Querkraftbemessung - Fachbereich Bauwesen - Hochschule ...

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4 Bemessung für QuerkraftI. Danielewicz4.1 EinführungIn der DIN 1045-1 Ausgabe Juli 2001 wurde ein einheitliches Nachweisverfahren zurQuerkraftbemessung von Stahlbeton- und Spannbetonbauteilen, für alle Schubbeanspruchungsartenund für alle Betonarten vorgeschlagen. Im Nachweisverfahren werdeneinwirkende und die widerstehende Kräfte verglichen. Sie werden wie in den bisherigenVerfahren prinzipiell an einem ebenem Fachwerk ermittelt. Die indirekte Nachweise übereinen Vergleich von Schubspannungen, wie sie die DIN 1045 1988 enthielt, finden keineAnwendung mehr. Eine von der Beanspruchungshöhe abhängige Neigung der Schubrisse gehtin die Bemessung explizit ein. Sie wird nicht mehr in Form von Schubbereichen verschlüsseltund trägt somit zum besseren Verständnis der zu führenden Nachweise bei.Die Regelungen zur Querkraftbemessung beinhalten keine Nachweise auf dem Niveau derGebrauchslasten. Eine rechnerische Begrenzung der Hauptzugspannungen oder der Breite derSchubrisse wird nicht gefordert. Darüber ob und wie viel Querkraftbewehrung einzubauen ist,entscheidet Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit und Regelungen zur baulichenDurchbildung.4.2 NachweisformatDer Nachweis der Querkrafttragfähigkeit ist für den Grenzzustand der Tragfähigkeit zuführen. Die Einwirkungen und die Widerstände gehen mit ihren Bemessungswerten ein. Dasallgemeine Nachweisformat lautet:VEd ≤ V Rd(1)V EdV RdBemessungswert der einwirkenden QuerkraftBemessungswert des Querschnittswiderstandes gegen QuerkraftFür den Bauteilwiderstand V Rd werden drei Bemessungswerte der Querkraft definiert, die denverschiedenen Brucharten und Versagensmechanismen entsprechen:V Rd,ctV Rd,stV Rd,maxaufnehmbare Querkraft eines längsbewehrten Bauteils ohneQuerkraftbewehrung,aufnehmbare Querkraft eines Bauteils mit Querkraftbewehrung,Begrenzung der Tragfähigkeit durch das Versagen der bis auf dieStreckgrenze beanspruchten Querkraftbewehrung (Zugstrebenversagen),aufnehmbare Querkraft bedingt durch die Tragfähigkeit des Stegbetons,Begrenzung der Tragfähigkeit durch das Versagen der Druckstrebe.Prof. Dr.-Ing. I. Danielewicz, Hochschule Magdeburg-Stendal, Fachbereich BauwesenIV-1

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftBei Einzellasten, die in einem Abstand x ≤ 2,5d vom Auflagerrand wirken, darf auf Grund derdirekten Lastabtragung der Einzellast über die Druckstrebe bei der Ermittlung der Schubbewehrungder Querkraftanteil aus der Einzellast mit dem Beiwert β abgemindert werden:xβ =(2)2,5 ⋅ dDie Bemessung zwischen linkem Auflager und Schnitt x erfolgt mit der abgeminderten Querkraft,rechts der Einzellast ist β = 1 zu setzen. Für die Bemessung der Druckstrebe darf keineAbminderung vorgenommen werden.xβ102,5dV Ed,links -für Druckstrebennachweisβ⋅V Ed,links - für QuerkraftbewehrungBild 2:Maßgebende Querkraft bei auflagernahen EinzellastBei Bauteilen mit veränderlicher Querschnittshöhe verlaufen die Druck- und Zuggurtkräfteaus Biegung nicht parallel zur Bauteilachse. Deren vertikale Komponenten wirken in Querkraftrichtung.Sie können den aufzunehmenden Bemessungswert der Querkraft vergrößernoder verringern. Die gleiche Auswirkung ergibt sich aus Anordnung von geneigten Spanngliedern.Die maßgebende Querkraft unter Berücksichtigung alle Querkraftkomponentenergibt sich zu:mit:VEd= V − V − V − V(3)Ed 0ccdtdpdV Ed Bemessungswert der einwirkenden QuerkraftV Ed 0 Grundbemessungswert der auf den Querschnitt einwirkenden QuerkraftV ccd Querkraftkomponente der Betondruckkraft parallel zu VEdVccd= ( Fcd+ Fs2d) ⋅ tanψo = ( M Eds / z) ⋅ tanψoV td Querkraftkomponente der StahlzugkraftF sd1parallel zu VEdVtd= Fsd1⋅ tanψu = ( M Eds / z + N Ed ) ⋅ tanψuV pd Querkraftkomponente der Spannstahlkraft Fpdim GZdTV = F ⋅ sinϕpdpdpIV-3

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.5 Bauteile mit QuerkraftbewehrungDie Querkraftbemessung biegebeanspruchte Bauteile mit Querkraftbewehrung erfolgt auf derGrundlage des Fachwerkmodells. Die schrägen Betonzähne und die Biegedruckzone stellendie Druckstreben des Fachwerkes dar, die Zugkräfte werden der Biegezug- und Querkraftbewehrungzugewiesen. Die Neigung der Querkraftbewehrung und die der Druckstreben darfim vorgegebenen Bereich frei gewählt werden.entnommen aus Leonhardt, Vorlesung über Massivbau Teil 1z⋅cotθz⋅cotαα Neigung der Schubbewehrungθ Neigung der DruckstrebeVc Breite der Zugstrebe F swdEdc´ Breite der Druckstrebe F cwdc´= c⋅sin θ = z(cotθ+cotα)⋅sin θs w Bügelanstand in LängsrichtungF cwd DruckstrebenkraftF swd ZugstrebenkraftF cwdF swdZugstrebe:F swd = V Ed /sinαF swd = a sw ⋅f ywd c =A sw /s w ⋅f ywd ⋅z(cotθ+cotα)V Ed ⋅ c/z IIDruckstrebe:F cdw = V Ed /sinθ [MN]F cdw = σ c b w ⋅c´=σ c b w ⋅z(cotθ+cotα)⋅sinθBild 5:Fachwerkmodell für Bauteile mit QuerkraftbewehrungDie DIN 1045-1 verlangt ein Nachweis der ausreichenden Tragfähigkeit der Zug- und derDruckstrebe des gedachten Fachwerkes:VEd ≤ V Rd ,syV Rd,sy =VEd ≤ V Rd ,maxV Rd,max =Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit bedingt durch dasVersagen der Schubbewehrung (Zugstrebennachweis)Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit bedingt durch dasVersagen des Beton auf Druck (Druckstrebenversagen)Mit den im Bild 5 dargestellten Beziehungen lassen sich die nachstehenden Gleichungen (6)und (8) aufstellen.IV-6

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftIn dem allgemeinen Fall der Bauteile mit geneigter Querkraftbewehrung ergibt sich für diegewählten Neigungswinkel α und θ die Querkrafttragfähigkeit V Rd,sy zu:AswVRd,sy = ⋅ f yd ⋅ z ⋅(cotθ+ cotα) ⋅ sinα(6)swDie einwirkende Querkraft V Ed wird voll der Schubbewehrung zugewiesen, V Ed = V Rd,sy . EinAbzugsglied für die Übertragung eines Teils der Querkraft über die Rissreibung wird hiernicht explizit berücksichtigt. Dies erfolgt über eine entsprechnde Neigung der Druckstebenach Glg. (10).Nach Gleichsetzen V Ed = V Rd,sy erhält man folgenden Ausdruck für den Querschnitt derQuerkraftbewehrung:aswAswVEd= =(7)s f ⋅ z ⋅(cotθ+ cot α ) ⋅ sinαwydmit A sw Querschnittsfläche der Querkraftbewehrungs w Abstand der geneigten Bewehrung in Richtung der Bauteilachsez Hebelarm der inneren Kraft: z = 0,9 ⋅d ≤ d - 2⋅c nom,Druckzoneα Neigung der Querkraftbewehrung gegen die Bauteilachseθ Winkel zw. Druckstrebe und Bauteilachse (θ ≥ θ Glg.10 )Die maximale, durch die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe bestimmte, aufnehmbare QuerkraftV Rd,max erhält man aus:cotθ+ cotαVRd ,max = bw⋅ z ⋅αc⋅ fcd⋅(8)21 + cot θmit α c =0,75 ⋅ η 1 Abminderung der Druckfestigkeit der Betonstrebe infolgeQuerzugbeanspruchung durch Bügelbewehrungη 1 siehe Erläuterung zu Glg. (5)22mit 1 /(1+ cot θ ) = sin θ ergibt sich V Rd,max zu:VRd ,max2( cotθ+ cotα) ⋅ sin θ= b ⋅ z ⋅α⋅ f ⋅(9)wDruckstrebenneigung:Bei niedrigen Beanspruchungen stellen sich in Stahlbetonbalken flachere Schubrisse undsomit auch Druckstrebenfelder als bei hohen Beanspruchungen ein. Eine flachere Druckstrebeergibt im Fachwerk geringere Zugpfostenkräfte und somit eine geringere erforderlicheSchubbewehrung als steile Druckstrebe. Die Entlastung der Zugpfosten bei niedrigerBeanspruchung wurde in der DIN 1045-88 durch die s.g. „verminderte Schubdeckung“ imSchubbereich 1 und 2 berücksichtigt. Im Schubbereich 3 -hohes Beanspruchungsniveau- warvolle Schubdeckung vorgeschrieben.In der DIN 1045-1 wird der Einfluß der Druckstrebenneigung bei der Bemessung explizitberücksichtigt werden. Die Neigung θ ist abhängig vom Verhältnis der Betonlängsspannungzu Betondruckfestigkeit (σ cd /f cd ) und vom Verhältnis des Betontragteils zur einwirkendenccdIV-7

