2 Lineare Gleichungssysteme - Duden Paetec

2 VorwortVorwortÜbersicht zur Stoffverteilung in den Klassen 9 und 10Klasse 9: Thema, Schwerpunkte h Klasse 10: Thema, Schwerpunkte h1 Zahlen und TermumformungenRückblick2831 Trigonometrische Berechnungenund WinkelfunktionenRückblick1.1 Reelle Zahlen 2 1.1 Trigonometrische Berechnungen 81.2 Rechnen mit Quotienten 4 1.2 Winkelfunktionen 71.3 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 6 1.3 Gemischte Aufgaben 41.4 Potenzen mit rationalen Exponenten 6 2 Körperdarst. / Körperberechn. Rückblick 12 31.5 Das Rechnen mit Logarithmen 4 2.1 Zerlegen und Ergänzen von Körpern 31.6 Gemischte Aufgaben 3 2.2 Pyramidenstumpf und Kegelstumpf 32 Lineare Gleichungssysteme Rückblick 15 (2) 2.3 Gemischte Aufgaben 32.1 Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme 3 3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, BinomialverteilungRückblick2.2 Rechnerisches Lösen von Gleichungssystemen4 3.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 102.3 Lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei (2) 3.2 Die Binomialverteilung 12Variablen2.4 Lösen von Sachaufgaben 3 3.3 Gemischte Aufgaben 32.5 Systeme linearer Ungleichungen (2) 4 Potenz- und Exponentialfunkt. Rückblick 18 42.6 Gemischte Aufgaben 3 4.1 Potenz- und Wurzelfunktionen 43 Quadratische Gleichungen –quadratische FunktionenRückblick3.1 Quadratische Gleichungen und Gleichungenhöheren Grades2424.2 Exponential- und Logarithmusfunktionen 58 4.3 Wurzel-, Exponential- undLogarithmusgleichungen3.2 Quadratische Funktionen 10 4.4 Gemischte Aufgaben 33.3 Gemischte Aufgaben 4 5 Zahlenfolgen Rückblick 18 24 Häufigkeitsverteilung und diskrete ZufallsgrößenRückblick1215.1 Zahlenfolgen 54.1 Erfassen und Auswerten statistischer Daten 4 5.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen 54.2 Berechnen und Interpretieren von4 5.3 Partialsummen 3Erwartungswerten4.3 Gemischte Aufgaben 3 5.4 Gemischte Aufgaben 35 Lösen von Aufgaben – Anwendungen 21 6 Geom. Konstrukti. und Beweise Rückblick 10 25.1 Sachaufgaben 5 6.1 Konstruieren geometrischer Objekte 45.2 Komplexe Aufgaben 4 6.2 Beweisen mathematischer Sätze 45.3 Multiple-Choice-Aufgaben 3 Summe: 1085.4 Prozent- und Zinsrechnung 35.5 Tabellenkalkulation 35.6 Computeralgebrasysteme 3Summe: 1002232832

Übersicht zur Stoffverteilung in den Klassen 9 und 10 3Zur Arbeit mit dem LehrermaterialZu den Abschnitten „Rückblick“ im Lehrbuch1. Alle Kapitel mit Ausnahme des Kapitels 5 enthalten als ersten Abschnitt einen „Rückblick“. Der Rückblick enthältausgewählte Inhalte aus den vorangegangenen Klassenstufen, die zum notwendigen Wissen und Können für das jeweiligeKapitel gehören. Damit soll u. a. den Schülern die Möglichkeit zum selbstständigen Wiederholen des bisherigenStoffes gegeben werden.2. Die Rückblicke wurden nicht in die Nummerierung der Abschnitte einbezogen, da es nicht immer sinnvoll ist, dieseInhalte insgesamt oder teilweise zu Beginn zu behandeln. Dies könnte sich z. B. nachteilig auf die Motivation für dasneue Stoffgebiet auswirken. Auch kann eine immanente Wiederholung bei der Behandlung des neuen Stoffes durchausin der jeweiligen Klasse angebracht sein. Weiterhin ist in einigen Fällen eine Wiederholung von einzelnen Inhaltenerst im Laufe des Stoffgebietes sinnvoll. Die Planungsvorschläge enthalten entsprechende Hinweise.3. In den Stoffverteilungsvorschlag wird ein Rückblick aufgenommen, wenn ein entsprechender geschlossener Abschnittzu Beginn als sinnvoll angesehen wird.4. In Abhängigkeit von der Klassensituation ist außerdem vom Lehrer zu entscheiden, in welchem Umfang und auf welchemNiveau eine Reaktivierung erfolgen muss. Eine umfangreiche Sammlung elementarer Aufgaben kann z.B. derReihe „Meine täglichen Übungen in Mathematik“ des duden-paetec-Verlages entnommen werden.Zu den angegebenen StoffverteilungenDie angegebenen Stoffverteilungen sind lediglich als Hilfen und Vorschläge für eine mögliche Umsetzung des Rahmenplansanzusehen. Um die z.T. erhebliche Stofffülle zu bewältigen wurde eine konsequente Schwerpunktsetzung vorgenommen.Dadurch sollen alle Anforderungen des Rahmenplans zumindest auf einem Minimalniveau erfüllt und die wesentlicheZiele mit langfristiger Bedeutung auf einem höheren Niveau realisiert werden.Bei der Gewichtung der Lehrplanziele orientierten wir uns an drei Niveaustufen. Mit dieser Stufung ist eine Differenzierungim Umfang und der Art der Behandlung des Stoffes und damit auch in dem bereitzustellenden Aufgabenmaterialverbunden.allgemeiner Gradder Beherrschungund Dauerhaftigkeitdes StoffesGrad derBeherrschungvon BegriffenGrad derAneignungvon VerfahrenAnforderungenan dieAufgabenauswahlNiveaustufe1 Niveaustufe 2 Niveaustufe 3Die Schüler können imAnschluss an die Behandlungdes Stoffes Hausaufgaben aufgleichem oder leicht erhöhtemNiveau selbstständig bewältigen.Die Schüler können einfacheBeispiele und Gegenbeispielenennen. Sie können Merkmaleund Eigenschaften ohneAnspruch auf Vollständigkeitund Ausschluss von Überschneidungender Beschreibungennennen.Die Schüler können das Verfahrenauf Standardfälle, meist aufder innermathematischenEbene anwenden.Aufgaben nur in einer Stunden,einfache Aufgaben, meist nurStandardaufgaben, keineVerwendung der Aufgaben ingemischten Übungen,täglichen Übungen, KlassenarbeitenDie Schüler können dieAnforderungen im Rahmeneiner Klassenarbeit am Endedes Stoffgebietes bewältigen.Die Schüler können den Begriffin verschiedenen Zusammenhängenanwenden. Sie kennenBeziehungen zu Ober-, NebenundUnterbegriffen. Es werdenSonder- bzw. Grenzfälleerkannt.Die Schüler haben das Verfahrenin das System ihrer Verfahrenskenntnisseeingeordnet. Siekönnen Umkehraufgaben lösen.Behandlung vielfältiger Aufgaben(Umkehraufgaben, Sonderfälle,nicht lösbarer Aufgabenu.a.), mehrere Stunden, Aufgabenin gemischten Übungenund Klassenarbeiten verwendenDie Schüler beherrschen denStoff auch 4 bis 6 Wochen nachAbschluss des Stoffgebietesohne vorherige Wiederholung.Zusätzlich zu den Niveaustufen1 und 2 erfolgt die Verwendungin verschiedenen Zusammenhängenweitgehend automatisiert.Die Schüler können das Verfahrenauf Aufgaben mit Zusatzbedingungen,komplexe Aufgabenu.a. anwenden.umfangreiches und vielfältigesAufgabenangebot unterschiedlicherSchwierigkeit, Elementaraufgabenin täglichenÜbungen festigen, Anforderungenin gemischten ÜbungenbehandelnDie angegebenen Standpunkte und Hinweise zur Behandlung des jeweiligen Themas lagen der Erarbeitung des Unterrichtswerkeszu Grunde und sollen Anregungen zur Auseinandersetzung mit ausgewählten Fragen der Unterrichtsgestaltungvermitteln. Hinweise, Meinungen oder Anfragen nehmen der Herausgeber und die Autoren dankbar entgegen.

4 Zahlen und Termumformungen1 Zahlen und TermumformungenPlanungsvorschlagThema h Schwerpunkte (•), Bemerkungen (–)Rückblick 3 Auswahl entsprechend der Klassensituation:• Zahlenbereiche und Rechenoperationen• Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche• Termbegriff, Verwenden, Interpretieren v. Termen• Struktur von Termen, Berechnen von Termwerten mit und ohne TR• Zusammenfassen, Ausklammern und Ausmultiplizieren, Binomische Formeln• Umstellen von Gleichungen• Rechenoperationen mit gemeinen Brüchen• Potenzbegriff und Rechnen mit Potenzen, Lösen von Exponentialgleichungen• Rechnen mit rationalen Zahlen1.1 Reelle Zahlen 2 • Einführung des Begriffs reelle Zahl, historische Betrachtungen, Erweiterung desDezimalbruchbegriffes, Beziehungen der Zahlenmengen• Nachweis der Irrationalität von 2 durch indirekten Beweis, Vertiefen derKenntnisse zu indirekten Beweisen• Einführen von Intervall, Vertiefung des Verfahrens der Intervallschachtelung,Bestimmen von Näherungswerten für irrationale Zahlen, Rechnen mit irrationalenZahlen1.2 Rechnen mitQuotienten1.3 Potenzen mitganzzahligenExponenten1.4 Potenzen mitrationalenExponenten1.5 Das Rechnen mitLogarithmen4 • Definitionsbereich eines Terms• Erweitern und Kürzen von Quotienten• Addieren und Subtrahieren von Quotienten• Multiplizieren und Dividieren von Quotienten• Division von Summen6 • Erweiterung des Potenzbegriffes auf Null und negative Zahlen als Exponenten– Es sollte an die Bedeutung negativer Zahlen in der Exponentendarstellung vonZahlen auf dem TR angeknüpft werden.• Darstellung von Zahlen mit abgetrenntenZehnerpotenzen• Festigen und Einführen von Einheitenvorsätzen• Rechnen mit Zehnerpotenzen• Potenzen mit beliebiger Basis und ganzzahligen Exponenten6 • Einführung „Kubikwurzel“, Verallgemeinerung zur n-ten Wurzel, „Radikand“,„Wurzelexponent“, „Radizieren“– Hinweis auf Unterschied Definitionsbereich des Radikanden und möglichePotenzwerte [z. B. 3 –8 nicht def., aber (– 2) 3 = – 8]• Berechnen von Wurzeln im Kopf und mit TR• Einführung von Potenzen mit rationalem Exponenten, Umwandeln der Potenzschreibweisein Wurzelschreibweise und umgekehrt• Mitteilen der Gültigkeit der Potenzgesetze für rationale Exponenten, Anwendender Gesetze• Herleiten der Wurzelgesetze als Spezialfälle der Potenzgesetze, Anwenden derGesetze• Rationalmachen von Nennern• Sachaufgaben zu Potenzen mit rationalem Exponenten4 • Einführung des Begriffes „Logarithmus“• Bestimmen von Logarithmen durch inhaltliche Überlegungen• Lösen von Exponentialgleichungen durch inhaltliche Überlegungen und Logarithmieren• Erarbeiten und Anwenden der Logarithmengesetze

Standpunkte und Hinweise zur Behandlung des Themas 5Thema h Schwerpunkte (•), Bemerkungen (–)1.6 Gemischte Aufgaben 3 Auswahl von 2 bis 3 Schwerpunkten:• Umformen von Termen• Rechnen mit Quotienten• Übersetzen von Texten zu Zahlen und geometrischen Sachverhalten• formale Aufgaben zu Potenzgesetzen• Sachaufgaben zum Rechnen mit Zehnerpotenzen• Sachaufgaben zum exponentiellen Wachstum• Sachaufgaben zum Rechnen mit Zehnerpotenzen, Entwicklung von Größenvorstellungenund Umgehen mit Einheitenvorsätzen– große Volumina– große Geldbeträge– kleine Entfernungen– große Anzahlen– große Entfernungen, Massen und DichtenSumme: 28Standpunkte und Hinweise zur Behandlung des ThemasBehandlung der reellen ZahlenBereits in Klasse 7 wurde im Zusammenhang mit der Behandlung der Quadratwurzeln der Begriff irrationale Zahl alsunendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch eingeführt und die Bestimmung der Dezimalstellen am Beispiel der Zahl2 erläutert. In Klasse 8 lernten die Schüler die irrationale Zahl π kennen.Bei der Behandlung der reellen Zahlen in Klasse 9 sollte man diese Kenntnisse aufgreifen und vertiefen. Insbesonderesollte auf Bildung und Eigenschaften unendlicher nichtperiodische Dezimalbrüche eingegangen werden. Dabei erweiternsich die Vorstellungen zu Dezimalbrüchen, die jetzt nicht mehr generell als Form der Darstellung gebrochener Zahlenangesehen werden können. Die von den Schüler oft bereits intuitiv vorgenommen Trennung von Brüchen und Dezimalbrüchenerhält nun auch eine fachliche Grundlage. Dezimalbrüche sind im Allgemeinen keine spezielle Form oder Darstellungvon Brüchen. Dies trifft nur für endliche oder unendliche periodische Dezimalbrüche zu.Der Beweis der Irrationalität von 2 kann genutzt werden, um das Verfahren des indirekten Beweises abzuheben. Umdie Schlussweise verständlich zu machen, kann davon ausgegangen werden, dass eine Behauptung entweder wahr oderfalsch ist und ein dritter Fall nicht möglich ist. Anstelle direkt nachzuweisen, dass eine Behauptung richtig ist, kann diesauch indirekt beweisen werden, indem man zeigt, dass die Annahme, die Behauptung wäre falsch, zu einem Widerspruchführt. Diese Schlussweise entspricht den Gedankengängen bei einem „Alibibeweis“ in der Kriminalistik. Das Alibi einerPerson beweist indirekt, dass sie nicht der Täter sein kann.Mit historischen Betrachtungen zur Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die Pythagoreer und Betrachtungen zurDichtheit der rationalen und irrationalen Zahlen kann das Bild der Schüler über die Mathematik vertieft werden.Rechnen mit QuotientenDas Rechnen mit Quotienten sollte vor allem zur Wiederholung des Rechnens mit gemeinen Brüchen genutzt werden.Die entsprechenden Vorgehensweisen beim Arbeiten mit Quotienten können durch Verallgemeinerung der Regeln derBruchrechnung gewonnen werden.Durch die komplizierte Struktur der Terme, die Häufung von Variablen und die ohnehin vorhandenen Probleme mit derBruchrechnung sind die Aufgaben sehr anspruchsvoll. Wegen ihrer geringen Bedeutung in der späteren Entwicklung derRealschüler sollte das Rechnen mit Quotienten nur in geringem Umfang durchgeführt werden.Die Entwicklung des PotenzbegriffsBereits im Rückblick sollte bei der Wiederholung des Potenzbegriffes darauf hingewiesen werden, dass bisher nur natürlicheZahlen als Exponenten verwendet wurden und die Formulierung: „Der Exponent gibt an, wie oft die Basis als Faktorauftritt.“ nur für natürliche Zahlen als Exponenten gilt.Die oft verwendetet Formulierung „an heißt n-mal der Faktor a“ sollte deshalb und auch wegen der leichten Verwechslungmit n · a vermieden werden.Die Definition a –n = ---- 1 sollte ausführlich begründet und motiviert werden. Da die Potenzgesetze noch nicht zur Verfügungstehen, kann nur ndas Permanenzprinzip verwendet und auf die den Schülern bekannte Bedeutung negativeraExpo-

6 Zahlen und Termumformungennenten in der Anzeige eines Taschenrechners eingegangen werden. Der Unterschied zwischen negativen Zahlen undPotenzen mit negativen Exponenten sollte herausgestellt werden.Darstellen und Vorstellen sehr großer und sehr kleiner ZahlenDas Können im Umgehen mit sehr kleinen und sehr großen Zahlen, die mit abgetrennten Zehnerpotenzen bzw. mit Einheitenvorsätzendargestellt sind, wird in vielen Berufen und im täglichen Leben oft benötigt und sollte zur mathematischenGrundbildung gehören, wobei es vor allem um die Potenzen von 10 9 bis 10 –9 geht.Damit verbunden sind Kenntnisse zur Veranschaulichung solcher Zahlen, die bereits in den Klassen 5 und 6 vermitteltwurden. Im Abschnitt 1.6 werden im Rahmen von Aufgaben geeignete Vergleichsmöglichkeiten für große Geldbeträge,große Anzahlen, große Volumina, sehr große und sehr kleine Entfernungen angeboten. Sie beruhen meist auf einem Vergleichmit anderen Größen, von denen man eine Vorstellung hat.Bedeutung und Anwenden der PotenzgesetzeDie Hauptanwendung der Potenzgesetze bei Sach- und Anwendungsaufgaben ist das Arbeiten mit Zehnerpotenzen. Diesist oft inhaltlich durchführbar und stellt nicht so hohe Anforderungen an das Können im Arbeiten mit Variablen. Die dreiGesetze für Zehnerpotenzen können leicht gewonnen und auf Potenzen mit gleicher Basis verallgemeinert werden.Eine wichtige Anwendung von Potenzen mit beliebiger Basis ist das Schreiben von Brüchen als Produkte und umgekehrtinsbesondere bei Quotienten von Größen. Das Vereinfachen von Termen mit komplizierter Struktur und mehreren Variablenals Basen bzw. Exponenten hat für spätere Anwendungen eine geringe Bedeutung und sollte nicht geübt werden.Aufgaben zur Anwendung der Potenzgesetze können inhaltlich und formal gelöst werden. Das inhaltliche Lösen basiertauf der Bedeutung der Potenzschreibweise. So wie bereits beim Ausklammern und Ausmultiplizieren in der Klasse 8vorgegangen wurde, müssen dabei die Potenzen (im Kopf!) ausführlich geschrieben bzw. Produkte zu Potenzen zusammengefasstwerden.Beim formalen Lösen sind folgende Teilhandlungen erforderlich:– Erkennen der Struktur des Terms– Identifizieren der Basen und Exponenten der vorkommenden Potenzen– Feststellen, ob Basen oder Exponenten gleich sind– Reaktivieren des betreffenden Gesetzes– Belegen der Variablen im Gesetz– Durchführen der Rechnungen– Kontrolle der HandlungenBei diesen vielen Teilhandlungen ist naturgemäß die Fehlerwahrscheinlichkeit sehr groß. Deshalb sollten nach Möglichkeitvor allem solche Aufgaben gestellt werden, die auf Grund des überschaubaren Zahlenmaterials inhaltlich gelöst werdenkönnen.Das 4. und 5. Potenzgesetz wird vor allem als „Umkehrung“ beim Potenzieren von Produkten und Brüchen verwendet.Deshalb sollte auch von dieser Interpretation ausgegangen werden.

Planungsvorschlag 72 Lineare GleichungssystemePlanungsvorschlagThema h Schwerpunkte (•), Bemerkungen (–)Rückblick 2 • Belegen von Variablen• Umformungsregeln für Gleichungen und Ungleichungen• Lösen von Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen2.1 GrafischesLösenlinearerGleichungssysteme2.2 RechnerischesLösen vonGleichungssystemen2.3 Lineare Gleichungssystememit mehr alszwei Variablen2.4 Lösen vonSachaufgaben2.5 Systeme linearerUngleichungen• Darstellung linearer Zusammenhänge und Funktionen,Bestimmen von Parametern3 • Einführen von „lineare Gleichung mit zwei Variablen“, Interpretieren der Gleichungals Gleichung einer linearen Funktion• Einführen von „lineares Gleichungssystem“• Grafisches Lösen von linearen Gleichungen mit zwei Variablen– Die Idee der Transformation eines Problems in die Sprache eines anderen Gebietessollte besonders herausgehoben werden.4 • Einführen des Gleichsetzungsverfahrens, des Einsetzungsverfahrens und desAdditionsverfahrens (Zusatz) und Lösen formaler Aufgaben• Lösen formaler Aufgaben• Vergleich der Verfahren und Auswahl eines geeignetes Verfahrens bei formalenAufgaben(2) • Ausblick auf lineare Gleichungssystem mit mehr als zwei Variablen• Lösen linearer Gleichungssystem mit drei Variablen durch Zurückführen aufSysteme mit zwei Variablen3 • Aufstellen von Gleichungen mit zwei Variablen• Lösen von Aufgaben mit Tabellen• inhaltliches Lösen von Sachaufgaben(2) • Einführen von „lineare Ungleichung mit zwei Variablen“ ; Darstellung der Lösungsmenge• grafische Lösung eines linearen Ungleichungssystems• Lösen einer Sachaufgabe2.6 Gemischte Aufgaben 3 • Verknüpfung von grafischen und rechnerischen Lösungsverfahren durchAufgaben zu Geradengleichungen• Sachaufgaben zu linearen Gleichungssystemen– Kostenfunktionen– Bewegungsaufgaben– Berechnen von Zahlen und StreckenSumme: 15– Mischungs- und Altersaufgaben

8 Lineare GleichungssystemeStandpunkte und Hinweise zur Behandlung des ThemasEntwicklung des Gleichungs- und VariablenbegriffsDurch die Behandlung von Gleichungen und Ungleichungen mit zwei Variablen wird der Gleichungs- und Ungleichungsbegriffverallgemeinert und vertieft. Anknüpfend an die Lösung von Gleichungen mit zwei Unbekannten imBereich der natürlichen Zahlen in Kl. 5 sollen die Schüler erkennen, dass eine Gleichung nicht nur eine Zahl als Lösung,sondern auch Paare von Zahlen als Lösung haben kann. Damit können weiterhin wichtige Beiträge zur Weiterentwicklungdes Gleichungs- und Variablenbegriffs, zum Verständnis der Beziehungen von Algebra und Analysis und damit zumVerständnis des graphischen Lösens von Gleichungssysteme geleistet werden.Weiterhin wird die Vorstellung von einer Variablen in einer Gleichung als zwar unbekannte aber feste Zahl erweitert undder Aspekt der Variabilität auch auf Variable in Gleichungen ausgedehnt. Die Gleichungen sollten deshalb auch nicht alsGleichung mit zwei Unbekannten, sondern als Gleichung mit zwei Variablen bezeichnet werden. Bei der Lösung vonGleichungssystemen tritt dieser Aspekt allerdings wieder in den Hintergrund, da es erneut um die Bestimmung unbekannteraber fester Zahlen geht.Vertiefung des Transformations- und ZerlegungsprinzipsIn Weiterführung der Vorgehensweise zur graphischen bzw. rechnerischen Bestimmung von Nullstellen kann erneut einwesentlicher Beitrag zur Verständnis der Beziehungen von algebraischen und analytischen Betrachtungen geleistet unddas Transformationsprinzip (Übersetzen eines Problems in die Sprache einer anderen Teildisziplin) verdeutlicht werden.In diesem Fall wird von einem algebraischen Problem ausgegangen und in die Analysis („Sprache der Funktionen“)übersetzt. Diese verschiedenen Sichtweisen sollten gründlich diskutiert und auseinander gehalten werden.Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist ein Beispiel für die Lösung eines Problems durch Zerlegen in Teilproblemeund Bilden des Durchschnitts der Lösungen der Teilprobleme (Zerlegungsprinzip). Diese heuristische Vorgehensweisetrat bereits bei der Lösung von Konstruktionsaufgaben nach der Methode der Bestimmungslinien auf und sollte alsVerfahren den Schülern bewusst gemacht werden, wobei ein Hinweis auf das Lösen von Konstruktionsaufgaben sinnvollist.Zur Aneignung der rechnerischen LösungsverfahrenDie verschiedenen Verfahren zur rechnerischen Lösung eines linearen Gleichungssystems sollten in folgender Weise indie bisherigen Kenntnisse der Schüler zum Lösen von Gleichungen bzw. zum graphischen Lösen eingebettet werden,damit keine neuen Verfahren angeeignet werden müssen.– Das Gleichsetzungsverfahren lässt sich als rechnerische Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden auffassenund somit in die Kenntnisse zum graphischen Lösen einordnen.– Das Einsetzungsverfahren entspricht der Ersetzung einer Variablen durch einen Term. Dieses Verfahren wurde implizitbisher bereits häufig bei der Lösung von Sachaufgaben mit mehreren Unbekannten angewandt.In Kl. 8 wurde darauf orientiert, möglichst wenige Variable zu verwenden, wozu die Erfassung der gegebenen undgesuchten Größen in Tabellen geeignet ist.– Das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren lässt sich als Anwendung einer Umformungsregel für Gleichungen(auf beiden Seiten denselben Term addieren oder subtrahieren) auffassen.Das Lösen linearer Gleichungssysteme sollte zur Anbahnung folgender allgemeiner Einsichten genutzt werden.– Das Einsetzungsverfahren kann zum Lösen von beliebigen Gleichungssystemen mit mehreren Variablen verwendetwerden, indem man eine Gleichung nach einer Variablen auflöst und sie in allen anderen Gleichungen durch denbetreffenden Term ersetzt.– Man kann beliebige Gleichungen addieren bzw. voneinander subtrahieren.Lösen von SachaufgabenDas Lösen von Sachaufgaben sollte ein Schwerpunkt des Kapitels sein. Insbesondere geht es um das Aufstellen von Gleichungenmit zwei Variablen zu außermathematischen Sachverhalten. Hier treten häufig Umkehrfehler auf. Um diesemöglichst zu vermeiden, sollten die Schüler daran gewöhnt werden, sich vor dem Aufstellen der Gleichung stets ein konkretesBeispiel zu überlegen bzw. nach dem Aufstellen der Gleichung diese an einem Beispiel zu überprüfen.

