann ist das Ergebnis gerade der Wert des Feldes an dieser 

Stelle, hier also α(v) = 1. 

1.5.2 Darstellung von 1-Formen 

Sei α ∈ V ∗ eine 1-Form und {ei} eine Basis von V . Da sich jeder Vektor v ∈ V als Linearkombination 

v = ∑i v i ei schreiben lässt und α linear ist, gilt 

α(v) = α 

� 

∑ i 

v i ei 

� 

= ∑ i 

v i α(ei). (1.41) 

Um eine 1-Form zu definieren, muss man also lediglich angeben, wie sie auf die Basisvektoren 

wirkt, eine 1-Form wird also vollständig durch die Zahlen α(ei) ∈ K charakterisiert. 

Diese Beobachtung ermöglicht es uns, eine spezielle Menge {e j } von 1-Formen mit der Eigenschaft 

e j (ei) = δ j 

i 

zu definieren, wobei j und i aus der gleichen Indexmenge kommen und 

δ j 

i = 

� 1 i = j 

0 i �= j 

(1.42) 

(1.43) 

die Kronecker-Symbole sind (hier dürfen die Indices ausnahmsweise übereinander stehen). Die 

Menge der 1-Formen {e j } ist eine Basis des Dualraums V ∗ , denn man kann jede 1-Form α ∈ V ∗ 

schreiben als Linearkombination 

α = ∑ j 

α je j 

mit α j = α(e j). (1.44) 

Beweis: Um dies zu zeigen, untersuchen wir, wie die 1-Form α auf die Basisvektoren wirkt. Man 

erhält α(ei) = ∑ j α je j (ei) = ∑ j α jδ j 

i = αi ; die Linearfaktoren sind also eindeutig bestimmt und so 

ist klar, dass sich jede 1-Form auf diese Weise darstellen lässt. 



Zu jeder Basis {ei} von V gehört also eine zugeordnete Basis {e j } von V ∗ , die als duale Basis 

bezeichnet wird. In einem endlichen Vektorraum besitzen V und V ∗ die gleiche Anzahl von 

Basisvektoren und haben damit die gleiche Dimension. Es ist üblich, die ‘normalen’ Basisvektoren 

mit unteren Indices und die 1-Formen der dualen Basis mit oberen Indices zu schreiben. 

Die Linearfaktoren von Vektoren schreibt man dagegen mit oberen, die Linearfaktoren der 1- 

Formen mit unteren Indices, also genau entgegengesetzt. Summiert wird stets über Paare hochund 

tiefstehender Indices. Gemäß der Einsteinschen Summenkonvention ist es üblich, das Summenzeichen 

wegzulassen. 

Merke: 

Einen Vektor v kann man durch v = v i ei mit Komponenten v i = e i (v) darstellen. 

Eine 1-Form α kann man durch α = αie i mit Komponenten αi = α(ei) darstellen. 

Die Anwendung einer 1-Form α auf einen Vektor v nimmt also in einer gegebenen Darstellung 

die Form 

α(v) = αiv i 

(1.45) 

an. Das Resultat α(v) wird Verjüngung oder Kontraktion von α und v genannt und wird in der 

Mathematik auch mit ιvα bezeichnet. Das Paar entgegengesetzt stehender Indices, über das kontrahiert 

wird, sieht auf den ersten Blick einem Skalarprodukt ähnlich, doch handelt es sich hier 

nicht um ein Skalarprodukt, denn Längen und Winkel sind an dieser Stelle noch nicht erklärt. 

Wir werden auf den Begriff der Kontraktion im Abschnitt 1.5.9 auf S. 22 noch genauer eingehen. 

Bemerkung: Darstellungen von 1-Formen werden bereits in der Schulmathematik durch die Hintertür 

in der Gestalt von Zeilenvektoren eingeführt. Hier schreibt man beispielsweise 

� 

α1,α2,... 

α(v) = 

�⎛ 

v 

⎝ 

1 

v2 ⎞ 

⎠ 

... 

und führt die Kontraktion nach der Regel „Zeile mal Spalte“ durch. Auch in der Quantenmechanik 

sind Ihnen bereits 1-Formen begegnet, und zwar in der Dirac-Notation als bra-Vektoren 〈φ| ∈ H ∗ , 

die mit den Zustandsvektoren |ψ〉 ∈ H zu einem Skalar 〈φ|ψ〉 ∈ C kontrahiert werden können. In 

Lehrbüchern werden solche Kontraktionen als Skalarprodukte bezeichnet, was aber streng genommen 

nicht korrekt ist. Wir werden auf diesen Punkt später zurückkommen (siehe Abschnitt 1.6.1 auf S. 24). 

Wir haben 1-Formen als lineare Maschinen eingeführt, die auf Vektoren angewandt werden und 

eine Zahl als Ergebnis liefern. Da aber die 1-Formen ihrerseits einen dualen Vektorraum bilden, 

kann man auch umgekehrt Vektoren als lineare Maschinen auffassen, die angewandt auf eine 

1-Form eine Zahl liefern. 

1.5.3 Basistransformation von 1-Formen 

Unter einer Basistransformation ei → e ′ i = ek ˜M k i (siehe Abschnitt 1.3.3 auf S. 11) müssen sich 

die Basisvektoren des Dualraums auf entgegengesetzte Weise gemäß 

e j → e ′ j = M j 

ℓ eℓ 

(1.46) 

transformieren, wobei M = ( ˜M) −1 ist, denn nur dann erfüllt die gestrichene duale Basis die 

Definitionseigenschaft e ′ j 

(e ′ 

i) = δ j 

i (vgl. Abschnitt 1.5.2 auf S. 17). 

Beweis: Es ist e ′ j 

(e ′ 

i) = M j 

ℓ ˜M k ieℓ (ek) = M j 

k ˜M k j 

i = δi Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie


Im Gegensatz zu den Komponenten eines Vektors, für die das Transformationsgesetz 

v i → v ′i = M i jv j 

gilt, transformieren sich die Komponenten einer 1-Form α = α je j also gemäß 

(1.47) 

α j → α ′ j = αk ˜M k j . (1.48) 

Dabei ist die Ordnung der Indices zu beachten, d.h. man hat es hier sozusagen mit der transponierten 

Transformationsmatrix α ′ j = αk ˜M T k 

j zu tun. 

Beweis: In der Tat ist α ′ je′ j 

= ˜M k j 

jM ℓαkeℓ = αℓeℓ = α 

1.5.4 Tensoren 

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und V ∗ der 

dazugehörige duale Vektorraum der 1-Formen. Ein 

Tensor ist eine multilineare (d.h. in jedem Argument 

lineare) Abbildung 

T : (V ∗ ) ⊗q ⊗ (V ) ⊗p → K, 

also eine lineare black box, die q 1-Formen und p Vektoren auf eine Zahl abbildet. Die beiden 

Zahlen (q, p) werden als Rang oder Stufe des Tensors bezeichnet. 4 Einige Spezialfälle kennen 

wir bereits: 

- Ein Tensor vom Rang (0,0), der nichts auf eine Zahl abbildet, ist ein Skalar. 

- Ein Tensor vom Rang (1,0), der eine 1-Form auf eine Zahl abbildet, ist ein Vektor. 

- Ein Tensor vom Rang (0,1), der einen Vektor auf eine Zahl abbildet, ist eine 1-Form. 

Man unterscheidet folgende Arten von Tensoren: 

- Kovariante Tensoren bilden ausschließlich Vektoren ab. 

- Kontravariante Tensoren bilden ausschließlich 1-Formen ab. 

- Gemischte Tensoren bilden sowohl Vektoren als auch 1-Formen ab. 

Genau wie 1-Formen können Tensoren addiert werden, indem man ihre Ergebnisse addiert. 

Ebenso können sie skalar multipliziert werden, indem man ihr Ergebnis skalar multipliziert. 

Die Menge der Tensoren der Stufe (q, p) bilden also einen eigenständigen Vektorraum. Weil 

Tensoren als lineare Abbildungen von (V ∗ ) ⊗q ⊗ (V ) ⊗p in den Zahlenkörper definiert sind, sind 

sie selbst Elemente des dazu dualen Vektorraums, den wir kurz mit 

bezeichnen wollen. 

� (q,p)V := (V ) ⊗q ⊗ (V ∗ ) ⊗p 

4 Manche Autoren verstehen unter dem Rang bzw. der Stufe die Summe p + q. 


(1.49)


1.5.5 Darstellung von Tensoren 

Wegen ihrer Linearität lassen sich Tensoren in einer gegebenen Basis {ei} von V und der dazugehörigen 

dualen Basis {e j } von V ∗ in Komponenten darstellen. Dazu lassen wir einen Tensor 

vom Rang (q, p) auf q 1-Formen und p Vektoren wirken. Um deren Nummerierung von der Indizierung 

der Komponenten unterscheiden zu können, schreiben wir die Nummer des Arguments 

in runden Klammern: 

T(α (1) ,...,α (q) ; v (1),...,v (p)) 

= T � 

∑α j1 

(1) 

j1 e j1 , ..., ∑α jq 

(q) 

jq e jq ; ∑v i1 

i1 

(1) ei1 , ... ,∑ v 

ip 

ip 

(p) eip 

= ∑ α 

j1,..., jq,i1,...,ip 

(1) 

···α j1 

(q) 

jq vi1 

(1) ···vip (p) T(e j1 jq ,...,e ; ei1 

=: T j1 ... jq 

i1 ...ip 

Mit der Einsteinschen Summenkonvention gilt also 

T(α (1) ,...,α (q) ; v (1),...,v (p)) = T j1... jq 

,...,eip ) . 

� �� 

i1...ip α(1) ···α j1 

(q) 

jq vi1 

(1) ···vip (p) 

� 

(1.50) 

(1.51) 

Gemäß der oben eingeführten Nomenklatur heißen die oberen Indices kontravariant, die unteren 

dagegen kovariant. Die Zahlen 

T j1... jq 

i1...ip = T(e j1 jq ,...,e ; ei1 ,...,eip ) (1.52) 

sind die Komponenten des Tensors T, der sich als Linearkombination von Tensorprodukten der 

Basisvektoren darstellen lässt als 

T = T j1... jq 

i1...ip e j1 ⊗ ... ⊗ e jq ⊗ ei1 ⊗ ... ⊗ e ip . (1.53) 

Die Tensorprodukte der Basisvektoren kann man als Basisvektoren 

E 

k1...kq 

l1...lp 

:= ek1 ⊗ ... ⊗ ekq ⊗ el1 ⊗ ... ⊗ e lp (1.54) 

eines Vektorraums � (q,p) V = (V ) ⊗q ⊗ (V ∗ ) ⊗p auffassen. Diese besitzen die Eigenschaft 

E 

k1...kq 

l1...lp 

� e j1 ,...,e jq ; ei1 ,...,eip 

Auf diese Weise lässt sich Gl. (1.53) kompakt schreiben als 

� j1,..., jq,l1,...,lp 

= δ . (1.55) 

k1,...,kq,i1,...,ip 

i1...ip 

T = T j1... jq 

i1...ip E j1... . (1.56) 

jq 

d.h. jeder Tensor lässt sich als Linearkombination dieser Basistensoren darstellen, wobei die 

Linearfaktoren gerade die in Gl. (1.51) definierten Tensorkomponenten sind: 

Die Relativitätstheorie arbeitet mit Tensoren bis zu einem Gesamtrang von q+ p = 4. In einer 

darstellungsabhängigen Formulierung wird die hier schon sichtbare „Indexgymnastik” schnell 

unübersichtlich und kann sogar die physikalische Bedeutung verschleiern. Auch deshalb ist es 

ratsam, eine darstellungsunabhängige Formulierung anzustreben. Natürlich erfordert jede konkrete 

Berechnung, beispielsweise auf einem Computer, die Verwendung einer geeigneten Darstellung. 



1.5.6 Tensoren versus Matrizen 

Oft wird gesagt, dass Tensoren Matrizen und damit lineare Abbildungen wären. Streng genommen 

ist das nicht korrekt, da eine lineare Abbildung einen Vektor auf einen anderen Vektor 

abbildet, ein Tensor dagegen Vektoren und 1-Formen auf eine Zahl. Trotzdem gibt es einen 

engen Zusammenhang. Sei beispielsweise A eine lineare Abbildung eines Vektorraums V auf 

sich selbst, die durch eine quadratische Matrix A j 

i dargestellt wird. Auch wenn diese Matrix wie 

ein gemischter Tensor vom Rang (1,1) aussieht, liefert die Abbildung einen Vektor anstatt einer 

Zahl. Allerdings kann man diesen Ergebnisvektor mit einer weiteren 1-Form α zu einer Zahl 

kontrahieren. Damit erhält man einen Tensor vom Rang (1,1) 

TA(α,v) := α(Av)), (1.57) 

dessen Komponenten TA(e j ,ei) gerade die Matrixelemente A j 

i sind. Insofern lässt sich in der Tat 

jede lineare Abbildung als ein Tensor interpretieren. 

Bemerkung: Sie kennen das bereits aus der Quantentheorie: Einen Operator H kann man einerseits 

als lineare Abbildung H → H auf einem Hilbertraum H auffassen, andererseits aber auch als eine 

bilineare Abbildung, die einen ket-Vektor |ψ〉 ∈ H und einen bra-Vektor 〈φ| ∈ H ∗ auf eine Zahl 

〈φ|H|ψ〉 ∈ C abbildet. 

1.5.7 Tensorprodukt 

Das Tensorprodukt ⊗ verknüpft zwei Tensoren zu einem 

neuen Tensor höherer Stufe, indem einfach die Ergebnisse 

der beiden black boxes miteinander multipliziert werden. 

Der neue Tensor hat so viele Argumente wie die beiden 

ursprünglichen Tensoren zusammen, d.h. der Ränge 

dieser Tensoren addieren sich. Das Tensorprodukt ist also 

eine Abbildung 

��(q1,p1) � ��(q2,p2) � 

V ⊗ V → � (q1+q2,p1+p2) 

V 

und ermöglicht, Tensoren höherer Stufe zu konstruieren. 

Als Beispiel betrachten wir zwei Linearformen α und β, also Tensoren vom Rang (0,1). Diese 

beiden Tensoren können zu einer Bilinearform γ = α ⊗ β, also zu Tensor vom Rang (0,2) 

verknüpft werden, indem man deren Ergebnisse einfach miteinander multipliziert: 

γ(v1,v2) = α(v1)β(v2) (1.58) 

Wichtig: Nicht alle Tensoren vom Rang (0,2) lassen sich in der Form α ⊗ β schreiben. Die beiden 

1-Formen haben nämlich je drei, also zusammen sechs Freiheitsgrade, während in Tensor 

vom Rang (0,2) neun Freiheitsgrade besitzt. Deshalb bilden die Tensoren von der Form α ⊗ β 

nur eine Teilmenge von � (0,2) V , nämlich die Teilmenge der faktorisierbaren Tensoren. Erst bei 

Hinzunahme aller Linearkombinationen erhält man den gesamten Vektorraum (vgl. Abschnitt 

1.4.3 auf S. 13). Das bedeutet, dass jeder nicht-faktorisierbare Tensor als (endliche) Linearkombination 

von Tensorprodukten geschrieben werden kann. 

Durch mehrfache Ausführung des Tensorprodukts kann man sukzessive Tensoren beliebig 

hohen Rangs erzeugen. Das Tensorprodukt ist also eine Verknüpfung, mit der man Tensoren 

höherer Stufe konstruieren kann. 



1.5.8 Darstellung des Tensorprodukts 

In einer gegebenen Basis {ei} bzw. {e i } wird das Tensorprodukt zweier Tensoren einfach dadurch 

gebildet, dass man die entsprechenden Komponenten miteinander multipliziert. Ist beispielsweise 

mit α = αie i und β = β je j , dann ist α ⊗β = αiβ j(e i ⊗e j ), also hat die Bilinearform 

γ = α ⊗ β die Darstellung 

γ = α ⊗ β ⇔ γi j = αiβ j. (1.59) 

Analog bildet man das Tensoprodukt C = A ⊗ B von zwei Tensoren der Stufe (q1, p1) bzw. 

(q2, p2) in einer gegebenen Basis einfach durch Multiplikation der Komponenten: 

C i1...iq 1 k1...kq 2 

j1... jp 1 ℓ1...ℓp 2 

= A i1...iq 1 

j1... B jp1 k1...kq2 . (1.60) 

ℓ1...ℓp2 Wie man leicht sehen kann, erhält man in der Tat einen Tensor vom Rang (q1 + q2, p1 + p2). 

1.5.9 Kontraktion 

Eine Kontraktion C , auch Verjüngung genannt, ist eine 

Verknüpfung, mit der sich der Rang eines Tensors verringern 

lässt. Eine Kontraktion kann man sich so vorstellen, 

als ob man zwei Eingangskanäle eines Tensors kurzschließt. 

Grundsätzlich lassen sich nur kontravariante mit 

kovarianten Eingänge auf diese Weise paarweise kurzschließen. 

Eine Kontraktion reduziert also den Rang von 

(q, p) auf (q − 1, p − 1). 

Als einfachstes Beispiel betrachten wir einen faktorisierbaren Tensor T vom Rang (1,1), der 

also als Tensorprodukt T = v ⊗ α aus einer 1-Form α ∈ V ∗ und einem Vektor v ∈ V schreiben 

lässt. In diesem Fall ist die Kontraktion definiert als die Anwendung der 1-Form α auf den 

Vektor v und ergibt damit eine (0,0)-Tensor, also einen Skalar: 

C (v ⊗ α) = α(v) (1.61) 

Ein nichtfaktorisiernde Tensor vom Rang (1,1) kann stets als Linearkombination faktorisierender 

Tensoren geschrieben werden: 

T = ∑ λµvµ ⊗ αµ . (1.62) 

µ 

Auch solche Tensoren kann man kontrahieren, da die Kontraktion eine lineare Operation ist und 

damit auf die Summanden durchgeschleift werden kann: 

C (T) = ∑ µ 

λµC (vµ ⊗ αµ) = ∑ µ 

λµαµ(vµ) (1.63) 

Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie darstellungsfrei ist. Eine alternative und für den praktischen 

Gebrauch nützlichere Definition ist 

C (T) = T(e i ,ei), (1.64) 

wobei {e i } und {ei} Basen von V ∗ und V sind und über den Index i wie üblich summiert wird. 

Obwohl hier explizit eine Basis gebraucht wird, ist auch diese Definition darstellungsunabhängig. 



Beweisskizze: Am Beispiel T = α ⊗v kann man sich leicht überzeugen, dass die beiden Definitionen 

wegen C (T) = (v ⊗ α)(e i ,ei) = α(ei)e i (v) = αiv i = α(v) äquivalent sind. 

Für Tensoren höherer Stufe muss man genau angeben, welche Eingänge miteinander verbunden 

werden. Außerdem ist es möglich, Mehrfachkontraktionen durchzuführen, also mehrere Paare 

von Eingängen miteinander zu verbinden. Die Vielzahl der Möglichkeiten hat in der Literatur zu 

einer Vielzahl von Notationen geführt: 

C k 

ℓ 

C k1...km 

ℓ1...ℓm 

Diese Schreibweise verallgemeinert die obige Definition C = C 1 1 , und zwar 

wird die k.-te kontravariante Tensorkomponente mit der ℓ-ten kovarianten 

Tensorkomponente kontrahiert, in einer Darstellung wird also über den k-ten 

oberen Index nd den ℓ-ten unteren Index summiert. 

analoge Notation für Mehrfachkontraktionen. 

〈β,A〉 Vollständige Kontraktion einer p-Form mit einem p-Vektor zu einer Zahl 

in einer Dirac-artigen Notation. Darf nicht mit einem Skalarprodukt verwechselt 

werden. Wir werden deshalb diese Notation nicht verwenden 

Achtung: Für antisymmetrische Tensoren wird später noch eine weitere Notation ιAβ eingeführt 

(siehe Abschnitt 2.1.9 auf S. 38), die den griechischen Buchstaben Iota benutzt. Sie unterscheidet 

sich von den hier aufgeführten Notationen durch zusätzliche kombinatorische Faktoren. 

Bemerkung: Die Dirac-Klammer 〈φ|ψ〉 in der Quantentheorie ist kein Skalarprodukt, sondern eine 

Kontraktion. Dass sich die Dirac-Klammer dennoch effektiv wie ein Skalarprodukt verhält, ist eine 

Konsequenz des musikalischen Isomorphismus, den wir weiter unten besprechen werden. 

1.5.10 Darstellung einer Kontraktion 

Für einen Tensor vom Rang (1,1) wird die Kontraktion in einer gegebenen Darstellung durch 

C (T) = T(e i ,ei) = T i i 

(1.65) 

dargestellt, d.h. eine Kontraktion ist nichts anderes als die Spurbildung über ein Paar entgegengesetzt 

positionierter Indices. Bei Tensoren höherer Stufe kann im Prinzip jede kontravariante 

mit jeder kovarianten Tensorkomponente kontrahiert werden und man kann mehrfache Kontraktionen 

auf einmal durchführen (also mehrere Paare kurzschließen). 

Beispiele: 

• Die Kontraktion C 2 2 T eines Tensors vom Rang (2,2) in Komponenten durch T ik jk dargestellt. 

• Die Kontraktion 〈α,X〉 eines Vektors X mit einer 2-Form α wird durch X i αi j dargestellt. 

• Die vollständige Kontraktion 〈ω,T〉 = C 12 

12 (T⊗ω) eines kontravarianten Tensors T vom Rang 

(2,0) mit einer 4-Form ω wird durch T i jωi jkℓ dargestellt. 

• Seien A und B Tensoren vom Rang (1,1). Dann sieht C 2 1 (A ⊗ B) = Ai j 

jB k formal wie eine 

Matrixmultiplikation aus. In der Tat ist eine Matrixmultiplikation nicht anderes als eine Kontraktion 

des letzen Index des ersten mit dem ersten Index des zweiten Tensors. 



1.5.11 Tensoralgebra 

Wie bereits erwähnt sind die Tensoren der Stufe (q, p) Elemente eines Vektorraums � (q,p) V . Mit 

dem Tensorprodukt und der Kontraktion werden diese Vektorräume untereinander verknüpft. Es 

ist deshalb üblich, alle Vektorräume durch Summenbildung zu einem gemeinsamen Vektorraum 

� �� 

(q,p)V 

V := (1.66) 

q,p 

zusammenzufassen. Dieser Gesamtvektorraum aller Tensoren zusammen mit den Rechenregeln 

des Tensorprodukts und der Kontraktion wird als Tensoralgebra bezeichnet. Eine wichtige Eigenschaft 

dieser Algebra besteht darin, dass sie nicht schließt, d.h. man kann Tensoren beliebig 

hoher Stufe (also in einer Darstellung mit beliebig vielen Indices) erzeugen. 

Bemerkung: Man sollte sich hier noch einmal vergegenwärtigen, dass das Tensorprodukt ⊗, mit 

dem man ohne weiteres völlig verschiedene Vektorräume verknüpfen könnte (vgl. Abschnitt 1.4.3 auf 

S. 13), innerhalb der Tensoralgebra nur auf Tensoren angewandt wird, die Tensorpotenzen über V und 

V ∗ sind, denn nur dann ist eine Kontraktion möglich. 

1.6 Metrik 

1.6.1 Metrischer Tensor 

Eine wichtige mathematische Struktur ist das Skalarprodukt, auch inneres Produkt genannt. Ein 

Skalarprodukt ist eine Abbildung g : V ×V → K, die im gewöhnlichen R n bekanntlich durch 

g(u,v) = u · v = uvcos � ∢(u,v) � 

(1.67) 

gegeben ist. Das Skalarprodukt hat also etwas mit Längen und Winkeln zu tun. In der Tat werden 

diese Begriffe erst mit der Definition eines Skalarprodukts ins Leben gerufen. 

Ein Skalarprodukt besitzt folgende Definitionseigenschaften: 

1. Rechtslinearität: g(u,λv + µw) = λg(u,v) + µg(u,w) 

2. Symmetrie: g(u,v) = g(v,u) für reelle Vektorräume (K = R) bzw. 

g(u,v) = g(v,u) ∗ für komplexe Vektorräume (K = C). 

3. Die Abbildung ist positiv definit, d.h. g(u,u) ≥ 0 und 

g(u,u) = 0 genau dann wenn u = 0. 

Aus der Linearität im rechten Argument und der Symmetrie ergibt sich die Linearität (bzw. Antilinearität 

im komplexen Fall) im linken Argument. In reellen Vektorräumen, auf die wir uns in 

der Relativitätstheorie beschränken werden, ist das Skalarprodukt also eine bilineare Abbildung, 

die zwei Vektoren auf eine reelle Zahl abbildet. g ist demzufolge ein kovarianter symmetrischer 

metrischer Tensor vom Rang (0,2), der als metrischer Tensor bezeichnet wird. Die sogenannte 

euklidische Metrik, die dem gewöhnlichen kartesischen Skalarprodukt im Rn entspricht, ist 

durch eine Einheitsmatrix gegeben: 

g(ei,ej) = δi j 

(1.68) 


1.6 Metrik 25 

Ein (positiv definites) Skalarprodukt induziert eine Norm 

und vermittels dieser Norm eine Metrik 

||v|| := � g(v,v) (1.69) 

d(u,v) := ||u − v|| (1.70) 

Begriffe wie Länge und Abstand werden also erst an dieser Stelle mit der Definition eines Skalarprodukts 

eingeführt. 

Zur Erinnerung: 

Eine Norm || · || auf einem reellen oder komplexen Vektorraum V ist eine Abbildung V → R mit 

folgenden Eigenschaften: Für alle u,v ∈ V und λ ∈ K gilt 

- ||u|| ≥ 0; ||u|| = 0 ⇒ u = 0 

- ||λu|| = |λ| ||u|| 

- ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| 

Eine Metrik d ist eine Abbildung V ×V → R + mit folgenden Eigenschaften: 

- d(u,u) = 0; d(u,v) = 0 ⇒ u = v 

- d(u,v) = d(v,u) 

- d(u,w) ≤ d(u,v) + d(v,w) 

Wie wir sehen werden, ist in der Relativitätstheorie das innere Produkt g bzw. η nicht mehr 

positiv definit, sondern man unterscheidet raumartige Vektoren mit g(u,u) > 0 und zeitartige 

Vektoren mit g(u,u) < 0 sowie den Lichtkegel g(u,u) = 0. Genau genommen handelt es sich 

also nicht mehr um eine Metrik im mathematischen Sinne, da das dritte Postulat aufgegeben 

wird, sondern um eine Pseudometrik. Trotzdem ist es üblich, auch weiterhin von einem Skalarprodukt 

bzw. einer Metrik zu sprechen. 

1.6.2 Darstellung des metrischen Tensors 

Der metrische Tensor g ist wie jede bilineare Abbildung in einer gegebenen Basis {ei} vollständig 

dadurch festgelegt, wie er auf die Basisvektoren wirkt, d.h. er wird durch eine symmetrische 

Matrix 

gi j = g ji = g(ei,ej) (1.71) 

dargestellt. Eine Basis {ei} heißt orthogonal bezüglich einer Metrik g, wenn die Basisvektoren 

paarweise ‘senkrecht’ aufeinander stehen, d.h. 

ei · e j = gi j = 0 ∀i �= j , (1.72) 

wenn also der metrische Tensor in dieser Basis diagonal ist. Eine Basis heißt orthonormal, wenn 

darüber hinaus 

|ei · ei| = |gii| = 1 (1.73) 

ist, also alle Diagonalelemente gii = ±1 sind. Es ist üblich, die Basisvektoren durch Permutation 

so zu sortieren, dass erst die negativen und dann die positiven Diagonalelemente kommen, also 

gi j = diag(−1,...,−1,+1,...,+1). (1.74) 

Diese Anordnung der Vorzeichen wird als Signatur einer Metrik bezeichnet. Man bezeichnet 

insbesondere Metriken mit der Signatur 



(1,1,1,...) als Riemannsche Metrik und 

(−1,1,1,...) als Lorentzsche Metrik. 

Der dreidimensionale Ortsraum besitzt eine Riemannsche Metrik, die Raumzeit der Relativitätstheorie 

dagegen eine Lorentzsche Metrik. 

1.6.3 Musikalischer Isomorphismus V ↔ V ∗ 

♭-Abbildung: 

Wenn man einen Vektor u als linkes Argument von g fest vorgibt, kann g(u,·) als eine lineare 

Abbildung des rechten Arguments auf eine Zahl interpretiert werden, also als Linearform und 

damit als Element des Dualraums V ∗ . Die Metrik induziert damit eine Abbildung 

♭ : V → V ∗ : u ↦→ u ♭ , (1.75) 

die jedem Vektor u ∈ V eine dazugehörige 1-Form u ♭ ∈ V ∗ mit der Eigenschaft 

auf eindeutige Weise zuordnet. 

u ♭ (v) = g(u,v) ∀v ∈ V (1.76) 

Man beachte, dass diese Abbildung einen Basisvektor ei nicht notwendigerweise auf die dazugehörige 

duale 1-Form ei abbildet, d.h. im Allgemeinen ist e♭ i �= ei . Man kann das daran sehen, 

dass die duale Basis durch ei (e j) = δ i j definiert ist (siehe Abschnitt 1.42 auf S. 17), während 

e♭ i (e j) = g(ei,ej) ist. 

Bemerkung: In der Schulmathematik wird diese Abbildung als Transposition eingeführt, indem einem 

Spaltenvektor der entsprechende Zeilenvektor zugeordnet wird. In der Quantenmechanik wird 

ein ket-Vektor in den entsprechenden bra-Vektor umgewandelt. 

Induzierte Metrik auf V ∗ : 

Die Abbildung ♭ induziert ein zu g duales Skalarprodukt g ∗ im Dualraum V ∗ , das zwei 1-Formen 

auf eine Zahl abbbildet. Es ist definiert als bilineare Abbildung V ∗ ⊗V ∗ ↦→ K mit der Eigenschaft 

g ∗ (u ♭ ,v ♭ ) := g(u,v), (1.77) 

wobei u ♭ ,v ♭ die den Vektoren u,v zugeordneten 1-Formen sind. Man kann leicht überprüfen, 

dass g ∗ tatsächlich die Axiome eines Skalarprodukts auf V ∗ erfüllt. 

♯-Abbildung: 

Ähnlich wie g eine Abbildung ♭ : V → V ∗ bereitstellt, induziert g ∗ eine entgegengesetzte Abbildung 

♯ : V ∗ → V : α ↦→ α ♯ , (1.78) 

indem sie jeder 1-Form α ∈ V ∗ einen Vektor α ♯ ∈ V mit der Eigenschaft 

β(α ♯ ) = g ∗ (α,β) ∀β ∈ V ∗ 

(1.79) 

zuordnet. Man kann zeigen, dass u ♭♯ = u und α ♯♭ = α ist, dass also beide Abbildungen zueinander 

invers sind. 


1.6 Metrik 27 

Beweis: v ♭ (u ♭♯ ) = g ∗ (u ♭ ,v ♭ ) = g(v,u) == g(u,v) = v ♭ (u) ∀v β ∈ V ∗ ⇔ u ♭♯ = u. 

Die Metrik stellt also einen Isomorphismus 

V ♭ 

⇄ ♯ 

V ∗ 

(1.80) 

zur Verfügung, der als kanonischer Isomorphismus oder wegen der eigenwilligen Notation auch 

als musikalischer Isomorphismus bezeichnet wird. Dieser Isomorphismus ist die Grundlage für 

das in der Relativitätstheorie übliche “Heben und Senken von Indices”, das wir im folgenden 

Abschnitt besprechen werden. 

1.6.4 Darstellung von ♭ und ♯: Heben und Senken von Indices 

Wir wollen nun untersuchen, wie die einem Vektor u = u j e j zugeordnete 1-Form u ♭ = uke k in 

Komponenten aussieht. Dazu lassen wir u ♭ gemäß Gl. (1.76) auf einen beliebigen Vektor v = v i ei 

wirken: 

u ♭ (v) = uke k (v i ei) = ukv i e k (ei) = ukv i δ k 

i = uiv i 

= g(u j e j,v i ei) = u j v i g(e j,ei) = u j g jiv i = gi ju j v i 

Da diese Gleichung für alle v ∈ V gilt, folgt daraus durch Koeffizientenvergleich 

♭ : ui = gi ju j 

(1.81) 

(1.82) 

d.h. gi j ist die Transformationsmatrix von kontravarianten zu kovarianten Komponenten, womit 

der Index abgesenkt wird. 

Die induzierte metrische Tensor g ∗ auf dem Dualraum wird durch die symmetrische Matrix 

g i j = g ji = g ∗ (e i ,e j ) (1.83) 

mit oberen Indices dargestellt. Man kann zeigen, dass beide Tensoren invers zueinander sind, 

d.h. es gilt 

gi jg jk = δ k 

i . (1.84) 

Beweis: Um diesen Sachverhalt zu beweisen, untersuchen wir zunächst die den Basisvektoren ei 

zugeordneten Linearform e ♭ i . Wie bereits oben erwähnt ist im allgemeinen e♭ i �= ei , doch muss ich e ♭ i 

als Linearkombination der Basisvektoren e k ∈ V ∗ darstellen lassen, d.h. e ♭ i = cike k . Wendet man beide 

Seiten auf einen Basisvektor e j ∈ V an, kann man zeigen, dass die Koeffizienten durch ci j = e ♭ i (e j) = 

g(ei,ej) = gi j gegeben sind. Folglich ist 

e ♭ i = gi je j . 

Dies führt auf die Gleichungskette gi j = g(ei,ej) = g ∗ (e ♭ i ,e♭ j ) = gikg jmg ∗ (e k ,e m ) = gikg jmg km , also 

g jmgkm = δ k j , woraus die Behauptung folgt. 

Auf analoge Weise kann man nun ausrechnen, wie der einer 1-Form α = α je j durch die ♯- 

Abbildung zugeordnete Vektor α ♯ = α k ek in Komponenten aussieht. Man erhält 

♯ : α i = g i j α j . (1.85) 



Mit dieser Rechenregel wird also ein Index gehoben. Der musikalische Isomorphismus wird 

damit als eine sehr einfache formale Rechenregel für das Heben und Senken von Indices implementiert. 

Merke: Regeln für das Senken und Heben von Indices: 

- Vektoren v = v i ei werden durch kontravariante Komponenten mit oberen Indices dargestellt. 

- 1-Formen α = αie i werden durch kovariante Komponenten mit unteren Indices dargestellt. 

- Indices kann man senken durch vi = gi jv j und heben durch v i = g i j v j. 

- Bei Tensoren kann jeder Index einzeln gehoben oder gesenkt werden. Man braucht dann 

entsprechend viele g-Matrizen. Beispiel: A i jk = gil g jmgknA mn 

l . 

1.6.5 Anwendung der musikalischen Operatoren auf Tensoren 

Auch auf Tensoren höherer Stufe kann der musikalische Isomorphismus angewandt werden. 

Dabei ist jedoch anzugeben, welche Tensorkomponente gehoben oder gesenkt werden soll. Auch 

kann man durch Hintereinanderausführung mehrere Tensorkomponenten heben oder senken. 

Während die Indexdarstellung hier unproblematisch ist, erweist sich die abstrakte Notation mit 

♭ und ♯ hier als relativ schwerfällig. 

Eine Ausnahme sind rein kontravariante und rein kovariante Tensoren, also Tensoren mit ausschließlich 

oberen oder unteren Indices. Wir wollen die Konvention benutzen, dass die musikalischen 

Operatoren in diesem Fall sämtliche Komponten senken bzw. heben: 

rein kontravariant: ♭ : T i1...iq → Ti1...iq 

rein kovariant: ♯ : Ti1...ip → Ti1...ip (1.86) 

1.6.6 Transformationsverhalten der Metrik 

Bei einer Basistransformation bleibt der metrische Tensor g auf V (bzw. g ∗ auf V ∗ ) als abstrakte 

Bilinearform unverändert, jedoch ändert sich seine Darstellung gemäß 

bzw. 

gi j → g ′ i j = gkℓ ˜M k i ˜M ℓ j 

(1.87) 

g i j → g ′i j = M i k M j 

ℓ gkℓ . (1.88) 

Wenn man mit g und g ∗ die Matrizen gi j und g i j bezeichnet, lauten diese Transformationsgesetze 

in Kurzform 

g ′ = ˜M T g ˜M , g ∗′ = Mg ∗ M T . (1.89) 

Bemerkung: Man kann leicht überprüfen, dass auch im gestrichenen System g und g ∗ invers zueinander 

sind, denn 

g ′i j 

g jn = M i j 

k M ℓ ˜M r j 

� �� 

=δ r ˜M 

ℓ 

s ng kℓ grs = M i k ˜M s n g kℓ gℓs 

� �� 

=δ k = m 

s 

i k ˜M k spcn = δ i n 

oder in Kurzform g ′ g ∗′ = ˜M T g ˜MMg ∗ M T = �. 


1.6 Metrik 29 

Eine besondere Rolle wird später die Determinante des metrischen Tensors g = det(g) spielen. 

Diese Determinante ist darstellungsabhängig und transformiert sich gemäß 

g → g ′ = 

g 

(detM) 2 

Merke: Die Determinante g wird immer aus der Darstellungsmatrix des metrischen Tensors mit un- 

teren Indices gebildet. 

1.6.7 Nützliche Rechenregeln 

(1.90) 

In der Allgemeinen Relativitätstheorie sind die Komponenten des metrischen Tensors die elementaren 

Freiheitsgrade des Gravitationsfeldes. Aus diesem Grund wird oft nach diesen Komponenten 

partiell differenziert. Die zu differenzierenden Ausdrücke sind als Invarianten oft mit 

Faktoren √ −g ‘verziert’, so dass man mit der Produktregel oft vor dem Problem steht, die Determinante 

g nach einer der Komponenten g i j oder gi j abzuleiten. 

Um diese Aufgabe zu lösen, muss man zunächst verstehen, wie die Determinante einer allgemeinen 

Matrix nach einer ihrer Komponenten partiell abgeleitet wird. Sei Ai j eine solche Matrix 

und 

detA = εk1,...,knAk11 knn 

···A (1.91) 

die dazugehörige Determinante. Wenn man nun nach der Komponente A i j ableitet, erhält man 

wobei A −1 die zu A inverse Matrix ist, d.h. A i j A −1 

jk = δ i k . 

∂ 

detA = (detA)A−1 

∂Ai j ji , (1.92) 

Beweis: Wenn man Gl. (1.91) partiell nach A i j differenziert, bleiben von den Produkten auf der rechten 

Seite dieser Gleichung nur diejenigen übrig, die diese Komponente enthalten; sie wird dann durch 

das Differenzieren aus dem Produkt entfernt. Das Resultat lässt sich schreiben als 

∂ 

∂A i j detA = εk1,...,k j−1,i,k j+1,...,kn Ak11 ···A k j−1 j−1 A i j 

////// A k j+1 j+1 ···A knn . 

Diese Gleichung wird nun auf beiden Seiten mit Air multipliziert, wobei über i summiert wird. Durch 

diesen Trick erhält man auf der rechten Seite wieder die Determinante zurück: 

� � 

∂ 

detA A 

∂Ai j ir = εk1,...,k j−1,i,k j+1,...,kn Ak11 k j−1 j−1 ir k j+1 j+1 knn 

···A A A ···A 

= (detA)δ r j . 

Dieser Ausdruck wird nun wiederum auf beiden Seiten mit A −1 

rs multipliziert, wobei über r summiert 

wird: � 

∂ 

detA 

∂Ai j 

also 

� 

δ i s = (detA)A −1 

js , 

∂ 

detA = (detA)A−1 

∂Ai j ji . 

Analog gilt für eine Matrix Bi j mit unteren Indices und der aus ihren Komponenten gebildeten 

Determinante detB die Formel 

∂ 

detB = (detB)[B 

∂Bi j 

−1 ] ji . (1.93) 



Wir wenden dieses Resultat nun auf den metrischen Tensor an, indem wir Bi j = gi j setzen. Da 

gi j invers zu g i j ist und diese Matrizen symmetrisch sind, gelangt man zu 

∂ 

g = gg 

∂gi j 

i j . (1.94) 

Nach oberen Komponenten abgeleitet erhält man auf analoge Weise ∂ 

∂gi j g−1 = g−1 gi j. Anderer- 

∂ seits ist ∂gi j g−1 = −g−2 ∂ 

∂gi j g. Man erhält also 

∂ 

∂g i j g = −ggi j . (1.95) 

Bemerkung: Man beachte, dass man von Gl. (1.94) zu Gl. (1.95) nicht einfach durch das Senken der 

Indices gelangen kann, sondern dass es dabei zu einem zusätzlichen Minuszeichen kommt. Es handelt 

sich nämlich hier nicht um eine Tensorgleichung, da g kein Skalar, sondern darstellungsabhängig ist. 


2 Differentialformen 

∧ ι ⋆ d d † 

Diese Symbole erwarten Sie in diesem Kapitel. Das äußere Produkt ∧, das innere Produkt ι, 

der Hodge-Stern-Operator ⋆ und die äußere Ableitung d sind die grundlegenden Verknüpfungen 

in der Theorie der Differentialformen. Sie alle operieren auf antisymmetrisierten Tensoren und 

bilden die sogenannte äußere Algebra. 

2.1 Äußere Algebra 

2.1.1 Äußeres Produkt (Keilprodukt) 

Das Tensorprodukt ist nicht kommutativ, denn für zwei verschiedene Vektoren v,w ∈ V ist 

v ⊗ w �= w ⊗ v. Oft sind aber bestimmte Symmetrieeigenschaften unter Vertauschung erforderlich. 

In diesem Fall kann man das Tensorprodukt symmetriesieren bzw. antisymmetrisieren, ähnlich 

wie man z.B. Mehrteilchenwellenfunktionen in der Quantenmechanik symmetrisiert oder 

antisymmetrisiert. Das setzt allerdings voraus, dass alle Tensorkomponenten die gleiche Gestalt 

haben, also Elemente des gleichen Vektorraums sind. Insbesondere ist es auch unmöglich, Vektoren 

und Linearformen zu mischen. Symmetrisierte bzw. antisymmetrisierte Tensorprodukte 

können deshalb entweder rein kontravariant (nur aus Vektoren gebildet, nur obere Indices) oder 

rein kovariant sein (nur aus Linearformen gebildet, nur untere Indices). 

In der Relativitätstheorie spielen antisymmetrische Tensoren eine wesentliche Rolle, denn sie 

verallgemeinern das antisymmetrische Kreuzprodukt des R 3 . Um solche Tensoren zu konstruieren, 

definiert man ein antisymmetrisiertes Tensorprodukt, das sogenannte äußere Produkt, wegen 

des verwendeten Symbols ’∧’ auch Keilprodukt (engl. wedge product) oder auch Dachprodukt 

genannt. Für zwei Vektoren v1,v2 ∈ V ist es definiert durch 

v1 ∧ v2 := v1 ⊗ v2 − v2 ⊗ v1. (2.1) 

Analog ist das Keilprodukt aus n Vektoren v1,...,vn ∈ V definiert als 

wobei der Antisymmetrisierungsoperator 

v1 ∧ v2 ∧ ... ∧ vn := A � � 

v1 ⊗ v2 ⊗ ... ⊗ vn , (2.2) 

A � � 

v1 ⊗ v2 ⊗ ... ⊗ vn := ∑ sgn(σ) 

σ∈Pn 


n� 

k=1 

vσk , (2.3)


sämtliche Tensorkomponenten antisymmetrisiert, indem die Summe über alle möglichen Permutationen 

läuft und sgn(σ) das Signum der jeweiligen Permutation ist. Für n = 3 erhält man 

beispielsweise einen antisymmetrischen Tensor dritter Stufe bestehend aus 3! = 6 Summanden: 

v1 ∧ v2 ∧ v3 = v1 ⊗ v2 ⊗ v3 + v2 ⊗ v3 ⊗ v1 + v3 ⊗ v1 ⊗ v2 − (2.4) 

v2 ⊗ v1 ⊗ v3 − v3 ⊗ v2 ⊗ v1 − v1 ⊗ v3 ⊗ v2 . 

Das mehrfache Keilprodukt ist allerdings nur dann sinnvoll, wenn es assoziativ ist, wenn also 

(v1 ∧v2)∧v3 = v1 ∧(v2 ∧v3) ≡ v1 ∧v2 ∧v3 ist. Ein Vergleich mit Gl. (2.2) zeigt sofort, dass die 

Assoziativität nur dann gewährleistet ist, wenn gilt: 

A � � � � � � 

v1 ⊗ ... ⊗ vm ∧ A vm+1 ⊗ ... ⊗ vn = A v1 ⊗ ... ⊗ vn . (2.5) 

Das Keilprodukt antisymmetrisiert also nicht nur das linke und rechte Argument en bloc, sondern 

antisymmetrisiert bezüglich aller Tensorkomponenten, aus denen die beiden Argumente gebildet 

sind. 

Bemerkung: Ein häufiger Anfängerfehler besteht in dem Missverständnis, dass Gl. (2.1) auch für 

beliebige Tensoren höherer Stufe gelte, dass also A ∧ B = A ⊗ B − B ⊗ A wäre, womit die beiden 

Argumente lediglich en bloc antisymmetrisiert würden. Das ist jedoch nicht zutreffend. So wäre z.B. 

(v1 ∧v2)∧v3 = (v1 ⊗v2 −v2 ⊗v1)∧v3 = v1 ⊗v2 ⊗v3 −v2 ⊗v1 ⊗v3 −v3 ⊗v1 ⊗v2 +v3 ⊗v2 ⊗v1, 

d.h. man erhielte im Vergleich zu Gl. (2.4) nur vier der sechs Terme und der resultierende Tensor wäre 

nicht antisymmetrisch. Das Keilprodukt ist vielmehr so durchzuführen, dass alle Tensorkomponenten 

auf beiden Seiten antisymmetrisiert werden. 

2.1.2 q-Multivektoren 

Die so gebildeten antisymmetrischen Tensoren heißen faktorisierbar (engl. decompsable) oder 

separabel . Linearkombinationen solcher Tensoren sind zwar wiederum antisymmetrisch, jedoch 

nicht notwendigerweise faktorisierbar. Jeder antisymmetrische Tensor lässt sich jedoch, 

wie bereits mehrfach erwähnt, als endliche Linearkombination faktorisierbarer antisymmetrischer 

Tensoren schreiben (vgl. Abschnitt 1.5.7 auf S. 21). Einen solchen antisymmetrischen 

Tensor vom Rang (q,0) bezeichnet man als q-Multivektor. Wegen der Bilinearität von ∧ ist das 

Keilprodukt auf beliebigen Multivektoren A,B,C definiert, d.h. es ist assoziativ 

und bilinear, d.h. für λ,µ ∈ K gilt 

A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C (2.6) 

(λA + µB) ∧ C = λ(A ∧ C) + µ(B ∧ C) (2.7) 

A ∧ (λB + µC) = λ(A ∧ B) + µ(A ∧ C). (2.8) 

Wie man leicht überprüfen kann, gilt für Multivektoren A und B vom Rang qA und qB das 

Vertauschungsgesetz 

A ∧ B = (−1) qAqB B ∧ A. (2.9) 

Beweisskizze: Wir stellen uns A und B zunächst als faktorisierbare Tensoren vor. Um von A ∧ B 

zu B ∧ A zu kommen, muss jede Tensorkomponente von B durch jede Tensorkomponente von A 

durchkommutiert werden, was jedes mal ein Minuszeichen mit sich bringt. Insgesamt gibt es qAqB 

solcher Vertauschungsprozesse, womit insgesamt ein Vorfaktor (−1) qAqB entsteht. 


2.1 Äußere Algebra 33 

2.1.3 p-Formen 

Im Gegensatz zum gewöhnlichen Tensorprodukt, mit dem völlig unterschiedliche Vektorräume 

verknüpft werden können, kann das Keilprodukt nur äußere Potenzen eines gemeinsamen Basisvektorraum 

V miteinander verknüpfen. Daraus folgt, dass die mit diesem Produkt gebildeten 

Tensoren entweder vollständig kontravariant oder vollständig kovariant sein müssen. Kovariante 

antisymmetrische Tensoren vom Rang p werden als p-Formen bezeichnet und werden in der 

Relativitätstheorie eine zentrale Rolle spielen. 

Das Keilprodukt ist auf p-Formen in analoger Weise definiert und sei hier noch einmal in 

Kurzform zusammengefasst: 

Antisymmetrie: α ∧ β = α ⊗ β − β ⊗ α 

Assoziativität: (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ) 

Vollständige Antisymmetrisierung: α1 ∧ ... ∧ αn = A [α1 ⊗ ... ⊗ αn] 

Linkslinearität: (λα + µβ) ∧ γ = λα ∧ γ + µβ ∧ γ 

Rechtslinearität: α ∧ (λβ + µγ) = λα ∧ β + µα ∧ γ 

Vertauschung: α ∧ β = (−1) pα p β β ∧ α 

Obwohl das Keilprodukt auf ∧V und ∧V ∗ in völlig symmetrischer Weise wirkt, ist in der Differentialgeometrie 

üblich, das Keilprodukt vorzugsweise auf p-Formen wirken zu lassen. 

2.1.4 Äußere Algebra 

Die Menge der faktorisierbaren p-Formen unter Hinzunahme aller Linearkombinationen bildet 

einen Vektorraum, der als äußere Potenz von V ∗ bezeichnet wird und für den die Notation 

�p(V ∗ � 

) verwendet wird. Dabei ist 

0(V ∗ � 

) = K = R und 

1(V ∗ ) = V ∗ . Das Keilprodukt bildet 

also �n (V ∗ � 

) und 

m(V ∗ � 

) nach 

n+m(V ∗ ) ab und setzt die Vektorräume damit untereinander in 

Beziehung. Analog zur Tensoralgebra (1.66) bildet Gesamtheit all dieser Vektorräume, also der 

Summenraum 

� �� 

∗ pV ∗ 

V := 

p 

(2.10) 

ausgestattet mit dem Keilprodukt die sogenannte äußere Algebra � V ∗ (auch Graßmann-Algebra 

genannt), d.h. einen in sich konsistenten Satz von Rechenregeln für antisymmetrische kovariante 

Tensoren. 

Die Antisymmetrie wirkt sich stark einschränkend auf die Dimension dieser Vektorräume aus. 

Dazu nehmen wir an, dass der zugrunde liegende Vektorraum V ∗ endlichdimensional ist und 

eine Basis {e 1 ,...,e n } besitzt. Wegen der Bilinearität lässt sich nämlich jeder antisymmetrische 

Tensor vom Rang q als Linearkombination von Basistensoren 

e i1 ∧ ... ∧ e iq 

darstellen, wobei i1,...,iq ∈ {1,2,...,n} ist. Diese sind aber nur dann ungleich Null, wenn die 

Indices paarweise verschieden sind; darüber hinaus gibt die Vertauschung von Indices ein Minuszeichen, 

so dass man eine geordnete Indexmenge1 ≤ i1 < i2 < ... < iq ≤ n voraussetzen 



kann. Folglich ist p ≤ n und der Raum der p-Formen besitzt die Dimension 

dim ��p � ∗ n! 

(V ) = 

p!(n − p)! = 

� � 

n 

. (2.11) 

p 

Beispiel: Auf dem R 3 gibt es drei linear unabhängige Basis-1-Formen e 1 ,e 2 ,e 3 , drei daraus gebildete 

2-Formen e 1 ∧e 2 , e 1 ∧e 3 , e 2 ∧e 3 , sowie eine 3-Form e 1 ∧e 2 ∧e 3 , die proportional zur Volumenform 

ist (siehe unten). 

Im Gegensatz zur gewöhnlichen Tensoralgebra ⊗, die es erlaubt, Tensoren beliebig hohen Ranges 

(also mit beliebig vielen Indices) zu erzeugen, schließt die äußere Algebra, d.h. es gibt nur 

endlich viele (nämlich 2 n ) linear unabhängige antisymmetrische Tensoren, deren Rang kleiner 

oder gleich der Dimension des zugrunde liegenden Vektorraums ist. 

2.1.5 Darstellung von p-Formen 

Im Abschnitt 1.5.5 auf S. 20 haben wir gesehen, dass sich in einer gegebenen Basis ein Tensor 

T vom Rang (q, p) mit den Komponenten T j1... jq 

i1...ip = T(e j1,...,e jq ; ei1 ,...,eip ) durch 

T = T j1... jq 

i1...ip e j1 ⊗ ... ⊗ e jq ⊗ ei1 ⊗ ... ⊗ eip darstellen lässt. Auf damit kompatible Weise lässt 

sich eine p-Form α, also ein kovarianter antisymmetrischer Tensor p-ter Stufe, mit den Komponenten 

= α(ei1 ,...,eip ) (2.12) 

darstellen als 

αi1...ip 

α = 1 

p! αi1...ip ei1 ∧ ... ∧ e ip . (2.13) 

Der einzige formale Unterschied besteht in dem Vorfaktor 1 

p! , mit dem die durch die Antisymmetrisierung 

hervorgerufene Doppelzählung kompensiert wird. 

Beispiele: 

• α ∧ β: 

Für zwei 1-Formen α = αie i und β = βie i ist α ∧ β = αiβ je i ∧ e j . Das konkrete Ergebnis ist 

stark von der Dimension des Basisvektorraums abhängig. In einer Dimension ist α ∧ β = 0, 

in zwei Dimensionen ist α ∧ β = (α1β2 − α2β1)(e 1 ∧ e 2 ), während in drei Dimensionen drei 

Terme mit einer kreuzproduktähnlichen Struktur entstehen: 

α ∧ β = (α1β2 − α2β1)(e 1 ∧ e 2 ) + (α1β3 − α3β1)(e 1 ∧ e 3 ) + (α2β3 − α3β2)(e 2 ∧ e 3 ) 

• α ∧ β ∧ γ: 

Das dreifache Keilprodukt verschwindet in einer und zwei Dimensionen. In drei Dimensionen 

erhält man α ∧ β ∧ γ = αiβ jγk e i ∧ e j ∧ e k = αiβ jγk ε i jk e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 , also 

α ∧ β ∧ γ = (α1β2γ3 − α1β3γ2 + α3β1γ2 − α3β2γ1 + α2β3γ1 − α3β2γ1) e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 

• (α ∧ β)(u ∧ v): 

Wendet man die (antisymmetrische) 2-Form α ∧β auf den (antisymmetrischen) 2-Vektor u∧v 

an, so erhält man 

(α ∧ β)(u ∧ v) = αiβ ju k v l (e i ∧ e j )(ek ∧ el) 

= αiβ ju k v l (e i ⊗ e j − e j ⊗ e i )(ek ⊗ el − el ⊗ ek) 

= αiβ ju k v l i j i j ji ji 

(δkl − δlk − δkl + δlk ) = (αiβ j − βiα j)(u i v j − v i u j ) 



Abbildung 2.1: Anschauliche Deutung der Wirkungsweise einer 1-Form (links) und einer 2-Form (Mitte) und der 

Volumenform (rechts), siehe Text. 

• Nicht-separable 2-Form: 

Die 2-Form γ := e 1 ∧ e 2 + e 3 ∧ e 4 ist nicht faktorisierbar, d.h. sie kann nicht in der Form γ = 

α ∧ β geschrieben werden. Wenn das nämlich so wäre, müsste α ∧ γ = α ∧ α ∧ β = 0 sein für 

alle 1-Formen α �= 0. Durch Ausrechnen erhält man aber 

α ∧ γ = α1 e 1 ∧ e 3 ∧ e 4 + α2 e 2 ∧ e 3 ∧ e 4 + α3 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 + α4 e 1 ∧ e 2 ∧ e 4 

was nur verschwindet, wenn α = 0 ist. 

2.1.6 Interpretation von p-Formen 

p-Formen im R n können als orientierte n − p-dimensionale Hyperflächen interpretiert werden. 

Die p Vektoren, die als Argumente in die p-Form gesteckt werden, spannen einen p-dimensionalen 

Parallelepiped auf, der die Hyperflächen durchdringt bzw. umschließt. Die “Anzahl” der 

durchdrungenen bzw. umschlossenen Hyperflächen ist die Zahl, die von der p-Form ausgegeben 

wird. Im R 3 sieht das konkret so aus (siehe Abb. 2.1): 

• Eine 0-Form ist ein Skalar. 

• Eine 1-Form im R 3 ist vorstellbar als eine raumausfüllende Staffelung paralleler Ebenen. 

Ein Vektor, auf den die 1-Form angewandt wird (grüner Pfeil), durchdringt eine bestimmte 

Anzahl dieser Ebenen. Diese Anzahl ist der Ergebniswert, den die 1-Form zurückgibt. 

• Eine 2-Form im R 3 ist vorstellbar als eine raumausfüllende Staffelung paralleler Stangen. 

Die zwei Vektoren, auf die die 2-Form angewandt wird, bilden ein Flächenelement (grünes 

Parallelogramm), das von bestimmten Schläuchen durchdrungen wird. Deren Anzahl ist 

der Ergebniswert. 

• Die 3-Form im R 3 ist die sogenannte Volumenform, die wir im folgenden Abschnitt genauer 

besprechen werden. Sie ist vorstellbar als eine regelmäßige Anordnung kleiner Zellen 

oder Kugeln. Die drei Vektoren, die als Argumente dienen, spannen ein Spatvolumen 

auf, das eine bestimmte Anzahl dieser Kugeln umschließt. Diese Anzahl ist der Ergebniswert 

der 3-Form. 

Bei einer faktorisierbaren 2-Form γ = α ∧ β kann man sich zunächst vorstellen, wie die beiden 

1-Formen als Staffelung paralleler Ebenen im Raum liegen. Da beide 1-Formen verschieden 

sein müssen (sonst wäre nämlich γ = 0) schneiden sich deren Ebenen und bilden damit eckige 

Schläuche bzw. Stangen. In der Elektrodynamik sind diese Schläuche nichts anderes als Feldlinien. 

2-Formen sind also das geeignete Instrument, um Feldlinien zu beschreiben. 



Eine faktorisierende 3-Form wird gebildeted aus drei 1-Formen, die jeweils als gestaffelte 

Ebenen mit unterschiedlicher Orientierung interpetierbar sind. Diese Ebenen unterteilen den 

Raum ist eckige Zellen. 

Bei dieser Interpretation ist zu beachten, dass die Diskretisierung in Ebenen, Stangen und Kugeln 

nur zur Anschauung dient und in Wirklichkeit kontinuierlicher Natur ist. Wichtig ist auch, 

dass man sich alle geometrischen Elemente orientiert vorstellen muss, z.B. haben die Stangen 

einen Drehsinn, der festlegt, ob sie beim Durchdringen des Flächenelements positiv oder negativ 

gezählt werden. Eine sehr ausführliche Diskussion der geometrischen Interpretation von 

p-Formen findet man in dem klassischen Buch von Misner, Thorne und Wheeler [7]. 

2.1.7 Volumenform ω 

In einem n-dimensionalen Vektorraum spielt die antisymmetrische kovariante n-Form 

Ω := e 1 ∧ e 2 ∧ ... ∧ e n 

(2.14) 

eine besondere Rolle, denn sie hat einerseits den höchstmöglichen Rang, andererseits gibt es bis 

auf Umskalierung nur eine einzige n-Form dieser Art, da ihr Vektorraum � n V ∗ wegen (2.11) 

eindimensional ist. 

Da sich die obige Definition auf eine bestimmte Basis bezieht, ist Ω darstellungsabhängig 

und deshalb nicht als abstrakte n-Form einsetzbar. Da es aber bis auf Umskalierung nur eine 

einzige n-Form gibt, kann sich Ω unter einer Basistransformation höchstens um einen Faktor 

ändern. Um diesen zu berechnen, untersuchen wir zunächst, wie sich Ω unter einem Basiswechsel 

transformiert. Dazu definieren wir die antisymmetrischen Levi-Civitá-Symbole mit unteren 

Indices 

εi1...in = 

⎧ 

⎪⎨ 1 wenn {i1 ...in} eine gerade Permutation von 1...n ist 

−1 wenn {i1 ...in} eine ungerade Permutation von 1...n ist (2.15) 

⎪⎩ 

0 andernfalls (wenn mindestens ein Index doppelt auftritt. 

Mit Hilfe dieser Symbole kann man bekanntlich die Determinante einer quadratischen Matrix 

Ai j schreiben als 

det(A) = ∑ εi1...in 

i1...in 

A1i1 ...An in . (2.16) 

Die Levi-Civitá-Symbole mit oberen Indices sind definiert als 

wobei 

ε i1...in = sεi1...in , (2.17) 

s = sgn � det(g) � = ±1 (2.18) 

das Vorzeichen der Determinanten von g ist, also das Produkt aller Vorzeichen der Signatur. 

Man kann zeigen, dass s eine Invariante unter Basistransformationen, also eine darstellungsunabhängige 

Größe ist. Im euklidischen R 3 ist s = 1, in der vierdimensionalen Relativitätstheorie 

dagegen ist s = −1. Der Grund für diese Definition wird in Kürze klar. 

Bemerkung: WICHTIG: εi1...in und εi1...in sind im allgemeinen keine Tensoren, denn ein Tensor 

ändert seine Komponenten unter Basistransformationen und kann deshalb keine konstanten Kompo- 

nenten besitzen. Deshalb bezeichnet man die εi1...in als Symbole. 



In der gestrichenen Basis des Dualraums e ′ j = M i j e j (siehe Abschnitt 1.46 auf S. 18) ist 

Ω ′ = e ′1 ∧ e ′2 ∧ ... ∧ e ′n 

= M 1 i1 M2 i2 ···Mn in ei1 ∧ e i2 ∧ ... ∧ e in (2.19) 

= M 1 i1 M2 i2 ···Mn in sεi1...in e 1 ∧ e 2 ∧ ... ∧ e n = det(M) Ω (2.20) 

d.h. die Determinante von M ist der gesuchte Faktor, um den sich Ω bei Basistransformationen 

ändert. 

Um die Basisabhängigkeit in der obigen Definition (2.14) zu beseitigen, ist es notwendig, 

Ω mit einem reziproken Korrekturfaktor zu multiplizieren, so dass sich det(M) herauskürzt. 

Hier bietet sich der metrische Tensor an, dessen Determinante sich auf ganz ähnliche Weise 

transformiert (siehe Abschnitt 1.90 auf S. 29), allerdings erscheint die Determinante von M 

quadriert im Nenner: 

Wir definieren deshalb die n-Form 

g → g ′ = 

g 

. (2.21) 

det(M) 2 

ω := � |g| e 1 ∧ ... ∧ e n . (2.22) 

Diese Definition ist invariant unter Basistransformationen, ist also in allen Basen gültig und 

damit darstellungsabhängig. Die Betragsstriche unter der Wurzel sind notwendig, da g bei nichteuklidischen 

Geometrien wie in der Relativitätstheorie negativ werden kann. 1 

Die Linearform ω = � |g|e 1 ∧ ... ∧ e n bezeichnet man als Volumenform. Wendet man nämlich 

ω auf n Vektoren, so erhält man das orientierte (d.h. vorzeichenbehaftete) Volumen des 

n-dimensionalen Parallelepipeds, den diese Vektoren aufspannen. 

Beweisskizze: Um das plausibel zu machen, betrachten wir einen von 

drei Vektoren a,b,c aufgespannten Parallelepiped im R3 (siehe Abbildung). 

Wegen der Invarianz von ω spielt die Wahl der Basis keine Rolle, 

so dass wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die orthonormale 

Standardbasis benutzen dürfen. In dieser Basis ist 

ω(a,b,c) = a i b j c k ω(ei,ej.ek) = a i b j c k � � 

� 

�a1 

b1 c1� 

� 

εi jk = � 

�a2 

b2 c2 

� 

� 

�a3 

b3 c3 

� 

das aus den drei Vektoren gebildete Spatprodukt, das bekanntlich gleich 

dem orientierten Volumen des Parallelepipeds ist. Das Vorzeichen ergibt 

sich dabei nach der ‘rechte-Hand-Regel’. 

