Gleichungen und Ungleichungen

ÄquivalenzumformungenGleichungen und UngleichungenZiel: Erreichen einer einfachen Gleichung der Form: x = c1. Äquivalenzumformung durch Addition/Subtraktion von Termen„Strichäquivalenzumformungen“Merke: Addiert oder subtrahiert man zum Links- und Rechtsterm einerGleichung/Ungleichung denselben Term(-wert), so ändert sich dieLösungsmenge nicht!⇔ 1T1= T2T ± T = T2±T2. Äquivalenzumformungen durch Multiplikation/Division von Termen„Punktäquivalenzumformungen“Merke: Multipliziert oder dividiert man den ganzen (!) Links- oderRechtsterm einer Gleichung/Ungleichung mit demselben Term (-wert)(ungleich Null), so ändert sich die Lösungsmenge nicht.Ausnahme: Inversionsgesetz bei Ungleichungen!T1= T2⇔ T1 ⋅T= T2⋅ T: T = T : T mit T ≠ 0 !⇔ T 12Empfohlenes Vorgehen zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen:1. Weitgehendstes Vereinfachen von Links- und Rechtsterm durchTermumformungen.Ziel: ax + b = cx + d2. Variable auf eine Seite („Strichäquivalenzumformungen“)„Rest“ auf die andere Seite („Strichäquivalenzumformungen“)Ziel: kx = m3. Letzte Äquivalenzumformung („Punktäquivalenzumformung“) :Multiplikation mit dem inversen Element: 1 k(statt Division!)Ziel: x = m k4. LösungsmengeMerke: Möglichst „Strich-„ vor „Punktäquivalenzumformung“ !

Beispiel: Gleichung ( G = Q )Beispiel: Ungleichung ( G = Q )2x + 5 – x = 1 – x - 8⇔ x + 5 = - x – 7 (1. Ziel erreicht!)⇔ x + 5 + x = - x + x – 7⇔ 2x + 5 = - 7⇔ 2x + 5 – 5 = - 7 – 5⇔ 2x = - 12 (2. Ziel erreicht!)1⇔ 2x × = - 12× 12 2⇔ x = - 6 ; (3. Ziel erreicht!)− 6L = { }⇔ -4x + 5 – 5 > 3 + 52x – 5 + x > 7x – 7 + 10⇔ 3x – 5 > 7x + 3⇔ 3x – 7x – 5 > 7x – 7x + 3⇔ -4x – 5 > 3⇔ -4x > 811⇔ x × (- ) < -8 × (- )44Inversionsgesetz!⇔ x < -2 ; L = { x | x < -2 }Interaktive Übungen zum Thema „Gleichungen“:http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/gleichungenloesen.htm(Es könne auch Übungsaufgaben erzeugt werden!)