Planungsvorschlag 93 Quadratische Gleichungen / quadratische FunktionenPlanungsvorschlagThema h Schwerpunkte (•), Bemerkungen (–)Rückblick 2 • Wiederholung der Quadratzahlen und Berechnen von Quadratwurzeln• Bestimmen von Beträgen, inhaltliches Lösen von Betragsgleichungen• Berechnen von Produkten und Faktorisieren von Summen (binomische F.)• Beschreiben von Zusammenhängen, Darstellung von Funktionen, funkt. Betrachtungen3.1 QuadratischeGleichungen undGleichungenhöheren Grades3.2 Quadratische 10FunktionenQuadratische 3Funktionen mit derGleichung y = ax 2Quadratische 2Funktioneny = ax 2 + eQuadratische Funktiineny = (x + d) 2 + eQuadratischeFunktionen mitder Gleichungy = x 2 + px + q328 • Einführen von „quadratische Gleichung“, und „Gleichung n-ten Grades“,identifizieren und realisieren dieser Gleichungen• Verwenden des Zusammenhangs von Quadrieren und Wurzelziehen für Gleichungender Form x 2 = a und (x + a) 2 = b, Anwendungen– Die Eindeutigkeit des Wurzelziehens sollte hervorgehoben werden.• Satz: „Wenn das Produkt zweier Terme gleich Null ist, muss mindestensein Faktor den Wert Null haben.“ x(x + a) = 0, (x + a)(x + b) = 0 und x 2 + ax = 0• binomischer Formeln zur Lösung von Gleichungen der Form x 2 + ax + b = c• Herleiten der Lösungsformel und Anwenden zur algorithmischen Lösungquadratischer Gleichungen• Aufstellen und Lösen quadratischer Gleichungen zur Bestimmung von Zahlenund zu geometrischen Sachverhalten• Vergleich der Lösungsverfahren• Quadratische Gleichungen mit Parametern• Lösen durch Probieren und zur Kontrolle• Lösen von Gleichungen höheren Grades durch inhaltliche Überlegungen• Vergleich linearer und quadratischer Zusammenhänge• Begriffe Parabel, Normalparabel, Scheitelpunkt, Darstellung und Eigenschaftender Funktion y = ax 2 , Einfluss des Parameters auf den Graphen, Skizzieren vonGraphen, Finden von Gleichungen zu gegebenen Eigenschaften• Finden einer Funktion für einen Zusammenhang• Darstellung und Eigenschaften der Funktion y = ax 2 + e, Einfluss des Parameterse auf den Graphen, Finden von Gleichungen zu gegebenen Eigenschaften• Anwenden der Merkmale zur Beschreibung von Eigenschaften einer Funktion• Bestimmen der Nullstellen der Funktion• Darstellung und Eigenschaften der Funktion y = (x + d) 2 + e, Einfluss der Parametersd und e auf den Graphen, Finden von Gleichungen• Anwenden der Merkmale zur Beschreibung von Eigenschaften einer Funktion• Einführen von Normalform und Berechnen des Scheitelpunktes• Berechnen von Nullstellen (Der Zusammenhang der x-Koordinate desScheitelpunktes mit den Nullstellen sollten erarbeitet werden.)• allgemeine Form der quadratischen Funktion• Bestimmen der Koordinaten der Schnittpunkte von Funktionsgraphen3.3 Gemischte Aufgaben 4 Auswahl aus folgenden Schwerpunkten:• Lösbarkeitsuntersuchungen und Anzahl der Lösungen• Aufstellen von Gleichungen zu vorgegeben Lösungen• Lösen quadratischer Gleichungen durch Umformen in die Normalform undAnwendung der Lösungsformel• grafisches Lösen quadratischer Gleichungen• Aufstellen und Lösen quadratischer Gleichungen zu Zahlenrätseln• Aufstellen und Lösen quadratischer Gleichungen zu geometrischen Sachverhalten• Lösen von Sachaufgaben• Vertiefen der Kenntnisse zum Modellieren realer Sachverhalte• Untersuchen von beschleunigten Bewegungsvorgängen• Bestimmen von Funktionsgleichungen für gegebene Kurven• Anwenden quadratischer Funktionen zur Lösung von Optimierungsaufgaben• Systematisierung der Eigenschaften quadratischer FunktionenSumme: 24

10 Quadratische Gleichungen / quadratische FunktionenStandpunkte und Hinweise zur Behandlung des ThemasZur Reihenfolge der Behandlung von quadratischen Gleichungen und quadratischenFunktionenDie quadratischen Gleichungen werden aus folgenden Gründen vor den quadratischen Funktionen behandelt:– Auf diese Weise kann die Eigenständigkeit der Entwicklung des Könnens im Lösen von Gleichungen stärker hervorgehobenwerden. Der mathematische Bezug zu den quadratischen Funktionen kann auch nach deren Behandlung erarbeitet werden.– Das Lösen quadratischer Gleichungen ist einfacher als die Bearbeitung der oft komplexen Probleme im Zusammenhangmit quadratischen Gleichungen.– Durch die Behandlung quadratischer Gleichungen können einige Elemente bei der Behandlung quadratischer Funktionenvorbereitet werden (Diskriminante, quadratische Ergänzung, Nullstellenberechnung).– In der Kl. 8 wurden auch zuerst die linearen Gleichungen und dann die linearen Funktionen behandelt. Es wird in Kl. 9eine möglichst weitgehende Analogie zwischen der Behandlung der Gleichungen bzw. Funktionen angestrebt.Die Zusammenhänge zwischen quadratischen Gleichungen und quadratischen Funktionen werden im Abschnitt „Nullstellenquadratischer Funktionen“ erarbeitet und auch in den gemischten Übungen gefestigt. Auch deshalb werden beideProblemkreise in einem Kapitel behandelt.Zum Verhältnis von inhaltlichem und algorithmischen Lösen quadratischer GleichungenDie Grundidee zur Weiterentwicklung des Könnens im Lösen von Gleichungen besteht in der Ausprägung des Wechselverhältnissesvon inhaltlichem und kalkülmäßig-algorithmischen Lösen. Beide Lösungsverfahren werden vertieft und erweitert. DerGegensatz zwischen beiden Vorgehensweisen wird zur Wirkung gebracht und in Richtung der Dominanz des inhaltlichen Lösensentwickelt, d.h., es sollte für den Schüler die Grundregel gelten: „Versuche jede Gleichung zuerst inhaltlich zu lösen.“ Die Schülersind daran zu gewöhnen, die Lösungsformel erst anzuwenden, wenn sie die Gleichung nicht inhaltlich lösen können.Es wird deshalb nicht die Behandlung einer Vielzahl von Gleichungstypen mit algorithmischen Methoden angestrebt.Diese Vorgehensweise ist zeitaufwendig und sehr anspruchsvoll, da die Schüler dazu alle Typen und Lösungsformeln lernenmüssen, bei einer konkreten Gleichung immer zuerst den Typ identifizieren, die Parameter bestimmen und dann dieFormel richtig anwenden müssen.Als neue inhaltliche Lösungsverfahren werden eingeführt:– Verwenden des Zusammenhangs von Quadrieren und Wurzelziehen bei Gleichungen wie x 2 = 15 bzw. (x + 2) 2 = 7– Anwenden des Satzes „Wenn a · b = 0, dann a = 0 oder b = 0” zum Lösen von Gleichungen wie x(x – 2) = 0,(x – 3)·(x + 5) = 0, x 2 + 3x = 0– Anwenden der binomischen Formeln zum Lösen von Gleichungen wie x 2 + 2x + 1 = 0, x 2 – 16 = 0 (Bezug zu denanderen beiden Verfahren möglich)– Finden einer Lösung durch Probieren auch mithilfe des Satzes des Vieta, Reduzieren des Grades durch PolynomdivisionDas Wurzelziehen sollte als nicht äquivalente Umformung gekennzeichnet werden. Der Zusammenhang zwischen der eindeutigenRechenoperation Wurzelziehen und der Lösung einer quadratischen Gleichung x 2 = a sollte erneut herausgestellt werden.Zur Behandlung von speziellen Begriffen und SätzenEs wird ein minimales Begriffssystem angestrebt. Nicht behandelt werden die Begriffe „rein quadratische Gleichung“und „gemischt quadratische Gleichung“. Der Begriff „Diskriminante“ und die Bezeichnung D wird im Zusammenhangmit der Lösungsformel eingeführt, da er zur Verkürzung der Sprech- und Schreibweise auch bei den quadratischen Funktionenverwendet werden kann. Der Satz des VIETA sollte nur als Zusatz behandelt werden. Damit wird dann aber aucheine weiter inhaltliche Lösungsmethode, das geeignete Zerlegen der Koeffizienten, möglich.Zur quadratischen ErgänzungDas Lösen quadratischer Gleichungen mit der quadratischen Ergänzung sollte aus folgenden Gründen nicht geübt werden.– Es ist ein inhaltliches Lösungsverfahren mit beschränkter Anwendbarkeit und erfordert einen hohen Rechenaufwand,ist also stark fehleranfällig.– Die Normalform der quadratischen Gleichung kann effektiver mit der Lösungsformel gelöste werden. Das Verfahrender quadratischen Ergänzung bringt keinen Zeit- oder Rechenvorteil wie bei anderen inhaltlichen Lösungsverfahren.– Die Schüler müssen ohnehin zum Anwenden der Lösungsformel befähigt werden, da dies allgemeine erwartet wird.– Ein zu langes Arbeiten mit der quadratischen Ergänzung behindert das Gewöhnen an die Lösungsformel.Die quadratische Ergänzung wird beim Herleiten der Lösungsformel benötigt. Sie kann problemhaft erarbeitet werden.

Standpunkte und Hinweise zur Behandlung des Themas 11Beziehungen von linearen und quadratischen FunktionenUm die Kenntnisse der Schüler zu Funktionen systematisch aufzubauen und miteinander zu verbinden, sollte die Möglichkeitgenutzt werden, folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu linearen Funktionen herzustellen.– Die quadratischen Funktionen sollten analog zur Einführung der linearen Funktionen nicht aus innermathematischerSicht, sondern über die Betrachtung realer Zusammenhänge gewonnen werden.– Die Graphen beider Funktionen sind besondere geometrische Linien (Kurven) die einen eigenen Namen haben(Gerade bzw. Parabel). Mit den Funktionsgleichungen können deshalb auch diese Kurven dargestellt werden.– In den Funktionsgleichungen treten neben den Variablen x und y weitere Variable auf, die Parameter heißen. Bei linearenFunktionen sind dies m und n und bei quadratischen a, d, e, p und q. Von ihnen hängt der Verlauf der Graphen ab.– Es gibt eine Normalparabel aber keine „Normalgerade“, da alle Graphen linearer Funktionen die gleiche geometrischeForm haben. Bezüglich der Lage im Koordinatensystem spielt aber bei den linearen Funktionen der Graph von y = xdie Rolle der Normalparabel.– Der Parameter m bewirkt wie der Parameter a eine Streckung bzw. Stauchung des Graphen bezüglich der x-Achse (ImUnterschied zur zentrischen Streckung ist dies eine Geradenstreckung). Bei y = mx kann dies auch als Drehung umden Koordinatenursprung aufgefasst werden.– Unterscheiden sich die Anstiege m und die Parameter a je zweier linearer bzw. quadratischer Funktionen y = mx und y = ax 2nur um das Vorzeichen, gehen die Graphen der Funktionen durch Spiegelung an der x-Achse auseinander hervor.– Die Parameter n und e haben die gleiche Bedeutung. Sie geben die Richtung und Weite der Verschiebung bezüglich dery-Achse an.– Der Graph der Funktion y = x + d entsteht analog zum Graphen von y = (x +d) 2 durch Verschiebung des Graphen vony = x bzw. y = x 2 um –d in x-Richtung.– Im 1. Quadranten gilt für beide Funktionen bei positivem m und positivem a: Wenn x wächst, wächst auch y. Allerdingsist bei konstantem Zuwachs von x der Zuwachs von y bei einer linearen Funktion auch immer konstant, währender bei einer quadratischen Funktion zunimmt je größer der Ausgangswert von x ist.Finden von Funktionen zu ZusammenhängenIm naturwissenschaftlichen Unterricht, insbesondere im Physikunterricht werden Funktionen häufig verwendet, um auf derGrundlage von Messreihen eine Gleichung für einen Zusammenhang zwischen Größen zu finden. Es bietet sich an, dieses Problemexemplarisch für Bewegungsvorgänge bei der Behandlung der Funktion y = ax 2 zu diskutieren. Dabei können gleichzeitig der kausaleAspekt des Funktionsbegriffes und die Sprechweisen: „Die Größe y hängt von der Größe x ab.“ bzw. „Die Größe y ist eineFunktion der Größe x.“ vertieft werden. Für quadratische Funktionen gibt es im Unterschied zu den linearen Funktionen viel wenigerZusammenhänge zwischen Größen, die damit in für Schüler verständlicher Weise beschrieben werden können. Das Hauptanwendungsfeldsind die beschleunigten Bewegungen, die im Physikunterricht allerdings erst in der 10. Klasse behandelt werden.Zur Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunktes quadratischer FunktionenZur Bestimmung der Scheitelpunktskoordinaten aus der Normalform gibt es drei Möglichkeiten:– Überführung in die Scheitelpunktsform mithilfe der quadratischen Ergänzung– Verwenden der allgemeinen Formeln zur Berechnung der Koordinatenp– Berechnen der x-Koordinate mit dem Term – --pund der y-Koordinate als Funktionswert f(– -- ).22Die erste Möglichkeit sollte nicht verwendet werden, da bei der Behandlung quadratischer Gleichungen keine Fertigkeiten imBestimmen der quadratischen Ergänzung ausgebildet wurden und die Rechnungen zudem sehr fehleranfällig sind. Wenn einTafelwerk zur Verfügung steht, können die allgemeinen Formeln verwendet werden, was in Vorbereitung der Abschlussprüfungensinnvoll ist. Am einfachsten ist die Verwendung der dritten Möglichkeit. Die Berechnung des Term – p--ist bei der Lösungsformelfür quadratische Gleichungen geübt worden. Der Zusammenhang mit der Lösungsformel ist grafisch leicht einsichtig,2wenn die Nullstellen existieren und die Berechnung von Funktionswerten ist ohnehin eine notwendige Grundhandlung.Die dritte Möglichkeit lässt sich auch auf den Fall der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion übertragen.Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist in diesem Fall – ----- b . Bei Anwendung dieser Vorgehensweise sollte zuerst die2aNull-stellenberechnung vorgenommen werden. Die dabei zu berechnenden Terme – p-- bzw. – ----- b können dann als2 2ax-Koordinate des Scheitelpunktes verwendet werden,Lösung von ExtremwertaufgabenMithilfe der Eigenschaften quadratischer Funktionen können ohne die Hilfsmittel der Differentialrechnung auf elementareWeise Extremwertaufgaben gelöst werden. Die Schüler können so bereits an diesen wichtigen Aufgabentyp in derAbiturstufe herangeführt werden, da bereits die wesentliche Betrachtungsweisen beim Lösen dieser Aufgaben auftreten.Es sollte allerdings keine spezielle Schrittfolge erarbeitet werden, sondern auch in diesem Fall eine Orientierung an den5 allgemeinen Schritten beim Lösen einer Sachaufgabe erfolgen. Die entscheidende Lösungsidee ist das Transformationsprinzip,das bereits beim grafischen Lösen linearer Gleichungssystem verwendet wurde.

12 Häufigkeitsverteilungen / diskrete Zufallsgrößen4 Häufigkeitsverteilungen / diskrete ZufallsgrößenPlanungsvorschlagThema h Schwerpunkte (•), Bemerkungen (–)Rückblick 1 • zufälliger Vorgang, Merkmal, Ergebnismenge, Einfluss von Bedingungen• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten mit LAPLACE-Regel• Berechnen relativer Häufigkeiten• Vergleich von Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten4.1 Erfassen undAuswertenstatistischerDaten4.2 Berechnen undInterpretieren vonErwartungswerten4 • Wiederholung der Berechnung des arithmetischen Mittels• Wiederholung und Festigung der Arten grafischer Darstellungens• Interpretieren von Entwicklungskurven, Entwicklungstrends• Einführen und Berechnen von Modalwert und Zentralwert• Einführen der Streuungsmaße Spannweite, durchschnittliche Abweichung undVierteldifferenz, Darstellung von Kenngrößen in einem Boxplot• Klassenbildung an Beispielen, Berechnung von Kenngrößen bei Klasseneintei-lung• Erkennen von Fehlern in grafischen Darstellungen4 • Einführen von Erwartungswert, Eigenschaften,Bezug zum arithmetischen Mittel• Berechnen von Erwartungswerten in Sachkontexten4.3 Gemischte Aufgaben 3 Auswahl eines der folgenden Schwerpunkte:• Finden verschiedener Methoden zum Auswerten eines Datensatzes• Darstellung und Interpretation von Entwicklungskurven• Berechnen von Gewinnerwartungen, Treffen von Entscheidungen• Auswertung von Befragungsergebnissen, Planen, Durchführen, Auswerten einer BefragungSumme: 12Standpunkte und Hinweise zur Behandlung des ThemasVertiefen der Kenntnisse und Fähigkeiten im Umgang mit statistischen DatenDer Abschnitt 4.1 dient der Festigung der bisher in verschiedenen Stoffgebieten behandelten Inhalte zur Statistik:– Einführung weiterer Mittelwerte und Einführung von Streuungsmaßen– Darstellung von Verteilungen in Boxplots– Gruppierung von Daten (Klassenbildung) und grafische Darstellung gruppierter Daten– Beschreibung von Entwicklungskurven durch Trendangaben– typische Fehler beim Umgang mit statistischen Daten insbesondere in grafischen DarstellungenDer Abschnitt sollte im Zusammenhang mit der möglichen Durchführung eines Projektes zur Auswertung von Daten geplantwerden. Für die Behandlung von Erwartungswerten ist nur die Wiederholung des arithmetischen Mittels erforderlich.Beschreibende Statistik und Explorative DatenanalyseUnter der Explorativen Datenanalyse (EDA) versteht man ein bestimmtes System von Verfahren und Techniken sowie eine neue Sichtweisezur Gewinnung von Erkenntnissen aus empirischen Daten, die in Ergänzung und teilweise im Gegensatz zu den „klassischen“ Verfahrenbeschreibender Statistik ab Ende der 70er Jahre entwickelt wurden. Die EDA lässt sich durch folgende Merkmale charakterisieren.– Hauptziel der Datenanalyse ist die Aufdeckung von Besonderheiten des Datensatzes sowie die Suche nach Zusammenhängenund Ursachen für diese Besonderheiten. Dies führt dazu, dass die geeigneten Auswertungsverfahren(z.B. Bildung von Teilgruppen und ihr Vergleich) oft erst im Verlauf der Analyse ausgewählt werden können.– Es wird nicht vorausgesetzt, dass die Daten repräsentativ für die Grundgesamtheit sind, d. h. aus einer Zufallsstichprobestammen. Grundlage für die Erforschung von Zusammenhängen und Ableitung von Einschätzungen bleibendeshalb stets die Besonderheiten der Stichprobe und des Umfeldes aus dem die Daten stammen.– Einen besonderen Stellenwert in der EDA haben die graphischen Auswertungsmethoden. Die Besonderheiten undMerkmale der Daten sollen vor allem visuell ermittelt werden. Deshalb werden als grafische Darstellung häufig Stamm-Blätter-Diagramme und Boxplots sowie als Kenngrößen dementsprechend der Median und die Vierteldifferenz gewählt.

Standpunkte und Hinweise zur Behandlung des Themas 13KlassenbildungBei einer Klassenbildung (Klasseneinteilung) werden mit dem Ziel der Verdichtung der Daten nebeneinander liegendeMerkmalsausprägungen zu einer Klasse zusammengefasst. Eine gründliche Behandlung der Klassenbildung einschließlichder entsprechenden graphischen Darstellung, dem Histogramm, erfordert einen erheblichen zeitlichen und begrifflichenAufwand. So wird z. B. durch die Wahl der Klassenbreite die Form der Verteilung beeinflusst.Die Klassenbildung sollte deshalb nur an einem Beispiel demonstriert werden.Grafische DarstellungenEs gibt eine Vielzahl grafischer Darstellungen mit unterschiedlichen, z. T. einander widersprechenden Bezeichnungen.Einheitlich ist nur die Bezeichnung Kreisdiagramm. In dieser Lehrbuchreihe werden weiterhin folgende Bezeichnungenin der angegebenen Bedeutung verwendet.– In einem Stamm-(und-)Blätter-Diagramm werden von den als Dezimalbrüche vorliegenden Merkmalswerten dieletzte oder die letzten beiden Stellen abgetrennt und als „Blätter“ in einer Zeile neben den übriggebliebenen „Stamm“der Zahlen geschrieben. Weitere übliche Bezeichnungen sind Stamm-(und-)Blatt-Diagramm oder Stängel-(und-)Blätter-Diagramm.Es werden die Begriffe Stamm und Blätter verwendet, da es meist mehrere „Blätter“ gibt und das Wort„Stamm“ den Schülern aus dem Sprachunterricht als Teil eines Wortes bekannt ist, dem andere Bestandteile zugesetztoder angehängt werden. Der Begriff „Stängel“ ist ein biologischer Terminus und hat auch im umgangssprachlichenSinne wenig Bezug zum Sachverhalt.– Mit Streckendiagramm wird ein Häufigkeitsdiagramm bezeichnet, in denen man die Häufigkeit der Merkmalsausprägungendurch Strecken (waagerecht oder senkrecht) veranschaulicht. Der z. T. verwendetet Begriff Stabdiagramm istnicht günstig, da „Stab“ keine mathematische Bezeichnung ist und Stäbe einen Durchmesser haben, während Stre-ckenkeine Breite besitzen. Es sollten auch stets Strecken gezeichnet werden und nicht wie in einigen Büchern dünne Streifen.– Unter einem Streckendiagramm wird eine Darstellung mit Rechtecken beliebiger Breite verstanden, bei denen entwe-derdie Höhe proportional zur Häufigkeit ist oder das Rechteck prozentual in Teilrechtecke unterteilt ist. Die Recht-ecke könnendabei waagerecht oder senkrecht angeordnet sein, sich berühren oder auch nicht. Andere Bezeichnungen sind Säulendiagramm,Balkendiagramm oder Blockdiagramm. So wird z.B. im Programm EXCEL bei stehenden Rechtecken derBegriff Säulendiagramm und bei liegenden Rechtecken der Begriff Balkendiagramme verwendet.Die Bezeichnung Streifen wird bevorzugt, da die Schüler den Begriff Streifen aus dem Geometrieunterricht kennen, Balkenund Säule weniger mathematische Begriffe und in ihrer Bedeutung belegt sind. „Balken“ wäre noch am ehes-tenmöglich, da Balken einen quadratischen Querschnitt haben sowie senkrecht (Stützbalken) und waagerecht (Quer-balken)liegen können. Säulen stehen eigentlich immer aufrecht, sind walzenförmig, stützen oder dekorieren ein Bauwerk.Der Begriff Streifendiagramm ist also mit dieser Erklärung ein Oberbegriff für Säulen- und Balkendiagramme.Für Streifendiagramme, in denen ein Rechteck dem Grundwert von 100% entspricht und entsprechend den prozentualenHäufigkeiten unterteilt ist, wird die Bezeichnung Prozentstreifen verwendet.In einem Liniendiagramm sind die Punkte, deren Höhe der Merkmalsausprägung oder ihrer Häufigkeit entspricht,durch eine Streckenzug oder eine gekrümmte Linie verbunden. Weitere gebräuchliche Bezeichnungen sind Kurvendiagramm,Kurvendarstellung, Streckenzug, Häufigkeitspolygon oder Polygonzug. Liniendiagramme, in denen diezeitliche Entwicklung eines Merkmals dargestellt wird, werden als Entwicklungskurve bezeichnet.– Ein Histogramm ist ein spezielles Streifendiagramm, das zu Darstellung von Messdaten (Daten, die mit einer metrischenSkala gewonnen wurden) dient. Es beruht auf einer Klasseneinteilung. Bei einem Histogramm berühren sichauch bei diskreten Merkmalen die Streifen und der Flächeninhalt der Rechtecke ist eine Maß für die Häufigkeit der inder jeweiligen Klassen zusammengefassten Werte. Das Anfertigen von Histogrammen per Hand ist sehr aufwändigund erfordert die Einführung der Begriffe Klassengrenze, exakte Klassengrenze, Klassenmitte und Kassenbreite. Histogrammesollten nur mithilfe elektronischer Medien angefertigt werden.

14 Häufigkeitsverteilungen / diskrete Zufallsgrößen– Einfacher ist die Anfertigung eines Boxplots, indem die 5 Kenngrößen Minimum, 25%-Wert, Median, 75%-Wert undMaximum dargestellt werden Die Breite des Rechtecks ist beliebig. Die Ausläufer, auch Antennen genannt, werdenoft nicht bis zu dem minimalen bzw. maximalen Wert durchgezeichnet, vor allem wenn Ausreißerwerte vorhandensind. Diese zeichnet man dann als Punkte extra ein. Die Kastenschaubilder sind besonders zum visuellen Vergleichzweier Verteilungen ein nützliches Hilfsmittel. Man kann leicht die Lage des mittleren Wertes, die Größe der Streuung,die Spannweite und auch die Form der Verteilung (symmetrisch, rechtsschief, linksschief) erkennen. Letzteressieht man an der Lage des Zentralwertes im Rechteck.Statistische KenngrößenEntsprechend der Rahmenrichtlinie soll der Modalwert als ein weiterer Mittelwert eingeführt werden. Er bezeichnet einlokales Maximum der Häufigkeitsverteilung. Eine Häufigkeitsverteilung kann einen (unimodal), zwei (bimodal) oderauch mehrere Modalwerte haben. Nimmt man stets auch eine verbale Auswertung vor, kann auf die Einführung einerBezeichnung für diesen Sachverhalt aber durchaus verzichtet werden. Es ist für die Schüler schwer einsichtig, dass derhäufigste Wert auch ein Mittelwert ist.Der Zentralwert (mittlerer Wert, Median, 50%-Wert), Bezeichnung x˜ , gibt an, wo die Mitte der Verteilung liegt. Er halbiertdie Verteilung, d. h. 50% der Werte sind kleiner und 50% sind größer als der Zentralwert.Zur Bestimmung des Zentralwertes wird die geordnete Folge der Daten betrachtet. Ist bereits ein Stamm-Blätter-Diagrammangefertigt worden, so kann der Zentralwert durch einfaches Auszählen ermittelt werden. Es sind allerdings zweiFälle zu unterscheiden.1. Die Anzahl der Daten ist gerade. In diesem Fall ist als Zentralwert jeder Wert zwischen den beiden mittleren Wertenmöglich. Man wählt das arithmetische Mittel dieser beiden Werte.2. Die Anzahl der Daten ist ungerade. In diesem Fall ist der Zentralwert ein Wert aus der Folge der Daten, es ist der„mittlere“ Wert.Der Zentralwert wird im Unterschied zum arithmetischen Mittel durch Ausreißerwerte nicht beeinflusst. Man bezeichnetihn deshalb als einen robusten Wert.Die Viertelwerte halbieren die untere und obere Hälfte der Verteilung. Mit dem unteren (v u ) und oberen Viertelwert (v o )sowie mit dem Zentralwert wird also die geordnete Folge der Daten in vier Teile mit etwa der gleichen Anzahl von Datenzerlegt.Mithilfe der Viertelwerte kann die Lage der Verteilung genauer beschrieben werden. Aus ihnen kann weiterhin durch Differenzbildungein Streuungsmaß, die Vierteldifferenz, berechnet werden.Der Zentralwert und die Viertelwerte sind Spezialfälle der p-Quantile. Ein p-Quantil ist jener Wert, der den Bruchteil peiner Verteilung von unten abtrennt. Für den unteren Viertelwert ist also p = 0,25, für den Zentralwert ist p = 0,5 und fürden oberen Viertelwert hat p die Größe 0,75. Außer den Viertelwerten sind noch Achtelwerte (p = 0,125) und Zehntelwerte(p = 0,1) üblich. Diese Kenngrößen werden jedoch selten verwendet. Sie sollten nicht behandelt werden.Bedeutung und Merkmale des ErwartungswertesBei der Wiederholung des arithmetischen Mittels solle auf die beiden inhaltlichen Bedeutungen eingegangen werden, diebereits in Klasse 6 diskutiert wurden. Dar arithmetische Mittel kann einmal als Ausgleichswert (z.B. durchschnittlicheNiederschlagsmenge, durchschnittliche Körpergröße) oder als Schwerpunkt einer Häufigkeitsverteilung (z. B. Zensurendurchschnitt,durchschnittliche Kinderzahl pro Familie) gedeutet werden. Der Erwartungswert entspricht der zweiteninhaltlichen Deutung des arithmetischen Mittels, da er als Schwerpunkt einer Wahrscheinlichkeitsverteilung interpretiertwerden kann.Es sollten ebenfalls die Möglichkeiten zur Berechnung des arithmetischen Mittels aus einer Urliste, über absolute undüber relative Häufigkeiten wiederholt werden. Die Berechnung des Erwartungswertes entspricht der Berechnung desarithmetischen Mittels über relative Häufigkeiten.Gemeinensame Eigenschaften von Erwartungswert und arithmetischen Mittel, auf die besonders eingegangen werdensollte, da es häufig dazu falsche Vorstellungen gibt, sind weiterhin:– Beide gehören im Allgemeinen nicht zu den Merkmalsausprägungen, d.h. der Erwartungswert ist nicht immer einWert, der als Ergebnis auftreten kann (z. B. Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln mit einem Würfel).– Beide sind keine Zahlen sondern Größen derselben Art und Einheit wie das Merkmal.– Beide müssen nicht der häufigste oder wahrscheinlichste Wert sein. Dies trifft nur für eine eingipflige symmetrischeVerteilung zu. Bei schiefen oder mehrgipfligen Verteilungen können andere Werte häufiger oder mit größerer Wahrscheinlichkeiteintreten.Der Erwartungswert hat in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu Beginn eine größere Rolle als der Wahrscheinlichkeitsbegriffgespielt, so war er bei Pascal der Grundbegriff, aus dem der Wahrscheinlichkeitsbegriff abgeleitetwurde. Für Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung in dem Bereich der Glücksspiele oder der Wirtschaft hat der

Standpunkte und Hinweise zur Behandlung des Themas 15Erwartungswert eine größere Bedeutung als die Wahrscheinlichkeit, was zur nachträglichen Motivation der Stochastikunbedingt genutzt werden sollte. Er ist die Grundlage für das Treffen von Entscheidungen im Fall der Unsicherheit. Soist die Bedeutung der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses bei einem Glücksspiel für die beteiligten Personenschwer verständlich zu machen. Der Erwartungswert des Gewinns ist dagegen eine Größe, die Entscheidungen zurBeteiligung am Spiel und den zu erwartenden finanziellen Auswirkungen erlaubt.Im Unterschied zum arithmetischen Mittel wird bei der Betrachtung von Erwartungswerten oft noch ein zweites Merkmal(meist der Gewinn) den Ergebnissen des eigentlichen zufälligen Vorgangs zugeordnet. Die Zuordnung dieses Merkmalsergibt sich nicht aus dem eigentlichen zufälligen Vorgang (z. B. Verkauf einer Ware), sondern aus anderen, oftideellen Vorgängen (z. B. den Überlegungen eines Händlers über die möglichen Preise seiner Produkte).Die Unterschiede zwischen dem arithmetischen Mittel und dem Erwartungswert liegen auf der gleichen Ebene wie dieUnterschiede zwischen den sich ebenfalls entsprechenden Begriffen relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeitund Erwartungswert sind theoretische Begriffe. Sie sagen etwas über den Einzelfall, den einmaligen Verlaufdes Vorgangs aus (z. B. Wahrscheinlichkeit für eine Sechs bei einem Wurf, zu erwartender Gewinn bei einem einzelnenSpiel). Sie haben einen prognostischen Charakter, da sie Voraussagen über die Ergebnisse bei einer größeren Anzahlvon Wiederholungen des Vorgangs unter gleichen Bedingungen erlauben. Die relative Häufigkeit und das arithmetischeMittel sind dagegen empirische Werte, die erst berechnet werden können, wenn der zufällige Vorgang mehrmals wiederholtwurde und die tatsächlichen Ergebnisse vorliegen.