Manchmal benötigt man auch den zu ω dualen kontravarianten Tensor ω ♯ , also den total antisymmetrischen 

n-Multivektor, den man durch Heben aller Tensorkomponenten erhält. Ein analoges 

Vorgehen wie oben führt hier zu 

ω ♯ = s 

� |g| e1 ∧ ... ∧ en , (2.23) 

wobei s wie oben das Vorzeichen der Determinante der Metrik ist. 

1 Die Volumenform ω wird in der Literatur auch häufig mit ε bezeichnet, was aber in Konflikt mit den Levi-Civitá- 

Symbolen geraten kann. Eine andere Notation ist, wie wir sehen werden, ⋆1, siehe Kap. 2.2.5. 



2.1.8 Darstellung der Volumenform 

Die Volumenform kann man schreiben als ω = 

ω die Komponenten 

√ |g| 

n! εi1...in ei1 ∧ ... ∧ e in , also besitzt der Tensor 

ωi1...in = � |g|εi1...in . (2.24) 

Der entsprechende duale Tensor kann geschrieben werden als ω♯ = 1 √ ε 

|g|n! i1...in ei1 ∧ ... ∧ ein , 

wobei εi1...in = sεi1...in ist. Folglich ist 

2.1.9 Kontraktion ι 

ω i1...in = 1 

�|g| ε i1...in . (2.25) 

Die Kontraktion antisymmetrischer Tensoren wird im Prinzip in gleicher Weise wie für allgemeine 

Tensoren durchgeführt. Allerdings ergeben sich bei antisymmtrischen Tensoren zwei 

Besonderheiten: 

- Es gibt keine gemischten antisymmetrischen Tensoren, es können also nur q-Multivektoren 

mit p-Formen kontrahiert werden. 

- Wegen der Antisymmetrisierung spielt es (bis auf Vorzeichen) keine Rolle, über welche 

Tensorkomponenten kontrahiert wird, denn die Bildung aller Permutationen stellt sicher, 

dass jede Tensorkomponente am Kontraktionsprozess teilnimmt. 

- Die gewöhnliche Kontraktion, wie sie in Abschnitt 1.5.9 auf S. 22 eingeführt wurde, liefert 

bei der Kontraktion kombinatorische Faktoren, z.B. ist C 1...n 

1...n (ω♯ ⊗ ω) = sn!. 

Aus diesen Gründen hat es sich bewährt, für die äußere Algebra einen eigenständigen Kontraktionsoperator 

einzuführen, der von der Notation besser angepasst ist und der die auftretenden 

kombinatorischen Faktoren automatisch kompensiert. Dieser Operator wird mit dem griechischen 

Buchstaben Iota (ι) bezeichnet und kontrahiert einen q-Multivektor A mit einer p-Form 

α, wobei vorausgesetzt wird, dass q ≤ p ist: 

ιAα := 1 1...q 

C1...q (A ⊗ α) (2.26) 

q! 

Merke: Der Iota-Operator kontrahiert q-Multivektoren mit p-Formen, wobei q ≤ p ist. Er unterschei- 

det sich von der gewöhnlichen Kontraktion um einen kombinatorischen Faktor 1/q!, wobei q die 

Anzahl der Indices ist, über die summiert wird. 

Beispiele: 

• Volumenform mit sich selbst: ιω♯ω = 1 n! C 1...n 

1...n (ω♯ ⊗ ω) = 1 n! 

√ 

|g| 

√ i1...inεi1...in ε = s = ±1 

|g| 

• Vektor X mit faktorisierbarer 2-Form: ιX(α ∧ β) = ιX(α ⊗ β − β ⊗ α) = (ιXα)β − α(ιXβ) 

• Vektor X mit fakt. 3-Form: ιX(α ∧ β ∧ γ) = (ιXα)(β ∧ γ) − (ιXβ)(α ∧ γ) + (ιXγ)(α ∧ β) 


2.2 Hodge-Dualität 39 

Man kann zeigen, dass die Kontraktion eines Vektors X ∈ V mit dem Keilprodukt zweier p- 

Formen α,β mit Rängen pα, p β durch 

ιX(α ∧ β) = (ιXα) ∧ β + (−1) pα α ∧ (ιXβ) (2.27) 

gegeben ist. Die Kontraktion verhält sich also formal wie eine vorzeichenbehaftete Produktregel. 

Interessant ist die Hintereinanderausführung verschiedener Kontraktion. Hier findet man 

ιX ◦ ιY = −ιY ◦ ιX . (2.28) 

Insbesondere ist ιX ◦ ιX = 0. Die Hintereinanderausführung von Kontraktionen angewandt auf 

antisymmetrische Tensoren verhält sich also formal in ähnlicher Weise wie das Keilprodukt. 

Beweisskizze: ιX ◦ ιX lässt sich interpretieren als ιX⊗X. Da X ⊗ X aber ein symmetrischer Tensor 

ist, ergibt die Kontraktion mit einem antisymmetrischen Tensor stets Null. Ebenso können sich die 

Tensoren X ⊗ Y und Y ⊗ X, jeweils kontrahiert mit dem selben antisymmetrischen Tensor, nur durch 

ein Vorzeichen voneinander unterscheiden. 

2.1.10 Darstellung der Kontraktion ι 

In einer gegebenen Basis {ei} kann Gl. (2.26) in Komponenten dargestellt werden durch 

also 

ιAα = 

1 

q!(p − q)! αi1...ip Ai1...iq e iq+1 ∧ ... ∧ e ip (2.29) 

[ιAα]iq+1...ip 

= 1 

q! αi1...ip Ai1...iq . (2.30) 

Hier sieht man, dass sich ιAα von der gewöhnlichen Kontraktion um den Faktor 1 

q! unterscheidet. 

2.2 Hodge-Dualität 

2.2.1 Anschauliche Beschreibung der Hodge-Dualität 

Die Hodge-Dualität (engl. Hodge-dual) ist jedem von uns bereits indirekt 

in Form des sogenannten Kreuzprodukts begegnet. Anstatt nämlich 

ein Flächenelement durch zwei aufspannende Vektoren a und b zu charakterisieren, 

kann man es mit Hilfe des Kreuzprodukts auf elegante 

Weise durch einen senkrecht darauf stehenden Vektor c = a × b darstellen. 

Es sind also nicht 6, sondern nur 3 Komponenten zur Beschreibung 

der Orientierung und Größe eines Flächenelements erforderlich. 

Die Hodge-Dualität beruht darauf, dass die äußeren Potenzen � p (V ∗ ) und � n−p(V ∗ ), also die 

linearen Räume der p-Formen und der n − p-Formen, wegen Gl. 2.11) die gleiche Dimension 

besitzen, d.h. 

dim �� p (V ∗ ) � = 

� � � � 

n n 

= = dim 

p n − p 

��n−p � ∗ 

(V ) 

(2.31) 

wobei n = dimV ∗ die Dimension des Basisvektorraums ist. Die Hodge-Dualität ist eine lineare 

invertierbare Transformation zwischen diesen Räumen und wird mit dem Symbol ⋆ notiert. 



Um das Hodge-Duale einer p-Form zu bilden, werden 

deren Eingänge mit einer Volumenform ω kontrahiert. 

Da die Volumenform ihrerseits n Eingänge besitzt, sind 

noch n − p Kanäle frei, die als Eingänge von ⋆α aufgefasst 

werden. Die Abbildung illustriert die Bildung 

des Hodge-Dualen einer 3-Form im R 4 , wodurch eine 

1-Form ⋆α entsteht. Die kurzgeschlossenen Verbindungen 

zwischen α und ω sind dabei so zu vestehen, dass 

hier eine Spurbildung stattfindet. 

2.2.2 Verallgemeinertes Skalarprodukt auf p-Formen 

Auf dem Raum der (antisymmetrischen) p-Formen � p (V ∗ ) kann man ein Skalarprodukt 

g ∗ p : � p (V ∗ ) × � p(V ∗ ) → R 

folgendermaßen definieren: Seien α = α (1) ∧ ... ∧ α (p) und β = β (1) ∧ ... ∧ β (p) zwei faktorisierbare 

p-Formen. Dann ist 

g ∗ p(α,β) := εi1i2...ip 

p 

∏ 

j=1 

g ∗ (α ( j) β (i j) ) = det � g ∗ (α (i) ,β ( j) )}. (2.32) 

Auf der rechten Seite steht die Determinante der aus den Zahlen g ∗ (α (i) ,β ( j) ) gebildeten p × p- 

Matrix. Man kann beweisen, dass das so definierte Produkt die Definitionseigenschaften eines 

Skalarprodukts erfüllt. Auch für nicht-faktorisierbare p-Formen ist das Skalarprodukt definiert, 

weil sich solche Formen immer als endliche Linearkombination faktorisierbarer Formen schreiben 

und mit Hilfe der Bilinearität auf die obige Form zurückführen lassen. In der Literatur wird 

das kleingestellte p von g ∗ p, oft auch der Stern weggelassen, weil der Rang der Argumente eindeutig 

festlegt, welches Skalarprodukt an dieser Stelle zu verwenden ist. 

Mit Hilfe des induzierten Skalarprodukts wird es beispielsweise möglich, die Norm einer 

p-Form ||α|| = � |g ∗ (α,α)| zu definieren oder zu sagen, wann zwei p-Formen “senkrecht” 

aufeinander stehen. Eine anschauliche Deutung ist nicht einfach. Immerhin erhält man für p = 1 

das normale Skalarprodukt g ∗ auf V ∗ . 

Beispiele: 

• Als Beispiel betrachten wir den R3 mit dem gewöhnlichen kartesischen Skalarprodukt. Die 2- 

Formen e1 ∧ e2 und e1 ∧ e3 können als Stangen in z- bzw. y-Richtung interpretiert werden. Das 

Skalarprodukt dieser beiden 2-Formen ist 

g ∗ (e 1 ∧ e 2 ,e 1 ∧ e 3 � 

� 

) = � 

� g∗ (e1 ,e1 ) g∗ (e1 ,e3 ) 

g∗ (e2 ,e1 ) g∗ (e2 ,e3 � 

� 

� 

) � = 

� 

� 

� 

� g11 g13 g21 g23 � 

� 

� 

� = 

� � 

� 

�1 

0� 

� 

�0 0� 

= 0, 

d.h. die beiden 2-Formen stehen tatsächlich “senkrecht” aufeinander. 

• Die durch das obige Skalarprodukt induzierte Norm der Volumenform im R3 ist 

||ω|| = � g∗ � 

(ω,ω) = |detg| g∗ (e1 ∧ e2 ∧ e3 , e1 ∧ e2 ∧ e3 � 

� 

�g 

) = � 

� 

� 

11 g12 g13 g21 g22 g23 g31 g32 g33 � 

� 

� 

� 

� = 1. 

� 



Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass sich die Hintereinanderausführung von Kontraktionen 

(angewandt auf antisymmetrische Tensoren) formal wie ein Keilprodukt verhält. Mit 

Hilfe des verallgemeinerten Skalarprodukts lässt sich zeigen, dass beide Verknüpfungen tatsächlich 

dual zueinander sind. Sei dazu α eine 1-Form, β eine p-Form und γ eine p + 1-Form. Dann 

ist 

g ∗ (α ∧ β,γ) = g ∗ (β,ι α ♯γ) (2.33) 

Beachten Sie, dass auf der linken Seite das Skalarprodukt zweier p + 1-Formen, auf der rechten 

Seite dagegen das Skalarprodukt zweier p-Formen steht. 

Beweisskizze: Um uns davon zu überzeugen, betrachten wir den Fall p = 1 und nehmen an, dass 

γ = η ∧ ρ faktorisierbar ist. Dann ist die linke Seite 

g ∗ (α ∧ β,η ∧ ρ) = g ∗ (α,η)g ∗ (β,ρ) − g ∗ (α,ρ)g ∗ (β,η) = α i ηiβ j ρ j − α i ρiβ j η j 

Wegen ι α ♯(η ∧ ρ) = [α ♯ (η)]ρ − [α ♯ (ρ)]η ergibt sich für die rechte Seite 

g ∗ (β,ι α ♯(η ∧ ρ)) = [α ♯ (η)]g ∗ (β,ρ) − [α ♯ (ρ)]g ∗ (β,η) = α i ηiβ j ρ j − α i ρiβ j η j 

Beide Seiten sind also gleich. 

2.2.3 Darstellung des verallgemeinerten Skalarprodukts 

Seien 

α = 1 

p! αi1...ip ei1 ∧ ... ∧ e ip , β = 1 

p! β j1... jp e j1 ∧ ... ∧ e jp , (2.34) 

zwei p-Formen. Dann ist laut Gl. (2.32) das verallgemeinerte Skalarprodukt gegeben durch 

g ∗ (α,β) = 

= 

= 

1 

(p!) 2 αi1...ip β j1... jp g∗ (e i1 ip j1 jp ∧ ... ∧ e , e ∧ ... ∧ e ) 

� �� 

=detkl(g∗ (eik ,e jl )) 

1 

(p!) 2 αi1...ip β j1... jp εk1...kp 

p 

∏ g 

r=1 

ir jkr 

1 

(p!) 2 α jk ... jkr 

1 

1 β j1... jp εk1...kp = 

p! α j1... jp β j1... jp = ια♯β 2.2.4 Hodge-Dualität auf der Basis des verallgemeinerten Skalarprodukts 

(2.35) 

Hinter der Tatsache, dass ιX ◦ ιY = −ιY ◦ ιX ist, dass also Kontraktionen hintereinander ausgeführt 

formal wie ein Keilprodukt funktionieren, steht eine besondere Symmetrie der äußeren 

Algebra, die Hodge-Dualität genannt wird. Um die Hodge-Dualität, die nicht mit der ‘normalen’ 

Dualität V ↔ V ∗ verwechselt werden darf, zu verstehen, brauchen wir zuerst einen Hilfssatz: 

Lemma: Sei V ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt g und f : V → R eine 

gegebene lineare Funktion. Dann existiert ein eindeutiges u ∈ V so dass 

f (v) = g(v,u) ∀v ∈ V (2.36) 

Beweis: In einer Orthonormalbasis ist f (ei) = g(ei,u) = gi ju j . Von links multipliziert man die inverse 

Matrix g ki und erhält so u k = g ki f (ei), also u = g ki f (ei)e j. 



Bemerkung: Sie kennen dieses Lemma vielleicht schon als Satz von Riesz aus der Quantenmechanik: 

Für jedes lineare Funktional F[ψ] auf einer Wellenfunktion ψ existiert eine andere Wellenfunktion φ, 

so dass F[ψ] = 〈φ|ψ〉 ist. 

Dieser Satz gilt in jedem Vektorraum und wir wenden ihn nun auf ∧ p V ∗ mit dem dazugehörigen 

verallgemeinerten Skalarprodukt an. Sei α eine fest gewählte p-Form und β eine beliebige n − 

p-Form. Folglich ist α ∧ β eine n-Form. Da der Raum ∧ n V ∗ eindimensional ist, muss α ∧ β 

proportional zur Volumenform sein (siehe 2.1.7), d.h. 

α ∧ β = fα(β)ω , (2.37) 

wobei fα eine lineare Funktion ist. Laut Lemma existiert dann eine eindeutige n − p-Form γ, so 

dass fα(β) = g ∗ (β,γ), also 

α ∧ β = g ∗ (β,γ)ω ∀β (2.38) 

Jeder p-Form α wird damit auf eindeutige Weise eine n − p-Form γ zugeordnet. In der Tat sind 

die Dimensionen der entsprechenden Vektorräume 

dim �� p (V ∗ ) � = 

� � 

n 

, dim 

p 

�� 

n−p � ∗ n 

(V ) = , (2.39) 

n − p 

identisch, da die Binomialkoeffizienten invariant unter der Ersetzung p ↔ n − p sind. 

Beispiel: Um diese Konstruktion zu verstehen, betrachten wir den R 3 mit kartesischen Koordinaten. 

Gegeben sei eine 1-Form α und eine 2-Form β mit den Darstellungen 

Dann ist 

α = α1e 1 + α2e 2 + α3e 3 

(2.40) 

β = β12(e 1 ∧ e 2 ) + β13(e 1 ∧ e 3 ) + β23(e 2 ∧ e 3 ). (2.41) 

α ∧ β = α1β23 (e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) + α2β13 (e 2 ∧ e 1 ∧ e 3 ) + α3β12 (e 3 ∧ e 1 ∧ e 2 = 

) (2.42) 

� � 

α1β23 − α2β13 + α3β12 e 

� �� 

= fα (β) 

1 ∧ e 2 ∧ e 3 . 

Laut Lemma existiert eine 2-Form γ = γ12(e1 ∧ e2 ) + γ13(e1 ∧ e3 ) + γ23(e2 ∧ e3 ) so dass g∗ 2 (γ,β) = 

fα(β) ist. Das verallgemeinerte Skalarprodukt auf 2-Formen ist z.B. gegeben durch 

g ∗ 2 (e1 ∧ e 2 ,e 1 ∧ e 2 � 

� 

) = � 

� g∗ (e1 ,e1 ) g∗ (e1 ,e2 ) 

g∗ (e2 ,e1 ) g∗ (e2 ,e2 � 

� 

� 

) � = 

� � 

� 

�1 

0� 

� 

�0 1� 

= 1 

und analog durch g ∗ 2 (ei ∧ e j ,e k ∧ e l ) = δ ik δ jl für i �= j. Wir erhalten deshalb 

g ∗ 2 (γ,β) = fα(β) = γ12β12 + γ13β13 + γ23β23 

Durch Koeffizientenvergleich erhält man γ12 = α1 ,γ13 = −α2 und γ23 = α3, womit die antisymmetrische 

2-Form γ vollständig bestimmt ist. 

Bemerkung: Aus der Elektrodynamik wissen Sie, dass es in vielen Fällen praktisch ist, ein orientiertes 

Flächenelement (∼ 2-Form) durch einen Vektor (∼ 1-Form) auszudrücken, der darauf senkrecht 

steht und dessen Betrag dem Flächeninhalt entspricht. Der Hodge-Dualität vermittelt zwischen diesen 

beiden gleichwertigen Beschreibungsweisen, verallgemeinert auf beliebige p-Formen in n Dimensionen. 



2.2.5 Hodge-Stern-Operator ⋆ 

Um die Hodge-Dualität zu formalisieren, führt man einen speziellen Operator ⋆ ein, der eine 

p-Form auf eine n − p-Form abbildet. Dieser sogenannte Hodge-Stern-Operator ist definiert als 

Abbildung ⋆ : � p (V ∗ ) → � n−p(V ∗ ) : α ↦→ ⋆α mit 

⋆α := ι α ♯ω (2.43) 

wobei ω die oben eingeführt Volumenform ist. Der Hodge-⋆-Operator ist also eine lineare Operation. 

Da sowohl der musikalische Isomorphismus ♯ als auch die Volumenform vom metrischen 

Tensor abhängen, bezieht sich der Hodge-Stern-Operator per Definition immer auf eine 

bestimmte Metrik. 

Beweis: In der Nomenklatur des vorangegangenen Abschnitts ist ⋆α = s|detg|γ. Unter Ausnutzung 

der Beziehung (2.33) erhält man 

g ∗ (β,γ)ω = g∗ (β,ι α ♯ω)ω 

s|detg| 

d.h. die Definition ist kompatibel mit Gl (2.38). 

= g∗ (α ∧ β,ω)ω 

s|detg| 

2.2.6 Darstellung des Hodge-Stern-Operators ⋆ 

In einer gegebenen Basis {ei} wird die p-Form α durch 

dargestellt. Den dazu dualen Vektor 

= α ∧ β g∗ (ω,ω) 

s|detg| 

= α ∧ β 

α = 1 

p! αi1...ip ei1 ∧ ... ∧ e ip (2.44) 

α ♯ = 1 

p! αi1...ip ei1 ∧ ... ∧ eip 

(2.45) 

erhält man durch das Heben der Indices von α. Folglich ist 

⋆α = ι α ♯ω = 

Die n − p-Form ⋆α hat also die Komponenten 

1 � 

|g|εi1...in 

p!(n − p)! 

αi1...ip ip+1 in e ∧ ... ∧ e . (2.46) 

[⋆α]ip+1...in 

1 � 

= |g|εi1...in 

p! 

αi1...ip (2.47) 

Man kann auf diese Weise beispielsweise die Komponenten von ⋆ ⋆ α 

[⋆ ⋆ α]in−p+1...in = 

|g| 

p!(n − p)! εi1...in gi1 jp+1 ···g in−p jn ε j1... jn g j1k1 ···g jpkp αk1...kp 

berechnen, woraus mit etwas Geduld folgt, dass ⋆ ⋆ α = ±α ist. 


(2.48)


2.2.7 Eigenschaften des Hodge-Stern-Operators ⋆ 

Das Hodge-Duale zu einem Skalar ist die Volumenform 

⋆1 = ω . (2.49) 

In manchen Büchern wird deshalb die Volumenform nicht mit ω sondern mit ⋆1 bezeichnet. 

Umgekehrt ist das Hodge-Duale der Volumenform gegeben durch 

⋆ω = ι ω ♯ω = s 

n! (e1 ∧ ... ∧ e n )(e1 ∧ ··· ∧ en) = s = ±1. (2.50) 

Durch Auswertung von Gl. (2.48) kann man zeigen, dass 

⋆ ⋆ α = s(−1) p(n−p) α ⇒ ⋆ 2 = ⋆⋆ = ±1 (2.51) 

ist, d.h. der ⋆-Operator ist bis auf ein Vorzeichen eine Involution. 

Wie bereits bei der Einführung der Hodge-Dualität gezeigt wurde, ist die Hodge-Abbildung 

eng mit dem verallgemeinerten Skalarprodukt verbunden. Man kann z.B. Gl. (2.38) in der Form 

α ∧ ⋆β = g ∗ (α,β)ω (2.52) 

schreiben, wobei α und β zwei beliebige p-Formen sind. Umgekehrt kann man das verallgemeinerte 

Skalarprodukt auch mit Hilfe von ∧ und ⋆ ausdrücken durch 

g ∗ (α,β) = s ⋆ (α ∧ ⋆β) (2.53) 

2.2.8 Hodge-Stern-Operator in orthonormalen Basen 

Wie bereits zuvor hervorgehoben, bezieht sich die Hodge-Dualität auf eine gegebene Metrik g, 

man findet deshalb in einigen Büchern auch die Notation ⋆g. Die Abhängigkeit von der Metrik 

ist z.B. daran zu erkennen, dass die Determinante von g in den Formeln explizit auftritt. Aus 

diesem Grund werden die Rechenregeln für das ⋆-Produkt besonders einfach, wenn man in einer 

orthonormalen Basis arbeitet. In diesem Fall wird nämlich das Hodge-Duale einer p-Form mit 

Hilfe der komplementären Basisformen gebildet. So ist z.B. 

⋆(e 1 ∧ ... ∧ e p ) = e p+1 ∧ ... ∧ e n . ({e i } orthonormal) (2.54) 

Wenn die linke Seite nicht aus den ersten p, sondern aus einer beliebigen Folge von p Basisvektoren 

besteht, gilt 

⋆(e i1 ∧ ... ∧ e ip ) = ±e ip+1 ∧ ... ∧ e in , ({e i } orthonormal) (2.55) 

wobei sich das Vorzeichen danach richtet, ob (i1,...,in) eine gerade oder ungerade Permutation 

von 1,...,n ist. 

Beispiele: 

• Im R 2 mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt g = diag(1,1) und orthonormaler Standardbasis 

gilt 

⋆1 = e 1 ∧ e 2 ; ⋆e 1 = e 2 ; ⋆e 2 = −e 1 ; ⋆(e 1 ∧ e 2 ) = 1 

• Im R 3 mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt g = diag(1,1,1) und orthonormaler Standardbasis 

gilt 

⋆1 = e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ; ⋆e 1 = e 2 ∧ e 3 ; ⋆e 2 = −e 1 ∧ e 3 ; ⋆e 3 = e 1 ∧ e 2 

⋆(e 1 ∧ e 2 ) = e 3 ; ⋆(e 1 ∧ e 3 ) = −e 2 ; ⋆(e 2 ∧ e 3 ) = e 1 ; ⋆(e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) = 1 



2.2.9 Selbstdualität 

Eine Form α heisst selbstdual bezüglich der Hodge-Operation falls 

⋆α ∝ α , (2.56) 

wenn also die Form eine Art Eigenvektor von ⋆ ist. Selbstduale Formen haben ein hohes Maß 

an Symmetrie. Obwohl wir hier Selbstdualität nur der Vollständigkeit halber einführen wollen, 

sei darauf hingewiesen, dass es eine selbstduale Formulierung der ART gibt, die sich in der 

aktuellen Forschung immer mehr durchsetzt. 

Da der Hodge-Operator p-Formen auf n − p-Formen abbildet, müssen selbstduale Formen 

zwangläufig den Grad p = n/2 haben, wobei n die Dimension des Basisvektorraums ist. Selbstduale 

Formen können also nur in Vektorräumen mit geradzahliger Dimension existieren. Damit 

reduziert sich Gl. (2.51) zu 

⋆ ⋆ α = sα , (2.57) 

wobei s = sgn(det{gi j}) ist. Man unterscheidet also folgende Fälle 

Riemann (s = 1) Lorentz (s = −1) 

selbstdual ⋆α = α ⋆α = iα 

antiselbstdual ⋆α = −α ⋆α = −iα 

Die niedrigste Dimension, in der Selbstdualität auftreten könnte, ist n = 2, doch kann man leicht 

zeigen (Übung), dass selbstduale 1-Formen im R 2 nicht existieren, da die entsprechenden Gleichungen 

keine solchen Lösungen besizten. Interessant ist die Selbstdualität also erst in vierdimensionalen 

Räumen. Als Beispiel betrachten wir den euklidischen R 4 . Das Hodge-Duale einer 

2-Form α ist hier in Komponenten durch 

[⋆α]i j = 1 

2 εi jklα kl = 1 

2 εi jklη km η ln αnm 

(2.58) 

gegeben. Fasst man die Komponenten der antisymmetrischen 2-Form α als 6-komponentigen 

Vektor auf, kann die ⋆-Operation eine lineare Abbildung in Form einer 6×6-Matrix interpretiert 

werden. Als Eigenwerte findet man (−1,−1,−1,1,1,1). Im R 4 gibt es also drei selbstduale und 

drei antiselbstduale Formen. 

Rechnung: Nachprüfen mit Mathematica R○ 

map={{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}} 

M=Table[Signature[Join[map[[i]],map[[j]]]],{i,1,6},{j,1,6}] 

M//Eigenvalues 

Diese sechs 2-Formen haben die Gestalt 

e 1 ∧ e 2 ± e 3 ∧ e 4 , e 1 ∧ e 3 ± e 2 ∧ e 4 , e 1 ∧ e 4 ± e 2 ∧ e 3 . (2.59) 

Da die zweite äußere Potenz � 2 (R 4 ∗ ) , d.h. der Raum aller 2-Formen auf dem R 4 ebenfalls 

sechsdimensional ist, sieht man sofort, dass diese sechs 2-Formen den gesamten Raum aller 

2-Formen aufspannen. Demzufolge ist es möglich, jede 2-Form als Summe eines selbstdualen 

und eines antiselbstdualen Anteil auszudrücken, ähnlich wie man jede Matrix als Summe einer 



symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix ausdrücken kann. Es gibt dementsprechend 

zwei Projektoren 

P ± = 1 

(� ± ⋆) (2.60) 

2 

mit P + + P− = � und der Komponentendarstellung 

wobei 

P ± kl 

i j 

= 1 

2 (I 

kl 

i j ± ε kl 

i j , (2.61) 

kl 

Ii 

j = 1 k 

(δi δ 

2 l j − δ k j δ l 

i ) (2.62) 

die antisymmetrisierte identische Abbildung im Raum � 2 (R 4 ∗ ) ist. 

2.3 Funktionen, Koordinatensysteme und Differentialformen 

Bisher haben wir uns mit der Struktur von Vektorräumen und den darauf definierten Linearformen 

befasst. Sowohl in der nichtrelativistischen Physik als auch in der speziellen Relativitätstheorie 

lassen sich Raum und Zeit per se als Vektorräume auffassen, d.h. die Punkte der Raumzeit 

werden durch Orts- bzw. Vierervektoren charakterisiert. Doch spätestens in der allgemeinen 

Relativitätstheorie, in der Raum und Zeit zu einem gekrümmten dynamischen Objekt werden, 

versagt dieses Konzept. Die Raumzeit wird dann zu einer sogenannten Mannigfaltikeit – einer 

Menge von Punkte, die global keine Vektorraumstruktur besitzt, sodass die Punkte auf dieser 

Mannigfaltigkeit nicht mehr durch Vektoren beschrieben werden können. Lokal sieht die Raumzeit 

allerdings immer noch wie ein ebener Vektorraum aus, ähnlich wie die Meeresoberfläche auf 

sehr kleinen Distanzen stets wie ein R 2 aussieht. Vektoren können deshalb verwendet werden, 

um Richtungen anzugeben. 

In diesem Kapitel werden wir uns zwar noch nicht mit gekrümmten Mannigfaltigkeiten, sondern 

vorerst noch weiterhin mit flachen Räumen befassen, genauer gesagt mit offenen zusammenhängenden 

Teilmengen U ⊂ R n . Um aber den Übergang zu gekrümmten Mannigfaltigkeiten 

zu erleichtern, wollen wir von der Vektorraumstruktur in U möglichst keinen Gebrauch machen. 

Konkret bedeutet das, dass wir die Punkte p ∈ U nach Möglichkeit nicht als Vektoren auffassen 

wollen, sie also nicht wie Vektoren addieren, subtrahieren, oder skalar multiplizieren. 

2.3.1 Skalare Funktionen, Kurven und Richtungsableitung 

Skalare Funktion: 

Eine skalare Funktion ist eine Abbildung f : U → R, die jedem Punkt p ∈ U eine Zahl fp 

zuordnet. Wir wollen im folgenden immer voraussetzen, dass f in einem noch zu präzisierenden 

Sinne stetig differenzierbar ist. Die Abbildung f darf aber durchaus nichtlinear sein. 

Herkömmliche Richtungsableitung: 

Da U im allgemeinen mehrdimensional ist, ist die Änderung einer Funktion von der gewählten 

Richtung abhängig. Normalerweise würde man dazu im R n die Richtungsableitung der Funktion 

f im Punkt u ∈ U in Richtung v durch 

f (u + µv) − f (u) 

∇v f (u) = lim 

µ→0 µ 


(2.63)

2.3 Funktionen, Koordinatensysteme und Differentialformen 47 

definieren. Diese Definition macht aber expliziten Gebrauch von der Vektorraumstruktur von U, 

indem sie einen Punkt u um das Stück µv verschiebt. Nach den oben formulierten Spielregeln 

wollen wir aber davon möglichst keinen Gebrauch machen. Wir suchen deshalb eine alternative 

Möglichkeit zur Definition einer Richtungsableitung. 

Kurven: 

Einen möglichen Ausweg bieten parametrisierte Kurven, d.h. Abbildungen c : R → U, die einem 

Parameter λ ∈ (a,b) ⊂ R einen Punkt c(λ) ∈ U zuordnen. Auch von dieser Abbildung wollen 

wir annehmen, dass sie zusammenhängend und stetig differenzierbar ist, was anschaulich bedeutet, 

dass die Kurve aus einem Stück besteht und glatt ist, also keine Ecken hat. 

Um eine Richtungsableitung im Punkt p ∈ U zu definieren, betrachten wir nun eine Kurve c, 

die durch p läuft (siehe Abb. 2.2), wobei die Parametrisierung so gewählt ist, dass c(0) = p 

ist. Die verkettete Abbildung f ◦ c ist dann eine Abbildung R → R, die auf ganz gewöhnliche 

Weise ohne Gebrauch von Vektoren differenziert werden kann. Wir benutzen also eine Kurve 

statt eines Vektors, um eine Richtung anzugeben und die entsprechende Richtungsableitung zu 

definieren: 

∇c fp := d 

dλ 

� 

� 

f (c(λ)) � 

� λ=0 

(2.64) 

Richtungsableitung: 

Die so definierte Richtungsableitung ∇c hängt offenbar nur davon ab, in welcher Richtung und 

mit welcher Geschwindigkeit bezüglich ihres Parameters die Kurve c den Punkt p durchquert, 

nicht dagegen von der Form und Geschwindigkeit der Kurve außerhalb von p. Zwei Kurven sind 

also in diesem Sinne äquivalent im Punkt p, wenn sie für alle Funktionen jeweils die gleiche 

Richtungsableitung ergeben: 

c ∼ p c ′ 

⇔ ∇c fp = ∇c ′ fp ∀ f . (2.65) 

Eine Richtungsableitung in p ist also eine Äquivalenzklasse von Kurven [c]p, die wir im Vorgriff 

auf die Differentialgeometrie mit Großbuchstaben Xp bezeichnen wollen: 

Xp := [c]p . (2.66) 

Wendet man diese Richtungsableitung auf eine Funktion an, so erhält man 

� 

, (2.67) 

Xp f = ∇c fp� 

c∈Xp 

wobei die Kurve c ein beliebiger Repräsentant von Xp ist. 

Tangentialraum: 

Man kann zeigen, dass die Richtungsableitungen Xp einen linearen Vektorraum bilden, der als 

Abbildung 2.2: Eine glatte Kurve c : R → U, die durch den Punkt p läuft, ermöglicht die Definition einer Richtungsableitung 

∇c fp der Funktion f : U → R im Punkt p entlang dieser Kurve (siehe Text). 



Tangentialraum TpU bezeichnet wird. Für den hier betrachteten Fall U ⊂ Rn ist das offensichtlich, 

weil jeder Kurve durch p ein Geschwindigkeitsvektor v = d 

dλ c(λ)| λ=0 zugeordnet werden 

kann, – der Addition oder Skalarmultiplikation von Richtungsableitungen entspricht also die 

Addition und Skalarmultiplikation solcher Geschwindigkeitsvektoren. Wie wir sehen werden, 

wird das Konzept des Tangentialraums auch für gekrümmte Mannigfaltigkeiten funktionieren, – 

auch dort ist nämlich der Tangentialraum ein linearer Vektorraum. 

Wichtig ist zunächst, dass wir uns an eine neue Sichtweise gewöhnen, die in der Differentialgeometrie 

üblich ist: 

Die Vektoren des Tangentialraums TpU sind Richtungsableitungen. 

Bemerkung: Vektoren sind Ableitungen – das ist für Neueinsteiger nicht leicht zu akzeptieren. Wir 

müssen uns jedoch daran gewöhnen, dass Vektoren nicht mehr Distanzen zwischen Punkten angeben. 

Ein Vektor ist lediglich eine Richtungsangabe kombiniert mit einer Zahl (Betrag des Vektors). Das 

einzige, was man mit solch einem Vektor machen kann, ist die Bildung einer Richtungsableitung, also 

zu fragen, wie sich z.B. eine Koordinate oder eine Funktion ändert, wenn man in die entsprechende 

Richtung geht. Deshalb darf man den Vektor ohne Bedenken mit der ihm zugeordneten Richungs- 

ableitung identifizieren. 

Vektorfelder: 

Eine Richtungsableitung Xp ∈ TpU ist definiert in einem bestimmten Punkt p. In der Regel ist 

die Richtungsableitung nicht nur in einem einzigen Punkt, sondern auf ganz U erklärt. In diesem 

Fall spricht man von einem Vektorfeld, das mit X bezeichnet wird. Lässt man dieses Vektorfeld 

auf eine Funktion f wirken, erhält man eine neue Funktion X f mit X f |p = Xp f . 

Gemäß der neuen Sichtweise wirkt ein Vektorfeld X auf Funktionen, indem es an jedem Punkt 

die entsprechende Richtungsableitung durchführt. Das Vektorfeld X ist also ein linear Operator 

X(λ f + µg) = λX f + µXg ( f ,g Funktionen; λ,µ ∈ R) (2.68) 

der auf Produkte von Funktionen die Leibniz-Regel (Produktregel) erfüllt: 

2.3.2 Differentiale 

Die Ableitung einer skalaren Funktion f im Punkt 

x0 ist bekanntlich eine lineare Approximation der 

Funktion in der Umgebung von x0: Wenn man sich 

ein kleines Stück in Richtung dx bewegt, ändert 

sich die Funktion in linearer Näherung um d f = 

f ′ (x0)dx. Dabei sind d f und dx infinitesimale Differentiale. 

In höherdimensionalen Räumen ergibt sich 

d f = ∇ f · dx, wobei ∇ f der Gradient von f ist. 

X( f g) = f Xg + gX f . (2.69) 

Unendlich kleine Vektoren – von dieser eigenartigen jedoch über die Jahre liebgewonnenen 

Vorstellung infinitesimaler Größen werden wir uns nun verabschieden müssen. An ihre Stelle 

tritt eine Interpretation, die mit den oben eingeführten abstrakten Richtungsvektoren X ∈ TpU 



kompatibel ist. Die unterschiedliche Denkweise ist schematisch in der folgenden Abbildung 

skizziert: 

• Auf der linken Seite ist die traditionelle Denkweise dargestellt: Ausgangspunkt ist hier 

eine Funktion f (x), also eine direkte Abbildung von einer Koordinate x auf einen Funktionswert. 

Man stellt dann die Frage, wie sich f bei einer Änderung von x ändert. Für große 

Änderungen kann dieser Zusammenhang nichtlinear sein, aber für infinitesimal kleine 

Änderungen dx wird die infinitesimal kleine Änderung d f linear von dx abhängen. 

• Die rechte Seite zeigt die Sichtweise der Differentialgeometrie: Ausgangspunkt ist hier 

der abstrakte ‘physikalische’ Raum U. Auf diesem Raum sind zwei Funktionen definiert: 

Eine Funktion f : U → R und eine Koordinatenfunktion x : U → R. Jedem Punkt p wird 

damit ein Funktionswert fp und eine Koordinate xp zugeordnet. Um zu untersuchen, wie 

sich diese Funktionen lokal ändern, bildet man von beiden die Richtungsableitung. 

Wir lassen nun eine Richtungsableitung Xp auf diese beiden Funktionen wirken und definieren 

d f (Xp) := Xp f dx(Xp) := Xpx (2.70) 

Diese beiden Größen beschreiben, wie sich die Funktion f bzw. die Koordinate x in linearer 

Näherung ändern, wenn man am Punkt p in Richtung Xp geht. Wie man sehen kann, sind die 

Differentiale d f und dx hier keine infinitesimalen Größen mehr, sondern lineare Funktionen auf 

Richtungsvektoren, d.h. lineare Abbildungen TpU → R. Sie sind demzufolge Elemente des zu 

TpU dualen Vektorraums, des sogenannten Kotangentialraums T ∗ p U: 

Differentiale sind 1-Formen des Kotangentialraums T ∗ p U. 

Differentiale sind also lineare Abbildungen, die abstrakte Richtungsvektoren Xp ∈ TpU auf Zahlen 

abbilden. Das Differential d f einer Funktion f ist durch d fp(Xp) = Xp f punktweise definiert. 

Für die Gesamtheit aller Punkt schreibt man kurz 

wobei X ein Vektorfeld und d f ein Feld von 1-Formen ist. 

d f (X) = X f (2.71) 

Bemerkung: Aus der neuen Perspektive ist die Schulbuchmathematik eine Vereinfachung, die darin 

besteht, dass man den Umweg über U und TpU weglässt und stattdessen direkt die verkettete 

Abbildung f ◦ x −1 : R → R : x ↦→ f (x) := f (p(x)) untersucht (senkrechter Pfeil in der Abbildung). 

Allerdings steht dann der Tangentialraum nicht zur Verfügung und damit hat man im Prinzip keine 

Möglichkeit, eine Richtung anzugeben. Dieses Problem umgeht man, indem man Richtungen durch 

die Komponenten unendlich kleiner Vektoren, sogenannter infinitesimale Differentiale dx, repräsentiert. 

Dies ist der Preis, den man zahlen muss, wenn man auf die Definition eines Tangentialraums 

verzichten möchte. 



Abbildung 2.3: Ein Koordinatensystem S bildet die ‘Realität’ (links) bijektiv auf eine Karte (rechts) ab. Dazu 

wird jedem Punkt p ∈ U ein Punkt x ∈ R 2 auf der Karte zugeordnet. Dieses Beispiel zeigt die 

uns wohlbekannten Polarkoordinaten und veranschaulicht, wie ein ‘Haus vom Nikolaus’ auf der 

Karte dargestellt wird. Jeder Punkt p ∈ U wird dabe eindeutig auf x 1 = r und x 2 = ϕ abgebildet. 

Die Netzlinien erhält man, wenn man eine Koordinate variiert und die anderen festhält. 

Merke: Übersicht Notationen: 

f Funktion U− > R 

fp Funktionswert am Punkt p 

Xp Richtungsvektor im Punkt p 

Xp f Ableitung von f in Richtung X im Punkt p 

X Richtungsvektorfeld 

X f Ableitung von f entlang des Richtungsvektorfeldes 

d fp Differentialform von f im Punkt p, bildet Richtungsvektoren auf Zahlen ab 

d fp(Xp) Änderung von f in linearer Näherung in Richtung X 

d f Feld der Differentialformen von f auf U 

dxp Differentialform von x im Punkt p, bildet Richtungsvektoren auf Zahlen ab 

dx(X) Änderung der Koordinate x in linearer Näherung in Richtung X 

dxp(Xp) Änderung der Koordinate x in linearer Näherung in Richtung X im Punkt p 

2.3.3 Koordinatensysteme 

Ein Koordiantensystem S ist ein Satz von n stetig differenzierbaren Funktionen x i :U → R, die jedem 

Punkt p ∈ U auf eindeutige Weise Koordinaten x i (p) ∈ R zuordnen, wobei n wie immer die 

Dimension des Raums ist. Wenn man die Koordinaten x i (p) zu einem Vektor x(p) ∈ R n zusammenfasst, 

kann man ein Koordinatensystem auch als stetig differenzierbare Bijektion S : U → R n 

interpretieren, also gewissermaßen als invertierbare Abbildung vom physikalischen Raum auf 

eine Landkarte. Die dazu inverse Abbildung S −1 bezeichnen wir mit p(x) = p(x 1 ,...,x n ). 

Abb. 2.3 zeigt die uns wohlbekannten Polarkoordinaten. In diesem Koordinatensystem wird 

jedem Punkt p ∈ U ein Radius x 1 = r und ein Winkel x 2 = ϕ zugeordnet. Auf der entsprechenden 

Karte sieht die ‘Realität’, z.B. das links gezeigte Haus vom Nikolaus, stark verzerrt aus. 

Insbesondere scheinen die Kanten des Hauses gekrümmt zu sein. 

Ein Koordinatensystem stellt man wie in Abb. 2.3 durch ein Netz von Linien dar. Diese Linien 

erhält man, wenn man eine Koordinate variiert und die anderen dabei festhält. Ist p ∈U ein Punkt 

und x(p) der entsprechende Punkt auf der Karte, dann sind diese Linien durch 

c j(λ) = p(x 1 ,...,x j−1 , x j + λ ,x j+1 ,...,x n ) (2.72) 



gegeben. Diese Netzlinien auf U können gekrümmt sein, wie das Beispiel der Polarkoordinaten 

demonstriert, während sie in der Karte als parallele Geraden erscheinen. 

2.3.4 Koordinatenbasis 

Jede dieser Netzlinien c j ist eine Kurve auf U und repräsentiert damit eine Richtungsableitung Xj 

im Punkt p. Da die Koordinatenabbildung bijektiv ist, sind die Richtungsableitungen X1,...,Xn 

linear unabhängig und bilden damit eine (nicht notwendig orthonormale) Basis des Tangentialraums 

TpU. Ein Koordinatensystem stellt also eine natürliche Basis zur Verfügung, in der 

Vektoren (=Richtungsabsleitungen) und 1-Formen (=Differentiale) dargestellt werden können. 

Diese Basis wird als Koordinatenbasis bezeichnet. 

Bemerkung: Die Basis muss weder orthogonal noch normiert sein. Man beachte, dass jedem Punkt p 

ein eigener Tangentialraum TpU und damit auch eine eigene Basis zugeordnet ist. Wie man von einem 

Tagentialraum zu einem benachbarten gelangt, wird einer der wesentlichen Inhalte der Differential- 

geometrie sein. 

Wir könnten jetzt auf gewohnte Weise die Koordinatenbasis von TpU mit e1,...,en bezeichnen 

und dann dazu eine duale Basis e1 ,...,e n konstruieren, so dass ei (e j) = δ i j ist. In der Differentialgeometrie 

hat sich allerdings eine andere Notation durchgesetzt, die formal an die normalen 

Rechenregeln der Vektoranalysis erinnern soll, aber für Neueinsteiger anfangs noch etwas gewöhnungsbedürftig 

ist. 

Basisvektoren des Tangentialraums: 

Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass der Basisvektor e j als Richtungsableitung angewandt 

auf eine beliebige Funktion f und in Koordinaten dargestellt gerade der partiellen Ableitung 

entspricht: 

e j f = ∂ 

∂x j f (p(x1,...,xn)). (2.73) 

Man führt deshalb die formale Notation 

e j = ∂ j = ∂ 

∂x j 

(2.74) 

ein. Damit erhält das Symbol ∂ 

∂x j eine Doppelleben: Streng genommen handelt es sich um einen 

Basisvektor des Tangentialraums entlang der j-ten Koordinatenlinie, auf der zu diesen Koordinaten 

gehörenden Karte wirkt ∂ 

∂x j jedoch wie die althergebrachte partielle Ableitung. 

Basis-1-Formen des Kotangentialraums: 

Auf ähnliche Weise geht man beim Kotangentialraum vor. Dessen Basisvektoren e1 ,...,e n müssen 

sich als Differentiale ei = dξ i von Funktionen ξ i schreiben lassen. Außerden müssen sie die 

Definitionseigenschaft ei (e j) = δ i j erfüllen, d.h. es muss ei (e j) = dξ i (e j) = ∂ jξ i = δ i j sein. Man 

sieht sofort, dass dies genau dann der Fall ist, wenn die Funktionen ξ i gerade die Koordinatenfunktionen 

xi sind. Man benutzt deshalb die Notationen 

e i = dx i 

Diese Definition ist formal kompatibel mit der Rechenregel dx i ( ∂ 

∂x j ) = ∂ 

∂x j x i = δ i j . 


(2.75)


Abbildung 2.4: Koordinatenbasis: In jedem Punkt p ∈ U kann man sich einen Tangentialraum TpU ∼ = R 2 aufgehängt 

vorstellen. Das Koordinatensystem zeichnet in diesem Raum eine besondere Basis in 

Richtung der durch p laufenden Koordinatenlinien aus. 

Koordinatenbasis von TpU : Partielle Ableitungen e j = ∂ j = ∂ 

∂x j 

Duale Koordinatenbasis von T ∗ p U: Differentiale e i = dx i 

2.3.5 Darstellung von Feldern in Koordinatensystemen 

Vektoren und Tensoren lassen sich auf gewohnte Weise in der Koordinatenbasis darstellen, wobei 

wir von nun anstatt ei und e j einfach ∂/∂x i und dx j schreiben. Die einzige wirkliche Neuerung 

besteht darin, dass es sich nun um Vektorfelder bzw. Tensorfelder auf U handelt. Bezieht 

man sich auf einen bestimmten Punkt p ∈ U und damit auf einen bestimmten Tangentialraum 

TpU bzw. Kotangentialraum T ∗ p U, wird das durch ein tiefgestelltes p zum Ausdruck gebracht 

(nicht zu verwechseln mit dem Rang einer p-Form). Will man dagegen die Gesamtheit aller 

Tangentialräume betrachten, lässt man den Index p einfach weg. So bezeichnet f eine Funktion, 

fp dagegen den Funktionswert an der Stelle p. Ebenso bezeichnet TU die Gesamtheit aller 

Tangentialräume, TpU dagegen den Tangentialraum im Punkt p. 

Vektorfelder und Differentialformfelder: 

Ein Vektorfeld X : U → TU wird in einem Koordiantensystem durch 

i ∂ 

X = X 

∂xi = X i ∂i (2.76) 

dargestellt. Auf ähnliche Weise besitzt ein q-Multivektorfeld T : U → ∧ q TU die Darstellung 

T = 1 

q! T i1...iq 

∂i1 ∧ ... ∧ ∂iq . (2.77) 

Analog dazu wird ein p-Form-Feld α : U → ∧T ∗ p U in einem Koordiantensystem durch 

dargestellt. 

α = 1 

p! αi1...ip dxi1 ∧ ... ∧ dx ip (2.78) 



alte Notation neue Notation 

∂i := ∂/∂x i 

ei 

e j dx j 

X = X iei X = X i∂i A = 1 

q! Ai1...iqei1 ∧ ... ∧ eiq A = 1 

q! Ai1...iq∂i1 ∧ ... ∧ ∂iq 

α = 1 

p! α j1... jpe j1 ∧ ... ∧ e jp α = 1 

p! α j1... jp dx j1 jp ∧ ... ∧ dx 

Tabelle 2.1: Vergleich der bisherigen Notation mit der in der Differentialgeometrie üblichen Notation 

Differentiale von Funktionen 

Das Differential einer skalaren Funktion f ist eine 1-Form und wird deshalb durch d f = αi dx i 

mit bestimmten Koeffizienten αi dargestellt. Um diese zu bestimmen, lässt man d f auf einen 

Basisvektor ∂ j wirken. Zum einen erhält man wegen Gl. (2.71) die gewöhnlichen partiellen 

Ableitungen d f (∂ j) = ∂ j f , zum anderen ist d f (∂ j) = αi dx i (∂ j) 

� �� 

=δ i . Folglich ist α j = ∂ j f , d.h. 

j 

d f = (∂ j f )dx j . (2.79) 

In der Koordinatendarstellung erhält man also das uns wohlbekannte totale Differential. Diese 

formale Übereinstimmung ist mit ein Grund dafür, warum man die Basisvektoren nicht mehr 

mit ei und e j , sondern mit ∂i und dx j bezeichnet. 

2.3.6 Wechsel zwischen verschiedenen Koordinatensystemen 

Für die Darstellung eines Raums U gibt es viele mögliche Koordinatensysteme. In der Relativitätstheorie 

entspricht z.B. jedes Bezugssystem einem eigenständigen Koordinatensystem. Deshalb 

steht man häufig vor der Aufgabe, Darstellungen in einem Koordinatensystem in Darstellungen 

eines anderen Koordinatensystems zu transformieren. 

Gegeben seien zwei Koordinatensystem S : p → x i (p) und S ′ : p → x i′ (p). Da beide Abbildungen 

bijektiv sind, existieren die verketteten Abbildungen 

Für eine skalare Funktion f auf U gilt dabei 

oder kurz 

S ′ ◦ S −1 : x i → x i′ (x 1 ,...,x n ) (2.80) 

S ◦ S ′−1 : x i ′ → x i (x 1′ ,...,x n′ ) 

∂ f ∂xj′ 

= 

∂xi ∂xi ∂ f 

∂x j′ 

∂i = (∂ix j′ )∂ ′ j bzw. ∂ ′ 

i = (∂ ′ 

i x j )∂ j 

(2.81) 

(2.82) 

wobei wir die Notation ∂i = ∂ 

∂xi und ∂ ′ ∂ 

j = 

∂x j′ verwendet haben. Weil die partiellen Ableitungen 

die Rolle von Basisvektoren im Tangentialraum spielen, drückt dieses Transformationsgesetz 



TpU T ∗ p U 

Objekt X = X i ∂i α = αi dx i 

Basis ∂ ′ 

i 

= (∂ ′ 

i x j )∂ j 

Komponenten X i′ = (∂ jx i′ )X j α ′ i 

dx i′ = (∂ jx i′ )dx j 

= (∂ ′ 

i x j )α j 

Tabelle 2.2: Zusammenfassung der Transformationsgesetze für Vektoren X und 1-Formen α zwischen verschiedenen 

Koordinatensystemen. Tensoren höherer Ordnung transformieren sich analog in jedem Index. 

nichts anderes als eine Basistransformation aus. Ein Vergleich mit der alten Notation e ′ i = ek ˜M k i 

in Gl. (1.16) auf Seite 11 liefert 

M i j = ∂xi′ 

, ˜M 

∂x j 

i j = ∂xi 

. (2.83) 

∂x j′ 

Die Transformationsmatrix ist also nichts anderes als die Jacobimatrix der verketteten Abbildung. 

Folglich transformieren sich die Komponenten eines Tangentialvektors v = v i ∂i gemäß 

v i → v i′ = ∂xi′ 

∂x j v j = (∂ jx i′ )v j . (2.84) 

Hinweis: Bitte beachten Sie, dass sich nur Komponenten von Tangentialvektoren v i auf diese Weise 

transformieren, nicht jedoch die Koordinaten x i selbst, d.h. x i′ �= ∂xi′ 

∂x j x j . 

Ähnliche Beziehungen lassen sich für den Kotangentialraum finden. Ein Vergleich mit Gl. (1.46) 

auf S. 18 liefert das Transformationsgesetz für die Basisdifferentiale 

dx i = ∂xi j′ 

dx 

∂x j′ 

bzw. dx i′ = ∂xi′ j 

dx 

∂x j 

Bemerkung: Dieses Transformationsgesetz kennen Sie bereits als Kettenregel für infinitesimale Dif- 

ferentiale. Die Notation ist in der Tat extra so gewählt worden, um dieses vertraute Erscheinungsbild 

zu reproduzieren. Man sollte sich dennoch vergegenwärtigen, dass die Differentiale dx i linear unab- 

hängige 1-Formen des Kotangentialraums T ∗ p U sind und nicht etwa Komponenten unendlich kleiner 

Vektoren. 

Die Komponenten einer 1-Form α = αi dx i transformieren sich dementsprechend durch 

Beispiel: 

αi → α ′ i = ∂xj 

∂x i′ α j = (∂ ′ 

i x j )α j 

Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten: 

Sei U ⊂ R 2 ausgestattet mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt. Die einfachste Darstellung ist das 

kartesische Koordinatensystem S : p → (x 1 ,x 2 ) = (x,y). Oft benutzt man aber auch Polarkoordinaten 

S ′ : p → (x 1′ ,x 2′ ) = (r,φ). Die Transformationsgleichungen zwischen beiden Systemen lauten 

S ◦ S ′−1 : (r,φ) → (x,y) = (r cosφ,r sinφ) 


(2.85) 

(2.86)

2.4 Differenzieren 55 

oder kurz x = r cosφ und y = r sinφ. In der kartesischen Basis mit den Basisvektoren ∂x,∂y ist das 

metrische Tensorfeld auf ganz U konstant und hat die Form 

� � � � 

g(∂x,∂x) g(∂x,∂y) 1 0 

(gi j) = 

= . 

g(∂y,∂x) g(∂y,∂y) 0 1 

Die Basisvektoren in Polarkoordinaten sind 

∂r = (∂rx)∂x + (∂ry)∂y = cosφ ∂x + sinφ ∂y 

∂φ = (∂φ x)∂x + (∂φ y)∂y = −r sinφ ∂x + r cosφ ∂y 

Der metrische Tensor dargestellt in Polarkoordinaten ist nun 

(g ′ � 

g(∂r,∂r) 

i j ) = 

g(∂φ ,∂r) 

� � 

g(∂r,∂φ ) 1 

= 

g(∂φ ,∂φ ) 0 

0 

r2 � 

, 

hängt also vom Ort (vom Radius) ab. In beiden Fällen sind die metrischen Tensoren diagonal, d.h. es 

handelt sich um orthogonale Basissysteme. Polarkoordinaten sind anschaulich in Abb. 2.4 auf S. 52 

dargestellt. 

2.3.7 Entartete Differentialformen und Nullvektorfelder 

Eine p-Form heisst α entartet, wenn es einen Vektor X �= 0 gibt, so dass 

α(X,Y (1),...,Y (p−1)) = 0 ∀,Y (1),...,Y (p−1) (2.87) 

ist, wenn es also einen Vektor gibt, der die Form verschwinden lässt unabhängig davon, was an 

den anderen Eingängen anliegt. Ein solcher Vektor X wird auch als Nullvektor bezeichnet (nicht 

zu verwechseln mit dem neutralen Element des Vektorraums). Wenn α ein Feld von p-Formen 

ist, so heisst dieses Feld entartet, wenn es ein Vektorfeld X gibt, dass an jedem Punkt p ∈ U die 

obige Eigenschaft hat. Ein solches Vektorfeld bezeichnet man als Nullvektorfeld. 

Als Beispiel betrachten wir eine 2-Form α mit der Darstellung α(X,Y) = 1 

2 αi jX i Y i . Offenbar 

ist eine 2-Form genau dann entartet, wenn die ‘Matrix’ αi j einen Eigenvektor zum Eigenwert 

Null besitzt. Da die Matrix reell und antisymmetrisch ist, besitzt sie ein rein imaginäres Spektrum 

aus Paaren konjugiert komplexer Eigenwerte. Daraus ergibt sich sofort, dass eine 2-Form 

in einem Vektorraum mit ungerader Dimension immer ein Nullvektorfeld besitzt. 

Beweisskizze: Eine reelle Matrix besitzt entweder reelle oder Paare konjugiert komplexer Eigenwerte, 

wie man leicht durch komplexe Konjugation der Eigenwertgleichung zeigen kann. Eine antisymmtri- 

sche Matrix multipliziert mit i ist eine hermitesche Matrix, von der wir aus der Quantenmechanik 

wissen, dass sie nur reelle Eigenwerte besitzt, also besitzt eine antisymmetrische Matrix ein rein 

imaginäres Spektrum. Das Eigenwertspektrum einer reellen antisymmetrischen Matrix muss deshalb 

entweder aus Nullen oder aus ±-Paaren von rein imaginären Eigenwerten bestehen. Daraus folgt, dass 

in ungeraden Dimensionen mindestens einer der Eigenwerte gleich Null ist. 

2.4 Differenzieren 

In der Theorie der Differentialformen tritt die äußere Ableitung an die Stelle von Differentialoperatoren 

wie Gradient, Divergenz und Rotation. Das Differenzieren wird hiermit auf eine allgemeinere 

Grundlage gestellt und in den Formalismus der äußeren Algebra eingebunden. 



2.4.1 Verallgemeinertes Differential 

Wirkungsweise: 

Im Abschnitt 2.3.2 auf S. 48 haben wir bereits gesehen, wie man Funktionen f : U → R differenziert. 

Das Ergebnis ist ein Feld von 1-Formen, das sogenannte Differential d f . Das Differential 

d fp am Punkt p ∈ U ist Element des Kotangentialraum T ∗ p U, den man sich als einen im Punkt p 

angehefteten Vektorraum vorstellen kann. Wendet man die 1-Form d fp auf einen Richtungsvektor 

an, liefert sie als Ergebnis die Änderung von f in linearer Näherung entlang dieser Richtung 

(vgl. Gl. Abschnitt 2.79 auf S. 53): 

d f (∂ j) = ∂ j f ⇒ d f = (∂ j f )dx j . 

Wir wollen im folgenden nicht nur Funktionen, sondern Felder beliebiger p-Formen α differenzieren. 

Das Ergebnis ist ein verallgemeinertes Differential ˜dα (die Schlange ist eine vorläufige 

Notation, von der wir uns im folgenden Abschnitt wieder trennen werden). In Analogie zu d f 

soll dieses Differential Auskunft darüber geben, wie sich das Feld der p-Formen α entlang einer 

vorgegebenen Richtung ändert. Da α eine lineare Maschine ist, die p Vektoren auf eine Zahl abbildet, 

muss ˜dα eine Maschine sein, die p Vektoren sowie einen weiteren Richtungsvektor, also 

insgesamt p+1 Vektoren, auf eine Zahl abbildet. Weil das Differenzieren eine lineare Operation 

ist, erwarten wir, dass ˜dα ein kovarianter Tensor vom Rang p + 1 ist. 

Merke: Differenzieren erhöht den Rang eines Tensors um 1. 

Einbettung in die äußere Algebra: 

Wenn man die Ableitung im oben beschriebenen Sinne einführt und beispielsweise auf eine 

1-Form α wirken lässt, würde der Tensor 2. Stufe ˜dα in einer gegebenen Basis die Darstellung 

( ˜dα)i j = ∂iα j 

annehmen. Wie man an diesem Beispiel leicht sehen kann, ist dieser Tensor nicht notwendigerweise 

antisymmetrisch, d.h. er würde aus der äußeren Algebra, die sich auf antisymmetrische 

Tensoren beschränkt, herausführen. Also scheint das Konzept der Ableitung auf den ersten Blick 

nicht mit der äußeren Algebra vereinbar zu sein. 

Bei genauerer Betrachtung lässt sich dieses Problem jedoch lösen. Jeder Tensor lässt sich 

nämlich als Summe eines symmetrischen und eines antisymmetischen Bestandteils schreiben, 

also z.B. 

( ˜dα)i j = 1 

2 (∂iα j + ∂ jαi) + 1 

2 (∂iα j − ∂ jαi). 

Wenn man nun aber Physik auf der Basis antisymmetrischer Tensoren macht, wird man irgendwann 

messbare Größen, also Skalare, durch Kontraktion erzeugen müssen. Kontrahiert man 

allerdings den obigen Tensor mit einem anderen antisymmetrischen Tensor, fällt der symmetrische 

Anteil heraus, da ein symmetrischer Tensor kontrahiert mit einem antisymmetischen Tensor 

stets Null ergibt. Was dieses Beispiel ohne jeden Anspruch auf mathematische Stringenz plausibel 

macht, stellt sich als durchgängiges Prinzip heraus: Physikalische Theorien sind so gebaut, 

dass der symmetrische Anteil einer Ableitung keinen Einfluss auf Skalare hat und damit nicht 

messbar ist. 

Man kann deshalb den symmetrischen Anteil auch einfach weglassen. Dies kann dadurch 

erreicht werden, dass man immer nach dem Differenzieren das Ergebnis antisymmetrisiert. Eine 

solche antisymmetrisierte Ableitung 

d = A ( ˜d) 



wird als äußere Ableitung bezeichnet, weil sie innerhalb der äußeren Algebra definiert ist (zur 

Definition von A siehe Abschnitt 2.3 auf S. 31). Auf das obige Beispiel bezogen ist 

(dα)i j = ∂iα j − ∂ jαi 

Die Antisymmetrisierung hat aber eine ungewohnte Konsequenz: Will man nämlich zweimal 

differenzieren, erhält man 

(d 2 α)i j = (ddα)i j = ∂i∂ jαk − ∂ j∂iαk + ∂ j∂kαi − ∂k∂ jαi + ∂k∂iα j − ∂i∂kα j = 0. 

oder etwas allgemeiner: 

d 2 = 0 (2.88) 

In der äußeren Algebra gibt es also keine höheren Ableitungen, sondern nur die erste Ableitung. 

Der formale Grund ist einfach nachzuvollziehen: Weil Ableitungsoperatoren miteinander 

vertauschen, wäre d 2 eine symmetrische Konstruktion, d.h. die zwei neuen Eingänge von d 2 α 

wären symmetrisch unter Vertauschung und würden bei Kontraktion mit einem antisymmetrischen 

Tensor verschwinden. 

2.4.2 Äußere Ableitung 

Die äußere Ableitung (engl. exterior derivative) ist definiert als ein Operator d, der ein Feld 

von p-Formen auf ein Feld von p + 1-Formen abbildet. Dieser Operator hat folgende formale 

Eigenschaften: 

(i) Der Operator d angewandt auf eine Funktion f (also auf ein Feld von 0- 

Formen) ergibt das gewöhnliche in Gl. (2.71) definierte Differential d f . 

(ii) Zweifache Anwendung von d ergibt stets Null, d.h. d 2 = 0. 

