Themen der Ausgabe - Digitale Bibliothek Thüringen

38
jahr der mathematik
Primzahlen – eine alte und zugleich aktuelle Mathematik
Ein Thema zwischen Grundlagenforschung und Anwendung
Das Studium der Primzahlen ist von
jeher eine besondere Aufgabe mathematischer
Grundlagenforschung. Die
Gewinnung von Erkenntnissen über
die Natur der Zahlen galt stets mehr
als die praktische oder technische
Anwendbarkeit.
Prähistorischer Fund
Kerbholz: Der Zählstab diente zum
fälschungssicheren Zählen
Nach allgemeinem wissenschaftlichem
Verständnis über Jahrhunderte hinweg
bilden die Elemente von Euklid eine
erste umfassende Zusammenstellung
griechischen mathematischen Wissens
in einer stringenten Weise, die für die
nachfolgenden Wissenschaftsepochen
prägend wurde. Weniger bekannt sind
prähistorische Funde, wie z. B. der
„Ishango Bone“ (Royal Belgian Institute
of Natural Science), der mit seinen
eingeritzten Markierungen ein frühes
Zeugnis von strukturiertem Zahlenverständnis
gibt. Die drei Reihen von
asymmetrisch angeordneten Kerben legen
nahe, dass man Teilbarkeitsbeziehungen
erkannte und darstellen konnte
und dass zumindest eine erste Vorstellung
von Primzahlen bestand. Man da-
Mathematik: Alles was zählt im Wissenschaftsjahr 2008
tiert den Fund (Ishango ist ein Gebiet
zwischen dem heutigen Uganda und
Kongo) auf mindestens 20 000 v.Chr.
Systematische mathematische Begriffsbildung
Der Fund bezeugt außerdem, dass mathematisches
Denken sehr frühe Wurzeln
hat. In den Elementen des Euklid
von Alexandria (13 Bücher; ~ 300 v.
Chr.) im hellenischen Kulturraum fand
es seine erste mathematische Darstellung
in einem streng logischen Aufbau.
Die Basis für diesen logischen Aufbau
bildete das philosophische Werk von
Aristoteles.
Primzahlen in der Grundschulmathematik
Eine elementare Idee der Zahlentheorie
ist der Begriff der Teilbarkeit, der auf
den Primzahlbegriff führt. Das Thema
„Primzahlen“ bildet seit jeher ein herausforderndes
Forschungsgebiet für
Mathematiker. Euklid verstand unter
einer Primzahl diejenige Zahl, die nur
mit der Zahl „gemessen“ werden kann,
was in unserem Sprachgebrauch heißt,
dass sie nur durch und sich selber
teilbar ist (die Zahl hat schon Euklid
als einen Sonderfall betrachtet, denn
sie hat nur einen Teiler).
Beispiel einer mathematischen
Methode
Bereits Euklid erkannte, dass es unendlich
viele Primzahlen gibt (in seinem
Sprachgebrauch: Es gibt mehr
Primzahlen als
jede vorgelegte
Anzahl von Primzahlen),
und es
ist seit der Antike
eine noch ungelöste
Aufgabe, die
Aufzählung der
Primzahlen mit
Hilfe einer Formel
zu erfassen.
Eine aus der Antikeüberlieferte
Methode zur
Erstellung von
Primzahltabellen
ist das Sieb des
E r a t o s t h e n e s .
Dabei werden bei
festgelegter Zahlenschranke alle Primzahlen
bis zu dieser Schranke herausgesiebt,
indem beginnend mit der Zahl
2 alle Vielfachen gestrichen werden.
Auf diese Weise bleiben die Primzahlen
übrig.
Offene Fragen
In der elementaren Zahlentheorie lassen
sich viele Vermutungen und Fragen
recht unkompliziert formulieren, aber
selbst bei einigen Jahrhunderte alten
Vermutungen steht ein Beweis oder eine
Widerlegung noch immer aus. Einige
der bekanntesten offenen Fragen sind:
• Goldbach-Vermutung: Lässt sich jede
gerade Zahl, die größer als 2 ist, als
Summe zweier Primzahlen darstellen?
• Ist jede gerade Zahl die Differenz
zweier Primzahlen?
• Gibt es unendlich viele Primzahlen der
Form 2 n
2 + 1 (Fermatsche Primzahlen)?
• Liegt zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Quadratzahlen immer eine
Primzahl?
Primzahlen in der Grundschulmathe-
matik
Ist die Anzahl der Quadrate eine
Primzahl (hier: 3), so gibt es nur eine
mögliche Form für ein Rechteck:
3 = ∙ 3
□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □□
Die zusammengesetzte Zahl 2 entspricht
der Anzahl der Quadrate in
verschiedenen Rechtecken:
2 = ∙ 2
□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □
2 = 2 ∙ 6
□ □ □ □ □ □
□ □ □ □ □ □
2 = 3 ∙ 4
□
□
□
□
□ □