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftBild 6:Zusammenhang zwischen Beanspruchungsniveau und DruckstrebenneigungBild 7 zeigt ein dimensionsloses Bemessungsdiagramm für lotrechte Bügelbewehrung fürBauteile ohne Längskräfte nach [8]. Eine Mindestbewehrung ist hier bereits berücksichtigt.Bild 7: Bemessungshilfe für Bauteile mit lotrechter Bügelbewehrung nach [8]IV-9

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.6 Anschluss von Zug- und Druckgurten an StegeBei stark gegliederten Querschnitten (Plattenbalken und Hohlkastenquerschnitten) werdenwesentliche Anteile der Gurtkräfte in die Flansche eingeleitet. Diese sind mit den Stegenschubfest zu verbinden. Die Größe der in einen Flansch eingeleiteten Druckkraft entspricht inetwa dem Flächenanteil des Flansches in der Druckzone, die Größe der Zugkraft dem Anteilder in den Flansch ausgelagerten Biegezugbewehrung.Die Modellierung der Kraftausbreitung in den Gurten erfolgt an einem räumlichen Fachwerk,Bild 8. Nachzuweisen ist, dass die Druckstreben und Zugpfosten des im Gurt liegendenFachwerkes die Beanspruchung aufnehmen können.2a va v∆M Ed∆M Eda vb eff,2b eff,1θ fDruckstrebe im StegDruckstreben im DruckgurtZugstrebenBild 8:Gurtfachwerk zur Modellierung der Krafteinleitung in den DruckflanschDie Längsschubkraft V Ed, die durch eine Fuge zwischen dem Steg und dem einseitigen Gurtübertragen werden muss, entspricht der in den Gurt eingeleiteten Längsdifferenzkraft ∆F d .Bei reiner Biegung wird ∆F d auf der Strecke zwischen Momentennullpunkt und Momentenhöchstwerteingeleitet und lässt sich für einen Druckgurt wie folgt ausdrücken:∆F d =∆MA M bEd c,Gurt Ed eff ,i∆ Fcd= VEd= ⋅ ≈ ⋅(15)z Az bDruckzoneA c,GurtA Druckzoneb eff,ib effFläche des einseitig angeschlossenen GurtesDruckzonenflächemitwirkende Breite des angeschlossenen FlanschesGesamtbreite der DruckzoneIV-10

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftDer bei dem Anschluss des Zuggurtes auftretende Längsschub lässt sich sinngemäß angeben:∆MAEd s1,Gurt∆F d = ∆ Fsd= VEd= ⋅(16)z AA s1,GurtA s1s1in den Gurt ausgelagerte Biegezugbewehrunggesamter Bewehrungsquerschnittb effb eff,1b wb eff,2a swA s1,GurtxddxBild 9:Bezeichnungen für Druck- und ZuggurtIm rechnerischen Nachweis des Anschlusses muss die Einleitung des Längsschubs innerhalbeiner Einleitungslänge a v von höchstens dem halben Abstand zw. Momentennullpunkt undMomentenhöchstwert nachgewiesen werden. a v entspricht der Länge des Bereiches auf demder Längsschub in etwa konstant bleibt.In der Bemessung wird ∆F d den aufnehmbaren Kräften gegenübergestellt, die (beiorthogonaler Gurtbewehrung) mit Hilfe der Gleichungen (12) bis (14), durch einsetzen b w = h fund z = a v , errechnet werden können.Hiermit ergibt sich:h f ⋅ av⋅αc ⋅ f cdVRd ,max =cotθ+ tanθ(17)näherungsweise: cotθ = 1,2 für Druckgurte,cotθ = 1,0 für ZuggurteAswVRd,sy = ⋅ f yds⋅ z ⋅ cotθ(18)wbzw.aswAswVEd= =(19)s f ⋅ a ⋅ cotθwydvdDie Bewehrung soll gleichmäßig auf die Ober- und Unterseite des Flansches verteilt werden.Die Norm erlaubt die volle Anrechnung der Querbiegebewehrung des Flansches auf dieBewehrung zur Aufnahme der Gurtanschlusskräfte.Bei einer genaueren Berechnung kann die Neigung der Druckstrebe θ f des im Flansch liegendenFachwerkes (θ in Glg. (17) - (19)) mit Hilfe der Gleichung (10) ermittelt werden. HierbeiIV-11

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.7.2 Schubbeanspruchung in der FugeDie über die Fuge zu übertragende Schubkraft pro Längeneinheit ergibt sich aus:FcdjVEdν Ed = ⋅(20)Fcdzdabei ist:MF cd = Ed die gesamte Gurtlängskraft infolge Biegung in dem betrachteten SchnittzF cdj die über die Fuge zu übertragende Gurtlängskraft infolge Biegung(liegt die Druckzone vollständig jenseits der Fuge, gilt F cdj = F cd )4.7.3 Fugen ohne VerbundbewehrungBei niedriger Beanspruchung der Schubfuge und ausreichender Fugenrauigkeit, kann auf dieVerbundbewehrung (auch auf konstruktive Bewehrung) in der Fuge verzichtet werden.Die Schubtragfähigkeit der Fuge ohne Verbundbewehrung v Rd,ct ergibt sich aus einemHaftverbund- und Rissreibungsanteil und wird nach Glg. (21) wie folgt ermittelt:vRd ,ct3[ 0,042 ⋅ ⋅ β ⋅ f] 1 / − µ ⋅ ⋅ b= η σ(21)1ctckNdmitη 1 = 1 für Normalbetone, für Leichtbetone siehe Glg. (5)β ct Rauigkeitsbeiwert nach Tabelle 1f ck charakteristische Betondruckfestigkeit des Ortbetons oder des Fertigteils,der kleinere Wert ist maßgebendµ Reibungsbeiwert nach Tabelle 1σ Nd Normalspannung senkrecht zur Fuge (als Druckspannung negativ)nEdσ Nd =b≥ −0,6fcd[MN/m 2 ]n Ed unterer Bemessungswert der Normalkraft senkrecht zur Fuge (vgl. Bild 11)b die Breite der KontaktflächeWirkt senkrecht zur Fuge eine Zugkraft, so ist bei glatten und rauen Oberflächen derRauigkeitsbeiwert β ct zu Null zu setzen.Tabelle 1: Beiwerte β ct und µOberfläche β ct µverzahnt 2,4 1,0rau 2,0 0,7Glatt 1,4 0,6Sehr glatt 0 0,5IV-13

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.7.4 Fugen mit VerbundbewehrungKann auf die Verbundbewehrung in der Fuge nicht verzichtet werden, muss sie die gesamteBeanspruchung aufnehmen. Eine Entlastung infolge Reibung darf hierbei berücksichtigtwerden.σ NdF cdwαµ⋅σ Nd ⋅bσ cdθv RdF sdwBild 12:Fachwerkmodell für den Nachweis der SchubfugeDie in der Verbundbewehrung auftretenden Kräfte können anhand des Fachwerkes im Bild 12ermittelt werden.v = a ⋅ f ⋅(cotθ + cotα) ⋅ sinα− µ ⋅σ⋅ b(22)Rd ,sysydoder direkt die erforderliche Verbundbewehrung:v Ed − µ ⋅σNd ⋅ bas= (23)f ⋅(cotθ+ cotα) ⋅ sinαydmit α Winkel der die Fuge kreuzenden Bewehrunga s Querschnittsfläche der Verbundbewehrung je LängeneinheitDie Druckstrebenneigung θ ist in dem durch Glg. (24) vorgegebenen Bereich zu wählen1,2µ− 1,4 ⋅σcd / fcd1,0 ≤ cotθ ≤≤ 3 für Normalbeton1 − vRd ,ct / vEd≤ 2 für Leichtbetone(24)mit v Rd,ct nach Glg. (21) undσ cd Längsnormalspannung parallel zur Fuge im Gesamtquerschnitt (Heft 525)Die nach Gleichung (23) ermittelte Verbundbewehrung darf bei biegebeanspruchten Bauteilenentsprechend dem Verlauf der Schubkraftlinie abgestuft werden. Die Länge des Einschnittesin die Verbundkraftlinie l E sollte l E = 0,5⋅cotθ ⋅ d nicht überschreiten, wobei einFlächenausgleich innerhalb von 2l E erfolgen muss. Bei Bauteilen unter Scheibenbeanspruchungdarf sie konzentriert an den Enden der Fuge angeordnet werden.Ndv Eda s ⋅f yd (cotθ + cotα)⋅sinα-µ⋅σ Nd ⋅bBild 13:Schubkraftlinie und Verteilung der VerbundbewehrungIV-14