(iii) Wirkt d auf ein Keilprodukt, so gilt die Produktregel 

wobei pα der Rang der Form α ist. 

d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1) pα α ∧ dβ , (2.89) 

Da die äußere Ableitung den Rang erhöht, ist die Ableitung der Volumenform gleich Null: 

2.4.3 Darstellung der äußeren Ableitung 

dω = 0. (2.90) 

Sei x1,...,xn ein Koordiantensystem und ∂i und dx j die Basisvektorfelder des Tangential- und 

Kotangentialraums. Durch Anwendung der Produktregel und d 2 = 0 lässt sich sofort zeigen, 

dass die äußere Ableitung der Basisvektoren von � p T ∗ p U verschwindet: 

Die äußere Ableitung einer p-Form 

d(dx i1 ∧ ... ∧ dx ip ) = 0. (2.91) 

α = 1 

p! αi1...ip dxi1 ∧ ... ∧ dx ip (2.92) 



lässt sich also dadurch berechnen, dass man die Koeffizienten als Funktionen (0-Form) interpretiert, 

also dem ersten Faktor der Produktregel zuordnet, während der Basisvektor dx i1 ∧...∧ dx in 

der zweite Faktor ist. Das Resultat lautet 

dα = 1 

� 

p! 

Wegen d f = (∂ j f )dx j erhält man 

dαi1...ip 

� 

∧ dx i1 ∧ ... ∧ dx ip (2.93) 

dα = 1 ∂αi1...ip 

p! ∂x j dx j ∧ dx i1 ip ∧ ... ∧ dx . (2.94) 

Wegen der Antisymmetrie tragen in dieser Summe nur Terme bei, für die j keinem der Indices 

i1,...,ip gleich ist. 

Beispiele: 

1) Gegeben sei eine 1-Form α = αi dxi im R3 . Dann ist 

dα = (∂ jαi) dx j ∧ dx i = 1 

� � 

∂ jαi − ∂iα j dx 

2! 

j ∧ dx i 

= (∂1α2 − ∂2α1)dx 1 ∧ dx 2 + (∂1α3 − ∂3α1)dx 1 ∧ dx 3 + (∂2α3 − ∂3α2)dx 2 ∧ dx 3 

2) Eine 2-Form γ = 1 2! γi j dx i ∧ dx j besitzt das Differential 

dγ = 1 

2 ∂kγi j dx k ∧ dx i ∧ dx j = 1 

� 

� 

∂1γ23 + ∂2γ31 + ∂3γ12 dx 

2 

1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 

Die Koeffizienten kann man antisymmetrisieren: 

(dγ)i jk = 1 

2 (∂iγ jk − ∂iγk j + ∂kγi j − ∂kγ ji + ∂ jγki − ∂ jγik) 

so dass dγ = 1 3! (dγ)i jk dx i ∧ dx j ∧ dx k ist. Übung: Zeigen Sie, dass d 2 γ = 0 ist. 

2.4.4 Lemma von Poincaré 

Wir beginnen diesen Abschnitt mit zwei wichtigen Definitionen: 

• Eine Differentialform α heißt schließend, wenn die äußere Ableitung dα = 0 ist. 

• Eine Differentialform α heißt exakt, wenn sie selbst die äußere Ableitung einer anderen 

Differentialform β ist, d.h. α = dβ. 

Wegen d 2 = 0 ist jede exakte Differentialform schließend. Die Gegenrichtung gilt nicht automatisch, 

sondern ist Gegenstand des berühmten Lemmas von Poincaré. Vereinfacht ausgedrückt 

sagt dieses Lemma folgendes aus: 

In einer sternförmigen offenen Menge ist jede schließende Differentialform exakt, 

d. h. für jede geschlossene p-Form α findet man eine p − 1-Form β, auch Potentialform 

genannt, so dass α = dβ ist. 

Bemerkung: Das kommt einem bekannt vor. Ein wirbelfreies Vektorfeld, also ein solches, auf das der 

Rotationsoperator Null ergibt, lässt sich als Gradient eines Potentials schreiben. Das Poincaré’sche 

Lemma drückt diesen Sachverhalt in ähnlicher Form für Differentialformen in beliebigen Dimensionen 

aus. 



2.4.5 Zusammenhang mit der gewöhnlichen Vektoranalysis 

Die Differentialoperatoren der gewöhnlichen Vektoranalysis lassen sich im Differentialformenkalkül 

folgendermaßen koordinatenunabhängig ausdrücken. 

grad f = ∇ f = (d f ) ♯ 

div X = ∇ · X = ⋆d ⋆ X ♭ 

rot X = ∇ × X = (⋆dX ♭ ) ♯ 

Dabei ist f eine Funktion und X ein Vektorfeld. 

2.4.6 Lie-Klammer 

(2.95) 

(2.96) 

(2.97) 

Im Abschnitt 2.3.1 auf S. 46 haben wir Richtungsableitungen von Funktionen eingeführt und 

diese als Vektoren bzw. Vektorfelder interpretiert. Die Richtungsableitung 

X f = d f (X) = (∂ j f )X j 

(2.98) 

ist dabei wieder eine Funktion. Damit hat man die Möglichkeit, verschiedene Richtungsableitungen 

hintereinander auszuführen, also Y ◦ X auf f wirken zu lassen. Wegen der gewöhnlichen 

Produktregel lautet das Ergebnis in Komponenten 

Y ◦ X f = � ∂k[(∂ j f )X j ] � Y k = (∂k∂ j f )X j Y k + (∂ j f )(∂kX j )Y k . (2.99) 

Im ersten Term steht eine 2. Ableitung, so dass Y ◦ X offenbar keine Richtungsableitung mehr 

ist, also aus der äußeren Algebra herausführt. Bildet man jedoch den Kommutator 

[X,Y] := X ◦ Y − Y ◦ X, (2.100) 

fällt der Term mit der zweiten Ableitung heraus; übrig bleiben Produkte von ersten Ableitungen: 

[X,Y] f = (∂ j f )(∂kY j )X k − (∂ j f )(∂kX j )Y k � 

= (∂ j f ) (∂kY j )X k − (∂kX j )Y k 

� �� 

[X,Y] j 

� 

. (2.101) 

Folglich ist der Kommutator zweier Vektorenfelder wieder ein Vektorfeld, bleibt also innerhalb 

der äußeren Algebra. Dieser Kommutator wird als Lie-Klammer bezeichnet. Per Konstruktion 

ist die Lie-Klammer bilinear und antisymmetrisch. Außerdem erfüllt sie unter zyklischer Vertauschung 

die sogenannte Jacobi-Indentität 

[X,[Y,Z]] + [Z,[X,Y]] + [Y,[Z,X]] = 0. (2.102) 



Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht die geometrische 

Bedeutung der Lie-Klammer. Im Hintergrund 

sieht man die Basisvektorfelder X (grün) und Y (blau). 

Ausgehend vom Punkt A kann man sich entweder mit 

Y ◦ X auf der Strecke ABC, mit X ◦ Y dagegen auf der 

Strecke ADE bewegen. Wenn sich allerdings bei Verschiebung 

in eine Richtung die Länge der Vektorpfeile 

in der anderen Richtung ändert, kommt man nicht am 

gleichen Punkt an, vielmehr entsteht ein Fehlbetrag, der 

als gestrichelte rote Linie CE dargestellt ist. Diese Differenz 

skaliert linear mit den anderen Vektoren und wird 

durch die Lie-Klammer repräsentiert. In einer sogenannten 

Koordinatenbasis (siehe Kapitel über Differentialgeometrie) 

ist die Lie-Klammer der Basisvektorfelder stets 

gleich Nulll. 

2.4.7 Kodifferentialoperator 

Der Kodifferentialoperator d † ist definiert durch 

d † = s(−1) np+n+1 ⋆ d⋆ (2.103) 

wobei ⋆ der Hodge-Stern-Operator, s = sgn(g) und p der Rang der Differentialform ist, auf die 

d † wirkt. 

Der Kodifferentialoperator d † in vielfacher Hinsicht die gleichen Eigenschaften wie der normale 

Differentialoperator. Insbesondere ist 

(d † ) 2 = 0 (2.104) 

Ein wesentlicher Unterschied ist aber folgender: Während d den Rang einer p-Form auf p + 1 

erhöht, ändert sich der Rang bei Anwendung von d † gemäß 

p −→ ⋆ 

n − p −→ d 

n − p + 1 −→ ⋆ 

p − 1 

d.h. der Kodifferentialoperator d † erniedrigt den Rang einer p-Form um 1. Man kann sich das 

vereinfacht so vorstellen, dass der durch das Differenzieren zusätzlich geschaffene Eingang der 

Differentialform mit einem anderen Eingang kontrahiert wird. 

2.5 Integration von Formen 

Bei der Integration von Formen gilt die Regel, dass der Rang der Form, über die integriert werden 

soll, der Dimension des geometrischen Gebildes entspricht, über das integriert wird. Kurvenintegrale 

werden also über 1-Formen, Flächenintegrale über 2-Formen usw. integriert. 


2.5 Integration von Formen 61 

2.5.1 Kurvenintegrale 

Eine 1-Form α kann entlang einer Kurve c : (a,b) → U integriert werden: 

� 

c 

� b 

α = α(c 

a 

′ (λ)) dλ . (2.105) 

Dabei ist λ der Kurvenparameter und c ′ (λ) der von der Kurve repräsentierte Tangentialvektor 

(siehe Abschnitt 2.3.1 auf S. 46). Wenn α = d f das Differential einer Funktion ist, hängt das 

Integral nur von den Endpunkten ab und verschwindet bei geschlossenen Bahnen 

� 

c 

d f = f (c(b)) − f (c(a)), 

� 

c 

d f = 0. (2.106) 

Darstellung eines Kurvenintegrals: 

In einem gegebenen Koordinatensystem ist die Kurve durch Koordinaten c i (λ) = x i (c(λ)) darstellbar. 

Das Kurvenintegral lässt sich dann darstellen als 

2.5.2 Volumenintegrale 

� 

c 

� b 

α = αi(λ) 

a 

dci (λ) 

dλ (2.107) 

dλ 

Will man in einem n-dimensionalen Raum über ein n-dimensionales Volumen integrieren, muss 

der Integrand eine n-Form sein. Diese n-Form Σ kann sich von der Basisform dx 1 ∧...∧ dx n nur 

durch einen Faktor σ unterscheiden: 

Σ = σ dx 1 ∧ ... ∧ dx n . (2.108) 

In einer gegebenen Darstellung kann das Volumenintegral als n-faches Integral 

� 

V 

Σ = 

� 

� 

... 

σ(x 1 ,...,x n )dx 1 ···dx n 

ausgedrückt werden, wobei die Integrationsbereiche dem Gebiet V anzupassen sind. 

(2.109) 

Der Faktor σ kann an verschiedenen Punkten unterschiedlich sein, σ ist also eine Funktion. 

In der Volumenform ω (siehe Abschnitt 2.1.7 auf S. 36) ist diese Funktion gerade so gewählt, 

dass das Volumenintegral das tatsächliche metrische Volumen des Integrationsgebiets liefert. 

Bemerkung: Die Funktion σ hängt von der Wahl der Koordinaten ab. In kartesischen Koordinaten 

im R 3 ist die Volumenform durch ω = dx ∧ dy ∧ dz gegeben, entsprechend σ = 1, in sphärischen 

Koordianten dagegen ω = r 2 sinφ dr ∧ dθ ∧ dφ, entsprechend σ = r sinφ. 

2.5.3 Integrale über p-Formen 

Eine 1-Form lässt sich über Kurven, eine n-Form über Volumina integrieren. Ähnlich lässt sich 

eine p-Form β über zusammenhängende p-dimensionale Gebiete G integrieren. Zur Berechnung 

solcher Integrale ist – ähnlich wie bei Kurven – eine Parametrisierung des Gebiets durch eine 



von p Variablen λ 1 ,...,λ p abhängige Funktion x(λ 1 ,...,λ p ) erforderlich. In einer gegebenen 

Darstellung 

α = 1 

p! αi1...ip dxi1 ∧ ... ∧ dx ip (2.110) 

ist dann das Integral über das Gebiet G durch 

� � 

α = 

� 

··· 

� 

αi1...ip x(λ1,...,λp) � � � 

�� 

∂(xi1,...,x ip ) 

∂(λ 1 ,...,λ p � 

� 

� 

) � dλ 1 dλ 2 ···dλ p , (2.111) 

G 

wobei | · | die Jacobimatrix bezeichnet. Die Integrationsgrenzen sind dabei so zu wählen, dass 

das gesamte Gebiet G überstrichen wird. 

2.5.4 Theorem von Stokes 

Aus der Vektoranalysis kennen Sie die beiden Integralsätze von Gauß 

und von Stokes � 

� 

V 

S 

∇ ·�AdV = 

� 

(∇ ×�A) · d�n = 

∂V 

� 

�A ·�n dS (2.112) 

∂S 

�A · d�l (2.113) 

Diese beiden Sätze sind Spezialfälle des verallgemeinerten Stoke’schen Theorems 

� 

G 

dα = 

� 

∂G 

α , (2.114) 

wobei α eine p-Form und G ein p + 1-dimensionales Integrationsgebiet mit dem Rand ∂G ist. 

Wenn das Integrationsgebiet keinen Rand besitzt (wie z.B. eine geschlossene Kurve oder eine 

Kugeloberfläche), ist die rechte Seite der Gleichung Null. Mit diesem sehr einprägsamen Theorem 

vereinfacht sich der Umgang mit Integralen erheblich. 

2.6 Tensorwertige Formen 

Wir haben bis jetzt zwei Kategorien von Tensoren kennengelernt, nämlich beliebige, die mit 

dem Tensorprodukt ‘⊗’ gebildet werden, sowie die Teilmenge der antisymmetischen Tensoren 

(Formen), die mit dem Keilprodukt ‘∧’ gebildet werden und für die ein in sich geschlossener 

Satz von Rechenregeln, die äußere Algebra, definiert wurde. 

Dazwischen gibt es auch Mischformen von Tensoren, die antisymmetrisch in einem Teil ihrer 

Anschlüsse sind, aber beliebig in den übrigen. Es ist üblich, diese Tensoren dann nicht mehr als 

Abbildungen auf R zu betrachten, sondern die nicht-antisymmetrisierten Anschlüsse als Ausgänge 

zu interpretieren. 

Als Beispiel betrachten wir eine vektorielle p-Form 

T = 1 

p! T i j1... jp ei ⊗ e j1 ∧ ... ∧ e jp . (2.115) 


2.6 Tensorwertige Formen 63 

Die Eingänge, also die Argumente, beziehen sich nun ausschließlich auf die antisymmetrisierten 

Tensorkomponenten. Die Form wirkt also auf p Vektoren X (1),...,X (p) durch 

T(X (1),...,X (p)) = T i j1 jp 

j1... jpX(1) ...X (p) ei , (2.116) 

ist also vektorwertig, benimmt sich aber sonst algebraisch wie jede andere p-Form auch. 


3 Spezielle Relativitätstheorie 

Die von Einstein 1905 veröffentlichte Relativitätstheorie, die später von ihm in spezielle Relativitätstheorie 

(SRT) umbenannt wurde, befasst sich mit der Struktur von Raum und Zeit 

für den Fall, dass Gravitationseffekte vernachlässigt werden können. In diesem Kapitel werden 

wir uns mit den wesentlichen Konzepten der speziellen Relativitätstheorie befassen, wobei der 

Übergang zur allgemeinen Relativitätstheorie vorbereitet wird. Für eine ausführlichere Darstellung 

existiert eine Vielzahl von Lehrbüchern mit unterschiedlichen didaktischen Schwerpunkten, 

z.B. [1, 2]. 

3.1 Nichtrelativistische Mechanik 

3.1.1 Raum und Zeit 

Die Alltagserfahrung zeigt uns, dass die Welt aus Einzelerscheinungen 

besteht, die in räumlicher und zeitlicher Beziehung zueinander stehen. 

Ein wesentliches Ziel der Physik ist es, räumliche und zeitliche Beziehungen 

zu quantifizieren und mit Hilfe geeigneter Theorien vorherzusagen. 

Das Faszinierende an der Physik ist, dass solche Theorien existieren 

und dass diese mit Hilfe relativ einfacher mathematischer Aussagen 

formuliert werden können. Natürlich kann keine Theorie beanspruchen, 

eine vollständige Beschreibung dieser Welt zu sein, sondern sie ist lediglich 

eine mehr oder weniger gute Approximation. 

In der Newtonschen nichtrelativischen Physik wird der Ortsraum als dreidimensionaler affiner 

Vektorraum R 3 über dem Körper der reellen Zahlen aufgefasst. Dieser Vektorraum ist mit 

einem euklidischen Skalarprodukt g : R 3 × R 3 → R versehen. Damit wird es möglich, Abstände 

und Winkel zu definieren, also Geometrie zu betreiben. Die Zeit wird dagegen als separater 

eindimensionaler Vektorraum über R interpretiert, in dem Zukunft und Vergangenheit durch den 

Zeitpunkt der Gegenwart strikt voneinander getrennt sind. Newton selbst beschreibt die Zeit so: 

„Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfließt an sich und vermöge ihrer 

Natur gleichförmig und ohne Beziehung auf irgendeinen äußeren Gegenstand.“ 

Isaac Newton, 1687 

Im Gegensatz zum dreidimensionalen Ortsraum, der Bewegungen in alle Richtungen zulässt, ist 

die Zeit orientiert. Sie ‘verfließt’ von selbst, – ein Sachverhalt, den man in der Physik bis heute 

nicht wirklich versteht. In der Newtonschen Physik wird die Zeit darüber hinaus als ‘absolut’ 

angenommen, d.h. sie ist für alle Objekte gleich und kann deshalb durch einen globalen Parameter 

t beschrieben werden. Der Raum dagegen beherbergt die physikalischen Objekte, idealisiert 

als Massepunkte, die sich in ihm bewegen können. Die Bewegung unterliegt deterministischen 



Bewegungsgleichungen und ist damit im Prinzip vorherbestimmbar. Die Lösungen dieser Bewegungsgleichungen 

sind als Funktion der Zeit parametrisiert. 

Raum und Zeit spielen in dieser Welt eine eher passive Rolle. denn sie sind unveränderlich und 

unbeeinflusst von den physikalischen Vorgängen, die sich in ihnen abspielen. Sie beherbergen 

das Geschehen, indem sie eine Art Bühne bereitstellen, auf der alles stattfindet. 

Um die Relativitätstheorie zu verstehen, sind zwei entscheidende Änderungen der Sichtweise 

erforderlich: 

• Die spezielle Relativitätstheorie gibt den Begriff der globalen absoluten Zeit auf. Vielmehr 

hat jedes Objekt seine eigene Zeit, auch Eigenzeit genannt. Die Zeit ist deshalb kein 

globaler Parameter mehr, sondern wird zu einer Koordinate, ähnlich wie die Raumkoordinaten. 

• In der allgemeinen Relativitätstheorie sind Raum und Zeit nicht mehr unveränderlich und 

unbeeinflusst von den physikalischen Vorgängen, sondern werden selbst zu einem physikalischen 

dynamischen Objekt. 

Wir wollen uns im folgenden zunächst auf den ersten Schritt konzentrieren und demonstrieren, 

dass man bereits in der Newtonschen Physik die Zeit als Koordinate auffassen kann. Außerdem 

zeigt sich, dass man Differentialformen bereits in der Mechanik gewinnbringend einsetzen kann. 

3.1.2 Klassische Mechanik 

Die klassische Mechanik eines Punktteilchens wird in den Kursvorlesungen zur Theoretischen 

Physik zunächst mit Hilfe des Lagrangeformalismus behandelt. Der Einfachheit halber beschränken 

wir uns hier auf ein Teilchen mit der Bahn q(t) in einem zeitunabhängigen Potential. Grundlage 

ist das Prinzip der kleinsten Wirkung. Jeder differenzierbaren Teilchenbahn q(t) von (q1,t1) 

nach (q2,t2) wird ein Wirkung 

� t2 

S[q] = dt L(q, ˙q) (3.1) 

t1 

zugeordnet. Dabei ist L = T − V die Lagrangefunktion, die den Wirkungsverbrauch pro Zeit 

beschreibt. In der Natur ist diejenige Bahn realisiert, deren Wirkung extrememal ist. Als notwendige 

Bedingung muss das Wirkungsfunktional bei Variation der Bahn in erster Ordnung 

invariant bleiben. Dies führt auf die Lagrangeschen Bewegungsgleichung 

wobei 

p = 

˙p = F , (3.2) 

∂L(q, ˙q) ∂L(q, ˙q) 

, F = 

∂ ˙q 

∂q 

der generalisierte Impuls und die generalisierte Kraft sind. Man kann zeigen, dass die Langrangeschen 

Bewegungsgleichungen unter Koordinatentransformationen forminvariant sind. 

Wechselt man von (q, ˙q) zu den Variablen (q, p), erhält man die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen 

˙q = ∂H0(q, p) 

∂ p 

(3.3) 

, ˙p = − ∂H0(q, p) 

, (3.4) 

∂q 


3.1 Nichtrelativistische Mechanik 67 

wobei H0 die nichtrelativistische Hamiltonfunktion ist, die aus der Langrangefunktion durch 

eine Legendretransformation 

H0(q, p) = p ˙q − L(q, ˙q) (3.5) 

hervorgeht. Die Zeit spielt in dieser Theorie die Rolle eines globalen Parameters. 

3.1.3 Symplektischer Formalismus 

Wir bleiben zunächst im Rahmen der nichtrelativischen Physik und untersuchen die Struktur 

der Hamiltonschen Mechanik genauer. Der Hamilton-Formalismus beschreibt die Dynamik von 

Teilchen in einem Vektorraum Γ0, der als Phasenraum bezeichnet wird. 1 Dieser Phasenraum 

besitzt eine sogenannte symplektische Struktur, womit eine elegante Formulierung mit Hilfe von 

Differentialformen möglich wird [15, 14]; 

Ein mechanisches System ist ein Vektorraum Γ0, auf dem eine Funktion H0 und 

ein 2-Form Ω erklärt ist. Diese 2-Form ist symplektisch, d.h. sie schließt (siehe 

Abschnitt 2.4.4 auf S. 58) und ist nichtentartet (siehe Abschnitt 2.3.7 auf S. 55). 

Die Teilchen bewegen sich im Phasenraum entlang eines Vektorfeldes X, das die 

Hamiltonschen Bewegungsgleichungen erfüllt: 

Symplektische Form 

Ω(X) = −dH0 

Diese sehr kompakte Definition der Hamiltonschen Mechanik impliziert folgede Sachverhalte. 

Zum einen muss der Phasenraum wegen der Nichtentartung des 2-Form Ω eine geradzahlige Dimension 

n = 2m besitzen. Die Geschlossenheit und das Poincarésche Lemma implizieren, dass 

sich Ω von einer Potentialform ableiten lässt, dass also Ω = dθ ist. Die 1-Form θ erfüllt die 

Voraussetzungen für Darboux’ Theorem (hier ohne Beweis), woraus folgt, dass es ein Koordinatensystem 

q 1 ,...,q m , p 1 ,..., p m mit 

gibt, so dass 

θ = 

Ω = dθ = 

m 

∑ p 

j=1 

j dq j 

m 

∑ dp 

j=1 

j ∧ dq j 

ist. Die Wirkungsweise von Ω besteht darin, die skalare Hamiltonfunktion H0 in ein Vektorfeld 

X entlang der Teilchenbahnen zu konvertieren, also ein Zahlenfeld in ein Richtungsfeld umzuwandeln. 

Dies geschieht in Gl. (3.6), die so zu interpretieren ist, dass Ω(X,Y) = −(dH0)(Y) für 

alle Y ist. 

(3.6) 

Hinweis: Der Phasenraum ist ein symplektischer, jedoch kein metrischer Raum, d.h. es gibt keine Metrik 

g, mit der man Indices heben oder senken könnte. Viele Autoren benutzen trotzdem hochgestellte 

Indices für Ortskoordinaten und tiefgestellte Indices für Impulse, um dann bei Bedarf die Einsteinsche 

Summenkonvention gebrauchen zu können. Um Missverständnissen vorzubeugen, schreiben wir die 

Indices für Orts- und Impulskoordinaten immer oben und schreiben die Summen explizit aus. 

1 Der Index 0 soll andeuten, dass dieser Phasenraum Γ0 nur räumliche Freiheitsgrade und deren Impulse enthält. 


(3.7) 

(3.8)


Ableitung der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen 

Um zu den normalen Hamiltonschen Gleichungen zu gelangen, stellt man das gesuchte Vektorfeld 

X über den Basisvektorfeldern ∂/∂q i und ∂/∂ p i dar: 

X = 

m 

∑ 

i=1 

Die Bewegungsgleichungen (3.6) nehmen also die Form 

� m 

∑ 

j=1 

∑ 

dp j ∧ dq j� � m 

i=1 

i ∂ ∂ 

(v + wi ). (3.9) 

∂qi ∂ pi i ∂ ∂ 

(v + wi 

∂qi ∂ pi ),Y� = −dH0(Y) (3.10) 

an, wobei Y ein beliebiges Vektorfeld ist. Es reicht aus, für Y die Basisvektorfelder einzusetzen. 

Für Y = ∂/∂q k ergibt sich w k = −∂H0/∂q k , für Y = ∂/∂ p k dagegen v k = ∂H0/∂ p k , also 

X = 

m 

∑ 

i=1 

� 

∂H0 

∂ pi ∂ ∂H0 

− 

∂qi ∂qi ∂ 

∂ pi � 

. (3.11) 

Die Teilchenbahnen z(t) : R → Γ0 sind dann Lösungen der DGL ˙z(t) = Xz, d.h. das Vektorfeld X 

ist tangential zu den möglichen Teilchenbahnen. 

Beispiel: Für den harmonischen Oszillator H0 = 1 2 (p2 + q 2 ) nehmen die Bewegungsgleichungen 

Ω(X) = −dH0 die Form 

(dp ∧ dq)(X,Y) = (−qdq − pdp)(Y) 

an. Mit der Darstellung X = X q ∂q +X p ∂p und Y := ∂q bzw.Y := ∂p erhält man das Vektorfeld X q = p 

und X p = −q. Tangentiale Trajektorien z(t) = (q(t), p(t)) erfüllen die Hamiltonschen Gleichungen 

˙z(t) = Xz ⇒ ˙q(t) = p(t); ˙p(t) = −q(t). 

Funktionen auf dem Phasenraum, die dem Hamiltonschen Fluss unterliegen wie z.B. Teilchendichten 

ρ : Γ0 → R, entwickeln sich folglich gemäß 

˙ρ = Xρ = {ρ,H0} (3.12) 

mit der Poissonklammer auf der rechten Seite. Die Antisymmetrie der Poissonklammern reflektiert 

dabei die Antisymmetrie der symplektischen Form. 

Kanonische Transformationen 

Die 1-Form θ kann in unterschiedlichen Koordinatensystemen dargestellt werden. Ein Koordinatensystem 

Q 1 ,...,Q m ,P 1 ,...,P m heisst kanonisch, wenn sich θ in der Form 

θ = 

m 

∑ P 

j=1 

j dQ j 

⇒ Ω = dθ = 

m 

∑ dP 

j=1 

j ∧ dQ j 

(3.13) 

darstellen lässt. Solche Koordinatensysteme werden durch kanonische Transformationen ineinander 

überführt. Kanonische Transformationen sind also Koorinatentransformationen, welche 

die symplektische Struktur erhalten. 



Eine kanonische Transformation {q i , p i } → {Q i ,P i } wird durch eine erzeugende Funktion 

S(q 1 ,...,q m ,Q 1 ,...,Q m ,t) generiert, die folgende Eigenschaften erfüllt: 

Pi = − ∂S 

∂Qi , pi = ∂S 

. (3.14) 

∂qi Bei gegebenem S ergibt die erste Gleichung direkt den neuen Impuls P i . Die neue Koordinate 

Qi erhält man dagegen, wenn man die zweite Gleichung nach Qi auflöst, also invertiert. Der 

Hamiltonoperator in den neuen Koordinaten lautet 

˜H0 = H0 + ∂S 

. (3.15) 

∂t 

Beispiel: Als Beispiel betrachten wir den harmonischen Oszillator H0(q, p) = 1 2 (p2 + q 2 ), den wir 

mit der erzeugenden Funktion S(q,Q,t) = qQt transformieren wollen. Man erhält −P = ∂QS = qt 

und p = ∂qS = Qt, also 

q, p ↔ Q,P : q = −P/t; p = Qt bzw. P = −qt; Q = p/t . 

Die Hamiltonfunktion in den neuen Koordinaten lautet 

˜H0(Q,P,t) = 1 

� 

P2 2 t2 + Q2t 2� 

− PQ 

t 

und ist in diesem Beispiel explizit zeitabhängig. Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lauten 

Eine mögliche Lösung ist 

˙Q = ∂ ˜H 

∂P 

P Q 

= − 

t2 t , 

˙P = ∂ ˜H 

∂Q = −Qt2 + P 

t . 

Q(t) = 1 

t eit , P(t) = ite it . 

Natürlich ist dieses Koordinatensystem denkbar ungeeignet für den harmonischen Oszillator, aber das 

Beispiel soll hier nur den praktischen Umgang mit einer gegebenen erzeugenden Funktion illustrieren. 

Hamilton-Jacobi 

Die Hamilton-Jacobi-Theorie ist für praktische Anwendungen recht akademisch, hat aber, wie 

wir noch sehen werden, eine tiefe konzeptionelle Bedeutung. Die Kernaussage ist, dass man eine 

erzeugende Funktion finden kann, für die ˜H0 = 0 ist, dass man also sozusagen durch eine geschickte 

Wahl der Koordinaten die Hamiltonfunktion eliminieren kann. In diesem Fall sind dann 

sämtliche Koordinaten Q i und Impulse P i Erhaltungsgrößen, also Konstanten der Bewegung. 

Der Einfachheit halber betrachten wir hier nur einen Freiheitsgrad m = 1. Die Bedingung 

˜H = 0 in Gl. (3.15) nimmt wegen p = ∂S 

∂q die Form 

∂S(q,Q,t) 

∂t 

+ H0 

� 

q, ∂S(q,Q,t) 

∂q 

� 

= 0 (3.16) 

an. Diese sogenannte Hamilton-Jacobi-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung für die 

erzeugende Funktion S(q,Q,t), wobei die Konstante Q die Lösungen parametrisiert. Hat man 

diese Lösungen gefunden, so führt man die entsprechende kanonische Transformation von den 

Konstanten Q,P auf die ursprünglichen Variablen q(t), p(t) durch. 



3.1.4 Vorsymplektische Formulierung 

Zeit als Koordinate 

Zukunft und Vergangenheit sind durch den Moment der Gegenwart voneinander getrennt. Dieser 

Moment der Gegenwart kann für jeden Beobachter durch eine Zahl beschrieben werden. Auf die 

Frage eines Journalisten, was Zeit sei, soll Einstein geantwortet haben: “Zeit ist das, was eine 

Uhr anzeigt”. 

Die Newtonsche Mechanik basiert auf der sehr viel weitergehenden Annahme, dass Uhren 

global synchronisierbar sind, also unabhängig von ihrer Trajektorie immer die gleiche Zeit anzeigen. 

In diesem Fall muss nicht jeder Beobachter seine eigene Uhr mit sich führen, vielmehr 

reicht eine Uhr für alle aus. In diesem Fall reduziert sich die Zeit auf einen globalen Parameter t, 

die für alle Beobachter gleichermaßen verbindliche universelle Zeit. Dieser Parameter kann benutzt 

werden, um Bewegungsabläufe zu parametrisieren. Die Notation q(t) drückt genau diesen 

Sachverhalt aus. 

In der relativistischen Physik ist die Zeit nach wie vor das, was eine Uhr anzeigt. Uhren 

sind jedoch nicht mehr synchronisierbar, womit Zeit zu einer individuellen Größe wird. Jeder 

Beobachter hat also seine eigene Zeit, auch Eigenzeit genannt, ganz ähnlich wie auch jeder Beobachter 

einen individuellen Aufenthaltsort hat. Im Rahmen der Relativitätstheorie zeigt sich, 

dass man die Zeit als Koordinate auffassen kann und dass Raum- und Zeitkoordinaten als gemeinsame 

Koordinaten einer vierdimensionalen Raumzeit interpretiert werden können. 

Es ist sehr instruktiv, dass man das Konzept einer Zeitkoordinate auch schon im Rahmen 

der nichtrelativischen Mechanik konsistent einführen kann. Man wird dabei auf einen eleganten 

Formalismus geführt, der von Rovelli in Ref. [14] als ‘vorsymplektischer’ (engl. pre-symplectic) 

Formalismus beschrieben wird. Die grundlegende Idee ist, die Zeit in den Phasenraum zu integrieren, 

d.h. wir betrachten einen 2m + 1-dimensionalen Raum mit Koordinaten 

t,q 1 ,...,q m , p 1 ,..., p m . 

Ein Teilchen wird in diesem Raum durch eine Kurve, eine sogenannte Weltlinie, beschrieben. 

Auf diesem Phasenraum ist eine 1-Form 

definiert. Das Differential 

θ = 

Ω = dθ = 

m 

∑ 

i=1 

p i dq i − H0 dt (3.17) 

m 

∑ dp 

i=1 

i ∧ dq i − dH0 ∧ dt (3.18) 

ist eine schließende 2-Form (dΩ = 0); sie ist im Gegensatz zur symplektischen Form entartet 2 , 

d.h. es gibt einen Vektor X so dass für alle Y ∈ Γ0 gilt, dass Ω(X,Y) = 0 ist. Es gibt also ein 

sogenanntes Nullvektorfeld 

Ω(X) = 0 (3.19) 

Dies sind die Bewegungsgleichungen, – kürzer geht es nicht. 

2 Jede 2-Form in einem Vektorraum mit ungerader Dimension ist entartet, siehe Abschnitt 2.3.7 auf S. 55. 



Ableitung der Bewegungsgleichungen: 

Man kann leicht zeigen, dass das Vektorfeld 

X = ∂ 

∂t 

+ 

m 

∑ 

i=1 

i ∂ ∂ 

(v + wi ) (3.20) 

∂qi ∂ pi mit v i = ∂H0/∂ p i und w i = −∂H0/∂q i eine Lösung dieser Bewegungsgleichungen ist. Die konkreten 

Teilchenbahnen c folgen dem Vektorfeld durch 

d 

dλ c(λ) = X c(λ) 

Eine solche Bahn wird als Orbit der 2-Form Ω bezeichnet. 

Bemerkung: Das Vektorfeld X ist hier bis auf Umskalierung definiert, d.h. wenn man X mit einer 

beliebigen skalaren Funktion f multipliziert, ist f X wieder eine Lösung. Man kann also die Vektoren 

des Feldes X beliebig verkürzen oder verlängern. Da die physikalischen Bahnen c dem Vektorfeld 

folgen, wirkt sich das nur auf die Geschwindigkeit bezüglich des Bahnparameters aus, nicht aber auf 

die Form der Bahnen. Anders als im vorangegangenen Abschnitt ist der Bahnparameter hier aber nicht 

die Zeit, sondern ein beliebiger Parameter λ ohne direkte physikalische Bedeutung, während die Zeit 

nunmehr eine Koordinate der Bahn ist. Diese Reparametrisierungsinvarianz ist ein einfaches Beispiel 

einer Eichinvarianz. 

In diesem Formalismus ist die Wirkung einer Trajektorie c durch das Kurvenintegral 

S[c] = 

� 

c 

(3.21) 

θ (3.22) 

gegeben. Damit erhalten die Formen eine konkrete physikalische Bedeutung: Die 1-Form θ angewandt 

auf einen Richtungsvektor liefert den Wirkungsbeitrag, wenn sich das Teilchen in der 

entsprechenden Richtung bewegt. Die 2-Form Ω = dθ angewandt auf zwei Richtungsvektoren 

gibt Auskunft darüber, wie sich bei einer gegebenen Bewegungsrichtung (1. Vektor) eine Änderung 

der Bewegungsrichtung (2. Vektor) auf den Verbrauch der Wirkung auswirken würde. 

Vereinfacht gesagt teilt diese Form dem Teilchen mit, ob es sich lohnt, eine Kurve zu fliegen. 

3.1.5 Raumzeitliche Formulierung 

Im letzten Abschnitt haben wir erfolgreich die Zeit als Koordinate interpretieren können. Die 

Beschreibung ist aber insofern unsymmetrisch, als dass die konjugierten Impulse der räumlichen 

Koordinaten p i unabhängige Freiheitsgrade sind, während der konjugierte ‘Impuls’ der 

Zeitkoordiante die fest vorgebene Hamiltonfunktion ist. Man kann aber zu einer symmetrischen 

Formulierung kommen, indem man den konjugierten ‘Impuls’ der Zeitkoordinate zunächst als 

unabhängigen Freiheitsgrad pt einführt und dann erst im Nachhinein mit einer Hamiltonschen 

Zwangsbedingung (engl. Hamiltonian constraint) die gewünschte Abhängigkeit zwischen den 

Koordinaten erzeugt. Der zur Zeit konjugierte ‘Impuls’ ist natürlich nichts anderes als die Energie 

des Teilchens. 

Der so definierte Phasenraum Γ ist nun 2m + 2-dimensional und wird durch die Koordinaten 

t,q 1 ,...,q m , pt, p 1 ,..., p m 



dargestellt. Auf diesem Phasenraum ist die 1-Form 

˜θ = pt dt + 

m 

∑ 

i=1 

definiert. Ferner ist auf dem Phasenraum die Funktion 

definiert. Die Hamiltonsche Zwangsbedingung 

H = pt + H0 

p i dq i 

(3.23) 

(3.24) 

H = 0 (3.25) 

schränkt die möglichen Teilchenbahnen auf eine 2m + 1-dimensionale Hyperfläche im Phasenraum 

ein. Diese Hyperfläche ist nichts anderes als der vorsymplektische Phasenraum, den wir 

im vorherigen Abschnitt besprochen haben. 

3.1.6 Beispiel: Harmonischer Oszillator 

Als konkretes Beispiel betrachten wir den harmischen Oszillator mit dem Hamiltonian H0(q, p) = 

1 

2 (q2 + p 2 ). Der verallgemeinerte Phasenraum ist hier 4-dimensional und hat die Koordinaten 

t,q, pt, p. Auf diesem Raum ist die 1-Form 

˜θ = pt dt + pdq (3.26) 

und die Funktion 

H(t,q, pt, p) = pt + H0 = pt + 1 

2 (q2 + p 2 ) (3.27) 

erklärt. Die Hamiltonsche Zwangsbedingung H = 0 schränkt die Teilchenbahnen auf den vorsymplektischen 

dreidimensionalen Phasenraum ein. Auf diesem nimmt die 1-Form die Gestalt 

� 

θ = ˜θ 

� 

� = pdq − 

H=0 1 

2 (q2 + p 2 )dt (3.28) 

an. Durch Differenzieren erhält man die 2-Form 

Ω = dθ = (dp ∧ dq) − p(dp ∧ dt) − q(dq ∧ dt) (3.29) 

Als 2-Form auf einer dreidimensionalen Hyperfläche existiert ein Nullvektorfeld 

Ω(X) = 0. (3.30) 

Um dieses Vektorfeld zu bestimmen, stellen wir es über den Basisvektoren des Tangentialraums 

dar 

t ∂ q ∂ p ∂ 

X = X + X + X 

∂t ∂q ∂ p 

(3.31) 

und lassen die 2-Form darauf wirken. 

Rechnung: Dazu müssen wir Ω(∂t), Ω(∂q) und Ω(∂p) ausrechnen. Wir beginnen mit Ω(∂t). Die 

Schreibweise bedeutet, dass der zweite Eingang der 2-Form mit ∂t belegt wird, der erste Eingang aber 

frei bleibt, so dass man als Resultat eine 1-Form erhält. In diesem Fall tragen nur die beiden Terme 

bei, die ein dt enthalten, also der zweite und dritte, so dass man Ω(∂t) = −pdp − qdq erhält. 


3.2 Spezielle Relativitätstheorie – Minkowski-Raum 73 

Das Resultat lautet 

Ω(X) = X t (pdp + qdq) + X q (−dp − qdt) + X p (dq − pdt) (3.32) 

= (pX t − X q )dp + (qX t X p )dq − (qX q + pX p )dt = 0. 

Es müssen also die in Klammern stehenden Ausdrücke verschwinden, wobei nur zwei der drei 

Gleichungen unabhängig sind. Das Vektorfeld X ist eichinvariant unter Reskalierung, wir können 

also eine Komponente wählen, z.B. X t = 1. Dann ist X q = p und X p = −q. Eine Trajektorie 

c(λ) = (t(λ),q(λ), p(λ)) folgt diesem Feld mit ˙c = X, also 

d 

t = 1, 

dλ 

d 

q = p, 

dλ 

d 

p = −q (3.33) 

dλ 

Die Wahl X t = 1 führt also dazu, dass der Kurvenparameter λ im Gleichschritt mit der Zeit t 

zunimmt. Die anderen beiden Gleichungen sind die Hamiltonschen Bewegungsgleichung des 

harmonischen Oszillators mit der bekannten Lösung q(t) = Ae it + Be −it . 

3.2 Spezielle Relativitätstheorie – Minkowski-Raum 

3.2.1 Postulate der speziellen Relativitätstheorie 

1864 gelang es James Clerk Maxwell, eine vereinheitlichte “Dynamical Theory of the Electromagnetic 

Field” zu formulieren, deren Kern die nach ihm benannten Gleichungen 

∇ · E = 1 

ε0 

ρ , ∇ · B = 0, ∇ × E = − ˙B, ∇ × B = µ0j + 1 

c 2 ˙E (3.34) 

sind. Zusammen mit dem Lorentzschen Kraftgesetz F = q(E + v × B) und weiteren Modifikationen 

bei Anwesenheit eines Mediums beschreiben diese Gleichungen alle bekannten elektromagnetischen 

Phänomene mit großer Genauigkeit. Die Vorhersage der Existenz elektromagnetischer 

Wellen war mit Sicherheit einer der größten Erfolge der theoretischen Physik des 19. 

Jahrhunderts. 

Im Zuge der rasanten technologischen Umsetzung festigte sich das Vertrauen in diese Gleichungen 

sehr schnell. Schon früh realisierte man, dass die Maxwellsche Theorie im Gegensatz 

zur Newtonschen Physik nicht invariant unter Galilei-Transformationen x ′ = x + vt ist. Daraus 

folgerte man, dass die Maxwellschen Gleichungen nur in einem speziellen Bezugssystem korrekt 

sein können. Um diesen Sachverhalt zu erklären, postulierte man die Existenz eines Äthers, 

also eines den gesamten Raum erfüllenden Mediums elektromagnetischer Natur. Nur in einem 

bezüglich dieses Äthers ruhenden Bezugssystem wären die Maxwell-Gleichungen korrekt. Aus 

der damaligen Sicht schien es vernünftig zu sein, einen solchen Äther zu postulieren - worin 

sonst hätten sich elektromagnetische Wellen ausbreiten können? 

Das konkrete Ruhesystem des Äthers war nicht bekannt, doch war man sich sicher, dass es 

bestimmt nicht im Mittelpunkt der Erde liegt. So musste es einen saisonal variierenden “Ätherwind” 

geben, der im Prinzip experimentell messbar sein sollte. Diese Überlegungen führten 

schließlich zu dem berühmten Experiment von Michelson-Morley im Jahre 1887, das bekanntlich 

zu einem negativen Ergebnis führte: Ein Ätherwind war nicht feststellbar, vielmehr erwiesen 

sich die Maxwell-Gleichungen auch im Bezugssystem der Erde als korrekt. 



Hendrik Anton Lorentz gelang es zwischen 1895 und 1904, Transformationen zu konstruieren, 

unter denen die Maxwellgleichungen forminvariant sind. Die volle Transformationsgruppe 

wurde schließlich von Henri Poincaré 1905 identifiziert, der den Lorentz-Transformationen ihren 

Namen gab. Damit ist der wesentliche mathematische Kern der speziellen Relativitätstheorie 

schon vor Einsteins Arbeiten bekannt. Allerdings gelingt es Lorentz und Poincaré nicht, die Ergebnisse 

richtig zu interpretieren. Zwar erkennt schon Lorentz Effekte wie die Längenkontraktion. 

Zusammen mit George Francis Fitzgerald experimentiert er mit einer ad-hoc-Hypothese, 

derzufolge bewegte Objekte kürzer werden, also keine geometrische, sondern eine echte physikalische 

Kontraktion erfahren, sobald sie sich relativ zum Äther bewegen. Es bleibt aber bei 

einer Hypothese, da mehrere Widersprüche entstehen. 

Einsteins Leistung besteht vor allem darin, die Ätherhypothese aufzugeben und die Längenkontraktion 

als eine beobachterabhängige geometrische Kontraktion des Raumes anstatt der Objekte 

zu deuten. Nicht die physikalischen Objekte werden kürzer, sondern der Raum selbst wird 

kontrahiert und mit ihm die darin eingebetteten physikalischen Objekte. Bereits hier verliert 

der Raum teilweise seinen statischen Charakter, in dem er durch Bezugssystemwechsel kontrahierbar 

wird. Schnell erkennt Einstein, dass der Preis der Verlust der Gleichzeitigkeit ist. Dem 

positivistischen Zeitgeist entsprechend versucht er, die Theorie von möglichst wenigen grundlegenden 

Postulaten abzuleiten: 

• Prinzip der Relativität: Die physikalischen Gesetze nehmen in allen Bezugssystemen 

die gleiche Form an 

• Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Licht breitet sich im Vakuum in jedem Bezugssystem 

isotrop mit der Geschwindigkeit c aus, unabhängig vom Bewegungszustand der 

Lichtquelle. 

Mit Bezugssystemen sind hier Intertialsysteme gemeint, in denen sich kräftefreie Körper geradlinig 

gleichförmig bewegen. 

3.2.2 Lorentz-Transformation 

Wir betrachten zunächst eine 1+1-dimensionale Raumzeit und konstruieren eine einfache Uhr. 

Diese Uhr besteht aus zwei idealen parallelen Spiegeln mit konstantem Abstand, die einen Lichtblitz 

hin- und zurückreflektieren (siehe Abb. 3.1). Mit S ′ bezeichnen wir das Eigensystem der 

Uhr, in dem die beiden Spiegel ruhen. In diesem Eigensystem ‘tickt’ die Uhr mit der Schwingungsdauer 

τ ′ = 2a ′ /c, wobei a ′ der Abstand der beiden Spiegel ist. 

Diese Uhr bewege sich nun gleichförmig mit der Geschwindigkeit v nach rechts. Im Laborsystem 

S misst man den Spiegelabstand a und die Schwingungsdauer τ, die nicht mit a ′ bzw. τ ′ 

übereinstimmen müssen. Wegen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist die benötigte Zeit τR 

für den Weg nach rechts länger als die Zeit τL für den Weg zurück: 

τR = 

wobei 

a + vτR 

c 

, τL = 

a − vτL 

c 

, ⇒ τ = τR + τL = a a 

+ 

c + v c − v = 2γ2a c 

γ = 

1 

� 1 − v 2 /c 2 


, (3.35) 

(3.36)


Abbildung 3.1: Gedankenexperiment zur Lorentztransformation: Auf einem Wagen sind zwei Spiegel montiert, 

zwischen denen ein Lichtblitz oszilliert. Im Eigensystem des Wagens S ′ haben die Spiegel den 

Abstand a ′ und die Laufzeit des Lichts beträgt τ ′ = 2a ′ /c. Der Wagen bewegt sich gegenüber 

dem Laborsystem S mit der Geschwindigkeit v. Wie man sehen kann, sind die Laufzeiten τ1 und 

τ2 für den Hin- und Rückweg unterschiedlich lang. Eine einfache Rechnung zeigt, dass sich das 

Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nur dann etablieren lässt, wenn Längen kontrahiert 

(a < a ′ ) und Zeitspannen gedehnt werden (τ > τ ′ ). 

der für die SRT typische Deformationsfaktor ist. Aus der obigen Gleichung ergibt sich sofort 

τ 

a 

τ′ 

= γ2 . (3.37) 

a ′ 

Dieses Gedankenexperiment zeigt also zunächst nur, wie sich das Verhältnis von Längen und 

Zeiten bei einem Bezugssystemwechsel ändert, nicht jedoch wie sich Längen und Zeiten selbst 

ändern. 

Wir wollen annehmen, dass sich Längen bei einem Bezugssystemwechsel gemäß a ′ = δa verändern, 

wobei der Faktor δ nur von der Relativgeschwindigkeit v abhängen soll. Ferner führen 

wir in beiden Systemen Koordinaten x,t bzw. x ′ ,t ′ ein, die am Ursprung dasselbe Ereignis repräsentieren. 

Um nun ein Ereignis im System S ′ am Ort x ′ zur Zeit t ′ zu charakterisieren, stellen 

wir uns in S ′ einen ruhenden von x ′ = 0 bis x ′ reichenden Stab vor. Vom System S aus gesehen 

ist die Länge des Stabes um den Faktor δ −1 verändert, zudem bewegt sich er sich mit der 

Geschwindigkeit vt. Folglich ist x = δ −1 x ′ + vt, also 

x ′ = δ(x − vt). (3.38) 

Dieses Transformationsgesetz muss reflexiv sein, also sowohl für S ′ (S) als auch für S(S ′ ) gelten. 

Dabei kehrt sich die Relativgeschwindigkeit v um: 

x = δ(x ′ + vt ′ ). (3.39) 

Wir betrachten nun einen vom Ursprung ausgehenden Lichtblitz. In beiden Systemen wird dieser 

Lichtblitz die Gleichung x = ct bzw. x ′ = ct ′ erfüllen. In diesem Fall reduzieren sich die 

obigen Gleichungen zu t = δ(1 + v/c)t ′ = δ 2 (1 + v/c)(1 − v/c)t, so dass δ = ±γ sein muss. 

Will man die Orientierung des Koordinatensystems beibehalten, wählt man die positive Lösung. 

Damit zeigt sich, dass a ′ = γa ist, der fahrende Eisenbahnwagen wird also vom Laborsystem 



aus um den Faktor γ verkürzt wahrgenommen. Wegen (3.37) folgt daraus τ = γτ ′ , d.h. Zeitintervalle 

werden um den Faktor γ gedehnt wahrgenommen. Auf diese Längenkontraktion und 

Zeitdilatation werden wir später zurückkommen. 

Man kann nun Gl. (3.39) in Gl. (3.38) einsetzen, nach t auflösen und wiederum die Reflexivität 

anwenden. Auf diese Weise erhält man den kompletten Satz der Transformationsgesetze 

x = γ (x ′ + vt ′ ) (3.40) 

t = γ (t ′ + vx′ 

) 

c2 (3.41) 

x ′ = γ (x − vt) (3.42) 

t ′ = γ (t − vx 

) 

c2 (3.43) 

Dies sind die speziellen (=nicht-spiegelnden) Lorentztransformationen in 1+1 Dimensionen. Es 

handelt sich um lineare Transformationen, die man etwas eleganter durch 

bzw. in Matrixform durch 

darstellen kann, wobei 

die sogenannte Rapidität ist. 

ct = ct ′ coshθ + x ′ sinhθ , x = x ′ coshθ + ct ′ sinhθ (3.44) 

� � 

ct 

x 

� �� 

coshθ sinhθ ct ′ 

= 

sinhθ coshθ 

x ′ 

(3.45) 

θ = atanh(v/c) (3.46) 

Um das Verhalten in 3+1 Dimensionen zu verstehen, wiederholen wir das Gedankenexperiment 

mit zwei parallelen Spiegeln in der xy-Ebene, die im Eigensystem des Wagens S ′ einen 

vertikalen Abstand b ′ besitzen, so dass ein in z-Richtung hin- und zurücklaufender Lichtblitz 

eine Gesamtlaufzeit τ ′ = 2b ′ /c benötigt. Bewegt sich dieser Wagen wiederum gegenüber dem 

Laborsystem S mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung, hat der Lichtstrahl einen längeren Weg 

2 � b 2 + v 2 (τ/2) 2 zurückzulegen, so dass c 2 τ 2 = 4b 2 + v 2 τ 2 bzw. τ = 2bγ/c ist. Wegen τ = γτ ′ 

muss dann aber b = b ′ sein, d.h. der vertikale Abstand der Spiegel bleibt unverändert. Folglich 

werden die Freiheitsgrade, die senkrecht auf der Relativgeschwindigkeit v stehen, nicht transformiert. 

Für v in x-Richtung lautet folglich die Lorentz-Transformation in 3+1 Dimensionen: 

⎛ ⎞ 

ct 

⎜ x ⎟ 

⎝ y ⎠ 

z 

= 

⎛ 

coshθ sinhθ 0 

⎞⎛ 

0 ct 

⎜ 

⎜sinhθ 

⎝ 0 

coshθ 

0 

0 

1 

0⎟⎜ 

⎟⎜ 

0⎠⎝ 

0 0 0 1 

′ 

x ′ 

y ′ 

z ′ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(3.47) 

Die Lichtgeschwindigkeit hat hier lediglich die Bedeutung eines Umrechnungsfaktors zwischen 

Zeit und Länge. Deshalb ist es in der Relativitätstheorie üblich, c = 1 zu setzen. 

Merke: Zeitabstände werden durch Bezugssystemwechsel um den Faktor γ gedehnt. Räumliche Ab- 

stände werden in Richtung der Relativgeschwindigkeit um den Faktor γ −1 kontrahiert. Abstände senk- 

recht auf der Relativgeschwindkeit bleiben unverändert. 



3.2.3 Minkowskiraum und Lorentz-Gruppe 

1907, also zwei Jahre nach Einsteins Veröffentlichung, erkannte Herrmann Minkowski, dass die 

spezielle Relativitätstheorie elegant in einem vierdimensionalen Vektorraum formuliert werden 

kann, der die eindimensionale Zeit und den dreidimensionalen Ortsraum zu einer vierdimensionalen 

“Raumzeit” vereinigt. Dieser sogenannte Minkowskiraum ist ein vierdimensionaler reeller 

Vektorraum R 3+1 , dessen Vektoren als Vierervektoren bezeichnet werden. In der Standardbasis 

sind die Komponenten eines Vierervektors x durch (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) := (ct,x,y,z) gegeben. Dabei 

ist es üblich, für die Indices der Komponenten x µ griechische Indices von 0...3 zu verwenden, 

während lateinische Indices weiterhin für die räumlichen Komponenten 1...3 vorbehalten sind. 

Der Minkowskiraum R 3+1 ist mit einem indefiniten Pseudoskalarprodukt 

x · y = η(x,y) = ηµνx µ y ν 

ausgestattet, wobei die Komponenten des metrischen Tensors η in der Standardbasis durch 

η µν = ηµν 

⎛ 

−1 

⎜ 

= ⎜ 

⎝ 

1 

1 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(3.48) 

(3.49) 

gegeben sind. 3 Man verwendet hier das Symbol η statt g, um anzudeuten, dass es sich um eine 

flache (gravitationsfreie) Raumzeit handelt. Die Signatur mit dem Minuszeichen in der nullten 

Komponente ist das einzige Element der Theorie, das der Zeit eine gesonderte Rolle zuschreibt. 4 

Lorentz-Transformationen sind nichts anderes als Koordinatentranformationen 5 

Λ : x → x ′ : x µ ′ = Λ µ νx ν , (3.50) 

unter denen dieses Skalarprodukt invariant ist, ähnlich wie das gewöhnliche Skalarprodukt des 

R 3 unter Drehungen invariant ist. Aus x · y = (Λx) · (Λy) folgt die Bedinungsgleichung 

Λ T ηΛ = η bzw. Λ ρ 

µ ηρτΛ τ ν = ηµν . (3.51) 

Diese Transformationen bilden eine Gruppe, die sogenannte Lorentz-Gruppe, welche die räumlichen 

Drehungen und die sogenannten Lorentz-Boosts, also Bezugssystemwechsel, umfasst. 

Lorentztransformationen sind passive Transformationen, d.h. sie beschreiben einen Wechsel 

zwischen Koordinatensystemen, nicht jedoch eine Veränderung der physikalischen Realität. Ein 

Koordinatensystem ist dabei nichts anderes als ein Bezugssystem eines Beobachters. Lorentztransformationen 

verknüpfen eine bestimmte Klasse von Koordinatensystemen, nämlich solche, 

in denen der metrische Tensor die oben angegebene Gestalt hat. Solche Bezugssysteme sind 

beschleunigungsfrei und werden als Intertialsysteme bezeichnet. 

3 Zum Begriff der Metrik vgl. Abschnitt 1.6.1 auf S. 24. 

4 In älteren Büchern wird manchmal noch die Zeit t durch eine imaginäre Zeit it ersetzt wird. Mit diesem Trick 

wird das Minuszeichen eingeführt, ohne überhaupt einen metrischen Tensor definieren zu müssen. Allerdings 

lässt sich diese Notation nicht auf die allgemeine Relativitätstheorie übertragen, weil dort beliebige metrische 

Tensoren auftreten können. 

5 vgl. Abschnitt 2.3.6 auf S. 53, wobei Λ µ ν der Transformationsmatrix M i j entspricht. 



Abbildung 3.2: Die Poincaré-Gruppe und ihre wichtigsten Untergruppen (siehe Text). 

Bemerkung: Für die jeweiligen Gruppen und Untergruppen werden folgende Bezeichnungen ver- 

wendet (siehe Abb. 3.2). Die Gesamtheit aller metrikerhaltender Transformation, also Drehungen, 

Lorentz-Boosts und Spiegelungen, bezeichnet man als Poincaré-Gruppe. Die Untergruppen orientie- 

rungserhaltender Transformationen mit Determinante +1 heissen speziell und werden durch ein vor- 

angestelltes ‘S’ gekennzeichnet. Die Untergruppe von Transformationen, welche die Orientierung des 

Zeitstrahls unverändert lassen, heissen orthocron und werden durch ein hochgestelltes ‘+’ markiert. 

Ohne nähere Angabe verstehen wir unter einer Lorentz-Transformation ein Element der speziellen 

orthochronen Lorentz-Gruppe SO + (3,1). 

3.2.4 Lorentz-Algebra 

Um die Generatoren der Lorentz-Gruppe SO + (3,1) zu bestimmen, betrachten wir infinitesimale 

Transformationen 

Λ = � + λ bzw. Λ µ ν = δ µ ν + λ µ ν , (3.52) 

wobei λ ≪ � ist. Die Bedingungsgleichung ΛT ηΛ = η führt auf λ T η = −ηλ, d.h. λ hat die 

Form 

λ µ ⎛ 

0 a b 

⎞ 

c 

ν 

⎜ 

= ⎜a 

⎝b 

0 

−d 

d 

0 

e ⎟ 

f ⎠ 

(3.53) 

c −e − f 0 

und ist demzufolge eine Linearkombination der folgenden 6 linear unabhängigen Generatoren 

⎛ 

⎜ 

λ (01) = ⎜ 1 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

λ (03) = ⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

λ (13) = ⎜ 

⎝ 

1 

1 

1 

1 

−1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

λ (02) = ⎜ 

⎝ 1 

⎛ 

⎜ 

λ (12) = ⎜ 

⎝ 

⎛ 

1 

1 

−1 

⎜ 

λ (23) = ⎜ 

⎝ −1 

1 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(3.54)


Dabei gibt der Doppelindex in Klammern die Ebene an, in der die Transformation wirkt. Die 

eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe SO + (3,1) ist damit eine 6-dimensionale Lie-Gruppe, 

da sie 6 linear unabhänge Generatoren besitzt. Die Transformationen Λ erhält man durch An- 

wendung der Exponentialfunktion 

Λ = exp � 

∑ 

0≤α


3.3 Relativistische Mechanik 

3.3.1 Hamiltonsche Systeme 

Ein mechanisches Hamiltonsches System ist definiert durch einen Konfigurationsraum, beschrieben 

durch die Variablen q α , der durch Hinzunahme der generalisierten Impulse p α zum Phasenraum 

Γ erweitert wird, sowie durch eine Funktion H({q α , p α }). Physikalische Teilchenbahnen 

sind Kurven c im Phasenraum, die folgenden Prinzipien unterliegen: 

• Hamiltonian constraint: 

Alle physikalischen Bahnen c liegen in der durch H = 0 gegebenen Hyperfläche 

Σ. 

• Prinzip der kleinsten Wirkung: 

Eine Kurve c in Σ vom Punkt {qα 1 } zum Punkt {qα 2 } ist eine physikalische 

Lösung, wenn das Wirkungsfunktional 

� � 

S[c] = θ = 

c c∑ α 

p α dq α 

eingeschränkt auf die Hyperfläche Σ extremal ist. 

Jedes elementare System der klassischen Physik, ob Punktteilchen oder Feldtheorie, ob relativistisch 

oder nichtrelativistisch, kann mit Hilfe einer Hamiltonschen Formulierung beschrieben 

werden. Das liegt vermutlich an der Tatsache, dass die Hamiltonsche Theorie als klassischer 

Grenzfall der Quantentheorie im Limes ¯h → 0 betrachtet werden kann. 

3.3.2 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen 

Wie bereits im Abschnitt 3.1.5 auf S. 71 angedeutet, können die Bewegungsgleichungen elegant 

in einem geometrischen Formalismus ausgedrückt werden. Dazu betrachten wir die Differentialform 

Ω = dθ = ∑ dp 

α 

α ∧ dq α 

(3.66) 

eingeschränkt auf die Hyperfläche Σ. Diese 2m − 1-Form hat eine ungerade Stufe und besitzt 

deshalb ein nichttriviales Nullvektorfeld X, d.h. 

dθ(X) = 0, (3.67) 

wobei die Gleichung zu lesen ist als dθ(X,Y) = 0 für alle Tangentialvektoren Y in Σ. Die 

physikalisch realisierten Bahnen folgen dem Nullvektorfeld X, sind also Orbits dieser Differentialform. 

Beweisskizze: Man kann das Prinzip der kleinsten Wirkung direkt mit Differentialformen beweisen. 

Sei c eine Bahn auf Σ, die dem obigen Vektorfeld X folgt, und c ′ eine infinitesimal variierte Bahn. 

Wie üblich werden die Koordinaten an den Endpunkten bei der Variation festgehalten, nicht jedoch 

die Impulse, d.h. die beiden Kurven haben geringfügig unterschiedliche Endpunkte im Phasenraum. 

Diese werden mit zwei weitere Kurvensegmente δc1 und δc2 miteinander verbunden. Verbindet man 

alle Teile, bildet δc1,c,δc2,−c ′ eine geschlossene Kurve auf Σ, die ein Gebiet G ⊂ Σ in Form eines 

länglichen Streifens umschließt. Es ist plausibel, dass das Flächenintegral � 

G Ω in erster Ordnung 


3.3 Relativistische Mechanik 81 

gleich Null ist, also verschwindet nach dem Stokeschen Theorem auch � 

∂G θ entlang dieser geschlossenen 

Kurve. Da die Koordinaten an den Endpunkten bei der Variation festgehalten werden, liefert 

dieses Integral auf den Ergänzungssegementen δc1,2 keinen Beitrag, d.h. 