Rückblick 171 Zahlen und TermumformungenRückblickZahlenmengenSeite 121. 2. a) Eine natürliche Zahl zwischen 5-- und 10 -----2 3ist 3, denn 5-- < 3 < 10 -----2 3.Qb) Eine gebrochene Zahl zwischen -------- 19 und -------- 39 ist x,– 69--100 20013 2wenn 0,19 < x < 0,195. Beispiel: 0,191 oder 0,192.–-- 45 Z N Q +–4,160 2--1,3 3. Umwandlung von Brüchen in Dezimalbruchschreibweise:32-- = 0,6; 23 ----- = 1,916; 20 ----- = 1,81; 40 ----- = 3,6331211114. N Q + Qb) 80; d) 3; f) 32 b) 80; c) 2-- ; d) 3 a) –16; b) 80; c) 2--33g) 4; i) 1536 e) 1-- ; f) 32; g) 4 d) 3; e) 1--; f) 3233i) 1536 g) 4; i) 1536 j) –1536Potenzen5. a) 7 3 = 343 b) (0,4) 3 = 0,064 c) ( 1-- ) 4 = ----- 1 d) (–5) 2 = 25 e) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 23 816. a) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 b) ( 1-- ) 2 · ( 1-- ) 2 = ----- 1c) (–17) · (–17) = 2895 5 25d) (–0,2) · (–0,2) · (–0,2) · (–0,2) = 0,0016 e) a 6 = a · a · a · a · a · af) (a – b) · (a – b) = a 2 – 2ab + b 27. a) 196 b) 125 c) 0,25 d) 100000 e) 46656 *f) 36x 2196 –125 0,25 –100000 1458 x 2 + 12x + 36–196 –125 ----- 116----------------- 1100000-------- 2729x 3 + 18x 2 + 108x + 2168. a) 9 2 = 3 4 b) 8 2 = 4 3 = 2 6 c) 2 5 d) (0,4) 4 = (0,16) 2 e) (25x 2 ) 2 = (5x) 49. a) 32 = 2 4 + 4 2 *b) 65 = 9 2 – 4 2 10. z. B. : ( 3--) 3311. 2 8 – 8 2 = 256 – 64 = 192 *12. a) 3 33 b)(9 99 )13. a) 3 4 > 4 3 , denn 81 > 64 b) (–3) 4 > (–4) 3 , denn 81 > –64 c) ( 1-- ) 2 > ( 1-- ) 3 , denn 1-- > ----- 13 4 9 64Seite 1314. a) größte positive Zahl: 99999; kleinste positive Zahl: 0,0001b) größte positive Zahl: 9,9999 · 10 99 ; kleinste positive Zahl: 1,0 · 10 – 99c) größte positive Zahl: 9,999999999 · 10 99 ; kleinste positive Zahl: 1,0 · 10 – 9915. individuell* 16. Beispiel: Zwischen den Dezimalbrüchen 0,1111111 und 0,1111112 wird kein weiterer Dezimalbruch angezeigt,obwohl das arithmetische Mittel beider Dezimalbrüche dazwischen liegt.* 17. 0,0000001

18 Zahlen und Termumformungen18. a) wahre Aussage, da 17 2 = 289 ist; Auch auf dem Taschenrechner geht die Gleichung genau auf.b) Durch Division beider Seiten durch 10 8 und Anwendung der Binomischen Formel kann die Gleichheit beiderSeiten nachgewiesen werden.linke Seite: 31,70398125; rechte Seite: 32Erklärung: Die Wurzel kann mit dem Taschenrechner nur näherungsweise berechnet werden. Durch die Multiplikationmit den Zahlen 2 und 888 wirkt sich diese Ungenauigkeit auf der rechten Seite stärker aus als auf derlinken Seite.19. a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 4 f) 1-- ; – 1--g) 2; – 28 8h) n. d. i) –2 j) – 1--220. a) 10 5 b) 10 1 c) 10 9 d) 10 12 e) 10 –321. a) –1460 b) 1460000 c) 131400 d) 1,4622. a) 0,14825 b) 0,0000085 c) 0,01562 d) 0,014087723. a) 12 b) 0,01 c) 125 d) 2x e) p 2144 – 0,001 625 4x 2p2 ----- 41728 0,0001 3125 8x 3 – p2 ----- 424. a) (–3) 2 > (–2) 3 , denn 9 > –8 b) (–0,5) 2 > –0,5 2 , denn 0,25 > –0,25c) (– 1-- ) 2 > (– 1-- ) 3 , denn 1-- 3 2 9> – 1--825. a) minus b) minus c) minus d) plus e) plus f) minus g) nichtnegativh) nichtnegativ *i) wenn x < 0 , dann minus;wenn x > 0 , dann plus* j) wenn x < 0 , dann plus;wenn x > 0 , dann minusSeite 14Rechnen mit Brüchen und mit rationalen Zahlen26. a) ----- 7 b) 13 ----- c) 2-- d) 21 ----- e) 16 -----41149 43Regeln für das Rechnen mit gebrochenen Zahlen:Addition: Bruchzahlen werden addiert, indem man die jeweiligen Brüche gleichnamig macht, dann nurderen Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.Subtraktion: Bruchzahlen werden subtrahiert, indem man die jeweiligen Brüche gleichnamig macht, dannnur dere Zähler subtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.Multiplikation: Bruchzahlen werden multipliziert, indem man die Zähler und Nenner der jeweiligen Brüchemiteinander multipliziert.Division: Bruchzahlen werden dividiert, indem man den Dividenden mit dem Reziproken des Divisorsmultipliziert.27. a) 12 b) 35 c) 24 d) 10 e) 9 f) 24 g) 75 h) 60 i) 4 j) 1228. a) 3-- + 3--= ----------------- 12 + 15 = 27 ----- b) 1-- + ----- 5 = 4-------------- + 15 = 19 ----- c) 3-- – 1--= 3----------- – 2 = 1--d) 2 + 4--= 6----------- + 4 = 10 -----5 4 20 20 9 12 36 36 8 4 8 8 3 3 3e) 1 2 f) g) h)6 -- – 5--= 32 ----------------- – 15 = 17 ----- 2 8 24 241 5 -- – 1 -----101 = 22 ----------------- – 11 = 11 ----- 17 ----- – ----- 6 = 17 -------------- – 6 = 11 ----- 7-- + 5--= 7-------------- + 10 = 17 -----10 10 20 20 20 20 8 4 8 8i) ----- 4 + 19 ----- = 16 ----------------- + 19 = 35 ----- j) 4 k) l)15 60 60 601 3 -- + 21 2 -- = 26 ----------------- + 15 = 41 ----- 4 1 6 6 3 -- – 21 2 -- = 26 ----------------- – 15 = 11 ----- 36 ----- + ----- 5 = 3----------- + 1 = 16 6 48 20 429. a) 5 1 2 -- b) 11 6 -- c) 5 d) 11 2 -- e) 41 4 -- f) 41 2 -- g) 41 5 --h) 6 14 -----15i) 5 2 5 -- j) 621 --2k) 34 l) 12-----11130. a) 7-- 2b) 31 ----- 4c) 37 ----- 3d) 58 ----- 3e) 13 ----- 8f) 291 --------15g) 7--4h) 48 ----- 9i) 29 ----- 2j) 126 -------- 5k) 18 ----- 5l) 183 -------- 831. a) 24 -----77b) 4-- 3c) 3-- 2d) 2 e) 32 ----- 9f) 8-- 9g) 9 h) 1--4i) 4j) 2-- 3k) 5-- 2l) 32 -----15m) ----- 815n) 19 -----34o) 3-- 7p) 2-- 3q) 25 -----29r) 5--732. a) 1 b) – 6 c) – 11 d) 2 e) 0 f) – 1g) 4 h) – 8 i) 5-- 6j) – 1--6k) 1-- 6l) – 5--6

Rückblick 19Terme und Termwertberechnungen33. a) Term b) Term c) Gleichung d) Term e) Termf) Term g) kein Term h) Ungleichung i) kein Term j) kein Term34. a) 157 b) 36 c) 18 d) 623 e) – 162 f)g) 2 050 h) 431 880 i) 125 j) 450 k) – 97 780Seite 15----- 12735. a) 15,6 = 15,60; 13 7.8 – 7.8 11 = b) 352,0496 ≈ 352,05; .5 8.6x 2 9.52 =c) 0,009131065401 ≈ 0,01; (8.73 – 5.96) ÷ 384 ÷ .79 = d) 7 = 7,00; 125 ÷ 7 – 76 ÷ 7 =e) 6 = 6,00; 25 ÷ 11 + 82 ÷ 22 = f) 19,27907 ≈ 19,28; 3.51 + 4.78 = ÷ .43 = STOg) 0,0518697 ≈ 0,052; RCL 1--h) 5,4027149 ≈ 5,40; 14.8 ÷ 3.9 + 8.2 ÷ 5.1 =xi) 0,3157531 ≈ 0,32; 3.51 × .43 ÷ 4.78 = j) 109,51624 ≈ 109,52; 8.73 – 5.96 = 1--× .79 × 384 = STOxk) 0,0091311 ≈ 0,0091; RCL 1--l) 352,0496 ≈ 352,05; 8.6 x 2 × 9.52 ÷ 2 =xm) 0,3304233 ≈ 0,33; 4.85 – 1.96 = ÷ 3 × .7 y x 3 = n) 16,217703 ≈ 16,22; 18.7 x 2 – 8.31 x 2 = INV x 236. a) 4096 b) 3,04862 c) 10,4976 d) 1,61051 e) – 11664f) 1000 g) 0,256 h) 0,3304233 i) 16,217703Termumformungen37. a) --------------- 5x + y ist ein Quotient; mit T 1 = 5x + y und T 2 = 3y 23y 2-----T 1T 2b) (x + 1) n ist eine Potenz; ( ) T 2mit T 1 = x + 1 und T 2 = nc) 2-- + 4-- ist eine Summe; T 1 + T 2 mit T 1 = 2-- und T 2 = 4--x x x xT 1d) 1-- + n 2 – n · (n + 1) ist eine Differenz; T 1 – T 2 mit T 1 = 1--+ n 2 und T 2 = n · (n + 1)nn38. a) b) c) d) e) f) g) h) i)Struktur Quotient Produkt Potenz Produkt Quotient Summe Produkt Differenz SummeT 1 ⋅ T 2 T 1 · T 2 · T 3 · T 4 ( T ·-----------------1 ⋅ T 2 ) T 3 ⋅ T 4( T 1 ) T 2( T 3 ) T 4T 1 ⋅ T 2 T----------------- 1 T----- + 3 T----- 1 T----- · 3 T----- 1 T----- – 3T----- T 1 T 2 + ----- 3T 3 – T 4T 3 – T 4 T 2 T 4 T 2 T 4 T 2 T 4T 4T 1 7,5 – 1 3 2a 2x 3ab m 2 a – b aT 2 x 7 x m y c m 3 2c bT 3 10 x 2 b 6x a – b n 3 3b aT 4 2y y 3 n n + 1 y 2c n 2 2c b39. a) 14m 2 + 16m – 8n – 18mn b) 34m 2 – 16m – 8n + 16mn c) 8y 2 d) 16x 2 – 4y 2 – 32x + 16y40. a) 4x b) 1 4 x 2 c) 4y 2 + 4y d) 0 e) 10uv f) 2u 2 g) 6a 2 b5 --h) – 3xy 2 i) – 5abc – 9 a 2 bc j) – 9,6x 2 y k) – 10a 3 b 2 l) 36x 3 y 3 z41. a) 6a 2 b – 3ab 2 b) – 4x 2 y 3 + 12x 3 y c) 1,4ax – 7abx 2d) – 7r 2 s 2 q – 12r 2 sq 2 e) – 4,9a 3 + 3 f) – 13xy + 78x 2 y – 91xy 242. a) 6a 2 b b) – 3xy 2 c) – abc(5 + 9a)d)– 9,6x 2 y e) – 10a 3 b 2 f)36x 3 y 2 zSeite 1643. a) 6a 2 b – 3ab 2 b) – 4x 2 y 3 + 12x 3 y c) 1,4ax – 7abx 2d) – 7r 2 s 2 q – 12r 2 sq 2 e) – 4,9a 3 + 3 f) – 13xy + 78x 2 y – 91xy 2g) 3 + 1-- x 3 h) 2-- – 8x i) 8 – 8 ---- x 3+ 16xy6xy 2

20 Zahlen und Termumformungen44. a) 4a ( b≠ 0) b) 1-- x( x≠0) c) 3n ----- ( p≠ 0) d) 5 e) 2bc f) 1--g) h) 2 i) 4a 2 4p2--- 3j) 1-- k) 2de -------- l) 1m4 345. a) 4ab(2a + 3b) b) 5xy(– 3y + 4x) c) 20mn(3p – 4m)d) 1,6xy(2 – xy) e) 4a(2bc – 3ab + 9c 2 ) f) 7,5x(1 – 2x)46. a) a – 5ab + 7b b) 6,5x 2 – 3xy + y 2 c) 6,9 – 2x – 8y – 8x 2 – 8y 2 d) 2r + 3rq 3 – 2rq 247. a) 8a – b + 4c b) – 12a 3 b 3 c 2 c) 32xy – 16x 2 d) 4xy 2 – 35 ----- xe) 10r 2 t – 14r 2 s 2 + 5t 2 – 7ts 2 f) 2,5a 2 + b 2 – 10,25ab g) a 4 – a 2 124-- + ----- 4 h) – 22500 – a 25 2548. a) x 2 + 18x + 81 b) 4x 2 – 10x + 25 c) 49r 2 + 56rs +16s 2 d) 64f 2 – 81g 2e) 25a 2 – 30ab + 9b 2 f) 1--x 2 + 2xz + 4z 2 g) 144m 2 – 1 h) 4cd449. – 16,1238; 4.89 + 3.06 – .97 = × 2.31 +/–50. a) 17x + 18y – a b) 3x 2 y – xy 2 c) 7x – 4y d) 7x – 6ye) 48a; 48a 2 ; – 48a 3 f) 9a 2 ; – 3a 2 ; – 9a 2 g) – 5x; 5--; – 12x h) 12a 2 – 32abi) – 32a 2 – 2a 2 xb – 18 j) – 11x – 6y k) 12,6x – 8 l) 16,2x 2 + 9x – 4m) 12,6x – 4 n) 12,6x – 36 o) 16,2x 2 – 5,4x – 8 p) 12,96x 2 + 14,4x + 451. 14m 2 + 16m – 8n – 18mn1.1 Reelle ZahlenSeite 21EAindividuell1. π-- 2; 5 ; – 10 ; 1,454054005…2. rational: 0 = 0; 1 = 1; 4 = 2; 9 = 3irrational: 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 103. Z c) h) i)N c) i)Q + a) c) i)Q a) c) f) g) h) i)R a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)4.r–3 –2 Q015. Ein endlicher Dezimalbruch zwischen 0 und 1 ist z. B. 1--= 0,125.8Ein unendlicher periodischer Dezimalbruch zwischen 0 und 1 ist z. B. 1--= 0,3.3Ein unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch zwischen 0 und 1 ist z. B. -- 1 ≈ 0,3183099.π6. a) 23,73205081 ∈ R \ Q b) 3,968118785 ∈ R \ Q c) –2 ∈ Q d) –4,141592654 ∈ R \ Qe) 14,14213562 ∈ R \ Q f) 9,079202769 ∈ R \ Q g) 1,463850109 ∈ R \ Q h) –2 ∈ QDie Aufgaben a), b), d), e), f) und g) sind nicht in der Menge der rationalen Zahlen lösbar, weil die Lösungenunendliche nichtperiodische Dezimalbrüche sind.7. Die Aufgaben c) und h) aus 3. sind nicht in der Menge der irrationalen Zahlen lösbar, weil die Lösungen Elementeder Menge Z sind und damit auch rationale Zahlen.8. a) 23,73 b) 3,97 c) –2,00 d) –4,14 e) 14,14 f) 9,08 g) 1,46 h) –2,009. 1,7 < 3 < 1,8; 1,73 < 3 < 1,74; 1,732 < 3 < 1,733; 1,7320 < 3 < 1,732110. a) 2 ∈ Q b) – 0,04 ∈ Q c) 3,794733192 ∈ R \ Q d) 0,379473319 ∈ ∈ R \ Q e) – 0,06 ∈ Q

Reelle Zahlen 21* 11. a) Behauptung: Das Reziproke jeder irrationalen Zahl ist wieder irrational.Beweis (indirekt):(1) Feststellung: Das Reziproke jeder irrationalen Zahl ist entweder rational oder irrational.(2) Annahme: Es sei x eine irrationale Zahl, deren Reziproke r(x) eine rationale Zahl ist. Folglichgibt es ganze Zahlen p und q, so dass r(x) = p--qist.(3)Widerspruch: Aus r(x) = p-- folgt x = q--. Damit müsste auch x eine rationale Zahl sein, was derqpAnnahme (2) widerspricht.(4) Schlussfolgerung: Die Annahme (2) ist falsch, die Behauptung ist eine wahre Aussage.b) Behauptung: Für jede irrationale Zahl x und jede rationale Zahl a ≠ 0 ist das Produkt ax eine irrationaleZahl.Beweis (indirekt):(1) Feststellung: Das Produkt ax ist entweder rational oder irrational.(2) Annahme: Es gibt eine irrationale Zahl x und eine rationale Zahl a ≠ 0, so dass das Produkt axeine rationale Zahl ist.(3) Widerspruch: Folglich ist der Quotient ax : a = x als Quotient zweier rationaler Zahlen selbst aucheine rationale Zahl, was der Annahme (2) widerspricht.(4) Schlussfolgerung: Die Annahme (2) ist falsch, die Behauptung ist eine wahre Aussage.12. a) 0,3132b) Stellt man beide irrationalen Zahlen als unendlichen nichtperiodischen Dezimalbruch dar, so ist zunächst zuprüfen, ob sie vor dem Komma übereinstimmen. Ist das nicht der Fall, dann ist die Folge der Ziffern, die beider größeren irrationalen Zahl vor dem Komma steht, aufgefasst als ganze Zahl eine rationale Zahl, die zwischenbeiden irrationalen Zahlen liegt. Stimmen beide Zahlen vor dem Komma überein, so ist die erste Stellehinter dem Komma zu ermitteln, in denen beide Dezimalbrüche nicht übereinstimmen. Schneidet man dengrößeren beider Dezimalbrüche hinter dieser Stelle ab, so ist der übrig bleibende endliche Dezimalbruchunsere gesuchte rationale Zahl, die zwischen beiden irrationalen Zahlen liegt.Seite 2213. a) 8 = 2,828427125; 2,828427125 2 = 8,000000001b)32 8 = 1,067140401; 1,067140401 32 = 7.999999998Da32 8 eine irrationale Zahl ist, rundet der Taschenrechner das Ergebnis, so dass nur die unmittelbareUmkehrfunktion wieder 8 ergibt.14. a) Vier mögliche Fälle sind zu unterscheiden:1. Alle drei Weisen haben eine schwarze Stirn. Jeder wird also über die schwarze Stirn seiner Nachbarnlachen.2. Genau zwei der Weisen haben eine schwarze Stirn. Auch hier hat jeder einen Grund zum Lachen, dennjeder sieht bei mindestens einem seiner Nachbarn eine schwarze Stirn.3. Genau einer der Weisen hat eine schwarze Stirn. Nur die beiden anderen Weisen haben einen Grund zumLachen.4. Keiner hat eine schwarze Stirn. Folglich hat auch keiner der Weisen einen Grund zum Lachen.Aus der Anzahl der Weisen, die einen Grund zum Lachen verspüren, lassen sich also Rückschlüsse darauf ziehen,wie viele der Weisen eine schwarze Stirn haben. Jedoch ist in dem Fall, dass alle drei Weisen lachen, keineindeutiger Schluss möglich.b) Angenommen, im Weinglas befindet sich mehr Wasser als im Wasserglas Wein. Das hätte zur Folge, dassbeide Gläser zusammen insgesamt mehr Wasser als Wein enthalten, was aber im Widerspruch zur vorgegebenenAusgangsituation steht. Analog kann mit indirekten Überlegungen begründet werden, dass auch dieAnnahme, im Weinglas befände sich weniger Wasser als im Wasserglas Wein, auf einen Widerspruch führt.c) Daraus, dass der hinten sitzende Schüler nicht weiß, welche Farbe sein Hut hat, kann geschlossen werden,dass die Hüte der beiden vorn sitzenden Schüler von verschiedener Farbe sind. Wären diese gleich gefärbt,hätte er seine Farbe erraten können. Damit kann der in der Mitte sitzende Schüler erraten, welche Farbe seinHut hat. Er muss sich nur den Hut seines Vordermanns ansehen und weiß, dass sein Hut anders gefärbt ist. Ausder Antwort des in der Mitte sitzenden Schülers kann dann auch der vorn sitzende Schüler darauf schließen,welche Farbe sein Hut hat.

22 Zahlen und Termumformungen15. a) 1,41421 < 2 < 1,41422; 1,73205 < 3 < 1,73206; Also ist 3,14626 < 2 + 3 < 3,14628b) Die untere Intervallgrenze zur näherungsweisen Bestimmung der Zahl 2 + 3 auf eine Genauigkeit von nStellen nach dem Komma ist der größte endliche Dezimalbruch mit maximal n Stellen nach dem Komma, derkleiner als 2 + 3 ist. Wird nun die geforderte Genauigkeit auf n + 1 Stellen erhöht, ist in einer auf die zehnfacheMächtigkeit vergrößerten Menge von Dezimalbrüchen der größte Dezimalbruch zu ermitteln, welcherkleiner als 2 + 3 ist. Damit liegt die untere Intervallgrenze bei der Berechnung auf eine Genauigkeit vonn + 1 Stellen hinter dem Komma auf keinen Fall unterhalb der unteren Intervallgrenze, die bei der Berechnungauf eine Genauigkeit von n Stellen hinter dem Komma ermittelt wird. Analog kann bei der oberen Intervallgrenzeargumentiert werden.1.2 Rechnen mit QuotientenSeite 25EABeide Rechenwege sind korrekt, Rechenweg 2 ist weniger aufwendig, weil die Zahlenbelegungen der Variablen aund b erst am Ende eingesetzt werden.1. a) für a = 3: 3--; für a = – 4 n. d.7b) für b = 4: 8; für b = 2 n. d. c) für c = 5 n. d.d) für d = 6: – 1-- ; für d = 0 n. d.6e) für e = – 2: 0; für e = 0 n. d. f) für f = 1-- : 2--2 3; n. d. für f ∈ – 1; 1g) für g = 7: 2-- ; n. d. für g = 07h) für i = – 1: – 4--7; n.d. für i = 0,4 i) für a = 3: 3; n.d. für a = 2j) für m = – 1: – 2 k) für x = 3: 1-- ; n.d. für x = – 12l) für x = 0: –----- 11 ; n.d. für x = 2; –2322. a) ----- 7 b) -------- 5 c) – ------- 15 d) 1 x e) f) g) h)1410x3a 2 -- ----- x 2---------- 10a 24r 3 s 22 4x15ab9r 2 s 3 --------------4r 4+ 4i) 3a j) k) l)a ( a + b )2 – ab ( a – b) ⋅ ( a + b)+ rs( r + s) ----------------------------------- ( r + 1 ) 2( r – 1) ⋅ ( r + 1)3. a) 2a ----- ; erweitert mit 2 b) 2a ----- ; erweitert mit a c) -------- 12x ; erweitert mit 4x d) ; erweitert mit 3xy723a4x 2-------------- 6x 2 y45xy 2e) ----------------- 5a 15 ; erweitert mit 5a f) ; erweitert mit a – 1 g) ; erweitert mit m + n25a 2 ------------- a – 1ba 2 ------------------------------------mn( m + n)– 1m 2 + 2mn + n 2h) 7m ------------------- + 21 ; erweitert mit 77m – 214. a) 21 ----- und ----- 5 b) 7a ----- und 5b ----- c) ------- 2a und ------- 1 d) -------- 6a 2und -------- 4 e) ----------- 7 und24 2435 3516a 16a 9ab 9ab 28x 2 ----------- x28x 2f) ------------- ac und g) und h) und5a 2 b 2 ------------- 5bc 2 rr ( + 3)5a 2 b 2 3r ( + 3)3r ( 9+ 3)– 1a 2 ------------- a + 1– 1 a 2 – 1i) ------------------------------------- xx ( – 3)und j) und k) und( x + 3) ⋅ ( x – 3)( + 3 )( x – 3) ⋅ ( x + 3)----- b2 5 2 5------------ 4t 3sf 2 --------------------- ( f + 3)– 9 f 2 – 9l) ------------- 25 und m) ; und n) ; und5 m+2 ------------- 25 m+2 -------------- 3ab12a 2 -------------- 8ab 12a 2 -------------- 18b 12a 2 -------------- 12y 2b30x 2 -------------- 9x 3y 30x 2 -------------- 40xy 30x 2 yo) ----------------------- 25( x + 1);5x( x + 1)5x ( x + 1)und (-------------------------------------x – 1 ) ⋅ ( x + 1)5x( x + 1)5. a) 2-- 3b) 1-- 2c) 8-- 9d) ----- x2ye) -- a4f) 1--7g) 5i) vw ------- 2uj) ----- x2yk) 25a( + b)l) ab ------------------- ( + 4 )3Seite 266. ------------------------------- 3a 3 b – 6a 2 b 2= – 4 – 2 ⋅–=15a 3 b 2 -------------- ------------------------- 2 --5ab 5 ⋅ (–4) ⋅ 1--2= 1--27. a) 5-- 7b) 34 -----35c) 5-- 3d) 13 -----24e) x f) 3e 8g) ---------- 5 –5a h) 1--xi) 4a ----------------- – 3b j) 1 + 2x k) l) m) n) *o)10x+ 16bx 2----------------------- 4x ------------------ + 5y 6x 2 + 8x – 912ab 6x 2 y 2 ------------------------------ 2a 2 + b 212x 3------------------- 1a 2 – b 2------------r 2 + r

Rechnen mit Quotienten 238. a) x5x -------------------------------- ( – 3) – 6 b) 4x ( + 1)c) d) e) f)15------------------- a + 42r ----------------------- ( 2 + s2sr)--------------- – x – 3x 2------------- 2a 26x+ x a 2 -------------------------------- – 4a + ax 2– 12a 2 x 2g) ---------------------- a 2 – x – 1 *h) 4m 2 – 20n 2– – = – *i)ax ( + 1) 2--------------------------- 10m 4 – 25n 4 ---------------------------- 23m 2 + 15n 2 --------- 103m 2 ------------------------------------- – 2s ( + 3) ( s + 6) 23m 2 ( m 2 + 5n 2-------------------------------------------------------------------------------------+ ( s – 3) ( s – 6) 2)( s – 6) ( s + 6) 29. a) ----------- b a b) c) (kein Fehler) d) (kein Fehler) e) (kein Fehler)ab+---------------- 2 – y212xy35c-------------- – 1---------------- 8d16 – e 2f) 3f – 7 g) ----------- h) *i)5 – f g 1---------------- 4xy– 4a 3 + a 2 b + 2ab + b– 5x 2 – y 2----------------------------------------------------3a ( 2 – b 2 ) 210. a) 4a -------------------- – 13b b) –-------- 7b4ac) – ------------------------- 3a – 11b4ad) e)4a2-------------------------- + 2a + a 22aa --------------------------2 + 2a +a2f) ------------------------- a 3 + a 2 + 1 g) 3 h) i)a 2--+ a2x 2 + 14 x 2--------------------2 ++ x45a11. a = –2 –1 2 10 1 1--2a) – 1-- 2–1 1-- 2----- 1101 2b) 1-- 30 3 11 ----- 9n. d. – 3c) – ----- 916– 23 -----24n. d. ----- 316– 3-- 8----- 712d) 1 3-- 20 2-- 5– 1--2– 3--2e) 2 1-- 4– 2 14 – 7--4–----- 3116f) 7 n.d. 1-- 317 -----11– 1--2– 4--3g) -- 14– 1--3n.d. – 17 -----407 22 ----- 3h) 2 2 – 1 – 23 ----- 5– 1 – 7--412. a) 0 b) 0 c) für Term 1: – 3; für Term 2: 3; für Term 3: ± 3 d) – 5e) für Term 1: – 4; für Term 2: 4; für Term 3: ± 4 f) 0 g) 5h) für Term 1 : x = y; für Term 2: x = – y; für Term 3: x = – y, x = yi) für Term 1: x = – y; für Term 2: x = y; für Term 3: x = – y, x = ySeite 2713. a) ----- 2 b) 1 c) ab ----- d) acd e) – 3- f) – -------- 4x 2g) c(a – c)156ȳ 9h) ----- 2 i) ( a + b) 2j) 1 k) l) –2(k – 1) m)3x( ------------------------------------- a – b) ⋅ ( a + 1)m ------------- 1-------------------+ 4y22y ( – 1)n) ----- 1 o) ---------- y 3p) x 3xyx 3 z 6----------------------y 3 ( x – 2)14. a) ----------- x + ----------- = b) = c) = d) =x + 1 x 4x ----------- 5xx + 1+ 1 x + 1----------- – x ----------- + 1 3x --------------- + 3 ----------- x + 4x 4x 2 + 5xx 4x 4xx + 1--------------------- x + 1x + 1 – ----- x --------------------- 4x 2 + 3x4x 4xe) ----------- 1 – 4x + 1--= – 4x 3f) = g) =x + 1-------------------------------------------------- + 4x 2 + 2x + 1xx + xx ----------- – -----------+ 1 x 4x ----------- – 3xx + 1+ 1 x + 1----------- + x ----------- + 1 5x --------------- + 5x 4x 4xx 2h) ----------- x – 4x = – 4x 2 – 3x i) = j) =x + 1----------------------- x + 1x + 1 + ----- x --------------------- 4x 2 + 5x ----------- 1 + 4x – 1----------------------------------4x 3 + 4x 2 + 14x 4xx + 1 x + x15. a) 5-- b) 1-- c) 3- ; a ∈ Q \ {0} d) --------- 2 ; x ∈ Q \ {–1} e) 5m ------- ; k ∈ Q \ {0}24 ā x+14kf) x ----------- + y; x, y ∈ Q \ {x = y}g) ; b ∈ Q \ {0}x – ya ---------- – bb16. a) 5-- b) 1-- c) 1-- d) k- e) ---- x f) u g)63 3 ā y 2---- 3------------------- 4x ( + 2)2xh) 2x – 3y : = i) j) k) *l)x – y+2x– 3yy ( 2x – 3y ) 2x 2 – y 2–ȳ a+1bb 4----------- 2 –2x17. a) 2a 2 – 13ab + 15b 2b) – 8b c) d) e) *f)8a 22a– 3b– 2 + 2a 2 – 1----------x + 1 a ab--------------------------------- a 2 – a– 1a 3 + a 2 – a – 1x 2