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.8 Schubübertragung über Fugen rechtwinklig zur Systemachse (Arbeitsfugen)Eine rechtwinklig zur Systemachse angeordnete Fuge wirkt sich ähnlich wie ein Biegerissaus. Die Querkraftnachweise können daher grundsätzlich nach Glg. (5) bis (11) erfolgen. BeiFugen geringerer Rauhigkeit (siehe β ct in Tab. 1) ist der Betontragteil bei Querkraftübertragungentsprechend kleiner. Im Heft 525 [7] wird empfohlen, die Schubtragfähigkeit desQuerschnittes ohne Querkraftbewehrung V Rd,ct nach Glg. (5) und die vertikale Komponenteder Rissreibungskraft V Rd,c nach Glg. (11) im Verhältnis β ct,vorh /2,4 abzumindern. Bei Bauteilenmit Querkraftbewehrung ist die Abminderung mindestens bis zum Abstand vonl e = 0,5⋅ cotθ ⋅ d beiderseits der Fuge vorzunehmen.4.9 Konstruktionsregeln für querkraftbewehrte BauteileIm Bezug auf die Ausbildung, Anordnung, Schließung der Bügelbewehrung und sonstigenSchubzulagen entsprechen die neuen Regelungen den bekannten Grundsätzen der DIN1045/88. Sie werden hier vollständigkeitshalber wiederholt. Veränderungen ergeben sich imBezug auf die Mindestbewehrung und die einzuhaltenden Bügelabstände (4.9.2 und 4.9.3).4.9.1 QuerkraftbewehrungDie Querkraftbewehrung soll mit der Schwerlinie des Bauteils einen Winkel von 45° bis 90°bilden. Sie darf aus der Kombination folgender Bewehrungen bestehen:- Bügeln, die Längsbewehrung und die Druckzone umfassen- Schrägstäben,- Schubzulagen wie Leiter und Körber, die die Längsbewehrung nicht umschließen.Bei Balken dürfen Schrägstäbe und Schubzulagen nur zusammen mit Bügeln verwendetwerden. Die Bügelbewehrung muss dabei mindestens 50% der erforderlichen Schubbewehrungsflächeausmachen.Bild 14:Beispiel für Kombination von Bügeln und Querkraftzulagen.IV-15

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftDas Bild 15 enthält die Regelungen zur Schließung der Bügelbewehrung in der Druck- undZugzone. Die Verankerungselemente in der Druckzone müssen zwischen dem Schwerpunktder Druckzone und dem Druckrand angeordnet werden, in der Zugzone möglichst nah amZugrand. Die Bügeln müssen die Zugbewehrung umschließen.4.9.2 MindestbewehrungZur Vermeidung des Schubversagen ohne Ankündigung ist bei stabförmigen Bauteilen eineMindestquerkraftbewehrung anzuordnen. Der Bewehrunggrad ergibt sich aus der Forderung,dass die Schubrisslast des Betonquerschnittes mit einfacher Sicherheit von Mindestbewehrungaufgenommen werden muss. Bei Platten (b/h > 5) ohne statisch erforderlicherQuerkraftbewehrung kann aufgrund derren Umlagerungsmöglichkeiten auf dieMindestbewehrung verzichtet werden. Eine lokale Schwächung der SchubtragfähigkeitDie Mindestbewehrung für Balken wird über den geometrischen Bewehrungsgehalt min ρ wdefiniert. Der vorhandene Bewehrungsgehalt ρ w darf min ρ w nicht unterschreiten.ρw= Asw≥ min ρ ws ⋅ b ⋅ sinα= 1,0⋅ ρ nach Tabelle 2 (25)wwf ck [MN/m 2 ] 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100ρ [ o / oo ] 0,51 0,61 0,7 0,83 0,93 1,02 1,12 1,21 1,31 1,34 1,41 1,47 1,54 1,6 1,66für Leichtbetone müssen die ρ - Werte mit Faktor η 1 (vgl. Glg. (5)) multipliziert werdenTabelle 2: Grundwerte ρ der MindestbewehrungDie Mindestschubbewehrung im Übergangsbereich zwischen Balken (b/h ≤ 4) und Platte(b/h ≥ 5) ist gesondert geregelt.Im Bereich 5 > b/h > 4 ist eine Mindestbewehrung erforderlich, die:- bei Platten ohne rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrungzwischen dem nullfachen und dem einfachen Wert,- bei Platten mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung (V Ed > V Rd,ct )zwischen dem 0,6fachen und dem einfachen Wertder Mindestbewehrung nach Glg. (25) interpoliert werden darf.Die Mindestdicke einer querkraftbewehrten Platte ist auf 160 mm begrenzt. (Der Eurocodelegte hierfür eine Mindestplattendicke von h = 200 mm fest).IV-16

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.9.3 Bügelabstände bei stabförmigen BauteilenDie Abstände der Bügelschenkel in Bauteillängs- und Querrichtung sind abhängig von derBeanspruchungshöhe die über den Quotienten der Einwirkung V Ed und maximalen aufnehmbarenQuerkraft V Rd,max nach Glg. (10) ausgedrückt wird. Die zulässigen Werte sind in derTabelle 3 angegeben.Tabelle 3: Größte Längs- und Querabstände s max von Bügelschenkeln und Querkraft-Zulagen für Balken4.9.9 Abstände der Querkraftbewehrung bei PlattenIn Platten mitV Ed ≤ 0,30 V Rd,maxV Ed > 0,30 V Rd,maxdarf die Querkraftbewehrung vollständig aus Schrägstäben oderQuerkraftzulagen bestehenmuss mindestens die Hälfte der Querkraftbewehrung aus Bügelnbestehen.Für den größten Längs- und Querabstand von Bügeln gilt:a) in Längsrichtung:- für V Ed ≤ 0,30 V Rd, max s max = 0,7 h- für 0,30 V Rd, max ≤ V Ed ≤ 0,60 V Rd, max s max = 0,5 h- für V Ed > 0,60 V Rd, max s max = 0,25 hb) in Querrichtung:Der größte Längsabstand von Schrägstäben ists max = hs max = hIV-17

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftBild 15: Verankerungen und Schließen von Bügeln [7]IV-18

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.10 Schubübertragung in Fugen bei Verwendung von Gitterträgern4.10.1 AllgemeinesBei der bauaufsichtlichen Einführung der DIN 1045: 2001.07 wurde ein Mischungsverbotausgesprochen, wonach das komplette Tragwerk entweder nach neuem oder nach altemNormwerk zu planen und auszuführen ist. Die Grundlage für die bauaufsichtliche Zulassungfür Gitterträger ist jedoch die DIN 1045: 1988-07, so dass bei der Planung nach dem neuenNormwerk die Gitterträger nicht verwendet werden dürften. Um deren Verwendung zuermöglichen, wurden bestehende Gitterträger-Zulassungen entsprechend erweitert [9]. Dienachstehend beschriebenen Festlegungen sind zeitlich beschränkte Übergangsregelungen, dieihre Gültigkeit bis zur vollständigen Umstellung der allgemeinen bauaufsichtlichenZulassungen für Gitterträger auf DIN 1045: 2001-07 behalten. Im Rahmen dieses Aufsatzeswird nur auf die Regelungen für Gitterträger in Elementdecken unter vorwiegend ruhenderBelastung eingegangen.4.10.2 Schnittgrößenermittlung und BetonstahleigenschaftenBei Verwendung von Gitterträgern dürfen die Schnittgrößen nur nach elastischen Verfahren,gegebenenfalls mit anschliessenden Schnittgrößenumlagerung, ermittelt werden. Verfahrender Plastizitätstheorie sowie nicht lineare Verfahren sind zumindest bis zur komplettenUmstellung der Zulassungen nicht erlaubt.Bei Ausführung von zweiachsig gespannten Platten ergeben sich unterschiedliche statischeHöhen für die im Fertigteil und im Ortbeton liegenden Bewehrungslagen. Dieser Unterschieddarf bei der Schnittgrößenermittlung außer Acht gelassen werden, wenn der lichte Abstandder beiden Längsbewehrungslagen geringer als 5 cm oder h/10 beträgt (der größere Wert istmaßgebend).Die Drillsteifigkeit der Platten kann bei Schnittgrößenermittlung in Ansatz gebracht werden,wenn im Bereich der Drillmomente (0,3l x x 0,3l x von Plattenecke) keine Stoßfuge derFiligranplatten angeordnet wird oder wenn die Fuge durch eine Verbundbewehrung imAbstand von maximal 100 mm vom Fugenrand gesichert wird. Die Aufnahme derDrillmomente ist rechnerisch nachzuweisen.Glatte und profilierte Betonstähle dürfen rechnerisch als Biegezugbewehrung nicht angesetztwerden. Der Grund hierfür sind die gegenüber den Rippenstahl schlechterenVerbundeigenschaften und damit verbundenen Rissbreiten, die durch Konstruktionsregeln derDIN 1045-1 nicht abgedeckt sind.Der Bemessungswert der Streckgrenze für Schubbewehrung aus Stählen mit glatterOberfläche ist anzusetzen mit:4202f yd = = 365MN / m1,15IV-19