� 

c 

� 

θ + 

−c ′ 

� 

θ = 0 ⇒ δS[c] = δ θ = 0. 

c 

Die obige Formulierung mit Differentialformen hat den Vorteil, dass sie automatisch invariant 

unter kanonischen Transformationen ist. In vielen Fällen ist es aber praktischer, in einem gegebenen 

Koordinatensystem zu arbeiten. Dazu wird die Bahn c des Teilchens mit einem Parameter 

τ ∈ (τa,τb) parametrisiert. Es gibt wie immer viele mögliche Parametrisierungen, - der Parameter 

τ hat deshalb keine direkte physikalische Bedeutung, insbesondere nicht die Bedeutung einer 

Zeit. Das Wirkungsfunktional ist gegeben durch das Kurvenintegral 

S[c] = 

� 

c 

θ = 

� τb 

τa 

dτ ∑ α 

p α (τ) dqα (τ) 

. (3.68) 

dτ 

Dieses Funktional soll nun auf der Hyperfläche Σ, d.h. unter der Nebenbedingung H = 0, extremalisiert 

werden. Dies erreicht man wie üblich mit der Methode der Lagrangeschen Multiplikatioren, 

wobei man für jeden Bahnpunkt einen eigenen Multiplikator λ(τ) benötigt. Das 

Wirkungsintegral lautet dann 

� 

� 

S[c] � = 

Σ 

� τb 

τa 

� 

dτ λ(τ)H(q 1 ,...,q m , p 1 ,..., p m ) +∑ 

α 

p α (τ) dqα (τ) 

� 

dτ 

Standardmethoden der Variationsrechnung führen auf die Differentialgleichungen 

H = 0, 

dq α 

dτ 

∂H 

= λ(τ) , 

∂ pα dp α 

dτ 

(3.69) 

∂H 

= −λ(τ) , (3.70) 

∂qα Die Multiplikatorfunktion λ(τ) ist die sogenannte Verlaufsfunktion (engl. lapse function), mit 

der die Freiheit bei der Parametrisierung der Kurve kompensiert wird. Ändert man also die 

Parametrisierung, wird sich auch die lapse function genau so ändern, dass die Bahn des Teilchens 

unverändert bleibt. Diese Parametrisierungsinvarianz kann als ein einfaches Beispiel einer 

Eichinvarianz interpretiert werden. Eine oft gewählt spezielle Eichung ist die lapse=1 gauge 

λ(τ) = 1, mit der die Bewegungsgleichungen die übliche Form der Hamiltonschen Gleichungen 

annehmen. 

H = 0, 

dq α 

dτ 

∂H 

= , 

∂ pα dp α 

dτ 

= − ∂H 

∂q α 

(3.71) 

Der Hamiltonformalismus ergibt sich als klassischer Grenzfall der Quantenphysik. Ob ein 

System relativistisch oder nichtrelativistisch ist, hängt nicht vom Hamiltonformalismus, sondern 

von der gewählten Geometrie und der Invarianzgruppe von H ab. Ein System ist 

nichtrelativistisch ⇔ H = pt + H0 



Abbildung 3.3: Schematische Skizze der wesentlichen Komponenten klassischer Theorien. Im Zentrum steht der 

Hamiltonsche Formalismus als Näherung der Quantenphysik im Limes ¯h → 0. Ob ein System relativistisch 

ist oder nicht, hängt von der gewählten Geometrie (Metrik) des Konfigurationsraums 

und damit der Struktur des gewählten Phasenraums ab. Die konkreten physikalischen Eigenschaften 

(Harmonischer Oszillator, Wasserstoffatom usw.) werden durch eine Hamiltonsche Zwangsbedingung 

H = 0 implementiert. 

wobei H0 die gewöhnliche nichtrelativistische Hamiltonfunktion ist. In diesem Fall haben die 

Bewegungsgleichungen für t und pt die Form 

∂ ∂H 

t = 

∂τ ∂ pt 

= 1, 

∂ 

∂τ pt = − ∂H 

. (3.72) 

∂qt 

Die erste Gleichung besagt, dass die Zeit t entkoppelt und nichts weiter tut als mit konstanter Geschwindigkeit 

1 bezüglich des Parameters τ voranzuschreiten, so dass man τ = t setzen darf. Die 

zweite Gleichung besagt, dass man pt als negative Energie −E interpretieren darf, die erhalten 

ist, sofern H0 nicht explizit von der Zeit abhängt. Die übrigen Bewegungsgleichungen reduzieren 

sich auf die üblichen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen in der nichtrelativistischen Physik. 

3.3.3 Relativistisches freies Teilchen 

Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie ist ein relativistisches mechanisches System definiert 

durch 

• einen Konfigurationsraum mit Minkowski-Metrik, 

• durch Hinzunahme der generalisierten Impulse einen dazugehörigen Phasenraum, 

• eine skalare Funktion H auf dem Phasenraum. 

Lorenz-Invarianz kommt dadurch zum Ausdruck, dass die Funktion H skalar ist, also invariant 

unter Wechseln des Koordinatensystems bezüglich der gewählten Metrik. 

Wir betrachten zunächst ein freies relativistisches Teilchen. Der Konfigurationsraum ist der 

4-dimensionale Minkowskiraum, in dem wir ein Koordinatensystem x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 wählen. Dieser 

Konfigurationsraum wird durch Hinzunahme der generalisierten Impulse p 0 , p 1 , p 2 , p 3 zu einem 

relativistischen 8-dimensionalen Phasenraum erweitert. Punkte in diesem Phasenraum werden 

also durch den Viererortsvektor x = (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) und den Viererimpuls p = (p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ) charakterisiert. 

Die Hamiltonfunktion H eines freien relativistischen Teilchens muss translationsinvariant 

(x-unabhängig) und skalar sein, d.h. konstant oder durch Kontraktion von p gebildet sein. 

Die einzige Möglichkeit ist 

H(p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ) = p · p + m 2 c 2 = p µ pµ + m 2 c 2 . (3.73) 


3.3 Relativistische Mechanik 83 

Die Konstante m bezeichnet man als Masse des Teilchens. Die Bewegungsgleichungen für dieses 

Problem lauten: 

p µ pµ = −m 2 c 2 , 

d 

dτ pµ = 0, 

d 

dτ xµ = p µ 

mit der Lösung 

(3.74) 

x(τ) = pτ + x0 bzw. x µ (τ) = p µ τ + x µ 

0 . (3.75) 

Die Hamiltonian constraint H = 0 impliziert, dass der Viererimpuls auf der Impulsschale (engl. 

momentum shell) p 2 = −m 2 c 2 liegen muss. Man beachte, dass τ weder die Zeit noch die Eigenzeit 

des Teilchens ist. 

Bemerkung: Um im gewählten Bezugssystem den Teilchenort �x als Funktion der tatsächlich gemessenen 

Zeit t zu erhalten, muss der artifizielle Parameter τ durch Auswertung der Hamiltonschen 

Zwangsbedingung eliminiert werden. In Komponenten lautet die obige Bewegungsgleichung 

⎛ ⎞ 

ct 

⎜ x ⎟ 

⎝ y ⎠ 

z 

= 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

E/c ct0 

⎜ px ⎟ ⎜ 

⎟ 

⎝ py ⎠τ + ⎜ x0 

⎟ 

⎝ y0 ⎠ . (3.76) 

pz z0 

Die erste Komponente entspricht der Gleichung t = t0 + E 

c 2 τ, wobei E die Teilchenenergie ist. Die 

Teilchenenergie erhält man aus der Hamiltonschen Zwangsbedingung −m 2 c 2 = p µ pµ = �p 2 − E 2 /c 2 

mit der positiven Lösung E = � p 2 c 2 + m 2 c 4 . Durch Einsetzen lässt sich τ eliminieren: 

�p 

�x(t) = � 

�p 2 

c2 + m2 t (3.77) 

An diesem Ergebnis sieht man: Auch wenn man einem Teilchen wie am CERN durch enorme Beschleunigung 

einen riesigen Impuls gibt, wird das Teilchen nie die Lichtgeschwindigkeit überschreiten 

können. 


4 Differentialgeometrie 

4.1 Elementare Konzepte der Differentialgeometrie 

4.1.1 Mannigfaltigkeiten 

Die Differentialgeometrie befasst sich mit der Geometrie gekrümmter 

Räume, sogenannter Mannigfaltikeiten. Ein einfaches 

Beispiel ist die Oberfläche einer Kugel. Eine Mannigfaltigkeit 

M besitzt eine bestimmte Dimension n und hat die 

besondere Eigenschaft, dass sie auf kleinen Abständen nahezu 

wie ein R n aussehen, ähnlich wie die Meeroberfläche lokal 

wie eine Ebene aussieht. 

Genauer: Eine reelle (komplexe) n-dimensionale Mannigfaltigkeit M ist ein Hausdorff-Raum, in 

dem jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die homöomorph zum R n (C n ) ist. Ein Homöomorphismus 

ist eine bijektive stetige Abbildung, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist. 

Oft ist eine solche Mannigfaltigkeit in einen höherdimensionalen ungekrümmten Vektorraum 

eingebettet, so wie z.B. die oben abgebildete zweidimensionale Kugeloberfläche in den R 3 eingebettet 

ist. Bei der Entwicklung der Differentialgeometrie hat es sich allerdings herausgestellt, 

dass es auch sogenannte abstrakte Mannigfaltigkeiten gibt, die sich nicht einbetten lassen. Wie 

wir sehen werden, ist die 4-dimensionale gekrümmte Raumzeit der ART eine solche abstrakte 

Mannigfaltigkeit, die sich nicht in einen übergeordneten 5-dimensionalen ungekrümmten Vektorraum 

einbetten lässt. Um solche Mannigfaltigkeiten mathematisch beschreiben zu können, 

muss die Differentialgeometrie so formuliert werden, dass sie ohne einen Einbettungsraum auskommt. 

Auf das Beispiel einer Kugeloberfläche bezogen würde das bedeuten, dass man deren 

gekrümmte Geometrie beschreibt, ohne sich dabei in radialer Richtung von der Kugeloberfläche 

zu entfernen. Die moderne Differentialgeometrie sucht also nach einer intrinsischen Beschreibung 

des gekrümmten Raums, ohne dabei auf einen umgebenden Einbettungsraum zurückgreifen 

zu müssen. Eine intrinsische Krümmung wäre z.B. daran erkennbar, dass die Winkelsumme 

in einem Dreieck ungleich 180 ◦ ist (siehe Abbildung). 

Bemerkung: Nicht jede in einem Einbettungsraum gekrümmte Fläche ist auch intrinsich gekrümmt. 

Ein Dreieck auf einem Zylinder hat beispielsweise immer die Winkelsumme 180 ◦ . Ein auf Zylinde- 

roberfläche gefangenes Lebewesen, dem die dritte Dimension nicht zugänglich ist, würde also keine 

lokale Krümmung feststellen können. 



4.1.2 Karten 

Im R n sind wir gewohnt, Punkte durch Angabe eines Vektors in einem bestimmten Koordinatensystem 

zu charakterisieren, wir sagen z.B. dass sich ein Teilchen am Ort x ∈ R n befindet. 

Gleiches gilt für den Minkowskiraum der speziellen Relativitätstheorie, in dem Ereignisse 

(Punkte) durch Vierervektoren repräsentiert werden. Auf einer Mannigfaltigkeit ist es dagegen 

nicht so einfach, die Lage eines Punktes zu beschreiben. Wenn ein Einbettungsraum zur Verfügung 

steht, kann man zwar weiterhin Vektoren benutzen, z.B. kann man die Oberfläche einer 

Kugel durch die Menge der Vektoren {r} mit ||r−r0|| = R beschreiben, die vom Mittelpunkt zur 

Oberfläche zeigen. Will man jedoch auf einen umgebenden Einbettungsraum verzichten, versagt 

dieses Konzept, z.B. liegt der Mittelpunkt einer Kugel außerhalb ihrer Oberfläche. Die Vektoren 

müssten gewissermaßen innerhalb der Mannigfaltigkeit definiert sein, doch wie soll man mit 

verbogenen Vektoren arbeiten? 

Um dieses Problem zu umgehen, bildet man die 

Mannigfaltigkeit auf Karten ab, ähnlich wie die 

Erdoberfläche auf Landkarten abgebildet wird. 

Da die Mannigfaltigkeit auf kurzen Distanzen 

annähernd eben ist, gibt es nämlich zu jedem 

Punkt p ∈ M eine Umgebung U(p) ⊂ M mit 

einer Abbildung ϕ : U → R n . Eine solche Karte 

wird auch als lokales Koordinatensystem bezeichnet. 

Oft reicht eine einzige Karte nicht 

aus, um die gesamte Mannigfaltigkeit abzubilden, 

man braucht deshalb eine Kollektion mehrerer 

sich überlappender Karten, mit der die gesamte 

Mannigfaltigkeit abgedeckt wird. Eine solche 

Kollektion nennt man einen Atlas. 

Genauer: Eine Karte (auch lokales Koordinatensystem genannt) ist definiert als ein Paar (U,ϕ) bestehend 

aus einer offenen Teilmenge U ⊂ M und einem Homöomorphismus ϕ : U → R n . Eine Menge 

heißt offen. wenn es zu jedem Punkt p ∈ U eine Umgebung gibt, die vollständig in U liegt, wenn U 

also gewissermaßen keinen Rand hat. Eine Menge {Ui} von offenen Teilmengen von M heißt offene 

Überdeckung von M , wenn � 

iUi = M ist. Mit der Offenheit wird sichergestellt, dass aneinandergrenzende 

Teilmengen überlappen, also eine nicht-leere Schnittmenge besitzen. Eine Kollektion von 

Karten {(Uiϕi)}, deren Teilmengen Ui die Mannigfaltigkeit M offen überdecken, heißt Atlas von M . 

Atlanten geben uns also die Möglichkeit, eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit auf Teilgebiete 

des R n abzubilden und damit auf gewohnte Weise darzustellen. Atlanten sind nicht eindeutig, da 

es unendlich viele mögliche Projektionen und Aufteilungen gibt. Will man also eine abstrakte 

Eigenschaft einer Mannigfaltigkeit mit Hilfe von Karten berechnen, muss das Ergebnis von der 

gewählten Darstellung unabhängig sein, also für alle Atlanten übereinstimmen. 

Bereits die Kugeloberfläche S 2 ⊂ R 3 lässt sich nicht mit einer einzigen Karte abbilden, sondern 

man benötigt mindestens zwei Karten, z.B. für die Nord- und Südhalbkugel. In der Differentialgeometrie 

sind aneinandergrenzende Karten so beschaffen, dass sie überlappen. Diese 

Überlapplungsgebiete stellen sicher, dass man auf einfache Weise von einer Karte zur anderen 

wechseln kann. Mit Kartenwechseln werden wir uns im folgenden Abschnitt auseinandersetzen. 


4.1 Elementare Konzepte der Differentialgeometrie 87 

Abbildung 4.1: Kartenwechsel: Die Abbildung zeigt eine Mannigfaltigkeit mit zwei Karten (Uα,ϕα) und 

(U β ,ϕ β ), deren offene Urbilder überlappen, also eine offene nicht-leere Schnittmenge Uα ∩U β 

besitzen. Ein Kartenwechsel ist eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Bildmengen 

ϕα(Uα ∩U β ) und ϕ β (Uα ∩U β ), die sich wie oben dargestellt durch Hintereinanderausführung 

von ϕ −1 

α und ϕ β konstruieren lässt. 

4.1.3 Kartenwechsel 

Wir betrachten nun zwei Karten eines Atlanten, deren Urbildmengen Uα und U β auf der Mannigfaltigkeit 

überlappen (siehe Abb. 4.1), d.h. die gemeinsame Schnittmenge Us := Uα ∩U β wird 

in beiden Karten dargestellt. Wie in der Abbildung illustriert, kann man die beiden Bildmengen 

ϕα(Us) ∈ R n und ϕ β (Us) ∈ R n mit Hilfe der Abbildung 

f := ϕ β ◦ ϕ −1 

α 

und ihrem Inversen f −1 := ϕα ◦ ϕ −1 

β aufeinander abbilden. Eine solche Abbildung ist per Konstruktion 

stetig und wird als Koordinatentransformation bezeichnet. 

Bemerkung: Obwohl eine Koordinatentransformation f Teilmengen 

von R n nach R n abbildet, also einen gewöhnlichen Vektorraum auf sich 

selbst, heißt das nicht, dass f linear ist. Beispielsweise überlappen die 

beiden auf der rechten Seite zu sehenden Karten im Bereich der Ant- 

arktis. Die Antarktis hat aber in der oben in der Mercator-Projektion 

eine extrem verzerrte Form, die sich stark von der unten dargestellten 

Draufsicht unterscheidet. Die Abbildung f , die zwischen diesen beiden 

Darstellungen vermittelt, ist also in diesem Fall nichtlinear. 

Zwei Karten heißen C k -kompatibel, wenn die Koordinatentransformation zwischen ihnen k-fach 

differenzierbar sind, wenn also alle partiellen Ableitungen k-ter Ordnung existieren. Eine Mannigfaltigkeit 

heißt differenzierbar bzw. glatt, wenn die Karten ihrer Atlanten C ∞ -kompatibel 

sind, Koordinatentransformationen also unendlich oft differenziert werden können. Eine Mannigfaltigkeit 

heißt analytisch, wenn die Koordinatentransformationen Taylor-entwickelt werden 

können. 


(4.1)


Abbildung 4.2: Funktion f : M → R und ihre Darstellung f ◦ ϕ −1 auf einer Karte (U,ϕ). 

4.1.4 Funktionen auf Mannigfaltigkeiten 

Auf einer Mannigfaltigkeit M können Funktionen f erklärt sein, die jedem Punkt p ∈ M einen 

Wert f (p) zuordnen. Die Temperatur auf der Erdoberfläche ist beispielsweise eine Abbildung 

f : M → R. Natürlich kann man die Funktionswerte auch in die Karten der Mannigfaltigkeit 

eintragen. Eine Abbildung f : M → R induziert auf diese Weise eine entsprechende Funktion 

F = f ◦ ϕ −1 : ϕ(U) → R, die einen Ort x auf der Karte auf den dazugehörigen Funktionswert 

F(x) := f (ϕ −1 (x)) abbildet. Diese Abbildungsverkettung ist anschaulich in Abb. 4.2 dargestellt. 

Eine Funktion f : Up → R auf einer Umgebung p ∈ Up ⊂ M heißt differenzierbar im Punkt p, 

wenn die zugeordnete Funktion auf der Karte F : ϕ(Up) → R an der entsprechenden Stelle ϕ(p) 

im gewöhnlichen Sinne differenzierbar ist. Man kann beweisen, dass der Begriff der Differenzierbarkeit 

darstellungsunabhängig, also unabhängig von der Wahl der Karten ist. Die Menge 

aller im Punkt p differenzierbaren Funktionen f : Up → R wollen wir mit Fp(M ) bezeichnen. 

Eine Funktion f : M → R heißt (global) differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt p ∈ M differenzierbar 

ist. Die Menge aller differenzierbaren Funktionen auf M wollen wir im folgenden 

mit F (M ) bezeichnen. 

4.1.5 Tangentialraum und Kotangentialraum 

Der Steuermann bekommt die Anweisung, mit 20 

Knoten Geschwindigkeit in nordwestliche Richtung 

zu fahren. Diese Information lässt sich als Vektor 

v in einer Ebene interpretieren, die Tangentialraum 

genannt wird. 

Wie oben dargestellt bezieht sich der Tangentialraum auf einen bestimmten Punkt p der Mannigfaltigkeit 

und wird deshalb mit TpM (Tangentialraum von M in p) bezeichnet. Man darf 

sich TpM als einen in p tangential angehefteten lokalen Raum vorstellen, der im Gegensatz zur 

Mannigfaltigkeit immer flach, also isomorph zum R n ist. 

Die anschauliche Darstellung suggeriert, dass der Tangentialraum Teilmenge eines umgebenden 

Einbettungsraums sei. Wie aber definiert man den Tangentialraum, wenn kein Einbettungsraum 

zur Verfügung steht? Vektoren, die aus der Mannigfaltigkeit ‘herausragen’ machen hier 

keinen Sinn. Wie also lässt sich die Geschwindigkeit eines Schiffes auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit 

charakterisieren? Die Lösung dieses Problems wurde bereits in Abschnitt 2.3.1 auf 

S. 46 angesprochen und soll hier noch einmal in Erinnerung gerufen werden. 



Richtungsableitungen und Differentiale: 

Der Weg des Schiffes als Funktion der Zeit wird durch eine parametrisierte glatte Bahnkurve 

c : R → M beschrieben, wobei wir ohne Einschränkung annehmen wollen, dass c(0) = p ist. 

Naiv würde man zunächst versuchen, die Geschwindigkeit des Schiffes als Ableitung 

c ′ (0) = d 

dt c(t) 

� 

� 

� 

� t=0 

c(τ) − c(0) 

= lim 

τ→0 τ 

zu definieren, was aber unmöglich ist, da die Mannigfaltigkeit keine Vektorraumstruktur besitzt, 

so dass die Differenz von Punkten c(τ) − c(0) gar nicht erklärt ist. 

Um diese Schwierigkeit zu umgehen, stellt man sich die Frage, wie sich Funktionen auf der 

Mannigfaltigkeit entlang der Bahn ändern, wie sich also beispielsweise die Temperatur beim 

Durchfahren des Punktes p als Funktion der Zeit ändert. Für eine in p differenzierbare Funktion 

f ∈ F (M ) ist nämlich für die verkettete Abbildung f ◦ c : R → R die Ableitung 

∂c f := d 

dt 

� 

� 

f (c(t)) 

wohldefiniert (vgl. Gl. 2.64). Für einen gegebenen Punkt p ∈ M hängt der Wert dieser Ableitung 

offenbar nur von den lokalen Eigenschaften der Kurve c und der Funktion f im Punkt p ab, 

nicht aber von deren Beschaffenheit außerhalb dieses Punktes. Man kann deshalb für gegebenes 

p sowohl für die Bahnen als auch für die Funktionen Äquivalenzklassen bilden: 

� t=0 

(4.2) 

(4.3) 

• Äquivalente Bahnen: c1 ∼ c2 ⇔ ∂c1 f = ∂c2 f ∀ f ∈ Fp(M ) 

Zwei Bahnen heißen äquivalent in p, wenn sie mit gleicher Richtung und Geschwindigkeit 

den Punkt p passieren. Die Menge der entsprechenden Äquivalenzklassen bezeichnet 

man als Tangentialraum TpM , dessen Elemente Xp ∈ TpM als Richtungsableitungen interpretiert 

werden. Man kann zeigen, dass der Tangentialraum TpM ein Vektorraum ist. 

• Äquivalente Funktionen: f1 ∼ f2 ⇔ Xp f1 = Xp f2 ∀Xp ∈ TpM. 

Zwei Funktionen heißen äquivalent in p, wenn sie in all ihren Richtungsableitungen in 

p übereinstimmen. Die Menge der entsprechenden Äquivalenzklassen bezeichnet man als 

Kotangentialraum T ∗ p M . Dessen Elemente d fp ∈ T ∗ p M werden als Differentiale interpretiert, 

also als 1-Formen auf dem Tangentialraum mit der Wirkungsweise 

Tangential- und Kotangentialbündel 

Jedem Punkt p ∈ M der Mannigfaltigkeit wird ein individueller 

Tangentialraum TpM zugeordnet. Obwohl all diese Räume isomorph 

zum R n sind, handelt es sich um verschiedene Räume, also 

um disjunkte Mengen. 

d fp(Xp) = Xp( f ). (4.4) 

Die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume, sozusagen der Strauß der Tangentialebenen 

aller Punkte p ∈ M , wird als Tangentialbündel T M bezeichnet. Auf ähnliche Weise erhält man 

das Kotangentialbündel T ∗ M als disjunkte Vereinigung der Kotangentialräume T ∗ p M . 



Bemerkung: Man sollte sich vergegenwärtigen, dass der Tangentialraum 

• stets flach ist, während die Mannigfaltigkeit gekrümmt sein kann. 

• nicht die Existenz eines Einbettungsraums voraussetzt und deshalb – anders als es die obige 

Abbildung suggeriert – nicht als Teilraum eines Einbettungsraums interpretiert werden sollte. 

• genau wie die Bildräume der Karten isomorph zum R n ist, jedoch keinesfalls mit Karten verwechselt 

werden darf. 

Exkurs: Faserbündel 

Tangential- und Kotangentialbündel sind sogenannte Faserbündel. Um diesen Begriff anhand 

eines einfachen Beispiels zu verstehen, stelle man sich die in Abb. 4.3 gezeigte xy-Ebene vor. 

Diesen Totalraum E = R 2 kann man interpretieren als einen Basisraum B = R (x-Achse), an 

dem in jedem Punkt eine senkrechte Faser in y-Richtung angebracht ist, so dass der Totalraum 

die disjunkte Vereinigung aller Fasern ist und deshalb als Faserbündel (engl. fiber bundle) bezeichnet 

wird. In diesem Raum gibt es eine natürliche Projektionsabbildung π : E → B, die 

sogenannte Bündelprojektion, die jeder Faser ihren Basispunkt. also den entsprechenden Punkt 

auf der x-Achse zuordnet. 

Wir stellen uns nun eine Funktion f (x) in der xy-Ebene vor. Diese Funktion schneidet jede 

Faser in zwei Hälften und definiert damit einen Schnitt im Faserbündel. Ist die Funktion stetig 

differenzierbar, spricht man von einem glatten Schnitt. 

In der Mathematik kann der Basisraum ein beliebiger topologischer Raum sein, im Kontext 

der allgemeinen Relativitätstheorie handelt es sich in der Regel um eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, 

nämlich die gekrümmte Raumzeit. Je nachdem, wie die Fasern beschaffen sind, 

d.h. welche Art von mathematischen Objekten in den Punkten des Basisraums angeklebt werden, 

unterscheidet man unterschiedliche Typen von Faserbündeln. Im Normalfall handelt es sich 

um Vektorräume, in diesem Fall spricht man von Vektorbündeln oder Vektorraumbündeln, also 

Familien von Vektorräumen, die durch die Punkte einer Mannigfaltigkeit parametrisiert sind. 

Ein Tangentialbündel T M ist ein spezielles Vektorraumbündel, dessen Fasern gerade die 

Tangentialräume TpM sind. Die Fasern des entsprechenden Kotangentialbündels T ∗ M sind die 

dazu dualen Kotangentialräume T ∗ p M . Ein Vektorfeld ist ein Kontinuum von Vektoren in T M , 

Abbildung 4.3: Einfaches Beispiel eines Faserbündels (siehe Text). 



deren Komponenten auf allen Karten stetig differenzierbare Funktionen der Koordinaten sind. 

Ein Vektorfeld ist also ein Schnitt im Tangentialbündel. Ein Feld von 1-Formen oder Differentialen 

ist dementsprechend ein Schnitt im Kotangentialbündel. 

Koordinatenbasis 

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit wird durch eine Kollektion von Karten dargestellt. Sei 

ϕ : U → R n eine solche Karte von einer Teilmenge U ∈ M . Die Vektorkomponenten x µ auf 

der Karte können dann als n differenzierbare Funktionen x µ : U → R aufgefasst werden, die 

Koordinaten genannt werden. Wie bereits in Abschnitt 2.3.4 auf S. 51 beschrieben, wird dadurch 

eine Basis ausgezeichnet: 

• Die Kurven, für die alle Koordinaten bis auf x µ konstant sind, repräsentieren in jedem 

Punkt p ∈ M Richtungsableitungen eµ = ∂µ = ∂ 

∂x µ , die eine Basis von TpM sind. 

• Die Differentiale dx ν der Koordinatenfunktionen erfüllen wegen (4.4) die Relation 

dx ν (∂µ) = ∂µx ν = δ ν µ und bilden deshalb die dazugehörige Basis des Dualraums T ∗ p M . 

Die so definierte Koordinatenbasis hängt stark von der Wahl der Kartenabbildung ab. Bezüglich 

einer gegebenen Metrik g sind die Basisvektoren ∂µ im allgemeinen weder normiert noch 

orthogonal. In der allgemeinen Relativitätstheorie ist es üblich, Indices bezüglich der Koordinatenbasis 

durch griechische Indices zu kennzeichnen. 

Darstellung in Koordinatenbasis ⇔ Griechische Indices 

Koordinatenbasen zeichnen sich, wie wir im folgenden Abschnitt sehen werden, durch verschwindende 

Strukturkoeffizienten aus und spielen deshalb eine besondere Rolle. 

Strukturkoeffizienten 

Die Wahl der Darstellung bzw. Basis ist beliebig und hat keinen Einfluss auf die Physik, wohl 

aber auf den Rechenaufwand. In manchen Fällen kann es vorkommen, dass sich die Koordinatenbasis 

als unzweckmäßig erweist und man lieber mit einer anderen Basis {ei} arbeiten möchte, 

die wir – um sie von der Koordinatenbasis unterscheiden zu können – wie am Anfang der Vorlesung 

mit lateinischen Indices versehen wollen. Eine solches Basisvektorfeld lässt sich natürlich 

wiederum in der Koordinatenbasis darstellen: 

Die Umkehrabbildung lautet 

ei = e µ 

i ∂µ 

(4.5) 

∂µ = e k µek , (4.6) 

wobei e k µ die zu e µ 

i inverse Matrix ist. Was zeichnet die Koordinatenbasis gegenüber einer beliebigen 

Basis aus? Dazu bilden wir die Lie-Klammer zweier Basisvektoren. 

Zur Erinnerung: Vektoren ergeben angewandt auf eine Funktion die Richtungsableitung, also wiederum 

eine Funktion. Das ermöglicht die Mehrfachanwendung von Vektoren, doch ist eine solche 

Mehrfachverknüpfung im allgemeinen kein Vektor mehr, da höhere Ableitungen entstehen. Bei der 

Lie-Klammer (Kommutator) heben sich allerdings die zweiten Ableitungen heraus, so dass die Lie- 

Klammer zwei Vektoren auf einen neuen abbildet. Vgl. Abschnitt 2.4.6 auf S. 59. 



Die Lie-Klammer lautet 

bzw. 

wobei die Zahlen 

[ei,ej] = 

� 

(∂νe µ 

j )eνi − (∂νe µ 

i )eν � 

j ∂µ 

(4.7) 

[ei,ej] = c k i jek , (4.8) 

c k i j = (∂νe µ 

j )eν i e k µ − (∂νe µ 

i )eν j e k µ 

die sogenannten Strukturkoeffizienten der Basis sind. Eine einfache Rechnung zeigt sofort, dass 

die Strukturkoeffizienten in der Koordinatenbasis verschwinden. Diese spezielle Eigenschaft 

zeichnet Koordinatenbasen gegenüber allgemeinen Basen aus. 

Dieses Ergebnis lässt sich anschaulich folgendermaßen interpretieren. Die Lie-Klammer [X,Y] 

lässt sich als Kommutator zweier Verschiebungen auffassen. Sie beschreibt anschaulich, ob es 

in niedrigster Ordnung einen Unterschied macht, sich zuerst in X- und dann in Y-Richtung zu 

bewegen oder umgekehrt. Man kann leicht Beispiele finden, für die dieser Kommutator ungleich 

Null ist. 1 Koordinatensysteme sind aber per Definition so gebaut, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge 

man die Koordinaten abzählt, ob man also zuerst in x- und dann in y-Richtung wandert 

oder umgekehrt, – man gelangt immer zu einem eindeutig durch die Koordinaten beschriebenen 

Punkt. 

4.2 Paralleltransport 

4.2.1 Transport geometrischer Objekte 

Obwohl die Erdoberfläche gekrümmt ist, wissen Kapitäne oder Piloten nach wie vor, wie man 

sich ’geradeaus’ fortbewegt, nämlich indem man das Ruder in neutraler Position hält. Eine 

solche Bahn, die eine Geradeausbewegung auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit beschreibt, 

nennt man eine geodätische Linie oder kurz Geodäte. Wie wir sehen werden, sind geodätische 

Linien dadurch charakterisiert, dass sie zwei Punkte auf kürzestem Wege verbinden. Flugzeuge 

und Schiffe bewegen sich deshalb in der Regel auf geodätischen Linien, d.h. auf Großkreisen. 

Obwohl geodätische Linien für ‘Geradeausbewegung’ stehen, erscheinen sie auf einer Karte im 

Regelfall nicht als Geraden, sondern sind gekrümmt dargestellt (siehe Abb. 4.4). 

Eine zentrales Problem in der Differentialgeometrie ist der Transport von Information von 

einem Ort zum anderen, also die Frage, wie man ein mathematisches Objekt auf einem Schiff 

transportieren kann. Bei Skalaren ist das sehr einfach: Der Skalar, also z.B. die Zahl 27, wird 

an Bord genommen, transportiert und schließlich unverändert am Zielort ausgeladen. Wie aber 

transportiert man Tangentialvektoren? 

1 z.B. X = x∂x und Y = ∂y im R 2 


(4.9)

4.2 Paralleltransport 93 

Abbildung 4.4: Obwohl Flugzeuge auf dem kürzesten weg geradeaus fliegen, erscheinen die Flugrouten auf einer 

Karte gekrümmt. [Bild: T. Geisel, Göttingen] 

Für den Kapitän des Schiffes ist der zu transportierende Tangentialvektor ein Pfeil, der in eine 

bestimmte Richtung weist. So lange das Schiff geradeaus fährt, ist es vernünftig, den Pfeil so 

zu transportieren, dass der relative Winkel zwischen Schiff und Pfeil konstant bleibt. Bei einer 

Kursänderung des Schiffes um den Winkel φ ist es dagegen vernünftig, den Pfeil relativ zum 

Schiff entgegengesetzt um den Winkel −φ zu drehen, damit dessen ‘wirkliche’ Orientierung 

erhalten bleibt. Dieses einfache Protokoll erlaubt es, Tangentialvektoren auf jeder beliebigen 

Bahn zu transportieren. 

4.2.2 Paralleltransport von Tangentialvektoren 

Während der Transport eines Tangentialvektors aus der Perspektive des Kapitäns noch recht 

einfach zu verstehen ist, kann die entsprechende Situation auf einer Karte sehr viel unübersichtlicher 

aussehen. Dazu stellen wir uns ein Schiff vor, das auf einem Großkreis geradeaus fährt, 

der nicht in der Äquatorialebene liegt (siehe Abb. 4.5). Auf einer Seekarte hat diese Route eine 

Form, die einer Sinuskurve ähnelt und der transportierte Vektor scheint ständig seine Richtung 

zu ändern. Natürlich ist diese Richtungsänderung nur eine scheinbare, die durch die Wahl der 

Karte bedingt ist. Auf einer Karte sind also scheinbare (koordinatenbedingte) und echte (durch 

Kurswechsel des Schiffes verursachte) Richtungsänderungen im allgemeinen überlagert und auf 

den ersten Blick nicht ohne weiteres leicht zu trennen. 

Abbildung 4.5: Ein Schiff transportiert einen Tangentialvektor (siehe Text). 



Abbildung 4.6: Paralleltransport eines Tangentialvektors entlang einer Kurve c (siehe Text). 

Wir wollen dieses Phänomen nun etwas genauer formulieren. Abb. 4.6 zeigt einen Teil der 

Bahnkurve eines Schiffes dargestellt auf einer Karte. Dieses Schiff transportiert einen Tagentialvektor 

Z vom Punkt c(λ) zum Punkt c(λ + δλ) gemäß des oben beschriebenen Protokolls. Das 

Resultat dieser Verschiebung sei der Vektor Z ′ . Obwohl der Vektor in Wirklichkeit seine Richtung 

beibehält, wird er in der Darstellung auf einer Karte im allgemeinen seine Richtung ändern, 

d.h. Z ′ weist auf der Karte in eine andere Richtung als Z. Auf der Karte reicht es also nicht aus, 

den Vektor Z lediglich zu verschieben (das ergäbe den gestrichelten Vektor), sondern es ist eine 

zusätzliche Korrektur erforderlich, die in der Abbildung als roter Differenzvektor dargestellt ist. 

Dieser rote Differenzvektor wird um so größer sein, je größer die Verschiebung δλ ist und je 

länger der zu verschiebende Vektor ist. Für δλ ≪ 1 ist es deshalb vernünftig anzunehmen, dass 

beide Abhängigkeiten linear sind. Wir erwarten also, dass 

δZ = δλ Γ(X,Z) (4.10) 

ist, wobei X = d 

dλ c(λ) der Tangentialvektor entlang der Kurve und Γ(X,Z) eine in einem noch 

zu präzisierenden Sinne bilineare Abbildung zweier Vektoren X und Y auf einen Vektor ist. Für 

gegebenes X ist hat man damit also eine lineare Abbildung zur Verfügung, welche auf der Karte 

die erforderliche Richtungskorrektur von Y generiert, damit dieser Vektor seine ‘wirkliche’ 

Richtung auf T M beibehält. 

4.2.3 Ableitung von Vektorfeldern 

Wir betrachten nun ein Tangentialvektorfeld Y auf der Mannigfaltigkeit. Ein Beispiel wäre die 

Windgeschwindigkeit auf der Erdoberfläche, die wir uns als ortsabhängig jedoch zeitunabhängig 

vorstellen. Von einer Richtungsableitung ∇XY dieses Vektorfeldes erwarten wir, dass sie darüber 

Auskunft gibt, wie sich das Vektorfeld in niedrigster Ordnung ändert, wenn man sich ein kleines 

Stück in die Richtung X geradeaus bewegt. Mit anderen Worten: Die Richtungsableitung liefert 

die Änderungsrate von Y bei Bewegung in Richtung X und ist damit selbst vektorwertig. 

Aus der Perspektive des Kapitäns ist diese Ableitung einfach zu bilden. Zunächst misst er 

Windgeschwindigkeit, stellt also den aktuellen Wert des Vektorfeldes am Aufenthaltsort des 

Schiffes fest. Der Kapitän segelt dann ein Stück in eine gegebene Richtung, wobei er den gemessenen 

Vektor unverändert lässt, also gemäß dem oben beschriebenen Protokoll parallel transportiert. 

Danach wird die Windrichtung erneut gemessen und mit der alten, d.h. mit dem parallel 



Abbildung 4.7: Heuristische Motivation der kovarianten Ableitung eines Vektorfeldes (siehe Text). 

transportierten Vektor, verglichen. Die Differenz dividiert durch die zurückgelegte Distanz ergibt 

die Richtungsableitung. 

Weil diese Prozedur die Parallelverschiebung eines Vektors erfordert, muss die Darstellung 

einer solchen Richtungsableitung auf einer Karte die zuvor beschriebene Richtungskorrektur 

berücksichtigen. Dieser Mechanismus ist in Abb. 4.7 skizziert. Im Vergleich zur vorherigen 

Abbildung ist hier zusätzlich ein Vektorfeld Y gezeigt, dessen Verlauf durch orange Feldlinien 

angedeutet wird. Im Startpunkt c(λ) hat dieses Vektorfeld den Wert Y = Y(λ). Das Schiff nimmt 

diesen Vektor an Bord und transportiert ihn parallel bis zum Zielort c(λ + δλ). Die Richtung 

des transportierten Vektors Y ′ ist am Zielort in Wirklichkeit unverändert, erscheint aber auf der 

Karte gegenüber dem ursprünglichen Vektor Y verdreht mit einer Korrektur δY ≈ δλ Γ(X,Y). 

Das Vektorfeld am Zielort Y(λ + δλ) wird mit dem parallel transportierten Vektor verglichen 

und durch die Distanz dividiert, d.h. die Richtungsableitung entlang der Kurve ist gegeben durch 

Folglich ist 

Y(λ + δλ) − Y 

∇XY = lim 

δλ→0 

′ 

. (4.11) 

δλ 

(Y(λ + δλ) − Y) + (Y − Y 

∇XY = lim 

δλ→0 

′ ) 

δλ 

= ∂XY + Γ(X,Y) (4.12) 

Die ‘wirkliche’ Richtungsableitung, die als kovariante Ableitung bezeichnet wird, unterscheidet 

sich also von der gewohnten Richtungsableitung auf der Karte durch eine Korrektur in Form 

einer bilinearen Abbildung Γ(X,Y). 

4.2.4 Zusammenhänge 

In der Differentialgeometrie wird der oben anschaulich beschriebene Vorgang der Richtungskorrektur 

durch sogenannte Zusammenhänge (engl. connections) realisiert. Ein Zusammenhang 

ist eine mathematische Vorschrift, wie man bei einer Bewegung auf der Mannigfaltigkeit vom 

einen zum nächsten Tangentialraum gelangt (allgemeiner: wie man in einem Faserbündel von 

einer Faser zur nächsten gelangt). Vereinfacht ausgedrückt gibt diese Vorschrift an, durch welche 



Transformation benachbarte Tangentialräume miteinander ‘verklebt’ sind, wie also die Raumpunkte 

zusammenhängen. Wie wir später sehen werden, kann man sich intrinsische Krümmung 

vorstellen als eine Art Verdrehung in dieser Verklebung. 

Zusammenhänge können auf unterschiedliche Weise eingeführt und darstellt werden. Wir beginnen 

hier mit einer darstellungsfreien Formulierung, die von Koszul 1950 eingeführt wurde. 

Demnach ist ein Zusammenhang definiert als Abbildung ∇, die auf zwei stetig differenzierbare 

Vektorfelder X und Y wirkt. Die Wirkungsweise lässt sich anschaulich so beschreiben: 

∇XY ist die Änderungsrate des VektorfeldesY bezüglich eines 

parallel mitgeführten Vektors, wenn man sich in Richtung X bewegt. 

Der Zusammenhang ∇ erfüllt folgende Axiome: 

(1) ∇X1+X2Y = ∇X1Y + ∇X1Y (2) ∇X(Y1 + Y2) = ∇XY1 + ∇XY2 

(3) ∇ f XY = f ∇XY 

(4) ∇X(gY) = g∇XY + X(g)Y, 

wobei f ,g stetig differenzierbare Funktionen auf der Mannigfaltigkeit sind. Die ersten drei Axiome 

besagen, dass ∇ ein bilinearer Operator ist. Auch (4) ist eine Art Linearitätsgesetz, wobei es 

aber wegen der möglichen Ortsabhängigkeit von g zu einer Art Produktregel kommt. 

Stellt man sich das Vektorfeld X als Führungsfeld für Bahnen vieler Schiffe vor, die jeweils 

einen Tangentialvektor Y richtungserhaltend mit sich führen, dann würde der im vorherigen 

Abschnitt beschriebene Paralleltransport zu einem Vektorfeld Y führen, dessen Zusammenhang 

gleich Null ist: 

∇XY = 0. (4.13) 

Das Vektorfeld X beschreibt geodätische Linien, wenn sich seine eigene Richtung bei Bewegung 

entlang dieser Linien nicht ändert, wenn also gilt: 

4.2.5 Darstellung des Zusammenhangs 

∇XX = 0 (4.14) 

Sei {ei} ein beliebiges Basisvektorfeld auf T M . Da die Abbildung ∇ bilinear ist, kann man 

sie vollständig durch ihre Wirkungsweise auf die Basisvektoren charakterisieren, d.h. die Tangentialvektoren 

∇ei e j =: ∇ie j legen den Zusammenhang ∇ vollständig fest. Diese durch i, j indizierten 

Ergebnisvektoren kann man wiederum als Linearkombination über den Basisvektoren 

darstellen, d.h. 

∇ jei = Γ k i jek . (4.15) 

Die Linearfaktoren Γk i j bezeichnet man als Zusammenhangskoeffizienten. Sie beschreiben, mit 

welcher Rate sich die k-te Komponente des Basisvektorfeldes ei ändert, wenn man sich in Richtung 

e j bewegt. 

Stellt man die im letzten Abschnitt verwendeten Vektorfelder in dieser Basis durch 

X = X j e j , Y = Y i ei , ∇XY = [∇XY] k ek (4.16) 



dar, so ergibt sich mit den Axiomen (3) und (4) die Darstellung 

[∇XY] k = � ∇ (X j e j)(Y i ei) � k = X j � ∇ j(Y i ei) � k 

� k 

= X j� Y i ∇ jei + e j(Y i )ei 

= X j Y i Γ k i j + X j e j(Y i ) [ei] k 

�� 

=δ k 

i 

= X j e j(Y k ) + Y i Γ k i jX j 

(4.17) 

Der erste Term in der letzten Zeile enthält den Basisvektor ei, der als Richtungsableitung interpretiert 

werden kann, – dieser Term beschreibt also die Richtungsableitung der Vektorkomponente 

Y k in der gegebenen Darstellung. Da man Ableitungen als Generatoren von Translationen 

auffassen kann, beschreibt der erste Term eine Verschiebung des Vektors Y derart, dass er seine 

Richtung in der gewählten Darstellung nicht ändert. Im zweiten Term können die Zusammenhangskoeffizienten 

als eine von der Verschiebungsrichtung abhängige lineare Abbildung interpretiert 

werden, welche den verschobenen Vektor der gewählten Darstellung gerade so korrigiert, 

dass ‘in Wirklichkeit’ eine Parallelverschiebung stattfindet. Den gesamten Ausdruck bezeichnet 

man, wie bereits erwähnt, als kovariante Ableitung des Vektorfeldes. 

4.2.6 Darstellung des Zusammenhangs in der Koordinatenbasis 

Die Resultate des letzten Abschnitts gelten für jede Basis. Wir betrachten jetzt den Spezialfall 

einer Darstellung in der Koordinatenbasis {∂µ} eines gegebenen Koordinatensystems. Wie 

bereits zuvor erwähnt, sind solche Basen dadurch ausgezeichnet, dass die Lie-Klammer der 

Richtungsableitungen verschwindet. Um hervorzuheben, dass es sich um eine Koordinatendarstellung 

handelt, benutzen wir griechische Indices. 

In einer Koordinatenbasis ist eµ = ∂µ, so dass die Gl. (4.17) die Form 

[∇XY] α = X ν ∂νY α +Y µ Γ α µνX ν 

(4.18) 

annimmt. Die Koeffizienten Γ α µν werden in der Koordinatendarstellung als Christoffelsymbole 

bezeichnet. Man kann durch eine Auswertung der Lie-Klammer zeigen, dass die Christoffelsymbole 

im Gegensatz zu Zusammenhangskoeffizienten in allgemeinen Basen symmetrisch in 

den beiden unteren Indices sind: 

Γ α µν = Γ α νµ . (4.19) 

Man spricht hier auch von einem Levi-Civitá-Zusammenhang. 

Genauer: Ein Levi-Civitá-Zusammenhang ist (a) winkeltreu, d.h. der relative Winkel zwischen zwei 

Vektoren bezüglich der Metrik ändert sich unter Parallelverschiebung nicht, und (b) torsionsfrei, d.h. 

die transportierten Vektoren rotieren nicht schraubenartig um die Transportrichtung. Die Raumzeit der 

allgemeinen Relativitätstheorie erfüllt diese Eigenschaft, was sich in einer Koordinatendarstellung in 

einer Symmetrie der beiden unteren Indices äußert. 

In der Differentialgeometrie haben sich in der koordinatenbasierten Indexnotation folgende Schreibweisen 

durchgesetzt: 

Y α ,ν Komma: Richtungsableitung Y α ,ν = ∂ν(Y α ) 

Y α ;ν 

Semikolon: kovariante Ableitung Y α ;ν = [∇eν Y]α = ∂ν(Y α ) +Y µ Γ α µν 

Mit diesen Abkürzungen kann Gl. (4.17) kurz geschrieben werden als 

Y α ;ν = Y α ,ν +Y µ Γ α µν (4.20) 



4.2.7 Kovariantes Transformationsverhalten 

Warum heißt die kovariante Ableitung kovariant? Um das zu verstehen, untersuchen wir das 

Transformationsverhalten bei einem Kartenwechsel, d.h. bei einem Wechsel des Koordinatensystems 

{x µ } ⇔ {x µ ′ }. Wir betrachten zunächst die gewöhnliche partielle Ableitung ∂ν auf der 

Karte. Wenn diese partielle Ableitung auf eine Funktion wirkt, erhält man 

f,ν = ∂ 

∂xν f (x) → f,ν ′ = ∂ 

∂xν ′ f (x′ ) = ∂xρ ∂ 

ρ 

∂xν ′ f (x) = Λ 

∂xρ ν f,ρ . (4.21) 

Mit anderen Worten, die partielle Ableitung ∂/∂x ν transformiert sich, sofern sie auf eine Funktion 

wirkt, wie die Komponenten einer 1-Form, also kovariant. Ganz anders sieht die Situation 

allerdings aus, wenn dieselbe partielle Ableitung auf ein Vektorfeld Y(x) wirkt 

Y µ ,ν = ∂ 

∂x ν Y µ (x) → 

� 

Y µ � ′ 

,ν 

= ∂xρ ∂ 

∂xν ′ ∂xρ � 

∂x µ ′ 

= ∂xρ ∂x µ ′ 

∂xν ′ ∂xτ Y τ ,ρ + ∂xρ 

∂xν ′ 

∂xτ Y τ (x ′ � 

) 

∂ 2x µ ′ 

τ 

Y τ 

∂xρ ∂x 

= Λ ρ 

ν Λ µ τ Y τ ,ρ + Λ ρ ∂ 

ν 

2x µ ′ 

∂xρ τ 

Y 

∂xτ (4.22) 

Wäre nur der erste Term vorhanden, würde sich Y µ ,ν wie ein Tensor der Stufe (1,1) transformieren. 

Der zweite Term allerdings verletzt dieses Transformationsverhalten, so dass die partielle 

Ableitung eines Vektorfeldes kein Tensor ist. Die Mathematik gibt an dieser Stelle gewissermaßen 

einen Hinweis darauf, dass die partielle Ableitung auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten 

nicht die korrekte Richtungsableitung ist. 

Die kovariante Ableitung Y α ;ν transformiert sich dagegen auf korrekte Weise als Tensor vom 

Rang (1,1). Ein Beweis erübrigt sich, da der Zusammenhang ∇ auf darstellungsfreie Weise definiert 

ist und Y α ;ν lediglich aus den Komponenten von ∇eν Y besteht. Wegen Gl. (4.20) folgt 

daraus sofort, dass die Christoffelsymbole Γα µν keine Tensoreigenschaft besitzen, weshalb man 

sie als ‘Symbole’ bezeichnet. 

4.2.8 Geodätische Linien 

Sei c(λ) eine Kurve und u(λ) = d 

dλ x(λ) das Tangentialvektorfeld entlang der Kurve. Wie bereits 

besprochen heißt eine Kurve geodätische Linie oder kurz Geodäte, wenn ihr Tangentialvektor 

seine Richtung beibehält, wenn es sich also um eine Geradeausbewegung handelt: 

∇uu = 0. (4.23) 

In einer Koordinatenbasis u = X µ ∂µ dargestellt lautet diese Bedingung 

bzw. 

[∇ u µ ∂µ u]α = u µ [∇µu] α = u µ u α ;µ = 0 (4.24) 

¨x α + Γ α µν ˙x µ ˙x ν = 0, (4.25) 

wobei ˙x µ = u µ ist. Diese sogenannte geodätische Gleichung beschreibt die Trajektorie von Teilchen 

in der Allgemeinen Relativitätstheorie. 



4.2.9 Berechnung des Zusammenhangs 

Die obige Formel ermöglicht die Berechnung einer Teilchentrajektorie, sofern der Zusammenhang 

∇ bzw. in einer Koordinatendarstellung die Christoffelsymbole bekannt sind. Im Prinzip 

könnten diese beliebig gewählt werden und beschreiben dann eine bestimmte Art und Weise, wie 

die Tangentialräume der Mannigfaltigkeit miteinander verklebt sind. Streng genommen muss die 

Mannigfaltigkeit dazu nicht einmal eine Metrik besitzen. Wenn jedoch eine Metrik gegeben ist, 

gibt es einen speziellen Zusammenhang, für den folgendes Prinzip gilt: 

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine geodätische Linie. 

Dabei bezieht sich der Begriff der Länge der Kurve auf die gewählte Metrik. Die gekrümmte 

Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie erfüllt dieses Prinzip. 

Für eine Mannigfaltigkeit, die dieses Extremalprinzip erfüllt, können die Christoffelsymbole 

explizit als Funktion der Metrik berechnet werden. Dazu benutzt man die aus der Lagrange’schen 

Mechanik bekannte Variationsrechnung. Demnach ist die Länge � 

c ds der Kurve extremal, wenn 

sie sich bei infinitesimaler Variation der Kurve mit festgehaltenen Endpunkten in niedrigster 

Ordnung nicht ändert, wenn also 

� 

δ ds = 0 (4.26) 

ist. Dabei ist das Wegelement durch ds 2 = gµν dx µ dx ν gegeben, d.h. 

ds = 

� �� gµν 

dx µ 

dλ 

c 

dxν � 

� 

� 

dλ � dλ 2 � 

= |gµν ˙x µ ˙x ν |dλ (4.27) 

und spielt die Rolle eine Lagrangefunktion L(x, ˙x) = � |gµν(x) ˙x µ ˙x ν | mit 

δ 

� λ2 

Die Lösung ist bekanntlich durch die Lagrange’schen Gleichungen 

λ1 

L(x, ˙x)dλ = 0 (4.28) 

d ∂L ∂L 

− = 0 (4.29) 

dλ ∂ ˙x µ ∂x µ 

gegeben. Dabei ist zu beachten, dass die Metrik g in der ART ortsabhängig ist, denn die spezifische 

Ortsabhängigkeit codiert das Gravitationsfeld. Mit etwas Geduld (siehe unten) erhält man 

die Differentialgleichung 

¨x α + 1 

2 gαβ (g β µ,ν + g βν,µ − g µν,β ) ˙x µ ˙x ν = 0 (4.30) 

Ein Vergleich mit Gl. (4.25) ergibt sofort, dass die Christoffelsymbole durch 

Γ α µν = 1 

2 gαβ (g β µ,ν + g βν,µ − g µν,β ) (4.31) 

gegeben sind. Wir sind also nun in der Lage, bei gegebener Metrik die Trajektorien von Teilchen 

auszurechnen. 



Beweis: Wir beschränken uns auf zeitartige Kurven mit ds ≥ 0, so dass wir die Betragstriche weglassen 

können, d.h. L = � gµν(x) ˙x µ ˙x ν . Wir bilden zunächst 

∂L 1 ∂gµν 

= 

∂xρ 2L ∂xρ ˙xµ ˙x ν ∂L 1 

, 

= 

∂ ˙x ρ 2L (gρν ˙x ν + gµρ ˙x µ ) = 1 

L gρκ ˙x κ 

Vom zweiten Term ist die totale Ableitung nach λ zu bilden, die wir mit der Kettenregel durch 

d 

� 

∂L 

dλ ∂ ˙x ρ 

� 

= ∂ 

∂xτ � 

∂L 

∂ ˙x ρ 

� 

dxτ ∂ 

+ 

dλ ∂ ˙x τ 

� 

∂L 

∂ ˙x ρ 

� 

d ˙x τ 

dλ = ∂ 2L ∂xτ ∂ ˙x ρ ˙xτ + ∂ 2L ∂ ˙x τ ¨xτ 

∂ ˙x ρ 

ausdrücken. Die beiden Summanden enthalten die Ableitungen 

∂ 2L ∂xτ ∂ ˙x ρ = 

1 

− 

2L3 ∂gµν 

∂xτ ˙x µ ˙x ν gρκ ˙x κ + 1 ∂gρκ 

L ∂xτ ˙x κ 

∂ 2L ∂ ˙x τ∂ ˙x ρ = 

1 

− 

L3 gρν ˙x ν gτµ ˙x µ + 1 

L gρτ 

so dass die auf beiden Seiten mit 2L multiplizierten Lagrange’schen Gleichungen lauten: 

∂gµν 

∂xρ ˙xµ ˙x ν = − 1 

L2 ∂gµν 

∂xτ ˙x µ ˙x ν gρκ ˙x κ ˙x τ + 2 ∂gρκ 

∂xτ ˙x κ ˙x τ − 2 

L2 gρν ˙x ν gτµ ˙x µ ¨x τ + 2gρα ¨x α 

Diese recht komplizierten Gleichungen beschreiben den kürzesten Weg für eine beliebige Parametrisierung 

der Kurve. Man kann jetzt eine spezielle Parametrisierung wählen, so dass die Gleichungen 

einfach werden (ähnlich wie man in der Elektrodynamik eine spezielle Eichung für die Wellengleichung 

wählt). Wir wollen die Parametrisierung so wählen, dass die Kurve mit einer konstanten Geschwindigkeit 

durchlaufen wird, dass also ds/dλ = const bzw. L = const ist. Diese Eichung ist natürlich 

erst nach erfolgter Variationsrechnung zulässig und führt dazu, dass in der obigen Gleichung 

der erste und dritte Term auf der rechten Seite verschwinden. Die Gleichungen lauten nun 

gρα ¨x α + 1 

� 

2 

2 

∂gρκ 

∂xτ ˙x κ ˙x τ − ∂gµν 

∂xρ ˙xµ ˙x ν� 

= 0 

bzw. 

¨x α + 1 

2 gαρ� 

� 

2gρµ,ν − gµν,ρ ˙x µ ˙x ν = 0 

was sich in die gewünschte Form bringen lässt. Wir sehen daran, dass die geodätischen Differentialgleichungen 

geodätische Linien mit einer speziellen Parametrisierung erzeugen, die so beschaffen ist, 

dass die Kurve bezüglich ihres Parameters mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen wird. 

Beispiel: R 2 in Polarkoordinaten 

Eine Ebene kann durch Polarkoordinaten (x1 ,x2 ) = (r,φ) dargestellt werden. In dieser Darstellung 

ist der metrische Tensor durch 

� 

1 0 

gµν = 

0 r2 � 

, g µν � 

1 0 

= 

0 r−2 � 

(4.32) 

gegeben. Die einzige nicht-verschwindende partielle Ableitung der Tensorkomponenten ist g22,1. 

Die nicht-verschwindenden Christoffelsymbole sind 

Γ 1 22 = 1 

2 g11 (g12,2 + g12,2 − g22,1) = − 1 

2 g11g22,1 = −r (4.33) 

Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 

2 g22(g21,2 + g22,1 − g12,2) = 1 

2 g22g22,1 = 1 

. 

r 

(4.34) 

Die Gleichungen für eine geodätische Linie lauten in diesem Fall 

¨x t + Γ 1 22 ˙x 2 ˙x 2 = ¨r − r ˙φ 2 = 0 (4.35) 

¨x 2 + 2Γ 2 12 ˙x 1 ˙x 2 = ¨φ + 2 

r ˙r ˙φ = 0 (4.36) 

Damit haben wir zwei relativ komplizierte Differentialgleichungen für eine Gerade im R 2 erhalten. 



Beispiel: Kugeloberfläche S 2 

Die Oberfläche einer Kugel S 2 ∈ R 3 kann durch Kugelkoordinaten mit zwei Winkeln (x 1 ,x 2 ) = 

(θ,φ) parametrisiert werden, wobei der Winkel θ von der z-Achse, also vom Nordpol aus ge- 

zählt wird. Der metrische Tensor lautet 

gµν = 

� 

1 0 

0 sin 2 � 

, g 

θ 

µν � 

1 0 

= 

0 sin −2 � 

θ 

(4.37) 

gegeben. Die einzige nicht-verschwindende partielle Ableitung der Tensorkomponenten ist also 

wiederum g22,1. Die nicht-verschwindenden Christoffelsymbole lauten 

Γ 1 22 = 1 

2 g11 (g12,2 + g12,2 − g22,1) = − 1 

2 g11 g22,1 = −sinθ cosθ (4.38) 

Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 

2 g2 2(g21,2 + g22,1 − g12,2) = 1 

2 g22 g22,1 = cotθ . (4.39) 

Die Gleichungen für eine geodätische Linie lauten in diesem Fall 

¨x t + Γ 1 22 ˙x 2 ˙x 2 = ¨θ − ˙φ 2 sinθ cosθ = 0 (4.40) 

¨x 2 + 2Γ 2 12 ˙x 1 ˙x 2 = ¨φ − 2 ˙φ ˙θ cotθ = 0 (4.41) 

Sie beschreiben Großkreise auf der Kugeloberfläche, die allerdings gegenüber der Äquatorialebene 

‘verkippt’ sein können und deshalb mit einer oszillierenden θ-Komponente dargestellt 

werden. 

4.2.10 Kovariante Ableitung beliebiger Tensorfelder 

Die oben eingeführte kovariante Ableitung wirkt auf Vektorfelder und generiert den Paralleltransport 

von Vektoren. Wir wollen die kovariante Ableitung nun auf Tensoren beliebiger Stufe 

verallgemeinern. 

Kovariante Ableitung von Funktionen 

Der Paralleltransport eines Skalars beeinflusst den Wert eines Skalars nicht, deshalb ist die kovariante 

Ableitung einer skalaren Funktion (0-Form) identisch mit der gewöhnlichen Richtungsableitung 

eines Skalars: 

∇X f = X( f ) (4.42) 

In Komponenten ist also ∇µ f = ∂µ f bzw. f;µ = f,µ. 

Kovariante Ableitung von 1-Formen 

Wir betrachten nun ein Feld von 1-Formen α(x), das auf ein Vektorfeld Y(x) wirkt. An jedem 

Punkt der Mannigfaltigkeit liefert α(Y) eine Zahl, also eine Funktion auf M . Bewegt man sich 

von einem dieser Punkte in Richtung X, so wird sich der Funktionswert ändern, wobei die Rate 

der Änderung durch die gewöhnliche Richtungsableitung X(α(Y)) = ∇X(α(Y)) gegeben ist. 



Diese Änderung des Ergebnisses der 1-Form kann zweierlei Ursache haben, nämlich (a) auf 

einer Änderung des Vektorfeldes Y und (b) auf einer Änderung der 1-Form α beruhen, d.h. 

∇X(α(Y)) = α(∇XY) + (∇xα)(Y). (4.43) 

Diese Identität definiert die kovariante Ableitung ∇Xα einer 1-Form auf darstellungsunabhängige 

Weise: 

(∇Xα)(Y) = ∇X(α(Y)) − α(∇XY). (4.44) 

In einer Darstellung über einem beliebigen Basisvektorfeld {ei} von T M und dem dazugehörigen 

dualen Basisvektorfeld {e j } von T ∗M folgt aus der obigen Gleichung 

(∇ je k � 

)(ei) = ∇ j e k (ei) 

� �� 

=δ k 

� 

− e 

i 

k (∇ jei) = −Γ k i j , (4.45) 

wobei ∇ j = ∇e j ist und der erste Term auf der rechten Seite (Ableitung einer Konstanten) verschwindet. 

Daraus folgt ∇ jek = −Γk i jei , so dass die kovariante Ableitung einer beliebigen 1- 

Form α in dieser Darstellung durch 

bzw. 

oder in einer Koordinatenbasis 

∇ jα = e j(αk)e k − αkΓ k i je i 

αi; j = e j(αi) − αkΓ k i j 

Kovariante Ableitung beliebiger Tensorfelder 

(4.46) 

(4.47) 

αµ;ν = αµ,ν − αρΓ ρ µν (4.48) 

Für Tensorfelder höhere Stufe, die sich als Tensorprodukt T = A ⊗ B schreiben lassen, gilt für 

die kovariante Ableitung die Produktregel 

∇X(A ⊗ B) = (∇XA) ⊗ B + A ⊗ (∇XB). (4.49) 

Als Beispiel betrachten wir einen kovarianten Tensorfeld 2. Stufe T dargestellt in einer gegebenen 

Basis {ei} durch T = Ti je i ⊗ e j . Mit der Produktregel lässt sich die kovariante Ableitung 

leicht ausrechnen. Dabei ist zu beachten, dass die Komponenten Ti j eines Tensorfeldes vom Ort 

auf der Mannigfaltigkeit abhängen, also wie Funktionen abgeleitet werden müssen. Man erhält 

also drei Terme: 

∇kT = ∇k(Ti je i ⊗ e j ) = (∇kTi j)e i ⊗ e j + Ti j(∇ke i ) ⊗ e j + Ti je i ⊗ (∇ke j ) (4.50) 

bzw. in Komponenten 

Ti j;k = ek(Ti j) − Tm jΓ m ik − TimΓ m jk 

(4.51) 

Wie man sehen kann, wird jeder Index des Tensors durch einen eigenen additiven Term korrigiert, 

d.h. jeder Index wird durch Christoffelsymbole transformiert. Man kann auch gemischte 

Tensoren auf diese Weise ableiten: 

T i1...iq 

j1... jp ;k 

= ek(T i1...iq 

j1... jp 

) + 

q 

∑ 

n=1 

T i1...m...iq 

j1...... jp Γin 

mk − 

p 

∑ 

n=1 

T i1......iq 

j1...m... jp Γm jnk 

(4.52) 

Dabei ist der ganz rechts stehende Index der Christoffelsymbole immer der Index, nach dem 

abgeleitet wird. Kontravariante Indices haben positive, kovariante Indices negative Korrekturterme. 