24 Zahlen und Termumformungen18. a) 1-- b) 1--c) Der Rechnungsweg bei a) ist aufwendiger.5519. a) richtig b) richtig c) falsch, richtig: π – a d) falsch, richtig: m + h e) richtigf) falsch, richtig: ------------------- 22 ( – a)= – 2 g) richtig h) falsch, richtig: ------------( a – 2)u +1w* 20. a) ---- a 3+ a---- 2+ -- a = 1--a(a + 1)(a + 2)6 2 3 6Da sich unter drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen mindestens eine gerade Zahl und genau einedurch drei teilbare Zahl befindet, ist 1--a(a + 1)(a + 2) eine natürliche Zahl.6b) Ersetzt man in a) die natürliche Zahl a durch die ganze Zahl (– a), so erhält man den Term1--(– a)(1 – a)(2 – a). Dieses Produkt enthält drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen, von denen mindestens6eine durch 2 und genau eine durch 3 teilbar ist, so dass das Produkt eine ganze Zahl ist.Seite 28* 21. a) –--------------------------------------------------- 2a 3 + 27a 2 + 7a – 8 b) c) d)3a 2 4 a 2------------------------ y 2 + xy4x( – )xx 2 y 2------------------------------------------------ ( – 1) ( x 2 – x – 1)( – )27( x + 1) ----------------------------------------------13ab( 6a + b)( x + 2)19( 6a – b) ( b + 5a)* 22. a) b 2 a 2 – ab + 1 b) ------------------- 8x – y – = c) –( x + y)y( + y )x – 8y( 8x – y )( x – 8y) – ( x + y) xy( x + y)yx ( – 8y)--------------------- ( – a 2 )3 a 2d) ------------------------------------------------------3 – y7x + 16x 2 – 10xy + y 223. a) (------------------ x + y) b) ( 1 + a) 1 – a c) d)x 2 y 2-------------------------------------- ( a 2 + b 2 ) 2a 2----------------------- y 4 – x 4a 2 b 2----------------x 2 y 2e) ---------- b 2f) ------------------ ( g) *h)b – ax + y ) 21xya---------- (– ba 3 + a + 1 ) 3------------------------------24. a) 17 ----- : 13 ----- = 17 ----- b) -- a : x- = ----- ay c) ---- a 2: (ab) = ---- a d) x 2 y : = y 2 e) : =12 4 39 b ȳ bxb b 2---- x 21ya+ b a1 -----------– b–a +bbf) a + b : ---------------- = * g) ( + ) : ( – ) = *h) ( – ) : ( + + 1*) =a – b– b 2 a 2 + b 2a 2 + b 2 ------------------ p( a – b) -- q-- p-- q-- ---------------- p 2 + q 2 rq p q p p 2 – q 2 - s- r- s- -------------------------- r 2 – s 2s r s r r 2 + rs + s 225. a) 23205 b) – 1-- x 3 + 3--x 2 c) 3 + 2x – x 2 d) a 3 – 2a 2 – 2a + 4e) a 3 + 2a 2 2 2– 2 f) a 2 – b 2 + 2bc – c 226. a) 356 b) 45 c) 2058,8 d) 3x – x 2 y e) 4a 2 b – 3a + 2b f) x + xy + y – y 2 + ---------------- y 2 – y 3x – yg) a 2 – 2a +1 h) x 2 – y 2 + xy i) a 3 – 2a j) 4x 2 k) a 2 – 4a27. a) richtig b) richtig *26. richtig* 28. richtig1.3 Potenzen mit ganzzahligen ExponentenSeite 34EA a) Die Angaben stimmen näherungsweise. b) 31,7 Jahre sollten noch drin sein.Zehnerpotenzen1. a) 10 7 b) 10 12 c) 10 0 d) 10 –4 e) 10 –5 f) 10 10 g) 10 –6 h) 10 132. a) 10000 b) 0,001 c) 100000000 d) 0,000001 e) 0,00001 f) 1g) 10000000000000 h) 0,1 i) 10000000000 j) 0,00000000013. a) 5,005 · 10 11 b) 5,0005 · 10 9 c) 0,00554. a) 3,45 · 10 4 b) 2,06 · 10 5 c) 8,674 · 10 6 d) 5,4 · 10 10 e) 3,45 · 10 –1 f) 2,06 · 10 –3g) 8,674 · 10 –5 h) 5,4 · 10 –12a 2

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 255. a) 8,17 · 10 10 b) 4,123 · 10 15 c) 1,9 · 10 –12 d) 1,0020304 · 10 –4 e) 1 · 10 13 f) 1 · 10 –12oder mit der Exponententaste „^“6. a) 30000000 b) 38000000 c) 38600000 d) 38620000 e) 38628000 f) 0,004g) 0,0045 h) 0,00451 i) 0,004517 j) 0,00451797. a) 5,63 · 10 9 b) 60 · 10 12 (Zellen); 10 11 (Nervenbahnen) c) 1,25 · 10 –4 cm d) 10 –4 s e) 10 –6 gSeite 358. a) 1,2 · 10 12 b) –1,2 · 10 12 c) 1,2 · 10 –12 d) –6,184 · 10 8 e) 3,1749 · 10 –6 f) 1 · 10 –109. a) 1,4 · 10 6 = 14 · 10 5 = 1 Million vierhunderttausend b) 0,00038 = 3,8 · 10 –4 = 380 · 10 –6 =14000000 =0,140 · 10 8 = 14 Millionen10. a) 4,7 · 10 –2 m b) 30 · 10 2 l c) 0,5 · 10 –1 m d) 800 · 10 6 W e) 5 · 10 3 Hz f) 0,8 · 10 2 Pag) 80 · 10 –9 F h) 4 · 10 –2 l i) 2 · 10 –6 m j) 45 · 10 –1 t11. a) 10 –5 m b) 1 J = 2,78 · 10 –4 Wh; 1 kWh = 3,6 · 10 6 J c) 3 · 10 –9 m d) 64 · 10 9 Be) 0,5 · 10 12 Hz12. a) 1 km b) 1 cm c) 1 ml d) 1 kW e) 1 hl f) 1 pFg) 1 dt h) 1 MJ i) 1 GB j) 1 μm13. a) 10 hl b) ≈ 40 · 10 6 km c) 7,33 · 10 2 MHz d) 30,5 GB e) 1,5 · 10 3 MWf) 40 pm und 80 pm14. a) (10 10 ) 10 2 –16 weil: 0,0039 > 0,000015 b) –16 2 < –2 –16 weil: – 256 < – 0,000015c) 0,01 –2 > 0,1 –1 weil: 10000 > 1023. a) ----- 9 b) – 72 c) 1 1-- d) 73 ----- e) 11,5328 165 3y 51 7----------- 0,381000

26 Zahlen und Termumformungen24. a) negativ b) positiv c) negativ d) positiv e) negativ25. a) (–2) 3 = –2 3 < (–2) –3 = –2 –3 < 2 –3 = –(–2) –3 < 2 3b) –22 2 < ( 1--) 22 < (2 2 ) 2 < (-----1 ) – 2< 2 22 = (–2) 22 < (-----1 ) 222222226. a) n = 1: Die Basis tritt genau ein Mal als Faktor auf. n = 0: Die Basis tritt nicht als Faktor auf.Für negative ganzzahlige Exponenten macht die Aussage keinen Sinn.b) z = – n für n ∈N \ 0 : Das Reziproke der Basis tritt genau n Mal als Faktor auf.–1PotenzgesetzeSeite 3727. a) 10 5 b) 10 1 c) 10 –5 d) 10 1 e) 10 0 f) 10 –5 g) 10 11 h) 10 2728. a) 256 b) 9 c) 0,04 d) 16 e) 2,56 · 10 –6 f) -------- g) 1 h) 1--216429. a) 2 3 b) 3 2 c) 4 6 d) ----- 1 e) ----- 1 f) 3 3 g) ----- 1 h) 0,1 249 152530. a) a 7 b) ---- 1c) 1 d) z 3n e) w 2ax 3- ȳf)–k 1 + a g) x 3 h) ---- 1i) – 1-j) u 2ā31. a) 9a 4 b) – 4b 5 c) 2c 2 (0,4 – 0,9c 2 ) d) 2a –2e) 3--e 4 f) 5 n + 1 g) x 3 (a – b + c) h) 2(a + b) 2432. a) 256 b) ----------- 1 c) 1-- d) ----- 1 e) 625 f) 0,1 10 g) x 21 h) y 5a10248 16i) 1 j) 0,6433. a) 7a · 7a b) (–5b) · (–5b) · (–5b) c) ------------ 1 d) y · · e) · ·( 2c) 5 -- y-- y-- -------------- 2u2v32u 2 v 34 4 4 5w 4 -------------- 2u 2 v 35w 4 --------------5w 434. a) 20 2 = 400 b) ( 1-- ) 6 = ----- 1 c) ( 3--) 4 = 1 d) (-----1 ) 2 = -------- 1 e) 10 –6 f) 4 4 = 2562 64 3 16 256g) ( 1--) 3 = ----- 1 h) (-----1 ) 2 = -------- 1 i) 2 3 = 8 j) ( 1--) 6 = ----- 13 27 10 1002 6435. a) 8 900 000 b) 180 000 c) 0,0000587 d) 78000000000 e) 24000f) 420 g) 400 h) 400036. a) 1,734 · 10 16 b) 1,5 · 10 –3 c) 5,1 · 10 27 d) 1,5 · 10 19Seite 3837. a) 8,1 · 10 6 + 4,9 · 10 6 – 18 · 10 6 + 0,9 · 10 6 + 25 · 10 6 = 20,9 · 10 6b) 21,6 · 10 12 – 0,108 · 10 12 + 8,4 · 10 12 – 0,37 · 10 12 = 29,522 · 10 12c) 1,4 · 10 –5 + 3,6 · 10 –5 – 5 · 10 –5 = 038. a) 2 · 10 10 · 8 · 10 7 = 1,6 · 10 18 b) 75 · 10 6 / 2,5 · 10 –4 = 3 · 10 11c) 5 · 10 –7 · 7 · 10 –6 = 3,5· 10 –12 d) 1,6 · 10 15 e) 4,9 · 10 –11 f) 1039. a) 7 · 10 8 · 3 · 10 4 = 21 · 10 12 b) (1 · 10 –3 ) : ( 4· 10 6 ) = 2,5 · 10 –10c) (8 · 10 8 ) 2 = 6,4 · 10 17 d) (4 · 10 –4 ) 3 = 6,4 · 10 –11e) (2 · 10 5 ) : (5 · 10 1 ) = 4 · 10 3 f) (7 · 10 1 · 5 · 10 4 ) : (5 · 10 2 · 2 · 10 2 ) = 35g) (9 · 10 9 ) : (1· 10 –4 ) = 9 · 10 13 h) (5 · 10 9 · 9 · 10 4 ) : (4 · 10 –4 ) = 1 · 10 1840. a) (ab) 4 b) ------------ 1( bc) c) (1,4y) 3 d) ( 1--cd) 2 3e) (2ef) 341. a) 2 10 + 2 2 b) 2 4 – 2 6 c) a 8 + 2a 9 + a 10 d) 2 –5 + 2 –6e) 2 –7 + 2 –5 + 2 –10 + 2 –8 f) a –4 + 2b –6 + b –8v 2

Potenzen mit rationalen Exponenten 2743. a) A = 6 2 = 36; D = 400; E = 1-- ; F = 16; G = ----- 1 ; I = 1 6 = 1; L = 64; R = 1--; S = 25; W = 276169Lösungswort: GREIFSWALD43. s = 3,472 m; a = 720044. R = 0,25 Ω1.4 Potenzen mit rationalen ExponentenSeite 42EA Zeitraum 1 2 3 4 5 10 15Bestand in fm 203102 206252 209452 212700 216000 233280 251942Wurzeln und Potenzen23541. a) b) c) d) e) 3 2 = 9 f) 12 2 210425= 144 g) 1 = 1h) 11 3 2= 1331 i) 1,5 j) 43(--) k) 5 l) ( 1--) m) ( 1--) 2 = 1-- n) ( 5--)552 4 71--1--2--o) a p) q) r) d 2 3--233bcs) 12---- *t) 10 ⋅ a *u) 2t2. a) 3 100 b) 5 c) 4 8 d) 5 10 e) 5 8 f) 3 8 4 = 16 g) 2h) 4 1000 i) 3 9 j) ----- 1 = 1-- k) 1-- l) ----- 1 *m) 3 1 0 *n) 116 4 8 10Seite 431--1--------- kmh 21--3--o) x p) 3 x 2 q) 4 x 3 r) 3 y 2 s) 1 -- t) 8x *u) 3 9az3. a) 100 b) 4 c) 3 d) 0,2 e) 3 f) 1g) 1-- h) 1-- i) 2 j) 0,1 k) 0,5 *l) 2--32 34. a) 10 b) -------- 1 c) 11 d) 2 e) 1--f) 210025. a) 100 = 10 b) 3 27 = 3 c) 0,25 = 0,5 d) ----- 1 = 1-- e) = 4 f) = 0,264 816 3 0,008g) 5 32 = 5 h) 4 ----- 1 = 1-- i) 3 1 = j) = 2 k) = 2 l) =81 3----- 1-- 464 4164 ----- 1 1--36 66. a) 9 < 90 < 10 b) 4 < 3 90 < 5 c) 3 < 4 90 < 4d) 3 < 3 50 < 4 e) 4 < 3 10 2 < 5 *f) 5 < ( 4 10 ) 3 < 61--2--77. a) 0,632 b) 1,913 c) 1,778 d) 2,512 e) 2,856 f) 0,014 g) 2,714 h) 0,177i) nicht definiert j) nicht definiert k) 8,739 l) 0,977 m) 0,031 n) – 1,778o) 8,550 p) 0,398 *q) nicht definiert8. a) 1,29 b) 2,30 c) 4,09 d) 7,27 e) 7,27 f) 12,94 g) 1,29 h) 1,29i) 0,13 j) 7,27 k) nicht definiert l) 0,419. a) ja b) ja c) ja d) ja e) ja f) nein; 5 32 = 2 g) jah) ja i)–-- 12nein; 10 = ----- 110j) ja *k) nein; (–3) ist nicht definiert. *l) ja10. a)–-- 11 2(--) = 2 = b) 0,5 – 0,5 = c) 0,5 2 = 0,25 ≠ d) =2–-- 1 12--–-- 1–-- 12( ) 21 2(--)1 2(--)------------- 1 ------ 1220,5 2 0,5≠ ( 1--) 2e) ( 1--) 11--11----–-- 122= 2 = 2 f) 2 = 2g) 1 2(--) = ------ 1 ≠ 1 2(--)22 2 2e 22--1--21--1--2–-- 12

28 Zahlen und TermumformungenSeite 4411. a) x = 5 b) L = 1,2; – 1,2 c) L = 2; – 2 d) x = – 1 e) x = 5 20 ≈ 1,82f) L = 2; – 2 g) x = 3 h) L = 2; 0 *i) L = R j) x = 0,5k) x = 64 l) x = 37 m) x = 8 n) x = 0,03125 o) x = 0,000112. a) 1000 b) 64 c) 4 d) 1--e) 10 f) nicht definiert4g) 10 h) 10 i) 10 j) 0,1 k) nicht definiert l) 3m) nicht definiert n) 10 o) – 49 p) 25 q) nicht definiert r) 113. b) und e): Die Radikanden sind negativ. g): x – 1 ist nur für x ≠ 0 definiert.14. a) a ≥ 0 b) a ≤ 0 c) a ∈R d) a ∈R e) a ≥ 0 f) a ≤ 0Potenzgesetze für rationale Exponenten und Wurzelgesetze3--5--46223615. a) 10 b) 5 c) 2 d) 3 e) 2 f) a g) y 4 h) ------ 18 x2--1--15----1734i) ab j) x k) 10 l) 5 m) 1-- n) 1 2--(--) o) 12-- p) v32 23--4--38q) w r) ( 1-) ās) 1 *t)1--16. a) 2 b) 8 c) 30 d) – 5 e) 4 ----- f)3 xy g) 4 ( xy) 3 h)3 ( xy) 427i)3 xy j) -- 1 k) 2 l) ------ 1πm) 2 n) 1 o) 11 p) ab2q) 3 ( ab) r) 10 b ā - s) 1-- 2-- abt) zSeite 4517. a) 10 a b) b--c) 1 3 -- c d) 100x 2 y 22 2e) --------- 10 xf) ---------------- 110xyg) 4 1--xh) 4 ab i) 2 a j) -- a318. a)6 10 b) 100 4 = 10000 c) 36 = 6 d) 7 3 e) -------- 1 = ----- 1144 12f) 4 a g) = x 3 h) ------ 1 i) ------ 1cyj) 4a 2 = 2a19. a) 10 b)3 4c) 0,2 d) ----- 1 e) 153 60----- f) 12 -------- 1a32xg) – -------- 1 ⋅ ---- 1h) 1 *i) – j) k)125 z 323 ----- 62a – 3b----- 1abl) 1-- 2 y 320. a) 9 10 b) – 2 13 c) 5 a d) a ab e) 3 xy + 4 x 2 yf) 21x g) 63 a – 3 ab *h) ( 2 + 3 )a – 3 a i) 0,05 x21. a) 10 b) 5 c) 2 d) 2 e) 0,8 f) 3 g) 2 h) 1--i) 2j) 0,5 k) 2 l) 3 310000 m) 6 n) 3 o) 10 *p) 2 75 q) 3--*r) 3222. a) 8100 = 100 ⋅ 81 = 90 b) 3 8000 =3 8 ⋅3 1000 = 20 c)3 0,125 = 125 ⋅ 3 ----------- = 0,51000d) 3 ----- 1 = 3 1--⋅ 3 1 4 -- = 0,25 e) 16 ⋅ 10 = ⋅ = 2000 f) 2 g)6412 4 16 4 10 121 8 8 3 --3h) 3 ----------- 64 = --------------- 64 = 0,4 i) 4 -------------- 81 = ------------------ 81 = 0,3 j)3 8 ⋅ 27 =3 8 ⋅3 27 = 61000 3 100010000 4 100003k) 8 ⋅ 16 – 6 =3 8 ⋅ 16 – 6 = -------- l) 2 ⋅ 4⋅ 10 = ⋅ = 400 m) 11284 16 10 43 13--3--2xn) 3 8 4 =3 8 ⋅3 8 ⋅3 8 ⋅3 8 = 16 o) 10 6 = ------------ 1 10 6= 0,1Seite 4623. a) x b) a c) y d) xy e) x f) ab g) abc h) y2--4 145--3 1

30 Zahlen und Termumformungen3. a) x = – 4 b) x = – 5 c) x = – 2 d) x = – 1 e) x = 3 f) x = 2,5 g) L =h) x = 3 i) x = – 2 j) x = 34. a) 2 b) 8 c) 5 d) 6 e) – 1 f) 0 g) 1-- 3h) – 4 i) – 1 j) 1--25. a) < 0 b) > 0 c) < 0 d) < 0 e) 06. a) b = 5 b) b = 10 c) b = ----- 110d) b = 3 e) b = 1--37. a) z = 8 b) z = 25 c) z = 2 d) z = ----- 1 e) z = ----- 11625f) z = 64 g) z = ------- 1 h) z = 1i) z = ------- 1j) z = 53 454 28. a) x = lg 100 = 2 b) x = lg 1 = 0 c) x = lg 100000 = 5 d) x = lg 10 12 = 12e) x = lg 0,001 = – 3 f) x = lg -------------- 1 = – 410000g) keine Lösung h) x = lg 0,0000001 = – 7Seite 519. a) 2 b) 5 c) ≈ 2,02 d) ≈ 1,02 e) ≈ – 0,9810. a) 100 b) 8 c) 0,5 d) 16 e) zlogFür alle positiven reellen Zahlen b und z gilt: b b z= z.11. a) 4 b) 2 c) – 4 d) – 3 e) xFür jede reelle Zahl x und jede positive reelle Zahl b gilt: log b (b x ) = x.12. a) 1 < log 2 3 < 2 b) 2 < log 3 10 < 3 c) 2 < log 5 70 < 3 d) 2 < lg 150 < 3 e) 3 < log 4 125 < 4f) – 1 < lg 0,5 < 0 g) – 3 < lg 0,003 < – 2 h) – 4 < lg ----------- 1 < – 3 i) log 0,5 2 = – 1 j) – 4 < log 2 0,1< – 3300013. a) x ≈ 1,3 b) x ≈ 2,3 c) x ≈ 3,6 d) x ≈ – 0,3 e) x ≈ 0,3 f) L = f) x ≈ – 3,4 h) x ≈ 1,414. a) x = 5 b) x = 2,5 c) x = 5 d) x = 1 e) x = – 3 f) x = 2 g) x = – 2 h) x = 215. a) log b (m ⋅ n) = log b |m| + log b |n|; m ⋅ n > 0 b) log b (10 ⋅ n) = log b 10 + log b n; n > 0c) log b (4 ⋅ x ⋅ y) = log b 4 + log b |x| + log b |y|; x ⋅ y > 0 d) log 5 b -- = log b 5 – log b x; x > 0xe) log m b --- = log b m – log b 3; m > 0 f) log m b ----------- ⋅ n3= log b |m| + log b |n| – (log b |a| + log b |c|); m ⋅ n ⋅ a ⋅ c > 0a ⋅ cg) log 12b b -------- = log b 4 + 1 – log b a; a> 0; b > 0 h) log b --------- = log b |a| – log b |c| – 1; b > 0; a ⋅ c > 03ab a⋅ ci) log 4ad b -------- = log b |a| + log b |d| + log b 4 – (log b 3 + log b |c| + 1); d ⋅ a ⋅ c > 0; d > 03bcj) log b m + log b n = log b (m ⋅ n); m > 0; n > 0 k) log b m – log b n = log b ( m---n); m > 0; n > 0l) log b r – log b s + log b z = log rz b ---- ; r > 0; s > 0; z > 0 m) log b p – (log b q – log b r) = log rp b ----sq; r > 0; p > 0; q > 016. a) log b (c 2 a 5 ) b) log r 3b c) log b d) log b e) lg f) logs ---- 4-------------- sp 5 q 3p ⋅ 4 qm ⋅ nb 4 6 a⋅5g) log b |a||c| h) log b |a| – log b |c| – 1 i) log 4ad b -------- = log b |a| + log b |d| + log b 4 – (log b 3 + log b |c| + 1)3bcj) log b (m ⋅ n) k) log b ( m---n) l) log b (a + c)17. a) x = 128 b) x = 1 c) x = 2 d) x = m – n e) x = 2 f) x = m 2 – n 218. a) x ≈ 4,91 b) x ≈ 3,07 c) x ≈ 0,34 d) x ≈ 3,34 e) x ≈ 34,31 f) x ≈ 3,80 g) x = 3 h) x ≈ 6,4619. Es gilt einerseits 4 = log 2 16 und andererseits lg16 ---------- = = 4.lg24 --------------- ⋅lg2lg2Allgemeine Begründung: Wegen x = log b z folgt b x = z und damit lgz = x ⋅ lgb.1.6 Gemischte AufgabenSeite 52EADie zu berücksichtigende Längenänderung beträgt: Δl = 1,2 · 10 –5 K –1 ⋅ 800 m ⋅ 50 K = 0,48 m1. a) korrekt b) 16xy c) korrekt d) korrekt e) 2,5e f) korrektg) korrekt h) 4a + 4b i) korrekt j) – 20j 2 k) korrekt l) korrekt

Gemischte Aufgaben 312. T 1 T 2 T 3 T 4 Darstellung äußere Struktura) 4a b 2c d T 1 + T 2 · (T 3 – T 4 ) 2 Summeb) a 2b – 4c – 2c 2 (T 1 + T 2 – T 3 ) · T 4 Produktc) a----------+ c2h 3a b T 1 · T 2 – T 3 · T 4 Differenz3. a) a b (a – b) 2 b) a b (a – 1) · (b – 1) · (a + 1)1,5 2 0,25 7x 5 196x 2 – 48 cm 4 cm 16 cm 2 5x – 8x + 1 – 200x 3 + 8xx 2x x 2 x – 1 x + 14. a) 1-- x = x--= 0,5x b) x 2 = x · x c) 2x 2 = 2 · x 2 = (2x) · x2 2d) – x = (– 1) · x = x · (– 1) e) – 4x = (– 4) · x = x · (– 4) f) (– 2a) 2 = (2a) 2 = 4a 25. a) 16a – b b) 3x – y c) – 45c 2 + 90cd d) 2m + 14n e) – 3r + 2f) – 6f 2 + 3fh – 18h 2 g) x 2 – y 2 h) 0,25k 2 + 2km + 4m 2 i) – 4s 2 + 4st – t 26. a) 15a(2a – 3b 2 ) b) 8xy(3y + xy – 2x) c) (2r + 3s)(2r – 3s)d) (m + n)(3 – a) e) (5a – b) 2 f) – 5kSeite 537. a) 1,664 b) 4,732 c) 3,146 d) – 3,196 e) 1,027 f) 0,5908. Intervall [2; 3] [2,8; 2,9] [2,82; 2,83] [2,828; 2,829] [2,8284; 2,8285]Länge des Intervalls 1 0,1 0,01 0,001 0,0001Ergebnis: 8 ≈ 2,828Geschicktes Rechnen mit Potenzen9. a) 64 256 -------- 1256–----- 16410. a) 6 8 b) 6 – 8 c) 6 15 d) 6 – 15b) 0,25 ----- 132– 32 4 e) b 6 f) b 8 g) ( 4--) 2 bh) x (a + r)c) 0,0001 -------------- 11000010000 ----- 110i) x (a – r) j) x ar11. t 6 : a), b), c), d), h) t – 6 : e), f), g) 12. – 22 2 < ( 1-- ) 22 < (2 2 ) 2 < (----- 1 ) –2 < 2 22 = (– 2) 22 = ( 1--) –22222213. a) x = 4 b) x = 4 *c) L = – 5; 5 d) x = 414. a) 20 10 : 2 10 = 10 10 b) 8 10 ⋅ 8 – 10 = 1 c) 20 10 – 10 11 = 10 10 ⋅ (2 10 – 10) = 10 13 ⋅ 1,01415. a) 4,8 ⋅ 4,8 = 23,04; 4.8 x 2 b) 140 1,5 = 1656,5 140 x y 1.5 =c) 3179 – 1,5 = 5,6 ⋅ 10 – 6 3179 1/x x y 1.5 = d) – 0,84 3 = 0,592704e) 4 2,9 – 2,9 = – 0,398 f) 6000 = 8,80112 6000 x y 0.25 =g) 3 3 0,5 = 2,381103 *h) –(–1,5 ) 5 = 1,66 1.5 x y 1.25 =16. a) 0,001 b) 10 – 2 c) 0,00001 d) 10 – 4 e) 0,1 f) 10 – 5Seite 5417. a) 0,0008 b) 0,0000057 c) 86000 d) 14320000 e) 0,001234 f) 0,000000071518. a) 2 ⋅ 10 – 4 km b) 3 ⋅ 10 1 km c) 1,5 mm d) 1,44 Megabyte e) 5 ⋅ 10 – 5 mm f) 10 Gigabyte19. a) 10 – 3 m b) 10 – 3 A c) 10 – 2 m d) 10 3 V e) 4,5 ⋅ 10 – 6 m f) 8,3 ⋅ 10 3 kW20. a) 10 2 ; Regel (1) b) 10 – 2 ; Regel(2) c) 10 – 12 ; Regel(1)d) 10 – 6 ; Regel (3) e) 10 1 ; Regel (2) f) 10 – 8 s; Regel (3)