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.10.3 MontagestützweitenDie in Zulassungsbescheiden angegebenen Montagestützweiten sind weiterhin gültig. Zubeachten ist, dass die in den Zulassungen angegebenen Schnittgrößen für Gebrauchslasten mitγ F = 1 gelten.4.10.3 Biegebemessung und BewehrungsstößeBei Fertigteilen mit Ortbetonergänzung muss der Aufbeton eine Mindeststärke von 50 mmausweisen. Die Besonderheiten bei der Schnittgrößenermittlung wurden bereits unter 4.10.2angesprochen. Die Biegebemessung wird für einen monolithischen Querschnitt durchgeführt.Die statische Höhe ist entsprechend der Lage der Biegezugbewehrung anzupassen.Bei einachsig gespannten Decken darf die Querbewehrung auf der Filigranplatte aufgelegtwerden. Bei zweiachsig gespannten Platten darf selbstverständlich nur die über die Fugendurchlaufende Biegezugbewehrung als statisch wirksam betrachtet werden. Hieraus ergibtsich die Notwendigkeit der Ausbildung von Tragstößen für die im Fertigteil und in derOrtbetonergänzung liegende Biegezugbewehrung. Da einige Randbedingungen eines„normalen“, im Ortbetonquerschnitt ausgeführten Tragstoßes bei Elementdecken nichteingehalten werden können, ( Abstand a > 4∅ s , Fuge zwischen Bewehrungslagen, ein Zwei-Ebenen-Stoß) wurden in der DIN 1045-1 (13.4.3) diese Tragstöße gesondert geregelt.- im Stoßbereich ist der erforderliche Bewehrungsquerschnitt a sy ≤ 10cm 2 /m- Durchmesser der Biegezugbewehrung ist ∅ s ≤ 14mm- Querkraft an der Fuge ist:v Ed < 0,15 v Rd , max (in DIN 1045-1 z.Z fälschlicherweise 0,5 v Rd , max )- Stoßbereich ist beidseitig der Fuge durch biegesteife Querbewehrung gesichert- Abstand der Querbewehrung ( Gitterträger) ist a q ≤ 2h- Querschnitt der Querkraftbewehrung ist für die Zugkraft der Längsbewehrungbemessen.Die Anordnung der Gitterträger als biegesteife Querbewehrung ist im Bild 16 dargestellt. DieGitterträger im Bild 16-unten müssen einen Querabstand von ebenfalls 2⋅h aufweisen (im Bildnicht darstellbar).Stoß senkrechtzum GitterträgerStoß parallelzum Gitterträger1 Fertigteilplatte2 Ortbeton3 Längsbewehrung4 Querbew. im Fertigteil5 Querbew. Stoßzulage6 Gitteträger7 Längsbew. StoßzulageBild 16:Tragstöße bei zweiachsig gespannten PlattenIV-20

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.10.3 QuerkraftbemessungVerbundbewehrungBei Platten ohne statisch erforderliche Querkraftbewehrung v Ed < v Rd,ct (siehe Glg.(5)) musszusätzlich die Schubübertragung in der Fuge zwischen Fertigteil und Ortbetonergänzungüberprüft werden. Der Nachweis erfolgt mit Hilfe der im Kapitel 4.7 zitierten Gleichungen(21) bis (24). Auf der sicheren Seite liegend kann hier von einer „glatten“ Fuge ausgegangenwerden. (Die Bemessungshilfen der Hersteller werden in der Regel mit Parametern der„glatten“ Fugen erstellt).Ist eine Verbundbewehrung erforderlich, müssen die Gitterträger in Ortbeton so weiteinbinden, dass zwischen der Gurtunterkante und Oberkante Fertigteil ein Abstand vonmindestens 2 cm verbleibt. Die Abstände der Gitterträger untereinander sind bei einachsiggespannten Platten auf maximal s q,max = 75 cm begrenzt. Bei zweiachsig gespannten Plattenmit Bewehrung im Fertigteil beträgt der maximale Gitterträgerabstand s q,max 2facheDeckenstärke. Liegt die Biegezugbewehrung der Querrichtung im Ortbeton, ist für dieseRichtung keine Verbundbewehrung erforderlich. Der maximale Abstand der Gitterträger zumPlattenrand ist auf 37,5 cm begrenzt.QuerkraftbewehrungIm Bereich v Ed > v Rd,ct (siehe Glg.(5)) ist eine Querkraftbewehrung erforderlich. Werden zurQuerkraftaufnahme nur die Diagonalen der Gitterträger angesetzt, so ist der Bemessungswertder Querkraft generell zu begrenzen auf:v Ed ≤ 0,25⋅ v Rd,max (26)Im Bereich negative Momente wird weiter zwischen zwei Einbausituationen unterschieden:bei v Ed ≤ 0,125⋅ v Rd,max darf der Obergurt der Gitterträger unterhalb, dieobere Längsbewehrung oberhalb der Querbewehrungangeordnet werdenbei v Ed > 0,125⋅ v Rd,max muss der Obergurt der Gitterträger in gleicher Lagewie die Längsbewehrung liegen, wobei die Querbewehrungüber der Längsbewehrung liegen darf.QuerbewehrungBild 16:Gitterträgerhöhen bei Anwendung als Querkraftbewehrung:links v Ed ≤ 0,125⋅ v Rd,max,rechts 0,25⋅ v Rd,max > v Ed > 0,125⋅ v Rd,maxIV-21

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftWie im Kapitel 4.5 ausgeführt, beeinflußt die Neigung der Querkraftbewehrung α dieTragfähigkeit der Druckstrebe v Rd,max , (vgl. Glg. (8)). So erhält man für ein und dieselbeDruckstrebenneigung von z.B. θ = 45° für geneigte Schubbewehrung mit α = 45° doppelt sohohen v Rd,max ,-Wert als bei senkrechter Schubbewehrung mit α = 90°. Eine einfacheMittelung der v Rd,max ,-Werte zur Bestimmung der Obergrenze der zulässigenQuerkraftbeanspruchung nach Glg. (26) ist jedoch nicht zulässig. Da eindeutige Regelungenfür Bauteile mit unterschiedlicher Neigung der Schubbewehrung in der DIN 1045-1 nichtenthalten sind, wurde eine entsprechende Ergänzung für Gitterträger zwingend erforderlich.Die unterschiedliche Neigung der anzurechnenden Bewehrungsstäbe der Gitterträger kann beiErmittlung von v Rd,max und v Rd,sy nach Glg.(6) und Glg.(8) durch eine lineare Wichtung derQuerkrafttragfähigkeiten unter Berücksichtigung eines gleichbleibenden Druckstrebenwinkelsθ erfasst werden. Dabei ist folgende Bedingung zu beachten:mit∑VRd ,sy, αiVRd ,max, αVRd ,sy,VRd ,max,ii≤ 1α = Querschnittstragfähigkeit (Stahl) für Bewehrungsneigung α i nach Glg.(6)i(27)α = Querschnittstragfähigkeit (Druckstrebe) bei Bewehrungsneigung α i Glg.(8)Die oben beschriebene Begrenzung der einwirkenden Querkraft nach Glg. (27) ist weniganwenderfreundlich. In [6] wird eine Auswertung für Standardgitterträger vorgenommen.Danach ist v Ed < 0,175 v Rd,max,α=45° einzuhalten. v Rd,max ist hier mit θ = 45° und α = 45° zuermitteln. Die Gitterträger bestehen aus senkrechten Pfosten und Diagonalen mit gleichenQuerschnittsflächen.Längs und Querabstände der QuerkraftbewehrungDie maximalen zulässigen Längsabstände der Gitterträgerdiagonalen ergeben sich auf derGrundlage der Fachwerkanalogie zu:s l,maxmit= (cotθ + cot α ) ⋅ z ≤ 25cm(28)z = 0,9d ≤ d - 2c nomc nom = Betondeckung der Längsbewehrungder Druckzonez⋅cotθz⋅cotαDie Querabstände der Gitterträger für einachsig gespannte Decken sind wie folgt geregelt:bei Deckenstärken ≤ 40 cmbei Deckenstärken > 40 cms q,max= (cot θ + cot α ) ⋅ z ≤40cmsq,max= (cotθ + cot α ) ⋅ z ≤ 80cm ≤ hDeckeIV-22

