Übung Kommunikationsnetze Aufgabe 13: Slotted Aloha

Übung KommunikationsnetzeAufgabe 13: Slotted Aloha25. November 201313.1Extremwertaufgabe für:S = Ge −G (1)notwendige Bedingung:dSdG = (1 − G)e−G != 0 ⇔ G = 1 (2)13.2Nach Folie 177 gilt für das Verkehrsangebot ρ:ρ = λ µ(3)wobei λ die Paketzugangsrate aller Stationen und µ die Zeitschlitzbereitstellungsrate ist.Mit der Paketübertragungsdauer X = 1/µ folgt:ρ = λX (4)Wie in Folie 168 wird angekommen, dass alle Pakete gleich lang sind (Vorraussetzung2) und damit X = cons gilt. Gleichzeitig gilt mit Folie 173 für eine unendliche Anzahlvon Stationen λ = const (Vorraussetzung 7b). Somit ist auch ρ konstant und damitunabhängig von G.13.3Stabiler Betrieb bedeutet, dass nur genau so viele Pakete neu generiert werden ρ, wieohne Kollisionen übertragen werden können S:ρ = S (5)Für S = 0,2 erhält man zwei Schnittpunkte mit S(G): G 1 (k) ≈ 0,26 und G 2 (k) ≈ 2,51

13.4• Prüfe G 2 (k):1. G = G 2 (k) wird etwas größer ⇒ der Durchsatz S sinkt, da mehr Kollisionenauftreten. Die Stationen müssen nun häufiger versuchen zu senden und Gsteigt gegen ∞.2. G = G 2 (k) wird etwas kleiner ⇒ der Durchsatz S steigt, da es weniger Kollisionengibt. Die Stationen benötigen nun weniger Versuche zum Senden undG sink noch weiter bis G = G 1 (k).G 2 (k) ist kein stabiler Zustand.• Prüfe G 1 (k):1. G 1 (k) wird etwas größer womit der Durchsatz steigt. Die Stationen brauchennun weniger Versuche zum Senden und G sinkt wieder bis auf G = G 1 (k)2. G 1 (k) wird etwas kleiner und der Duchsatz S sinkt, da weniger gesendet wird.Die Stationen müssen nun häufiger versuchen zu senden und G steigt wiederbis G = G 1 (k).Der stabile Bereich erstreckt sich von G = 0 bis zum Maximum, da sich hier das Verhältnisändert. ⇒ 0 ≤ ρ stabil ≤ S max = 1 e→ 0 ≤ G ≤ 113.5Allgemein wird eine Binomialverteilung angenommen (siehe Vorlesung Folie 168 Gleichung4.2.2.1)Wir haben:P (i) =( ni)p i (1 − p) n−i mit E {i} = np (6)k: Anzahl der Stationen, die bei Beginn eines Zeitschlitzes backlogged sindq r : Wahrscheinlichkeit, dass der Sendeversuch fehlschlägt und damit die Station in denbacklogged-Zustand gehtq a : Wahrscheinlichkeit, dass eine Station ein neues Paket generiertSomit gitl für die Anzahl i der backlogged Stationen:( kQ r (i) = qi)r(1 i − q r ) k−i mit E {i} = kq r (7)Für die übrigen Stationen gilt, da backlogged Stationen keine Pakete generieren können:( ) m − kQ a (j) = q jja(1 − q a ) m−k−j mit E {i} = (m − k)q a (8)2

Die mittlere Anzahl an Kanalzugriffen setzt sich aus der mittleren Anzahl an backloggedStationen zusammen welche senden wollen und der mittleren Anzahl von freien Stationen,die senden wollen:G(k) = E {i} + E {j} (9)= kq r + (m − k)q a} {{ }ρ(k)G(k) und ρ(k) hängen linear von k ab. Auflösen von (10) nach k:Einsetzen von (13) in ρ(k) resultiert in13.6Erweitern von (18) mit m m(10)G(k) = E {i} + E {j} (11)= k(q r − q a ) + nq a (12)⇒ k = G(k) − mq aq r − q a(13)ρ(k) = (m − k)q a (14)(= m − G(k) − mq )aq a (15)q r − q aführt zu:mit mq a = 0,35 und mq r = 4,5 folgt:Zwei Punkte dieser Geraden sind= q amq r − mq a − G(k) + mq aq r − q a(16)= q amq r − G(k)q r − q a(17)= − q aG(k)q r − q a+ nq aq rq r − q a(18)ρ(k) = − m q a G(k)+ m m q r − q a m1. G(k) = 0 ⇒ ρ(k) = S(k) = 0,37952. ρ(k) = S(k) = 0 ⇒ G(k) = 4,5mq a q r(19)q r − q aρ(k) = − mq aG(k)+m2 q a q r(20)mq r − mq a mq r − mq a(21)ρ(k) = −0,0843G(k) + 0,3795 (22)Punkte 1. und 2. in Plot einzeichnen und die entsprechende Gerade ziehen. Der stabilePunkt ist der Schnittpunkt mit der Kurve. Der Schnittpunkt liegt ungefähr bei G(k) =0,6 was im stabilen Bereich liegt.3

13.7Ausgehend von der Binomialverteilung folgt mit q a + q r = p und m = n für i = 1 (genaueine Station will senden)( ) mP 1 = P (1) = p(1 − p) m−1 (23)1= mp(1 − p) m−1 (24)für die Wahrscheinlichkeit eines unbelegten Kanals (i = 0):( ) mP L = P (0) = p 0 (1 − p) m (25)0= (1 − p) m (26)zu einer Kollision kommt es wenn mehr als eine Station auf den Kanal zugreifen will:P K =m∑P (i) (27)i=2Dam∑P (i) = 1 (28)i=0folgtm∑P 0 + P 1 + P (i) = 1 = P 0 + P 1 + P K (29)i=2und damitP K = 1 − P 0 − P 1 (30)= 1 − (1 − p) m − mp(1 − p) m−1 (31)13.8Maximum wird berechnet:P 1 (p) = mp(1 − p) m−1 (32)dP 1dp = m(1 − p)m−1 − mp(m − 1)(1 − p) m−2 (33)4

Für einen Extrempunkt muss gelten:dP 1dp!= 0 (34)m(1 − p) m−1 − mp(m − 1)(1 − p) m−2 = 0 (35)m(1 − p) m−1 = mp(m − 1)(1 − p) m−2 (36)1 − p = p(m − 1) (37)1 = pm (38)p = 1 m(39)zusätzlich hinreichende Bedingung( )d dP1 !

13.9P 1 (p) = mp(1 − p) m−1 (52)(53)mit p = 1/m folgtP 1 (1/m) =(1 − 1 m) m−1(54)m 2 3 5 10 100P (m) 0,5 0,4 0,4096 0,3874 0,3697für m → ∞ gilt analog zu Aufgabe 13.8(lim 1 − 1 ) m−1= 1m→∞ m e(55)6