Gemischte Aufgaben 3339. a) 1 = 10 0 = 1 2 = 1 b) – 18 2 = – 324; (– 18) 2 = 324; 18 – 1 = ----- 1 ; – 18 0 = – 1c) 147 d) (– 3) 100 > 0; – 3 50 18< 040. a) A = 27,04 cm 2 b) a = 8,1 cm c) V ≈ 7,24 cm 3 d) a ≈ 9,47 cmd e) r ≈ 1,75 dm f) (1) a = 4 cmRd Q g) Die Kantenlängen verhalten sich wie 3 3 :3bzw.a5d R = 68 cm ≈ 8,25 cmungefähr wie 1 : 1,19.d Q = 32 cm ≈ 5,67 cm41. a) x 1,2 12 120 1200 12000 Vermutung: lg(x ⋅ 10 n ) = n + lgx; x > 0; n ∈Nlgx 0,079 1,079 2,079 3,079 4,079 b) lg(x ⋅ 10 n ) = lg(10 n ) + lgx = n + lgxPotenzen und Logarithmen im Alltag42. a) 1,6 kW pro Haushalt 48.b) individuell29,3 GJ250 MJ0,8 MJEnergiemenge9800 MJ12,5 MJ1 kJ1 JSeite 5743. a) Die Abstände zweier Höhenangaben von der Marke zu 1 km verhalten sich wie die dekadischen Logarithmen.b) Bis zur Tropopause nimmt die Temperatur mit wachsender Höhe ab. Von der Tropopause bis zur Stratopausesteigt sie mit zunehmender Höhe, um von dort bis zur Mesopause wieder abzusinken. Von der Mesopause anaufwärts steigt die Temperatur mit wachsender Höhe an.44. a) 3472,86 € b) 4020,29 € c) 4653,98 € d) 5387,57 € e) 6236,78 €Der Zuwachs von 3 auf 6 Jahre beträgt 547,41 €. Der Zuwachs von 6 auf 9 Jahre beträgt 633,69 €. Der Zuwachsvon 9 auf 12 Jahre beträgt 733,59 €. Der Zuwachs von 12 auf 15 Jahre beträgt 849,21 €. Durch die Zinseszinsensteigt der Gewinn von Jahr zu Jahr.Exponetielle Geldvermehrung45. a) 4 Antworten wurden richtig beantwortetpro richtige Antwort wird an den Gewinn G 0 = 1 eine 0 angehängt, d. h. der Gewinnzuwachs GZ = G x + 1 – G xGZ 1 = G 1 – G 0 = 10 € – 1 € = 9 €GZ 2 = G 2 – G 1 = 100 € – 10 € = 90 €GZ 3 = G 3 – G 2 = 1000 € – 100 € = 900 € GZ 4 = G 4 – G 3 = 10000 € – 1000 € = 9000 €b) 10000 € = 10 4 € c) 10000000 € = 10 7 €d) Vorrausgesetzt die Währungseinheit beträgt Euro, ist die Auszahlung von 1 ı bei keiner richtig beantwortetenFrage mathematisch korrekt, denn da für jede richtig beantwortete Frage eine 0 an die bereits vorhandene 1angehängt wird, ist ein Gewinn von 1 garantiert.46. a) 3472,86 € b) 4020,29 € c) 4653,98 € d) 5387,57 € e) 6236,78 €Der Zuwachs von 3 auf 6 Jahre beträgt 547,41 €. Der Zuwachs von 6 auf 9 Jahre beträgt 633,69 €. Der Zuwachsvon 9 auf 12 Jahre beträgt 733,59 €. Der Zuwachs von 12 auf 15 Jahre beträgt 849,21 €. Durch die Zinseszinsensteigt der Gewinn von Jahr zu Jahr.47. a) Monat 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.Sparbetragin CentErspartesin Euro2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 163840,02 0,06 0,14 0,30 0,62 1,26 2,54 5,10 10,22 20,46 40,94 81,90 163,82 327,66b) 1. Monat 2 · 10 –2 € 2. Monat 4 · 10 –2 € 3. Monat 8 · 10 –2 € 4. Monat 16 · 10 –2 €5. Monat 32 · 10 –2 € 6. Monat 64 · 10 –2 € 7. Monat 128 · 10 –2 € 8. Monat 256 · 10 –2 €9. Monat 512 · 10 –2 € 10. Monat 1024 · 10 –2 € 11. Monat 2048 · 10 –2 € 12. Monat 4096 · 10 –2 €13. Monat 8192 · 10 –2 € 14. Monat 16384 · 10 –2 €c) Ja.

34 Zahlen und TermumformungenGroße WassermengenSeite 5848. a) Wasserstand auf Rügen: 1 m b) Wasserstand auf Rügen: 100 m c) Wasserstand auf Rügen: 10 km... neue Bundesländer: 1 cm ... neue Bundesländer: 1 m ... neue Bundesländer: 100 m... Europa: 0,1 mm ... Europa: 1 cm ... Europa: 1 m49. a) V = 8 km 3 b) V = 21942 km 3Wasserstand auf Rügen: 8 m Wasserstand auf Rügen:21,94 km... neue Bundesländer: 80 cm ... neue Bundesländer: 219,42 m... Europa: 8 mm ... Europa: 2,19 mIm Mikrokosmos50. a) 1 mm= 1 μm; Maßstab: 1 : 10 3 b) 1 mm= 1 nm; Maßstab: 1 : 10 6 c) 1 mm= 1 pm; Maßstab: 1 : 10 91 cm = 10 μm; 1 cm = 10 nm; 1 cm = 10 pm;1 dm = 100 μm; 1 dm = 100 nm; 1 dm = 100 pm;1 m = 1000 μm; 1 m = 1000 nm; 1 m = 1000 pm;1 km = 10 6 μm; 1 km = 10 6 nm; 1 km = 10 6 pm;51. a) Grafikkarte: 1,5 mm;Löcher für die Kontaktstifte: 0,3 mm;Leiterzug: 0,15 mm; Anschlußkontakt: 0,01 mm 2Abstände der Leiterbahnen: 0,00018 mmDicke der LeiterplatteLochdurchmesserBreite eines LeiterzugesAnschlusskontaktAbstand der Leiterb.künftiger AbstandZeichnung nicht möglichZeichnung nicht möglichb)keine Zeichnungmöglich30 μm 10 μm 7 μm 4 μm 0,275 μm 0,02 μmZellen des menschlichen Körpers: 30 μm - 10 μm; Durchmesser eines roten Blutkörperchens: 7 μm;die größte Bakterie: 4 μm; die kleinste Bakterie: 0,275 μm; der kleinste biologische Virus: 0,02 μmGroße AnzahlenSeite 5952. a) ≈ 17 min b) ≈ 11 d und 12 h d) ≈ 3 Mon. und 25 d e) ≈ 32 a, 1 Mon. und 24 df) ≈ 32150 a, 2 Mon., 15 d, 14 h und 24 min53. a) EW Dtl: ≈ 2 a, 7 Mon. und 6 d; EW Afrika: ≈ 22 a, 6 Mon. und 5 d; EW Welt: ≈ 192 a, 10 Mon. und 24 db) Borstenwürmer: ≈ 2 h und 48 min;Wimperntierchen:≈ 11 d, 14 h und 24 min;Geißeltierchen: ≈ 16075 a, 1 Mon. und 6 d;Bakterien: ≈ 321502 a;Bakterien (Menschenhaut): ≈ 160 a und 9 Mon.;Bakterien (insgesamt): ≈ 3215020 a, 7 Mon. und 6 dc) Sterne der Milchstraße: 6430 a; andere Galaxien: ≈ 23 d, 3 h und 36 min

Gemischte Aufgaben 35Kosmische Dimensionen54. a) 13,36 · 10 –2 sb) 8 min und 10 s c) Merkur - Erde: 4 min und 24 s; Venus - Erde: 2 min und 15 s;Mars - Erde: 3 min und 9 s; Saturn - Erde: 1 h und 6 min; Neptun - Erde: 3h und 59 min55. a) Sonne: ρ = 1,41 --------- kg ; Merkur: ρ = 5,59 ; Venus: ρ = 5,22 ; Erde: ρ = 5,49 ;dm 3--------- kgdm 3--------- kgdm 3--------- kgdm 3Mars: ρ = 3,89 --------- kg ; Saturn: ρ = 0,618 ; Neptun: ρ = 1,6dm 3--------- kgdm 3--------- kgdm 3b) Riese: ρ = 10 –6 --------- kg ; Hauptreihenstern: ρ = 0,95 ; Weißer Zwerg: ρ = 0,95 · 10 6 ;dm 3--------- kgdm 3--------- kgdm 3Neutronenstern: ρ = 0,24 · 10 15 --------- kgdm 3

36 Lineare Gleichungssysteme2 Lineare GleichungssystemeRückblickSeite 641. a) 10; 2,4; – 6; 1; – 3-- b) 4; 0,2; – 4; – 1-- ; – 7-- c) – 4; – 0,2; 4; 1-- ; 7--22 4 2 4d) 2,5; 0,6; – 3-- ; 1-- ; – 3-- e) 1-- ; 5,4; 11; 19 ----- ; 82 4 8 3 32. a) 20,25cm 2 b) 166,5 cm c) 364,5 cm 3 d) 31,5 cm 2e) 2,25 cm f) 6,75 cm g) 143,1 cm 3 h) 182,25 cm 23. a), b) A = 10 cm 2u = 13 cmabc) A = 6 cm 2aa – bd) A = 5 cm 2bae) A = 8,125 cm 2bh = ba4. a) 2a + 1 – 5 = 2(a – 2) b) 3(2a + 1) – 1 = 2(3a + 1) c) (2a + 1 – 1) 2 = 4a 2d) (2a + 1 + 1) 2 = 4(a + 1) 2 e) (2a +1 + 1)(2a + 1 – 1) = 4a(a + 1)5. a) x = 7 b) x = 4 c) x = 10 d) x = 90 e) x = 0,8 f) x = –16. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)Term T 2 T 1 T 2 T 4 T 2 T 5 T 2 T 5 T 4 T 1Belegung für a 2x 1,5 x 1--g2– 3r ---------- a + c2 x k + 5 2x a (3 – x) 2Belegung für b y 4y h 2s h 0 b – 2 y b x 27. a) 3x = 4y ; ohne Einschränkung möglich b) – x = 3 – 2a; ohne Einschränkung möglichc) s 2 = r----------+ 12; nur für r ≠ 0 möglich d) 8x = 4; ohne Einschränkung möglich8. a) b = 1 (u – 2a)2b) b = a – 3 cm c) b = d) b = ----------1 a– a*e) b = a----------------------⋅ ( 2 – a)1 – a9. a) y = 11 – x b) y = 2(x – 4) c) y = x----------- + 42d) y = 24 ----- xe) y = 1,510. a) 2x – 1 = 9 b) 2x – 1 = 2 + x c) 2x – 1 = a + x d) 2x – 1 = 10 – 3xe) 2x – 1 = x 2 + 5--– 33f) 2x – 1 = – 11 g) 2x – 1 = x – 4 h) 2x – 1 = x – ai) 2x – 1 = – 3x – 12 k) 2x – 1 = x(2 – x) + 1 – 3--x11. a) 2; 1; 0; – 1 b) 0; – 1; – 2 c) 1; 0; – 1; – 2 d) keine der angegebenen ZahlenSeite 6512. a) ja; | ⋅ (– 1) b) ja; | + 2 c) nein13. a) L = x ∈R: x ≥ – 2 b) L = x ∈R: x ≥ – 2 c) L = x ∈R: x > – 3 d) L = x ∈R: x < – 3e) L = a ∈R: a < – 1 f) L = b ∈R: b < 0,04 g) L = c ∈R: c ≥ 0 h) L = R14. a) L = 3; – 3 b) L = ∅ c) L = 0 d) L = 3,5; – 3,515. a) L = 5; – 1 b) L = 4; – 1 c) L = 3; – 1 d) L = 1; – 316. a) |x – 10| ≤ 2 b) |x – 6,5| < 1,5 c) |x – 7| ≤ 1,5 d) |x + 6| ≤ 217. a) • • b)0 1 2 3 4 5 6 7–4–3 –2–10123456c) ••d)–4 –3 –2 –1 001234

38 Lineare GleichungssystemeLineare Gleichungen mit zwei Variablen und lineare Funktionen1. Lösungen sind: a); c); e); g); i)2. a) a = –4 b) b = 16 ----- 3c) c = 8 d) d = – 8,5 e) e = – 15 ----- 4f) f = 19 ----- 33. a) (x 1 ; y 1 ) = (– 2; – 3) und (x 2 ; y 2 ) = (4; 11) sind Lösungen der Gleichung 7x – 3y = – 5.b)(4; 11)4. a) y = 40 – 2x b) (0; 40), (20; 0), (5; 30), (10; 20), ( 8; 24)c) d) I(5; 30)(– 2; – 3)(30; – 20)Weitere Lösungen: (– 5--; 0), (0; 5--)7 35. a) y =– 1,5x + 4 b) y = 5x – 3 c) y = –2x + 3d) y = –2,5x – 4 e) y = 0,5x + 0,3 f) y = –4x + 1,56. a) yb) P(1; –1) Q(2; 2) R(0; 12Qf 11R–2 –1 1 2 x–1P–2–3f 2f 3Seite 707. a) linear; 2 b) nichtlinear; 2 c) linear; 2 d) linear; 3Grafische Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen8. a) ja b) nein c) ja9. a) I: x + y = 3 b) I: 2x – y = – 11 c) I: – 2x + y = 9 d) I:4x + 6y = 4II: x-- – y-- 2 2= 1 II: 5x – 7-- y = 149 -------- 3 18II: x – y = – 1 II:–x + y = 8

Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme 3910. a) y L = {(2; 2)} b) yc)II322 II3y L = {(6; 3)}321II11–1 1 2 x–1 1 2 x1 2–1–1 L = {( 5-- ; 10 ----- )}–13 3d) e) yf)y L = {(4; 1)}L = {(2; 2)}6I42II3II21Iy6423 4 5 6IIIx–22 4 x1 1 2 x–1–2 2 4 x–2L = {(1; 0)}11. a) 12. a) f 1 (x) = x; f 2 (x) = 3 – x; S( 3-- ; 3--)2 2g 5gb) f 1 (x) = 2x + 1; f 2 (x) = 1-- x – 1; S(– 4-- ; – 5--)23 3c) f 1 (x) = 1-- x + 15 ----- ; f 2 (x) = 1--x + 10; S(– 15; 5)6 23g 113. a) y = – x + 8 b) y = 1--x2c) y = 1-- x – 42d) y = – 3--2xe) y = – 3--x + 22g 2g 3g 415. a) genau eine Lösungb) keine Lösungc) unendlich viele Lösungenb) S 1 (– 8-- ; – 8-- ), S 2 (– 1; 3--), S 3 (0; 4)3 3 2S 4 (– 14 ----- ; – 23 ----- 3), S 5 (– 7-- 3 2; – 19 ----- 4)14. a) b) c)3y + 2x = 9–x – y = –1–3y + 3x = –62y = 0,75xy – x = 2Es existiert genau eineDas Gleichungssystem hat Lösung (x; y) mit x = – 1--2genau eine Lösung (x; y) und y = 3--.22y – 6x – 21 = 0mit x = 3-- und y = 13 ----- . Es existiert genau eine Lösung (x; y) mit55x = – 4 und y = – 1.

40 Lineare Gleichungssysteme2.2 Rechnerisches Lösen von GleichungssystemenSeite 74EADie Argumente von Claudia und Nicole sind richtig. Wenn Felix zum Ausdruck bringen möchte, dass man beimgrafischen Lösen die gleiche Lösungsmenge erhält, wie beim Gleichsetzungsverfahren, so ist das im Prinzip richtig.Praktisch kann es aber Nachteile beim grafischen Lösen geben. Diese bestehen in der Genauigkeit des Zeichnensder beiden Geraden und dem Ablesen eines Schnittpunktes.1. a) x = 21; y = 7 b) x = 11; y = 7 c) x = 4; y = 16d) x = –6; y = –7 e) x = 12; y = 2 f) x = 7; y = 9g) x = – 9; y = 10 h) keine Lösung i) x = 68 ----- ; y = –-------- 1087 7Seite 752. a) x = 2; y = –1 b) x = –8; y = –7 c) x = 9; y = 2d) x = 1; y = 2 e) x = – 0,5; y = – 4 f) x = 2,5; y = 2,5g) x = 1; y = – 1 h) x = 3; y = 4--3i) x = 10; y = 103. a) x = 3; y = 4 b) x = 4; y = 3 c) x = 19 ----- ; y = 21 ----- 3 4d) x = 5; y = 2 e) x = 1--; y = 12f) x = –4; y = 04. a) x = 1-- ; y = – 10 -----3 3b) x = 9; y = 4 c) x = 1-- ; y = 7--2 8d) x = 51 ----- ; y = 46 -----20 15e) x = 23 ----- 2; y = 16 f) x = 19 ----- ; y = 1--5 55. a) I: x = 4-- – 2-- y5 5b) I: y = 2 – 5--2x c) I: 15x + 6y = 12II: 4( 4-- – 2-- y) - 3y = 175 5II: y = – 17 ----- + 4--3 3x II: 8x – 6y = 34y = –3 2 – 5-- x = – 17 -----2 3+ 4--3x 23x = 46x = 2 x = 2 x = 2y = –3 y = –36. a) x = 3; y = 5 b) x = – 1--; y = 3--c) x = – 3; y = – 52 2d) x = 2; y = 1 e) x = 5; y = 0 f) x = –2,4; y = –9,67. a) b) c)IIIIIIIIIx = – 1--; y = 3-- 2 2x = 2; y = – 2 x = 17 ----- ; y = 2--3 3d) e) f)IIIIIIIIIx = 3; y = 5 x = – 3--; y = 1-- x = – 4; y = – 3--2 2 2

Lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Variablen 418. a) x = 4; y = 9 b) unendlich viele Lösungen c) x = 2; y = 13d) Die Lösungsmenge ist die Gerade durch die Punkte (0; 3) und (–6; 0).e) Die Lösungsmenge ist die Gerade durch die Punkte (0; 1,5) und (–6; 0).f) Die Lösungsmenge ist die Gerade durch die Punkte (0; 1-- ) und (– ----- 1 ; 0).9 112.3 Lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei VariablenSeite 78EA I: x + y = 109 x: Alter des MannesII: y + z = 56 y: Alter des SohnesIII: x + z = 85 z: Alter des EnkelsDer Mann ist 69 Jahre alt, sein Sohn 40 Jahre und der Enkel 16 Jahre.1. Die Lösungsmenge jeder linearen Gleichung mit drei Variablen kann als Ebene im dreidimensionalen Raum aufgefasstwerden. Bei einem linearen Gleichungsystem von drei Gleichungen mit drei Variablen sind daher folgendeFälle möglich:keine LösungAlle drei Ebenen verlaufen parallel zueinander, wobei sie nicht alle identisch sind.Es gibt zwei Ebenen, deren Schnittmenge eine Gerade ist. DieseGerade verläuft parallel zur dritten Ebene, ohne diese zu berühren.genau eine Lösungunendlich viele Lösungen,die eine Gerade bildenunendlich viele Lösungen,die eine Ebene bildenDie drei Ebenen haben genau einen Punkte gemeinsam.Genau zwei Ebenen sind identisch, die dritte verläuft nicht parallelzu den ersten beiden Ebenen.Keine der drei Ebenen verläuft parallel zu einer der anderen Ebenen. Die alsSchnittmengen aus je zwei Ebenen entstehenden Geraden sind identisch.Alle drei Ebenen sind identisch.2. a) x = 15; y = 5; z = 25 b) x = 45; y = 37,5; z = 22,53. a) x = 7; y = 3; z = – 1 b) x = – ----- 2 ; y = – 19 ----- ; z = – 29 -----13 26 26c) x = 0,5; y = 0,75; z = 44. a) x = 0; y = 0; z = 0 b) x = 2; y = – 7; z = 1 c) x = 0; y = 0; z = 105. a) x = 3; y = 5; z = 0 b) x = 3; y = 2; z = 1 c) x = 110 -------- ; y = -------- 53 ; z = -------- 54119 119 1196. DC α = 70°; β = 90°; γ = 90°; δ = 110° 7. Wasser: 0,76 €Orangensaft: 2,52 €ABCola: 1,06 €* 8. Durch äquivalentes Umformen erhält man die Gleichungen: y = 200 – 7--3z. (I)x = –100 + 4--z (II)3Damit man eine nichtnegative Anzahl an Hähnen erhält, muss außerdem die Ungleichung y + z < 100 erfüllt sein.Durch Einsetzen ergibt sich dann: 200 – 7--z + z ≤ 1003Dazu äquivalent ist die Ungleichung z ≥ 75. Damit ergeben sich folgende Lösungen:x 0 4 8 12 Für z > 84 ist y negativ. Daher gibt es keine weiteren Lösungen.y 25 18 11 4z 75 78 81 84

42 Lineare Gleichungssysteme2.4 Lösen von SachaufgabenSeite 81EA Wasser Frostschutzmittelbis – 12°C 1 l 0,5 lbis – 21°C 0,75 l 0,75 lbis – 31°C 0,5 l 1 l1. a) p = 3 € + o b) k + 5 cm = a c) a = 3b d) m = 10 ------- kmh+ r2. a) b: Preis eines einfachen Brötchens; m: Preis eines Mohnbrötchens; 4b + 3m= 1,37b) l 1 : Leistung der ersten Pumpe; l 2 : Leistung der zweiten Pumpe; 3,5l 1 + 2,5l 2 = 23* 3. a) APFEL (65430); BIRNE (21783) b) 46723 (FARBE); 76238 (RABEN)Seite 824. a) I: 4s + 2h = 82 b) I: s = 5zII: s + h = 33 II: 6s + 2z = 192Der Bauer hat 8 Schafe und 25 Hühner.Es gibt 6 Zweibettzimmer und 30 Sechsbettzimmer.5. I: 2(a + b) = 32 cm 6. I: 2a + b = 42 cmII: a = 2b a = 32 ----- cm; b = 16 -----33cm II: 3b = a b = 6 cm; a = 18 cm7. x: Masse einer Kugel; y: Masse eines KegelsI: 4x + 3y = 6,5 kgII: 3x + 4y = 7,5 kg x = 0,5 kg; y = 1,5 kg8. Kosten für einen gefahrenen Kilometer: 12,5 Cent; Grundgebühr: 25,00 €9. a) Einbettzimmer 1 2 3 4 5 6 7 b) Nein, es gibt maximal 15 Betten.Zweibettzimmer 7 6 5 4 3 2 1 c) Es gibt maximal 15 Betten und mindestens 9 Betten.d) In diesem Fall gibt es 5 Einbettzimmer und 3 Zweibettzimmer.10. a = 80; b = 20; c = 40; d = 60* 11. Nach 3. Binomischer Formel muss gelten: (a – b)(a + b) = 91Es gibt genau zwei Möglichkeiten die Zahl 91 als Produkt zweier natürlicher Zahlen darzustellen, sodass genauzwei lineare Gleichungssysteme aufgestellt werden können.I: a – b = 1 I: a – b = 7II: a + b = 91 a = 46; b = 45 II: a + b = 13 a = 10; b = 3* 12. a) v 1 = 40 km ------- ; v 2 = 50 km -------hhb) s = 400 km2.5 Lineare Ungleichungen und UngleichungssystemeSeite 85EA16014012010080604020Anzahl der Paare von Modell 2LAnzahl der Paare0 40 80 120 160 von Modell 1L ist die Menge aller Gitterpunkte des markiertenGebietes.

Lineare Ungleichungen und Ungleichungssysteme 431. a) b) c)LLLd)LEine gestrichelte Linie gehörtnicht zu L, eine durchgezogeneLinie gehört zu L.2. a) b) e)LL(0; 3), (– 1; 8) (0; 0), (– 2; 0,5)c) d)LoLLo(– 2; – 2), (– 3; – 3)3.(1,5; 0), (1,5; 1)f) L = ∅MineralwasserOrangensaft7 Flaschen 73 Flaschen11 Flaschen 72 Flaschen59 Flaschen 60 Flaschen(0; – 4), (2; 0)

44 Lineare Gleichungssysteme2.6 Gemischte AufgabenEA150012501000750500250Gewinnbilanz in €erstes Jahr zweites Jahr drittes JahrKuh 1 – 760 € – 250 € 240 €Kuh 2 – 905 € – 310 € 285 €Ab ungefähr 2 Jahren und sechs Monaten ist die teure Kuhrentabler.Daher wird die teure Kuh den Vorzug erhalten.– 250– 500– 750– 1000– 1250– 15001 2 3 4Jahre1. a) b) c) d)(4; 6)(– 1; 4) (0; 0)Seite 88(4,5; – 4,5)2. a) ( 6-- ; 8-- ) b) (2; 5-- ) c) ( 8--; – 3) 3.5 5 2 54. a) b)g(1; 7,5)(–1;1)(– 6; – 2,5)hc) d)keinSchnittpunkt(–3; –2)

Gemischte Aufgaben 455. a) (– 2; – 8-- )3b) (– 5--; 11 ----- 2 2) c) (– 12 ----- ; 72 ----- )13 13d) (3; 2) e) (– 4; – 3) f) (5; – 9)g) (– 6955 ----------- ; – 4284 ----------- )157 157h) ( 12 ----- 5; 12 ----- 5)6. a) Die Gerade g schneidet die Geraden h, j und k. Die Geraden g und i sind parallel.b) I: x + 2y = – 5 I: x + 2y = – 5 I: x + 2y = – 5 I: x + 2y = – 5II: – x – 10 = 4y II: – 0,5 x + 5 = y II: 2y – 5 = x II: 4x + 2y = – 5L = (0; – 2,5 L = ∅ L = (– 5; 0 L = (0; – 2,57. a) Die Geraden x = 4, y = – 2 und x + y = 2 bilden kein Dreieck. Sie haben ihren gemeinsamen Schnittpunkt imPunkt (4; – 2).b) ( 9-- ; – 21 ----- ), ( 2-- ; – 8--), (–3--; 3)5 10 3 3 48. a) y = 3-- x2b) y = – 5x c) y = 7-- 5x d) y = – 2--x + 5-- 3 3e) y = 2x – 4 f) y = ----- 1 x – ----- 120 109. I: 9x + 7y = 4,48 € Eine Büchse Cola kostet 0,35 € und eine Büchse Mineralwasser 0,19 €.II: 7x + 9y = 4,16 €10. a) 3n – 1--(n + 1) = 17n = 7 b) I: x + y = 19 x = 14 c) I: x + y = 124 x = 892II: x – y = 9 y = 5 II: x – y = 54 y = 35d) I: 2x + 1-- y = –1 x = – 1--23II: y = 2x y = – 2--3Seite 8711. x: Länge des Grundstücks vor dem Tausch; y: Breite des Grundstücks vor dem Tausch2y 2 = (2y – 15 m)(y + 8 m) ⇒ y = 120 m; x = 240 mNach dem Flächentausch ist das Grundstück 225 m lang und 128 m breit.12. Das neue Grundstück hat die Maße 14 m · 38 m = 532 m 213. a) I: 20 min ⋅ x + 30 min ⋅ y = 160 x = --------- 5 ; y = --------- 2 b) 23 h 49 minmin minII: 30 min ⋅ x + 20 min ⋅ y = 19014. In den bezahlten 18 € ist bereits 1 € Trinkgeld enthalten. Von den zunächst gegebenen 20 € ist nicht das Trinkgeldabzuziehen, sondern die 2 €, die vom Kellner herausgegeben werden.15. Herr Murkel kauft 6 Briefmarken zu 45 ct und 8 Briefmarken zu 55 ct.16. m: Anzahl der Mädchen; j: Anzahl der Jungen I: m – 1 = 1,7j j = 10II: 2(j – 1) = m m = 1817. I: v + x = 760 km ------- hv = 725 km ------- h18. Die Griechin hatte 3 Drachmen.II: v – x = 690 km ------- h19. Der erste Schäfer (x) hatte 7, der zweite Schäfer (y) hatte 5 Schafe.x + 1 = 2(y –1) y + 1 = x –120. In der Kasse liegen zehn 50-€-Scheine und zwanzig 20-€-Scheine.Seite 8821. I: 12 t ⋅ x + 15 t ⋅ y = 171 tII: x + y = 13 Auf dem Schiff befinden sich 8 Container zu je 12 t und 5 Container zu je 15 t.22. x: Volumen des Silbers; y: Volumen des GoldesI: x + y = 625 cm 3II: 10,5 --------- g ⋅ x + 19,25 ⋅ y = 10 kg Die Krone enthielt rund 232 g Silber.cm 3--------- gcm 323. Es können höchstens 30 Jungen und 9 Mädchen mitreisen.24. Eine Klasse hat 25 Schüler, die andere 20.