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftFür zweiachsig gespannte Platten gilt für die Querrichtung:bei Deckenstärken ≤ 40 cms q,maxs q,max= (cot θ + cot α ) ⋅ z ≤≤ 2 ⋅ h40cmEs ist zu beachten, dass in zweiachsig gespannten Platten für die beiden Tragrichtungengegebenenfalls unterschiedliche Neigungen der Druckstrebe zu berücksichtigen sind.Literatur[1] DIN 1045-1 Ausgabe Juli 2001Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton Teil 1: Bemessung und Konstruktion.[2] DIN 1055-100 Ausgabe März 2001Einwirkungen auf Tragwerke. Teil 100: Grundlagen der Tragwerksplanung,Sicherheitskonzept und Bemessungsregeln.[3] DIN V ENV 1992-1: Eurocode 2: Planung von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken.Teil 1-1: Grundlagen und Anwendungsregeln für den Hochbau.[4] Zilch, K; Rogge, A.: Bemessung der Stahlbeton- und Spannbetonbauteile nach DIN1045-1. Betonkalender 2000, Teil 1.[5] Leonhardt, F.: Vorlesung über Massivbau, Teil 1, Grundlagen[6] Furche, J; Bauermeister: Elementdecken mit Gitterträgern nach neuer DIN 1045-1BFT Beton + Fertigteil-Technik August 2004[7] Heft 525 DAfStb Erläuterungen zu DIN 1045-1 1. Auflage, September 2003[8] Reineck, K.-H.: Hintergründe zur Querkraftbemessung nach DIN 1045-1 für Bauteileaus Konstruktionsbeton mit Querkraftbewehrung. Bauingenieur 76 (2001) H. 4[9] Verwendung von Gitterträgern nach bestehenden Zulassungen in Bauteilen nach DIN1045-1, Übergangsregelungen, Aus der Arbeit der Sachverständigenausschüsse, SVA B„Bewehrungselemente“, V. Häusler, T. Schellenberg, 2004IV-23

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftIV-24

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.11 Rechenbeispiel zur QuerkraftbemessungNachstehend werden Querkraftnachweise für das im Kap. III dargestellte System geführt. DieBerechnung wird um die Nachweise für die Stahlbetondecke erweitert. Um alle maßgebendeQuerkraftnachweise im Rahmen eines Beispiels zeigen zu können, wird für das Deckensystemein folgender Bauablauf angenommen:- die Decke wird als Elementplatte mit Ortbetonergänzung ausgeführt- der Steg des Unterzuges ist ein Fertigteil .470Ortbetonergänzung h=12 cmBeton C20/25, Stahl S500Elementplatte h = 6cmBeton C25/30, Stahl S500Steg-Fertigteil b/h=30/52 cmBeton C25/30, Stahl S500Das Beispiel ist wie folgt gegliedert:4.11.1 Deckenbemessung4.11.1.1 Belastung, statisches System und Schnittgrößen4.11.1.2 Biege- und Querkraftbemessung der Decke als Ortbetonquerschnitt4.11.1.3 Ausführung der Decke als Elementplatte mit Ortbetonergänzung4.11.1.4 Bemessung mit Gitterträgern4.11.2 Unterzug4.11.2.1 System, Schnittgrößen und Vorwerte4.11.2.2 Bemessung für Querkraft4.11.2.3 Anschluß von Zug- und Druckgurten an Stege4.11.2.4 Nachweis der Schubfuge zwischen Steg und Gurt4.11.1 Deckenbemessung4.11.1.1 Belastung , statisches System und SchnittgrößenBelastungcharakteristische WerteDIN 1055 T1Eigengewicht Decke g EG = 0,18⋅25 = 4,5 kN/m 2Ausbau ∆g EG = = 1,5 kN/m 2= 6,0 kN/m 2Verkehrslast (Versammlungsraum) q =3,5 kN/m 2 DIN 1055-100Bemessungswerte der Lastenständige Last g d = g k γ G = 6⋅1,35 = 8,1 kN/m 2veränderliche Last g d = g k γ Q = 3,5⋅1,5 = 5,25 kN/m 2 DIN 1045-1 5.3.3 Tab. 1IV-25

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftStatisches System:DIN 1045-1 7.3.1 (6)Einachsig gespannte Durchlaufplatte über 8 Felder. Im Rahmen desBeispiels wird nur ein Innenfeld bemessen.Effektive Spannweiten:RandfeldInnenfeldl eff = 3,75m (Vorgabe)l = 2 ⋅ a + l = 2 ⋅ 0,15 + 4 7,eff 1 n=5,0 mBetondeckungDIN 1045-1 6.2 Tab. 3DIN 1045-1 6.3 Tab. 4DIN 1045-1 11.3.2 (2)keine Trennwände vorh.DIN 1045-1 11.3.2 Tab. 22Berechnung mit InfoGraphModul: Ebene StabwerkeUmgebungsklasse für Bewehrungskorrosion XC1 trockenc min = 10 mm∆c = 10 mmc nom = 20 mmErforderliche DeckenstärkeliMit der zulässigen Schlankheit zul λ = ≤ 35derhält manfür Randfeld: l i = 0,8 ⋅ 3,75 = 3m und erf d ≥ 3,0 / 35 = 8,6 cmfür Innenfeld l i = 0,6 ⋅ 5,0 = 3m und erf d ≥ 3,0 / 35 = 8,6 cm .Mit c nom = 20 mm und dem Durchmesser der Bewehrung d s = 10mmergibt sichvorh h = 18 cm > erf h = 8,6 cm + 2,0 cm + 0,5cm = 11,1 cm .Schnittgrößenermittlung (die Bemessung erfolgt nur für ein Innenfeld)Die Schnittgrößen wurden für einen 8 Feldträger elektronisch ermittelt.Dargestellt werden nur die Schnittgrößen des Innenfeldescharakteristische Werte E kBemessungswerte E dDIN 1045-1 8.2linear-elastische Berechnungohne SchnittgrößenumlagerungM gkM qkM (g+q)dBiegemoment inf. g kBiegemoment inf. q kBemessungsmomentV gkV qkV (g+q)dQuerkraft inf. g kQuerkraft inf. q kBemessungsquerkraftIV-26

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.11.1.2 Biege- und Querkraftbemessung der Decke(Ortbetonquerschnitt)DIN 1045-1 10Vorwerte für die BemessungQuerschnitt b/d/h = 100/15,5/18 cm2Beton C20/25 f = 20 MN / mckf ck 202f cd = α ⋅ = 0,85 = 11,3 MN / mγ c 1,5Betonstahl S500M2f = 500 MN / m ; f = 525 MNyktk ,cal/ m2DIN 1045-1 9.1.7 Tab. 9DIN 1045-1 9.1.6 Glg. (67)5.3.3 Tab. 1DIN 1045-1 9.2.2 Tab. 11f yk2f = = 435 MN / m ;γydsftk ,calγs=5251,15= 457 MN/ m2DIN 1045-1 9.2.4 (3)5.3.3 Tab. 1Bemessung für FeldquerschnittmµEd= mG⋅ γG+ mQ⋅ γQ= 6 ,27⋅1,35 + 7,23⋅1,5= 19,31kNm / mm=b⋅d0,0193=21⋅0,155⋅11,33EdsEds =2⋅ fcdo= 0,0739 ε s 1 = 25 / σ sdω , ooerfa1( ω ⋅ b ⋅ d ⋅ f )=0,071= f / γ = 457 MNtk ,cals1= cdσ sd=1 0,0739 ⋅ 1⋅0,155 ⋅ 11,33 ⋅ 104 = 2,83 cm2457gewählt unten: Lagermatte R 335 ABemessung für Stützquerschnitt( ) / ms/ m2DIN 1055-100DIN 1045-1 5.3.3 Tab. 1DIN 1045-1 9.2.4 Bild 27Linie 2Bemessung mit µ Eds -Tafel ausSchneider Bautab. 14. Auf.mEd= mG⋅γ+ mGQ⋅γQ= 6 ,27⋅1,35 + 7,23⋅1,5= 31, 77 kNm / mDIN 1055-100DIN 1045-1 5.3.3 Tab. 1Bemessungsmoment am Anschnitt des Unterzugesam ≈ m − v ⋅ a / 2 = 31 , 77 − 35, 75 ⋅ 0,3 / 2 = 26,41kNm / mEdEdEdMindestwert für das Stützmoment:1 2min mEd= 0,65 ⋅ pd⋅ ln=121= 0,65⋅( 8,1 + 5,25) ⋅4 7,2 = 15,98 kNm / m < 26,4112Bemessung erfolgt mit m Ed = 26,41 kNm/mDIN 1045-1 7.3.2 (3)Decke ist mit dem Unterzugmonolithisch verbundenDIN 1045-1 8.2 (5)65% Starreinspannungjedoch mit l nettoIV-27