Kovariante Ableitung der Metrik 

Gl. (4.51) lässt sich natürlich auch auf den metrischen Tensor anwenden. In einer gegebenen 

Koordinatenbasis erhält man 

gµν;τ = gµν,τ − gρνΓ ρ µτ − gµρΓ ρ ντ . (4.53) 

In der ART hat der metrische Tensor eine besondere Bedeutung. Um das zu verstehen, kehren 

wir nochmal zum Beispiel des Schiffes zurück. Wenn der Kapitän zwei Vektoren X,Y an 

Bord nimmt und transportiert, erwarten wir, dass sich der Winkel zwischen den beiden Vektoren 

während der Fahrt nicht ändert, dass also g(X,Y) während der Reise erhalten bleibt. Man 

kann zeigen, dass es genau einen Zusammenhang gibt, der diese Eigenschaft erfüllt, und der 

deshalb als metrischer Zusammenhang bezeichnet wird. Ein solcher Zusammenhang erfüllt die 

Eigenschaft 

∇Xg = 0 ∀X bzw. gµν;τ = 0. (4.54) 

Der Zusammenhang der raumzeitlichen Mannigfaltigkeit in der ART ist metrisch. Man kann 

zeigen, dass ein metrischer Zusammenhang stets torsionsfrei ist. 

4.2.11 Äußere Ableitung tensorieller Formen * 

In Abschnitt 2.4.2 auf S. 57 wurde die äußere Ableitung von Differentialformen eingeführt. Sie 

unterscheidet sich von einer normalen Ableitung durch eine nachgeschaltete Antisymmetrisierung, 

wodurch die Operation die äußere Algebra nicht verlässt. 

Die äußere Ableitung auf reinen p-Formen funktioniert genau so wie in Abschnitt 2.4.2 auf 

S. 57 besprochen. Hier ändert sich also nichts. Anders ist es bei tensorwertigen Formen, die 

wir in Abschnitt 2.6 auf S. 62 kurz angesprochen haben. Diese besitzen p Eingänge, die antisymmetrisiert 

werden und den Rechenregeln der äußeren Algebra genügen, sowie eine gewisse 

Anzahl von vektoriellen Ausgängen, die nicht antisymmetrisiert sein müssen. Ein Vektorfeld 

ist z.B. eine vektorielle Null-Form. Die nicht antisymmetrisierten Komponenten werden mit Indices 

versehen, die p antisymmetrisierten Eingänge dagegen wie bei Differentialformen ohne 

Indices behandelt. 

Auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten muss man spezifizieren, wie sich die indizierten Komponenten 

bei einer äußeren Ableitung transformieren. Als Beispiel betrachten wir ein beliebiges 

Basisvektorfeld ei. 

... wird fortgesetzt ... 



Abbildung 4.8: Konstruktion des Riemannschen Krümmungstensors. Ein Vektor Z (orange) wird auf zwei verschiedenen 

Wegen parallel transportiert, nämlich durch Anwendung von ∇X ◦ ∇Y entlang ADE 

und durch Anwendung von ∇Y ◦∇X entlang ABC. Wenn die Zielorte nicht übereinstimmen, muss 

der Vektor noch zusätzlich durch Anwendung der Lie-Klammer ∇ [X,Y] über die rot gestrichelte 

Distanz von C nach E parallel verschoben werden. Am Zielort E werden beide Vektoren verglichen. 

Die Differenz gibt Auskunft darüber, wie stark die Mannigfaltigkeit auf dem umrundeten 

Gebiet gekrümmt ist. 

4.3 Krümmung 

Krümmung äußert sich dadurch, dass die Winkelsumme 

eines Dreiecks ungleich 180 ◦ ist. Wie groß die Abweichung 

ist, kann der Kapitän eines Schiffes mit Hilfe 

der Parallelverschiebung feststellen. Wenn er wie in der 

nebenstehenden Abbildung einen aus drei Viertelgroßkreisen 

bestehenden geschlossenen Weg befährt (rot) 

und dabei einen Tangentialvektor (grün) transportiert, 

zeigt dieser Vektor am Zielort in eine um 90 ◦ verdrehte 

Richtung. Dieser Drehwinkel entspricht genau der Abweichung 

der Winkelsumme von 90 ◦ . Eine solche Messung 

ist auch auf abstrakten (nicht eingebetteten) Mannigfaltigkeiten 

möglich. 

4.3.1 Riemannscher Krümmungstensor 

Die oben beschriebene Prozedur ermöglicht es, die Krümmung der Mannigfaltigkeit auf dem 

umrundeten Gebiet zu beschreiben. Mathematisch kann dieser Vorgang folgendermaßen beschrieben 

werden: Man nehme zwei linear unabhängige Vektorfelder X,Y und bewege sich 

zunächst entlang einer geodätischen Linie zuerst in Y-Richtung und dann entlang einer anderen 

geodätischen Linie in X-Richtung. Danach wiederhole man den Vorgang in umgekehrter 

Reihenfolge (siehe Abb. 4.3.1). Falls die Vektorfelder so beschaffen sind, dass die Zielorte un- 


4.3 Krümmung 105 

terschiedlich sind, ist die verbleibende Differenz zurückzulegen, um einen geschlossenen Weg 

herzustellen. Diese Differenz ist in niedrigster Ordnung durch die Lie-Klammer [X,Y] gegeben, 

siehe Abschnitt 2.4.6 auf S. 59. Auf diesen beiden Wegen ist nun ein Tangentialvektor Z mitzunehmen 

und nach dem üblichen Protokoll parallel zu verschieben und die Ergebnisse am Zielort 

zu vergleichen. 

Mathematisch wird diese Prozedur durch alternierende Anwendung der entsprechenden kovarianten 

Ableitungen ausgedrückt 2 . Die Krümmung wird also beschrieben durch die Abbildung 

R(X,Y)Z = ∇X∇YZ − ∇Y∇XZ − ∇ [X,Y]Z, (4.55) 

die als Riemannscher Krümmungstensor bezeichnet wird. Es handelt sich um einen Tensor der 

Stufe (1,3), der drei Vektoren als Argumente besitzt und einen Vektor ausgibt. 

4.3.2 Darstellung des Riemannschen Krümmungstensor 

In einer gegebenen Basis kann der Krümmungstensor als vierkomponentige Größe R µ 

ναβ dargestellt 

werden. Diese Komponenten sind gegeben durch 

eµR µ 

ναβ = � � 

[∇α,∇ β ] − ∇ [eα,eβ ] eν = � ∇α∇β − ∇β ∇α − c ρ 

αβ ∇ρ 

� 

eν , (4.56) 

wobei c ρ 

αβ die Strukturkoeffizienten sind. Durch Einsetzen der kovarianten Ableitung und Koeffizientenvergleich 

gelangt man zu 

R µ 

ναβ 

= Γµ 

νβ,α − Γµ 

να,β + Γρ 

νβ Γµ ρα − Γ ρ ναΓ µ 

ρβ − cρ 

αβ Γµ νρ . (4.57) 

In Koordinatenbasen entfällt der letzte Term. Da die Christoffelsymbole über Gl. (4.31) von 

der Metrik abhängen, kann der Riemannsche Krümmungstensor bei gegebener Metrik durch 

geduldiges Differenzieren berechnet werden. Allerdings sind, wie wir sehen werden, nicht alle 

seiner 4 4 = 256 Komponenten unabhängig. 

4.3.3 Symmetrien des Krümmungstensors 

Der Krümmungstensor dargestellt in Komponenten erfüllt folgende Symmetrien. Dabei benutzen 

wir die Kompaktschreibweise mit eckigen Klammern, die eine Summe über die zyklischen 

Permutationen der darin enthaltenen Indices symbolisieren soll. 

• Erste Bianchi-Identität: 

• Zweite Bianchi-Identität: 

R µ 

[ναβ] 

R µ 

ν[αβ;γ] 

= Rµ 

ναβ + Rµ 

βνα + Rµ 

αβν 

= Rµ 

ναβ;γ + Rµ 

νγα;β + Rµ 

νβγ;α 

= 0 (4.58) 

= 0 (4.59) 

2 Bei einem Koordinantenbasisvektorfeld entfällt der letzte Term, da die Lie-Klammer verschwindet. 



• Antisymmetrie in den ersten beiden Indices: 

R µναβ = −R νµαβ 

• Symmetrie bei Vertauschung beider Indexpaare: 

Dabei ist R µναβ = gµρR ρ 

dritten und vierten Index: 

ναβ 

R µναβ = R αβ µν 

(4.60) 

(4.61) 

. Aus den letzten beiden Symmetrien folgt die Antisymmetrie im 

R µναβ = −R µνβα . (4.62) 

Wegen dieser Symmetrien reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Komponenten des Riemannschen 

Krümmungstensors wie folgt: 

4.3.4 Ricci-Tensor 

Dimension 1 2 3 4 

Komponenten 1 16 81 256 

davon unabhängig 0 1 6 20 

Welche physikalisch relevanten Tensoren lassen sich durch Kontraktion aus dem Krümmungstensor 

erzeugen? Kontrahiert man die ersten beiden Indices, erhält man wegen der Antisymmetrie 

Null. Gleiches gilt für eine Kontraktion der Indices 3-4. Die einzigen Kontraktionen, die 

nicht verschwinden, sind 1-3, 1-4, 2-3 und 2-4, die wegen der Antisymmetrie bis auf Vorzeichen 

identisch sind. Üblich ist es, die Indices 1-3 zu kontrahieren. Das Resultat ist der sogenannte 

Ricci-Tensor 

Rµν = R ρ µρν. (4.63) 

Dieser Tensor ist die einzig mögliche nichttriviale Kontraktion des Krümmungstensors. Damit 

man ihn in der darstellungsfreien Schreibweise vom Riemannschen Krümmungstensor R unterscheiden 

kann, bezeichnet man ihn auch als ‘Ric’, d.h. 

Ric = Rµν dx µ ⊗ dx ν . (4.64) 

Der Ricci-Tensor lässt sich weiter kontrahieren zu einem Krümmungsskalar 

R = R µ µ . (4.65) 

Dieser Skalar spielt eine zentrale Rolle für die Wirkung des Gravitationsfeldes. 

4.3.5 Interpretation des Krümmungstensors 

Man kann Koordinaten immer so legen, dass der metrische Tensor in einem bestimmten Punkt 

der Mannigfaltigkeit eine bestimmte Matrixdarstellung annimmt. Insbesondere kann man die 

Koordinaten so wählen, dass gµν = ηµν ist, dass der metrische Tensor also die Gestalt einer 

flachen Minkowskimetrik annimmt (ähnlich wie der Kapitän immer an seinem Aufenthaltsort 


4.3 Krümmung 107 

ein lokales Koordinatensystem mit euklidischen Koordinaten auf der Meeresoberfläche definieren 

kann). In der allgemeinen Relativitätstheorie entspricht ein solches Koordinatensystem den 

natürlichen Minkowski-Koordinaten, also einem lokal gravitationsfreien Bezugssystem, das ein 

frei fallender Astronaut in seinem Raumschiff benutzen würde. 

Wenn man nun eine Darstellung gewählt hat, in deren Koordinatenursprung x µ = 0 der metrische 

Tensor gleich der Minkowskimetrik ist, kann man sich fragen, wie sich die Komponenten 

dieses Tensors in der unmittelbaren Umgebung des Ursprungs in niedrigster Ordnung verändern. 

Eine Rechnung (hier ohne Beweis) zeigt, dass die niedrigsten Korrekturen quadratischer 

Ordnung sind und gerade durch den Riemannschen Krümmungstensor beschrieben werden: 

gµν(x) = ηµν + 1 

3 R µανβ x α x β + O(|x| 3 ) (4.66) 

Der Riemannsche Krümmungstensor beschreibt also, wie sich die Metrik in niedrigster Ordnung 

verändert, wenn man in eine bestimmte Richtung geht. 

Um den Ricci-Tensor zu interpretieren, stellen 

wir uns nun einen schmalen Konus 

(Schultüte) von geodätischen Linien vor, die 

vom Ursprung aus in diese bestimmte Richtung 

führen. In einer Minkowski-Metrik wird 

sich dieser Konus mit zunehmender Entfernung 

auf eine bestimmte Weise aufweiten und 

ein Volumenelement Vη(x) aufspannen. In einer 

gekrümmten erhält man dagegen ein Volumenelement 

Vg(x), das sich in der Umgebung 

vom Ursprung nur geringfügig unterscheidet. 

Hier tritt der Ricci-Tensor in den 

Korrekturen auf: 

Vg(x) = � 1 − 1 

6 Rµνx µ x ν + O(x 3 ) � Vη(x) (4.67) 


5 Elektrodynamik als Eichtheorie 

Die allgemeine Relativitätstheorie gehört zur Gruppe der sogenannten Eichtheorien und basiert 

auf der Lorentzgruppe als Eichgruppe. Eichtheorien folgen einem einheitlichen Konstruktionsprinzip. 

Um uns an dieses Prinzip heranzutasten, betrachten wir zunächst die einfachste aller 

Eichtheorien, nämlich die Elektrodynamik betrachten. Die Elektrodynamik ist eine Eichtheorie, 

die auf der Symmetriegruppe U(1) beruht. 

5.1 U(1)-Eichtheorie 

5.1.1 Intrinsische Freiheitsgrade 

Neben den raumzeitlichen Freiheitsgraden, in denen man sich fortbewegen kann, gibt es in der 

Natur intrinsische Freiheitsgrade, die man sich als kleine ‘aufgerollte Dimensionen’ vorstellen 

kann, die in jedem Punkt der Raumzeit ‘aufgehängt’ sind. Zwar kann man sich als Mensch in 

diesen kompaktifizierten Dimensionen nicht konkret fortbewegen, wie man es in raumzeitlichen 

Dimensionen gewohnt ist, doch treten die Effekte dieser aufgerollten Freiheitsgrade indirekt in 

Form von physikalischen Kraftfeldern in Erscheinung. 

Ähnlich wie die Raumzeit eine bestimmte Struktur besitzt, die sich durch ihre Symmetriegruppe 

(Poincarégruppe) beschreiben lässt, werden auch die intrinsischen Freiheitsgrade durch 

ihre Symmetriegruppe charakterisiert. Das einfachste Beispiel einer kompaktifizierten Dimension 

ist ein Kreis S 1 . Dessen Symmetriegruppe ist die sogenannte Kreisgruppe (engl. circle group) 

der Translationen entlang des Kreises. Anders als Translationen in R, mit denen man sich beliebig 

weit entfernen kann, kommt man auf einem Kreis irgendwann wieder am Ausgangspunkt 

an, d.h. die Kreisgruppe ist kompakt. 

Bemerkung: Symmetrien sind der eigentliche Grund für die Existenz jeglicher Strukturen in der 

Natur. Symmetrien geben keine Freiheit, sondern schränken ein. Ohne Symmetrien würde sich die 

Quantenphysik in allen Zuständen ausbreiten und eine strukturlose Suppe erzeugen. Mit Symmetrien 

kommen aber Spielregeln in Form von Erhaltungsgrößen ins Spiel. Alle makroskopisch beobachtbaren 

Eigenschaften von Objekten sind an Symmetrien gekoppelt. Ohne Translationsinvarianz gäbe es 

z.B. nicht die Begriffe von Ort und Impuls. Theoretische Physik beginnt deshalb immer damit, die 

zugrundeliegenden Symmetriegruppen zu identifizieren. 

Es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten zur Darstellung eines Kreises. Zum Beispiel bilden 

die komplexen Zahlen z ∈ C mit konstantem Betrag |z| = const einen Kreis in der komplexen 

Ebene. Translationen entlang dieses Kreises lassen sich durch Multiplikation mit einer komplexen 

Phase z = e iφ ausdrücken, wobei φ ∈ [0,2π) ist. Weil es sich dabei formal um unitäre 

(=normerhaltende) Transformationen eines einzelnen komplexen Freiheitsgrades handelt, verwendet 

man für die Kreisgruppe in der Physik die Bezeichnung U(1). 



Abbildung 5.1: Bausteine der Elektrodynamik. (a) In jedem Punkt der Raumzeit wird ein kompaktifizierter eindimensionaler 

Raum in Form eines Kreises aufgehängt. (b,c) Die Kreise benachbarter Punkte der 

Raumzeit werden durch Verbindungselemente verklebt. Diese können ‘gerade’ oder ‘verdreht’ 

sein. (d) Wäre die Raumzeit eindimensional, erhielte man durch die Verklebung einen Torus. 

Bemerkung: Die Bezeichnung U(n) steht für “unitäre Transformation in n Dimensionen” und analog 

SU(n) für “spezielle unitäre Transformationen in n Dimensionen”. Diese Gruppen sind die komplexen 

Gegenstücke zu den orthogonalen Gruppen O(n) bzw. SO(n) der reellen Drehungen und Spiegelungen. 

Die Gruppenelemente kann man sich als komplexwertige Drehungen auf C n vorstellen, die das 

Standard-Skalarprodukt auf diesem Raum erhalten. Die Gruppe U(1) beschreibt dementsprechend 

Drehungen einer komplexen Zahl in der komplexen Ebene, ist also isomorph zur Kreisgruppe. Sie ist 

als einzige dieser Lie-Gruppen kommutativ und besitzt nur einen einzigen Generator. 

Wir betrachten nun eine relativistische Theorie mit einer intrinschen U(1)-Symmetrie, wobei 

wir Gravitationseffekte vernachlässigen wollen. In einer solchen Theorie ist die Raumzeit ein 

ebener Minkowskiraum R 3+1 , in dem an jedem Punkt ein Kreis aufghängt ist. Um davon ein 

anschauliches Verständnis zu entwickeln, stellen wir uns die Raumzeit zunächst eindimensional 

vor, als ob es nur die x-Achse gäbe (siehe Abb. 5.1d). Ferner wollen wir uns diese Achse als diskrete 

Folge von Punkten vorstellen. In jedem dieser Punkte wird nun ein Kreis aufgehängt. Ein 

Teilchen wird nun nicht nur mehr allein durch seinen Aufenthaltsort auf der x-Achse, sondern 

zusätzlich durch seine entsprechende Position auf dem Kreis charakterisiert. 

Um sich entlang der x-Achse bewegen zu können, ist es notwendig, die Kreise miteinander 

zu verbinden. Dies geschieht durch schlauchartige Verbindungselemente, mit denen Teilchen 

von einem Kreis zum nächsten transportiert werden können. Die Verbindungsstücke können 

entweder gerade (Abb. 5.1b) oder in sich verdreht sein (Abb. 5.1c), je nachdem ob sich bei 

einem Transport des Teilchens die Lage auf dem Kreis ändert oder nicht. Wären alle Kreise mit 

geraden Schläuchen verbunden, würden Teilchen, die z.B. am ‘tiefsten Punkt’ des Kreises ruhen, 

bei Bewegung durch die Raumzeit auch dort verbleiben. Ein makroskopischer Beobachter würde 

in diesem Fall die Existenz der kleinen Kreise gar nicht bemerken. Echte physikalische Effekte 

kommen erst dadurch zustande, dass die Verbindungselemente verdreht sein können. 

Bemerkung: Im Rahmen der klassischen Physik besteht der Raum natürlich nicht aus äquidistanten 

Punkten, sondern aus einem Kontinuum von Punkten. Der in Abb. 5.1d dargestellte Raum ist also 

in Wirklichkeit ein kontinuierlicher Torus R ⊕ S 1 . Die diskretisierte Version wird hier jedoch aus 

folgenden Gründen benutzt: 

1. Die Verbindungselemente veranschaulichen das mathematische Konzept eines Zusammenhangs. 

2. Während man sich den tatsächlichen Raum R 3+1 ⊕S 1 ohnehin nicht vorstellen kann, vermittelt 

die Diskretisierung zumindest eine teilweise Anschaulichkeit des Raumes R 2 ⊕ S 1 (s.u.). 


5.1 U(1)-Eichtheorie 111 

3. Bei Computersimulationen von Quantenfeldtheorien, sogenannten Gittereichtheorien, wird das 

Kontinuum tatsächlich auf die beschriebene Weise diskretisiert. 

4. Es wird erwartet, dass die Raumzeit auf der Planck-Skala von 10 −35 m eine noch unbekannte 

Mikrostruktur besitzt, die auf eine effektive Diskretisierung hinauslaufen könnte. Ein möglicher 

Ansatz ist die Quantenschleifengravitation (engl. quantum loop gravity), wie sie z.B. von 

Carlo Rovelli beschrieben wird [14]. Die hier gewählte Präsentation soll auf diese neuen Ansätze 

hinführen und deren Verständnis erleichtern. 

Ein gerades Verbindungselement ist eine identische Abbildung von einem Kreis auf den 

nächsten, ein verdrehtes Verbindungselement bewirkt dagegen eine zusätzliche Translation auf 

dem Kreises. Die Verbindungselemente sind also selbst nichts anderes als Symmetrietransformationen 

und damit Gruppenelemente der Symmetriegruppe U(1). Hier erkennen wir bereits 

ein grundlegendes Konstruktionsprinzip von Eichtheorien: 

Die intrinsischen Freiheitsgrade sind räumlich durch Gruppenelemente der 

entsprechenden Symmetriegruppe miteinander verbunden. 

Da wir es in Wirklichkeit nicht mit einer diskreten Punktmenge sondern mit einem Kontinuum 

von Punkten mit daran aufgehängten Kreisen zu tun haben, können wir annehmen, dass die 

Verbindungselemente sehr klein sind und deshalb zwischen Kreisen im Abstand dx im Limes 

dx → 0 nur infinitesimale Verdrehungen bewirken. Die Verbindungslemente g ∈ U(1) sind also 

infinitesimale Transformationen, die sich also nur geringfügig von der identischen Abbildung 

unterscheiden und sich deshalb in erster Ordnung Taylor-entwickeln lassen: 

g = � + ∆ dx (5.1) 

Die Größe ∆ ist der Generator dieser infinitesimalen Transformation und ist als solcher ein Element 

der Lie-Algebra der Symmetriegruppe. 

Genauer: Die Lie-Algebra u(1) der Lie-Gruppe U(1) ist sehr einfach, da sie kommutativ ist und 

nur einen einzigen Generator a besitzt. Dieser Generator erfüllt die Relation a 2 = −1 und lässt sich 

deshalb am einfachsten in der komplexen Ebene mit a = i darstellen. 

5.1.2 Darstellung der intrinsischen Freiheitsgrade 

Um mit intrischen Freiheitsgraden rechnen zu können, ist es wie immer notwendig, eine geeignete 

Darstellung zu wählen. Es ist üblich, den Kreis als einen Einheitskreis in der komplexen 

Ebene z ∈ C, |z| = 1 darzustellen. Der hier betrachtete Raum R ⊕ S 1 wird also durch zwei Koordinaten 

x,z beschrieben. Bei der Definition des Koordinatensystems hat man allerdings die 

Freiheit, den Ursprung des Koordinatensystems z = 1 auf dem jedem der Kreise willkürlich 

festzulegen. Diese Freiheit wird als Eichfreiheit bezeichnet, – eine Eichung ist also nicht anderes 

eine spezielle Wahl des Koordinatensystems in einem intrinsischen Raum. Wir werden im 

folgenden Abschnitt darauf zurückkommen. 

Sobald ein bestimmtes Koordinatensystem gewählt ist, lässt sich ein Punkt auf dem Kreis an 

der Stelle x, der dort die Koordinate z(x) besitzt, über die Verbindungsstücke ‘parallel verschieben’ 

zum benachbarten Kreis an der Stelle x + dx, wo er dann die Koordinate 

z �(x + dx) = g(x)z(x) (5.2) 

besitzt. Das Gruppenelement g ∈ U(1) wird dabei ebenfalls als komplexe Zahl auf dem Einheitskreis 

dargestellt. Da sich diese Transformation gemäß Gl. (5.1) für kleine dx nur wenig von 



Abbildung 5.2: Eichfreiheit bei der Wahl des Koordinatensystems für die intrinsischen Freiheitsgrade. Die gelben 

Punkte markieren die Positionen auf dem Kreis, wo ϕ = 0 bzw. z = 1 ist, markieren also sozusagen 

den Ursprung des lokalen Koordinatensystems. 

der identischen Abbildung unterscheidet, gilt in niedrigster Ordnung 

g(x) = 1 + iA(x) dx. (5.3) 

Dabei ist g(x) eine Darstellung von g und iA(x) ist eine Darstellung von ∆, also eine Abbildung 

der Raumkoordinate auf die gewählte Darstellung der Lie-Algebra der Symmetriegruppe U(1). 

Die Funktion A(x) bezeichnet man als Eichfeld. 

Nehmen wir zunächst an, dass dieser Nullpunkt sich immer ‘an der gleichen Stelle’ befindet, 

wie es im oberen Teil von Abb. 5.2 gezeigt ist. In diesem Fall werden ‘gerade’ Verbindungsstücke 

durch ein verschwindendes Eichfeld A(x) = 0 beschrieben. Man könnte aber auch 

die Nullpunkte unterschiedlich wählen, wie es im unteren Teil der Abbildung gezeigt ist. Ein 

‘gerades’ Verbindungsstück würde dann trotzdem durch ein nichtverschwindendes Eichfeld beschrieben 

werden. Ebenso wäre es möglich, die Koordinaten so zu wählen, dass die durch ein 

verdrehte Verbindungsstücke hervorgerufene Transformationen durch die Koordinatendarstellung 

kompensiert werden, so dass das Eichfeld trotz der tatsächlichen Verdrehung gleich Null 

wäre. Die Darstellung eines Eichfelds resultiert also sowohl aus ‘echten’ Verdrehungen der Verbindungselemente 

als auch aus ‘scheinbaren’ Verdrehungen, die durch die Wahl der Koordinaten 

hervorgerufen werden. 

Bemerkung: Um Raum und Zeit zu vermessen, benötigen wir Maßeinheiten wie Meter und Sekunde. 

Benötigen wir nun auch neue Maßeinheiten für die intrinsischen Räume? Die Antwort ist: Nein. In 

Raum und Zeit sind Maßeinheiten nur deshalb notwendig, weil sie unendlich ausgedehnt sind und 

damit weder im Kleinen noch im Großen eine natürlich Längenskala auszeichnen. Im Gegensatz dazu 

sind die intrinsischen Freiheitsgrade kompaktifiziert und stellen damit ein natürliches Maßsystem zur 

Verfügung, z.B. im Fall des Kreises ein Umlauf 2π. 

5.1.3 Eichtransformationen 

Eine Eichtransformation ist eine Koordinatentransformation in den intrinsischen Räumen, also 

ein Darstellungswechsel, der keinen Einfluss auf die Physik hat. Dabei dürfen die Koordinatensysteme 

in jedem intrinsischen Raum unterschiedlich, also ortsabhängig transformiert werden. 

Im Fall der U(1)-Theorie kann man sich also eine Eichtransformation als eine ortsabhängige 

Nullpunktsverschiebung des Koordinatnesystems auf den Kreisen vorstellen, also z.B. als einen 

Wechsel von der oberen zur unteren in Abb. 5.2 gezeigten Situation. Eine solche Transformation 

lässt sich schreiben als 

z(x) → ˜z(x) = e i f (x) z(x). (5.4) 



Dabei ist e i f (x) die (ortsabhängige) komplexe Phase, mit der der Nullpunkt des Koordinatensystems 

auf den Kreisen (nicht jedoch die Kreise selbst) verschoben werden. Man kann leicht 

zeigen, dass sich unter dieser Koordinatentransformation das Eichfeld gemäß 

A(x) → Ã(x) = A(x) + d 

f (x) (5.5) 

dx 

transformieren muss. Eichfelder, die auf diese Weise auseinander hervorgehen, unterscheiden 

sich also nur durch ihre Darstellung, sind aber physikalisch äquivalent. 

Beweis: Wegen (5.2) und (5.3) gilt 

also 

z �(x + dx) = (1 + iA(x)dx)z(x), ˜z �(x + dx) = (1 + iÃ(x)dx) ˜z(x), 

e i f (x+dx) z �(x + dx) = (1 + iÃ(x)dx)e i f (x) z(x) 

⇒ e i f (x) (1 + i f ′ (x)dx + ...)(1 + iA(x)dx)z(x) = (1 + iÃ(x)dx)e i f (x) z(x) 

Vergleich der ausmultiplizierten Terme 1. Ordnung führt auf die Behauptung. 

In einer Dimension kann man natürlich für jedes Paar von Funktionen A(x),Ã(x) durch simple 

Integration ein passendes f (x) finden, so dass beide Eichfelder physikalisch äquivalent sind. 

Demzufolge sind alle Eichfelder physikalisch äquivalent und haben deshalb keinerlei physikalische 

Bedeutung. Das ist auch plausibel, denn ein Käfer, der im Tunnel R ⊕ S 1 lebt und dem der 

Blick aus einem äußeren Einbettungsraum verwehrt ist, hat keine Möglichkeit, eine Verdrehung 

der Verbindungselemente festzustellen. 

5.1.4 Zweidimensionale U(1)-Eichtheorie 

In höheren Dimensionen ist die Situation anders. Als Beispiel wollen wir eine Ebene R 2 mit 

einer intrinsischen U(1)-Symmetrie betrachten. Zwar kann man den Raum R 2 ⊕ S 1 nicht in den 

R 3 einbetten und sich ihn deshalb auch nicht anschaulich vorstellen, doch kann man mit einer 

diskretisierten Variante zumindest eine Intuition gewinnen. Abb. 5.3 skizziert einen solchen 

zweidimensionalen Raum, in dem die intrinsischen Räume durch planare Kreise symbolisiert 

sind, die wiederum mit Verbindungselementen in beiden Raumrichtungen verbunden sind. Auch 

hier handelt es sich ‘in Wirklichkeit’ um ein Kontinuum von Zusammenhängen ohne Quadratgitterstruktur. 

Anders als in dem zuvor diskutierten Tunnel ist es nun möglich, sich im R 2 in beliebige 

Richtungen zu bewegen. Ein Käfer, der in diesem zweidimensionalen Tunnelsystem lebt, hat 

jetzt nämlich die Möglichkeit, Verdrehungen zu messen, auch ohne diese von außen sehen zu 

können. Dazu wandert er auf einem geschlossenen Weg (engl. loop) und stellt am Ziel durch 

Vergleich fest, ob sich seine Position auf dem Kreis geändert hat. Wandert er z.B. in Abb. 5.3 

entlang des Weges A-B-E-D-A, wird er auf diese Weise eine Verdrehung feststellen. Bei einer 

Wanderung entlang B-C-F-E-B wird er dagegen keine Verdrehung feststellen, weil sich die 

Effekte der Verbindungen E-B und B-C gegenseitig kompensieren. 

Die vom Käfer festgestellte Verdrehung entlang eines geschlossenen Weges ist unabhängig 

von der gewählten Darstellung und beschreibt deshalb einen physikalischen Sachverhalt, nämlich 

– wie wir sehen werden – elektrische bzw. magnetische Felder. Anders als in einer Dimension, 

wo alle Eichfelder weggeicht werden können und deshalb physikalisch bedeutungslos sind, 



Abbildung 5.3: Zweidimensionaler diskretisierter Raum mit intrinsischen U(1)-Kreisen (siehe Text). 

gibt es in höheren Dimensionen ‘echte’ Verdrehungen im Verbindungssystem, die sich nicht 

durch Umeichung beseitigen lassen. 

Bemerkung: Die ‘echten’ durch Eichtransformation nicht entfernbaren Verdrehungen in der Textur 

dieses Gewebes treten physikalisch als Kraftfelder (Wechselwirkungen) in Erscheinung. Diese Kraftfelder 

sind vollständig durch die Symmetriegruppe ihrer intrinsischen Freiheitsgrade bestimmt: 

U(1) elektromagnetische Wechselwirkung 

SU(2) schwache Wechselwirkung 

SU(3) starke Wechselwirkung 

Verdrehungen der Raumzeit selbst äußern sich als Gravitation, wobei an die Stelle der inneren Freiheitsgrade 

der Tangentialraum tritt und das Eichfeld A(x) durch die Christoffelsymbole ersetzt wird. 

Alle vier grundlegenden Kräfte lassen sich also in einem einheitlichen Rahmen durch Eichtheorien 

beschreiben. 

5.1.5 Kovariante Ableitung 

In höheren Dimensionen muss die Gleichung z �(x+ dx) = (1+iA(x)dx)z(x), mit der die Änderung 

der Koordinate z bei Parallelverschiebung beschrieben wird, für vektorielle Verschiebungen 

dx verallgemeinert werden zu 

z �(x + dx) = (1 + iAµ(x)dx µ )z(x). (5.6) 

Wir betrachten jetzt ein gegebenes Phasenfeld z(x) und stellen die Frage, wie sich dieses Phasenfeld 

bei Bewegung in Richtung des Basisvektors eµ = ∂µ bezüglich dieses Paralleltransports 

ändert. Diese Änderung wird durch die kovariante Ableitung 

z(x + λeµ) − z�(x + λeµ) 

∇µz = lim 

λ→0 λ 

= � ∂µ − iAµ)z(x) (5.7) 

beschrieben, die eine Darstellung des abstrakten Zusammenhangs ∇ ist. Dieser Zusammenhang 

bildet einen Richtungsvektor auf ein Element der Lie-Gruppe ab, beschreibt also die tatsächliche 



Rate der Verdrehung auf den Kreisen bei Bewegung in eine vorgegebene räumliche Richtung. 

Der Zusammenhang ∇ ist also ein Feld von Lie-Gruppen-wertigen 1-Formen. ∇ spielt hier eine 

ganz ähnliche Rolle wie ein Zusammenhang in der Differentialgeometrie, nur dass er statt auf 

den Tangentialraum nun auf die inneren Freiheitsgrade wirkt. Wir erkennen hier also ein weiteres 

allgemeines Konstruktionsprizip von Eichtheorien: 

Der Zusammenhang ∇ einer Eichtheorie ist eine lineare Abbildung eines raumzeitlichen 

Richtungsvektors auf die Lie-Algebra der entsprechenden Symmetriegruppe 

und beschreibt die Rate, mit der der innere Freiheitsgrad bei einer 

Bewegung in diese Richtung transformiert wird. 

Eichtransformationen z(x) → ˜z(x) = e i f (x) z(x) lassen den abstrakten Zusammenhang ∇ zwar 

unverändert, führen jedoch zu einer Änderung seiner Darstellung: 

Aµ(x) → Ãµ(x) = Aµ(x) + ∂µ f (x) (5.8) 

Eichfelder sind also physikalisch äquivalent, wenn sie durch Addition des Gradienten einer skalaren 

Funktion f (x) auseinander hervorgehen. 

5.1.6 Intrinsische Krümmung: Das elektromagnetische Feld 

Die Verdrehung entlang eines geschlossenen Wegs kann man als eine Verwindung bzw. Krümmung 

des intrinsischen Raums interpretieren. Der darunterliegende Ortsraum bzw. Raumzeit 

bleibt dagegen ungekrümmt. Mit der oben eingeführten kovarianten Ableitung ergibt sich der 

Krümmungstensor F, eine 2-Form, die auf zwei Richtungsvektoren X,Y folgendermaßen wirkt: 

� 

� 

F(X,Y) = i [∇X,∇Y] − ∇ [X,Y] . (5.9) 

Dabei wurde der Generator i herausdividiert, so dass diese 2-Form anschaulich den Verdrehungswinkel 

im Bogenmaß liefert, den der Käfer beim Durchlaufen eines von X und Y aufgespannten 

geschlossenen Weges feststellt. Weil diese 2-Form darstellungsfrei definiert ist, ist sie 

automatisch unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems im intrinsischen Freiheitsgrad, 

also invariant unter Eichtransformationen. 

Wir wollen nun die Komponenten dieses Tensors in einer gegebenen Koordinatenbasis berechnen. 

Da die Lie-Klammer in einer Koordinatenbasis stets gleich Null ist, verschwindet der 

letzte Term und wir erhalten 

Fµν = F(∂µ,∂ν) = i[∇µ,∇ν] = ∂µAν − ∂νAµ . (5.10) 

Die Tensorkomponenten repräsentieren das elektromagnetische Feld und sind per Definition 

unter U(1)-Eichtransformationen invariant. Im R3+1 ⊕U(1) sind sie gegeben durch 

⎛ 

0 

⎜ 

Fµν = ⎜Ex/c 

⎝Ey/c 

−Ex/c 

0 

−Bz 

−Ey/c 

Bz 

0 

⎞ 

−Ez/c 

−By ⎟ 

Bx ⎠ 

(5.11) 

Ez/c By −Bx 0 

Die Felder �E(x) und �B(x) repräsentieren also den von der Eichung unabhängigen Informationsgehalt 

des elektromagnetischen Feldes. 



5.1.7 Das elektromagnetische Feld als Differentialform 

Der Kommutator [∇µ,∇ν] einer allgemeinen kovarianten Ableitung ∇µ = ∂µ + Γµ(x) besitzt 

normalerweise drei Terme: 

[∇µ,∇ν] = ∂µΓν(x) − ∂νΓµ(x) + [Γµ(x),Γν(x)]. (5.12) 

Dabei sind die Größen Γµ(x) Generatoren der Symmetriegruppe, also Elemente der dazugehörigen 

Lie-Algebra. Der dritte Term kann über die Vertauschungsrelationen der Lie-Algebra 

berechnet werden und ist in nichtkommutativen Gruppen ungleich Null. Die Symmetriegruppe 

der Elektrodynamik U(1) ist allerdings kommutativ, so dass dieser Term verschwindet. 

Da dieser Term wegfällt, kann der Feldstärketensor als äußere Ableitung des Eichfelds interpretiert 

werden. Wie man nämlich leicht nachrechnen kann, gilt nämlich für die Formen 

die Beziehung 

A = Aµdx µ , F = 1 

2 Fµν dx µ ∧ dx ν 

(5.13) 

F = dA. (5.14) 

Daraus ergeben sich sofort wegen d 2 = 0 die homogenen Maxwellgleichungen 

bzw. in Koordinatendarstellung 

dF = 0 (5.15) 

∂ρFµν + ∂νFρµ + ∂µFνρ = 0. (5.16) 

Bemerkung: Von den 4 3 = 64 möglichen Indexkombinationen sind wegen der Antisymmetrie von F 

nur vier linear unabhängig. Diese vier Gleichungen lauten: 

∂0F12 + ∂2F01 + ∂1F20 = 0 

∂0F13 + ∂3F01 + ∂1F30 = 0 

∂0F23 + ∂3F02 + ∂2F30 = 0 

∂1F23 + ∂3F12 + ∂2F31 = 0. 

Einsetzen der Felder �E und �B gemäß Gl. (5.11) liefert 

∂tBz − ∂yEx + ∂xEy = 0 

−∂tBy − ∂zEx + ∂xEz = 0 

∂tBx − ∂zEy + ∂yEz = 0 

∂xBx + ∂yBy + ∂zBz = 0. 

Die ersten drei und die letzte Gleichung lassen sich schreiben als ∂t �B = −∇ × �E bzw. ∇ ·�B = 0. 

Die homogenen Maxwellgleichungen reflektieren also geometrische Eigenschaften sowie die 

Kommutativität der Eichgruppe. Sie sagen noch nichts über die Dynamik und die Wechselwirkung 

mit Ladungen aus. 

5.2 Elektrodynamik im Vakuum 

5.2.1 Wirkungsfunktional 

In der klassischen Physik muss ein Teilchen nicht ruhen, sondern es darf sich auf vielfältige Weise 

bewegen, allerdings nur so, dass dabei die Wirkung extremal ist. Ähnliches gilt auch für die 


5.2 Elektrodynamik im Vakuum 117 

Verbindungselemente zwischen den Kreisen: Sie müssen nicht unbedingt gerade sein, sondern 

dürfen sich durchaus verdrehen, aber nur so, dass dabei die Wirkung des elektromagnetischen 

Feldes extremal ist. Mit der Definition der Wirkung fließt an dieser Stelle in die Theorie ein, wie 

die Verbindungselemente physikalisch funktionieren. 

Anschaulich muss die Wirkung ein skalares Maß für den Stress im Gesamtsystem sein, also 

Maß für die ‘Torsion’ im Verbindungsgefüge. Für ein System ohne verdrehte Verbindungen, 

also in einem feldfreien Raum, muss sie ihren minimalen Wert annehmen. Man kann jedoch 

durch Vorgabe von Randbedingungen (beispielsweise durch ‘verdrehte’ Anfangsbedingungen) 

eine Torsion im Verbindungsgefüge erzwingen. Das Prinzip der kleinsten Wirkung muss dann 

die übrigen Verbindungselemente genau so justieren, dass die Torsion im Gesamtsystem minimiert 

wird. Das Ergebnis ist eine bestimmte raumzeitliche Verbindungskonfiguration, nämlich 

die einer elektromagnetischen Welle. 

Beim Auffinden der Form der Wirkung lassen sich Physiker gerne vom heuristischen Prinzip 

der Einfachheit leiten. Demnach ist die in der Natur realisierte Wirkung die jeweils einfachste, 

die mit den Symmetrien des Systems vereinbar ist. Im Fall der U(1)-Eichtheorie bedeutet das 

folgendes: Zunächst muss sich die Wirkung als ein raumzeitliches Volumenintegral 

� 

S = d 4 xL (5.17) 

über einer skalaren Lagrangedichte L schreiben lassen. Da die Lagrangedichte als Skalar darstellungsunabhängig 

ist, muss sie unter Eichtransformationen invariant sein, darf also nur von 

den ‘echten’ Feldern abhängen, sollte also eine Funktion des Feldstärketensors sein. Der einfachste 

Skalar, der aus F gebildet werden kann, ist die Spur F µ µ , die allerdings immer gleich 

Null ist – dieser Versuch war also zu einfach. Die nächste naheliegende Möglichkeit wäre, den 

Tensor mit sich selbst zu kontrahieren, d.h. 

L = − 1 

4 F µν Fµν 

(5.18) 

wobei der Vorfaktor −1/4 eine Konvention ist. 

Wir variieren nun das Verbindungsgefüge infinitesimal durch A → A + δA und fragen nach 

der entsprechenden Änderung der Wirkung S → S + δS. Offenbar ist 

δS = − 1 

� 

2 

d 4 xF µν δFµν = − 1 

� 

d 

2 

4 xF µν = − 

(∂µδAν − ∂νδAµ) 

1 

� 

2 

d 4 x(F µν − F νµ � 

)∂µδAν = − d 4 xF µν ∂µδAν . 

(5.19) 

Durch partielle Integration gelangt man zu 

� 

δS = d 4 xδAν ∂µF µν . (5.20) 

Da die δAν unabhängig variiert werden können, ist die Wirkung genau dann extremal, wenn gilt 

∂µF µν = 0. (5.21) 

Diese Gleichungen bilden den zweiten Satz von Maxwell-Gleichungen. Mit der kontravarianten 

Darstellung des Feldstärketensors 

F µν ⎛ 

⎞ 

0 Ex/c Ey/c Ez/c 

⎜ 

= ⎜−Ex/c 

0 Bz −By ⎟ 

⎝ 

⎠ 

(5.22) 

−Ey/c −Bz 0 Bx 

−Ez/c By −Bx 0 



kann man leicht zeigen, dass sich daraus die Maxwellgleichungen ∇ · �E = 0 und ∂t �E = ∇ ×�B. 

5.3 Elektrodynamik in Differentialformen 

5.3.1 U(1)-Eichsymmetrie 

In der Elektrodynamik wird die U(1)-Symmetrie der Phasenlage z(x) durch einen kovarianten 

Zusammenhang 

∇X = X − iA(X) (5.23) 

beschrieben, wobei i der Generator der entsprechenden Lie-Algebra ist und A eine 1-Form ist, 

welche die Änderung der Phase in Richtung X beschreibt. Unter Eichtransformationen z(x) → 

z(x)e i f (x) transformiert sich A gemäß 

so dass die äußere Ableitung 

A → A + df (5.24) 

F = dA (5.25) 

eichinvariant ist und damit die physikalischen Felder beschreibt. Da F eine exakte Form ist, 

folgen daraus die homogenen Maxwellgleichungen 

5.3.2 Wirkung 

dF = 0. (5.26) 

Die Wirkung des elektromagnetischen Feldes S ist das 4-dimensionale Volumenintegral 

� 

S = L (5.27) 

über die 4-Form 

L[A, dA] = − 1 

dA ∧ ⋆dA + A ∧ ⋆J. (5.28) 

2 

wobei die 1-Form J die Ladungsstromdichte ist1 . Durch Variation der Wirkung gelangt man zu 

den Lagrangeschen Gleichungen 

∂L ∂L 

+ d = 0 (5.29) 

∂A ∂(dA) 

in Form der inhomogenen Maxwellgleichungen 

d ⋆ F = ⋆J. (5.30) 

Wegen d 2 = 0 folgt daraus die Kontinuitätsgleichung für die Ladungserhaltung 

d ⋆ J = 0. (5.31) 

1 In der Literatur wird oft zunächst die Ladungsstromdichte als 3-Form ¯J definiert. Diese 3-Form beschreibt die 

Impuls, der durch die dreidimensionale Hyperfläche hindurchtritt, welche durch die drei Vektoren aufgespannt 

wird. Die hier verwendete 1-Form J = ⋆¯J beschreibt also den Impuls, der durch eine Hyperfläche hindurchtritt, 

die senkrecht auf dem Eingangsvektor steht. Ihre Komponenten sind die Ladungsdichte σ und der Ladungsstrom 

j. 


5.3 Elektrodynamik in Differentialformen 119 

5.3.3 Wellengleichung 

Wendet man den Hodge-Stern-Operator auf die inhomogenen Maxwellgleichungen d⋆ dA = ⋆J 

an, so erhält man 

d † dA = J. (5.32) 

Da der Laplacian durch � = −d † d − dd † gegeben ist, folgt daraus �A = −J − dd † A. Mit der 

Lorenz-Eichung 

d † A = 0 (5.33) 

erhalten wir die Wellengleichung 

5.3.4 Darstellung der Elektrodynamik 

�A = −J. (5.34) 

In einem gegebenen Bezugssystem mit Minkowski-Koordinaten lassen sich die in der Elektrondynamik 

verwendeten Differentialformen folgendermaßen darstellen: 

A = φ dx 0 + Ax dx 1 + Ay dx 2 + Az dx 3 

F = Ex dx 1 ∧ dx 0 + Ey dx 2 ∧ dx 0 + Ez dx 3 ∧ dx 0 

+ Bx dx 2 ∧ dx 3 + By dx 3 ∧ dx 1 + Bz dx 1 ∧ dx 2 

(5.35) 

(5.36) 

J = ρ dx 0 + jx dx 1 + jy dx 2 + jz dx 3 . (5.37) 

Dabei ist φ das Potential, �A = (Ax,Ay,Az) das Vektorpotential, �E = (Ex,Ey,Ez) das elektrische 

Feld, �B = (Bx,By,Bz) das magnetische Feld, ρ die Ladungsdichte und �j = ( jx, jy, jz) die Stromdichte. 

In dieser Darstellung sind die entsprechenden Hodge-Duals gegeben durch 

⋆F = Bx dx 0 ∧ dx 1 + By dx 0 ∧ dx 2 + Bz dx 0 ∧ dx 3 

+ Ex dx 2 ∧ dx 3 + Ey dx 3 ∧ dx 1 + Ez dx 1 ∧ dx 2 

⋆J = ρ dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 

5.3.5 Ladungserhaltung 

− jx dx 2 ∧ dx 3 ∧ dx 0 − jy dx 3 ∧ dx 1 ∧ dx 0 − jz dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 0 

(5.38) 

(5.39) 

In betrachten nun ein dreidimensionales räumliches Gebiet G in dieser Darstellung2 und integrieren 

die inhomogenen Maxwellgleichungen über dieses Gebiet 

� � � 

⋆J = d ⋆ F = ⋆F (5.40) 

G 

G 

wobei auf der rechten Seite das Stokesche Theorem angewandt wurde. Da sowohl G als auch 

∂G räumlich sind, tragen im Integranden nur soche Terme bei, die kein dt = dx 0 enthalten. So 

ist z.B. � � 

⋆J = ρ dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 � 

= ρ(�x)d 3 x = Q (5.41) 

G 

G 

2 Ein räumliches Gebiet hat keine zeitliche Ausdehnung. Beachten Sie, dass diese Eigenschaft im allgemeinen beim 

Wechsel des Bezugssystems verloren geht. 

∂G 


G


die in dem Gebiet enthaltene Gesamtladung. Bei der Integration über ⋆F tragen nur die elektri- 

schen Komponenten bei: 

� 

⋆F = 

∂G 

� 

Ex dx 

∂G 

2 ∧ dx 3 + Ey dx 3 ∧ dx 1 + Ez dx 1 ∧ dx 2 

(5.42) 

Der Integrand ∑ 3 i=1 Ei(⋆dx i ) = �E ·�ndS kann interpretiert werden als Skalarprodukt des elektrischen 

Feldes mit dem Normalenvektor�n auf dem Flächenelement dS. Damit erhält man den Satz 

von Gauß 

� 

Q = �E ·�ndS. (5.43) 

∂G 

Eine analoge Rechnung für die homogenen Maxwellgleichungen ergibt 

� � 

F = �B ·�ndS = 0 (5.44) 

∂G ∂G 

und besagt, dass es keine magnetischen Monopole gibt. 


6 Feldgleichen der Allgemeinen 

Relativitätstheorie 

6.1 Konzept der Allgemeinen Relativitätstheorie 

6.1.1 Historische Entwicklung 

Unser Verständnis von Wechselwirkungen lässt sich rückblickend als ein Konflikt zwischen Lokalität 

und Relativität deuten. In diesem Abschnitt wollen wir diesen sehr interessanten Teil der 

Wissenschaftsgeschichte ein wenig beleuchten. 

Im Mittelalter ist die Wissenschaft stark religiös geprägt und ist eher an einem gesamtheitlichen 

Weltverständnis als an Einzelphänomenen interessiert. 

“Mitten im Weltenbau steht der Mensch. denn er ist bedeutender 

als alle übrigen Geschöpfe. An Statur ist er zwar klein, an Kraft 

seiner Seele jedoch gewaltig. Sein Haupt nach oben gerichtet, die 

Füße auf festem Grund, vermag er alles in Bewegung zu setzen. 

Was er mit seinem Werk bewirkt, das durchdringt das All. Wie 

nämlich der Leib des Menschen das Herz an Größe übertrifft, so 

sind auch die Kräfte der Seele gewaltiger als die des Körpers, 

und wie das Herz des Menschen im Körper verborgen ruht, so ist 

auch der Körper von den Kräften der Seele umgeben, da diese 

sich über den gesamten Erdkreis erstrecken. [...]” a 

a Hildegard von Bingen, Liber Divinorum operum (1163-1170). 

Die Kugel im Zentrum der obigen Abbildung stellt den Erdball dar. Im Zentrum der Welt steht 

der Mensch und definiert in diesem Sinne ein absolutes Bezugssystem. Kraft seines Glaubens 

verfügt der Mensch über eine Seele, die “das All durchdringt”, wie es die in der Abbildung von 

der Erdkugel ausgehenden Strahlen symbolisieren sollen. Im weitesten Sinne handelt es sich um 

eine Art nichtlokale Fernwirkung, wenn diese auch eher religiöser als physikalischer Natur ist, 

obwohl durchaus auch reale Phänomene wie die Gravitation in diesem Kontext gesehen werden. 

Mit der Renaissance wächst das Bedürfnis, die infeffiziente Wissenschaft des Mittelalters zu 

überwinden. Einer der Exponenten ist Galileo Galilei (1564-1642), der zum einen die zentrale 

Rolle der Mathematik hervorhebt: 

“Die Philosophie steht in diesem großen Buch geschrieben, dem Universum, das 

unserem Blick ständig offen liegt. Aber das Buch ist nicht zu verstehen, wenn man 

nicht zuvor die Sprache erlernt und sich mit den Buchstaben vertraut gemacht hat, 


122 Feldgleichen der Allgemeinen Relativitätstheorie 

in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, und 

deren Buchstaben sind Kreise, Dreiecke und andere geometrische Figuren, ohne die 

es dem Menschen unmöglich ist, ein einziges Wort davon zu verstehen; ohne diese 

irrt man in einem dunklen Labyrinth herum.” 1 

Neu ist aber auch eine Verschiebung des Interesses vom allumfassenden Weltbild zum Einzelphänomen, 

womit der Grundstein für eine empirische am Experiment orientierte Wissenschaft 

gelegt wird: 

“Ich halte das Auffinden einer Wahrheit, auch der kleinsten, für wichtiger als jene 

länglichen Disputationen über die größten Fragen, die zu nichts führen” 2 

Relativitätsprinzip 

Eine wichtige Errungenschaft der Renaissance ist das Relativitätsprinzip. Der wohl erste wirkliche 

“Relativist” ist der Theologe Nikolaus von Kues (1401-1464), auch Cusanus genannt. Obwohl 

er kein Naturwissenschaftler ist, eilt er seiner Zeit weit voraus. Weder die Erde, die Sonne 

noch irgendein anderer Himmelskörper seien seiner Ansicht nach als Mittelpunkt der Welt zu 

betrachten. Gott als Grundlage für die Existenz der Welt könne nämlich nicht selbst Teil der Welt 

sein und aus diesem Grunde – in heutigen Jargon ausgedrückt – auch nicht mit der Welt physikalisch 

wechselwirken. Demzufolge unterliege die Welt Naturgesetzen, in die Gott nicht aktiv 

eingreift, die also gewissermaßen autonom ablaufen und in ihrer Form zeitlich unveränderlich 

sind. Da kein Element dieser Welt Gott-gleich und damit in besonderer Weise ausgezeichnet wäre, 

könnten sich diese Naturgesetze nur auf die Relationen zwischen Objekten beziehen. Gott sei 

dagegen das “Nicht-Andere”, also der Seinsgrund, der nicht in relativen Kategorien ausdrückbar 

ist. Mit diesem spekulativen Weltbild ist Cusanus wohl der erste moderne Relativist und geht 

sehr viel weiter als z.B. Kopernikus, der fast 100 Jahre später mit seiner Schrift “De Revolutionibus 

Orbium Coelestium” den Mittelpunkt der Welt zwar von der Erde zur Sonne verlegt, 

jedoch im Grunde das Konzept eines absoluten Bezugssystems beibehält. 

Das Relativitätsprinzip verbannt nicht nur den Menschen aus dem Mittelpunkt des Universums, 

sondern hat auch andere weitreichende Konsequenzen. Wenn nämlich die Naturgesetze 

ausschließlich auf Relationen zwischen Objekten beruhen, muss die Struktur von Raum und Zeit 

damit verträglich ist. In heutiger Sprache ausgedrückt müssen Raum und Zeit die notwendigen 

Symmetrien besitzen, nämlich homogen, isotrop und unbegrenzt sein. Die bis dahin allgemein 

akzeptierte Vorstellung von einer Begrenzung des Diesseits durch eine Fixsternsphäre war damit 

nicht mehr kompatibel. Giordano Bruno unternahm den Versuch, das religiöse Weltbild dieser 

neuen Sichtweise anzupassen: Nur ein unendliches Universum reflektiere Gottes Unendlichkeit 

in angemessener Weise, argumentiert er. 

Galieo Galilei, der eher an der “Wahrheit, auch der kleinsten” interessiert ist, gelingt es zuerst, 

das Relativitätsprinzip anschaulich und dann in Form der berühmten Galilei-Transformation 

auch mathematisch zu formulieren: 

“Schließt Euch in Gesellschaft eines Freundes in einen möglichst großen Raum unter 

dem Deck eines großen Schiffes ein. Verschafft Euch dort Mücken, Schmetter- 

1 Galileo Galilei, Saggiatore (1623). 

2 ”Io stimo più il trovar un vero, benché di cosa leggiera, che ’l disputar lungamente delle massime questioni senza 

conseguir verità nissuna.“ Nachweis unklar. 


6.1 Konzept der Allgemeinen Relativitätstheorie 123 

linge und ähnliches fliegendes Getier; sorgt auch für ein Gefäß mit Wasser und 

kleinen Fischen darin; hängt ferner oben einen kleinen Eimer auf, welcher tropfenweise 

Wasser in ein zweites enghalsiges darunter gestelltes Gefäß träufeln läßt. 

Beobachtet nun sorgfältig, solange das Schiff stille steht, wie die fliegenden Tierchen 

mit der nämlichen Geschwindigkeit nach allen Seiten des Zimmers fliegen. 

Man wird sehen, wie die Fische ohne irgend welchen Unterschied nach allen Richtungen 

schwimmen; die fallenden Tropfen werden alle in das untergestellte Gefäß 

fließen. Wenn Ihr Eurem Gefährten einen Gegenstand zuwerft, so braucht Ihr nicht 

kräftiger nach der einen als nach der anderen Richtung zu werfen, vorausgesetzt, 

daß es sich um gleiche Entfernungen handelt. Wenn Ihr, wie man sagt, mit gleichen 

Füßen einen Sprung macht, werdet Ihr nach jeder Richtung hin gleichweit gelangen. 

Achtet darauf, Euch aller dieser Dinge sorgfältig zu vergewissern, wiewohl 

kein Zweifel obwaltet, daß bei ruhendem Schiffe alles sich so verhält. Nun laßt das 

Schiff mit jeder beliebigen Geschwindigkeit sich bewegen: Ihr werdet — wenn nur 

die Bewegung gleichförmig ist und nicht hier- und dorthin schwankend — bei allen 

genannten Erscheinungen nicht die geringste Veränderung eintreten sehen. Aus 

keiner derselben werdet Ihr entnehmen können, ob das Schiff fährt oder stille steht. 

[...]” 3 

Französische Schule 

Mit der Etablierung empirischer Methoden nahm auch das Vertrauen in die Kausalität zu, also 

der Annahme, dass jedes Phänomen eine Ursache besitzt. Dieses Ursache-Wirkungs-Prinzip war 

von Anfang an eng verknüpft mit dem Begriff der Lokalität, also der empirischen Tatsache, dass 

Ursache und Wirkung einen direkten räumlichen Kontakt erfordern. Um eine Tür zu öffnen, 

muss man sie direkt berühren oder mit einem vermittelnden Medium (Windstoß) eine Kraft auf 

sie ausüben. 

Die französische Schule um René Descartes (1596-1650) versucht, die Lokalität von Ursache 

und Wirkung zu einem grundlegenden Prinzip zu erheben. Das Problem bestand darin, dass 

sich die Gravitation dem Prinzip der Lokalität widersetzte, denn Dinge fallen auch ohne direkten 

mechanischen Kontakt zu Boden. Die Gravitation schien also eine Fernwechselwirkung zu 

sein, ähnlich wie die den Kosmos durchdringende Seele des Mittelalters, und so etwas galt als 

nicht mehr zeitgemäß. Die Anhänger der französischen Schule postulierten also, dass die Gravitation 

durch ein Medium vermittelt werden müsse, ähnlich wie Luftdruck durch die Luft vermittelt 

wird. Dieses hypothetische Medium, Äther genannt, stellte man sich als stark verdünnte 

Materieform vor, mit der der gesammte Weltraum aufgefüllt sein müsse. Die Himmelskörper 

schwimmen in diesem Äther und bewegen sich allein durch lokale mechanische Druckeffekte. 

Auf diese Weise versuchte man, eine Theorie der Mechanik zu entwickeln, die konsequent auf 

einem lokalen Ursache-Wirkungs-Prinzip aufgebaut ist. 

3 Galilei, Galileo: Dialog über die beiden hauptsächlichsten Weltsysteme, das Ptolemäische und das Kopernikani- 

sche, S. 197-198, Leipzig: B.G. Teubner 1891 



Diese Theorie war allerdings recht ineffizient 

und nahm skurrile Züge an. So musste man z.B. 

erklären, warum der Mond nicht herunterfällt. Dazu 

wurde die Erde als Ätherquelle interpetiert, die 

einen radial nach außen gerichteten Ätherwind 

emittiert. Den Kosmos stellte man sich um jedes 

Gestirn parzelliert vor, wobei in jeder Zelle separate 

Ätherwirbel für die Bewegung der Gestirne sorgen 

(siehe Abbildung). 

Der Äther brachte aber noch ein anderes großes Problem 

mit sich. Er definiert lokal ein Ruhesystem, 

was dem Relativitätsprinzip widerspricht. Im Inneren 

des Schiffes müsste es nämlich im Prinzip möglich 

sein, die Bewegung relativ zum Äther zu messen, 

d.h. bei Bewegung des Schiffes müssten sich die 

Fliegen durch den Äthergegenwind auf einer Seite 

des Raums sammeln. Die beiden großen Modernisierungsprojekte 

– Relativität und Lokalität – , mit 

denen man die infeffiziente mittelalterliche Wissenschaft 

überwinden wollte, widersprachen sich also 

gegenseitig. 

Newtonsche Mechanik 

Ätherwindkarte (nach Descartes) 

In sicherer Entfernung von Paris schlägt sich Isaac Newton (1642-1726) auf die Seite der Relativisten. 

Seine Mechanik ist invariant unter Galilei-Transformationen, beschreibt also auf einem 

bewegten Schiff genau die von Galilei beschriebene Situation. Dafür zahlt Newton allerdings 

einen Preis, denn um eine solche Mechanik konsitent zu formulieren, muss er die Gravitationskraft 

als eine instantane Fernwechselwirkung postulieren, also als eine nicht durch ein Medium 

vermittelte, sondern durch die bloße Anwesenheit von Massen hervorgerufene Kraft mit unendlich 

großer Ausbreitungsgeschwindigkeit. Dieses Konzept erschien zu seiner Zeit rückständig, 

ja geradezu reaktionär und wurde deshalb auch heftig attackiert. Im Vergleich zur französischen 

Physik schien Newtons Physik jedoch zu funktionieren und trat einen beispiellosen und konkurrenzlosen 

Siegeszug an, der bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts andauern sollte. Ohne diesen 

praktischen Erfolg wäre Newtons Mechanik wohl schnell in Vergessenheit geraten. 

Das Relativitätsprinzip ist bei Newton allerdings in durchaus ambivalenter Weise realisiert. 

Schon Galilei bemerkte, dass seine Überlegungen nur dann zutreffen, “wenn nur die Bewegung 

[des Schiffes] gleichförmig und nicht hier- und dorthin schwankend” ist, also nur auf unbeschleunigte 

Bezugssysteme, sogenannte Inertialsysteme anwendbar sind. Diese Einschränkung 

ist bemerkenswert und wird von Newton in seinem berühmten Gedankenexperiment vom rotierenden 

Eimer vertieft: 



“If a vessel, hung by a long cord, is so often turned about that the cord is strongly twisted, 

then filled with water, and held at rest together with the water; after, by the sudden action 

of another force, it is whirled about in the contrary way, and while the cord is untwisting 

itself, the vessel continues for some time this motion; the surface of the water will at first 

be plain, as before the vessel began to move; but the vessel by gradually communicating 

its motion to the water, will make it begin sensibly to revolve, and recede by little and little, 

and ascend to the sides of the vessel, forming itself into a concave figure...This ascent of the 

water shows its endeavour to recede from the axis of its motion; and the true and absolute 

circular motion of the water, which is here directly contrary to the relative, discovers itself, 

and may be measured by this endeavour. ... And therefore, this endeavour does not depend 

upon any translation of the water in respect to ambient bodies, nor can true circular motion 

be defined by such translation. ...; but relative motions...are altogether destitute of any real 

effect. ...It is indeed a matter of great difficulty to discover, and effectually to distinguish, the 

true motions of particular bodies from the apparent; because the parts of that immovable 

space in which these motions are performed, do by no means come under the observations 

of our senses.” a 

a I. Newton, Principia, Book 1: Scholium 

Newton erfindet hier nicht die Fliehkraft neu, sondern macht sich Gedanken über den fundamentalen 

Unterschied zwischen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Ein Beobachter 

mit geschlossenen Augen kann zwar nicht feststellen, wie schnell er ist, wohl aber seine eigene 

Beschleunigung wahrnehmen. So kann der Beobachter z.B. anhand des Pirouetteneffekts sehr 

leicht feststellen, ob er rotiert oder nicht. Es muss also etwas geben, bezüglich dem man rotiert. 