46 Lineare Gleichungssysteme25. Die Gewinnsumme betrug 60000 €. Davon erhielt Anton 36000€ und Berthold 24000 €.26. Es gibt einen Hauptpreis (10 Euro), 9 Preise zu 5 Euro und 90 Trostpreise zu 50 Cent.27. x: Masse der 8 % igen Salzlösung; y: Masse der 12 % igen SalzlösungI: 0,08x + 0,12y = 0,095(x + y)II: 0,05(x + y + 600 cm 3 ) = 0,095(x + y) Lösung: x = 416,6 g; y = 250 g28. x: Durchschnittsgeschwindigkeit von Paula; y: Durchschnittsgeschwindigkeit von PaulI: 3-- h ⋅ x + 3--h ⋅ y4 5= 24 kmII: 2-- h ⋅ x + 2-- h ⋅ y3 3= 24 km ⇒ II’: x + y = 36 km ------- hLösung: x = 16 km ------- ; y = 20 km -------hh29. x: Durchschnittsgeschwindigkeit des LKW; y: Durchschnittsgeschwindigkeit des PKWI: 1h ⋅ x – 2--h ⋅ y3= 0II: 1-- h ⋅ y – 1-- h ⋅ x3 3= 10 km ⇒ II’: y – x = 30 km ------- hLösung: x = 60 km ------- h; y = 90 km ------- hMinimale KostenSeite 891. K = 0,24 € ⋅ a 1 + 0,36 € ⋅ (2500 – a 1 ) + 0,48 € ⋅ (2000 – a 1 ) + 0,30 € ⋅ (1500 + a 1 ) = 2310 € – 0,3 € ⋅ a 1Für a 1 = 2000 werden die Kosten minimal. Daraus ergibt sich: a 2 = 500; b 1 = 0; b 2 = 3500;K min = 1710 €2. a) x: jährlicher Stromverbrauch in kWh; f 1 (x) = 57 € + 0,14 € ⋅ x; f 2 (x) = 108 € + 0,11 € ⋅ xFür x > 1700 kWh ist der XXL-Strom zu empfehlen.b) Alle Haushalte mit x > 1507 kWh sollten das Konkurrenzangebot nutzen, das preislich sowohl den XL-Stromals auch den XXL-Strom unterbietet.c) individuell3. x: Anzahl der Fahrten pro Jahr; f 1 (x) = 5,20 € ⋅ x; f 2 (x) = 3,60 € ⋅ x; f 3 (x) = 32,50 € + 2,60 € ⋅ xDer normale DB-Tarif ist in jedem Fall unattraktiv, da er teurer ist als das Ticket des Nahverkehrsverbundes.Für x > 33 rechnet sich die Bahncard „Teen“.4. x: Anzahl der Fahrstunden; f 1 (x) = 170 € + 22 € ⋅ x; f 2 (x) = 160 € + 25 € ⋅ xAb der vierten Fahrstunde ist das Angebot der Fahrschule 1 günstiger. Da mindestens 12 Fahrstunden zu absolvierensind, ist das Angebot von Fahrschule 1 in jedem Fall vorteilhafter.

Gemischte Aufgaben 473 Quadratische Gleichungen – quadratische FunktionenRückblickSeite 931. a) 81 b) 196 c) 900 d) 2,25 e) 40000 f) ----- 9492. a) 6; – 6 b) 0 c) keine Lösung d) 0,1; – 0,1e) 2-- ; – 2-- f) 4-- ; – 4--g) 1,9; – 1,9 h) 100; – 1003 3 7 73. a) 37 b) 149 c) 17 d) 13 e) 604. a) 17 b) 23 c) 1-- d) 1-- e) 7--62 55. a) 3,87 b) 7,75 c) 12,2 d) 38,7 e) 1,416. a) 12,3 b) 1,2 c) 7-- d) 0 e) 237. a) 1,9; – 1,9 b) 10 ----- ; – 10 ----- 3 3c) 2 ; – 2 d) keine Lösung e) 08. a) x 1 = 5; x 2 = – 5 b) x 1 = 7,2; x 2 = – 7,2 c) keine Lösung * d) x 1 = 3; x 2 = – 19. a) x 2 + 7x + 10 b) x 2 – 5x + 24 c) xy – 3x – 2y + 6d) 9x + 9y + xz + yz e) – ax – bx – ay – by f) – x 2 + 2xz – z 210. a) 2x 2 – x – 3 b) 4y + 32 – 6y 2 c) 10a + 5ab + 8b + 4b 2d) 5cd + 15c – dz – 3z e) 3cet 2 + 2est – 3cst – 2s 2 f) 40a 3 x 2 – 10a 2 x 2 – 20ax 3 + 5x 3g) – 7abxy – 4x 2 y 2 – 3a 2 b 2 h) 81c 2 d 2 – 25e 2 f 4 i) – 6a 2 b 2 + 10a 3 b + 21ab 2 – 35a 2 b11. a) (2a + 3b) 2 = 4a 2 + 12ab + 9b 2 b) (x – 2y) 2 = x 2 – 4xy + 4y 2c) (a – 2)(a + 2) = a 2 – 4 d) (– x 2 + 4) 2 = x 4 – 8x 2 + 16e) (x + 1-- ) 2 = x 2 + 2 + ---- 1xf) (x + 1-- )(x – 1-- ) = x 2 x x– ---- 1x 2g) (a 2 – 4- ) 2 = a 4 – 8a + ----- 16h) (r 2 – ------ 2 ) 2 = r 4 ā– 2 ⋅ 2 r⋅ r + --- 2a 212. a) – x 2 + 14x – 49 b) – 6a + 6b + a 2 – ab c) z 2 – 81d) x 2 – x + 1-- e) 2,25 – m 2 f) 1-- x 2 – ----- 144 1613. a) (x + 1) 2 b) (2x +1) 2 c) (x – 3) 2 d) (x + 4)(x – 4)e) 7(a 2 + 1)(a 2 – 1) f) (x + 9) 2 g) (x + 2) 2 h) (x – 2 )(x + 2 )i) (x + 13)(x – 13) j) (5x + 7y)(5x – 7y)14. a) (x – 7)(x + 7) b) (x + 12)(x – 12) c) (5 + x)(5 – x) d) (10 + y)(10 – y)e) (2x – 5)(2x + 5) f) (15 – 3z)(15 + 3z) g) (4a – 8b)(4a + 8b) h) (9c + 11g)(9c – 11g)i) (– 5 + 8x)(5 + 8x) j) (4 – 9x)(4 + 9x)Seite 9415. (x + 12)(8 – x) = x 2 0 = x 2 + 2x – 48 x 1 = 6; x 2 = – 816. a) Für die beiden Ohmschen Widerstände ergibt sich ein linearer Zusammenhang zwischen Spannung undStromstärke, wobei die Steigung des Graphen für Eisen größer als die Steigung des Graphen für Konstantanist. Physikalisch bedeutet das, dass Eisen einen kleineren Ohmschen Widerstand hat als Konstantan. Für dieGlühlampe ergibt sich kein linearer Zusammenhang zwischen Spannung und Stromstärke. Wie bei den beidenOhmschen Widerständen ist die Stromstärke I eine streng monoton wachsende Funktion der Spannung U.b) (i) wahre Aussage(ii) falsche Aussage, da z. B. die Kennlinie von Konstantan unter der Kennlinie der Glühlampe verläuft.(iii) falsche Aussage, da mit wachsender Spannung auch die Stromstärke wächst.x 2r 2

48 Quadratische Gleichungen – quadratische Funktionen17. Zeit 0 h- 0,5 h 0,5 h - 1,2 h 1,2 h - 1,5 h 1,5h - 2 h 2 h - 2,5 h 2,5 h - 3 h 3 h - 4 h 4 h - 4,5 hsteilerAnstiegebenesWegstückkurzerAbstiegebeneWegstückleichterAnstiegZeit 4,5 h - 4,8 h 4,8 h - 5,5 h 5,5 h - 6 h 6 h - 6,5 h 6,5 h - 7 hBeschreibungsteilerAbstiegAbstieg Pause langsamerAbstiegPauseAbstieg zum Bahnhofim EiltempoBeschreibungbeschwerlicherAnstiegFototermin aufGipfel18.a) h in mb) v in m st in st in s3.1 Quadratische Gleichungen und Gleichungenhöheren GradesSeite 104EA h in m 2m 4m 6m 8m 10mv in km ------- h22,6 31,9 39,1 45,1 50,4Begriff der quadratischen Gleichung1. a), b), c), d), f) 2. a) A c) A d) s, s 0 e) V, h3. a) ja; Umformung zu x 2 – 7x = 0 b) ja; Umformung zu x 2 – 7x – 12 = 0c) ja; Umformung zu x 2 – 8x = 0 d) nein: Umformung zu –7x = 0 (lineare Gleichung)e) ja; Umformung zu x 2 = 16 f) nein; Umformung zu 2x = 2 (lineare Gleichung)g) nein; Umformung zu –19x + 1 = 0 (lineare Gleichung)4. a) – x 2 – 4 = 0 b) 5x 2 – 7x = 0 c) 3,5x 2 – 1,5x – 0,5 = 05. a) 3x 2 – 7x = 0 b) 3x 2 + x + 9 = 0 c) 2x 2 – 7x – 1 = 0 d) 2x 2 – 3x + 1 = 06. a) x 2 – 5x + 1 = 0; p = – 5; q = 1 b) x 2 + 4-- x – 5-- 3 3= 0; p = 4-- ; q = – 5--3 3c) x 2 + x – s = 0; p = 1; q = – s d) x 2 + b- x + c- ā ā= 0; p = b- ; q = c-ā āe) x 2 – 2x – 35 = 0; p = – 2; q = – 35 f) x 2 + 6x + 9= 0; p = 6; q = 9g) x 2 – 2ax + a 2 = 0; p = – 2a; q = a 2 h) x 2 – 1 = 0; p = 0; q = – 1Lösen quadratischer Gleichungen durch inhaltliche Überlegungen7. a) x 1 = 0,3; x 2 = – 0,3 b) x 1 = 1,7; x 2 = – 1,7 c) x 1 = 0,5; x 2 = – 0,5 d) x 1 = 5-- ; x 2 = – 5--3 3e) x 1 = 12 ----- ; x 2 = – 12 -----7 7f) x 1 = 2; x 2 = – 2 g) x 1 = 3; x 2 = – 3 h) x 1 = 5; x 2 = – 5i) x 1 = 1-- ; x 2 = – 1--2 2j) x 1 = 1; x 2 = – 1Seite 1058. a) x 1 = 5; x 2 = – 5 b) x 1 = 8; x 2 = – 8 c) x 1 = 10; x 2 = – 10 d) x 1 = 12; x 2 = – 12e) x 1 = 7; x 2 = – 7 f) keine Lösung g) x 1 = 4; x 2 = – 4 h) x 1 = 0,2; x 2 = – 0,2i) x 1 = 8; x 2 = – 8 j) x 1 = 39 ; x 2 = – 39

Quadratische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades 499. a) L = 8; – 8 b) L = 1; – 1 c) L = 0 d) L = 0,4; – 0,4 e) L = 1-- ; – 1--7 7f) L = 3-- ; – 3-- g) L = ∅ h) L = 7-- ; – 7--i) L = ∅ j) L = ∅2 2 5 510. a) x 1 = 5 ; x 2 = – 5 b) x 1 = 10 ; x 2 = – 10 c) x 1 = 20 ; x 2 = – 20d) x 1 = --------- 19 ; x 2 = – --------- 19 e) x 1 = ------ 3 ; x 2 = – ------ 32 2 2 211. a) x 1 = 2,83; x 2 = – 2,83 b) x 1 = 2,12; x 2 = – 2,12 c) x 1 = 3,87; x 2 = – 3,87d) keine Lösung e) x 1 = 1,53; x 2 = – 1,5312. a) x 1 = 5; x 2 = – 1 b) x 1 = – 1; x 2 = – 13 c) x 1 = 2; x 2 = 0d) x 1 = 2; x 2 = – 1 e) keine Lösung13. a) L = 1; – 3 b) L = 10; 8 c) L = 6 d) L = 5; 15e) L = 2,2; – 1,2 f) L = 4; 0 g) L = 6; 0 h) L = 1,5; – 6,514. a) x 1 = 9; x 2 = – 9 b) x 1 = 4,5; x 2 = – 4,5 c) x 1 = 1-- ; x 2 = – 1--4 4e) L = { 3-- ; – 3--} f) x 1 = 2; x 2 = – 27 7d) x 1 = 3; x 2 = – 315. a) (x – 1)(x + 1) = 0 b) (x – 4)(x + 4) = 0 c) (3x – 5)(3x + 5) = 0 d) L = ∅x 1 = 1; x 2 = – 1 x 1 = 4; x 2 = – 4 x 1 = 5-- ; x 2 = – 5--3 316. a) x 1 = 3; x 2 = – 3 b) x 1 = 4; x 2 = – 4 c) x 1 = 6; x 2 = – 6 d) x 1 = 6; x 2 = – 6e) x 1 = 12; x 2 = – 12 f) L = ∅ g) x 1 = 12 ; x 2 = – 12 h) x 1 = x 2 = 0i) x 1 = 2 ; x 2 = – 2 j) x 1 = 2; x 2 = – 2 k) L = ∅ l) x 1 = 4; x 2 = – 417. a) n = 17 b) z 1 = 19; z 2 = – 19c)x 1 = 4; x 2 = – 4d)x 1 =13; x 2 = – 13e) n = 24 f) x 1 = 9; x 2 = – 918. a) A O = 6a 2 = 121,5 cm 2 ⇒ a = 4,5 cm b) V = a 3 = 91,125 cm 319. A = a ⋅ b = a ⋅ 2a = 2a 2 = 512 cm 2 ⇒ a = 16 cm; b = 32 cm ⇒ u = 96 cmSeite 10620. 20,5 m 21. A = 1-- ab = 1-- a ⋅ 3-- a = 3--a 2 = 147 cm 2 ⇒ a = 14 cm; b = 21 cm2 2 2 422. A = 2535 cm2 = l ⋅ b -- l = 5--l = 65 cm b = 39 cmb 3Lösen spezieller Gleichungen durch inhaltliche Überlegungen23. a) x 1 = 0; x 2 = 3 b) x 1 = 7; x 2 = 0 c) x 1 = 0; x 2 = – 11 d) x 1 = 0; x 2 = 2 e) x 1 = 0; x 2 = –324. a) x(x – 14) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = 14 b) x(x + 6) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = – 6 c) x(x – 1-- ) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = 1--22d) x(x – 1) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = 1 e) x(– x + 2) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = 225. a) L = 0; – 1 b) L = 0; 2 c) L = 0; 6 d) L = 0; 1,6e) L = 0; – 1,5 f) L = 0; 1--g) L = 0; – 1226. a) ja b) nein; 1 ist keine Lösung. c) nein; – 8 ist keine Lösung.d) nein; 8 ist keine Lösung. e) ja

50 Quadratische Gleichungen – quadratische Funktionen27. a) x 2 = 6x b) x 2 = 1,5x c) x 2 = 1 d) x 2 – 4x + 4 = 0 e) x 2 + 9x + 20,25 = 028. a) x 1 = 0; x 2 = 7 b) x 1 = 0; x 2 = 3 c) x 1 = 9; x 2 = – 929. a) L = 2; – 3 b) L = 1 c) L = – 1; – 4 d) L = – 7 e) L = 4,5; 0,5f) L = 9-- ; – 1--g) L = 0; – 5 h) L = 4 i) L = 22 230. a) (x + y)(x – y) b) (m + 1)(m – 1) c) (x + 7)(x – 7) d) (x + 18)(x – 18) e) (x + 1,5)(x – 1,5)f) (4x + 3)(4x – 3) g) (2x + 1)(2x – 1) h) ( x +1)( – 1) i) ( + 5)( – 5) j)2-- x-- x-- x-- x ----------- – 1 ⋅ x-----------+ 12 4 4 2 231. a) x 2 + 12x + 36 b) x 2 – 18x + 81 c) x 2 + 1-- x + ----- 1 d) x 2 – 0,2 + 0,01 e) r 2 + 2rd + d 22 16Seite 10732. a) x 2 + 14x + 49 = (x + 7) 2 b) x 2 – 12x + 36 = (x – 6) 2 c) x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2d) x 2 + 10x + 25 = (x + 5) 2 e) x 2 – 3x + 9-- 4= (x – 3-- ) 2 2f) x 2 + x + 1-- 4= (x + 1--) 2233. a) x 2 + 18x = x 2 + 18x + 81 – 81 = (x + 9) 2 – 81 b) x 2 – 2x = x 2 – 2x + 1 – 1 = (x – 1) 2 – 1c) x 2 + 7x = x 2 + 7x + 12,25 – 12,25 = (x + 3,5) 2 – 12,25 d) a 2 + 5a = a 2 + 5a + 6,25 – 6,25 = (x + 2,5) 2 – 6,25e) z 2 – 0,6z = z 2 – 0,6z + 0,09 – 0,09 = (z – 0,3) 2 – 0,0934. a) x 2 + 6x + 36 = 91; L = {– 11; 5} b) x 2 – 8x + 16 = 36; L = {10; – 2}c) x 2 + 10x + 25 = 144; L = {– 17; 7} d) x 2 – 4x + 4 = 36; L = {– 4; 8}35. a) x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 = 36 ⇒ L = 3; – 9 b) x 2 – 8x + 16 = (x – 4) 2 = 36 ⇒ L = 10; – 2c) x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2 = 36 ⇒ L = 5; – 7 d) x 2 – 4x + 4 = (x – 2) 2 = 9 ⇒ L = 5; – 1e) x 2 – 2x + 1 = (x – 1) 2 = 4 ⇒ L = 3; – 1 f) x 2 + 14x + 49 = (x + 7) 2 = 36 ⇒ L = – 1; – 13g) x 2 + 12x + 36 = (x + 6) 2 = 25 ⇒ L = – 1; – 11 h) x 2 + 1-- x + ----- 12 16= (x + 1-- ) 2 = ----- 94 16⇒ L = – 1; 1--2i) x 2 + 5x + 6,25 = (x + 2,5) 2 = 1,44 ⇒ L = – 1,3; – 3,736. a) a 2 + 9 cm 2 = a ⋅ 6 cm ⇒ a = 3 cm b) (a + 3 cm)(a – 3 cm) = 16 cm 2 ⇒ a = 5 cmLösen quadratischer Gleichungen mit einer Lösungsformel37. a) b) c) d) e) f) g) h) i)p 5 – 3 6 1 – 2 – 3 6 – 0,1 0q 6 2 8 – 6 1 – 4 0 – 0,02 – 538. a) x 1;2 = – 8,5 ± 72, 25 – 72 ⇒ x 1 = – 8; x 2 = – 9 b) x 1;2 = – 2 ± 4+5 ⇒ x 1 = 1; x 2 = – 5c) x 1;2 = – 3 ± 9+ 7 ⇒ x 1 = 1; x 2 = – 7 d) x 1;2 = 3,5 ± 12, 25 – 12 ⇒ x 1 = 3; x 2 = 4e) x 1;2 = 4,5 ± 20, 25 – 20 ⇒ x 1 = 4; x 2 = 5 f) x 1;2 = 3 ± 9+27 ⇒ x 1 = – 3; x 2 = 9g) x 1;2 = 3 ± 9– 9 ⇒ x 1 = 3 h) x 1;2 = 5-- ± 25 ----- – ----- 1 ⇒ x 1 = 1-- ; x 2 = 3--8 64 64 2 4i) x 1;2 = – ----- 1 ± -------- 1 + -------- 3 ⇒ x 1 = ----- 1 ; x 2 = – ----- 3 j) x 1;2 = – 1 ± ⇒ x 1 = 1; x 2 = – 310 100 100 10 101+3k) x 1 = 0; x 2 = 5,5 l) x 1;2 = – 0,5 ± 025 , + 2⇒ x 1 = 1; x 2 = – 2m) x 1;2 = 1 ± 1– 0,75 ⇒ x 1 = 1,5; x 2 = 0,5 n) x 1;2 = – 13 ----- ± 169 -------- 4⇒ x 1 = 1; x 2 = –16+ 120 --------1615 ----- 2o) x 1;2 = ----- 3 ± -------- 9 – -------- 8 ⇒ x 1 = 2-- ; x 2 = 1--10 100 100 5 5

Quadratische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades 5139. a) x 2 – 3x – 4 = 0; x 1;2 = 1,5 ± 225 , + 4⇒ x 1 = 4; x 2 = – 1b) x 2 – x – 20 = 0; x 1;2 = 0,5 ± 025 , + 20⇒ x 1 = 5; x 2 = – 4c) x 2 – 3x + 2 = 0; x 1;2 = 1,5 ± 225 , – 2⇒ x 1 = 2; x 2 = 1d) x 2 – 5x – 14 = 0; x 1;2 = 2,5 ± 625 , + 14⇒ x 1 = 7; x 2 = – 2e) x 2 + 8x + 12 = 0; x 1;2 = – 4 ± 16 – 12 ⇒ x 1 = – 2; x 2 = – 6f) x 2 + 10x + 25 = 0; x 1;2 = – 5 ± 25 – 25 ⇒ x = – 5g) x 2 + 2x + 1 = 0; x 1;2 = – 1 ± 1–1 ⇒ x = – 1h) x 2 + 3x + 2 = 0; x 1;2 = – 1,5 ± 225 , – 2 ⇒ x 1 = – 1; x 2 = – 2i) x 2 – 1-- x – 1-- 4 8= 0; x 1;2 = 1-- 8± ----- 1 + ----- 864 64⇒ x 1 = 1-- ; x 2 = – 1--2 4j) x 2 – 0,3x + 0,02 = 0; x 1;2 = 0,15 ± 0,0225 – 0,02 ⇒ x 1 = 0,2; x 2 = 0,1k) x 2 + 10x + 16 = 0; x 1;2 = – 5 ± 25 – 16 ⇒ x 1 = – 2; x 2 = – 8l) x 2 + 4x – 5 = 0; x 1;2 = – 2 ± 4+5 ⇒ x 1 = 1; x 2 = – 5Seite 10840. a) x 1;2 = 1,5 ± 225 , – 1 = 1,5 ± ------ 52b) x 1;2 = – 0,5 ± 025 , + 2; x 1 = 1; x 2 = – 2c) x 1;2 = 0,5 ± 025 , + 20; x 1 = 5; x 2 = – 4 d) x 1;2 = 0,5 ± 025 , + 6; x 1 = 3; x 2 = – 2e) x 1;2 = – 3 ± 9– 8; x 1 = – 2; x 2 = – 4 f) x 1;2 = ----- 110± -------- 1 + 6--; x 1 = 6--100 5 5; x 2 = – 1g) x 1;2 = – 1 ± 1+ 24; x 1 = 4; x 2 = – 6 h) x 1;2 = 0,5 ± 025 , + 375 , ; x 1 = 2,5; x 2 = – 1,5i) x 1;2 = 13 ----- 2± 169 -------- + 14 ----- = 13 ----- 4 4 2± ------------ 1832j) x 1 = 7,5; x 2 = – 3,8k) x 1;2 = – 1-- ±8----- 1 + ----- 8 ; x 1 = 1-- ; x 2 = – 1-- 64 64 4 2l) x 1;2 = – 1,5 ± 225 , + 18; x 1 = 2; x 2 = – 541. a) q = 9 b) q = 6,25 c) q = 1 d) q = 49 e) q = 16 f) q = 0,2542. a) b) c) d) e) f) g) h) i)( p--) 2 – q 0,25 0 90,25 – 4 – 1 ----- 1216 16 – 0,25 – 0,75Anzahl der Lösungen 2 1 2 0 0 2 2 0 043. a) x 1;2 = + 5-- ±225 ----- + 14 = 5-- ± 9-- ; x 1 = 7; x 2 = – 2 4 2 2b) x 1;2 = – 8 ± 64 – 64 ; x 1 = x 2 = – 844. a) Grundbereich: x ∈R: x ≠ 0 ; x 1 = 4; x 2 = – 4 b) Grundbereich: x ∈R: x ≠ 0 ; x 1 = 1; x 2 = – 1c) Grundbereich: x ∈R: x ≠ 0 ; x 1 = x 2 = 1* 45. a) x 2 + 1-- x – 3-- = 0; x 1;2 = – 1-- 2 2 4± ----- 1 + 3--; x 1 = 1; x 2 = – 3--16 2 2b) x 2 – 5-- x – 3-- = 0; x 1;2 = 5-- ±2 2 425 ----- + 3--; x 1 = 3; x 2 = – 1--16 2 2* 46. x 1;2 = – ----- b2a± ------- b 24a 2 – c-ā47. x 1 : 0.5 × p = x 2 – q = INV x 2 STO – 0.5 × p =x 2 : RCL + 0.5 × p = +/– Tastenbezeichnungen stammen von Texas Instruments TI 2548. a) 26; 27 b) 1; 7 c) 18; – 7 d) 23; – 24 e) (19; 20); (– 18; – 17) f) 23; – 16 g)-------- 5242

52 Quadratische Gleichungen – quadratische Funktionen49. a) 25; 12 b) 27; 2Seite 10950. 121; 79 51. 11; 13 52. Der jährliche prozentuale Zuwachs beträgt ≈ 90 %.53. π⋅ 36 cm 2 ⋅ 20 cm = 25 cm ⋅ a(a + 2 cm); a ≈ 10,56 cm 54. vier 9. Klassen* 55. a: Anzahl der Fernsprechanschlüsse; Dann sind a(a – 1) Telefonverbindungen möglich, wobei eine Verbindungvon x zu y und von y zu x als zwei Verbindungen gezählt werden.Die Gleichung a(a – 1) = 1123600 hat die Lösung a = 1061.56. a) ≈ 51 mm b) ≈ 72,5 mm c) ≈ 36 mmQuadratische Gleichungen in der Geometrie57. a = 25 cm; b = 31 cm 58. a = 9 cm; b = 13 cm 59. a = 12,5 cm; b = 14 cm60. a = 24 cmSeite 11061. a = 14 cm *62. a = 19 cm; b = 13 cmQuadratische Gleichungen mit Parametern63. a) a > 0; x 1 = ------ 2 ; x 2 = – ------ 2 ; Ganzzahlige Lösungen erhält man für a = 1 und a = 4.aab) a > 0; x 1 = --------- 20 ; x 2 = – --------- 20 ; Ganzzahlige Lösungen erhält man für a = 5 und a = 1,25.aac) a < 0; x 1 = –-------- 10 ; x 2 = – –-------- 10aa; Ganzzahlige Lösungen erhält man für a = – 2,5 und a = – 5--8.64. a) b) c) 65. pkeine Lösung c > 16 c < – 9-- 8c < – 25 -----24a) zwei Lösungen |p| > 40genau eine Lösung c = 16 c = – 9-- 8c = – 25 -----24b) genau eine Lösung |p| = 40zwei Lösungen c < 16 c > – 9-- 8c > – 25 -----24c) keine Lösung |p| < 40* 66. a) x 1 = 1-- a; x 2 = – 1--2 3a Für a = 6 sind beide Lösungen ganzzahlig.b) x 1 = 5a 2 ; x 2 = – a 2 Für jeden ganzzahligen Parameter a, sind auch beide Lösungen ganzzahlig.c) 1. Fall: a = b; In diesem Fall hat die Gleichung den gesamten Zahlenbereich R als Lösungsmenge.2. Fall: a ≠ b und a + b > 0; x 1 = a + b; x 2 = – a + bFür a = 4 und b = 5 sind beide Lösungen ganzzahlig.3. Fall: a + b = 0; x 1 = x 2 = 0 4. Fall: a + b < 0; Es existiert keine Lösung.Der Satz des VIETA67. x 2 + x – 12 = 0 68. a) falsch, da 5 ◊ 1 ≠ 42 b) richtig c) falsch, da – (– 4 + 6) ≠ 269. a) b) c) d) e) f) 70. a) b) c) d) e) f)p – 6 – 1 3 – 1 1-- 5--2 4 (3; 5) (2; 7) keines (9; 10) (6; 8) (5;7)derq 5 – 12 2 0,21 – 14 3--8Paare71. a) negativ b) positiv c) positiv, negativ d) positiv, negativ e) positiv f) negativ72. a) x 1 = 9; x 2 = – 1 b) x 1 = 4; x 2 = 3 c) x 1 = 3; x 2 = – 573. p = – 7 74. q = 15

