Mathe lernen mit Paul - Doppel.Design

Mathe lernen
mit Paul
Die kleine Formelsammlung
Mit Gutschein
für 2 kostenlose
Unterrichtsstunden

2 Mathe lernen mit Paul
Inhalt
Algebra
Maße und Gewichte 4
Grundrechenarten 5
Bruchrechnung 6
Potenzen und Wurzeln 7
Prozentrechnung 8
Zinsrechnung 9
Zinsrechnung, Dreisatz 10
Quadratische Gleichungen 11
Logarithmen/Wahrscheinlichkeitsrechnung 12
Geometrie
Strahlensätze 13
Winkelarten 14
Winkel an geschnittenen Geraden 15
Dreieck 16
Flächenberechnung 18
Kreis und Linien 19
Kreis, Kreisring, Kreisausschnitt 20
Körperberechnung 21
Trigonometrie 23
© 2007 ZGS Schülerhilfe GmbH, Stand: Februar 2007

4
Algebra – Maße und Gewichte
Längenmaße:
1 Meter (m) = 100 Zentimeter (cm) = 1.000 Millimeter (mm)
1 Kilometer (km) = 1.000 m 1 Dezimeter (dm) = 10 cm
1 cm = 10 mm
Flächenmaße:
1 Quadratmeter (m2 ) = 100 Quadratdezimeter (dm2 )
1 Ar (a) = 100 m2 1 Hektar (ha) = 100 a = 10.000 m2 1 Quadratkilometer (km2 ) = 100 ha = 10.000 a = 1.000.000 m2 Körpermaße:
1 Kubikmeter (m3 ) = 1.000 Kubikdezimeter (dm3 )
1 dm3 = 1.000 Kubikzentimeter (cm3 )
1 cm3 = 1.000 Kubikmillimeter (mm3 )
Hohlmaße:
1 m3 = 10 Hektoliter (hl) = 1.000 Liter (l) 1 l = 10 dl
1 hl = 100 l = 1.000 Deziliter (dl)
Gewichte:
1 Gramm (g) = 1.000 Milligramm (mg) 1 Kilogramm (kg) = 1.000 g
1 Tonne (t) = 1.000 kg 1 Pfund = 500 g = 0,5 kg
1 Unze = 28,35 g
Dezimale Vielfache und dezimale Teile:
106 Mega (M), 103 Kilo (k), 102 Hekto (h), 101 Deka (da),
10 –1 Dezi (d), 10 –2 Zenti (c), 10 –3 Milli (m), 10 –6 Mikro (µ)

Grundrechenarten 5
Grundrechenarten
Addition: a + b = c
(Summand + Summand = Summe)
Subtraktion: a – b = c
(Minuend – Subtrahend = Differenz)
Multiplikation: a · b = c
(Faktor · Faktor = Produkt)
Division: a : b = c
(Dividend : Divisor = Quotient) b � 0
Rechengesetze
Addition Multiplikation
Kommutativgesetze: a + b = b + a a · b = b · a
Assoziativgesetze: (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)
Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c

6
Bruchrechnung
Bruchrechnung
Erweitern:
Multiplikation:
Addition,
Subtraktion:
a a · c
a · c a
= Kürzen:
=
b b · c b · c b
a c ac
a c ad
· = Division: : =
b d bd b d bc
a ± c = ad ± cb
b d bd
Merke: Erweitere Brüche so, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben.
Addiere bzw. subtrahiere dann die Zähler.

Potenzen und Wurzeln 7
Potenzen und Wurzeln
Definitionen:
Potenz: an = a · a · a · a · a ·…· a Speziell: a1 = a, a0 = 1, (a � 0)
Wurzel:
√2 − √− a2 = a2 n√ −
= |a |
x = a ↔ an = x; x ≥ 0, n
Zusammenhänge:
an · ap = an+p an : ap = an–p (an ) p = an·p an · bn = (ab) n an : bn = (a : b) n
a –n = 1
a = n a a = n ap a – = 1
an 1 √− n
p √−− n
p
n
n√−− ap