Genau diesen Sachverhalt soll das Eimer-Experiment zum Ausdruck bringen. Der Begriff der 

Beschleunigung scheint sich damit dem relativistischen Grundkonzept zu entziehen. 

Newton folgert daraus, dass damit zwar der Descartes’sche Äther ad absurdum geführt ist, 

dass es aber dennoch einen “absoluten Raum” geben müsse, gewissermaßen eine Art Äther 2. 

Ordnung. In diesem Raum sind Orte und Geschwindigkeiten relativ, Beschleunigungen dagegen 

absolut, sonst nämlich hätte die Gleichung �F = m�a keinen Sinn. Außerdem stellt Newton fest, 

dass er das Relativitätsprinzip für Geschwindigkeiten nur dann konsistent implementieren kann, 

wenn die Zeit eine universelle Größe ist und die Gravitationskraft als eine instantane Fernwechselwirkung 

betrachtet wird. In Newtons Worten: 

Faraday 

“Absolute, true and mathematical time, of itself, and from its own nature flows equably 

without regard to anything external . . . ”. 

Als Michael Faraday (1791-1867) beginnt, elektromagnetische 

Phänomene zu untersuchen, ist das 

Newtonsche Konzept der Physik wegen seines überwältigenden 

Erfolgs längst zu einem akademischen 

Paradigma geworden. In dieser Welt des absoluten 

Raums mit fernwirkenden Kraftzentren hatte man 

Schwierigkeiten, die neuen Phänomene zu verstehen. 

Der gelernte Buchbinder Faraday besaß als 

Quereinsteiger die notwendige Unabhängigkeit, um 

neue Konzepte zu entwickeln. 


M. Faraday – Weihnachtsvorlesung


Insbesondere seine Experimente mit polarisiertem Licht führten Faraday zu der Vorstellung, 

dass der Raum in der Umgebung eines Magneten oder einer Ladung nicht etwa leer, sondern 

von einem Feld erfüllt sei, wie sonst hätte denn das Licht, das ja nicht einmal der Gravitation 

unterliegt, abgelenkt werden können? Die elektrische und magnetische Kraft mussten also 

anderer Natur sein und nicht als instantane Fernwechselwirkung, sondern über ein Medium in 

Form eines ‘Feldes’ vermittelt werden. Während diese Felder anfangs als ein mathematisches 

Hilfswerkzeug eingeführt wurden, betrachtete Faraday die Feldlinien im Lauf seines Lebens zunehmend 

als reale physikalische Objekte. Mit der Entdeckung, dass sich Ursache und Wirkung 

bei elektromagnetischen Phänomenen nur mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten, verfestigte 

sich diese Vorstellung weiter. 

Damit entstand das Modell eines nichtrelativistischen elektromagnetischen Äthers, der in 

Newtons halbrelativistischer Raumzeit lebt, dort aber ein bestimmtes Bezugssystem auszeichnet 

und deshalb die wesentliche Symmetrie der Newtonschen Theorie verletzt. Wie bereits beschrieben, 

verbreitete sich diese Vorstellung mit der Entdeckung elektromagnetischer Wellen, die auch 

ohne Anwesenheit von Ladungen existieren können und deshalb zwangsläufig ein ‘Ausbreitungsmedium’ 

zu benötigen schienen. Vor diesem Hintergrund war es für Physiker am Ende des 

19. Jahrhunderts keine Überraschung, dass die Maxwellgleichungen nicht Galilei-invariant sind. 

6.1.2 Gravitation 

Mit der speziellen Relativitätstheorie löst Einstein den scheinbaren Widerspruch zwischen Elektrodynamik 

und Newtonscher Mechanik auf. Im mathematischen Jargon würde man sagen, dass 

Einstein eine kontinuierliche Deformation der Galilei-Transformationen mit einem Parameter c 

findet, die der Lorentz-Transformation entspricht. Das Resultat ist eine kovariante Theorie, die 

allerdings ein Hauptproblem der alten Newtonschen Theorie geerbt hat. Sowohl die Newtonsche 

Mechanik als auch die spezielle Relativitätstheorie erfüllen zwar das Relativitätsprinzip für 

Positionen und Geschwindigkeiten, verletzen es aber für Beschleunigungen. Dieser Sachverhalt 

kommt in beiden Theorien dadurch zum Ausdruck, dass die physikalischen Gesetze nicht in allen, 

sondern nur in Intertialsystemen invariant sind, welche die Eigenschaft haben, gegenüber 

dem ‘absoluten Raum’ unbeschleunigt zu sein. Das Relativitätsprinzip ist also in der speziellen 

Relativitätstheorie nach wie vor nur teilweise realisiert. Nimmt man das relativistische Konzept 

ernst, sind wir also hier noch nicht am Ziel, sondern müssen die Theorie so erweitern, dass auch 

Beschleunigungen als relativistische Begriffe integriert werden. Dieses Ziel erreicht Einstein mit 

der Allgemeinen Relativitätstheorie nach etwa 10-jähriger harter Arbeit. 

Den anschaulichen Zugang zur Allgemeinen Relativitätstheorie pflegte Einstein anhand eines 

Fahrstuhls zu erklären. Hier ist eine von Rovelli [14] vorgeschlagene kosmologische Variante 

dieses Gedankenexperiments. Stellen wir uns vor, dass wir in einem kugelförmigen Galaxienhaufen 

leben würden. Unter dem Einfluss der Gravitation wird sich dieser Haufen kontrahieren. 

Offensichtlich befindet sich dabei die Galaxie im Zentrum in einem unbeschleunigten, eine Galaxie 

am Rand dagegen in einem beschleunigten Bezugssystem. 

Wie bewegt sich ein Teilchen mit der Masse m innerhalb dieses Haufens gemäß der Newtonschen 

Theorie? Wenn r(t) der Abstand des Teilchens vom Mittelpunkt ist und der Haufen eine 

räumlich konstante Massendichte ρ(t) besitzt, ist die auf das Teilchen wirkende Gravitationskraft 

F = GmM/r 2 (t) durch die in der Kugel mit Radius r(t) anwesende Masse M = 4 

3 πr3 (t)ρ(t) 



bestimmt, d.h. 

Abbildung 6.1: Kontraktion eines Galaxiehaufens (siehe Text). 

d 

�r(t) = −4π 

dt 3 

Gρ(t)�r(t). (6.1) 

Eine ähnliche Gleichung erhält man auch für das homogene flache Universum bei relativistischer 

Behandlung. Weil diese Gleichung homogen im Ort ist, ist sichergerstellt, dass die Dichte 

ρ(t) innerhalb des Haufens zwar zunimmt, jedoch ortsunabhängig bleibt. Ferner folgt aus der 

Homogenität, dass sich nicht nur der Abstand zum Mittelpunkt, sondern beliebige Abstände 

gemäß der obigen Gleichung zeitlich entwickeln. Bei endlicher Beobachtungsreichweite wäre 

also die Kontraktionsdynamik im Mittelpunkt (beobachtet im grünen Kreis) von der bezüglich 

eines anderen Punkts im freien Fall (beobachtet z.B. im roten Kreis) nicht zu unterscheiden. 

Ein Beobachter hat also in diesem Beispiel keine Möglichkeit zu erkennen, ob er sich in einem 

beschleunigten Bezugssystem befindet oder nicht. Einstein löst diesen Widerspruch durch 

folgendes Postulat: 

Beschleunigung und Gravitation sind identisch. 

Gravitation erfordert also keine zweite Masse, von der sie ausgeht, sondern kann schon bereits 

mit einem Wechsel in ein beschleunigtes Bezugssystem erreicht werden. Ebenso kann die Gravitation 

wie im obigen Beispiel eliminiert werden, in dem man in ein ‘frei fallendes’ Bezugssystem 

wechselt. Man kann diesen Paradigmenwechsel plakativ so formulieren: 

Das Gravitationsfeld befindet sich nicht in Raum und Zeit, 

es ist Raum und Zeit. 

Damit kann man Newtons Wassereimer so deuten, dass sich die Wasseroberfläche wölbt, wenn 

er relativ zum lokalen Gravitationsfeld rotiert. Was Newton also als ‘absoluten Raum’ identifiziert, 

ist nichts anderes als ein homogenes Gravitationsfeld von einem Beobachter im freien 

Fall aus gesehen. Newtons ‘Fehler’ bestand darin, auf diesem neutralen Gravitationsfeld eine 

zweite Gravitationskraft als instantane Fernwechselwirkung zu postulieren. In der allgemeinen 

Relativitätstheorie ist das nicht länger notwendig. Indem das neutrale Gravitationsfeld zu einem 

dynamischen Feld wird, können alle Gravitationseffekte ohne Zuhilfenahme einer mysteriösen 

Fernwechselwirkung erklärt werden. Die Gravitationseffekte werden dabei mit endlicher Geschwindigkeit 

durch lokale Wechselwirkungen vermittelt, so wie es sich Descartes vielleicht 



erträumt hätte. 

6.1.3 Invarianz unter Diffeomorphismen 

Wie könnte eine solche “allgemeine Relativitätstheorie” aussehen? Eine notwendige Voraussetzung 

ist, dass die physikalischen Gesetze nicht nur in Intertialsystemen, sondern in beliebigen 

Bezugssystemen gelten. Die allgemeine Relativitätstheorie muss also in beliebigen Koordinatensystemen 

formulierbar sein, ihre Formeln müssen also auch im Bezugssystem eines Achterbahnfahrers 

korrekt sein. Intuitiv ist klar, dass man das nur erreichen kann, wenn die ‘normalen’ Bewegungsgleichungen 

um Korrekturterme erweitert werden, welche die Beschleunigungseffekte 

in solchen Bezugssystemen kompensieren, man benötigt also eine Art Beschleunigungseichfeld. 

Dieses Eichfeld ist das Gravitationsfeld. 

Wenn die Formeln der allgemeinen Relativitätstheorie in jedem Bezugssystem, also in jedem 

Koordinatensystem korrekt sind, müssen sie unter beliebigen Koordinatentransformationen forminvariant 

sein. Solche Abbildungen bezeichnet man als passive Diffeomorphismen. 

Zur Erinnerung: Ein Diffeomorphismus ist eine bijektiv stetig differenzierbare Abbildung, deren 

Umkehrabbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist. 

Nachdem sich Einstein in die Differentialgeometrie eingearbeitet hatte, war relativ schnell 

klar, dass die aus dem metrischen Tensor bestimmten Christoffelsymbole das Gravitationsfeld 

codieren und dass Teilchen, die nur der Gravitationskraft unterliegen, sich in der gekrümmten 

Raumzeit auf geodätischen Linien bewegen. Damit waren bereits wesentliche Elemente der 

Theorie fixiert. Dann aber stieß Einstein auf zwei schwierige Probleme. Eines davon war die 

geforderte Forminvarianz beim Wechsel zwischen beliebigen Koordinatensystemen, also Kovarianz 

unter passiven Diffeomorphismen. Diese Problem lässt sich wie folgt beschreiben. 

In Abschnitt 1.3.3 auf S. 11 haben wir den Unterschied zwischen aktiven und passiven Transformationen 

diskutiert. Angenommen, man würde beschließen, den Nullmeridian nicht mehr 

durch Greenwich sondern durch Würzburg laufen zu lassen. Auf einer Karte würden sich durch 

solch eine passive Transformation die Koordinaten aller Städte ändern. Alternativ könnte man 

aber auch die Städte abreißen und weiter westlich wiederaufbauen, – der Effekt einer solchen 

aktiven Transformation auf die Koordinaten wäre identisch. Würzburg läge dann allerdings irgendwo 

in Frankreich. 

Für die allgemeinene Relativitätstheorie gilt dies in ganz ähnlicher Weise: Zu jeder passiven 

Koordinatentransformation auf der Karte muss es eine entsprechende aktive Transformation auf 

der Mannigfaltigkeit (der echten Raumzeit) geben, so dass auf der Karte der gleiche Effekt erzielt 

wird. Die Bewegungsgleichungen müssen also sowohl unter passiven als auch unter aktiven 

Diffeomorphismen invariant sein. Mit anderen Worten: Eine Lösung der Feldgleichungen muss 

durch einen beliebigen Diffeomorphismus wieder in eine andere Lösung übergehen. 

Soweit ist das im Prinzip nichts Neues. Auch in der speziellen Relativitätstheorie gehen Lösungen 

der Bewegungsgleichungen durch Lorentz-Transformation wieder in Lösungen über. In 

der allgemeinen Relativitätstheorie ist lediglich die Invarianzgruppe sehr viel größer, sie umfasst 

nämlich alle Diffeomorphismen. Aber genau hier liegt das Problem. Man kann nämlich 

spezielle Diffeomorphismen konstruieren, die einen Teil der Mannigfaltigkeit identisch, einen 

anderen jedoch nichttrivial abbilden. Als Cartoon stellen wir und eine 1+1-dimensionale Man- 



Abbildung 6.2: Einsteins Problem: Die Mannigfaltigkeit wird durch eine raumartige Fläche (gestrichelte Linie) in 

zwei Bereiche unterteilt. Ein aktiver Diffeomorphismus bildet dann ausschließlich den oberen Teil 

in nichttrivialer Weise ab. Die neue Trajektorie muss dann auch Lösung der Gleichungen sein. Da 

aber die Anfangsbedingung unverändert bleibt, ist nicht klar, warum verschiedene Trajektorien 

mit gleichen Anfangsbedingungen entstehen können. Siehe Text. 

nigfaltigkeit vor, die durch eine raumartige Hyperfläche in zwei zeitliche Bereiche geteilt wird 

(siehe Abb. 6.2). Im unteren Bereich, in dem auch die Anfangsbedingung festgelegt ist, bildet 

der Diffeomorphismus identisch ab, modifiziert also die Lösung bzw. den Verlauf der Trajektorien 

nicht, Im obeneren Bereich dagegen kommt es zu Verschiebungen der Trajektorie. Weil 

aber ein aktiver Diffeomorphismus eine Lösung auf eine andere Lösung abbildet, müssen beide 

Trajektorien müssen aber Lösungen zu den gleichen Anfangsbedingungen sein. Wie aber kann 

es in einer deterministischen Theorie zu einer einzigen Anfangsbedingung mehrere Lösungen 

geben? 

6.1.4 Die physikalische Bedeutung der Mannigfaltigkeit 

Einstein kostet dieses “Ringen um die Bedeutung von Koordinaten” mehrere Jahre. Er verwirft 

frühere Publikationen und experimentiert erfolglos mit nicht-kovarianten Ansätzen. Erst 1915 

kehrt er zur kovarianten Formulierung zurück und dann geht alles ganz schnell. Er realisiert 

nämlich, dass die beiden Lösungen im obigen Beispiel zwar auf der Mannigfaltigkeit verschieden 

aussehen, aber dennoch dieselbe physikalische Situation beschreiben. Die Folgerung: 

Die Punkte der Mannigfaltigkeit haben 

keine direkte physikalische Bedeutung. 

Man darf also nicht die Punkte der Mannigfaltigkeit mit den physikalischen Ereignissen identifizieren. 

Wenn man also liest (wie auch in diesem Skript), dass die allgemeine Relativitätstheorie 

auf einer gekrümmten Raumzeit beruht die durch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M beschrieben 

wird, dann stellt man sich vor, dass M diese Raumzeit ist, doch diese Vorstellung ist 

falsch! 

Was aber ist dann die Mannigfaltigkeit? Sie ist eine Art Projektionsfläche für die Theorie, auf 

der die gleiche Physik auf unendlich viele verschiedene Weisen abgebildet werden kann. Sie ist 

eine Art mathematisches Vehikel, mit dem wir die Physik nur auf eine hochgradig redundante 

Weise darstellen können. Sie existiert aber nicht wirklich. 



Aber, so werden Sie einwenden, in der speziellen Relativitätstheorie war der Minkonwskiraum 

doch mit der wahren Raumzeit identisch, dort war doch der Minkowskiraum eine physikalisch 

existierende Realität. Wo ist diese Raumzeit geblieben? Die Antwort ist, dass eine solche 

Raumzeit zwar für den gravitationsfreien Fall eine mögliche Beschreibungsweise ist, dass diese 

aber in der allgemeinen Relativitätstheorie ihren Sinn verliert. 

Beispiel: Was passiert, wenn man im Universum ein homogenes statisches Gravitationsfeld einschalten 

könnte? Die Galaxien würden in diesem Feld abgelenkt werden, würden also auf der Mannigfaltigkeit 

bei gleichen Anfangsbedingungen eine andere Bahn beschreiben als ohne Feld. Trotzdem 

würden wir von diesem Feld nichts spüren. Die Schlussfolgerung: Weder das homogene Feld noch 

die Mannigfaltigkeit existieren wirklich, sondern sie erweisen sich als redundante Elemente der mathematischen 

Beschreibung, sozusagen als “Eichfreiheit”. 

An dieser Stelle rutscht der Boden unter den Füßen weg, weil wir von einer liebgewonnenen 

Vorstellung Abschied nehmen müssen: von Newtons absolutem Raum. Es gibt ihn nicht, auch 

nicht gekrümmt, es gibt stattdessen nur das Gravitationsfeld. 

Newton hat das verschwindende Gravitationsfeld fälschlich für einen absoluten Raum gehalten. 

Um trotzdem Gravitation beschreiben zu können, hat er auf diesem Gravitationsfeld 

künstlich ein zweites Gravitationsfeld eingeführt, das als instantane Fernwechselwirkung implementiert 

ist. 

6.2 Feldgleichungen 

6.2.1 Konzept 

Die Einsteinschen Feldgleichungen beschreiben, wie Materie die Raumzeit krümmt. Dabei versteht 

man unter ‘Materie’ alles, was nicht Gravitation ist. Dazu gehören alle Formen von Materie, 

Ladungen und Strahlungen, die nicht gravitativer Natur sind, also in heutiger Sprechweise alle 

Elementarteilchen und Eichbosonen mit Ausnahme des Gravitons. 

Abgeleitet werden die Feldgleichungen – wie immer – von einem Wirkungsprinzip. Dabei 

wird angenommen, dass sich die Gesamtwirkung des Universums additiv aus einem gravitativen 

und einem materiellen Anteil zusammensetzt, d.h. 

S = SG + SM. (6.2) 

Die Wirkungsanteile lassen sich schreiben als Integrale über die gesamte Mannigfaltigkeit über 

die entsprechenden Lagrange-4-Formen LM,G 

� � 

S = γ LG + 

(6.3) 

bzw. in einer Koordinatendarstellung als Integrale über Lagrangedichten 

� 

� 

S = γ 

√ 4 

LG −g d x + 

LM 

√ 4 

LM −g d x. (6.4) 

Dass sich die Wirkung als Summe eines gravitativen und eines nichtgravitativen Anteils schreiben 

lässt, suggeriert auf den ersten Blick, dass diese beiden Anteile nicht wechselwirken würden. 

In der nichtrelativitischen Physik, in der die Raumzeit ein statischer Container ist, wäre 


6.2 Feldgleichungen 131 

diese Denkweise richtig. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird aber die Raumzeit selbst 

zum dynamischen Objekt, eine Variation der Raumzeit im ersten Integral führt deshalb in der 

Regel auch zu einer Änderung im zweiten Integral, weil nämlich dort über die Raumzeit integriert 

wird. In einer Koordinatendarstellung äußert sich diese Kopplung dadurch, dass man im 

zweiten Integral alle partiellen Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzen muss und 

damit der Wert des Integrals von den Christoffelsymbolen abhängen wird. 

Da die beiden Wirkungsanteile also indirekt über die Geometrie der Mannigfaltigkeit gekoppelt 

sind, muss man durch eine Kopplungskonstante γ angeben, wie stark die beiden Wirkungsanteile 

gewichtet sind. Diese Kopplungskonstante hat die Qualität einer neuen Naturkonstanten 

und beschreibt, wie stark eine Masse die Raumzeit verbiegt. 

Zu variierende Größen 

Welche Größen sind in den Wirkungsintegralen zu variieren, um zu den Bewegungsgleichungen 

zu gelangen? Da die Bahn eines Teilchens im Gravitationsfeld eine geodätische Linie ist, also 

wegen Gl. (4.25) von den Christoffelsymbolen abhängt, diese aber wiederum via Gl. (4.31) 

vom metrischen Tensor abhängen, sind es die Komponenten des metrischen Tensors, die variiert 

werden müssen. 

Bemerkung: Es gibt mehrere formale Herangehensweisen, die sich darin unterscheiden, welche Größen 

man als ‘das Gravitationsfeld’ betrachtet. Die traditionelle ursprünglich von Einstein benutzte 

Herangehensweise interpretiert die Metrik als das Gravitationsfeld, variiert also nach den Komponenten 

des metrischen Tensors. Diese Methode hat allerdings den Nachteil, dass man fermionische 

Quantenfelder nicht konsistent integrieren kann, und wird deshalb zunehmend durch modernere Varianten 

abgelöst, von denen wir einige weiter unten besprechen werden. Die wichtigste heute benutzte 

Variante interpretiert die lokale Minkowski-Basis (Vierbein) als Gravitationsfeld. 

6.2.2 Wirkung SG des Gravitationsfeldes und Feldgleichungen im Vakuum 

Welche Form hat die Lagrangedichte des Gravitationsfeldes? Auch hier lässt man sich vom 

heuristischen Prinzip der Einfachheit leiten. 

Der einfachste Skalar, der die Krümmung der Mannigfaltigkeit beschreibt, ist der Ricci- 

Krümmungsskalar R = R µ µ. Doch gibt es noch einen einfacheren Skalar, nämlich eine Konstante. 

Diese hat einen physikalischen Effekt, denn sie würde in der Lagrangedichte zu einem Term 

führen, der proportional zum Vierervolumen ist (also in Differentialformen der Volumenform 

entsprechen). Eine solche Konstante würde also je nach Vorzeichen eine homogene Expansion 

oder eine Kontraktion der Raumzeit bewirken, also wie ein gravitativer bzw. antigravitativer homogener 

“Äther” das gesamte Universum durchsetzen. Bezeichnet man diese Konstante als 2Λ, 

dann lautet die Wirkung des Gravitationsfeldes 

� 

SG = γ (R − 2Λ) √ −g d 4 x. (6.5) 

Die Konstante Λ bezeichnet man als kosmologische Konstante. Sie hat eine wechselvolle Geschichte, 

auf die wir noch später zurückkommen werden. 



Durch Variationsrechnung (hier ohne Beweis) erhält man 

� 

√−g� 

δSG = γ Rµν − 1 

2 Rgµν 

� 

+ Λgµν δg µν d 4 x (6.6) 

Ohne Anwesenheit von Materie muss SG extremal sein, d.h. δSG = 0. Da alle Komponenten des 

metrischen Tensors unabhängig variiert werden können, muss der Integrand verschwinden. Auf 

diese Weise erhält man die Feldgleichungen im Vakuum 

Rµν − 1 

2 Rgµν + Λgµν = 0. (6.7) 

Die Kombination aus Ricci-Tenor und Ricci-Skalar bezeichnet man auch als Einstein-Tensor 

Eµν := Rµν − 1 

2 Rgµν , (6.8) 

der in der Literatur auch oft mit Gµν bezeichnet wird. Die Vakuum-Feldgleichungen nehmen 

dann die Form Eµν + Λgµν = 0 an. 

6.2.3 Wirkung SM der Materiefeldes und Form der Feldgleichungen 

Lagrangian des Standardmodells 

Materie ist aus der Sicht eines Relativisten alles, was keine 

Gravitation ist, also im wesentlichen der gesamte Teilchenund 

Strahlungsinhalt des Standardmodells der Elementarteilchenphysik. 

So kompliziert dieser Lagrangian auch sein 

mag, wird bei einer Variation der Metrik die Variation der 

Wirkung SM immer die Form 

δSM = − 1 

� 

2 

Tµν δg µν √ −gd 4 x, (6.9) 

annehman, d.h. man erhält ein bestimmtes Tensorfeld 

zweiter Stufe, das kontrahiert mit der Variation δg gerade 

die skalare Änderung der Wirkung ergibt. Dieser 

Tensor heißt Energie-Impuls-Tensor. Da nach einer 

symmetrischen Größe variiert wird, ist das Tensorfeld 

T(x) ebenfalls symmetrisch. Wie dieses Tensorfeld in 

bestimmten Fällen aussieht, wird im folgenden Abschnitt 

besprechen. 

Führt man nun die Variationsrechnung für die gesamte Wirkung S = SG + SM aus, erhält man in 

Gl. (6.7) einen Term 1 

2γ Tµν auf der rechten Seite. Wir werden im folgenden Kapitel die eine Näherung 

für schwache Gravitationsfelder betrachten und mit der Newtonschen Gravitationstheorie 

vergleichen. Dieser Vergleich wird zeigen, dass die Kopplungskonstante γ bis auf geometrische 

Faktoren durch die reziproke Newtonsche Gravitationskonstante gegeben ist: 

γ = c4 

16πG 


(6.10)


Damit lauten die Feldgleichungen in voller Form: 

bzw. mit dem Einsteintensor 

Rµν − 1 

2 Rgµν + Λgµν = 8πG 

c 4 Tµν (6.11) 

Eµν + Λgµν = 8πG 

c 4 Tµν . (6.12) 

Bemerkung: Waraum ist die Kopplungskonstante γ proportional zu G −1 und nicht zu G? Um das 

zu verstehen, kann man sich vorstellen, dass der Wirkungsbeitrag der Materie durch einen Wirkungsbeitrag 

des Gravitationsfeld ‘kompensiert’ und damit die Gesamtwirkung minimal gehalten wird. Je 

kleiner γ ist, um so größer muss das kompensierende Gravitationsfeld sein. Da das Gravitationsfeld 

aber ohne Kopplungskonstante direkt in die kovarianten Ableitungen der Bewegungsgleichungen für 

die Teilchen eingreift, werden deshalb für kleine γ die Teilchenbahnen stärker durch Gravitationseffekte 

gekrümmt werden. 

Wenn man beide Seiten der obigen Feldgleichungen mit g µν kontrahiert, erhält man eine skalare 

Beziehung 

−R + 4Λ = 8πG 

T , (6.13) 

c4 wobei R = R µ µ der Krümmungsskalar und T = T µ µ die Spur über den Energie-Impuls-Tensor 

ist. Diese Beziehung kann dazu benutzt werden, um den zweiten Term in den Feldgleichungen 

auf die andere Seite zu bringen. Wir gelangen so zu der alternativen Form der Feldgleichungen 

Rµν = Λgµν + 8πG 

c4 � 

Tµν − 1 

T gµν 

2 

� 

. (6.14) 

Die Einsteinschen Feldgleichungen ermöglichen uns, im Prinzip bei gegebener Energie-Impuls- 

Verteilung der Materie den Ricci-Tensor auszurechnen. Damit kennt man aber noch nicht den 

Riemannschen Krümmungstensor, und es stellt sich die Frage, ob dieser Tensor vierter Stufe 

mehr Information enthält als der zweistufige Ricci-Tensor, und wenn ja, welche. Einen physikalischen 

Wink geben uns die Gleichungen bereits selbst: Im Vakuum bei verschwindender 

kosmologischer Konstante ist nämlich Rµν = 0. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Raumzeit 

flach ist, dass also R µ 

ναβ = 0 ist. Wie wir sehen werden, lässt die verbleibende Freiheit Gravitationswellen 

zu. 

6.2.4 Form des Energie-Impuls-Tensors 

Für einen gegebenen Lagrangian LM der Materie führt die Variation des Wirkungsintegrals 

SM = � d 4 x √ −gLM durch Anwendung von Standardmethoden auf 

δSM = 

� 

d 4 x 

womit der Energie-Impuls-Tensor durch 

� 

∂( √ −gLM) 

∂g µν 

� √ 

∂( −gLM) 

− 

∂g µν 

� 

� 

δg 

,λ 

,λ 

µν 

Tµν = − 2 

� 

∂( 

√ 

−g 

√ −gLM) 

∂g µν 

� √ 

∂( −gLM) 

− 

∂g µν 

� 

� 

,λ 

,λ 


(6.15) 

(6.16)


Abbildung 6.3: Interpretation der Komponenten des Energie-Impuls-Tensors. 

gegeben ist. In diesem Ausdruck, der stark an die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen erinnert, 

tritt die Lagrangedichte linear auf. Wir können also zu jedem additiven Anteil der Lagrangedichte 

den entsprechenden additiven Anteil des Energie-Impuls-Tensors ermitteln, d.h. wir 

können ihn für die unterschiedlichen Formen von Materie und Strahlung die jeweiligen Anteile 

von Tµν getrennt berechnen. 

Interpretation des Energie-Impuls-Tensors 

Weil T µν definiert ist als die lokale Änderung der Lagrangedichte bei Variation der (dimensionslosen) 

Metrik, muss dieser Tensor die physikalische Einheit einer Wirkungsviererdichte 

haben. Da die Dimension einer Wirkung gleich Energie·Zeit ist, hat T µν die Dimension 

Energie/Dreiervolumen, also einer Energiedichte. Da die Dimension der Wirkung aber auch 

Impuls·Länge ist, kann man die Dimension von T µν ebenso gut als Impuls/(Zeit·Fläche) interpretieren. 

Die physikalische Bedeutung des Tensors lässt sich am einfachsten in der Sprache von Differentialformen 

erläutern. Während ein einzelnes Teilchen durch seinen Viererimpuls p µ beschrieben 

wird, wird verteilte Matrie durch eine Viererimpulsdichte charakterisiert. Differentialgeometrisch 

handelt es sich um eine vektorwertige 3-Form P µ , die angewandt auf ein 3-Volumen den 

darin enthaltenen Viererimpuls p µ ergibt. Ein 3-Volumen kann ein normales räumliches Volumen 

dx∧ dy∧ dz, aber auch ein raumzeitliches Volumen wie z.B. dt ∧ dx∧ dy sein. Im letzteren 

Fall ist die Antwort der Form als der durch die Fläche dx ∧ dy in der Zeit dt hindurchtretende 

Viererimpuls zu interpretieren, also um eine Flächenstromdichte. 

In der traditionellen Formulierung der ART ist es gebräuchlicher, statt der vektorwertigen 

3-Form P µ das Hodge-Duale 

T µ = ⋆P µ 

(6.17) 

zu betrachten. Dieser Energie-Impuls-Tensor besitzt als vektorwertige 1-Form nur zwei statt 

vier Indices und wird daher in der traditionellen Formulierung der ART bevorzugt. Der Energie- 

Impuls-Tensor benötigt als Eingabe einen Vierervektor, der senkrecht auf einem bestimmten 

Dreiervolumen steht. Der Rückgabewert der Form ist der Viererimpuls, der in diesem Dreiervolumen 

vorhanden ist. Beispielsweise ist T µ (dt) die Viererimpulsdichte, T µ (dx) dagegen 

der ein in yz-Richtung positioniertes Flächenelement durchsetzende Viererimpulsstrom (siehe 

Abb. 6.3). 



Warum benötigt man überhaupt einen Tensor zur Beschreibung des Energie-Impuls-Inhaltes? 

Würde nicht ein Vektor ausreichen? Um das zu verstehen, stellen wir uns zunächst eine homogene 

Wolke parallel fliegender Teilchen im R 3 mit Geschwindigkeit �v vor. Ferner sei ein 

Flächenelement gegeben, dessen Größe und Ausrichtung durch den Normalvektor �n festgelegt 

ist. Es ist anschaulich klar, dass der Teilchenfluß pro Zeiteinheit durch dieses Flächenelement 

gleich dem Skalarprodukt �v ·�n ist. Jedes Teilchen trägt einen Impuls �p, so dass der Impulsfluß 

durch die Fläche durch �p(�v ·�n) = m�v(�v ·�n) gegeben ist. 

Diese Abbildung kann man als einen Tensor T mit der Wirkungsweise 

T (�n) = m�v(�v ·�n) interpretieren. Dieser Tensor ist 

also das dyadische Produkt T = m�v ◦�v bzw. in Dirac-Notation 

T = m|v〉〈v|, projeziert also den Normalvektor auf die Geschwindigkeit 

und gibt den entsprechenden Impuls zurück. 

Nicht immer kann der Tensor als dyadisches Produkt geschrieben 

werden. Wenn man z.B. eine Wolke nichtwechselwirkender 

Teilchen betrachtet, von denen die eine Hälfte nach oben mit 

Geschwindigkeit �v1, die andere nach rechts mit Geschwindigkeit 

�v2 fliegen (und die als Punktteilchen dabei nicht kollidieren), 

ist der entsprechende Tensor T = 1 

2m(|v1〉〈v1| + |v2〉〈v2|) die 

Summe aus den beiden Bestandteilen. Dieser lässt sich nicht 

mehr dyadisch darstellen und damit wäre diese Mischung von 

dem vorhergehenden Beispiel durch Messung an der Testfläche 

unterscheidbar. Ein Vektor könnte diesen Sachverhalt nicht 

ausdrücken. 

Bemerkung: Eine ähnliche Situation kennen Sie vielleicht aus der Quantentheorie. Ein statistisches 

Ensemble von Quantensystemen wird dort durch eine Dichtematrix beschrieben. Für einen reinen Zustand 

hat diese Matrix die Form eines dyadischen Produkts |ψ〉〈ψ|, während sich allgemeine Mischzustände 

nicht so schreiben lassen. Die Dichtematrix enthält die maximale Teilinformation über die 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände, die durch Messung extrahierbar ist. In ähnlicher Weise 

enthält der Energie-Impuls-Tensor die maximale Teilinformation der Wahrscheinlichkeitsverteilungen 

der Flugrichtungen, die durch Messung mittels Testflächen extrahierbar ist. 

Einzelne Teilchen 

Die obigen Überlegungen im R3 treffen in analoger Weise auch auf die 4-dimensionale ART 

zu. Der Energie-Impuls-Tensor T µν eines einzelnen Teilchens, dass sich entlang der Bahn y(τ) 

bewegt, ist also proportional zu mu µ uν , wobei u µ = d 

dτ yµ die Vierergeschwindigkeit des Teilchens 

ist, die ihrerseits als Ableitung der Trajektorienkoordinate y µ (τ) nach der Eigenzeit τ 

definiert ist. Weil das Teilchen in vier Dimensionen nicht durch einen Punkt, sondern durch eine 

Trajektorie (Weltlinie) beschrieben wird, muss man über diese Trajektorie integrieren. Der 

Energie-Impuls-Tensor eines einzelnen Teilchens, das sich auf der Bahn y(τ) bewegt, ist also 

durch 

T µν � 

(x) = m dτ δ 4 (x − y(τ)) dyµ (τ) dy 

dτ 

ν (τ) 

(6.18) 

dτ 

gegeben. Sofern das Teilchen keinen äußeren Kräften unterliegt, gilt der Erhaltungssatz 

∂µT µν = 0. (6.19) 



Beweis: Beim Bilden der Divergenz wendet man die Kettenregel an und erhält 

Nach partieller Integration ist 

∂µT µν � 

= m 

dτ dyν (τ) dy 

dτ 

µ (τ) ∂ 

dτ ∂x µ δ 4 (x − y(τ)) 

� 

= −m dτ dyν (τ) dy 

dτ 

µ (τ) ∂ 

dτ ∂y µ δ 4 (x − y(τ)) 

� 

= −m 

∂µT µν � 

= m 

dτ dyν (τ) 

dτ 

d 

dτ δ 4 (x − y(τ)) 

dτ δ 4 (x − y(τ)) d2yν (τ) 

dτ2 . 

Bei einer kräftefreien, also gleichförmigen Bewegung ist die zweite Ableitung gleich Null. 

Perfekte Fluide 

Unter einem Fluiden versteht man eine räumlich ausgedehnte Substanz, die keine Wärmeleitfähigkeit 

besitzt und für kleine Geschwindigkeiten keine Scherkräfte entwickelt, d.h. die Viskosität 

ist gleich Null. Der Begriff eines Fluids umfasst nicht nur bestimmte Flüssigkeiten, sondern auch 

Gase, Plasmen und sogar Strahlung. 

Unter einem perfekten Fluid versteht man ein Fluid, das vollständig durch eine Dichteverteilung 

ρ(�x,t), Geschwindigkeitsfeld�v(�x,t) und einen isotropen thermodynamischen Druck p(�x,t) 

gekennzeichnet wird. Solche Fluide erfüllen die hydrodynamische Bewegungsgleichung 

sowie die Kontinuitätsgleichung 

ρ ˙ �v = −∇P mit �v ˙ 

∂ 

= �v + (∇ ·�v)�v (6.20) 

∂t 

∂ 

ρ = −∇(ρ�v). (6.21) 

∂t 

Man kann den Energie-Impuls-Tensor axiomatisch von der Lagrangedichte L = −ρ durch 

Variation ableiten. Wir wollen hier aber einen anschaulichen Weg einschlagen. Dazu begeben 

wir uns in das lokale Ruhesystem des Fluids. Hier ist die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen 

gleich Null, aber dennoch bewegen sich die Teilchen auf zufällige Weise durcheinander. 

Wenn wir jetzt an dieser Stelle ein Flächenelement einbringen, werden etwa die gleiche Anzahl 

von Teilchen von einer Seite auf die andere und in entgegengesetzter Richtung durch die 

Fläche hindurchtreten. Allerdings werden die Teilchen in beide Richtungen von der Testfläche 

positiv gezählt, denn einen positiven Impuls von links nach rechts zu transportieren hat den gleichen 

Effekt, wie einen negativen Impuls von rechts nach links zu transportieren. Der Energie- 

Impuls-Tensor wird also in den räumlichen Komponenten angeben, welcher Gesamtimpuls pro 

Zeiteinheit durch die Testfläche dringt. Diese Größe bezeichnet man als Druck p. 

Man kann sich vorstellen, dass jedes Teilchen in diesem Gas einen zufällig verteilten Geschwindigkeitsvierervektor 

u besitzt, der mit einer gewissen Wahrscheinlichkeitsdichte P(u) 

verteilt ist. Im lokalen Ruhesystem des Fluids wird diese Verteilung rotationssymmetrisch sein. 

Der Energie-Impuls-Tensor ist also gegeben durch 

T µν = 

� 

DuP(u)ρu µ u ν , (6.22) 



wobei Du ein geeignetes Integrationsmaß ist. Weil P(u) unter Reflexion nur einer Komponente 

u µ → −u µ invariant ist, muss dieser Tensor im Ruhesystem des Fluids diagonal sein, wobei 

T 00 = ρc2 ist, während die räumlichen Diagonalelemente proportional zum Druck sein müssen. 

Es stellt sich heraus, dass die Proportionalitätskonstante gleich 1 ist. Der Energie-Impuls-Tensor 

eines perfekten Fluids hat also im lokalen Ruhesystem die Form 

⎛ 

⎞ 

T µν = 

⎜ 

⎝ 

ρc 2 

p 

p 

p 

⎟ 

⎠ 

(6.23) 

Wenn man sich nicht im lokalen Ruhesystem befindet, sondern sich dieses mit der Vierergeschwindigkeit 

u relativ zum Beobachter bewegt, kann man den entsprechenden Tensor durch 

eine Lorentz-Transformation der obigen Darstellung erhalten (Übung). Das Resultat lautet: 

T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν . (6.24) 

Wie der Druck konkret von der Dichte abhängt, wird von der Zustandsgleichung und den Symmetrien 

der Materieverteilung bestimmt. Einige Spezialfälle sind in der folgenden Tabelle aufgeführt: 

Elektromagnetisches Feld 

Staub: p = 0 

Nichtrelativistisches Gas: p ∝ ρ 

Ultra-relativistisches Gas: p = 1 

3ρ Nichtrelativistisches Fermionengas: p ∝ ρ5/3 Hochrelativistisches Fermionengas: p ∝ ρ4/3 Vakuum-Energie (kosmolog. Konstante): p = −ρ 

Den Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes kann man mit relativ geringem 

Aufwand direkt durch Anwendung der Formel (6.16) berechnen. Zunächst ist festzustellen, dass 

der Lagrangian des elektromagnetischen Feldes 

LEM = − 1 

4 F αβ F αβ = − 1 

4 gαβ g µν FµαF µβ 

(6.25) 

nur von den Komponenten des metrischen Tensors, nicht aber von dessen partiellen Ableitungen 

abhängt. Folglich ist 

Tµν = − 2 ∂( 

√ 

−g 

√ −gLEM) 

∂g µν 

= − 2LEM LEM 

− 

∂g µν g 

Mit Hilfe von Gl. (1.95) lässt sich der letzte Term berechnen und man erhält 

Einsetzen der Lagrangedichte (6.25) führt auf 

∂g 

. (6.26) 

∂g µν 

Tµν = −2 ∂LEM 

∂g µν + gµνLEM (6.27) 

Tµν = F α µFαν − 1 

4 gµνF αβ F αβ . (6.28) 



Dieser Tensor ist spurlos (d.h. T µ µ = 0), so dass Druck und Energiedichte der elektromagnetischen 

Strahlung durch die Zustandsgleichung ρ = 1 

3 p gegeben sind. Elektromagnetische Strahlung 

verhält sich also wie ein ultrarelativistisches Gas. 

Zusammenfassung 6.1 

Die wichtigsten Formeln der ART in Koordinatendarstellung: 

R µ 

ναβ 

Γ α µν = 1 

2 gαβ (g β µ,ν + g βν,µ − g µν,β ) 

¨x α + Γ α µν ˙x µ ˙x ν = 0 

= Γµ 

νβ,α − Γµ 

να,β + Γρ 

νβ Γµ ρα − Γ ρ ναΓ µ 

Rµν − 1 

2 Rgµν + Λgµν = 8πG 

c4 Tµν Rµν = Λgµν + 8πG 

c4 6.2.5 Schwachfeldnäherung 

T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν 

ρβ ; Rµν = R ρ µρν 

� 

Tµν − 1 

� 

T gµν 

2 

Ein schwaches Gravitationsfeld unterscheidet sich nur geringfügig von einer Minkowskimetrik. 

In diesem Fall benutzt man den Ansatz 

gµν(x) = ηµν + hµν(x), (6.29) 

wobei das symmetrische Tensorfeld hµν(x) und dessen partielle Ableitungen klein sind. Ziel ist 

es, die Feldgleichungen auf diese Weise linear zu nähern. Dabei ist natürlich nach wie vor die 

Eichinvarianz der Theorie, also die Invarianz unter Diffeomorphismen zu beachten. 

Linearisierte Feldgleichungen 

In linearer Ordnung von h erhält man die Christoffelsymbole 

Γ α µν = 1 

2 ηαβ (h β µ,ν + h βν,µ − h µν,β ) + O(h 2 ). (6.30) 

Im Riemannschen Krümmungstensor tragen nur die ersten beiden Terme in linearer Ordnung 

bei, so dass man einen Ausdruck von zweiten partiellen Ableitungen erhält: 

R µ 

ναβ 

= Γµ 

νβ,α −Γµ να,β +O(h2 ) = 1 

� 

� 

hρβ,να −hνβ,ρα −hρα,νβ +hνα,ρβ +O(h 

2 

2 ). (6.31) 

Daraus ergibt sich der Ricci-Tensor 

Rµν = R ρ µρν = 1 

� 

h 

2 

ρ ν,µρ 

� �� 

=h ρ ν,ρµ 

−h 

ρ 

µν, ρ −h ρ ρ,µν 

� �� 

=�hµν 

� �� 

=h,µν 


+h 

ρ 

µρ, ν 

� �� 

=h ρ µ,ρν 

� 

+ O(h 2 ), (6.32)


also 

wobei h = h µ µ ist und 

Rµν = 1� 

ρ 

h µ,ρν + h 

2 

ρ � 2 

ν,ρµ − �hµν + h,µν + O(h ) (6.33) 

� = η αβ ∂α∂ β = ∇ − ∂ 2 

t 

(6.34) 

der d’Alembert-Operator ist, auch Wellenoperator oder Quabla genannt. Der Ricci-Skalar ist 

also gegeben durch 

R = h µν ,µν − �h + O(h 2 ) (6.35) 

Die linearisierten Einsteinschen Feldgleichungen (ohne kosmologische Konstante) lauten also 

h ρ µ,ρν + h ρ ν,ρµ − �hµν + h,µν − ηµν(h αβ 

16πG 

,αβ − �h) = 

c4 Tµν , (6.36) 

wobei der Faktor 1 

2 auf die rechte Seite gebracht worden ist. Diese Feldgleichungen sind eichinvariant, 

gelten also in jedem beliebigen Koordinatensystem unter der Voraussetzung, dass die 

Schwachfeldnäherung gültig bleibt. 

Eichinvarianz 

Wir können – ähnlich wie in der Elektrodynamik – diese Eichfreiheit benutzen, um die linearisierten 

Feldgleichungen in eine möglichst einfache Form zu bringen. Dazu betrachten wir einen 

Diffeomorphismus, der sich nur geringfügig von einer identischen Abbildung unterscheidet, also 

eine infinitesimale Koordinatentransformation 

x µ (p) → x µ ′ (p) = x µ (p) + ξ µ (p), (6.37) 

wobei p ∈ M ein Ereignis ist und die ξ µ so klein sind, dass eine Näherung in erster Ordnung 

gerechtfertigt ist. Unter dieser Annahme wollen wir das Transformationsverhalten in erster Ordnung 

sowohl in hµν als auch int ξ µ untersuchen. 

Laut Gl. (1.87) transformiert sich die Metrik bei einer Koordinatentransformation gemäß 

Mit ∂ 

∂x µ ′ = ∂ 

∂x µ + O(ξ ) folgt wegen 

daraus die Gleichung 

also 

∂x α 

∂x µ ′ = ∂(xα ′ − ξ α ) 

∂x µ ′ = 

gµν → g ′ µν = ∂xα 

∂x µ ′ 

∂x β 

∂x ν ′ g αβ . (6.38) 

δ α µ − ∂ξα 

∂x µ ′ = δ α µ + ξ α ,µ + O(ξ 2 ) 

ηµν + hµν → ηµν + h ′ µν = � δ α µ − ξ α �� β 

,µ δν − ξ β �� 

,ν ηαβ + hαβ , (6.39) 

h ′ µν = hµν − ξµ,ν − ξν,µ . (6.40) 

Die Komponenten von hµν sind also wie erwartet nicht eichinvariant. Man kann die Eichung 

nun so wählen, dass die Divergenz von hµν − 1 

2 hηµν verschwindet, d.h. 

h µ ν,µ − 1 

2 hµ µ,ν = 0. (6.41) 



Beweis: Angenommen die linke Seite ist ungleich Null. Unter einer infinitesimalen Koordinatentransformation 

geht sie via Gl. (6.40) über in 

g µρ� 

hµν,ρ − 1 

2 hµρ,ν − ξµ,νρ + 1 

2 ξµ,ρν − ξν,µρ + 1 

2 ξρ,µν 

� 

= h µ ν,µ − 1 

2 hµ µ,ν − �ξν , 

wobei sich die rot markierten Terme wegheben. Um diesen Ausdruck zum Verschwinden zu bringen, 

muss also die Wellengleichung �ξν = h µ ν,µ − 1 2 hµ µ,ν für die Verschiebung ξ gelöst werden. 

In dieser sogenannten Lorenz-Eichung 4 vereinfacht sich der Ricci-Tensor zu Rµν = −�hµν, d.h. 

die linearisierten Feldgleichungen lauten 

−�hµν + 1 

2 ηµν�h = 16πG 

c4 Tµν bzw. �hµν = − 16πG 

c4 � 

6.2.6 Newtonscher Grenzfall 

Tµν − 1 

2 

T ηµν 

� 

. (6.42) 

Wir wollen nun die genäherten Feldgleichungen mit der Newtonschen Theorie vergleichen. Dabei 

entsprechen sich folgende Elemente: 

Newtonsche Theorie Einsteinsche Theorie 

Feldgleichungen ∇ 2 Φ = 4πGρ �hµν = − 16πG 

c 4 

Bewegungsgleichung 

� 

Tµν − 1 

� 

2T ηµν 

¨ 

�x = −∇Φ ¨x µ + Γ µ 

αβ ˙xα ˙x β = 0 

Im Newtonschen Grenzfall ist v ≪ c, sodass die Vierergeschwindigkeit ˙x µ = γ(c,�v) durch die 

zeitliche Komponente dominiert wird. Die räumlichen Bewegungsgleichungen nehmen deshalb 

für festes i = 1,...,3 in niedrigster Ordnung die Form 

¨x i = −Γ i 00 ˙x 0 ˙x 0 

�� 

≈c 2 

(6.43) 

an, wobei 

Γ i 00 = 1 

2 ηiβ � � 

2hβ0,0 − h00,β (6.44) 

ist. Unter der Annahme, dass das Gravitationsfeld, also die Metrik zeitunabhängig ist, verschwindet 

der erste Term. Damit reduziert sich die Bewegungsgleichung zu 

¨x i = c2 

2 h00,i . (6.45) 

Die rechte Seite dieser Bewegungsgleichung wird nun mit Hilfe der Feldgleichung mit dem 

Energie-Impuls-Tensor verknüpft. Dazu betrachten wir die 00-Komponente des Ricci-Tensors: 

Rµ0α0 = 1� 

� 1 

hµ0,0α − hµα,00 − h00,µα + h0α,µ0 = − 

2 

2 h00,µα 

⇒ R00 = − 1 α 

h 

2 

00, α = − 1 

2 

3 

∑ 

i=1 

∂ 2 

h00 

(6.47) 

∂xi2 (6.46) 

4 Die Lorenz-Eichung ist nach dem dänischen Physiker Ludvig Lorenz benannt, nicht zu verwechseln mit Hendrik 

A. Lorentz, dem Urheber der Lorentz-Transformation. 



Setzt man Gl. (6.45) in die letzte Gleichung ein, erhält man 

R00 = − 1 

c 2 

3 

∑ 

i=1 

∂ ¨x i 

∂x 

1 

= − ∇ · �x. ¨ 

(6.48) 

i c2 Für die rechte Seite der Feldgleichung wollen wir staubförmige Materie annehmen, deren Druck 

gleich Null ist. Der Energie-Impuls-Tensor wird also im Ruhesystem der Materie durch das 

Element T00 = ρc2 dominiert. Die Feldgleichung R00 = 8πG 

c4 (T00 − 1 

2η00T ) lautet also 

− 1 

∇ · �x ¨ = T00 − 

c2 1 

2 g00T = 1 

2 T00 = ρc2 

+ O(h). (6.49) 

2 

Daraus folgt die Newtonsche Bewegungsgleichung 

∇ · ¨ 

�x = −4πGρ , (6.50) 

womit nachträglich die Wahl der Kopplungskonstanten in Gl. (6.10) gerechtfertigt wird. 


7 Sternmodelle 

7.1 Schwarzschild-Lösung 

Karl Schwarzschild (1873-1916) verdanken wir die einfachste aber vielleicht wichtigste exakte 

Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen. Als 1914 der 1. Weltkrieg ausbrach, meldete er 

sich wie viele deutsche Juden in der damaligen Zeit freiwillig zur Armee. Auch an der Front 

in Russland arbeitete er an physikalischen Problemen und fand 1915 den nach ihm benannten 

Schwarzschild-Radius, kehrte als Invalide nach Deutschland zurück und verstarb 1916. 

Die Schwarzschildlösungen beruhen vor allem auf der Annahme der Radialsymmetrie und 

eignen sich daher zur Beschreibung von Sternen, Neutronensternen und schwarzen Löchern, sind 

aber auch die Grundlage für einfache kosmologische Modelle. Ähnlich wie in der Newtonschen 

Theorie, in der man den Feldverlauf innerhalb und außerhalb eines Sterns getrennt betrachtet, 

gibt es eine innere und eine äußere Schwarzschildmetrik. Wir werden uns zuerst mit der äußeren 

Schwarzschildmetrik befassen. 

7.1.1 Schwarzschildmetrik im Vakuum 

Die äußere Schwarzschildmetrik ist eine radialsymmetrische Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen 

im Vakuum Rµν = 0. Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass sich die flache 

Minkowskimetrik ηµν in Kugelkoordinaten t, ˜r,θ,φ schreiben lässt als Wegelement 

ds 2 = −dt 2 + d˜r 2 + ˜r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ). (7.1) 

Ein möglicher Ansatz wäre, jeden dieser Terme mit einer Funktion zu multiplizieren, die nur 

vom Radius ˜r abhängt: 

ds 2 = − f (˜r)dt 2 + g(˜r)d˜r 2 + h(˜r)˜r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ). (7.2) 

Nur zwei dieser drei Funktionen sind unabhängig, da man die Radialkoordinate durch 

reskalieren kann. 1 Der Ansatz lautet also (mit c = 1) 

r = ˜r � h(˜r) (7.3) 

ds 2 = −B(r)dt 2 + A(r)dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ), (7.4) 

wobei A(r) und B(r) positive Funktionen sind, die durch Lösung der Feldgleichungen bestimmt 

werden müssen. 

1 Damit die Signatur erhalten bleibt, muss die Funktion h bestimmte Voraussetzungen erfüllen, die hier übergangen 

werden. 



Lösung der Feldgleichungen 

Es wird im folgenden zweckmäßig sein, die beiden Funktionen durch Exponentialfunktionen 

A(r) = e α(r) und B(r) = e β(r) darzustellen. Der metrische Tensor ist diagonal und lautet: 

g00 = gtt = −e β , g11 = grr = e α , g22 = gθθ = r 2 , g33 = gφφ = r 2 sin 2 θ (7.5) 

mit dem Inversen g µν = (gµν) −1 . Wegen der Symmetrie heben sich in den Christoffelsymbolen 

jeweils der zweite und der dritte Term gegenseitig auf. Die nichtverschwindenden Christoffelsymbole 

lauten deshalb 

Γ 0 01 = Γ 0 10 = 1 

2 β ′ , Γ 1 00 = 1 

2 β ′ e β−α , Γ 1 11 = 1 

2 α′ , 

Γ 1 22 = −re −α , Γ 1 33 = −re −α sin 2 θ , Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1/r , 

Γ 2 33 = −sinθ cosθ , Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1/r , Γ 3 23 = Γ 3 32 = 1/tanθ. 

Daraus ergibt sich der Krümmungstensor 

Der Ricci-Tensor lautet 

und der Ricci-Skalar ist demzufolge 

R 0 101 = − 1 

2 β ′′ − 1 

4 β ′2 + 1 

4 α′ β ′ 

R 0 202 = − 1 

2 re−α β ′ 

(7.6) 

R 0 303 = − 1 

2 re−α β ′ sin 2 θ (7.7) 

R 1 212 = − 1 

2 re−α α ′ 

R 1 313 = − 1 

2 re−α α ′ sin 2 θ 

R 2 323 = (1 − e −α )sin 2 θ . 

R00 = e β−α ( 1 

2 β ′′ + 1 

4 β ′2 − 1 

4 α′ β ′ + 1 

r β ′ ), (7.8) 

R11 = − 1 

2 β ′′ − 1 

4 β ′2 + 1 

4 α′ β ′ + 1 

r α′ , (7.9) 

R22 = 1 + e −β (− 1 

2 rα′ + 1 

2 rβ ′ − 1), (7.10) 

R33 = R22 sin 2 θ (7.11) 

R = e−α 

2r2 � 

4(e α − 1) + r � (α ′ − β ′ )(4 + rβ ′ ) − 2rβ ′′�� 

. (7.12) 

Im Vakuum ist Rµν = 0. Aus den ersten beiden Gleichungen folgt 

α ′ + β ′ = 0 ⇒ α + β = const. (7.13) 

Wir fordern nun, dass die Schwarzschildmetrik ein gravitatives Zentrum (Stern, schwarzes Loch) 

beschreibt und deshalb in großer Entfernung in die flache Minkowskimetrik übergeht, d.h. 

lim α = lim β = 0 ⇒ α = −β ⇒ const = 0. (7.14) 

r→∞ r→∞ 


7.1 Schwarzschild-Lösung 145 

Aus R22 = 0 folgt damit die Differentialgleichung 

1 − e −β + rβ ′ = 0 (7.15) 


e β(r) = 1 − rs 

, 

r 

(7.16) 

wobei rs eine Integrationskonstante ist. Damit ist die äußere Schwarzschildmetrik gegeben durch 

Bemerkung: 

ds 2 � 

= − 

1 − rs 

r 

� 

dt 2 � 

+ 

1 − rs 

r 

� −1 

dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ). (7.17) 

• Man kann zeigen, dass die Drehinvarianz den metrischen Tensor weitgehend festlegt und dass 

man durch eine Koordinatentransformation (Diffeomorphismus) mit einer neuen Zeitkoordinate 

auf die Schwarzschildmetrik geführt wird. Ohne Zeitabhängigkeit vorauszusetzen erhält man 

hier also eine statische Lösung. Das heißt jedoch nur, dass die Metrik in den gewählten Koordinaten 

statisch aussieht. In der Tat beschreibt die Schwarzschildmetrik auch kollabierende und 

sogar radial oszillierende Objekte. 

• Das sogenannte Birkhoff-Theorem besagt, dass das äußere Gravitationsfeld eines Körpers mit 

radialsymmetrischer Massenverteilung ähnlich wie in der Newtonschen Theorie nur von der 

Gesamtmasse M abhängt und dass es sich bei der äußeren Schwarzschildmetrik um die einzige 

kugelsymmetrische asymptotisch flache Lösung dieser Art handelt. 

Schwarzschild-Radius 

Die Integrationskonstante rs heißt Schwarzschildradius. Um sie quantitativ zu bestimmen, betrachten 

wir die Schwarzschildmetrik in großer Entfernung von einem Zentralgestirn mit der 

Masse M. Von der Schwachfeldnäherung wissen wir, dass dort die Komponente 

g00 ≈ 1 + h00 ≈ 1 + 2Φ 

c 2 

(7.18) 

durch das Newtonsche Gravitationspotential Φ = GM/r dominiert wird. Damit erhält man für 

den Schwarzschildradius die elementare Formel 

Hier einige Beispiele: 

rs = 2GM 

c 2 

Masse Schwarzschildradius 

Elektronenmasse 9.1 · 10 −31 kg 1.3 · 10 −60 m (unterhalb der Planck-Länge) 

Planck-Masse 2 · 10 −8 kg Planck-Länge 1.6 · 10 −35 m 

Alltagsmasse 1 kg 1.5 · 10 −27 m, kleiner als Auflösung von CERN 

Erdmasse 5.9 · 10 24 kg 7 mm 

Sonnenmasse 2.0 · 10 30 kg 3 km 

Gesamtmasse Universum 1.6 · 10 55 kg 10 28 m ∼ = Sichthorizont des Universums 

(7.19) 

Diese Beispiele haben natürlich keine konkrete Bedeutung, da die Schwarzschildradien kleiner 

als die betrachteten Objekte sind, die Metrik aber nur außerhalb der Objekte gültig ist. Sie sollen 

nur eine vage Vorstellung von den Größenordnungen vermitteln. 



Gravitationsrotverschiebung 

In der äußere Schwarzschildmetrik ds2 � 

= − 

weist zwei Singularitäten auf, nämlich 

1− rs 

r 

� 

dt2 � 

+ 

1− rs 

r 

r = rs: eine scheinbare Singularität am Schwarzschildradius 

r = 0: eine echte physikalische Singularität im Zentrum 

� −1 

dr 2 +r 2 (dθ 2 +sin 2 θ dφ 2 ) 

Die scheinbare Singularität ist eine koordinatenbedingte Singularität, ähnlich wie Kugelkoordinaten 

am Nordpol einer Kugel singuläre Eigenschaften haben, obwohl der Nordpol in Wirklichkeit 

keine besonderen Eigenschaften besitzt. Die scheinbare Singularität in der Schwarzschildmetrik 

ist eine Konsequenz der Zeitkoordinate, die hier so gewählt ist, dass sie einer Uhr in 

unendlicher Entfernung entspricht. Wie man an der Form der Schwarzschildmetrik unmittelbar 

ablesen kann, gehen Uhren in Zentrumsnähe um den Faktor � 1 − rs/r langsamer und bleiben 

am Schwarzschildradius stehen. 

Bemerkung: In ihrem Eigensystem bleiben die Uhren am Schwarzschildradius natürlich nicht ste- 

hen, sie bleiben nur stehen, wenn sie aus dem Unendlichen beobachtet werden. Uhren innerhalb des 

Schwarzschildradius sind aus dem Unendlichen nicht wahrnehmbar, sondern kausal getrennt. 

Diese gravitative Zeitdilatation führt zu dem Effekt der Gravitationsrotverschiebung. Emittiert 

nämlich ein Körper in Zentrumsnähe Licht mit der �Frequenz νe, wird ein Beobachter im Unendlichen 

eine rotverschobene Frequenz νr = νe 1 − rs/r wahrnehmen. In der Astrophysik 

versteht man unter der Rotverschiebung (engl. redshift) die dimensionslose Kenngröße 

Folglich ist die Gravitationsrotverschiebung gegeben durch 

z = 

z = λr − λe 

. (7.20) 

λe 

1 

� − 1 ≈ rs 1 − r 

rs 

2r 

(7.21) 

Die Strahlung der Sonne ist beispielsweise um z ≈ 2 · 10 −6 rotverschoben, entsprechend einem 

Gangunterschied zwischen Uhren an der Oberfläche und im Unendlichen von ca. 19 Stunden 

auf 1000 Jahre. 


7.2 Radialsymmetrische Himmelskörper 147 

7.2 Radialsymmetrische Himmelskörper 

Gravitation ist eine attraktive Wechselwirkung, 

d.h. sie führt zur Verklumpung der Materie 

bis hin zu einem lokalen Kollaps. Ginge 

es allein nach der Gravitation, würde sie 

die Materie lokal auf einen Punkt zusammenziehen 

wollen. Bei den auftretenden hohen 

Materiedichten beginnen jedoch andere 

Mechanismen wirksam zu werden, die unter 

bestimmten Umständen einen vollständigen 

Kollaps aufhalten können. Das Resultat 

sind radialsymmetrische Himmelskörper 

unterschiedlichster Ausprägung mit (im Vergleich 

zum Universum) hoher Materiedichte. 

Je nach Art des statischen oder dynamischen 

Gleichgewichts lassen sich diese Himmelskörper 

klassifizieren. 

Die einfachste Klassifizierung erfolgt dadurch, 

Quelle: Wikimedia 

dass man die Luminosität2 gegen die mittlere Wellenlänge des Emissionsspektrum doppellogarithmisch 

aufträgt. Dieses sogenannte Hertzsprung-Russell-Diagramm (siehe nebenstehende 

Abbildung) zeigt verschiedene Gruppen von Himmelskörpern. Gewöhnliche Sterne liegen auf 

der Diagonalen, der sogenannten Hauptreihe. Daneben befinden sich die Gruppen der weißen 

Zwerge und roten Riesen. All diese Objekte befinden sich in einem (quasi-)statischen Gleichgewicht, 

das zum einen durch eine Kräftebalance, zum anderen durch eine thermodynamische 

Zustandsgleichung charakterisiert werden. 

7.2.1 Sterngleichgewicht 

Klassische Näherung 

Mit einer Rotverschiebung von ≈ 10 −6 sind gewöhnliche Sterne wie die Sonne in guter Näherung 

nichtrelativistische Objekte. Deshalb untersuchen wir zunächst die Bedingungen für ein 

Sterngleichgewicht auf der Basis der Newtonschen Physik, das durch das Zusammenspiel durch 

Druck P(r) und Dichte ρ(r) beschrieben wird. Dazu betrachten wir eine Kugelschale mit Radius 

r und Dicke dr (siehe Abb. 7.1). Die unterhalb dieser Kugelschale befindliche Gesamtmasse des 

Himmelskörper ist 

� r 

M(r) = 4π dr r 

0 

2 ρ(r) (7.22) 

Die in der Kugelschale befindliche Masse dM = 4πr 2 ρ(r)dr wird von der Masse M angezogen. 

2 Die Luminosität L = 4πr 2 F ist die auf die Entfernung normierte Leuchintensität eines Himmelskörpers. Bei einem 

schwarzen Körper mit Radius R Oberflächentemperatur T ist L = 4πR 2 σT 4 , wobei σ = π 2 k 4 B /60¯h3 c 2 die Stefan- 

Boltzmann-Konstante ist. 