Quadratische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades 53Seite 111Gleichungen höheren Grades75. a) x = 2 b) x = 0 c) x 1 = 2; x 2 = – 2 d) x = – 1e) x 1 = 10; x 2 = – 10 f) keine Lösung g) x = – 1 h) x = 0,1i) x 1 = 2-- ; x 2 = – 2--j) x 1 = 2; x 2 = – 2 k) x = – 2 l) x 1 = 1; x 2 = – 13 376. a) x 1 = 0; x 2 = – 1 b) x 1 = 3; x 2 = – 3; x 3 = – 2 c) x 1 = 1; x 2 = – 1d) x 1 = 2; x 2 = – 2 e) x 1 = 1,3; x 2 = – 1,3 f) x 1 = 3; x 2 = 1; x 3 = – 277. a) x 2 (x 2 – 4) = 0; x 1 = 0; x 2 = 2; x 3 = – 2 b) x(x 2 – 16 ----- ) = 0; x 1 = 0; x 2 = 4-- ; x 3 = – 4--93 3c) 2x 2 (x 2 – 9) = 0; x 1 = 0; x 2 = 3; x 3 = – 3 d) x(x 2 + x – 2) = 0; x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = – 2e) x(x 2 – 2x + 1) = 0; x 1 = 0; x 2 = 1 f) x 2 (x 2 + 1) = 0; x = 0g) (x 2 + 3)(x 2 – 3) = 0; x 1 = 3 ; x 2 = – 3h) keine Lösungi) (x 2 – 3) 2 = 0; x 1 = 3 ; x 2 = – 378. a) x 1 = 1; x 2 = 2; x 3 = – 1; x 4 = – 2 b) x 1 = 1; x 2 = 3; x 3 = – 1; x 4 = – 3c) x 1 = 3; x 2 = 2; x 3 = – 3; x 4 = – 2 d) x 1 = 2; x 2 = – 2 e) x 1 = 2 ; x 2 = – 2f) x 1 = 2 ; x 2 = – 2 ; x 3 = 1; x 4 = – 1 g) x 1 = 1; x 2 = – 1 h) keine Lösungi) x 1 = 2 ; x 2 = – 2 ; x 3 = 3 ; x 4 = – 3j) x 1 = 1; x 2 = 4; x 3 = – 1; x 4 = – 4k) x 1 = 1-- ; x 2 = – 1-- l) x 1 = 1-- ; x 2 = – 1--; x 3 = 2; x 4 = – 22 2 2 279. a) x 4 – 29x 2 + 100 = 0 b) x 4 – 9x 2 = 0 c) x 4 – 1-- x + ----- 1 = 0 d) x 4 – 10x 3 + 35x 2 – 50x + 24 = 02 16e) x 4 – 5x 3 = 0 f) x 4 – x = 0 g) x 4 + 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0h) x 4 + 5x 3 = 0 i) x 4 + x = 080. a) Gleichung 3. Grades bezüglich x b) Gleichung 3. Grades bezüglich ac) weder 3. Grades noch 4. Grades d) Gleichung 3. Grades bezüglich re) Gleichung 4. Grades und biquadratische Gleichung bezüglich x f) Gleichung 4. Grades bezüglich xg) Gleichung 4. Grades bezüglich x h) Gleichung 3. Grades bezüglich a und bi) Gleichung 4. Grades bezüglich a, Gleichung 3. Grades bezüglich bj) Gleichung 4. Grades bezüglich a und b k) Gleichung 3. Grades bezüglich y = 2 xl) Gleichung 3. Grades bezüglich y = 10 x81. a) x 1 = 1; x 2 = – 1 b) x 1 = 1; x 2 = 0 c) x 1 = 9; x 2 = 0 d) keine Lösunge) x 1 = 2; x 2 = – 2 f) x 1 = 5; x 2 = 0 g) x 1 = ------ 2 ; x 2 = – ------ 2 h) x 1 = 2; x 2 = – 222i) x 1 = 5 ; x 2 = – 5 ; x 3 = 3; x 4 = – 3 j) x 1 = 5 ; x 2 = – 5 k) x 1 = 1-- ; x 2 = – 1-- ; x 3 = 3-- 2 2 2; x 4 = – 3--2l) x 1 = 3; x 2 = – 3 m) keine Lösung n) x 1 = ----- 5 ; x 2 = – ----- 5 ; x 3 = 2-- ; x 4 = – 2--12 12 3 3o) x 1 = 1-- ; x 2 = – 1--2 282. a) x 2 = – 2 b) x 2 = 1; x 3 = – 1 c) x 2 = 1; x 3 = – 3d) x 2 = 0 e) x 2 = 3; x 3 = – 2; x 4 = – 3 f) x 2 = – 1; x 2 = – 2; x 3 = 1; x 4 = 0

f 2f 354 Quadratische Gleichungen – quadratische Funktionen3.2 Quadratische FunktionenSeite 124EAZeichnerische LösungRechnerische Lösung: a 2 – 4a = 0; a 1;2 = 2 m ± 2 ma 1 = 4m; a 2 = 0 m(theoretische Lösung)242220181614121086420 1 2 3 4 5A = a 2U = 4aa in mQuadratische Funktionen mit der Gleichung f(x) = x 21. a) ja b) ja c) nein d) nein e) nein2. a) A(2; 4); B(0,5; 0,25); C(– 2 ; 2); D(– 5 ; 5) b) f(2) = 4; f(– 2) = 4; f(1) = 1; f(5) = 25; f(7) = 49c) 4 = f(2) = f(– 2); 6 = f( 6 ) = f(– 6 ); 25 = f(5) = f(– 5); – 4 ∉W f ; 0 = f(0)d) Jedem Argument wird genau ein Funktionswert zugeordnet. Zu allen von Null verschiedenen Funktionswertengehören jedoch zwei Argumente.e) Für sehr kleine und sehr große Argumente werden die Funktionswerte sehr groß.f) (1) ist für alle x∈R richtig, (2) ist nur für x = 0 richtig.3. S 1 (3; 9), S 2 (– 1; 1)Quadratische Funktionen mit der Gleichung f(x) = x 2 + e4. Der Parameter m beschreibt die Richtung des Graphen der linearen Funktion y = mx + n. Lineare Funktionen, dieim Parameter m übereinstimmen, haben daher parallele Graphen. Der Parameter n bezeichnet den Schnittpunktdes Graphen der linearen Funktion y = mx + n mit der y - Achse. Die Graphen linearer Funktionen, die im Parametern übereinstimmen, schneiden sich stets im Punkt (0; n).a)b)f 2f 1f 3f 1f 4f 4

Quadratische Funktionen 555.f 1f 2Der Parameter e bewirkt eine Verschiebung der Parabel entlangder y - Achse um e.Nullstellen: f 1 : x 1;2 ≈ ± 1,2; f 2 : keine Nullstelle; f 3 : x 1;2 ≈ ± 0,85kleinste Funktionswerte: f 1 : y min = – 1,5f 2 : y min = 3f 3 : y min = – 0,75f 3f 4 f4 : y min = – 6,25Seite 1256. a) f 1 (x) = x 2 – 1 f 2 (x) = x 2 – 3 f 3 (x) = x 2 + 1 f 4 (x) = x 2 – 4b) f 1 : x 1;2 = ± 1 f 2 : x 1;2 = ± 1,75 f 3 : keine Nullstellen f 4 : x 1;2 = ± 27. a) x 1;2 = ± 1,5 sind Nullstellen von f 1 .b) f 2 besitzt keine Nullstellen, da der Wertebereich nur alle y ≥ 4 umfasst.c) x 1;2 = ± 0,5 sind Nullstellen von f 3 .Allgemein: Die Funktion y = x 2 + e besitzt genau dann Nullstellen, wenn e ≤ 0 ist.Dann gilt: x 1;2 = ± –e für e < 0 und x 1 = x 2 = 0 für e = 0.8. a) I: f 1 (x) = x 2 – 9 II: f 2 (x) = x 2 – 2,25 b)III: f 3 (x) = x 2 – 5y9. a) e = – 4 b) e = 0c) e = 1 d) e = – 210.2II–4 –2 2 4–2xf 1–4I–6III–8f 2 (x) = – x 2 + 4–10Schnittpunkte: (2; 0), (– 2; 0)

58 Quadratische Gleichungen – quadratische FunktionenQuadratische Funktionen mit der Gleichung y = x 2 + px + qSeite 12725. a) x 1 = 3; x 2 = 2 b) x 1 = – 3; x 2 = – 1 c) x 1 = x 2 = 5d) x 1 = – 2; x 2 = – 10 e) x 1 = 6; x 2 = – 3 f) x 1 = – 3; x 2 = – 4g) x 1 = 7; x 2 = – 2 h) x 1 = x 2 = – 1,5 i) x 1 = – 0,5; x 2 = – 426. a) S(– 1; – 4) b) S(2; 5) c) S(2,5; – 2,25)d) S(– 3; – 9) e) S(1; 1) f) S(4; – 11)27.e)28. a) z. B. y = x 2 – 5x b) einzige Lösung: y = x 2 – 4c) einzige Lösung: y = x 2 – 3d)b)a)c)29. a) x 1 = 2; x 2 = 0; S(1; – 1) b) x 1 = 3; x 2 = – 3; S(0; – 9)c) x 1 = 2; x 2 = – 6; S(– 2; – 16) d) x 1 = 0; x 2 = – 2,2; S(– 1,1; – 1,21)e) x 1 = x 2 = – 3; S(– 3; 0) f) x 1 = x 2 = – 2; S(– 2; 0)g) x 1 = 4; x 2 = – 3; S( 1-- ; – 49 ----- ) h) x 1 = – 1; x 2 = – 5; S(– 3; – 4)2 4i) x 1 = 5; x 2 = 0; S( 5-- ; – 25 ----- ) j) x 1 = 2; x 2 = 4; S(3; – 1)2 4k) x 1 = 1-- ; x 2 = 5-- ; S( 3-- ; – 1) l) x 1 = a; x 2 = 0; S( -- a ; – a----2)2 2 2 2 4f)30. a) x min = 5; y min = – 36 b) x min = – 3; y min = – 25c) x min = 2,5; y min = – 0,25 *d) x min = – 1,5; y min = – 0,25*e) x min = 1; y min = – 4 *f) x min = 1; y min = – 431. a) p = – 6; q = 8 b) p = 0; q = 0 c) p = 4; q = 0 d) p = – 4; q = 0Quadratische Funktionen mit der Gleichung y = ax 232. 33.yf 6f 4f 1f 3f 4f 1f 2xf 51. Fall: m > 0; f ist monoton wachsend. Jegrößer m ist, desto schnellerwächst f.2. Fall: m < 0; f ist monoton fallend. Jekleiner m ist, desto schneller fällt f.Die Graphen der Funktionen f(x) = mxund g(x) = – mx gehen durch Spiegelungan der x - Achse auseinander hervor.34. a) y = 1-- x 2 b) y = 3-- x 2 c) y = – 4x 2 d) y = – 2--x 244 335. y = – 1--x 2 ; R und Q liegen auf der Parabel, S nicht.8f 3f 21. Fall: a > 0; Parabel ist nach oben geöffnet. Je größera ist, desto näher verläuft der Graph an dery - Achse.2. Fall: a < 0; Parabel ist nach unten geöffnet. Je kleinera ist, desto näher verläuft der Graph an dery - Achse.Die Graphen der Funktionen f(x) = ax 2 undg(x) = – ax 2 gehen durch Spiegelung an der x - Achseauseinander hervor.

Quadratische Funktionen 59Seite 12836. y a) Die Analogie zu linearen Funktionen gilt nicht.*b) Die Aussage gilt nur für a > 0.*c) Die Aussage ist wahr.137. a) y = 3-- x 2 b) y = 1-- x 2 c) y = 1--x 222 81x38. f 1 (x) = 4x 2 ; f 2 (x) = 2x 2 ; f 3 (x) = 1-- x 2 ; f 4 (x) = – ----- 1 x 2 ; f 5 (x) = – x 2 ; f 6 (x) = – 4x 242039.a) Zeit in sb) Tobias: s(t) = 4,16 --- ms⋅ t;gleichförmige BewegungTobiasRobert: s(t) = 0,015 ---- m ⋅ t 2Roberts 2gleichmäßig beschleunigte Bewegung3202802402001601208040c) Tobias: 12 minRobert: 7,45 min0 2 4 6 8 10 12 Weg in 100 mSeite 12940. a) s(v) = -------- 1 v 2 b) 25,6 m; 129,6m; 3,6m c) Ja, da s(60) = 14,4 m beträgt.25041. a) h(t) = g-- t 2 ; g ≈ 9,81 ---- mb) individuell2s 242. a) Verbrauch in Liter/100 km b) Zwischen dem Dieselverbrauch des Fahrzeugs in l auf 100 km und dergefahrenen Geschwindigkeit besteht kein linearer Zusammenhang. Es ist5,0aber erkennbar, dass bei 100 km ------- hder geringste Verbrauch auf 100 km4,94,8erreicht werden kann.4,74,64,50 25 75 125Geschwindigkeit in km/hQuadratische Funktionen mit der Gleichung y = ax 2 + c43. Vom Vorzeichen des Parameters a hängt ab, ob der Graph einer quadratischen Funktion y = ax 2 + e nach oben (+)oder nach unten (–) geöffnet ist. Für |a| > 1 spricht man von einer gestreckten Parabel, für |a| < 1 von einergestauchten Parabel. Der Parameter e bezeichnet den Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse.a)f 1b)f 3f 2f 2f 3f 111f 4f 4

60 Quadratische Gleichungen – quadratische Funktionen44. Merkmal y = ax 2 + e1. Definitionsbereich x ∈R2. Wertebereich für a > 0: y ≥ e; für a < 0: y ≤ e3. Bezeichnung des Graphen Parabel4. Einfluss der Parameter auf denGraphenfür a > 0: Die Parabel ist nach oben offen.für a < 0: Die Parabel ist nach unten offen.Für |a| > 1: Der Graph entsteht durch Streckung der Normalparabel.Für |a| < 1: Der Graph entsteht durch Stauchung der Normalparabel.Der Parameter e bewirkt eine Verschiebung entlang der y-Achse um e.5. Symmetrieeigenschaften des Graphen Der Graph ist symmetrisch zur y - Achse.6. Nullstellen a > 0; e > 0 oder a < 0; e < 0: keine Nullstellena > 0; e < 0 oder a < 0; e > 0: x 1;2 = ± – e-a7. Lagebesonderer Punkte Der Punkt (0; e) ist der Scheitelpunkt des Graphen.8. Wachstumsverhalten für a > 0: Für x < 0 fällt y, für x > 0 wächst y.für a < 0: Für x < 0 wächst y, für x > 0 fällt y.In den Merkmalen 1, 3, 5 und 8 stimmen die Eigenschaften von y = ax 2 + e mit denen von y = ax 2 überein. Unterschiedetreten beim Wertebereich, der Lage des Graphen, den Nullstellen und der Lage des Scheitelpunktes auf.Seite 13045. 46.yHöhe im mc) y = 2(x 2 + 1)54321Entfernung in mb) y = – 0,25x 2 + 3a) y = 3x 2 – 2d) y = –x 21 2 3 4 5 6Minimale Länge des Wasserbeckens: 6,35 m47. a) y = 3x 2 + 2b) Die Funktion ist nicht eindeutig bestimmt.c) y = 0,5x 2 + 3d) a ist nicht eindeutig bestimmt.e) Die Funktion ist nicht von der Formy = ax 2 + e.f) Die Funktion ist nicht eindeutig bestimmt.g) y = 2x 2 – 1h) y = – 0,5x 2 + 2x48. a) f 1 (x) = 0,25x 2 + 0,5; f 2 (x) = – x 2 + 3; f 3 (x) = x 2 – 1; f 2 (x) = – 2x 2 – 1b) f 1 : Funktionswerte steigen immer steiler an. f 2 : Funktionswerte fallen immer steiler ab.f 3 : Funktionswerte steigen immer steiler an. f 4 : Funktionswerte fallen immer steiler ab.c) f 1 : keine Nullstellen f 2 : x 1;2 = ± 1,7 f 3 : x 1;2 = ± 1 f 4 : keine Nullstellend) f 1 : y min = 0,5 f 2 : y max = 3 f 3 : y min = – 1 f 4 : y max = – 149. a) x 1;2 = ± 2 b) keine Nullstellen c) x 1;2 = ± 3 d) keine Nullstellen50. a) y min = – 3 b) y max = 1 c) y max = 0,25 d) y max = 3 e) y min = – 1 f) y max = – 4

Quadratische Funktionen 61Seite 13151. Der gespiegelte Graph hat die Gleichung II y = – (x – 2) 252. a) Der Parkplatz des Motorrades befindet sich 20 m vom Haus entfernt. Nach dem Starten beginnt die Maschineeine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in die dem Haus entgegengesetzte Richtung.b) 40 m c) 2,2 s d) s(t) = 1,25 ---- m t 2 + 20 mQuadratische Funktionen y = ax 2 + bx +c53. f 1 (x) = (x – 3) 2 – 1,5; f 2 (x) = (x – 4) 2 – 1; f 3 (x) = (x – 2) 2 – 1; f 4 (x) = (x – 3) 2 – 4 oder f 4 (x) = (x – 7) 2 – 454. a) y 1 = 0; y 2 = 2; y 3 = 14,72 b) y 1 = – 6,5; y 2 = 1,5; y 3 = 4,38 c) y 1 = – 9; y 2 = – 5; y 3 = 5,0855. a) y – 10 0 – 20 b) y – 10 0 – 20 c) y – 10 0 – 20x 1 6 + 6 7 6 + 11 x 1 1 keine 3 x 5 1 -- + --------- 11 3 5-- + --------- 332 2 2 2Lösungx 2 6 – 6 5 6 – 11 x 2 2 0 x 5 2 -- – --------- 1122 5-- – --------- 332 2 256. a) x 1 = – 2; x 2 = – 3 b) x 1 = – 1; x 2 = 5 c) x 1 = 3; x 2 = – 3d) x 1 = – 1; x 2 = 2 e) x 1 = 2; x 2 = 0 f) keine Nullstelle57. a) S(– 5-- ; – 1-- ) b) S( 9-- ; 13 ----- ) c) S(2 ; 16) d) S(0; 16) e) S(3 ; – 2) f) S( 1-- ; – -------- 19 )2 2 2 42 10058. a) b) c)s 2111142d) e)11– 11f) *59.c)1b)1a)11a) y = x(x – 4); x min = 2b) y = x(x + 6); x min = – 3c) y = 3x(x – 2); x min = 1

62 Quadratische Gleichungen – quadratische Funktionen3.3 Gemischte AufgabenSeite 132EAindividuelle Lösung1. a) 2 b) 0 c) 1 d) 0 e) 2 (unter Benutzung der Gleichung x 2 + 3x + 2 = 0) f) 12. 3 ist Lösung: a), b), c), f), h) 3 ist eine von zwei Lösungen: a), c)3. a) x 2 – 2x – 3 = 0 b) x 2 – 6x + 8 = 0 c) x 2 + 12x + 36 = 0d) x 2 + 3x + 2 = 0 e) x 2 – 10x + 25= 0 c) x 2 – 2x – 1,25= 04. a) x 2 – 7x + 10 = 0 b) x 2 – 4,5x + 2 = 0 c) x 2 = – xd) x 2 – 6x + 9 = 0 e) x 2 = 4 f) x 2 – 1,25x + 0,375= 05. Für jede Zahl ∈R hat die Gleichung x 2 + px = 0 die Lösungen 0 und – p.* 6. a) x 1 = 2; x 2 = – 1 b) x 1 = 8; x 2 = 0 c) x 1 = x 2 = 6 d) x 1 = 3; x 2 = – 2e) x 1 = 3; x 2 = 0 f) x 1 = 1; x 2 = – 0,5 g) x 1 = –-----3 ; x 2 = – 1--h) x 1 = 1--; x 2 = 720 2 6i) x 1 = 5-- ; x 2 = –-----7j) L = Rk)keine Lösungl)x 1 = 2; x 2 = –----- 87 11137. q = 9 8. p = 4, p = – 4* 9. c) x 2 + 2x – 35 = 0; x 1 = 5; x 2 = – 7 d)x 2 + x – 42 = 0; x 1 = 6; x 2 = – 7Seite 133e) x 2 + 11 ----- x – 15 ----- = 0; x 1 = ----- 5 ; x 2 = – 3--f) x 2 – 5x + 4 = 0; x 1 = 4; x 2 = 128 5614 410. a) q = – 4 b) q = 4c) q = 011. a) D = x ∈R: x ≠ 0 ; L = 8; – 5 b) D = x ∈R: x ≠ 0 ; L = 7 c) D = x ∈R: x ∉ 0; 5-- ; L = 5; 5--32d) D = x ∈R: x ≠ 0 ; L = 5 e) D = x ∈R: x ∉ 1; –-- 1 ; L = 03f) D = x ∈R: x ≠ 2 ; L = 1; – 4-- g) D = x ∈R: x ∉ 1;– 1 ; L = 2; – 3--35h) D = x ∈R: x ∉ – 1; 1-- ; L = 3; 1-- i) D = x ∈R: x ∉ 0; 2-- ; L = 2; –----- 132 7 4012. f 1 (x) = 4 – x 2 ; f 2 (x) = 0,25x 2 – 1; f 3 (x) = (x + 4) 2 – 1; f 4 (x) = (x – 4) 2 – 113. a) S 1 (1; 1), S 2 (– 2; – 2) b) Die Parabeln schneiden sich nicht.Quadratische Gleichungen in der Geometrie14. A = 5--a 2 = 2535cm 2 ; a = 39 cm; b = 65 cm 15. (a + 9 cm) 2 – a 2 = 747 cm 2 ; a = 37 cm 16. a = 7,5 cm317. A O (a) = 2(a(a + 2 cm) + (a + 2 cm)(a + 4 cm) + a(a + 4 cm)) = 376 cm 2 ;A O (6 cm) = 376 cm 2 ; Kantenlängen: 6 cm; 8 cm; 10 cm18. d 65 152 665 Ein 11-Eck hat genau 44 Diagonalen. Kein weiteres n-Eckn 13 19 38 viermal so viele Diagonalen wie Seiten.Quadratische Gleichungen und Funktionen im Bauwesen19. a: Breite des Grünstreifens; Dann gilt: ----- 1 ⋅ 35 m ⋅ 25 m = 87,5 m 2 = (35 m – a)(25 m – a)10a 1;2 = 30 m ± 900m 2 – 87,5m 2 ; a 1 ≈ 1,5 m; a 2 ≈ 58,5 mDa die Breite des Grünstreifens kleiner als der Hof sein muss, kommt hier nur a 1 in Frage.Der Grünstreifen darf maximal 1,5 m breit sein.

Gemischte Aufgaben 63Seite 13420. 61,5 m 21. 12cm; 18 cm22. a: Abstand der Insel vom Ufer; Dann gilt: 1--⋅ 45 m ⋅ 32 m = 180 m 2 = (45 m – 2a)(32 m – 2a)8a 1;2 = 77 ----- 4m ± ( 77 -----m ) 2 – 315m 2 ; a 1 ≈ 11,8 m; a 2 ≈ 26,7 m4Da Länge und Breite der Insel positiv sein müssen, kommt hier nur a 1 in Frage.Länge: ≈ 21,4 m; Breite: ≈ 8,4 m23. a: Breite des Rasenstreifens; R = a + 9 m; Dann gilt: πR 2 = 2π(9 m) 2 ⇒ R = 162m 2 ≈ 12,73 m; a ≈ 3,73 m24. a: Breite des Weges; Dann gilt: 2a ⋅ 20 m + 2a(15 m – 2a) = 100 m 2⇒ a 1;2 = 35 ----- 4m ± ( 35 -----m ) 2 – 25m 2 ; a 1 ≈ 1,57 m; a 2 ≈ 15,93 m4Hier kommt nur die Lösung a 1 in Frage. Der Weg darf maximal 1,57 m breit sein. Das Becken hat dann eineLänge von rund 16,86 m und eine Breite von rund 11,86 m.25. a) 26. a) a 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m– 11b 9 m 8 m 7 m 6 m 5 m 4 mb) A 9 m 2 16 m 2 21 m 2 24 m 2 25 m 2 24 m 2Für a = 5 m erhält man denmaximalen Flächeninhalt.b) Rechteck: V = 10 cm ⋅ 6 cm ⋅ 12 m = 72 lDreieck: V = 36 lc) Halbkreis:V ≈ 47,12 lTrapez: V = 54 la: 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m* 27. Sei 0 < b < 2 m eine Seite des Rechtecks.c) b = 1--2(20 m – 2a) = 10 m – a; A = a(10 m – a)Dann hat nach Strahlensatz die andereSeite a die Länge 3 m – 1,5b. Für b = 1 mund a = 1,5 m ist A maximal.d) Die Funktion y = – x 2 + 10xbeschreibt für x = a und y = A denZusammenhang zwischen derySeitenlänge a und dem FlächeninhaltA. Der Graph zeigt, dass der52in a) durch Probieren ermitteltexFlächeninhalt von 25 m 2 tatsächlich die maximale miteinem Rechteck zu erreichende Fläche darstellt.Seite 13528. 6b + 3a = 6 m; b = 0,5 m; a = 1,00 mBewegungsvorgängeSeite 13029. a) Gleichförmige Bewegung mit v = 10 m---sb) Beschleunigte Bewegung beim Anfahren aus dem Ruhezustandc) Beschleunigte Bewegung (mit negativer Beschleunigung) beim Abbremsen bis zum Stillstand30. t neu = 2 h; v neu = 70 km ------- 31. v LKW = 60 km ------- ; v PKW = 90 km -------hhh; t LKW = 4 h; t PKW = 2 h 40 min

64 Quadratische Gleichungen – quadratische Funktionen32. v = 5km ------- hQuadratische Gleichungen im Finanzwesen33. 27 SchülerSeite 13634. 4 % 35. ≈ 5,5 %Verschiedene Sachverhalte – ein Modell36. a) erste Pumpe: ≈ 44 h 20 min; zweite Pumpe: ≈ 52 h 20 minb) Eine Maschine bräuchte allein 48 h, die andere 24 h.c) erste Lösung: g = 20 cm; b = 60 cm zweite Lösung: g = 60 cm; b = 20 cmd) erste Lösung: R 1 = 12 Ω; R 2 = 36 Ω zweite Lösung: R 1 = 36 Ω; R 2 = 12 Ωe) f = 8 cmInteressante Kurven37. a) y = x – 2 b) 8 mSeite 13738. a) h(t) = – g-- t 2 + 125 m; s(t) = v 0 t ⇒ h(s) = – g-- ( ---- s ) 2 + 125 m22 v0c)b) s 0 ≈ 50 mc) h 1 (s) = – ------- 1 s 2 + 125 m; h 2 (s) = – ---------- 1 s 2 + 125 m5m80mh 1 : (0 m; 125 m); (10 m; 105 m); (20 m; 45 m); (25 m; 0 m)h 2 : (0 m; 125 m); (10 m; 123,5 m); (20 m; 120 m); (100 m; 0 m)d) s 0 = 25 m ⇒ v 0 = 5 m--- s; s 0 = 100 m ⇒ v 0 = 20 m---s125100755025h in ms in ms 0 = 25 ms 0 = 100 m39. a) y = – 0,125x 2 b) Länge in m 4,5 m 2 m 0,5 m* c) individuell Anzahl 2 2 2

Rückblick 654 Häufigkeitsverteilungen und diskrete ZufallsgrößenRückblickSeite 1411. a) E = 0; 1; 2; 3; 4; 5 ; Einflussgrößen: Alter der Erwachsenen, Bildungsgrad, Religionszugehörigkeit, Nationalität,Infrastruktur des Gebietesb) Pro Familie leben durchschnittlich 2,58 Kinder im Haushalt. Das ist überdurchschnittlich hoch. Das läßt daraufschließen, dass eine oder mehrere Einflussgrößen einen positiven Einfluss auf die Ansiedlung von Familienmit überdurchschnittlich vielen Kindern ausüben.*c) P(A) = 0,14; P(B) = 0,74; P(C) = 0,94; P(D) = 0,54; P(E) = 0,74Seite 1422. a) Verlängerung der Feder b) E = R +c) Anwesenheit von Magneten in der Nähe; Luftbewegung im Raum; Vibrationen durch Schwerlastverkehr;Genauigkeit des Ablesensd) Gruppe 1: 10 --- N ; Gruppe 2: 10,2 --- N * e) Gruppe 1mm3. x = 100 g; d = 0,66 g4. a) x ≈ 746,8 mlb) Die Verteilung der Werte ist als einseitiger Vorteil der Firma zu Lasten der Kunden zu werten.5. a) Der Verkauf von Fahrrädern findet verstärkt im Frühjahr und im Sommer sowie während des Weihnachtsgeschäftsstatt. Die Witterung und das Weihnachtsgeschäft dürften in starkem Maße das Kaufverhalten der Kundenbeeinflussen.b) x 1 = 54,3; x 2 = 51,083; d 1 ≈ 17,11; d 2 ≈ 13,58 Es ergibt sich: x 1 > x 2 ; d 1 > d 2c) Insgesamt wurden weniger Fahrräder verkauft, vor allem in den Monaten April bis August war dies der Fall.Allerdings fiel auch der jahreszeitlich bedingte Rückgang der Verkaufszahlen in den Monaten September undOktober nicht so heftig wie im Vorjahr aus.6. PKW: x = 88 min 45 s; w = 2h 25 min Zug: 56 min 30 s; w = 20 minSeite 1437. Nein! Begründung: Ordnet man den ermittelten relativen Häufigkeiten jeweils die Mitte des Intervalls zu und bildetdann das arithmetische Mittel, so liegt dieses über 5 Liter pro 100 km.8. Ereignis 1 2 4 orange gelbrel. Häufigkeit 0,12 0,128 0,124 0,38 0,24vermutete Wahrscheinlichkeit0,125 0,125 0,125 0,375 0,259. Das Ereignis, im Alter von 15 - 22 Jahren am Wochenende einen Unfall mit schwerem Personenschaden zu verursachen,hat eine Wahrscheinlichkeit von 36,1 %. Es existieren jedoch wahrscheinlichere Ereignisse, z.B. einensolchen Unfall von Montag bis Freitag zu verursachen. Daher können aus dem Kreisdiagramm weder die AussageA noch die Aussage C abgeleitet werden. Aussage B ist korrekt unter der Voraussetzung, dass als Vergleichsmaßstabfür den Sonnabend nur die anderen einzelnen Wochentage, aber keine Mengen aus mehreren Wochentagenzugelassen werden.