8
Prozentrechnung
Prozentwertberechnung
Gegeben: Prozentsatz (p), Grundwert (G) Gesucht: Prozentwert (W)
Lösung: 100 % → G Prozentformel: G · p 1. Satz: p → x
= W
100
2. Satz: 1% → G : 100
3. Satz: (G : 100) · p = W
Prozentsatzberechnung
Gegeben: Prozentwert (W), Grundwert (G) Gesucht: Prozentsatz (p)
Lösung: G → 100 % Prozentformel: W · 100 1. Satz: W → x
= p
G
2. Satz: 1 → 100 : G
3. Satz: (100 : G) · W = p
Grundwertberechnung
Gegeben: Prozentsatz (p), Prozentwert (W) Gesucht: Grundwert (G)
Lösung: p → W Prozentformel: W · 100 = G
p
1. Satz: 100 % → x 2. Satz: 1% → W : p 3. Satz: (W : p) · 100 = G
Vermehrter Grundwert
Gegeben: Prozentsatz (p), Grundwert (G) Gesucht: vermehrter
Lösung:
(100 + p) · G
= G+
100
Grundwert (G + )

Zinsrechnung 9
Zinsberechnung
Gegeben: Kapital (K), Zinssatz (p), Zeit (t) Gesucht: Zinsen (Z)
Lösung:
K · p · t
100
= Z für t = Zeit in Jahren
K · p · t
12 · 100
= Z für t = Zeit in Monaten
K · p · t
= Z
360 · 100
für t = Zeit in Tagen
Zinssatzberechnung
Gegeben: Kapital (K), Zinsen (Z), Zeit (t) Gesucht: Zinssatz (p)
Lösung:
Z · 100
K·t
= p für t = Zeit in Jahren
Z · 12 · 100
= p
K·t
für t = Zeit in Monaten
Z ·360 ·100
= p
K·t
für t = Zeit in Tagen
Kapitalberechnung
Gegeben: Zinsen (Z), Zinssatz (p), Zeit (t) Gesucht: Kapital (K)
Lösung:
Z · 100
p · t
= K für t = Zeit in Jahren
Z · 12 · 100 = K für t = Zeit in Monaten
p · t
Z · 360 · 100 = K für t = Zeit in Tagen
p · t

10 Zinsrechnung, Dreisatz
Zinseszinsberechnung
Zinseszinsen (Endwert Kn des Anfangskapitals K0 nach n Jahren)
Lösung: Kn = K0 ·qn (100 + p)
= K0 ·
n
n = Ig Kn – Ig K � �
0
100 Ig q
Dreisatz
Verfahren bei
direkter Proportionalität:
Schluss vom Wert
der bekannten Mehrheit
→ auf den Wert für eine
(Mengen-)Einheit und
→ von dieser Einheit
auf die gesuchte Mehrheit
Verfahren bei
indirekter Proportionalität:
Schluss vom Wert
der bekannten Mehrheit
→ auf den Wert für eine
(Mengen-)Einheit und
→ von dieser Einheit
auf die gesuchte Mehrheit
Beispiel:
Beim Backen benötigt man für 5 kg
Brot 4.000 g Mehl. Wie viel Mehl
benötigt man für 3 kg Brot?
5 :
3 ·
5 kg ^=
4.000 g
1 kg ^=
800 g
3 kg ^=
2.400 g
Beispiel:
6 Schüler benötigen 21 Stunden für
das Streichen eines Raumes ihrer
Schule. Wie viele Stunden hätten
4 Schüler gebraucht?
6 :
4 ·
6 Schüler ^=
21 h
1 Schüler ^=
126 h
4 Schüler ^=
31,5 h
: 5
· 3
·6
: 4

Quadratische Gleichungen 11
Binomische Formeln
1. binomische Formel: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. binomische Formel: (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
3. binomische Formel: (a + b) · (a – b) = a 2 – b 2
Quadratische Gleichungen
Allgemeine Form: ax2 + bx + c = 0
Allgemeine Lösung: x1,2 = – b ± (b2 – 4ac)
2a
Normalform: x2 Lösung (pq-Formel):
+ px + q = 0
x1,2 = – p p
±
2 √−−−−−−− �−−−−−−−
�� � �
– q
2 2
Satz von Vieta: x1 + x2 = – p, x1 ·x2 =q
In Linearfaktoren: (x – a) (x – b) = 0
Lösung: x 1 = a, x 2 =b
Bemerkung: Eine quadratische Gleichung hat genau zwei, eine oder
keine Lösung in , wenn der Wurzelterm größer ist als null, gleich null
oder kleiner als null.