Abbildung 7.1: Sterngleichgewicht: Die auf die Schale von r bis r + dr wirkende Gravitationskraft wird durch 

den Druckgradienten kompensiert. 

Die dabei entstehende Kraft dF pro Oberfläche dA ist 

dF Gρ(r)M(r) 

= 

dA r2 (7.23) 

muss durch den Differenzdruck auf beiden Seiten der Kugelschale kompensiert werden. Man 

erhält auf diese Weise eine Differentialgleichung 

dP(r) 

= −Gρ(r)M(r) 

dr r2 . (7.24) 

Beim Lösen dieser DGL muss die Integrationskonstante so gewählt werden, dass der Druck an 

der Oberfläche des Himmelskörpers verschwindet, d.h. P(R) = 0. Zum Lösen sind außerdem 

thermodynamische Gleichungen erforderlich, die den Druck P(r), die Dichte ρ(r) und die Temperatur 

T (r) miteinander verknüpfen. 

Näherung konstanter Dichte 

Als grobe Näherung wollen wir annehmen, dass die Dichte ρ(r) im Innern des Sterns konstant 

ist. Damit ist M(r) = 4 

3 πr3 ρ und die Differentialgleichung (7.24) lautet 

dP(r) 

dr 

Die Lösung mit der Randbedingung P(R) = 0 lautet 

= −4 

3 πrGρ2 . (7.25) 

P(r) = 2π 

� 

Gρ2 R 

3 2 − r 2� 

. (7.26) 

Mit einer konstanten Dichte ist der Schwarzschildradius (7.19) gegeben durch 3 

rs = 8πGρR3 

3c 2 . (7.27) 

Kombiniert man beide Gleichungen, so erhält man 

rs 

R 

4P(0) 

= . (7.28) 

ρc2 Ein schönes Ergebnis: Der aktuelle Druck dividiert durch den ‘relativistischen Druck’ ρc 2 ist 

proportional zu dem dimensionslosen Verhältnis rs/R. 

3 Allerdings liegt rs innerhalb des Himmelskörpers, wo die äußere Schwarzschildmetrik nicht gültig ist. 



Abbildung 7.2: Sonnenoberfläche aufgenommen vom Satelliten TRACE. (NASA - Wikimedia Commons) 

Sterne 

Sterne entstehen in Regionen des Weltalls mit erhöhter Staubdichte, oftmals ausgelöst durch 

Schockwellen einer Supernova-Explosion. Die Staubwolke zieht sich dann unter Wirkung gegenseitiger 

Gravitation zusammen und bildet einen Protostern. Protosterne sind etwa 1000 mal 

größer als das Sonnensystem, haben noch eine geringe Dicht und eine Temperatur von nur wenigen 

Kelvin. Der nun einsetzende Gravitationskollaps führt zu einer stetig ansteigenden Temperatur, 

die irgendwann zur Ionisation des Wasserstoffes und schließlich zur Zündung einer Kernfusion 

H→He, dem sogenannten Wasserstoffbrennen führt. Wenn der durch diese Kernreaktion 

hervorgerufene Gegendruck in der Lage ist, den Gravitationskollaps aufzuhalten, entsteht ein 

Stern. 

Das Wasserstoffbrennen wandert schalenförmig vom Mittelpunkt des Sterns langsam nach 

außen. Das Abfallprodukt Helium wird im Kern unter dem Einfluss der Gravitation unter hohem 

Druck weiter verdichtet, bis eine erneute Kernfusion, das sogenannte Heliumstoffbrennen, 

zündet und wiederum von innen nach außen wandert und dabei Beryllium sowie Kohlenstoff bildet. 

Bei hinrichend schweren Sternen kommt es dann im Zentrum zu einer erneuten Zündung, 

dem Kohlenstoffbrennen. Dieser Vorgang kann je nach Masse des Sterns unter Bildung immer 

schwererer Elemente bis hin zu Eisen fortgesetzt werden. Durch diese sukzessiven Brennzyklen 

bläht sich der Stern immer weiter auf, während seine Oberflächentemperatur abnimmt. Sterne in 

einem solchen Spätstadium bezeichnet man als rote Riesen. Schließlich brechen die Fusionsreaktionen 

zusammen, so dass der rote Riese unter seinem Eigengewicht kollabiert. Da er nun aus 

schweren Kernen besteht, kann der Kollaps nicht durch Fusionsreaktionen aufgehalten werden. 

Von der Gesamtmasse hängt es ab, ob bei diesem Kollaps ein weißer Zwerg, ein Neutronenstern 

oder sogar ein schwarzes Loch entsteht. 

Die Sonne ist ein durchschnittlicher Stern mittleren Alters. Sie besteht zu drei Vierteln aus 

Wasserstoff und zu einem Viertel aus Helium. Das Wasserstoffbrennen findet in der Fusionszone 

im Zentrum statt, die sich bis etwa bis r = R/4 erstreckt. Die entstehende Wärme wird 

mittels Konvektion durch die herumliegenden Schichten nach außen transportiert. Die Kernfusion 

stabilisiert sich selbst durch negative Rückkopplung: Wird zuviel Energie produziert, dehnt 



sich der Stern zunächst aus. Dadurch nimmt der gravitative Einfluss ab und der Druck im Zentrum 

nimmt ab. Damit werden die Bedinungen für die Kernfusion ungünstiger und damit die 

Energieproduktion automatisch gedrosselt. 

Abschätzung von rs/R 

Um Druck und Dichte zu verknüpfen, nehmen wir in grober Näherung an, dass die Sonne ein 

ideales Gas ist, d.h. PV = NkBT . Dabei identifizieren wir P mit dem Druck im Mittelpunkt P(0) 

und schätzen die Anzahl der Teilchen mit N = M/mp ab, wobei mp die Protonenmasse ist. Die 

Zustandsgleichung nimmt also die Form 

ρ kBT 

P(0) = 

mp 

an. Eingesetzt in (7.28) erhalten wir die Abschätzung 

rs 4kBT 

≈ 

R mpc2 (7.29) 

(7.30) 

Der Schwarzschildradius der Sonne beträgt 2.952 km, entsprechend rs/R = 4.24 · 10 −6 . Da die 

Protonenruhemasse ungefähr 1 GeV beträgt, erhält man als Temperatur des Plasmas kBT ≈ 1 

keV ≈ 10 8 K. In der Literatur findet man Angaben von 15 Millionen Kelvin, also liegen wir mit 

weniger als einer Größenordnung richtig. 

Ebenso können wir den Druck im Zentrum der Sonne ausrechnen: 

2 1 keV 

P(0) = ρc 

1 GeV ≈ 10−6ρc 2 = 10 −6 · 1408 kg 

m3 c2 ≈ 1.2 · 10 14 Pa ≈ 1.2 · 10 9 bar. (7.31) 

Der Literaturwert liegt be 200 Milliarden bar, also deutlich höher. Hier zeigen sich die Grenzen 

der Annahme konstanter Dichte. In der Tat variiert die Dichte stark und erreicht im Kern Werte 

um 150.000 kg/m 3 bei einer durchschnittlichen Dichte der gesamten Sonne von nur 1408 kg/m 3 . 

Bemerkung: Eine Kernfusion findet bei Energien von einigen 10 MeV statt und nicht bei 1keV . In 

der Sonne ist es also viel zu kalt für eine Fusion von Wasserstoff zu Helium. In der Tat ist es so, dass 

die Kernfusion in der Sonne nicht mit der in einer thermonuklearen Explosion vergleichbar ist, sonst 

würde nämlich die Sonne sprichwörtlich explodieren. Vielmehr findet die Kernfusion nur vereinzelt 

aufgrund des Tunneleffekts mit sehr niedriger Rate (ca. 10 − 20) statt. Die schiere Größe der Sonne 

stellt sicher, dass trotzdem genug Energie produziert wird, um den Himmelskörper zu stabilisieren. 

Bei der Erde ist es übrigens auch so. Auch sie wäre längst erkaltet, wenn nicht im Innern mittels des 

Tunneleffekts Kernspaltungsprozesse mit niedriger Rate stattfänden. 

7.2.2 Weiße Zwerge 

Weiße Zwerge sind vergleichsweise kleine Sterne, die im Hertzsprung-Russel-Diagramm unterhalb 

der Hauptreihe angeordnet sind. Sie repräsentieren das Endstadium massearmer Sterne und 

entwickeln sich aus Roten Riesen, die ihre äußere Hülle abgestoßen haben und kollabiert sind. 

Wie wir sehen werden, besteht ein weißer Zwerg in der Regel aus dem ausgebrannten Kohlenstoffkern 

eines Sterns, sofern dieser leichter als 1.44 Sonnenmassen ist. 



Abbildung 7.3: Sirius A und B, aufgenommen vom Hubble-Teleskop. Der weiße Zwerg ist in diesem überbelichtiten 

Bild als kleiner Punkt unten links zu sehen. (NASA/ESA - Wikimedia Commons) 

Weiße Zwerge sind in etwa so groß wie die Erde, enthalten aber ungefähr die Masse der Sonne. 

Ihre Oberflächentemperatur beträgt anfangs zwischen 10.000 und 100.000 K. Die resultierende 

weiße oder bläuliche Farbe erklärt die Namensgebung. In einem weißen Zwerg findet keine 

Kernfusion oder ähnliches statt, er kühlt also kontinuierlich ab und wird irgendwann zum einem 

‘braunen’ oder gar ‘schwarzen Zwerg’. Dieses Schicksal erwartet auch unsere Sonne. 

Der nächstgelegene weiße Zwerg ist Sirius B, der mit einem gewöhnlichen Stern Sirius A 

ein gravitatives Doppessternsystem bildet. Lange Zeit war Sirius B nur inderekt durch Bahnanomalien 

von Sirius A nachweisbar, denn die absolute Leuchtkraft eines gewöhnlichen Sterns 

ist wegen der großen Abstrahlungsfläche viel höher als die eines weißen Zwergs. Erst mit dem 

Hubble-Weltraummikroskop war eine direkte Aufnahme möglich (siehe Abb. 7.3). 

Weiße Zwerge werden durch den Fermidruck der Elektronen stabilisiert. Um diesen Vorgang 

zu verstehen, betrachten wir ein komprimiertes Fermigas aus N Fermionen mit Ruhemasse m, 

die in einem Volumen V eingesperrt sind. Da jedes Teilchen ein Volumen V /N einnimmt, ist 

seine typische Ortsunschärfe durch ∆x = (V /N) 1/3 gegeben. Damit ergibt sich nach der Heisenbergschen 

Unschärferelation eine mittlere Impulsunschärfe von 

Damit ergibt sich eine mittlere kinetische Energie 

In nichtrelativistischer Näherung ist 

∆p = ¯h 

� 

V 

�−1/3 = ¯h . (7.32) 

∆x N 

�� 

Ekin = N m2c4 + (∆p) 2c2 − mc 2� 

Ekin ≈ N (∆p)2 

2m ≈ N5/3 ¯h 2 

(7.33) 

2mc2 , (7.34) 

V 2/3 

Wie man sehen kann, ist diese Energie um so größer, je kleiner die Ruhemasse des betrachteten 

Teilchens ist. Die Unschärferelation fixiert nämlich den Impuls, – die entsprechende kinetische 

Energie p 2 /2m ist um so höher je kleiner die Masse ist. In einem weißen Zwerg, der aus ionisierten 

Protonen und Elektronen besteht, dominiert also der Fermidruck der Elektronen. 



Um das Gleichgewicht des weißen Zwergs zu ermitteln, minimieren wir die Summe aus kinitischer 

Energie Ekin und der Gravitationsenergie Egrav ≈ −GM2 /R, wobei V = 4 

3πR3 das Volumen, 

N = M/mn die Teilchenanzahl, und mn,me die Nukleonen- bzw. Elektronenmasse sind: 

E = Ekin + Egrav = M 

�� 

m 

mn 

2 ec4 + 32/3c2 ¯h 2 M2/3 2 3√ 2π2/3m 2/3 

� 

2 

− mec − 

n R2 GM2 

(7.35) 

R 

Dieser Ausdruck wird nun für R minimiert, indem die Gleichung dE/dR = 0 gelöst wird. Die 

Lösung lautet 

� 

� 

� 

R0 = �363/2c2 ¯h 4 − 2(6π) 2/3G2 ¯h 2 M4/3m 8/3 

n 

8π4/3c2G2M 2/3m2 em 10/3 

. 

n 

(7.36) 

Im Grenzfall kleiner Massen M → 0 dominiert der erste Term im Zähler, so dass der Radius des 

weißen Zwergs wie R0 ∼ M −1/3 skaliert. Daraus folgt: 

Ein weißer Zwerg wird mit zunehmender Masse kleiner. 

Bei immer weiter zunehmender Masse wird der weiße Zwerg immer kleiner, bis der Fermidruck 

nicht mehr ausreicht, um den Gravitationskollaps aufzuhalten. Die kritische Grenzmasse, bei der 

das passiert, kann man mit der obigen Formel ausrechnen, indem man R0 = 0 setzt. Das Ergebnis 

lautet 

Mc = 

� 3 

4π 

� 

c¯h 

�3/2 1 

G m2 n 

(7.37) 

und hängt nicht von der Elektronenmasse ab. Diese Formel unterscheidet sich von dem Ergebnis 

einer vollrelativistischen Behandlung nur im Vorfaktor. Das korrekte Ergebnis lautet 

Mc = 2.01824√ 3π 

2 

� 

c¯h 

�3/2 1 

G η2m2 , (7.38) 

n 

wobei η das Molekulargewicht pro Elektron ist, also die spezifische Zusammensetzung des weißen 

Zwergs mit berücksichtigt. 

Die Masse Mc heißt Chandrasekhar-Masse. Abgesehen von den Vorfaktoren hängt sie nur von 

fundamentalen Konstanten (¯h,c,G) und der Nukleonenmasse mn ab. Da die sogenannte Planck- 

Masse durch mp = � ¯hc/G gegeben ist, kann man die Chandrasekhar-Masse bis auf Vorfaktor 

schreiben als 

Mc ∝ m3 p 

m 2 n 

≈ (2.176 · 10−8 kg) 3 

(1.673 · 10 −27 kg) 2 ≈ 3.68 · 1030 kg. (7.39) 

Zum Vergleich: Die Sonnenmasse beträgt ca. 2 · 10 30 kg. Außerdem variieren die Massen der 

Sterne für astrophysikalische Verhältnisse nur wenig, man findet Sterne mit Massen in der Bandbreite 

von etwa 0.07 bis 120 Sonnenmassen, davon aber die meisten innerhalb von zwei Zehnerpotenzen. 

Die Chandrasekhar-Masse liegt ziemlich genau in der Mitte dieses Bandes. Sie 

ergibt sich aber vor allem aus der mikroskopischen Physik, nämlich der Unschärferelation und 

der Nukleonenmasse in Zusammenspiel mit der Gravitationskonstante. 

Die typische Masse eines Sterns stimmt mit m3 p 

m 2 n 

überein. 

Obwohl weiße Zwerge zwar aus Sternen entstehen, deren Größe jedoch nicht bestimmen, steckt 

in der Chandrasekhar-Masse offenbar mehr magic. 



7.2.3 Neutronensterne 

Abbildung 7.4: Neutronenstern. (NASA - Wikimedia Commons) 

Kollabiert ein sehr schwerer Stern mit mehr als etwa 10 Sonnenmassen, so durchläuft er zunächst 

das temporäre Stadium eines weißen Zwergs. Wenn es dabei jedoch zu Teilchenimpulsen 

kommt, die höher als 1.5mec 2 sind, werden sogenannte inverse β-Zerfälle 

p + e − → n + νe 

(7.40) 

möglich. Die Elektronen stehen damit nicht mehr zur Verfügung, um den Stern zu stabilisieren, 

so dass sich der gravitative Kollaps zunächst fortsetzt, bis der Fermidruck der gebildeten Neutronen 

stabilisierend wirken. Die oben hergeleiteten Formeln sollten also gültig bleiben, wobei 

die Elektronen- durch die Neutronenmasse zu ersetzen ist. Weil diese Masse in Gl. (7.36) nur 

als Vorfaktor auftritt und ein Neutron etwa 2000 mal schwerer als ein Elektron ist, wird ein 

Neutronenstern auch 2000 mal kleiner als ein weißer Zwerg sein, also einen Radius in der Größenordnung 

von 10 km besitzen, auf dem aber etwas mehr als eine Sonnenmasse konzentriert 

ist und damit Dichten von etwa 100 Milliarden Tonnen pro Kubikzentimeter erreicht. Neutronensterne 

sind durch ein Verhältnis rs/R ≈ 0.3 gekennzeichnet und sind damit bereits hochrelativistische 

Objekte. Deshalb sind die Näherungen aus dem vergangenen Abschnitt allenfalls 

qualitativ korrekt, insbesondere erhält man eine modifizierte Zustandsgleichung. 

Auch hier gibt es eine kritische Grenzmasse, di sogenannte Oppenheimer-Volkoff-Grenzmasse, 

die sich von der Chandrasekhar-Grenzmasse nur durch einen Vorfaktor unterscheidet. 

Neutronensterne erzeugen keine Energie, kühlen also langsam aus und sind dann (sofern sie 

keine weitere Materie einsammeln) stabil. Bis heute sind etwa 2000 Neutronensterne in der 

Milchstraße identifiziert worden. 5% davon sind Teil eines Binärsystems, d.h. sie bilden mit 

einem anderen Neutronenstern oder weißen Zwerg ein gravitativ gebundenes System. Solche 



rotierenden Systeme werden als mögliche Emittenten von Gravitationswellen untersucht. 

7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen 

Wir wollen nun untersuchen was passiert, wann und wie es zu einem Gravitationskollaps kommt. 

Zunächst wird mit Hilfe der inneren Schwarzschildmetrik die Stabilitätsgrenze bestimmt, jenseits 

derer ein Kollaps unvermeidlich ist. Um den Kollaps als zeitabhängigen Vorgang zu beschreiben, 

benötigen wir eine dynamische radialsymmetrische Lösung der Feldgleichungen. 

Man kann mit dieser Lösung allerdings nicht nur kollabierende Sterne, sondern auch kollabierende 

Galaxien (mit Sternen als Teilchen) und sogar das gesamte Universum (mit Galaxien als 

Teilchen) beschreiben. 

7.3.1 Innere Schwarzschildmetrik 

Wir berechnen nun die Darstellung des metrischen Tensors innerhalb einer radialsymmetrischen 

Masseverteilung. Wiederum benutzen wir den Ansatz (7.4) 

ds 2 = −A(r)dt 2 + B(r)dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ), (7.41) 

mit reellen positiven Funktionen A(r) und B(r), die durch die Feldgleichungen bestimmt sind, 

allerdings jetzt mit einem nichtverschwindenden Energie-Impuls-Tensor. Der Himmelskörper 

sei dabei durch ein perfektes Fluid gegeben, d.h. wir gehen von Gl. (6.24) aus: 

T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν . (7.42) 

Wir wollen ferner annehmen, dass es sich um einen statischen Himmelskörper handelt, dass 

also die räumlichen Komponenten der Vierergeschwindigkeit u 1 ,u 2 ,u 3 verschwinden. Wegen 

u µ uµ = u 0 u0 = c 2 folgt daraus 

u 0 = c/ � A(r), u0 = −c � A(r) (7.43) 

Man kann nun mit elemtaren Methoden die Feldgleichungen lösen. Das wichtigste Resultat 

ist die Oppenheimer-Volkoff-Gleichung – eine Integro-Differentialgleichung für den Druck als 

Funktion des Radius: 

wobei 

dp(r) 

dr 

= −GM(r)ρ(r) 

r2 � 

1 + p(r) 

ρ(r)c2 �� 

1 + 4πr3 p(r) 

M(r)c2 � r 

M(r) = 4π r 

0 

′2 ′ ′ 

ρ(r )dr 

�� 

1 − 2GM(r) 

c 2 r 

� −1 

. (7.44) 

(7.45) 

wie zuvor die innerhalb des Radius r befindliche Masse ist. Diese Gleichung kann man nur in 

Kombination mit einer Zustandsgleichung lösen, die Druck und Dichte miteinander verknüpft. 

Wenn das gelungen ist, kann man die Funktionen A(r) und B(r) ausrechnen durch 

A(r) = exp 

� 

− 2G 

c 2 

� ∞ 

r 

dr ′ � 

M(r ′ ) + 4πr′3 p(r ′ ) 

c2 �� 

1 − 2GM(r′ ) 

c2r ′ 

� 

�−1 r ′2 


(7.46)

7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen 155 

und 

� 

B(r) = 1 − 2GM(r) 

c2 � 

, (7.47) 

r 

Würde man in der letzten Gleichung für M(r) einen konstanten Wert einsetzen (so als ob sich 

alle Masse punktförmig im Zentrum befände) erhält man für B(r) genau den gleichen Ausdruck 

wie im Fall der äußeren Schwarzschildmetrik, was auch so sein muss. 

Beweisskizze: Laut Ansatz ist der metrische Tensor gegeben durch 

gµν = diag � −A(r), B(r), r 2 , r 2 sin 2 θ � . 

Damit ergibt sich für die Darstellung des Energie-Impuls-Tensors 

Tµν = diag � ρc 2 A(r), pB(r), pr 2 , p(r 2 sin 2 θ) � . 

Da alle Tensoren nach wie vor diagonal sind, gibt es im Prinzip vier Feldgleichungen. Da die R33- 

Gleichung von der R22-Gleichung linear abhängig ist, verbleiben nur die Gleichungen mit den Indices 

00,11 und 22. Durch geschickte Addition kann man zeigen, dass 

R00 R11 

+ 

2A 2B 

+ R22 

r 

B′ 1 1 

= − − + 

2 rB2 r2 r2B ist, woraus sich ein Differentialgleichung für B(r) ergibt: 

d 

� 

r 

� 

= 1 − 

dr B(r) 

8πG 

c2 ρr2 . 

8πG 

= − ρ 

c2 Mit der Bedingung, dass B(0) endlich ist, gelangt man zu der Lösung (7.47). Aus der Divergenzfreiheit 

des Energie-Impuls-Tebsors leitet man eine weitere Differentialgleichung 

− A′ (r) 

A(r) 

2p 

= − 

′ (r) 

ρ(r)c2 + p(r) 

her. Kombiniert man diese mit der dritten Feldgleichung für R22, gelangt man zur Oppenheimer- 

Volkoff-Gleichung (7.44) ab sowie durch Integration auf Gl. (7.46). 

7.3.2 Absolute Stabilitätsgrenze 

Im folgenden wird gezeigt, dass es eine kritische Schwelle gibt, jenseites derer kein physikalischer 

Mechanismus existieren kann, der den Stern stabilisieren und einen Gravitationskollaps 

verhindern kann. In diesem Fall müssen die Objekte also kollabieren. 

Ausgangspunkt ist die Oppenheimer-Volkoff-Gleichung (7.44), die den Innendruck p(r) für 

ein radialsymmetrisches relativistisches Objekt in Abhängigkeit vom Radius r beschreibt. Um 

diese Gleichung zu lösen, benötigt man die Zustandsgleichung des Objekts. Als einfachste Näherung 

wollen wir annehmen, dass die Materie inkompressibel ist, dass der Himmelskörper also 

eine konstante Dichte ρ = ρ0 besitzt. Mit den Abkürzungen 

X = 

� 

1 − rs 

, Y = 

R 

� 

1 − 

rsr 2 

R 3 

sind dann die beiden Funktionen der inneren Schwarzschildmetrik durch 

gegeben, womit man auf die Lösung 

A(r) = 1 

4 (3X −Y )2 , B(r) = Y −2 

2 Y − X 

P(r) = ρ0c 

3X −Y 


(7.48) 

(7.49) 

(7.50)


geführt wird. Erwartungsgemäß ist dabei der Druck 

2 1 − X 

P(0) = ρ0c 

3X − 1 

(7.51) 

im Zentrum des Himmelskörpers am größten. Erstaunlicherweise wird der Ausdruck jedoch 

divergent für X = 1/3, also für rs/R = 1 − 1/9 = 8/9. Da es jedoch keinen physikalischen Mechanismus 

gibt, der einem unendlichen Druck standhalten könnte, kommt man zu dem Ergebnis, 

dass für 

R < 9 

8 rs 

(7.52) 

jeder Stern kollabieren muss! Der Vorfaktor 9 

8 kommt hier durch die Annahme der Inkompressibilität 

zustande, doch bleibt die obige Ungleichung auch für realistische Sterne qualitativ richtig. 

Für die Astrophysik ergibt sich außerdem die Schlussfolgerung, dass die beobachtbare Gravitationsrotverschiebung 

z auf Werte von 

z = λr 

− 1 = 

λe 

1 

� − 1 < 2 (7.53) 

rs 1 − R 

begrenzt ist. Objekte mit einer größeren Rotverschiebung wären nicht stabil. 

7.3.3 Flug durch den Schwarzschildradius 

Bevor wir uns mit dem Gravitationskollaps befassen, wollen wir noch einmal die äußeren Schwarzschildmetrik 

ds 2 � 

= − 1 − rs 

� 

dt 

r 

2 � 

+ 1 − rs 

�−1 dr 

r 

2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (7.54) 

befassen. Man kann zeigen (Übung), dass die Bewegungsgleichungen für ein frei fallendes Teilchen 

¨x α + Γ α µν ˙x µ ˙x ν = 0 (7.55) 

durch 

� 

dr 

�2 rsc2 − 

dτ r 

dt 

� 

dτ 

1 − rs 

� 

r 

r 

= 1 (7.56) 

2� dφ 

�2 dτ 

= L (7.57) 

rsL2 − 2 r3 = Q (7.58) 

+ L2 

r 

gegeben ist, wobei Q,L Konstanten der Bewegung sind und oBdA vorausgesetzt wird, dass die 

Bewegung in der Äquatorialebene θ = π/2 der Schwarzschildmetrik stattfindet. Wir identifizieren 

L als den Drehimpuls, der in dem hier untersuchten Fall verschwindet. Ferner ist rs = 2GM 

c2 , 

so dass die Bewegungsgleichungen die einfache Form 

dt 

dτ = 

1 

1 − rs 

1 

= 

r 1 − 2GM 

rc2 (7.59) 

� 

dr 

�2 = 

dτ 

2GM 

+ Q (7.60) 

r 

annehmen. Wie lange dauert es, bis ein Teilchen von r0 bis rs fliegt und welchen Weg legt es 

dabei zurück? 



• Flugdauer vom unendliche entfernten Beobachter aus gesehen: 

� � ts r0 

∆t = dt = 

t0 rs 

dt 

dτ 

� r0 dτ 

dr = 

dr rs 

� 2GM 

r 

1 1 

� 

+ Q 1 − rs 

� dr = ∞ (7.61) 

r 

da das Integral eine Polstelle an der oberen Grenze besitzt. Faktisch wird das Teilchen 

aber wegen der ebenfalls divergierenden Rotverschiebung schon nach kurzer Zeit unbeobachtbar. 

• Flugdauer aus der Sicht des Teichens: 

Dazu ist die Eigenzeit τ des Teilchens zu integrieren: 

� � τs r0 

∆τ1 = dt = 

τ0 rs 

� r0 dτ 

dr = 

dr rs 

1 

� 2GM 

r 

• Bis zum Schwarzschildradius zurückgelegte Wegstrecke: 

Hier erhält man ebenfalls ein endliches Integral 

� r0 

∆s = 

rs 

dr 

1 − rs 

r 

= 1 

� 

rs log 

2 

� rs 

r0 

dr < ∞ (7.62) 

+ Q 

� � �� 

�r0(r0 − 2 − rs) + rs log 1 − rs 

�� 

+ 1 

r0 

(7.63) 

• Dauer des Weiterflugs bis zum Zentrum aus der Sicht des Teichens: 

� rs 

∆τ2 = 

0 

� 2GM 

r 

1 

< ∞ (7.64) 

+ Q 

Diese Beispiele zeigen, dass der Schwarzschildradius zwar insofern physikalisch ausgezeichnet 

ist, als dass ein unendlich entfernter Beobachter keine Information aus Bereichen innerhalb des 

Schwarzschildradius erhalten kann. Wenn jedoch ein Teilchen den Schwarzschildradius durchquert, 

wird es keine singuläre Raumstruktur feststellen. Damit ist die Singularität der Schwarzschildmetrik 

eine Koordinatensingularität, die durch die Wahl des Bezugssystem im Unendlichen 

entsteht. 

7.3.4 Gravitationskollaps 

Gaußsche Normalkoordinaten 

Um den Kollaps eines Sterns, also den freien Fall einer radialsymmetrischen Masseverteilung, 

zu untersuchen, benötigen wir eine andere Karte, die nicht am Schwarzschildradius divergiert. 

Wir wollen ein Koordinatensystem wählen, dass sich mit der kollabierenden Materie mitbewegt. 

Solche Koordinaten heißen Gaußsche Normalkoordinaten und sind definiert durch 

x 0 = cτ , x 1 ,x 2 ,x 3 = const (7.65) 

In einem solchen Koordinatensystem hätten die kollabierenden Teichen die Vierergeschwindigkeit 

u µ = (c,0,0,0), d.h. obwohl sie kollabieren, scheinen sie auf der Karte zu ruhen. 



Man kann zeigen, dass im isotropen Fall eine solche Metrik in der Form 

ds 2 = −c 2 dt 2 +U(r,t)dr 2 +V (r,t)(dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (7.66) 

geschrieben werden kann. Mit diesem Ansatz berechnet man die Christoffelsymbole 

Γ 1 01 = Γ 1 10 = ˙U 

2U 

Γ 0 11 = ˙U 

2 

Γ 2 02 = Γ 2 20 = Γ 3 03 = Γ 3 30 = ˙V 

2V 

Γ 0 22 = ˙V 

2 

Γ 0 33 = ˙V 

2 sin2 θ 

U ′ 

Γ 1 11 = 

2U 

V ′ 

Γ 1 22 = − 

2U 

V ′ 

Γ 1 33 = − 

2U sin2 θ 

Γ 2 12 = Γ 2 21 = Γ 3 13 = Γ 3 V ′ 

31 = 

2V 

Γ 2 33 = −sinθ cosθ 

Γ 3 23 = Γ 3 32 = cotθ 

(7.67) 

wobei Punkt und Strich für die jeweiligen partiellen Ableitungen bezeichnen und alle nicht aufgeführten 

Christoffelsymbole verschwinden. Wir überprüfen zunächst anhand der Feldgleichung 

ob eine konstante Vierergeschwindigkeit u µ = (c,0,0,0) mit diesem Ansatz konsistent ist. Man 

stellt fest, dass Γ µ 

duµ 

00 = 0 für alle µ verschwindet, so dass die Bahngleichung dτ = −Γµ νρuν uρ in der Tat erfüllt ist. 

Mit den obigen Christoffelsymbolen kann man die nichtverschwindenden Komponenten des 

Ricci-Tensors ausrechnen: 

R00 = Ü ¨V 

+ 

2U V 

˙U 2 ˙V 2 

− − 

4U 2 2V 2 

R11 = − Ü ˙U 2 

+ 

2 4U − ˙U ˙V V ′′ V ′2 

+ − 

2V V 2V 2 − U ′ V ′ 

2UV 

R22 = −1 − ¨V 

2 − ˙U ˙V 

4U 

R01 = R10 = 

Radialsymmetrischer Kollaps 

˙V ′ 

V 

˙VV ′ ˙UV ′ 

− − 

2V 2 2UV 

V ′′ 

+ 

2U − V ′ U ′ 

4U 2 

(7.68) 

(7.69) 

(7.70) 

(7.71) 

R33 = R22 sin 2 θ (7.72) 

Wir wollen nun voraussetzen, dass die kollabierende Materie aus Staub besteht, also keinen 

Innendruck besitzt, und dass ihre Dichte räumlich konstant ist, d.h. ρ(r,t) = ρ(t). Mögliche 



Anwendungfälle sind: 

- Sternkollaps bei r > 9 

8 rs 

- Bildung eines neuen Sterns aus einer Staubwole 

- Kollaps einer Galaxie (mit Sternen als Staubteilchen) 

- Kollaps des Universums (mit Galaxien als Staubteilchen) 

Mit p = 0 und u µ = (c,0,0,0) hat der Energie-Impulstensor die Gestalt 

T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν = 

Damit erhält man die Feldgleichungen 

Rµν = Tµν + 1 

2 gµνT = ρ(t)c2 

⎛ 

1 

⎜ 

2 ⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

ρ(t)c 2 

U(r,t) 

0 

V (r,t) 

0 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

V (r,t)sin 2 θ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(7.73) 

(7.74) 

Die dabei auftretenden Gleichungen enthalten Summen von Orts- und Zeitableitungen. Dies legt 

einen Separationsansatz nahe: 

Aus der Feldgleichung für R01 = R10 folgt 

U(r,t) = R(t) 2 f (r), V (r,t) = S(t) 2 g(r) (7.75) 

˙S 

S 

˙R 

= , (7.76) 

R 

so dass sich S und R nur durch eine Konstante unterscheiden können, die wir in f ,g absorbieren 

können, so dass S = R ist. Die verbleibenden Feldgleichungen für R11 und R22 bzw. R33 lauten 

− 1 1 

+ 

r2 r2 f 

f ′ 

− 

r f 2 = 

¨RR 

+ 2 ˙R 2 − 4πG 

c 

f ′ 

− 

2r f 2 = 

¨RR 

+ 2 ˙R 2 − 4πG 

c 

2 ρ(t)R2 

2 ρ(t)R2 

(7.77) 

(7.78) 

Da die linken Seinten nur von r und die rechten nur von t abhängen, müssen die Seiten konstant 

sein, d.h. 

so dass 

− 1 1 

+ 

r2 r2 f 

f ′ 

− 

r f 2 = −2k (7.79) 

f ′ 

− 

2r f 2 = −2k , (7.80) 

f (r) = 

1 

1 − kr 2 


(7.81)


ist. Die Metrik im Innern der kollabierenden Staubwolke lautet also 

ds 2 = −c 2 dt 2 + R(t) 2� dr2 1 − kr2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 � 

) . (7.82) 

Mit der Divergenzfreiheit des Energie-Impuls-Tensors kann man zeigen, dass 1 √ g ∂0( √ gT 00 ) = 0 

ist, woraus die Massenerhaltung 

ρ(t)R(t) 3 = ρ(0) (7.83) 

folgt Dieses Ergebnis setzt man in die Feldgleichung für R00 ein und erhält 

Daraus folgt 

¨RR = − 4πG 

3c 2 

d ˙R 

d(ct) = 2 ¨R ˙R = − 8πGρ(0) 

3c2 ˙R 

R2 ρ(0) 

. (7.84) 

R 

(7.85) 


˙R 2 = const + 8πG 

3c2 ρ(0) 

(7.86) 

R 

wobei man durch Einsetzen in die Feldgleichung für R11 zeigen kann, dass const = −k ist. Mit 

den Anfangsbedingungen R(0) = 1 und ˙R(0) = 0 ergibt sich k = 8πGρ(0)/3c2 , womit sich die 

DGL zu 

˙R 2 1 − R 

= k 

R 

wird. Diese DGL beschreibt eine parametrisierte Zykloide 

(7.87) 

ct = 1 

2 √ 1 

(λ + sinλ), R = (1 + cosλ) (7.88) 

k 2 

Wenn der Kurvenparameter den Wert λ = π annimmt, kollabiert die Staubwolke in einen einzigen 

Punkt. Die Zeit, die dazu benötigt wird, ist 

� 

� 

T = t� 

= 

λ=π π 

2c √ � 

π 3 

= . (7.89) 

k 2 8πGρ(0) 

Erstaunlicherweise hängt diese Zeit nicht von der absoluten Größe des Objekts, sondern nur 

von seiner Dichte ab. Auf den zweiten Blick ist das aber plausibel, da die auf ein Staubteilchen 

wirkende Gravitationskraft nur von den Bestandteilen der Wolke innerhalb der Kugel mit dem 

Radius, das seiner Entfernung entspricht, hervorgerufen wird. Bei einer irdischen Dichte von 

1g/cm 3 ist die Zeit übrigens sehr kurz: Nur etwa 35 Minuten würde dann ein Gravitationskollaps 

dauern. 

7.3.5 Supernovae 

Im ersten Jahr der Regentschaft von Chih-ho [1054], zum fünften Mond, am Tag 

chi-ch’ou [4. Juli], erschien ein Gaststern südöstlich in der Nähe von T’ien-kuan 

[ζ Tauri]. Nach etwa einem Jahr wurde er allmählich unsichtbar. 4 

4 Geschichte der Sung-Dynastie, China, zitiert nach J. J. L. Duyvendak 



Abbildung 7.5: Der Krebsnebel: Überbleibsel einer Supernova 

Einen ‘Gaststern’ stellen die chinesischen Astronomen im Jahr 1054 fest, der anfangs heller als 

die Venus strahlt und sogar tagsüber sichtbar ist, dann aber langsam an Intensität verliert. Heute 

befindet sich an der in der Quelle genau benannten Stelle der Krebsnebel (engl. crab nebula), 

die Überbleibsel einer Supernova. In der Mitte befindet sich ein Pulsar, ein schnell rotierender 

Neutronenstern, der die Röntgenastronomen gerne als Kalibrationsquelle benutzen. Weniger 

lange her ist die Supernova SN1987A, die in der Magellanischen Wolke, unserer Nachbargalaxie, 

stattfand. Damals gab es schon leistungsfähige Neutrinodetektoren. Zum Zeitpunkt des 

Ausbruchs wurden plötzlich weltweit 19 Neutrinos gleichzeitig registriert. Ein klarer Hinweis 

auf einer Typ-II-Supernova, bei der ein weißer Zwerg kollabiert. Versagt nämlich die Stabilisierung 

durch die Elektronen, findet schlagartig der inverse β-Zerfall statt und der weiße Zwerg 

kollabiert zu einem Neutronenstern. Die emittierten Neutrinos waren auf der Erde nachweisbar. 

In unserer Galaxie erwartet man eine Supernova statistisch etwa alle 40 Jahre. Was bei einer 

Supernova genau abläuft, ist Gegenstand aktueller Forschung. Sicher ist, dass der Prozess einer 

solchen Sternexplosion durch einen Gravitationskollaps eingeleitet wird. Nur in den seltensten 

Fällen wird dieser Kollaps radialsymmetrisch sein, sondern wird in der Regel einen Restdrehimpuls 

mit sich tragen, der beim Kollaps durch den Pirouetteneffekt immer spürbarer wird. 

Einen Sternkollaps kann man sich ungefähr so vorstellen: Nach den immer kürzer werdenden 

thermonuklearen Brennphasen bildet sich in der Mitte des Sterns ein Eisenkern. Sobald dieser 

die Chandrasekhar-Grenzmasse (bei Eisen etwa 0.9 Sonnenmassen) überschreitet, beginnt der 

Kern zu kollabieren. Dieser Vorgang geschieht sehr schnell - innerhalb von Millisekunden, während 

die äußeren Schichten als gravitative Stoßwelle ins Zentrum fallen. Sobald der innere Teil 

des Kerns Dichten auf nuklearem Niveau erreicht, besteht er bereits fast vollständig aus Neutronen. 

Wenn nun die etwas höher liegende kritische Oppenheimer-Volkoff-Grenzmasse eines 

Neutronensterns (etwa 3 Sonnenmassen) nicht überschritten wird, wird der Kern aufgrund des 

Fermidrucks der Neutronen schlagartig inkompressibel, womit der Kollaps schlagartig gestoppt 

wird und eine enorme Druckerhöhung im Zentrum stattfindet. Damit entsteht eine gigantische 

Druckwelle, die nach Verlassen des Eisenkerns durch komplizierte physikalische Prozesse und 

durch erneut einsetzende Fusionsreaktionen während ihrer Ausbreitung weiter an Energie gewinnt. 



Abbildung 7.6: Simulation der optischen Wirkung eines schwarzen Lochs, das vor der Magellanschen Wolke 

vorbeiziehen würde [Wikimedia]. 

Zurück bleibt – je nach Masse – ein Neutronenstern oder ein schwarzes Loch 5 . Die oft hohe 

Drehgeschwindigkeit erzeugt ein Magnetfeld, das mit den Teilchen des abgestoßenen Gasnebels 

in Wechselwirkung tritt und so von der Erde aus registrierbare Signale erzeugt. 

7.3.6 Schwarze Löcher 

Ein schwarzes Loch ist eine Masseansammlung, die so groß ist, dass sie komplett innerhalb ihres 

eigenen Schwarzschildradius liegt. Der Schwarzschildhorizont hat dabei die Qualität einer lichtartigen 

Trennfläche: Würde man dort mit einer Taschenlampe horizontal leuchten, würde man 

das Licht gewissermaßen auf eine kreisförmige Umlaufbahn schicken. Der Schwarzschildhorizont 

ist also eine zweidimensionale Fläche geodätischer Linien, die das Innere und das Äußere 

des schwarzen Lochs voneinander trennt: 

Im Rahmen der klassischen ART wird ein schwarzes Loch durch die äußere Schwarzschildmetrik 

mit einer Singularität im Zentrum beschrieben oder – was der Regelfall sein dürfte – von 

einer Variante dieser Metrik mit Drehimpuls, der sogenannten Kerr-Metrik 

ds 2 � 

= − 1 − rsr 

ρ2 � 

c 2 dt 2 − 2rsrasin 2 θ 

ρ2 cdt dφ + ρ2 

dr2 

Λ2 + ρ 2 dθ 2 � 

+ r 2 + a 2 rsra2 + 

ρ2 sin2 � 

θ sin 2 θ dφ 2 (7.90) 

, 

die wir hier aber nicht eingehender diskutieren wollen. Darüber hinaus gibt es noch weitere 

Metriken, welche die elektrische Ladung eines schwarzen Lochs berücksichtigen. 

Gibt es schwarze Löcher? Als ich studierte, wurde diese Frage noch kontrovers diskutiert. 

Heute sind in unserer Galaxie schon mehr als 10 schwarze Löchen identifiziert worden. Dabei 

klassifiziert man die schwarzen Löcher nach ihrer Masse: 

• Stellare schwarze Löcher mit etwa bis zu 10 Sonnenmassen können beim Kollaps eines 

Sterns entstehen und haben einen (Schwarzschild-)Radius von bis zu 30 km. 

5 Inzwischen spekuliert man über eine weitere Zwischenform, sogenannte Quarksterne, die aus reinen Quarks be- 

stehen. 



• Mittelschwere schwarze Löcher entstehen durch Sternkollisionen. Sie besitzen etwa 1000 

Sonnenmassen und haben einen Radius bis zu 1000 km. Die Existenz mittelschwerer 

schwarzer Löcher ist noch nicht zweifelsfrei nachgewiesen, doch gibt es konkrete Kandidaten 

dieses Typs. 

• Supermassive schwarze Löcher mit 10 5 bis 10 9 Sonnenmassen und befinden sich im Zentrum 

von Galaxien. Es wird vermutet, dass sich im Zentrum von Galaxien in der Regel ein 

supermassives schwarzes Loch befindet. 

• Primordiale schwarze Löcher sind Raumzeit-Singularitäten, die sich unmittelbar nach 

dem Urknall gebildet haben könnten und einen Radius von einem Zehntel Millimeter 

besitzen. Die Existenz solcher Mikrolöcher ist allerdings bis heute nicht nachgewiesen. 

Wie sieht man schwarze Löcher? Die in Abb. 7.6 gezeigte Simulation ist in der praktischen 

Astrophysik unrealistisch. Selbst Sterne in der Milchstraße sind zu weit weg, um ihre Größe 

optisch zu messen, wie soll man da erst ein schwarzes Loch sehen? Ein direkter Nachweis ist 

also mit heutigen Mitteln praktisch unmöglich. Allerdings gibt es eine Vielzahl indirekter Nachweismethoden, 

die sich wie ein Puzzle ergänzen und es uns ermöglichen, schwarze Löcher zu 

lokalisieren und ihre Eigenschaften zu bestimmen. Schwarze Löcher sind in der Regel nicht 

völlig schwarz, sondern es kommt in den Randbereichen nahe am Schwarzschildradius wegen 

Drehimpulsen und elektrischen Ladungen zu komplexen physikalischen Phänomenen. Schwarze 

Löcher können beispielsweise Jets emittieren oder Radiowellen aussenden. 

Ein wichtiges Beispiel ist das supermassive schwarze Loch unserer eigenen Galaxie, mit ca. 4 

Millionen Sonnenmassen. Es befindet sich im Sternbild des Schützen und wird mit dem Namen 

Sagittarius A* bezeichnet. Das schwarze Loch wird von einem weiteren Stern mit dem Namen 

S2 umkreist und erlaubt so eine präzise Bestimmung der Masse, Da der extrem schwere Zentralkörper 

nicht sichtbar ist, geht man davon aus, dass es sich um ein schwarzes Loch handelt. 

Inzwischen sind die Messungen so genau, dass man in unmittelbarer Nähe sogar ein zweites 

mittelschweres schwarzes Loch vermutet. 

Théorème de calvitie 

J. A. Wheeler verdanken wir das “no hair theorem”. Ein schwarzes 

Loch wird demnach vollständig durch drei Zahlen beschreiben, 

nämlich seine Masse M, seinen Drehimpuls L und seine elektrische 

Ladung Q (die Ladung dürfte sich allerdings durch bevorzugte Anziehung 

entgegengesetzter Ladungsträger schnell neutralisieren). Der 

Grund ist, dass der Schwarzschildradius eine unüberwindbare Informationsbarriere 

darstellt, es ist also prinzipiell unmöglich, etwas über 

das “Innenleben” eines schwarzen Lochs zu erfahren. 

Dieses Theorem ist bemerkenswert, weil sich hier ein makroskopisches Objekt genau so verhält 

wie ein Elementarteilchen, das ja ebenfalls durch wenige Zahlen vollständig charakterisiert 

werden kann. Besteht hier eine tieferer Zusammenhang zwischen schwarzen Löchern und Elementarteilchen? 

Das no-hair-Theorem wirft aber auch ein fundamentales Problem auf. Da ein 

schwarzes Loch keine Information ausser M,L,Q besitzt, ist seine Entropie praktisch gleich 

Null. Damit wird allerdings der 2. Hauptsatz der Thermodynamik verletzt: Ein Objekt mit einer 

positiven Entropie S > 0, das sich durch den Schwarzschildradius bewegt, wird vom schwarzen 

Loch irreversibel verschluckt. Da das schwarze Loch selbst keine Entropie besitzt, würde sich 



durch diesen Prozess die Gesamtentropie erniedrigen. 

Zur Erinnerung: Die Entropie ist definiert als die Informationsmenge gemessen in bit, die notwendig 

ist, um ein gegebenes Objekt vollständig zu beschreiben. Wenn das Objekt in N verschiedenen Zuständen 

s sein kann, und man über kein Vorwissen verfügt, ist die Entropie S = log 2 N. Bei Physikern 

ist historisch bedingt die Definition S = kB lnN üblich, die sich nur im Vorfaktor unterscheidet. 

Manchmal hat man ein partielles Vorwissen über den Zustand des Systems in Form einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 

p(s). In diesem Fall ist die Information, die man zur vollständigen Beschreibung 

eines Systems ergänzen muss, reduziert und durch die Formel 

S = −∑ s 

p(s) log 2 p(s) bzw. S = −kB∑ s 

p(s) ln p(s) 

gegeben. Der zweite Hauptsatz drückt den trivialen Sachverhalt aus, dass sich ein (partielles) Vorwissen 

über ein Objekt im Verlauf der Zeit (ohne aktive Messungen durchzuführen) nicht zunehmen, 

sondern höchstens gleich bleiben oder abnehmen kann. Die Entropie kann dementsprechend gleich 

bleiben oder zunehmen. Wenn Sie einen schönen Blumenstrauß in den Main werfen, wird er in Einzelteile 

zerlegt und zersetzt, und wird deshalb nach diesem Vorgang noch schwieriger zu beschreiben 

sein als vorher. Anders ist es, wenn Sie den Blumenstrauß in ein schwarzes Loch werfen, dann ist er 

nämlich weg – es gibt nichts mehr zu beschreiben und seine Entropie ist deshalb gleich Null. 


8 Kosmologie 

Dieses Kapitel ist von Paul Stapor verfasst worden, der im WS 11/12 einen Seminarvortrag über 

Kosmologie gehalten hat. Vorausgesetzt wird die auf S. 138 zusammengefasste traditionelle 

Formulierung der Allgemeinen Relativitästheorie. 

8.1 Die Friedmann-Robertson-Walker-Metrik 

8.1.1 Das Kosmologische Prinzip 

Die Einsteinschen Feldgleichungen für den 

gesamten uns bekannten Kosmos zu lösen, 

stellt ein hoffnungsloses Unterfangen dar: Die 

Massenverteilung allein der sichtbaren Materie 

in der Metrik zu berücksichtigen ist 

beim Aufstellen einer Metrik de facto unmöglich, 

von den Relativbewegungen der Galaxien 

ganz zu schweigen. Die einzige Möglichkeit 

besteht also darin, stark vereinfachende 

Annahmen über die Beschaffenheit des 

Weltalls zu machen. Wir nähern es also durch 

ein perfektes Fluid mit der Annahme: 

Verteilung der Galaxien im sichtbaren Universum. 

In den fehlenden Sektoren blendet die Milchstraße. 

Quelle: 2dF Galaxy Redshift Survey 

Die Masseverteilung im Universum ist auf großen Skalen homogen und isotrop. 

Dieses sogenannte Kosmologische Prinzip scheint sich auf den ersten Blick nicht mit unseren 

Beobachtungen zu decken und sehr willkürlich zu sein. Tatsächlich stellen Galaxien große Massenansammlungen 

dar, zwischen denen sich riesige Leerräume befinden. Auf größeren Skalen 

finden wir Galaxienhaufen und Superhaufen vor, zwischen denen sich noch größere Leerräume 

(sogenannte Voids) befinden. Doch wenn wir von hier aus zu noch größeren Skalen gehen, die 

für das gesamte sichtbare Universum relevant sind, so zeigt sich, dass diese Voids nicht größer 

als etwa 100 Mpc sind. Darüber lässt sich tatsächlich ein starker Trend zur Homogenität und 

Isotropie feststellen. 

Ein weiterer Hinweis für die Richtigkeit des Kosmologischen Prinzips ist die Gleichförmigkeit 

der kosmischen Hintergrundstrahlung: Sie unterliegt, abweichend vom Mittelwert von etwa 

2.7K, nur sehr kleinen richtungsabhängigen Schwankungen im Bereich von etwa 10 −5 K. Die 

Isotropie ist hier fast perfekt ausgeprägt. Dies macht zumindest plausibel, warum wir das Universum 

mit so starken Annahmen vereinfachen dürfen. 


166 Kosmologie 

Bemerkung: Die in der obigen Abbildung gezeigten filigranen Strukturen der Verteilung der Gala- 

xien werden gegenwärtig mit Hilfe der sogenannten Inflationstheorie erklärt. Dieser Theorie zufolge 

hat sich das Universum kurz nach dem Urknall wegen eines Phasenübergangs schlagartig über viele 

Größenordnungen ausgedehnt. Die kurz nach dem Urknall präsenten Quantenfluktuationen wurden 

auf diese Weise kausal getrennt und auf einer Skala eingefroren, die heute etwa 100 Mpc entspricht. 

Damit ergaben sich Regionen mit minimal unterschiedlicher Dichte, die als Anisotropie im Mikro- 

wellenhintergrund nachweisbar sind. Diese eingefrorenen Dichtefluktuationen sind mit der heutigen 

Dichteverteilung der Galaxien korreliert. 

Die Metrik, die ein homogenes, rotationssymmetrisches Weltall beschreibt, wurde bereits im 

Zusammenhang mit dem Gravitationskollaps diskutiert (siehe Abschnitt 7.3.4 auf S. 157). Hier 

gingen wir ebenfalls von Rotationsinvarianz des Problems und einer homogenen Massenverteilung 

(d.h. konstanten Krümmung der Raumzeit) aus. Wenden wir diese Metrik nun nicht auf das 

Innere eines Sterns, sondern auf das gesamte Universum an, so nennen wir sie die Friedmann- 

Robertson-Walker (FRW)-Metrik1 : 

ds 2 = c 2 dt 2 � 

dr2 − R(t) 

1 − kr2 + r2 � dθ 2 + sin 2 θdφ 2�� 

. (8.1) 

In dieser Darstellung hat der so genannte Skalenparameter R(t) die Dimension einer Länge und 

beschreibt die momentane Ausdehnung des Universums, während k = 0,±1 und r ∈ [0,1] ist. 

8.1.2 Herleitung der FRW-Metrik 

Obwohl die FRW-Metrik bereits in Abschnitt 7.3.4 hergeleitet wurde, wollen wir hier eine alternative 

Herleitung vorstellen, die das Modell eines isotropen, gleichmäßig gekrümmten Raumes 

auf andere Weise veranschaulicht. Dazu betten wir für gegebenes t den durch die Koordinaten 

x1,x2,x3 beschriebenen räumlichen Anteil der Raumzeit in einen höherdimensionalen ebenen 

Raum ein. Bei positiver konstanter Krümmung hat dieser Anteil die Form der Oberfläche einer 

vierdimensionalen Kugel und kann deshalb problemlos in einen R 4 eingebettet werden. Bei 

negativer Krümmung ist dies nach einem Resultat von David Hilbert nicht möglich, doch kann 

man einen Raum mit konstanter negativer Krümmung in einen pseudoeuklidischen Raum ebenen 

Raum, den R 3 1 , einbetten, wobei wir die zusätzliche Koordinate als x4 bezeichnen wollen 2 . 

Zur Erinnerung: Der pseudoeuklidische Raum Rn k ist ein (n+k)-dimensionaler Raum mit dem Skalarprodukt: 

n n+k 

〈x,y〉 = ∑ xiyi − ∑ xiyi , 

i=1 i=n+1 

d.h. er besitzt eine diagonale Metrik, wobei die Signatur der ersten n Dimensionen positiv und die der 

folgenden k Dimensionen negativ ist. 

In diesem Einbettungsraum definieren wir nun eine Hyperfläche durch 

x 2 4 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − κR(t) 2 . (8.2) 

Dabei ist R(t) die aktuelle Ausdehnung (Skalenparameter) des Universums und κ = ±1 ist ein 

Parameter, der das Vorzeichen der Krümmung der Hyperfläche angibt. Bei einer infinitesimalen 

1 benannt nach Howard Percy Robertson, US-amerikanischer Mathematiker und Physiker, und Arthur Geoffrey 

Walker, britischer Mathematiker 

2 nach [19], Kap. 7a, Bsp. Nr 7.3. 


8.1 Die Friedmann-Robertson-Walker-Metrik 167 

Abbildung 8.1: Verschwindende, positive und negative Krümmung am Beispiel zweidimensionaler Oberflächen 

Verschiebung xi → xi + dxi erhält man in niedrigster Ordnung x4 dx4 = x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3. 

Durch Auflösen nach dx4, Quadrieren und Einsetzen von (8.2) erhalten wir 

(dx4) 2 = (x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3) 2 

x 2 1 + x2 2 + x2 3 − κR(t)2 . (8.3) 

Damit ist das Linienelement dl 2 im Einbettungsraum gegeben durch 

Mit Kugelkoordinaten 

dl 2 = (dx1) 2 + (dx2) 2 + (dx3) 2 − (x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3) 2 

x2 1 + x2 2 + x2 (8.4) 

3 − κR(t)2 

= (dx1) 2 + (dx2) 2 + (dx3) 2 + (x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3) 2 

κR(t) 2 − x 2 1 − x2 2 − x2 3 

(8.5) 

x1 = rR(t)sinθ cosφ, x2 = rR(t)sinθ cosφ, x3 = rR(t)cosθ (8.6) 

geht dieser Ausdruck über in 

dl 2 = R(t) 2� 

dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 dφ 2 sin 2 � 

θ + R(t)2r 2 dr2 κ − r2 . (8.7) 

Für das relativistische Linienelement ergibt sich damit 

ds 2 = c 2 dt 2 − dl 2 = c 2 dt 2 − R(t) 2 

� 

dr2 1 − kr2 + r2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 

� 

, (8.8) 

wobei k = 1/κ ist. Der radiale Parameter r läuft wieder von 0 bis 1 und der Parameter k = ±1 bestimmt 

die Form der Raumzeit. Für k > 0 ergibt sich eine geschlossene Raumzeit (ähnlich einer 

Kugeloberfläche), für k < 0 eine offene Raumzeit (ähnlich einer Sattelfläche) und für k → 0 ist 

die Raumzeit flach. Die Folge dessen lässt sich an der Oberfläche einer Kugel veranschaulichen: 

Für k > 0 gilt A(r) < 4πr 2 , bzw. A(r) > 4πr 2 für k < 0. 

8.1.3 Entfernungen in der FRW-Metrik 

Um mit der FRW-Metrik besser rechnen zu können, substituieren wir 

r ↦→ χ(r) = 

Damit erhalten wir, abhängig von k, folgende Darstellung für r: 

⎧ 

⎪⎨ sinχ falls k = 1 

r = f (χ) = χ 

⎪⎩ 

sinhχ 

falls k = 0 

falls k = −1 

� r 


0 

dr ′ 

√ . (8.9) 

1 − kr ′2 

(8.10)


Damit schreibt sich die FRW-Metrik wie folgt: 

ds 2 = c 2 dt 2 − R(t) 2� 

dχ 2 + f (χ) 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ) 2� 

(8.11) 

Auf Grund der angenommenen Isotropie der Raumzeit lassen sich Abstände in der FRW-Metrik 

leicht bestimmen. Wir können den Beobachter ins ”Zentrum” des Universums stellen und eine 

rein radiale Streckenlänge berechnen. Für eine lichtartige Kurve in der Raumzeit gilt ds 2 = 0. 

Hier erhalten wir ferner noch die besondere Beziehung (8.13), die später noch wichtig werden 

wird. Für eine Entfernung D in der FRW-Metrik gilt: 

8.2 Die Friedmann-Gleichung 

8.2.1 Herleitung 

� χ 

D = dχ 

0 

′√ 

gχ ′ χ ′ = R(t)χ (8.12) 

0 = ds 2 = c 2 dt 2 − R(t) 2 dχ 2 ⇔ dχ = cdt 

R(t) 

(8.13) 

Nun wollen wir eine Gleichung herleiten, mit deren Hilfe wir, unter den gemachten Annahmen, 

den Zustand des Universums beschreiben können 3 . Dazu verwenden wir die FRW-Metrik (8.1), 

berechnen aus ihr die Christoffel-Symbole sowie den Ricci-Tensor, und setzen dies in (??) ein. 

Wir erhalten zunächst folgende Christoffel-Symbole: 

Γ 0 11 

Γ 1 11 

Γ 1 01 = Γ1 10 = Γ2 02 = Γ2 20 = Γ3 03 = Γ3 30 

= ˙R 

R 

= ˙RR 

1−kr 2 Γ 0 22 = r2 ˙RR Γ 0 33 = r2 ˙RRsin 2 θ 

= kr 

1−kr 2 Γ 1 22 = −r(1 − kr2 ) Γ 1 33 = −r(1 − kr2 )sin 2 θ 

Γ 2 12 = Γ2 21 = Γ3 13 = Γ3 31 

1 = r Γ3 23 = Γ3 32 = cotθ Γ233 = −sinθ cosθ 

(8.14) 

(8.15) 

Alle weitere Christoffel-Symbole sind gleich Null. Außerdem ist zu beachten, dass hier sowie im 

Folgenden ˙R = dR/d(cdt) = dR/dx 0 gilt. Damit erhalten wir für den kontrahierten Ricci-Tensor 

nur auf der Diagonalen Einträge: 

R00 = 3 ¨R 

R 

R11 = 1 

1−kr 2 (R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k) 

R22 = −r 2 (R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k) 

R33 = R22sin 2 θ 

(8.16) 

3 Diese Gleichung ist nach dem russischen Mathematiker und Physiker Alexander Friedmann benannt, der sie 1922 

entdeckte 


8.2 Die Friedmann-Gleichung 169 

Um die Feldgleichungen lösen zu können, brauchen wir noch den Energie-Impuls-Tensor. Nach 

dem kosmologischen Prinzip sind die Dichteverteilung sowie der Druck nicht ortsabhängig (Homogenität 

des Raumes): ρ(r,t) = ρ(t),P(r,t) = P(t). Außerdem vernachlässigen wir die Relativbewegungen 

der Galaxien zueinander, da sie sich im Mittel aufheben. Insgesamt verhält sich 

das Universum demnach wie ein perfektes Fluid, in dem keine Strömungen auftreten. Diese 

Aussage ist auch als Weylsches Postulat 4 bekannt und sichert uns, dass der metrische Tensor 

tatsächlich diagonal ist. 

Der Energie-Impuls-Tensor hat also die Form 

� 

Tµν = ρ + P 

c2 � 

uµuν − gµνP (8.17) 

wobei wir mit g00 = 1 erhalten: uµ = u µ = (c,0,0,0) Damit folgt: 

� 

Tµν = diag ρc 2 , PR2 

1 − kr2 ,PR2r 2 ,PR 2 r 2 sin 2 � 

θ 

(8.18) 

Für die Spur des Energie-Impuls-Tensors erhalten wir: T = ρc 2 − 3P 

Somit ergeben sich aus Tµν und Rµν 4 Differentialgleichungen. Zunächst für die 00-Komponente: 

3 ¨R 

R 

− Λ = −8πG 

c4 � 

ρc 2 − ρc2 � 

− 3P 

2 

(8.19) 

⇒ 3 ¨R − ΛR = − 4πG 

c4 � � 2 

ρc + 3P R (8.20) 

Für die drei räumlichen Komponenten ergibt sich jedes Mal die selbe Gleichung. Hier die Rechnung 

für die erste Komponente: 

− 1 

1 − kr2 � 

R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k � � 

− Λ − R2 

1 − kr2 � 

= − 8πG 

c4 � 

PR2 1 − kr2 − ρc2 − 3P 

2 

⇒ R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k − ΛR 2 = 4πG 

c4 � � 2 2 

ρc + 3P R 

R 2 

1 − kr 2 

� 

(8.21) 

(8.22) 

Nun haben wir zwei Differentialgleichungen erhalten, die in sehr allgemeiner Form die Entwicklung 

des Universums beschreiben. Um dies in eine intuitivere Form zu bringen, brauchen 

wir Informationen, wie sich der Druck P in Abhängigkeit von der Dichte ρ verhält. Für unser 

Universum kommen zwei Formen in Betracht: 

nicht interagierende Materie z.B. Staub P = 0 

Hochrelativistische Teilchen z.B. EM-Strahlung P = ρ 

3 

Für unser heutiges Universum ist die Dominanz von Materie im Vergleich zur Strahlung sicherlich 

eine gute Näherung. Setzen wir dies in (8.20) ein und lösen nach ¨R auf, so erhalten wir: 

� 

¨R 

Λ 4πGρ 

= − 

3 3c2 � 

R (8.23) 

4 benannt nach H.Weyl, vgl. +[13] (Kapitel 22.5): ¨Die Partikel des Substrats liegen in der Raumzeit auf einer Kongruenz 

zeitartiger Geodäten, die von einem Punkt in der endlichen oder unendlichen Vergangenheit ausgehen.¨ 



Dies setzen wir in (8.22) ein und erhalten nach Umformungen: 

˙R 2 + k − ΛR2 

3 

8πG 

= ρR2 

3c2 (8.24) 

Dies ist fast schon die Gleichung für das Friedmannmodell. Wir wollen sie noch dadurch vereinfachen, 

dass wir mit den bisherigen Gleichungen zwei Erhaltungsgrößen finden können. Dazu 

differenzieren wir (8.24) nach der Zeit und lösen nach ˙ρ auf: 

2 ˙R ¨R − 2 

3 ΛR ˙R = 8πG 

3c 2 (2R ˙Rρ + R 2 ˙ρ) / + 

0 = 3R ˙Rρ + R2 ˙ρ + 3 

c2 PR ˙R 

˙ρ = − 3 ˙R P 

R (ρ + c2 ) 

� 

− 2 ˙R 

3 

� 

(8.20) 

Für den Fall P = 0, ρ = ρM erhalten wir hieraus das Gesetz der Massenerhaltung und können 

eine Konstante Km definieren: 

ρMR(t) 3 = const. ⇒ KM = 8πG 

3c 2 ρMR(t) 3 = const. (8.25) 

Für den Fall P = ρc2 

3 ,ρ = ρS hingegen erhalten wir eine Art ”Strahlungserhaltung”. Auch hier 

können wir eine Konstante definieren: 

ρSR(t) 4 = const. ⇒ KS = 8πG 

3c 2 ρSR(t) 4 = const. (8.26) 

Wir nehmen an, dass diese beiden Fälle separat gelten (oder ein Effekt deutlich dominiert) und 

können sie somit gemeinesam diskutieren. Wir setzen im Folgenden daher ρ = ρM +ρS. Daraus 

resultiert die Gleichung für das sogenannte Friedmannmodell 5 , wenn wir die beiden neuen 

Konstanten in (8.24) einsetzen: 

˙R 2 − KS KM Λ 

− − 

R2 R 3 R2 = −k (8.27) 

Diese Differentialgleichung beschreibt im Wesentlichen die Entwicklung unseres Universums. 