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraftµm=b ⋅ d0,0264=21 ⋅ 0,155 ⋅ 11,33EdsEds =2⋅ f cd0,0972ω = 0,1023ξ = 0, 127 x = 0,127 ⋅ 15,5 = 2 cmς = 0,947 z = 0,947 ⋅ 15,5 = 14 7, cmε s 1 = 242/ oo σ sd = 456 MN / merfa1=45642( 0,1023 ⋅ 1⋅0,155 ⋅ 11,33) ⋅ 10 3,94 cm / ms 1=gewählt oben: Lagermatte R 335A 3,35 cm 2 /mZulage ∅ = 6 mm a´= 30 cm 0,94 cm 2 /m4,29 cm 2 /mDIN 1045 13.1.1 (1)MindestbewehrungFeld- und StützquerschnittDie Mindestbewehrung muß das Rißmoment abdecken. Das Rißmomentist mit dem Mittelwert der Betonzugfestigkeit zu ermitteln.DIN 1045-1 9.1.7 Tab. 9mitmrctm= f ⋅ w = f ⋅ b ⋅ h / 6 =ctmc,Rand2ctm= 2,2 ⋅ 1⋅0,18 / 6 = 0,01188 MNm / m2f = 2,2 MN / m für Beton C20/252Mit der Mindestbewehrung aufnehmbares Biegemoment im Zd. II:mMinMindestbewehrung= as,min⋅ fyk⋅0,90⋅ dmr0,01188 4as ,min ==⋅ 10 = 17,f ⋅ 0,9 ⋅ d 500 ⋅ 0,9 ⋅ 0,155ykcm2/ mDIN 1045-1 13.1.1 (3)ddV Ed -DruckstrebennachweisV Ed -Querkraftbewehrungist nicht maßgebend. Die Feldbewehrung (R 335A) wird durchgehendverlegt.QuerkraftbemessungFür die Bemessung ist der Schnitt- am Auflagerrand - für Druckstrebennachweis- im Abstand "d" vor Auflagerrand - für Zugstrebennachweismaßgebend.Die Überprüfung, ob Schubbewehrung erforderlich ist, erfolgt mitSchnittgrößen am Auflagerrand. Die Bemessung der Druckstrebe kannbei Platten im Allgemeinen entfallen.IV-28

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftMaßgebende Querkräfteam Innenauflager max v Ed = 35, 75 kN / mam Auflagerrand vEd , Rand = 35, 75 − 0,15 ⋅ 13,35 = 33, 75 kN / mBemim Abstand d vom Auflagerrand ν Ed = 33,75-0,155⋅13,35=31,68 kN /mQuerkrafttragfähigkeit der Stahlbetondecke (Ortbeton h = 18cm)ohne Schubbewehrung:vRd ,ct3( 100⋅ρ ⋅ f ) 1 / − 0,12 ⋅ ] ⋅ b ⋅ d= [ η ⋅0,10⋅κ⋅σ11ckcdwDIN 1045-1 10.3.3 Glg. (70)mit η 1 = 1,0 für Normalbetone200κ = 2 ; κ = 1 + = 2, 14 < 2 (d = 155mm )155aρ 1 = s14,29= = 0,0028 ≤ 0, 02b⋅d 100 ⋅15,5a - obere Bewehrung im Stützquerschnittσ cdNs1Ed= = 0Ac1 / 3( 100⋅0,0028⋅20) − 0 ] ⋅1,0⋅0,1550, 055vRd ,ct = [1⋅0,1⋅ 2 ⋅= MN/mBemvEd = 33, 75 kN / m < vRd , ct = 55 kN/mes ist keine Schubbewehrung erforderlich.DIN 1045-1 10.3.1 (2)4.11.1.3 Ausführung der Decke als Elementplatte mit OrtbetonergänzungFür die Elementplatte (h = 6 cm) wurde ein Beton C25/30 verwendet, dieOrtbetonergänzung (h = 12 cm) besteht aus Beton C20/25. In allenNachweisen sind die Festigkeiten des Betons C20/25 anzusetzen.Die Schubtragfähigkeit der Fuge zwischen Fertigteil und Ortbetonergänzung(ohne Anordnung der Verbundbewehrung) errechnet sich wie folgt:vRd ,ct3[ 0,042 ⋅η⋅ β ⋅ f] 1 / − µ ⋅ ⋅ b= σ1ctckmit η 1 = 1 für Normalbetone, für Leichtbetone siehe Glg. (5)β ct = 2,0 raue Fuge (β ct = 2,0 Fuge glatt)f ck = 20 MN/m 2 , Druckfestigkeit des Ortbetonsµ =0,7 (µ =0,6 Fuge glatt)σ Nd = − 0,12 ⋅ 0,025 = 0,003 MN / m2 ≈ 0b = 1mv1 / 3Rd ,ct== 0,042 ⋅1⋅2,0 ⋅ 20 + 0 7, ⋅0,003= 0,230 MN / m 230 kN/mNdDIN 1045-1 10.3.6 Glg. (84)DIN 1045-1 10.3.6 Tab. 13DIN 1045-1 10.3.6 Tab. 13IV-29

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftBeanspruchung der Schubfuge:DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (83)Die über die Fuge zu übertragende Schubkraft pro Längeneinheit ergibtsich aus:FcdjVEdν Ed = ⋅F zcdDa die gesamte Druckkraft entweder im Fertigteil (Stützquerschnitt) oderin Ortbeton (Feldquerschnitt) liegt, muß die volle Schubkraft über dieFuge übertragen werden. Es gilt überall F cd = F cdj .maxνEd =vEd , Rand/ zMit z=14,7 cm (aus Biegebemessung im Stützquerschnitt) erhält man:maxνEd = 33, 75 / 0,147 = 229 kN / mDIN 1045-1 13.4.3 (5)Es ist keine Verbundbewehrung zw. Elementplatte und Ortbetonergänzungerforderlich. (Bei Endauflagern ohne Wandauflast ist entlang derAuflagerlinie eine konstruktive Verbundsicherungsbewehrung von6 cm 2 /m anzuordnen. Diese sollte auf einer Breite von 0,75 m angeordnetwerden, was einen Querschnitt von 6/0,75 = 8 cm 2 /m 2 bedeutet.)DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (84)DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (85)θ α=90σ Ndµ⋅σ Nd ⋅bF sdwdie Auflast aus Ortbetonergänzungvon 0,12m ⋅25 kN/m 3wurde vernachlässigt; σ Nd = 0DIN 1045-1 10.3.6 Glg. (86)Für eine glatte Fuge ändert sich die Bemessung wie folgt:β ct = 2,0 , µ=0,6 v Ed = 0,229 MN/mvv3[ 0,042η⋅ β ⋅ f] 1 / − µ ⋅ ⋅b= σ Nd= 0,160 MN / m kN/mRd ,ct1 ct ck1 / 3Rd ,ct 0,042 ⋅1⋅1,4⋅ 20 + 0,6 ⋅0=Verbundbewehung ist erforderlich , (Querkraftbew. ist nicht erfordelich)vEd− µ ⋅σNd ⋅ berf as= =f ⋅(cotθ+ cotα) ⋅ sinαyd0,229 − 0,6 ⋅0⋅142 2=⋅10= 2,20 cm / m435 ⋅(2,39 + 0 ) ⋅1Mit α 90° Neigung der Verbundbewehrungθ 23° Neigung der Druckstrebewobei θ aus nachstehender Gleichung ermittelt wurde:1,2µ− 1,4 ⋅σcd / f1,0 ≤ cotθ≤cd≤ 3 für Normalbeton1 − vRd ,ct / vEdσ cd ≈ 0 Längsnormalspannung im Gesamtquerschnitt1,2 ⋅0,6− 1,4 ⋅0 / 13,31,0≤ cotθ ≤= 2,39 ≤ 31 − 160 / 229cot θ = 2, 39IV-30

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.11.1.4 Bemessung mit GitterträgernBei der Querkraftbemessung in diesem Kapitel werde Bemessungshilfenund Gitterträger der Farma Filigran verwendet.BemessungsquerkraftFür die Bemessung der Querkraftbewehrung ist der Schnitt imAbstand "d" vor Auflagerrand maßgebend.ν EdBem= 33,75-0,155⋅13,35=31,68 kN /mFür die Bemessung der Verbundbewehrung ist der Schnitt amAuflagerrand maßgebendmax v Ed = 35, 75 kN / mQuerkraft der Stahlbetondecke ohne Schubbewehrungh = 18cm, d = 15,5cmvRd ,ctρ 1 = 0,028 im Stützquerschnitt3( 100⋅ρ ⋅ f ) 1 / − 0,12⋅] ⋅b⋅ d= [ η ⋅0,10⋅κ⋅σ11ckcdwDIN 1045-1 10.3.3 Glg. (70)Bild 17:(FI-Norm E-4539) Grafische Ermittlung von v Rd,ctEs kann eine Tragfähigkeit von v Rd,ct ≈ 55 kN/m = abgelesen werden.Es ist keine Querkraftbewehrung erforderlich.IV-31