12 Logarithmen/Wahrscheinlichkeitsrechnung
Definition
b x = a ↔ log b a = x; a, b > 0 Speziell: log b b = 1; log b 1 = 0
Logarithmengesetze
Erstes Logarithmengesetz: log (a · b) = log a + log b
log (a : b) = log a – log b
Zweites Logarithmengesetz: log ab = b · log a
Speziell: log a b = log b = 1 √− 1
a log b
a
Dekadischer Logarithmus: log10 a = lg a
Natürlicher Logarithmus: loge a = ln a, mit der eulerschen
Zahl e = 2,718281828459…
Zusammenhänge: logb a = logc a speziell In a lg a
= =
logc b In b lg b
logb a · loga b = 1
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Binomialkoeffizient:
� �
n
(sprich: „n über k“; k, n
k
ist der Quotient
; 0 < k ≤ n)
� �
n n · (n – 1) · (n – 2) · … · [n – (k – 1)] n!
= =
k 1 · 2 · 3 · … · k k! (n – k)!
� � � �
n n
= 1 = n
0 1
Rechenregeln:
� � � � � � � � � �
n n n n n + 1
= + = k, n
k n – k k k + 1 k + 1

Geometrie – Strahlensätze 13
Strahlensätze
Erster Strahlensatz: | SA1 | : | SA2 | = | SB1 | : | SB2 |
| SA1 | : | A1A2 | = | SB1 | : | B1B2 |
| SA2 | : | A1A2 | = | SB2 | : | B1B2 |
Zweiter Strahlensatz: | A
Strahlensätze 1B1 |: | A2B2 | = | SA1 | : | SA2 |
| A1B1 | : | A2B2 | = | SB1 | : | SB2 |
S
B 1
A 1
B 2
A 2

14 Winkelarten
Winkelarten
Nullwinkel: Spitzer Winkel:
α = 0° α < 90°
Rechter Winkel: Stumpfer Winkel:
α = 90° 90° < α < 180°
Gestreckter Winkel: Überstumpfer Winkel:
α = 180° 180° < α < 360°
α
α
Vollwinkel: Winkel über 360°:
α = 360° α > 360°
α
α
α
α

Winkel an geschnittenen Geraden 15
Winkel an geschnittenen Geraden
Nebenwinkel ergänzen einander zu 180°.
α + β = 180°
h
β
α
g
Scheitelwinkel sind gleich groß.
α = β
α
α β
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
α = β
h
β
β
g
α g ll h
α
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
α = β
g
h
α
β
β
h
g
g ll h
α
β
g
g
β
α
h
α = 90°
h
α = 90°
h
g
α = 90°
h
g
α = 90°

16 Dreieck
Dreieck
Fläche: A (Dreieck) = 1 c · h
2 c
A (Dreieck) = 1 b · h
2 b
A (Dreieck) = 1 a·h
2 a
Winkelsumme: α + β + γ = 180°
A
α
h a
b
C
γ
c
h c
h b
a
β
B

Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck:
Zwei Seiten haben dieselbe Länge (a = b)
hc = a2 �−−−−− ��
c 2
–
2
Gleichseitiges Dreieck:
Alle Seiten haben dieselbe Länge (a = b = c),
alle Winkel sind gleich groß (α = β = γ).
h = 3 · a = 3 · a A(D) = a2 �−− √− √− · 3
4 2 4
a
Rechtwinkliges Dreieck:
Fläche berechnet sich zu: A(D) = 1 · a · b
2
Der Satz des Pythagoras: c2 = a2 + b2 Der Höhensatz des Euklid: h2 = p · q
Der Kathetensatz des Euklid: a2 = c · p b2 α
a
α
= c · q
A
b
q
C
a
h
h c
c
α
a
c p
a
a
17
B