Man kann sich dies auch folgendermaßen veranschaulichen: Die hinteren drei Summanden auf 

der linken Seite können wir zu einer Art ”Potenzial” V (R) = − KS 

R2 − KM Λ 

R − 3 R2 zusammenfassen, 

das wir gegen R auftragen können. Dadurch erhalten wir einen ersten Eindruck, unter welchen 

Bedingungen die Expansion unseres Universums beschränkt ist. Außerdem können wir aus 

(8.27) ”Euler-Lagrange-Gleichungen” ableiten, die den Expansionsprozess beschreiben (vgl. 2- 

Körper-Problem). 

8.2.2 Friedmannsche Weltmodelle 

Mit Hilfe dieser Gleichung und der vorangegangenen Abbildung des Potentials können wir nun 

anfangen, die möglichen Entwicklungen des Kosmos zu klassifizieren. Doch zunächst betrachten 

wir noch folgenden Grenzfall: Zur Frühzeit des Universum war R sehr klein und es herrschte 

5 Manchmal ließt man hierfür auch die Bezeichnung Friedmann-Lemaître-Gleichung, benannt nach dem französischen 

Priester Georges Lemaître, der die Gleichung unanhängig von Friedmann 1927 entdeckte. 



Abbildung 8.2: asdf 



vor allem Strahlung vor. Zu dieser Zeit war in (8.27) mit Sicherheit der KS 

R 2 -Term dominierend, 

also folgt für R → 0: R(t) ∝ t 1 2 . Wir erhalten also eine inflationäre Expansion. 

”Etwas” später hingegen wird die Entwicklung des Universums vom Materie-Term bestimmt. 

Dies geschieht jedoch erst nach der Entkopplung von Strahlung und Materie. Für spätere Zeiten 

ist die Entwicklung vor allem von Λ und k abhängig. Dazu machen wir eine Fallunterscheidung. 

(a) Λ < 0: Das Potential wächst unbeschränkt, wir erhalten für alle Raumzeit-Geometrien gebundene 

Lösungen. Je nach Wert von k dauert die Expansion des Universums länger oder 

kürzer an, allerdings wird es stets wieder kollabieren (Big Crunch). 

(b) Λ = 0: Hier lässt sich die Entwicklung nicht so einfach bestimmen, wir müssen 

verschiedene Fälle für k untersuchen: 

(i) k = 1: Es gibt wieder gebundene Lösungen. Auch hier wird die Expansion des Universums 

schließlich abgebremst und es fällt wieder in sich zusammen. 

(ii) k = 0: Dies war lange Zeit 6 das von den Astronomen favorisierte Modell unseres Universums, 

es trägt den Namen Einstein-de Sitter-Universum. Es ist der Granzfall der 

Expansion: Sie verlangsamt sich immer mehr, kommt aber erst im Unendlichen zum 

Sillstand. (vgl. Parabel im Zweikörperproblem) 

(iii) k = −1: Hier ergibt sich eine ungebundene Lösung, das Universum expandiert immer 

weiter. R(t) verläuft schließlich annähernd linear. 

6 Mit ”lange Zeit” ist in diesem Fall bis etwa 1997 gemeint. Erst in diesem Jahr häuften sich die Messungen, die dem 

”Einstein-de Sitter”-Modell eindeutig widersprachen. Das Modell wurde von Einstein und dem niederländischen 

Astronom Willem de Sitter gefunden, nachdem durch Hubbles Entdeckung der Rotverschiebung ein stationäres 

Universum verworfen werden konnte. 



(c) Λ > 0: Auch in diesem Fall hängt die Entwicklung stark von weiteren Faktoren ab. Erneut 

machen wir eine Fallunterscheidung nach k: 

(i) k = 1 Hier kommt es noch einmal darauf an, welchen Wert Λ und ρ genau haben: Es 

ergeben sich dann entweder zwei, ein oder kein Schnittpunkt mit der Geraden −k. Wir 

nennen den Fall, dass −k eine Tangente an das Potential ist, den kritischen Fall und 

unterscheiden demnach nach dem Scheitelpunkt von V: 

• V > Vkrit: Es ergibt sich eine geschlossene Lösung, also ein Universum mit Expansion 

und Kontraktion, aber auch ein eine offene Lösung ohne Urknall. 

• V = Vkrit: Dies war der Fall, den Einstein mit seiner kosmologischen Konstante 

modellieren wollte: Ein stationäres Universum ohne Veränderung in seiner 



Größe. Es fand lange Zeit viele Anhänger 7 . Unglücklicherweise ist dieses 

Modell instabil, es kollabiert oder expandiert bei einer kleinen Auslenkung. 

• V = Vkrit − ε: Das sogenannte Lemaître-Universum: Es gibt einen Urknall, doch 

die Expansion kommt zu einer bestimmen Zeit nahezu zum Stillstand. Von da an 

beschleunigt sich die Expansion wieder und verläuft exponentiell. 

• V < Vkrit: Das Universum expandiert nach dem Urknall und bremst diese 

Expansion zum Teil ab. Danach erfolgt jedoch eine exponentielle Ausdehnung. 

7 Es gab auch Versuche in den 40er-Jahren einige Eigenschaften dieses Universums, wie z.B. eine konstante Materiedichte, 

zu retten. Das vor allem von Fred Hoyle vorangetrieben Modell nennt man Steady-State-Universum, 

allerdings wurde es mit Entdeckung der kosmischen Hintergrundstrahlung endgültig verworfen. 


8.3 Unser Universum 175 

(ii) k = 0 oder k = −1: Dieser Fall verläuft ganz ähnlich dem letzten Fall für k = 1. Es 

gibt eine offene Lösung, d.h. das Universum dehnt sich immer schneller aus, nachdem 

zeitweilig die Expansion leicht abgebremst wurde. 

8.3 Unser Universum 

Wir haben nun verschiedene mögliche Modelle für das Weltall vorliegen. Es gilt nun noch zu 

entscheiden, welches davon am besten auf das Universum, in dem wir leben, zutrifft. Eine absolute 

Sicherheit und Übereinstimmung gibt es natürlich nicht, dafür wissen wir noch zu wenig 

über den Effekt der kosmologischen Kosntante und ihre eventuelle Zeitabhängigkeit. Wir wollen 

jedoch einige vereinfachte Beschreibungen unseres heutigen Kosmos betrachten. 

8.3.1 Das Hubble-Gesetz 

Zunächst möchten wir aus dem Friedmann-Modell eine Näherung für unseren Kosmos ableiten, 

die in einfacherer Form schon 1929 von Edwin Hubble gefunden wurde. 

Insbesondere bei den Messungen der Lichtemissionskurven von Typ Ia-Supernovae, aber auch 

schon bei der Abstandsbestimmung von anderen Galaxien wurde festgestellt, dass die gemessenen 

Spektren fast alle größere Wellenlängen hatten als erwartet. Das Licht war rotverschoben. 

Hubble deutete dies als Dopplereffekt und berechnete daraus die Fluchtgeschwindigkeit der Galaxien. 

Außerdem konnte er einen (linearen) Zusammenhang zwischen dem Abstand eines Objekts 

und der Rotverschiebung seines Lichts finden. Dieser Zusammenhang lässt auch aus der 

ART ableiten. Allerdings muss man dabei aufpassen: die Rotverschiebung resultiert nicht aus 

einem Dopplereffekt: Diesen gibt es nur in Inertialsystemen, d.h. in einer flachen Raumzeit. Der 

Grund für die Rotverschiebung ist die Veränderung des kosmischen Skalenfaktors R(t) während 

das Licht unterwegs ist. 



Um die Rotverschiebung beschreiben zu können, betrachten wir ein Photon, das zur Zeit tE 

emittiert wurde und nun zur Zeit t0 registriert wird. Anschließend vergleichen wir es mit einem 

Photon, das einen kurzen Augenblick später tE + δtE ausgesendet wird. Wir können annehmen, 

dass in der kurzen Zeitspanne δt der Skalenfaktor unverändert bleibt, der Weg beider Photonen 

also gleich ist. Zur Berechnung verwenden wir die zuvor erhaltenen Ergebnisse (8.12) und 

(8.13). 

� t0+δt0 

0 = 

tE+δtE 

cdt 

R(t) − 

� t0 

tE 

� t0 

χ = 

tE 

cdt 

R(t) = 

� t0+δt0 

t0 

cdt 

R(t) = 

� t0+δt0 

tE+δtE 

cdt 

R(t) − 

cdt 

R(t) 

� tE+δtE 

tE 

cdt δt0 δtE 

= − 

R(t) R(t0) R(tE) 

(8.28) 

(8.29) 

Betrachtet man nun einen Lichtimpuls, dessen Periodendauer δt ist, so erhält man die Relationen 

ν0R(t0) = νER(tE) = const. 

λ0 

λE 

= R(t0) 

= const. (8.30) 

R(tE) 

Mit dem Verhältnis z = δλ λ0 

λ = − 1 lässt sich die Rotverschiebung des Lichts einfach beschrei- 

λE 

ben. Setzt man hier das Verhältnis der Skalenfaktoren ein, so erhält man die von Hubble gefundene 

Beziehung, wenn man die kosmische Expansion linear nähert: 

z = R(t0) 

R(tE) − 1 = R(t0) − R(tE) 

R(tE) 

Wobei H0 = c ˙R 

R 

= R(t0) − R(tE) (t0 −tE)c ˙Rc 

≈ 

(t0 −tE)c R(tE) R (t0 −tE) = H0(t0 −tE) (8.31) 

die sogenannte ”Hubble-Konstante”, oder besser der Hubble-Parameter zum 

heutigen Zeitpunkt ist. Wir erhalten ihn auch, wenn wir für den Skalenfaktor eine Taylor-Entwicklung 

anlegen: 

R(t) = R(t0)+c ˙R(t0)(t −t0)+ 1 

2 c2 ¨R(t0)(t −t0) 2 +... = R(t0) � 1+H0(t −t0)− 1 

2 q0H 2 0 (t −t0) 2 +... � 

(8.32) 

Man nennt dann q0 den Dämpfungsparameter. Es gilt q0 = − ¨R(t0)R(t0) 

˙R(t0) 2 . Setzen wir dies nun mit 

t = tE in (8.31) ein und entwickeln diesen Bruch dis zur zweiten Ordnung in t, so erhalten wir 

mit Hilfe der Gleichung für die Entfernung eines kosmischen Objekts in der FRW-Metrik, bei 

der wir R(t) im Nenner des Integranden bis zur ersten Ordnung entwickeln die verallgemeinerte 

Hubble-Relation: 

z ≈ H0 

c D + (1 + q0)H 2 0 

2c2 D 2 

(8.33) 

Mit Hilfe dieser Berechnungen erhalten wir eine erste Näherungen für das Alter des sichtbaren 

Universums sowie dessen Ausdehnung (auch Weltalter und Welthorizont genannt). 

Für das Alter des Universums T0 erhält man also mit einer linearen Näherung: 

T0 = H −1 

0 

Für die Entfernung des Horizonts ergibt sich: 

� � T0 

T0 cdt 

D0 = R(t0) dχ = R(t0) 

0 

0 R(t) 

(8.34) 

(8.35) 

Dies ist die maximale Entferung, in der Dinge mit uns kausal verbunden sein können. Über 

den Bereich hinter dem Horizont können wir nur spekulieren, da mit ihm die Rotverschiebung 



unendlich wird und uns keine Information aus diesem Bereich erreichen kann. Es sei hierbei 

festgehalten, dass die Fluchtgeschwindigkeiten von Galaxien zueinander durchaus die Lichtgeschwindigkeit 

überschreibten können: Die Fluchtgeschwindigkeit ist prinzipiell unbegrenzt: 

v(t0) = d 

dt (Rχ) = H0R(t0)χ → ∞ für R(t0)χ → ∞ (8.36) 

Dies steht nicht im Widerspruch zur SRT, denn diese gilt nur in lokalen Inertialsystemen. Zwei 

Inertialsysteme, die nicht miteinander verbunden sind, können sich durchaus mit Überlichtgeschwindigkeit 

zueinander bewegen. 

8.3.2 Abstandsmsessungen im Weltraum 

Um zu erklären, wie die experimentellen Daten zu Stande kommen und wie genau sie sind, werden 

nachfolgend einige Methoden zur Abstandsbestimmung im Weltraum vorgestellt. 

Die Grundlage der Entfernungsmessung im Weltraum ist die Beziehung der scheinbaren Helligkeit 

m und der absoluten Helligkeit M eines Objekts. Die absolute Helligkeit eines Objekts ist 

in der Astronomie als die scheinbare Helligkeit definiert, die dieses Objekt in einem Abstand 

von 10 Parsec zu uns hätte. Vergleicht man diese Größen miteinander, so erhält man die Entfernung 

des betrachteten Objekts. Dabei ist zu bemerken, dass die Helligkeitsskala logarithmisch 

aufgebaut ist 8 . Die besser physikalisch zu greifende Größe ist die Strahlungsintensität (Leistung 

pro Fläche) l bzw die abstrahlte Leistung L. Dabei muss man beachten, dass die Entfernung im 

euklidischen Raum nicht die selbe wie die in der FRW-Metrik ist. Man definiert daher einen 

Luminositätsabstand DL neben dem tatsächlichen Abstand D. Für diesen gilt: 

DL = 

� L 

4πl 

(8.37) 

Für den Zusammenhang zwischen L und l gilt die Relation l = L/A, wobei A die Fläche einer 

Kugel in der Entfernung D = Rχ (nach (8.12)) des betrachteten Objekts ist. Diese Fläche wäre, 

zu einem bestimmen Zeitpunkt t0: 

A = 4π f (χ) 2 R(t0) 2 

(8.38) 

Wir müssen allerdings beachten, dass die vom beobachteten Objekt ausgesendeten Photonen 

während ihrer Reise zur Erde ausgedünnt werden, da R(t) zunimmt. Die scheinbare Helligkeit 

enthält also einen Faktor R(tE) 

R(t0) gegenüber der absoulten Helligkeit. Eine weitere, ebensolche Skalierung 

ist der Rotverschiebung geschuldet, die wir in (8.30) erhalten haben, denn die gemessene 

Helligkeiten sind Energiestromdichten und die Energie eines Photons skaliert mit seiner 

Frequenz ν. Wir erhalten also letzten Endes: 

l = 

L 

4π f (χ) 2R(t0) 2 

R(tE) 2 

R(t0) 2 

(8.39) 

Setzen wir dies in (8.37) ein, bzw. in einem weiteren Schritt mit (8.30) und (8.12), so ergibt 

sich eine Abhängigkeit zwischen dem Luminositätsabstand, dem tatsächlichen Abstand und der 

Rotverschiebung: 

DL = 

f (χ)R(t0) 2 

R(tE) 

f (χ) 

= D (1 + z) (8.40) 

χ 

8 Die wissenschaftliche Formulierung der Helligkeit geht im Wesentlichen auf den britischen Astronomen Norman 

Robert Pogson zurück. 



Den Luminositätsabstand erhalten wir wiederum aus dem Entfernungsmodul, welches eine teilweise 

epmirisch gefundene und teilweise auf der Helligkeitsskala aufbauende Formel ist (wobei 

für die Helligkeiten die Formeln nach Pogson9 verwendet werden.): 

� � 

DL 

m − M = 5log10 (8.41) 

10pc 

Die Methoden zur Abstandsbestimmungen bauen aufeinander auf: Man fängt mit möglichst 

genauen Methoden an die nahe Umgebung des Sonnensystems zu vermessen und schafft sich so 

Vergleichswerte für Methoden, mit denen man die weitere Umgebung abmessen kann. Wegen 

dieser stufenartigen Vorgehensweise nennt man dieses Prinzip auch manchmal die kosmische 

Entfernungsleiter. Sie verläuft etwa wie folgt: 

1. Fixstern- oder trigonometrische Parallaxe: Bei nahe gelegenen Sternen lässt sich ihre Entfernung 

zur Erde mit Hilfe der Fixsternparallaxe berechnen: Man betrachtet den Stern zu 

zwei unterschiedlichen Zeiten im Jahr (z.B. mit einem halben Jahr Abstand). Gegenüber 

weiter entfernten Sternen (Fixsternen) erscheint er um einen kleinen Winkel ϕ verschoben. 

Daraus lässt sich mit dem Erdbahnradius der Abstand des Sterns zur Erde bestimmen. 

Diese Methode ist sehr genau und bildet die Basis für die weiteren Stufen der kosmischen 

Entfernungsleiter. Sie ist jedoch nur für Sterne einsetzbar, die nicht weiter als 50 pc von 

uns entfernt sind. 

2. Hauptreihe des Hertzsprung-Russell-Diagramms: Sterne lassen sich nach ihrer Leuchtkraft 

im sogenannten Hertzsprung-Russell-Diagramm klassifizieren. Während ihrer Wasserstoff- 

Brennphase befinden sie sich in der Hauptreihe dieses Diagramms. Ihre Leuchtkraft (also 

ihre absolute Helligkeit) ist in dieser Zeit ebenso wie ihre Temperatur und damit die Wellenlänge 

ihres abgestrahlten Lichts nur von ihrer Masse abhängig. Kennt man die Wellenlänge 

des Intensitätsmaximums eines Sterns, lässt sich daraus also seine Masse und 

seine absolute helligkeit bestimmen. Mit der scheinbaren Helligkeit erhält man nun den 

Abstand des Sterns. 

Dieses Verfahren lässt aich auf Sterne in einer Entfernung von bis zu 100 kpc anwenden, 

d.h. es reicht etwa aus, um unsere eigene Galaxie zu vermessen. 

3. RR-Lyrae-Sterne und Cepheiden: Diese Sterne gehören zur Klasse der sogenannten pulsationsveränderlichen 

Sternen. Sie wechseln ihre Helligkeit in streng regelmäßigen Perioden 

von bis zu 50 Tagen. Cepheiden sind sehr helle Überriesen, man kann sie also auch in sehr 

weiter Entfernung entdecken (über 300 wurden allein in der Andromedagalaxie, also 2,5 

Mio. Lichtjahre entfernt von uns, gefunden). Die Helligkeitsschwankung beruht auf Radiusänderungen. 

Man unterscheidet hierbei zwischen δ-Cepheiden (kommen hauptsächlich 

in der galaktischen Ebene vor) und W-Virginis-Cepheiden (kommen hauptsächlich im Halo 

oder im Zentrum der Galaxie vor). RR-Lyrae-Sterne wiederum findet man in Kugelsternhaufen. 

Aus der Periodendauer der Helligkeitsschwankungen lässt sich in allen Fällen 

über empirische Beziehungen die absolute Helligkeit und somit der Abstand zu Erde bestimmen. 

Wegen ihrer starken Leuchtkraft kann man auf diese Weise Entfernungen von 

bis zu 20 Mpc vermessen. 

4. Planetarische Nebel: Sie emittieren 15% ihrer Leuchtkraft in der 500,7 nm Linie. Aus 

9 m = −2,5log10 ( l 

l0 ) mit l0 = 2,52 · 10 −8 W und M = −2,5log 10 ( l 

l0 ) mit L0 = 78,7LSonne 



der Helligkeit der Linie folgt dann mit Hilfe einer empirischen Beziehung die absolute 

Helligkeit und somit der Abstand des Planetarischen Nebels. Auf diese Weise erreicht 

man Entfernungen von bis zu 30 Mpc. 

5. Tully-Fisher-Relation: Die Tully-Fisher-Relation stellt einen Zusammenhang zwischen 

der Rotationsgeschwindigkeit von Spiralgalaxien und ihrer Leuchtkraft, d.h. ihrer absoluten 

Helligkeit her. Die Rotationsgeschwindigkeit lässt sich aus der Verschiebung der 

Spaktrallinien der Galaxie in ihren Spiralarmen bestimmen. Die empirisch gefundene Beziehung 

besagt, dass die Leuchtkraft mit einer bestimmten Potenz β der maximlaen Rotationsgeschwindigkeit 

ansteigt. Mit dieser Methode lassen sich insbesondere sehr große 

Entfernungen bestimmen: ihre Reichweite beträgt etwa 150 Mpc. 

6. Supernovae Typ Ia: Supernovae vom Typ Ia entstehen, wenn ein Weißer Zwerg in einem 

Doppelsternsystem von seinem Partner Materie aufnimmt. Diese sammelt sich in 

einer Akkretionsscheibe. Nähert sich die Masse des Weißen Zwergs und der ihn umgebenden 

Materiewolke die Chandrasekharschen Grenze, so kommt es zum Kollaps des Sterns 

und einer sehr hellen Explosion, die zeitweise die ganze umgebende Galaxie überstrahlen 

kann. Wegen des immer etwa gleich ablaufenden Vorgangs haben diese Ereignisse immer 

die selbe absolute Helligkeit. Außerdem lassen sie sich von ”gewöhnlichen” Supernovae 

dadurch unterscheiden, dass sie eine besondere Helligkeitskurve im Verlauf der Zeit zeigen: 

Das Leuchtmaximum ist viel schärfer als bei Supernovae vom Typ II und liegt immer 

im selben Fraquenzbereich. Somit lässt sich auch die Rotverschiebung gut messen. Mit 

Supernovae dieses Typs lässt sich prinzipiell das gesamte sichtbare Universum vermessen, 

also Entfernungen von über 200 Mpc. 

Wir haben nun einen recht guten Rahmen, in dem wir Entfernungen im Weltraum vermessen 

können. Haben wir hiermit erst einmal die Rotverschiebung z mehrerer Objekte in Abhängigkeit 

ihrer Entfernung D bestimmt, so können wir aus den erhaltenen Daten auch über die Rotverschiebung 

Entfernungen bestimmen. Allerdings gilt es hier zu beachten, dass sich unsere Erde 

selbst bewegt, und es somit zu einem Dopplereffekt kommt: Zu einem bewegt sich unsere Erde 

um die Sonne, diese bewegt sich um des galaktische Zentrum, unsere Lokale Gruppe bewegt 

sich auf das Zentrum des Virgo-Galaxien-Haufens zu und dieser wieder scheint auf vom sogenannten 

Großen Attraktor, einem Superhaufen, angezogen zu werden. Diese Eigenbewegungen 

lassen sich jedoch recht gut an Hand des Dopplereffekts in der kosmischen Hintergrundstrahlung 

bestimmen und somit bei Berechnungen berücksichtigen. 

8.3.3 Modellierung unseres Universums 

Wir wollen nun die Friedmann-Gleichung (8.27) noch ein wenig umschreiben und dabei den 

Hubble-Parameter einbauen, so wie sie meistens in der Literatur formuliert ist. Dazu setzen wir 

wieder die Materie- bzw. Strahlungsdichte für die Konstanten KS und KM ein, außerdem ersetzen 

wir die Kosmologische Konstante folgendermaßen: 

Λ 

3 

8πG 

= ρV 

(8.42) 

3c2 Dabei können wir ρV als eine Art Energiedichte des Vakuums interpretieren. Wie diese zu verstehen 

ist, ist allerdings noch sehr strittig. Lösen wir nun nach ˙R 2 auf, so lautet die Friedmann- 



gleichung: 

˙R 2 2 8πG 

= R 

3c2 (ρS + ρM + ρV ) − k (8.43) 

Multiplizieren wir diese Gleichung nun mit c2 

R 2 , so erhalten wir den Ausdruck 

H 2 = 8πG 

3 (ρS + ρM + ρV ) − kc2 

R2 (8.44) 

In dieser Formulierung sind die Dichteparameter allerdings zeitabhängig, mit Ausnahme von 

ρV , den wir als konstant 10 annehmen. Um hier wieder zeitunabhägige Konstanten (und opti- 

malerweise dimensionslose) zu erhalten, teilen wir die Gleichung nochmal durch H2 0 . Mit Null 

indizierte Größen sind im Folgenden immer die Größen zum heutigen Zeitpunkt. Außerdem 

führen wir noch die Substitution x(t) := R(t) 

ein. Damit erhalten wir: 

R0 

� H 

H0 

� 2 

= 8πG 

3H2 � 

4 1 

3 1 

� 

ρSx(t) + ρMx(t) + ρV − 

0 x(t) 4 x(t) 3 kc2 

R2 0H2 1 

0 x(t) 2 

(8.45) 

Nun können wir die dimensionslosen Parameter ΩS, ΩM, ΩV und ΩK einführen welche jeweils 

den Faktor 8πG 

3H2 , die Dichten sowie die zugehörigen Terme für die zeitliche Konstanz enthalten. 

0 

Damit erhalten wir die Darstellung der Friedmanngleichung, die man zumeist in der Literatur 

findet: � 

H 

�2 (8.46) 

H0 

= ΩS ΩM 

+ 

x(t) 4 x(t) 3 + ΩV + ΩK 

x(t) 2 

Sie vereinfacht sich noch einmal dadurch, dass ρS und damit auch ΩS vernachlässigbar klein 

gegenüber ρM und ρV bzw. ΩM und ΩV ist. Außerdem erhalten wir, wenn wir die Gleichung für 

den heutigen Zeitpunkt t0 betrachten, die einschränkende Bedingung: 

1 = ΩM + ΩV + ΩK 

Man erhält somit, bei bestmöglicher Vereinfachung der Gleichung, folgendes Ergebnis: 

H 2 = H 2 � 

0 

� 

ΩM 

x(t) 3 + ΩV + 1 − ΩM − ΩV 

x(t) 2 

(8.47) 

(8.48) 

Nun können wir anfangen, in diese Gleichung experimentell bestimmte Daten einzusetzen. 

So erhalten wir z.B. für H0 aus verschiedenen Messungen Werte, die alle annähernd den Wert 

(72 ± 3) km/s 

Mpc haben. Einzelne Ergebnisse für unterschiedliche Messungen von H0 wären: 

• Messungen mit dem Hubble-Weltraum-Teleskop ergaben das neueste Ergebnis: 

H0 = 74,2 ± 3,6 km 

sMpc 

• Messungen der Sonde WMAP ergaben: 

H0 = 70,5 ± 1,3 km 

sMpc 

• Auswertungen von Bildern des Hubble-Teleskop nach der Gravitationslinsenmethode lieferten 

den Wert: 

H0 = 69,7 ± 4,9 km 

sMpc 

10 ...allerdings auch nur mangels besseren Wissens und in Folge des heuristischen Prinzips der Einfachheit 



• Entfernungsmessungen von 600 Cepheiden und 261 Supernovae Typ Ia ergaben: 

H0 = 73,8 ± 2,4 km 

sMpc 

Für q0 erhalten wir aus (relativ jungen) Messungen der weiter oben angesprochenen Supernovae 

Typ Ia den Wert: q0 = −0.50 ± 0.03. Das heißt, dass sich die Expansion des Universums 

aktuell beschleunigt. Diese Erkenntnis ist relativ neu 11 . Mit ihr musste auch das bis dahin favorisierte 

Einstein-de Sitter-Universum verworfen werden. 

Außerdem lässt sich die Materiedichte des Universums über ihre Gravitationswirkung recht 

gut bestimmen. Aus den entsprechenden Messungen ergibt sich hier ein Wert von etwa ΩM = 

0.27±0.03. Für die Dichte der sichtbaren Materie, die wir aus Betrachtungen mit Teleskopen etwa 

bestimmen können, ergibt sich übrigens ein ungleich kleinerer Wert: ΩMS ≈ 0.005. Es bleibt 

daher die Frage, wie der Rest der nicht sichtbaren, also dunklen Materie, aufgebaut sein soll. 

Eine Möglichekeit wären massive Objekte, wie z.B. Planeten oder braune Zwerge (sog. MA- 

CHOs, Massive astrophysical compact halo objects). Damit wäre sie wie normale Materie aus 

Atomen oder zumindest Protonen und Neutronen aufgebaut. Man spricht deshalb von baryonischer 

Materie. Allerdings lässt sich wiederum nur ein kleiner Teil der dunklen Materie mit Hilfe 

von baryonischer Materie erklären: Man kann aus der Häufigkeit der beim Urknall gebildeten 

leichten Elemente (insbesondere mit Hilfe von Deuterium) auf die Menge an baryonischer Materie 

schließen und erhält somit: ΩB ≈ 0.05. Der Rest der dunklen Materie muss also exotische 

Materie sein. Dazu zählen z.B. Neutrinos. Wegen ihrer hochrelativistischen Geschwindigkeiten 

bezeichnet man sie auch als heiße dunkle Materie. Simulationen eines haupsächlich aus solch 

hochrelativistischen Teilchen bestehenden Universums ergeben jedoch ein völlig anderes Bild 

als jenes, welches wir im Weltall vorfinden. Es muss also auch kalte dunkle Materie geben: 

schwach wechselwirkende Teilchen (sog. WIMPs, Weakly Interacting Massive Particles) deren 

Natur noch unbekannt ist. Sie sind ein großes Rätsel der aktuellen Kosmologie. 

Letztlich lässt sich, auf indirektem Weg über Messungen der Isotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung, 

die Krümmung des Raumes bestimmen. Man erhält so den Wert Ωk = −0.023± 

0.050. Die Raumzeit ist also weitest gehend flach. Es wäre im Rahmen des Fehlers auch eine 

völlig flache Raumzeit denkbar. Man kann auch durch direkte Messungen die Krümmung der 

Raumzeit bestimmen, indem man den Umfang eines Kreises oder die Fläche einer Kugel im 

Raum bestimmt und diesen mit dem euklidischen Wert vergleicht. Diese Messungen sind jedoch 

mit sehr großen Fehlern behaftet und darum noch nicht von praktischem Nutzen. 

Mit den vorangegangenen Daten erhalten wir schließlich ΩV = 0.73 ± 0.03. Das heißt, dass das 

Universum zum größten Teil vom Vakuum und seiner Auswirkung dominiert wird. Wie genau 

das Verhältnis zwischen ΩM und ΩV aussieht, lässt sich mit Hilfe von Ergebnissen verschiedener 

Messungen von H0 und q0 eingrenzen. Dies lässt sich mit folgender Grafik 12 veranschaulichen: 

11 Genauer genommen aus dem Jahr 1998, in dem zwei Forschungsgruppen Ergebnisse der Messungen von Supernovae 

Typ Ia veröffentlicht haben. Für diese Ergebnisse wurde den US-amerikanischen Astornomen Adam Riess, 

Brian Schmidt und Saul Perlmutter 2010 der Nobelpreis für Physik verliehen. 

12 Quelle: http://www.eso.org 



Bemerkenswert ist dabei, dass wir uns nach heutigen Erkenntnissen etwa im gelben Bereich 

befinden. Noch vor etwa zwanzig Jahren war man der Ansicht, dass ΩM = 1 und ΩV = 0 gelten 

würden, d.h. wir würden uns auf der x-Achse befinden. 

Zunächst jedoch eine Zusammenfassung unserer Ergebnisse: Wir befinden uns höchstwahrscheinlich 

im letzten der vorhin aufgezeigten kosmologischen Modelle. Unser Weltall befindet 

sich nun in der Phase der sich beschleunigenden Ausdehnung, ist im Übergang vom Materiezum 

Vakuumdominierten Universum und auf dem Weg zur ewigen Expansion. Davon abgesehen 

müssen wir uns mit der Erkenntnis zufrieden geben, dass wir offenbar weniger als ein Prozent 

der Materie um Universum tatsächlich verstehen und erklären können. 

Mit Hilfe der Daten können wir nun aus den Gleichungen (8.34) und (8.35) Zahlenwerte für 

das Alter und die Ausdehnung des sichtbaren Universums angeben. Für die Näherung aus (8.34) 

erhalten wir die Hubble-Zeit H −1 

0 ≈ 14 · 109 a. Über einen genäherten Verlauf von R(t) lässt 

sich das Alter des Universums noch etwas genauer bestimmen: Es sind etwa 13,7 Milliarden 



Jahre. Diese Daten decken sich auch sehr gut mit Berechnungen aus Isotopenhäufigkeiten sehr 

langlebiger Uranisotope. Die Ausdehnung des sichtbaren Universum wiederum beläuft sich auf 

etwa 45 Milliarden Lichtjahre. Dies ist daher möglich, da sich das Universum beschleunigt ausdehnt 

und steht, wie weiter oben bereits bemerkt, nicht im Widerspruch zur Maximalität der 

Lichtgeschwindigkeit. 

8.3.4 Die Dunkle Energie und die Kosmologische Konstante 

Betrachten wir den Term der kosmologischen Konstante in der Friedmanngleichung (8.27) so 

sieht man, dass die Ableitung des Potentialterms nach R für den Λ-Term ein anderes Vorzeichen 

erzeugt als für die anderen Terme, d.h. die Vakuumenergie wirkt abstoßend! Man erhält also für 

dunkle Energie die Druck-Dichte-Abhängigkeit P ∝ −ρ. Wegen dieser ungewöhnlichen Eigenschaft 

spricht man auch von dunkler Energie. Sie zu ergründen und zu verstehen ist die wohl 

größte Aufgabe der heutigen Kosmologie. 

Als letztes bleibt es, auf einige Erklärungsversuche für diese Energieform zu betrachten. Ihre 

Natur ist noch gänzlch unverstanden. Eine Möglichkeit wäre z.B. die Erklärung über die Quantenfeldtheorien. 

Hierdurch erhalten wir jedoch eine Vorhersage für ρV , die wesentlich höher 

ist als das, was zur Erklärung der kosmischen Expansion notwendig wäre - und zwar um über 

120 Größenordnungen(!), wahrscheinlich die schlechteste Vorhersage, die die Physik jemals gemacht 

hat. 

Ebensowenig ist klar, ob die Kosmologische Konstante eventuell von der Zeit abhängt. Diese 

Idee wird von Anhängern so genannter Quintessenz-Theorien vertreten. Diese Theorien besagen, 

dass es neben den vier uns bekannten eine fünfte fundamentale Wechselwirkung gibt (die 

so genannte Quintessenz), die für die kosmische Expansion verantwortlich ist. Allerdings ergibt 

sich aus den Daten für q0 in Abängigkeit von der gemessenen Entfernung (und somit auch der 

seither verstrichenen Zeit), dass die kosmolgische Konstante in jüngerer Zeit zumindest annähernd 

unverändert geblieben sein muss. Wenn Λ also zeitabhängig ist, so scheint sie sich einem 

konstanten Wert anzunähern. 

Schließlich könnte es sich noch bei der beschleunigten Expansion des Weltalls um einen Gravitationseffekt 

handeln, den wir einfach noch nicht kennen und der eine anderweitige Korrektur 

der Einstein’schen Feldgleichungen nach sich ziehen würde, ein anderes Gravitationsgesetz also. 

In jedem Fall müssen wir einsehen, dass wir mit unseren heutigen Erkenntnissen nur einen 

sehr kleinen Teil des Kosmos beschreiben können. Die Forschung steht hier noch am Anfang 

eienr langen Entwicklung. 


9 Hamiltonsche Formulierung 

Sie werden sicher bemerkt haben, dass wir in den letzten beiden letzten Kapiteln kein Gebrauch 

von Differentialformen gemacht haben, sondern die in Kap. 6.2 hergeleiteten Feldgleichungen 

in konventioneller Indexnotation benutzen. Nach dem astrophysikalischen und kosmologischen 

Exkurs wollen wir nun zur Theorie zurückkehren und uns mit alternativen modernen Formulierungen 

der allgemeinen Relativitätstheorie befassen. 

9.1 Alternative Formulierungen der ART 

9.1.1 Vierbeinfelder 

Man stelle sich vor, dass die Raumzeit von undendlich vielen fiktiven (also masselosen nichtwechselwirkenden) 

Beobachtern durchsetzt sei, die sich alle im freien Fall befinden. Jeder dieser 

Beobachter befindet sich also lokal in einem Intertialsystem, in dem er ein lokales Koordinatensystem 

mit Minkowskimetrik definieren kann, das er während des freien Falls mit sich führt. Mit 

anderen Worten: ein Astronaut in einem antriebslosen Raumschiff kann sich in seinem Raumschiff 

ein lokales ct,x,y,z-Koordinatensystem mit flacher Metrik definieren und während des 

schwerelosen Fluges mit sich führen (siehe Abb. 9.1). Ein solches lokal flaches Koordinatensystem 

wird in der Mathematik als Rahmen (engl. frame) bezeichnet. Die entsprechenden Basisvektorfelder 

{eI} = {e0,e1,e2,e3} eI ∈ T M , I = 0,...,3 (9.1) 

für die Gesamtheit aller Beobachter heißen Rahmenfelder oder auch Vierbeinfelder (engl. frame 

fields, tetrad field, vierbein) und werden üblicherweise mit lateinischen Buchstaben indiziert, 

während griechische Indices des gewöhnlichen Koordinatenbasis vorbehalten bleiben. 

Konvention: 

Lateinische Indices a,b,c,d,... für die Tetradbasis. 

Griechische Indices µ,ν,ρ... für die Koordinatenbasis. 

Ein Vierbein ist also so definiert, dass es für jede Trajektorie ein lokales Koordinatensystem 

vorgibt, in dem der metrische Tensor wie eine Minkowskimetrik aussieht: 

g(ea,eb) = ηab . (9.2) 

Der Vektor e0 wird dabei immer so orientiert, dass er die Eigenzeit des Beobachters beschreibt. 

Die übrigen Vektoren bilden ein orthogonales Dreibein, das bis auf eine räumliche Rotation 

festgelegt ist. Das Dreibein kann auf also jeder Trajektorie unterschiedlich ausgerichtet werden, 

allerdings nur so, dass das gesamte Vektorfeld stetig differenzierbar bleibt. 



Vierbeine in beschleunigten Bezugssystemen 

Das Vierbeinkonzept ist nicht auf den freien Fall beschränkt, sondern kann auch für beschleunigte 

Beobachter sinnvoll definiert werden. Auch wenn der Astronaut seinen Raketenantrieb 

einschaltet, kann er immer noch ein lokal flaches Koordinatensystem definieren, so dass der metrische 

Tensor in seinem Aufenthaltsort die Form einer Minkowskimetrik annimmt. Gleiches gilt 

für einen Erdbewohner, der rotiert und der Erdbeschleunigung unterliegt. Die Beschleunigung 

ist nämlich an einem gegebenen Punkt nicht durch den metrischen Tensor, sondern durch dessen 

Ableitungen festgelegt. 

Wir können uns also im folgenden vorstellen, dass die Raumzeit mit Trajektorien durchsetzt 

ist, die beliebig geformt sein können, sich nur nicht schneiden dürfen. Auf jeder dieser Trajektorien 

wird ein Vierbein transportiert, das in jedem Punkt eine lokale Minkowski-Metrik (sozusagen 

die Laborkoordinaten des Astronauten) definiert. Der Vektor e0 weist dabei in zeitliche 

Richtung, das verbleibende räumliche Dreibein ist bis auf Rotation im R 3 festgelegt. Das 

Dreibein kann also durchaus im Vergleich zu einem parallel transportierten Vektor entlang der 

Trajektorie rotieren. In diesem Fall spricht man von einem rotierenden Vierbein (engl. spinning 

tetrad). 

Mit dieser allgemeineren Interpretation ist es z.B. möglich, mit dem Vierbeinformalismus 

einen fiktiven Beobachter zu beschreiben, der über dem Rand eines schwarzen Lochs mit seinem 

Raumschiff schwebt, sofern sein Raketenantrieb stark genug ist. 

Darstellung von Richtungsvektoren in Vierbeinkoordinaten 

Das Vierbeinfeld e0,e1,e2,e3 stellt in jedem Punkt der Raumzeit eine lokale Basis zur Verfügung. 

Ein Richtungsvektorfeld X ∈ T M kann also über dieser Basis in Koordinaten dargestellt 

werden durch 

X = X a ea , (9.3) 

wobei über die Großbuchstabenindices wie üblich summiert wird. Um die Komponenten X a 

zu berechnen, betrachten wir die zum Vierbein dualen 1-Formen e b (engl. coframes) mit der 

üblichen Definitionseigenschaft 

e b (ea) = δ b a . (9.4) 

Dann ist e b (X) = X a e b (xa) = X a δ b a , also 

X a = e a (X). (9.5) 

Abbildung 9.1: Transport eines lokalen orthogonalen Koordinatensystems im freien Fall (siehe Text). 


9.1 Alternative Formulierungen der ART 187 

Wie wir sehen werden, repräsentieren die 1-Formen e a das Gravitationsfeld. 

Wechsel zwischen Vierbein- und gewöhnlichen Koordinaten 

Oft werden die Vierbeinbasis (e a ,ea) und die gewöhnliche Koordinatenbasis (dx µ ,∂µ) nebeneinander 

benutzt. Um sie zun unterscheiden, werden die Komponenten mit großen lateinischen 

bzw. griechischen Buchstaben kenntlich gemacht. 

Zunächst lassen sich die Vierbeinvektorfelder in einer gegebenen Koordinatenbasis in Komponenten 

darstellen: 

ea = e µ a ∂µ , e b = e b µ dx µ . (9.6) 

Ebenso lässt sich die Koordinatenbasis über dem Vierbein darstellen. Wegen (9.4) treten hier die 

gleichen Koeffizienten auf 

∂µ = e a µea , dx µ = e µ a e a 

(9.7) 

wobei die beiden auftretenden Transformationsmatrizen zueinander invers sind: 

e a µe µ 

b = δ a b , ea µe ν a = δ ν µ . (9.8) 

Damit ist es leicht möglich, zwischen Koordinaten- und Vierbeindarstellung zu wechseln: 

Objekt Koordiantendarst. Vierbeindarst. Koordianten↔Vierbein 

Vektorfeld X X = X µ ∂µ X = X a ea X a = e a µX µ X µ = e µ a X a 

1-Form-Feld α α = αµ dx µ 

Vom metrischen Tensor zum Vierbein 

α = αae a αa = e µ a αµ αµ = e a µαi 

In der traditionellen Formulierung der ART wird die Wirkung nach den Komponenten des metrischen 

Tensors variiert, d.h. die Komponenten gµν werden als die elementaren Freiheitsgrade 

des Gravitationsfeldes interpretiert. Im Vierbeinformalusmus dagegen werden die 1-Formen e a 

als elementare Freiheitsgrade interpretiert, und in Büchern ist zu lesen, dass diese 1-Formen 

gewissermaßen die Wurzel des metrischen Tensors seien. Was hat es damit auf sich? 

Ausgangspunkt ist die Feststellung, dass G = {gµν} eine reelle symmetrische Matrix ist. 

Sie besitzt daher reelle Eigenwerte λ0,λ1,λ2,λ3 und paarweise orthogonale Eigenvektoren, die 

wir hier in Dirac-Notation |0〉,|1〉,|2〉,|3〉 schreiben wollen. Wenn man das Eigenwertproblem 

G|K〉 = λ|K〉 gelöst hat, kann man den metrischen Tensor in der Spektraldarstellung 

G = 

3 

∑ 

K=0 

λK |K〉〈K| (9.9) 

schreiben, wobei die Eigenvektoren normiert sind. Wegen der Signatur der Metrik ist ein Eigenwert 

(sagen wir λ0) negativ, während die anderen drei positiv sind. Man kann nun die Eigenwerte 

absorbieren, indem man nicht-normierte Eigenvektoren 

|eK〉 = � |λK||K〉 (9.10) 



definiert, so dass 

G = 

3 

∑ 

K=0 

sign(λK) |eK〉〈eK|. (9.11) 

ist. Auf diese Weise hat man die Matrix des metrischen Tensors (bis auf Vorzeichen) als Summe 

von Projektoren bzw. dyadischen Produkten dargestellt. Das Skalarprodukt zweier Richtungsvektoren 

X und Y ist dann 

g(X,Y) = 〈X|G|Y 〉 = 

3 

∑ 

K=0 

sign(λK) 〈X|eK〉〈eK|Y 〉. (9.12) 

Die hier auftretenden Skalarprodukte kann man als das Ergebnis einer 1-Form e K auffassen: 

g(X,Y) = 

3 

∑ 

K=0 

sign(λK) e K (X)e K (Y ). (9.13) 

Wegen sign(λ0) = −1 und sign(λ1,2,3) = +1 kann man dafür auch schreiben: 

g(X,Y) = ηab e a (X)e b (Y ). (9.14) 

An dieser Rechnung erkennen wir, dass die Vierbeinvektoren bzw. die dazu dualen 1-Formen im 

wesentlichen die Eigenvektoren des metrischen Tensors sind. 

9.1.2 ART im Vierbeinformalismus 

Gravitationsfeld 

Das Gravitationsfeld ist eine vierervektorwertige 1-Form 

e a = e a µ dx µ 

(9.15) 

die Tangentialvektoren X ∈ T M in einem lokalen Minkowskiraum mit Komponenten X a = 

e a (X) darstellt. Die lateinischen Indices a,b,c,... = 0,1,2,3 bezeichnen die Komponenten des 

Minkowski-Vektors. Sie werden mit der Minkowski-Metrik ηab gehoben und gesenkt. 

Zusammenhang 

Der Zusammenhang ∇X angewandt auf Y ist definiert als die Änderungsrate des Vektorfeldes Y 

bezüglich eines parallel mitgeführten Vektors, wenn man sich in Richtung X bewegt (siehe Abschnitt 

4.2.4 auf S. 95). Dieser Zusammenhang wird in der lokalen Vierbeinbasis dargestellt als 

eine so(3,1)-Lie-Algebra-wertige 1-Form 

ω a b 

= ω a 

µ b dxµ 

(9.16) 

so dass gilt: 

e a ∇XY = [∇XY] a = ω a bXY b = ω a 

µ bX µ Y b . (9.17) 

Dieser sogenannte Spinor-Zusammenhang (engl. spin connection) übernimmt in der Vierbeindarstellung 

die gleiche Aufgabe wie die Christoffelsymbole in der Koordinatendarstellung. Der 

Spinor-Zusammenhang ist antisymmetrisch in den Lorentz-Indices, sofern sie sich beide oben 

oder unten befinden: 

ω ab = −ω ba . (9.18) 


9.1 Alternative Formulierungen der ART 189 

Kovariante Ableitung 

Mit dem Spinor-Zusammenhang definiert man eine kovariante Ableitung D bzw. eine kovariante 

partielle Ableitung Dµ, die auf Tensoren mit Lorentz-Indices wirkt. Ist X z.B. ein Vektorfeld mit 

Lorentz-Darstellung X a , dann ist 

DµX a = ∂µX a + ω a 

µ b X b . (9.19) 

Analog ist die kovariante partielle Ableitung eines Tensors 2. Stufe gegeben durch 

DµT ab = ∂µX a + ω a 

µ cω b 

µ d T cd . (9.20) 

Ebenso definiert man eine kovariante Ableitung auf Formen mit Lorentz-Indices. Ist z.B. α a eine 

vierervektorwertige 1-Form, dann ist 

bzw. 

Torsionsfreiheit 

Dα a := dα a + ω a b ∧ αb . (9.21) 

Dµα a := dα a (∂µ) + ω a 

µ b ∧ αb . (9.22) 

Der Torsionstensor ist eine vektorwertige 2-Form T mit T(X,Y) = ∇XY − ∇Y − [X,Y]. Stellt 

man den Ergebnisvektor in der Vierbeinbasis dar, kann man ihn als 4-komponentige 2-Form T a 

auffassen. Man kann zeigen, dass 

T a = De a 

(9.23) 

ist. Der Torsionstensor gibt Auskunft darüber, ob ein Tangentialvektor bei Paralleltransport im 

Tangentialraum rotiert oder nicht. Die Raumzeit der ART ist ein torsionsfreier Raum, d.h. 

T = 0. 

Man kann zeigen, dass für ein vorgegebenes Vierbeinfeld genau ein torsionsfreier Spinor-Zusammenhang 

existiert, der in diesem Formalismus das Gegenstück zum Levi-Civitá- Zusammenhang bildet 

(siehe Abschnitt 4.2.6 auf S. 97). Er ist explizit gegeben durch die recht komplizierte Formel 

ω ab 

µ = 2e ν[a ∂ [µe b] 

ν] + eµce νa e σb ∂ [σe c ν] , (9.24) 

wobei die eckigen Klammern für zyklisches Permutieren stehen. Der Zusammenhang ist also im 

allgemeinen die vierte Potenz des Gravitationsfeldes. 

Bemerkung: 

Der torsionsfreie Spinor-Zusammenhang lässt sich aus den Christoffelsymbolen berechnen durch 

ω a 

µ b = eν � 

j ∂µe a ν − Γ ρ µνe a � 

ρ . 



Krümmung 

Die Krümmung ist eine Lorentz-Algebra-wertige 2-Form 

definiert durch 

R a b = Ra bµν dxµ ∧ dx ν 

(9.25) 

R a b = dωab + ωac ∧ ω c b . (9.26) 

Diese Abbildung bildet zwei Richtungsvektoren (via µ,ν) auf eine 4 × 4-Matrix ab. Diese Matrix 

beschreibt, mit welcher Rate sich ein Tangentialvektor dargestellt in der Vierbeinbasis ändert, 

wenn er auf einem geschlossenen Weg aufgespannt durch die beiden Richtungsvektoren 

transportiert wird. 

Bemerkung: 

Als Übung zeige man, dass D 2 u a = R a b ∧ ub ist und dass aus der Torsionsfreiheit R a b ∧ eb = 0 folgt. 

Wirkung und Feldgleichungen im Vakuum 

Für verschwindende kosmologische Konstante lautet die Wirkung im Vierbeinformalismus 

S[e,ω] = 1 

� 

16πG 

εabcde a ∧ e b ∧ R cd 

wobei R implizit vom Spinor-Zusammenhang ω abhängt. Die 4 Feldgleichungen lauten dann 

(9.27) 

εabcd e a ∧ R bc = 0 (9.28) 

Die Feldgleichungen lassen sich in eine traditionellere Form bringen durch Definition des Ricci- 

Tensors 

R a µ = R ab µνe ν b 

(9.29) 

und des Ricci-Skalars 

Damit erhält man 

R = R a µe µ a . (9.30) 

R a µ − 1 

2 Rea µ = 0. (9.31) 


Anhang: Symbole 

◦ Hintereinanderausführung 

∼= isomorph zu 

ιXω Kontraktion von X mit ω in der äußeren Algebra 

⊳ Normalteiler von 

⊕ direkte Summe 

⊗ Tensorprodukt (äußeres Produkt) 

⋆ Hodge-Stern-Operator 

∗ zum Dualraum gehörig 

♭ Isomorphismus V → V ∗ , Index senken 

♯ Isomorphismus V ∗ → V , Index heben 

× kartesisches Produkt 

∧ Keilprodukt (antisymmetrisches Tensorprodukt) 

A Vektorpotential des elektromagnetischen Feldes 

ART Allgemeine Relativitätstheorie 

C Kontraktion eines Tensors 

d Äußere Ableitung einer Differentialform 

D Kovariante äußere Ableitung einer Differentialform 

F Feldstärketensor des elektromagnetischen Feldes 

g metrischer Tensor 

g∗ metrischer Tensor im Dualraum 

g Determinante des metrischen Tensors 

G Newtonsche Gravitationskonstante 

J Stromdichte des elektromagnetischen Feldes 

O(n) Orthogonale Gruppe in n Dimensionen 

Pn 

Gruppe der Permutationen von n Objekten 

SO(n) Spezielle orthogonale Gruppe in n Dimensionen 

SRT Spezielle Relativitätstheorie 

s Vorzeichen der Determinante des metrischen Tensors 

ω Volumenform ⋆(1) 

Z2 Gruppe der Spiegelungen 

Zyklische Gruppe von n Objekten 

Zn 


Literaturverzeichnis 

[1] P. M. Schwarz and J. H. Schwarz, Special Relativity, Cambridge University Press, Cambridge, 

UK (2005) [TB Physik 750/UH 8200 S411] 

[2] H. Goenner, Spezielle Relativitätstheorie, Spektrum, Elsevier, München (2004) [TB Physik 

750/UH 8200 G595] 

[3] S. M. Carroll, Spacetime and geometry. An introduction to general relativity, Sean Carroll. 

San Francisco, CA, USA: Addison Wesley (2004) 

[4] T. Frankel, The geometry of physics : an introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 

UK (2004). 

[5] Ø. Grøn and S. Hervik, Einstein’s General Theory of Relativity, Springer, New York 

(2007). 

[6] J. B. Hartle, Gravity : an introduction to Einstein’s general relativity, Addison Wesley, San 

Francisco, CA, USA (2003). 

[7] C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Gravitation, Freemann, San Francisco 

(1973-2005) [UB UH 8500 M678] 

[8] M. Nakahara, Geometry, topology and physics, Taylor & Francis, Boca Raton, USA (2003) 

[9] T. Padmanabhan, Gravitation: Foundations and Frontiers, Cambridge University Press, 

Cambridge, UK (2010) [UB UH 8500 P123] 

[10] B. Schutz, Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press, 

Cambridge, UK (1980) 

[11] R. U. Sexl and H. K. Urbantke, Gravitation und Kosmologie, Spektrum Akad. Verlag, 

Heidelberg (2002) [20/UH 8500 S518(5)] 

[12] N. Straumann, General Relativity: With Applications to Astrophysics, Springer, New York 

(2004). 

[13] R. d’Iverno, Einführung in die Relativitätstheorie, WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2.Auflage 

(2009). 

[14] C. Rovelli, Quantum Gravity, Cambridge University Press, Cambridge, UK (2004). 

[15] V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, New York (1989). 

[16] H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic 

Press, New York (1963). 

[17] G. Lugo, Differential Geometry and Physics, Lecture Notes 2004, 


194 Index 

[http://people.uncw.edu/lugo/COURSES/DiffGeom/dg1.htm]. 

[18] B.-Y. Hou, Differential geometry for physicists, World Scientific, Singapore 1997. 

[19] W. Kühnel, Differentialgeometrie, 5.Auflage, Vieweg und Teubner Verlag, Wiesbaden 

2008. 


Index 

β-Zerfall 

inverser, 153 

p-Formen, 33 

Ätherhypothese, 73 

Überdeckung 

offene, 86 

äußere Ableitung, 55, 57 

äußere Algebra, 33 

äußere Potenz, 33 

1-Form, 16 

Abbildung 

antilineare, 9 

konjugiert-lineare, 9 

lineare, 9 

lineare faktorisierbare, 14 

mulilineare, 19 

semilineare, 9 

Ableitung 

äußere, 57, 103 

kovariante, 95, 114, 189 

kovariante partielle, 189 

koviariante, 97 

Assoziativgesetz, 3 

Atlas, 86 

Aufspann, 13 

Automorphismus, 5 

Bündelprojektion, 90 

Bais 

orthonormale, 25 

Basis 

duale, 18 

eines Vektorraums, 8 

orthogonale, 25 

Basisraum, 90 

Basistransformationen, 11 

Bewegungsgleichungen 

Hamiltonsche, 66 

Birkhoff-Theorem, 145 

Brennzyklen, 149 


Chandrasekhar-Masse, 152 

Christoffelsymbole, 97 

Dachprodukt, 31 

Darstellung, 8 

Diffeomorphismus 

passiver, 128 

Differential, 56 

verallgemeinertes, 56 

Differentiale, 49, 89 

infinitesimale, 48 

Differentialformen 

entartete, 55 

Dimensionssatz, 10 

direkte Summe, 12 

Druck, 136 

Dualraum, 16 

d’Alembert-Operator, 139 

Eichfeld, 112 

Eichfreiheit, 111 

Eichinvarianz, 71, 81 

Eichtheorie, 109 

Eichtransformation, 112 

Eigenzeit, 66, 70 

Einbettung, 85 

Einstein-Tensor, 132 

Endomorphismus, 5 

Energie-Impuls-Tensor, 132, 134 

exakt, 58 

Faktorgruppe, 4 

Faser, 90 

Faserbündel, 90 

Schnitt, 90 

Feldgleichungen im Vakuum, 132 

Fermidruck, 151 

Flächenstromdichte, 134

196 Index 

Fluid 

perfektes, 136, 165 

Fluide, 136 

Form 

symplektische, 67 

vektorielle, 62 

Freiheitsgrade 

intrinsische, 109 

Funktion 

differenzierbare, 88 

erzeugende, 69 

Funktionen 

auf Mannigfaltigkeiten, 88 

Gaußsche Normalkoordinaten, 157 

Geodäte, 92, 98 

geodätische Linie, 92 

Gleichung 

geodätische, 98 

Graßmann-Algebra, 33 

Gravitationsfeld 

schwaches, 138 

Gravitationsrotverschiebung, 146 

Gruppe, 3 

Abelsche, 3 

diskrete, 3 

kommutative, 3 

kontinuierliche, 3 

Gruppenhomomorphismus, 5 

Hamilton-Jacobi-Gleichung, 69 

Hamiltonsche Bewegungsgleichungen, 67 

Hamiltonsche Zwangsbedingung, 71 

Hauptreihe, 147 

Heliumstoffbrennen, 149 

Hertzsprung-Russell-Diagramm, 147 

Hodge-Dualität, 39, 41 

Hodge-Stern-Operator, 43 

Homöomorphismus, 85 

Homomorphismus, 5 

Impulsschale, 83 

Indices 

heben, 28 

senken, 27 

Inertialsystem, 77, 124 

Inflationstheorie, 166 

Intertialsystem, 126 

inverses Element, 3 

Isomorphismus, 5 

kanonischer, 27 

musikalischer, 27 

Jacobi-Indentität, 59 


Körper, 6 

Karte, 86 

Keilprodukt, 31 

Kerr-Metrik, 162 

Kodifferentialoperator, 60 

Kohlenstoffbrennen, 149 

Konjugation, 4 

Konstante 

kosmologische, 131 

Kontraktion, 18, 22 

Koordiantensystem, 50 

Koordinaten, 50, 91 

kanonische, 68 

Koordinatenbasis, 51, 91 

Koordinatensystem 

lokales, 86 

Koordinatentransformation, 87 

Kosmologische Prinzip, 165 

Koszul-Zusammenhang, 96 

Kotangentialbündel, 89, 90 

Kotangentialraum, 49, 89 

Kovektorraum, 16 

Krümmung 

intrinsische, 85 

Krümmungsskalar, 106 

Krümmungstensor, 105 

Kreisgruppe, 109 

Kreuzproukt, 39 

Kurven 

parametrisierte, 47 

Längenkontraktion, 76 

Ladungsstromdichte, 118 

Lagrangeformalismus, 66 

Leibniz-Regel, 48 

Lemma von Poincaré, 58 

Levi-Civitá-Symbole, 36 

Levi-Civitá-Zusammenhang, 97 

Lie-Algebra 

reduzible, 79 

Lie-Gruppe, 3 

Lie-Klammer, 59, 91, 105 

Linearform, 16

Index 197 

Linie 

Geodätische, 98 

geodätische, 96 

Lorentz-Algebra, 79 

Lorentz-Boosts, 77 

Lorentz-Gruppe, 77 

orthochrone, 78 

Lorentz-Transformation 

spezielle, 78 

Lorentztransformationen 

spezielle, 76 

Lorenz-Eichung, 140 

Luminosität, 147 

Mannigfaltigkeit 

abstrakte, 85 

analytische, 87 

differenzierbare, 87 

glatte, 87 

Mannigfaltikeit, 46, 85 

Masse, 83 

Maxwellgleichungen 

homogene, 116 

Menge 

offene, 86 

Metrik 

euklidische, 24 

Friedmann-Robertson-Walker,FRW-Metrik, 

166 

Lorentzsche, 26 

Riemannsche, 26 

Minkowskiraum, 77 

Multiplikatoren 

Lagrangesche, 81 

Multivektor, 32 

Nebenklasse, 4 

neutrales Element, 3 

no hair theorem, 163 

Normalteiler, 4 

Nullvektor, 55 

Nullvektorfeld, 55, 70 

Oppenheimer-Volkoff-Gleichung, 154, 155 

Oppenheimer-Volkoff-Grenzmasse, 153 

Orbit, 71 

Phasenraum, 67 

Planck-Masse, 152 


Poincaré-Gruppe, 78 

Poissonklammer, 68 

Polarkoordinaten, 50 

Potentialform , 58 

Prinzip 

heuristisches, 117 

Prinzip der kleinsten Wirkung, 66 

Produkt 

äußeres, 13, 31 

inneres, 24 

Produktvektoren, 13 

Protostern, 149 

Pseudometrik, 25 

Quabla, 139 

Quantenschleifengravitation, 111 

Quotientengruppe, 4 

Rahmen, 185 

Rahmenfelder, 185 

Rang 

einer linearen Abbildung, 10 

Rapidität, 76 

Raum 

pseudoeuklidischer, 166 

Raumzeit 

flache, 77 

Ricci-Tensor, 106 

Richtungsableitung, 46, 59, 89, 94 

rote Riesen, 149 

Rotverschiebung, 146 

Sagittarius A*, 163 

schließend, 58 

Schnitt, 91 

glatter, 90 

Schwarzes Loch 

primordiales, 163 

schwarzes Loch 

mittelschweres, 163 

stellares, 162 

supermassives, 163 

Schwarzschildlösungen, 143 

Schwarzschildmetrik 

äußere, 143 

innere, 154 

Schwarzschildradius, 145 

Selbstdualität, 45 

Signatur einer Metrik, 25

198 Index 

Skalarprodukt, 24 

Skalenparameter, 166 

Spaltenvektor, 8 

Spektraldarstellung, 187 

Spinor-Zusammenhang, 188 

Strukturkoeffizienten, 92, 105 

Summenkonvention, 18 

Symmetriegruppe, 3 

Tangentialbündel, 89, 90 

Tangentialraum, 48, 88, 89 

Tensor, 19 

metrischer, 24 

Rang, 19 

Stufe, 19 

Tensoralgebra, 24 

Tensoren 

faktorisierbare, 32 

gemischte, 19 

kontravariante, 19 

kovariante, 19 

separable, 32 

Tensorkomponenten, 14 

Tensorprodukt, 13 

Theorem 

Stokesches, 62 

Torsionstensor, 189 

Totalraum, 90 

Transformation, 11 

aktive, 11 

kanonische, 68 

lineare, 11 

passive, 11 

Untergruppe, 3 

Vektorbündel, 90 

Vektoren, 7 

Vektorfeld, 48, 90 

Vektorraum, 7 

dualer, 16 

Vektorraumbündel, 90 

Vektorraumhomomorphismen, 9 

Verjüngung, 18, 22 

Verlaufsfunktion, 81 

Vierbeinfelder, 185 

Viererimpuls, 82 

Viererimpulsdichte, 134 

Viererortsvektor, 82 

Vierervektoren, 77 

Voids, 165 

Volumenform, 37 


Wasserstoffbrennen, 149 

Weißer Zwerg, 150 

Weltlinie, 70, 135 

Wirkung, 71 

Wirkung des elektromagnetischen Feldes, 117 

Zeitdilatation, 76 

Zusammenhang, 95 

metrischer, 103 

Zusammenhangskoeffizienten, 96 

Zustandsgleichung, 137, 154, 155

Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

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