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftBeanspruchung der Fuge zw. Fertigteil und OrtbetonDIN 1045-1 10.3.6 Glg. (83)Schubkraft pro Längeneinheit wie zuvor unter 4.11.1.3:FcdjVEdvEd , Rand 33, 75ν Ed = ⋅ = = = 229kN / mF z z 0,147cdmit z = 14,7 cm aus Biegebemessung im Stützquerschnittz = d-2⋅c nom,Druckbew. wird nicht angesetzt, da keine Schubbew. erf.Verbundbewehung zw. Fertigteil und OrtbetonWie unter 4.11.1.3 ermittelt, erhält man für eine raue Fuge eine Tragfähigkeit,die größer ist als die Beanspruchung.v Rd,ct,rau = 230 kN/m > v Ed,max = 229 kN/m,so dass keine Verbundbewehrung erforderlich wird. Im vorliegenden Fallist auch keine Mindestbewehrung anzuordnen.Bei einer glatten Fuge (v Rd,ct,glatt = 160 kN/m) ist eine Verbundbewehungerforderlich. Es ist ausreichend niedrige Gitterträger zu verwenden(lichtes Abstand zw. Unterkante Obergurt und OK Fertigteil a ≥ 2,0 cm).v = a ⋅ f ⋅(cotθ + cotα) ⋅ sinα− µ ⋅σ⋅ b ≥ v Ed,maxRd ,sysydQuerkraftNdbei Kombination:v Rd,sy = v Rd,sy (E/D) + v Rd,sy (EQ)gewählt: D11, Abstand = 75 cm, v Rd,sy = 265 kN/m > v Ed = 229 kN/ms q,max = 75 cm ≤ 75 cm < 5 ⋅18 cm = 90cmIV-32

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.11.2 Unterzug4.11.2.1 System, Schnittgrößen,VorwerteDie Ergebnisse der Biegebemessung werden aus Kap. III übernommen.Die Querkraftbemessung wird hier nur für den Fall der elastisch ermitteltenSchnittgrößen, ohne Umlagerung durchgeführt.Übersichtlichkeitshalber werden die für die Querkraftbemessung wesentlichenParameter aus der Biegebemessung hier nochmals zitiert.Statisches System:Zweifeldträger mit l eff,1 = l eff,2 = 7,5 mAuflagertiefe a 1 = a 2 = a 3 = 0,3 mQuerschnitt:Plattenbalkenquerschnittb w = 30 cm, h = 70 cm, d = 65 cmb eff1 = b eff,2 = 1,107 m, b eff =2,51h f = 18 cm,Werkstoffe: Steg als Teilfertigteil aus C25/30Platte als Elementdecke h = 6 cm, C25/30,mit 12 cm Ortbetonergänzung in C20/25Belastung:ständige Deckenlast g 1 = 6 kN/m 2 ⋅ 5m = 30 kN/mEigengewicht Steg g 2 = 0,30 ⋅ 0,52 ⋅ 25 = 3,9 kN/mΣg k =33,9 kN/mVerkehrslast der Decke q k = 3,5 kN/m 2 ⋅ 5 = 17,5 kN/mBemessungswert der Belastung p d =72,01 kN/mDIN 1045-1 7.3.1 (2) und (3)mitwirkende Plattenbreite im Feldb eff1 = 0,1⋅0,85⋅7,5+0,2⋅(4,7/2)= 1,107< 0,2⋅0,85⋅7,5 = 1,275m= 2⋅1,107+0,30 = 2,51 mb effIm Kapitel III wurden alsUnterzugbelastung die unterVolllast ermittelte Auflagerreaktionender Platte angesetzt.Schnittgrößen:Die für die Bemessung maßgebenden Schnittgrößen sind in der Tabelle B1zusammengestellt. Der Schnittgrößenverlauf im Feld 1 (Bemessungswerte)ist im Bild B1 dargestellt.M EsdV EdABBDIN 1045-1 7.3.2 (3):Die maßgebenden Querkräftedürfen unter Vollbelastungaller Felder ermittelt werden.Im Rahmen des Beispielswurde die ungünstigsteLaststellung berücksichtigt.Bild B1: Bemessungswerte des Biegemomentes M Ed und der Querkraft V EdIV-33

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraftgammafache M Ed , B M Ed,Bmin M Ed,1 M Ed,2 V Ed,A V Ed,Bl V Ed,Br V Ed,CSchnittgrößen [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kN] [kN]Schnittgrößen elast. -506,36 -329,13 320,48 320,48 214,85 -337,57 337,57 214,85mit Ausrundung -481,04Tabelle B1:Maßgebende Schnittgrößen für die UnterzugsbemessungBiegebemessung im Feld:DIN 1045-1 9.1.6Querschnitt b eff = 2,51m, d = 65 cm, h f = 18 cmDruckzone in der Platte C20/25 mit f cd = 11,33 MN/m 2Feldmoment M Eds = 320,48 kNmDIN 1045-1 9.2.4 Bild 27Linie 2 - Arbeitslinie des Stahlsmit ansteigendem AstµEdsM=b ⋅ dEds2⋅ f cd0,3205== 0,0267 ≈ 0,02722,51⋅0,65 ⋅ 11,33Bemessung mit µ Eds -Tafel ausSchneider Bautab. 14. Auf.ω = 0,0275 ξ = 0, 052 x = 0,052 ⋅ 65 = 3,4 cm < 18 cmς = 0,982 z = 0,982 ⋅ 65 = 63,8 cmσsd= 457 MN / m21erf as1==45742( 0,0275⋅2,51⋅0,65⋅11,33) ⋅1011,12 cmGewählt: 4 ∅ 20mm = 12,57 cm 2davon werden 2 ∅ 20 mm zum Auflager geführt.Bemessung über der ZwischenstützungDIN 1045-1 9.1.6 Glg. (57): f cdDIN 1045-1 9.1.6 Tab. 9: f ckDIN 1045-1 7.3.2 (2):Ausrundung ∆M Ed = B Ed ⋅a/8Querschnitt b w = 0,3m, d = 65 cmDruckzone im Steg C25/30 mit f cd =14,17 MN/m 2Stützmoment M Eds = 506,36 kNm;ausgerundet M Eds =481,04 kNmµEdsM=b ⋅ dEds2⋅ f cd0,481=20,30 ⋅ 0,65 ⋅ 14,17= 0,268 ≈ 0,27ω = 0,3209 ς = 0, 834 z = 0,835 ⋅ 65 = 54 cmε s 1 = 5,25o 2/ oo σ = 438 MN / m1erf as1==438sd42( 0,3209 ⋅0,3⋅0,65⋅14,17) ⋅1020,24 cmGewählt: 3 ∅ 25mm + 2 ∅ 20mm = 14,73 +6,28 = 21,02 cm 2davon 3 ∅ 25 mm im Steg, 2 ∅ 20 mm in die PlatteIV-34

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.11.2.2 Bemessung für QuerkraftDie Querkraftbemessung erfolgt unter den maximalen Querkräften,die sich aus der ungünstigsten Anordnung der Verkehrslasten ergeben.Bemessung am ZwischenauflagerAuf die Überprüfung der Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrungwird verzichtet. Die Bemessung erfolgt für lotrechte Bügelbewehrung.Die Druckstrebenneigung wird ermittelt. Der Bemessung wird der innereHebelarm der Kräfte aus der Biegebemessung zu Grunde gelegt.DruckstrebentragfähigkeitDie Druckstrebenneigung θ darf gewählt werden im Bereich:1,2 − 1,4 ⋅σcd /0,58 ≤ cotθ≤1 −V/ VWobei VRd ,cRd ,cEdfcd≤ 3 für Normalbeton.0,10 f1 / 3 ⎛ σ= β ct ⋅ ⋅ η1⋅ ck⎜1+ 1,2⎝ fcdcd⎞⎟ ⋅ b⎠mit η 1 = 1β ct = 2,4f ck = 20 MN/m 2f cd = 11,3 MN/m 2σ cd = 0b w = 0,3 mz = 0,54 m aus Biegebemessung1V3⎛ 0 ⎞Rd ,c = 2,4 ⋅ 0,10 ⋅ 1 ⋅ 20 ⎜1+ 1,2 ⎟ ⋅ 0,3 ⋅ 0,54 = 0,106 MN⎝ 11,3 ⎠Bemessungsquerkraft am Auflagerrand:w⋅ zV Ed = V EdBl-p d ⋅a 2 /2 = 337,57 - 70,01⋅0,3/2 = 327,06 kNund schließlich cot θ1,2 − 1,4 ⋅ 0 / 11,30,58≤ cotθ≤= 1, 78 ≤ 31 − 106 / 327Der Nachweis erfolgt mit cot θ = 1,78 (θ = 29°)DIN 1045-1 10.3.4.(5):Bei Anordnung von lotrechtenBügeln darf bei biegebeanspruchtenQuerschnitten die Druckstrebenneigungnäherungsweise mitcotθ =1,2 angesetzt werden.DIN 1045-1 10.3.4 (3), Glg. (73)DIN 1045 10.3.4 (3), Glg. (74)p d = 33,0⋅1,35 + 17,5⋅1,5= 70,01 kN/mBei α = 90° (Bauteile mit vertikaler Schubbewehrung) erhält man dieQuerkrafttragfähigkeit des Querschnittes hinsichtlich der Tragfähigkeitder Druckstrebe aus Glg.(14):VRd ,maxbw⋅ z ⋅αc ⋅ f cd 0,3 ⋅ 0,54 ⋅ 0, 75 ⋅ 11,33= = = 0,588 MNcotθ+ tanθ1, 78 + 1 / 1, 78DIN 1045-1 10.3.4 (6), Glg. (76)= V Rd,max > V Ed ; V Ed /V Rd,max = 327/588 = 0,56 < 0,6IV-35