18 Flächenberechnung
Flächenberechnung
Quadrat Parallelogramm
Umfang (U) = 4a Umfang (U) = 2 · (a + b)
Flächeninhalt (A) = a2 Flächeninhalt (A) = g · h
Höhe (h) = A
g
a
Rechteck Trapez
Umfang (U) = 2 · (a + b) Umfang (U) = a + b + c + d
Flächeninhalt (A) = a · b Flächeninhalt (A) = h · (g1 + g2 )
2 · A 2
Höhe (h) =
g1 + g2 c
a
Dreieck
Umfang (U) = a + b + c
g · h
Flächeninhalt (A) =
2 · A 2
Höhe (h) =
g
a
b
b
d
a
h
h
c
a
h
g
g
g 2
g 1
a
b
b

Kreis und Linien 19
Kreis und Linien
Kreis
Kreiszahl (Ludolfsche Zahl): π = 3,14159… π≈3,14
Durchmesser = d, Radius = r
d = 2 · r
r
d
M
M
Linien am Kreis
Tangente und Berührungsradius
sind senkrecht zueinander.
Sektor
A = π ·r 2 = π ·d 2
4
U = 2π ·r= π ·d
Sehne
M
M Radius
Durchmesser
Sekante
Passante
Tangente
Bogen
Segment

20 Kreis, Kreisring, Kreisausschnitt
Satz des Thales
Satz des Thales:
Peripheriewinkel über einem
Halbkreis sind rechte Winkel.
Kreisring und Kreisausschnitt
Kreisring
a = r2 – r1 A = π ·(r2 2 – r12 )
U = 2π · (r1 + r2 )
Kreisausschnitt
b α
=
U 360°
π · r · α
b=
180°
b · r
Aα = Aα = π · r2 · α
2 360°
M
M
r 1
r 2
M
→
a
→
Ringbreite a
b
α
r
Kreisbogen b
Aα

Körperberechnung 21
Körperberechnung
Prisma Pyramide
G: Grundfläche G: Grundfläche
Volumen: V = G · h Volumen: V = 1 Oberfläche: O = 2G + M
Mantelfläche: M = U* · h
·G · h
3
Oberfläche: O = G + M
h
G
Zylinder Kegel
Volumen: V = π ·r2 · h Volumen: V = 1 · π ·r2 Oberfläche: O = 2πr · (r + h)
· h
3
Oberfläche: O = π r · (r + s)
Mantelfläche: M = 2π · r · h Mantelfläche: M = π · r · s
h
G
*Umfang der
Grundfläche
h
h
G
G

22 Körperberechnung
Körperberechnung
Kugel
Mittelpunkt (M) Radius (r)
Volumen: V = 4 · π ·r3 3
Oberfläche: O = 4 π r2 r

Trigonometrie 23
Trigonometrie
Sinus: sin (α) = a = Gegenkathete
r Hypotenuse
Kosinus: cos (α) = b = Ankathete
r Hypotenuse
Tangens: tan (α) = sin (α) = Gegenkathete
cos (α) Ankathete
Kotangens: cot (α) = cos (α) = Ankathete
sin (α) Gegenkathete
Sinussatz
a = sin (α) b = sin (β) a = sin (α)
b sin (β) c sin (γ) c sin (γ)
Kosinussatz: a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ
A
α
f(x) = y
b
c
α
γ
r
a
b x
C
a
β
B

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Unser Anspruch:
Die Schülerhilfe hilft Kindern, ihre schulischen Fähigkeiten
zu verbessern, sodass sie wieder Selbstvertrauen gewinnen
und Selbstbewusstsein entwickeln.
Unser Angebot:
■ Qualifizierte und motivierte Nachhilfelehrer/-innen
■ Individuelles Eingehen auf die Bedürfnisse der Kinder
und Jugendlichen
■ Regelmäßiger Austausch mit den Eltern über
die Fortschritte des Kindes
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Für weitere Informationen stehen wir Ihnen montags bis
freitags von 8.00 bis 20.00 Uhr gebührenfrei zur Verfügung:
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