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftDIN 1045-1 10.3.4 (4)DIN 1045-1 10.3.2 (1):Ermittlung der Schubbewehrungmit Querkraft im Abstabd d vomAuflagerrandDIN 1045-1 13.1 Tabelle 29min ρ w für C25/30 - StegbetonDIN 1045-1 13.2.3 Tab. 31für V Ed /V Rd,max siehe S. V- 27Die zur Sicherung der Tragfähigkeit der Zugstrebe erforderliche Querkraftbewehrungergibt sich nach Glg. (13) zu:AswVEdasw= =s f ⋅ z ⋅ cotθwydDie maßgebende Querkraft (im Abstand d vor Auflagerrand) beträgtBlV Ed = V Ed - p d ⋅(a 2 /2+d)= 337,57 - 70,01⋅(0,3/2+0,65) = 281,51 kN,die erforderliche Schubbewehrung0,28142asw = ⋅ 10 = 6, 72cm / m435 ⋅ 0,54 ⋅ 1, 78.Bemessung am EndauflagerDie Bemessung am Endauflager ergibt erforderliche Schubbewehrung von:erf a sw = 2,0 cm 2 / m ,MindestschubbewehrungAus Glg. (23)Aswmin ρ wsw⋅ bw⋅ sinα ≥ =0,83 o / oo nach Tab. 2erhält man:⎛ Asw⎞⎜⎟ = min ρ w ⋅bw⋅ sinα =⎝ sw⎠ min,83=0 ⋅ 0,3 ⋅104 = 2,49 cm2 / m1000Am Zwischenauflager ist die Mindestschubbewehrung nicht maßgebend.Anordnung der QuerkraftbewehrungVerwendet werden ausschließlich senkrechte Bügel. Der Bügelabstand istnach Tabelle 3 zu begrenzen. Für das vorliegende Beanspruchungsniveauergibt sich ein maximaler Abstand der Bügelschenkel in Längs-, undQuerrichtung zu:V Ed /V Rd, max = 0,56 ≤ 0,6 Längsrichtung: s max = 0,5h = 350 mm= 300 mmQuerrichtung; s max = h = 700 mm= 600 mmV Ed /V Rd, max = ≤ 0,3 Längsrichtung: s max = 0,7h = 490 mm= 300 mmGewählt *) :Auflager B Bügel ∅ 10 mm a´= 24 cm (6,54 cm 2 /m)Mindestbew. Bügel ∅ 8 mm a´= 30 cm (3,35 cm 2 /m)Auflager A + C Bügel ∅ 8 mm a´= 30 cm (3,35 cm 2 /m)*) - die hier ermittelte Bewehrung muß zur Sicherung der Fuge zw. Steg und Platte verstärkt werden, siehe Punkt 4.8.2.4IV-36

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.11.2.3 Anschluss von Zug- und Druckgurten an StegeAnschluß des Druckgurtes - FeldbereichAufzunehmende Längsschubkraft V Ed in der Fuge innerhalb der Bezugslängea v (halber Abstand zwischen Momentennullpunkt und Momentenhöchstwert)wird aus der Längskraftdifferenz des Druckgurtes ∆F cd bestimmt.DIN 1045-1 13.3.5 (2)∆ Fcd ,Gurt= VEd ,Fuge∆M=zEd⋅AAc,GurtDruckzone≈MzEdb⋅beff ,ieffAbstand zwischen Momentennullpunkt und -höchstwert im Feld 1 beträgtl* = 2,97mnäherungsweise l* = 0,8⋅ l eff ⋅ 0,5 = 0,8⋅7,5⋅0,5 = 3mHiermit ist der Anschluß des Druckgurtes für zwei Bereiche der Längea v = 1,49m zu bemessen.gemessen im Bild untenMomentenzuwachs innerhalb a v = 1,49 0

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftDIN 1045-1 10.3.5 (3)DIN 1045-1 10.3.5 (4)gemessen im Bild auf SeiteV-29, Stützmomentvgl. Seite V-32DIN 1045-1 10.3.5 (3)DIN 1045-1 10.3.5 (4)Die erforderliche Anschlußbewehrung ergibt sich mit Glg.(18) zuasfA=ssff=fydV⋅ aEdvd⋅ cotθ0,168= 104 2= 2,15 cm / m435 ⋅ 1,49 ⋅ 1,20

DIN 1045-1: Bemessung für Querkraft4.11.2.4 Nachweis der Schubfuge zwischen Steg und GurtEs wird überprüft, ob eine Verbundbewehrung zwischen dem Steg-Fertigteilund der Platte erforderlich ist. Die Aufnahme Schubbeanspruchung wird unterEinsatz der vorhandenen Querkraftbewhrung des Steges nachgewiesen.Der Nachweis wird nur für Stützbereich (Platte unter Zugbeanspruchung)geführt. Es wird angenommen, dass die Fugenoberfläche verzahnt ausgebildetwurde.24 cmb w = 30cmSchubbeanspruchung in der FugeDie über die Fuge zu übertragende maximale Schubkraft pro Längeneinheitergibt sich aus Glg. (20) zu:FcdjVEdν Ed = ⋅FcdzDa die Druckzone bzw. die Biegezugbewehrung vollständig auf einerSeite der Fuge liegt ist F cd = F cdj .Hiermit gilt an der Stelle der höchsten Beanspruchung, links des Zwischenauflagers:max VEd327,06 kNν Ed = == 605 kN / mmin z 0,54 cmDIN 1045-1 10.3.6 (2)z - aus BiegebemessungFuge ohne VerbundbewehrungDie Schubtragfähigkeit der Fuge ohne Verbundbewehrung v Rd,ct wird nachGlg. (21) ermittelt. Es wird angenommen, dass die Fuge "verzahnt" ausgebildetist.vRd ,ct3[ 0,042 ⋅η⋅ β ⋅ f] 1 / − µ ⋅ ⋅ b= σ1ctckNdDIN 1045-1 10.3.6 (3)mitvη 1 = 1 für Normalbetoneβ ct = 2,4 Rauigkeitsbeiwert nach Tabelle 1f ck = 20 Betondruckfestigkeit des Ortbetonsµ = 1 Reibungsbeiwert nach Tabelle 1σ Nd = 0 Normalspannung senkrecht zur Fuge(Auflagerpressung der Decke wird nicht angesetzt)b = 24 cm Breite der Kontaktfläche = 30 - 2⋅3,0 cmmit 3 cm Auflagertiefe der Elementdecke=1 / 30,042 ⋅1⋅2,4 ⋅ 203− 1,0 ⋅0⋅0,24⋅1065,6 kN / .[ ] mRd ,ct=Oberfläche β ct µverzahnt 2,4 1,0rau 2,0 0,7Glatt 1,4 0,6Sehr glatt 0 0,5Verbundbewehrung muß angeordnet werden.IV-39

DIN 1045-1: Bemessung für QuerkraftErforderliche VerbundbewehrungDIN 1045-1 10.3.6 (5), Glg. (85)σ Ndµ⋅σ Nd ⋅bθ α=90F sdwDIN 1045-1 10.3.6 (5), Glg. (86)Die mit Hilfe der Verbundbewehrung aufnehmbare Querkaftbeanspruchungbeträgt nach Glg. (20):vRd ,sy= a ⋅ f ⋅(cotθ+ cotα) ⋅ sinα− µ ⋅σsydDie bereits vorhandene Bügelbewehrung aus der "normalen" Querkraftbemessungkreuzt die Fuge unter einem Winkel von α = 90° .Die Druckstrebenneigung kann bei Druckgurten nach Glg. (24) explizitermittelt werden, oder ungünstigst, mit θ = 45° (cot θ = 1,0) angesetztwerden. Bei Zuggurten, wie im vorliegenden Fall, ist mitθ = 45° zu rechnen.Nd⋅ bDamit errechnet sich v Rd,sy zuν Rd,sy = 6,54⋅10 4 ⋅ 435⋅ (1+0)⋅1 − 1,0⋅0⋅0,24 = 0,284 MN/mwobei die Auflast aus Stahlbetondecke unberücksichtigt bleibtDIN 1045-1 10.3.6 (5)Die vorhandene Schubbewehrung ist nicht ausreichend.Der maximal erforderliche Querschnitt der Verbundbewehrung amAuflagerrand der Zwischenstützung beträgt somit:v Ed − µ ⋅σNd ⋅ bas=f ⋅(cotθ+ cotα) ⋅ sinαyd0,6052as == 13,90cm / m435 ⋅(1+0 ) ⋅1siehe DIN 1045-1 10.3.6 (6)Die Ermittlung der Verbundbewehrung für weitere Bemessungspunktesowie ihre Verteilung über die Bauteillänge wird im Rahmen diesesBeispiels nicht durchgeführt.IV-40