66 Häufigkeitsverteilungen und diskrete Zufallsgrößen4.1 Erfassen und Auswerten statistischer DatenSeite 152EA a)Verdienst in ctb)je kg5045403530252015105PlantagenarbeiterPflanzerReederImporteurHändlerStaat1 10 34 19 30 6 Proz. AnteilEinnahmen in€Plantagenarbeiter 54.000.000Pflanzer 405.000.000Reeder 1.350.000.000Importeur 756.000.000Händler 1.188.000.000Staat 270.000.000c) individuell1. x 1 = 10 x 2 = 10,19 Spannweite 1 = 0,9 Spannweite 2 = 1,62. a) Es ist zu vermuten, dass eine kleine Zahl von befragten Kunden aus sehr großer Entfernung ins Kaufhauskamen. Das hat Einfluss auf das arithmetische Mittel, nicht aber auf den Zentralwert.b) Zentralwertc) Werbung in lokalen Medien ist vorzuziehen.3. a) arithmetisches Mittel: ≈ 1,36; Zentralwert: + 2b) Die Folgen wurden überwiegend positiv bewertet. Allerdings kann eine negativ eingeschätzte Folge wie indiesem Fall die Folge 7 dazu führen, dass die Serie dauerhaft Zuschauer verliert.4. Gruppe 1 2 3arithmetisches Mittel 7,994 m 8,0 m 8,0 mZentralwert 8,015 m 8,0 m 8,0 mSpannweite 0,29 m 0,23 m 0,14 mDie Gruppen 2 und 3 haben besser gearbeitet als Gruppe 1, da sowohl das arithmetische Mittel als auch der Zentralwertgenau der Realität entsprechen und die Spannweite geringer ist. Am besten hat Gruppe 3 aufgrund dergeringsten Spannweite gearbeitet.Seite 1535. a) Zentralwert: 1230 $ je Einwohner; Spannweite 16800 $ je Einwohnerb) individuell*c) Es bestehen zwischen den Staaten Ozeaniens große Unterschiede sowohl hinsichtlich der Einwohnerzahl alsauch hinsichtlich des in jedem Staat je Einwohner erwirtschafteten Bruttosozialprodukts.Bei der Berechnung des Durchschnitts der Bruttosozialprodukte je Einwohner spielt die Größe einer Volkswirtschaftkeine Rolle, während in die Berechnung des durchschnittlichen Bruttosozialprodukts aller Länderje Einwohner sowohl deren Größe als auch die Leistungsfähigkeit einer Volkswirtschaft eingehen.

Erfassen und Auswerten statistischer Daten 676. a) Hinrunde Rückrunde 7. a) Weil die Klassenstärke der 9f einen Ausreißerdarstellt, bietet sich hier die Ermittlung1 4des Zentralwerts an.1 6x = 261 81 2 1 b)3 3 3 3 2 2 220,3 %20,3 %4 2 4 4 5 59f 9a7 6 2 6 79 9 9 8 2 89b9e1 1 1 0 3 0 016,5 %9c3 3 319,0%9d4 3 47,6 %b) Zentralwert: 28 Tore; Spannweite: 13 Torec) Zentralwert: 25 Tore; Spannweite: 20 Tore* d) Der Zentralwert der Hinrunde liegt über dem der Rückrunde,16,5 %Da die Werte gerundet sind, weicht dieSumme etwas von 100% ab.während die Spannweite der erzielten Tore in der Rückrundehöher lag. In der Hinrunde wurden an der Mehrzahl der Spieltagemindestens 28 Tore geschossen, in der Rückrunde an der Mehrzahlder Spieltage höchstens 25 Tore.Seite 1548. a) Diagramm 1: Prozentualer Anteil des Gewinns am Umsatzb)Diagramm 2: UmsatzentwicklungDie in Diagramm 1 erkennbaren Schwankungendes Gewinnanteils könnten entweder mit Branchentrendsoder mit der Kostenentwicklung imeigenen Unternehmen erklärt werden, z. B. Kostenfür die Eröffnung neuer Filialen in den neuen Bundesländernoder Kostensenkung durch die Schließungunrentabler Filialen.100908070605040302010Gewinn in Mio. DM•••••••19871988198919901991199219939. a) S Ute = 35,4 km; S Christian = 36 km; S Anna = 36,1 km; S Tom = 35,4 kmb) Mittelwert der Durchschnitte x 1 = 35,7 (35,725) kmc) Mittelwert aller Werte x 2 = 35,9 (35,858) kmd) Der Wert von Ute, der nur aus 2 Gliedern besteht, ist wahrscheinlich ungenauer als der Durchschnittswert vonChristians Messung. Beim Zusammenrechnen der Durchschnitte verzichtet man durch das Rundenaufgenauere Ergebnisse und die unterschiedlichen Wertigkeiten der gegebenen Messungen. Beim Errechnendes Durchschnittes unter Berücksichtigung jedes Ergebnisses wird jeder Messung dieselbe Wichtigkeitgegeben.e) Vergleichbar wäre das Errechnen des arithmetischen Mittels mit jedem einzelnen Wert mit dem Berechnender Zeugniszensuren unter Berücksichtigung von Klausurnoten und Kurzkontrollnoten. Im gegebenenBeispiel wäre Christians Wert „wichtiger“, weil er durch die viele Messungen näher an den Durchschnittkommt. Der genauste Wert würde errechnet werden, wenn das arithmetische Mittel aus allen Messungenermittelt wird.

68 Häufigkeitsverteilungen und diskrete Zufallsgrößen10. Der Einwand von Hannes ist berechtigt, weil die zugrundegelegtenBevölkerungsgruppen von unterschiedlicher Größe sind.Aussagekräftiger ist es, in einem Streifendiagramm den Quotientenaus der Anzahl der Verkehrstoten und der Anzahl der Jahrgängezu veranschaulichen.Verkehrstote pro Jahrgang605550454035302520151050 - 5 J.6 - 14 J.15 - 22 J.23 - 64 J.65 - 79 J.4.2 Berechnen und Interpretieren von ErwartungswertenSeite 159EAa) Dienst-PKW: 5,16 Liter pro 100 km; Zweitwagen: 5,22 Liter pro 100 kmb) 5,04 Liter pro 100 km1. E(G) = 200 kg(0,6 ⋅ 1,49 ----- € + 0,3 ⋅ 0,49 ----- € – 0,5 ----- € ) = 108 €kgkg kg2. E(G 1 ) = 120 ⋅ 100 € = 12000 €; E(G 2 ) = 120 ⋅(0,4 ⋅ 250 € + 0,35 ⋅ 125 €) = 17250 €Der Standort in Strandnähe sollte den Vorzug erhalten.3. a) E(G) = 0,7 ⋅ 1,99 € + 0,15 ⋅ 1,00 € + 0,05 ⋅ 0,50 € – 0,50 € = 1,068 €Unter Berücksichtigung dessen, dass am zweiten Tag das Brot für 1,00 € verkauft wird, kann der Händler proBrot einen Gewinn von 1,068 € erwarten. Um zu entscheiden, ob der Gewinn durch eine Reduzierung derMenge der eingekauften Brote gesteigert werden kann, müsste er beobachten, wie stark die Schwankungendes Verkaufs an den einzelnen Tagen sind.b) E(G) = 4 ⋅ (70 ⋅ 1,49 € + 15 ⋅ 0,5 € – 10 ⋅ 0,5 €) + 70 ⋅ 1,49 € + 15 ⋅ 0,5 € – 15 ⋅ 0,5 € = 531,5 €Seite 1604. E(G 2 ) = – 0,1 ⋅ 10 € – 0,2 ⋅ 0,2 € + 0,3 ⋅ 9,60 € = 1,84 €E(G 3 ) = – 0,1 ⋅ 15 € – 0,2 ⋅ 5,2 € + 0,3 ⋅ 4,60 € + 0,2 ⋅ 14,40 €= 1,72 €E(G 4 ) = – 0,1 ⋅ 20 € – 0,2 ⋅ 10,2 € – 0,3 ⋅ 0,40 € + 0,2 ⋅ 9,40 € + 0,1 ⋅ 19,20 € = – 0,36 €Für zwei bestellte Exemplare ist der zu erwartende Gewinn maximal. Trotzdem ist aber die Bestellung von dreiExemplaren zu empfehlen, da erstens dadurch keine dramatische Gewinnverschlechterung zu befürchten ist undzweitens weniger Kunden enttäuscht werden müssen, dem Händler damit eher als Kunden erhalten bleiben undsicherlich noch weitere Artikel bei ihm kaufen werden.5. a) Nein! Begründung: Durchschnittlich jedes vierte Spiel wird vom Spieler gewonnen. Bei hundert Spielenergeben sich für Fanny Einnahmen von 10 € und Ausgaben von 12,5 €.b) 0,40 € c) 0,39 € für erwarteten Gewinn von 0,25 Cent pro Spiel6. E(G 100 ) = – 100 ⋅ 3,75 € + 0,25 ⋅ 100 ⋅ 7,50 € + 0,5 ⋅ 100 ⋅ 7,50 € + 0,25 ⋅ 80 ⋅ 7,50 € = 337,50 €E(G 150 ) = – 150 ⋅ 3,75 € + 0,25 ⋅ 150 ⋅ 7,50 € + 0,5 ⋅ 120 ⋅ 7,50 € + 0,25 ⋅ 80 ⋅ 7,50 € = 318,75 €E(G 180 ) = – 180 ⋅ 3,75 € + 0,25 ⋅ 180 ⋅ 7,50 € + 0,5 ⋅ 120 ⋅ 7,50 € + 0,25 ⋅ 80 ⋅ 7,50 € = 262,50 €E(G 200 ) = – 200 ⋅ 3,75 € + 0,25 ⋅ 200 ⋅ 7,50 € + 0,5 ⋅ 120 ⋅ 7,50 € + 0,25 ⋅ 80 ⋅ 7,50 € = 225,00 €Von den zur Auswahl stehenden Vertragsbedingungen wäre eine Festlegung auf die Abnahme von 100 Sträußentäglich die günstigste Variante. Allerdings ist auch hier zu überlegen, ob es nicht aus längerfristigen Erwägungenklüger ist, täglich 150 Sträuße abzunehmen, weil in diesem Fall weniger Kunden unzufrieden darüber sind, dasssie keinen Strauß mehr kaufen können, weil bereits vor ihnen alle Sträuße verkauft worden sind.

Gemischte Aufgaben 697. a) 0,46 b)c) 6,52 Wochen; Jeder Patient mit Hüftknochenbruchverbleibt durchschnittlich6,52 Wochen im Krankenhaus.d) 8,52 Wochen4.3 Gemischte Aufgabenprozentualer Anteil302520151053 4 5 6 7 8 9 10Aufenthaltsdauerin WochenSeite 161EA Grundsätzlich stellt jede Funktion, die einem vorgegebenen Zieleinlauf ein Element der Menge A; B; C zuordnet,einen Weg dar, um einen Gewinner zu bestimmen. Sinnvoll erscheinen daraus die folgenden drei Varianten:1. Es gewinnt die Mannschaft, deren Läufer den Zielanlauf anführt, hier also A.2. Es gewinnt die Mannschaft, die als erste vollständig das Ziel erreicht hat, hier also A.3. Es gewinnt die Mannschaft, deren Summe aller Plazierungen am kleinsten ist. hier also C.1. a) b) In der Urlaubssaison (Quartale II und III)Anzahl der Beschäftigten im Gaststättenwesen auf Rügensteigt die Zahl der Beschäftigten stark an.Auch von Urlaubssaison zu Urlaubssaison istein leichter Anstieg zu beobachten, was mit4000der Eröffnung weiterer Gastronomiebetriebe3000erklärt werden kann oder mit wachsendemBedarf bestehender Einrichtungen.20001000I/96 II/96 III/96 IV/96 I/97 II/97 III/97 IV/97 I/98 II/98c) x 96 = 2612,5; x 97 = 2796,75Das arithmetische Mittel gibt keine Auskunftüber die Spannweite des Arbeitskräftebedarfs.2.600 Lhasa x Lhasa =133,25 mm x Greifswald =46,08 mmIn Lhasa regnet es zwar mehr, aber nur in den Sommermonaten.In Greifswald gibt es dafür über das ganze Jahr verteilt500Niederschlag, was für die Landwirtschaft günstiger ist.Greifswald40070300502003010010J F M A M J J A S O N DJF M A M J J A S O N D3.zu hohe Geschw.ÜberholenVorfahrtvorrangAbbiegenWitterungAlkoholFußgängergesamt15 bis 22-jährigeDie Hauptursache mit dem größten Anteilan Verkehrstoten ist die überhöhte Geschwindigkeitder Verkehrsteilnehmer.020 40 6080 100%

70 Häufigkeitsverteilungen und diskrete ZufallsgrößenSeite 1624. a) E(G) = 600 € – 0,02 ⋅ 25000 € = 100 €; E(G ges ) = 250000 ⋅ E(G) = 25000000 €b) 2,4 % c) 1025 €5. E(G A ) = 0,97 ⋅ 15 € – 10 € = 4,55 €; E(G B ) = 0,97 ⋅ (15 € – 8,75 €) – 0,03 ⋅ 10 € = 5,76 €Für die Firma ist auf jeden Fall die Variante B rentabler. Ob Variante B von den Kunden als vorteilhafter eingeschätztwird, kann hier nicht entschieden werden. Auf der einen Seite erhöht sich für den Kunden der Aufwanddurch die Reklamierung der defekten Spulen, andererseits bekommt er für die defekten Spulen gratis kontrollierteSpulen.6. individuelle Lösung7. a) Theaterplätzeb)Theaterbesuche1100HB HH MV NI SH BRDc) Musikschülerd)HB HH MV NI SH BRDMuseumsbesucher2400HB HH MV NI SH BRDHB HH MV NI SH BRDEinflussfaktoren: Politik von Landesregierungen und Kommunen auf den Gebieten von Bildung und Kultur;Bevölkerungsdichte; Qualität der Angebote der Einrichtungen; Werbung und Vermarktung (Theater; Museen)Internet-Nutzung in DeutschlandSeite 163Projekt:A: Aussage A kann nicht aus den vorliegenden Daten geschlussfolgert werden.B: Aussage B stimmt nicht, da im Jahr 1999 der Anteil der Frauen gegenüber 1998 leicht rückläufig war.C: Aussage C ist nicht exakt formuliert. Wenn sie als tendenzielle Beschreibung eines Vorgangs gemeint ist,ist sie wahr.D: Aussage D ergibt überhaupt keinen Sinn. Eigentlich müsste es heißen: Der Anteil der Frauen in der Mengealler Nutzer des Internets verschiebt sich zugunsten der Frauen.Weitere Fragestellungen: individuell

5.1 Lösen von Sachaufgaben 715 Lösen von Aufgaben – Anwendungen5.1 Lösen von SachaufgabenSeite 169EAEine Strategie, die bei jeder möglichen Reaktion des Mitspielers zum Erfolg führt, existiert natürlich nur für einender beiden Spieler. In diesem Fall ist derjenige Spieler im Vorteil, der das Spiel beginnt. Von den 11 Münzen sindgenau 3 Münzen wegzunehmen. Beim nächsten Mal sind dann so viele Münzen zu entfernen, dass genau 4 Münzenliegenbleiben. Nach dem nächsten Zug des Mitspielers sind noch mindestens eine, maximal jedoch drei Münzenim Spiel. Mit dem nächsten Zug kann dann abgeräumt werden.1. a) Durchschnittsgeschwindigkeit v und Entfernung sb) Seitenlängen a und b; Höhe h und Volumen Vc) Masse m und Dichte ρ; äußerer Radius, innerer Radius und Höhe hd) Flächeninhalt A und Hypotenuse c; Katheten a und b; Hypotenusenabschnitte p und qe) Schenkelabschnitte b, c und d; Parallelen e und f sowie Schenkelabschnitt b2. a) d = 34 cmA 1d 1dAA 2d 2A 3d 3b)l = 2u ual = 660 mAc) A O = 6 ( 33 3a ) 2V 1 a 1 + a 2 1A O a VV 2a 2d) A = 3,47 haAD x SchritteAABDBy SchritteSeite 1703. a) 136 b) 27 c) 15d) Der 4-Liter-Eimer wird zweimal mit Wasser gefüllt und in den 9-Liter-Eimer umgefüllt. Ein weiteres Mal wirdder 4-Liter-Eimer dann gefüllt. Davon wird solange Wasser in den 9-Liter-Eimer abgegossen, bis dieser vollist. Dann wird er wieder ausgegossen. Im 4-Liter-Eimer verbleiben 3 l Wasser, die dann in den geleerten 9-Liter-Eimer umgegossen werden. Erneut wird der 4-Liter-Eimer gefüllt und in den 9-Liter-Eimer gegossen.Dann wird er wieder gefüllt und solange abgegossen, bis der 9-Liter-Eimer voll ist. Dieser wird erneut ausgeschüttet.Im 4-Liter-Eimer befinden sich noch 2 l Wasser, welche dann in den geleerten 9-Liter-Eimer umgefülltwerden. Nun wird ein letztes Mal der 4-Liter-Eimer gefüllt und in den 9-Liter-Eimer umgegossen. Jetztbefinden sich dort 6 l Wasser.4. a) l ≈ 42,2 m; b ≈ 17,8 m b) 8 Tage c) A ≈ 3,34 had) Für die Auslegung der Grabensohle und der Böschungssflächen werden 0,7 t Steine pro laufenden Meter Grabenlängebenötigt.

72 Lösen von Aufgaben – Anwendungen5.2 Komplexe AufgabenSeite 173EAEs gibt 14 Möglichkeiten.50 ct 20 ct 10 ct 5 ct 2 ct 1 ct 50 ct 20 ct 10 ct 5 ct 2 ct 1 ct1 6 0 1 0 1 3 1 0 0 3 02 3 1 1 0 1 3 0 2 0 2 22 3 1 0 3 0 3 0 2 0 3 02 3 0 3 0 1 3 0 2 1 0 12 2 3 1 0 1 3 0 1 3 0 13 1 0 1 0 1 3 0 1 2 3 03 1 0 0 2 2 3 0 0 5 0 11. a) u ≈ 57 cmA ≈ 193 cm 2c) V ≈ 374 cm 3b)K''; L''A''; D''B''; C''L'; D'C'A'; K'B'Maßstab 1 : 22. a) u = 64,4 cmb) c)d) r ≈ 11,6 cmMaßstab 2 : 9

5.2 Komplexe Aufgaben 733. a) siehe nebenstehende Abbildungb) A = 100 cm 2C'CA'AZBB'4. Gleichungen für die Holzbohlen erstellen:7m-Bohle: y = 0,98x 9m-Bohle: y = –1,5x + 7,5Schnittpunkt: (3,024; 2,964)Die Bohlen kreuzen sich in ca. 3 m Höhe.Seite 1745. a) V = 1260 m 3 ; m = 1386 t b) 77 Fuhren c) 345 m d) 2,4 m 3*e) 518,36 €*f) n-----------------------⋅ ( n – 1)211 Männerteams (M) somit 55 Spiele; 7 Damenteams (D) somit 21 Spiele;gesamt: 76 Spieleindividuelle Lösung, z.B.:Tag Uhrzeit Feld 1 Feld 2 Feld 3 Feld 41 10:00 – 10:30 M1 – M2 M3 – M4 M5 – M6 D1 – D210:30 – 11:00 M7 – M8 M9 – M10 M1 – M11 D3 – D411:00 – 11:30 M2 – M3 M4 – M5 M6 – M7 D5 – D611:30 – 12:00 M8 – M9 M10 – M11 M1 – M3 D1 – D712:00 – 12:30 M2 – M4 M5 – M7 M6 – M8 D2 – D312:30 – 13:00 M9 – M11 M3 – M5 M4 – M6 D4 – D513:00 – 13:30 M7 – M9 M8 – M10 M11 – M12 D6 – D713:30 – 14:00 M1 – M10 M2 – M5 M3 – M6 D1 – D314:00 – 14:30 M4 – M7 M8 – M11 M1 – M9 D2 – D414:30 – 15:00 M2 – M10 M3 – M11 M1 – M4 D5 – D72 10:00 – 10:30 M5 – M8 M6 – M9 M7 – M10 D1 – D610:30 – 11:00 M1 – M5 M2 – M6 M3 – M7 D3 – D511:00 – 11:30 M4 – M8 M5 – M9 M6 – M10 D4 – D611:30 – 12:00 M7 – M11 M1 – M8 M2 – M9 D2 – D712:00 – 12:30 M3 – M10 M4 – M11 M1 – M6 D1 – D412:30 – 13:00 M2 – M7 M3 – M8 M4 – M9 D2 – D513:00 – 13:30 M5 – M10 M6 – M11 M1 – M7 D3 – D613:30 – 14:00 M2 – M8 M3 – M9 D1 – D5 D4 – D714:00 – 14:30 M5 – M11 M4 – M10 D2 – D6 D3 – D7

74 Lösen von Aufgaben – Anwendungen5.3 Multiple-Choice-AufgabenSeite 1761. (1) D (160) [von der Aufgabe ausgehen: (8000 : 100) · 2](2) D (2 %) [von der Aufgabe ausgehen: 160 : (8000 : 100)](3) D (8000) [von der Antwort ausgehen: (8000 : 100) · 2]2. B ( 6-- ) und E (75 %) [von der Aufgabe ausgehen: Abzählen ergibt 6 von 8; kürzen ergibt 3--, was 75% sind]843. E (60 %) [von der Aufgabe ausgehen: 3--= 0,6 (= 60 %)]54. B (20 %) [von der Aufgabe ausgehen: 1--= 0,2 (= 20 %)]55. E (7 Schüler) [von der Aufgabe ausgehen: 25% = 1--der Schüler. 28 : 4 sind 7 Schüler]45.4 Prozent- und ZinsrechnungSeite 179EA In beiden Fällen zahlt man 92,8 % des ursprünglichen Nettopreises.1. a) 0,1; ----- 110b) 0,25; 1-- 4c) 0,5; 1-- 2d) 0,75; 3-- 4e) 1; 1-- 1f) 1,5; 3--2g) 0,33; -------- 33100h) 0,125; 1-- 8i) 0,66; -------- 66100j) 0,05; ----- 120k) 0,3; ----- 310l) 2,5; 5--22. a) 25 % b) 20 % c) 66,6 % d) 12,5 % e) 40 % f) 5 %3. a) 46 € b) 50 m c) 56 kg d) 1500 € e) 1 g f) 0,72 m 24. a) 400 € b) 15 kg c) 300 m 25. B (mehr als 5 %) [Lösbar durch ein gedachtes Beispiel: 100 Leute kauften vorher für 10 Karten. Jetzt kaufen nurnoch 85 Besucher für 11 Euro Karten, das ergibt einen Unterschied von 6,5 %]6. D (70 Euro) [25 % von 70 Euro sind 17,50]7. C (5 von 100 Stimmen) [nur 5 von 100 sind in diesem Beispiel tatsächlich 5 %]8. B (25 %) [1,5 sind 125 % von 1,2]Seite 1809. B (6922) [eine Möglichkeit ist ein Überschlag: 18,5 % ≈ 1 von 100%; 6922 7000; 7000 · 5 35000]5 -- ≈ ≈10. A; B; C; E drücken alle 75 % der Masse aus.11. a) ≈ 101,60 Cent b) ≈ 94,96 Cent c) ≈ 105,41 Cent d) ≈ 94,67 Cent e) ≈ 97,36 Cent12. a) Arne: 4000 €; Benjamin: 3600 €; Christian: 2400 € b)Benjamin13. 788, 6475 kJArne14. um 98,81 %15. B (150 000)Christian16. D (Mehr als die Hälfte der Schüler trinken Milch oder Fruchtsaft)Seite 18117. a) Eiweiß: 115,2 kg; Fett: 112 kg; Milchzucker: 150,4 kg; Salze: 22,4 kg; Wasser: 2800 kgb) ≈ 434,8 kg c) ≈ 313,0 kg18. Besteht insgesamt zu 3,825 Litern aus Wasser, d. h. 0,675 kg sind Pilze. Dies entspricht 95 % der übrigbleibenden Gesamtmasse. 100 % sind somit 0,711 kg.Es bleiben rund 0,7 kg getrocknete Pilze übrig (mit einem Anteil von ca. 36 ml Wasser).19. a) 14,26 mm b) 2173 Platten20. a) In den ersten neun Monaten des Jahres 2000 lag der Anteil der einheimischen Erdölförderung an der insgesamtgeförderten und importierten Erdölmenge bei rund 21,3 %.b) In den ersten neun Monaten des Jahres 1999 lag der Anteil der einheimischen Erdölförderung an der insgesamtgeförderten und importierten Erdölmenge bei rund 20,0 %.c) Ja, falls die Erdölförderung in den letzten drei Monaten des Jahres 2000 in gleichem Umfang fortgesetzt wird,ist eine Jahresfördermenge von rund 3,07 Mill. Tonnen zu erwarten.

5.4 Prozent- und Zinsrechnung 7521. a) alter Tarif in € Vorschlag der Arbeitgeber in € Gewerkschaftsvorschlag in €1000 1025 10501200 1230 12501400 1435 14501600 1640 16501800 1845 18502000 2050 20502200 2255 22502400 2460 24502600 2665 26502800 2870 28503000 3075 3050Seite 18222. a)Jahreseinkommenin €Lohnsteuersatzin %monatlichesEinkommenin €monatlicheLohnsteuerin €b)KirchensteuerproJahr in €KirchensteuerproMonat in €SolidaritätszuschlagproJahr in €Solidaritätszuschlagpro Monatin €6000 0 500 0 0 0 0 09000 7,69 750 57,67 62,28 5,19 38,06 3,1712000 13,01 1000 130,08 140,49 11,71 85,86 7,1515000 16,47 1250 205,83 222,30 18,52 135,85 11,3218000 18,98 1500 284,67 307,44 25,62 187,88 15,6621000 20,96 1750 366,75 396,09 33,01 242,06 20,1724000 22,60 2000 452,08 488,25 40,69 298,38 24,8627000 24,06 2250 541,33 584,64 48,72 357,28 29,7730000 25,32 2500 633,00 683,64 56,97 417,78 34,8233000 26,47 2750 727,92 786,15 65,51 480,42 40,0436 000 27,56 3000 826,75 892,89 74,41 545,66 45,47c) Monatsbruttolohn in € 500 750 1000 1250 1500 1750 2000monatliche Versicherungsbeiträgein €140 210 280 350 420 490 560d)282624222018161412108642Lohnsteuersatz in %Monatslohn in €0 500 1000 1500 20002500 3000350023. a) 69,99 €; 114,27 €; 157,13 € b) ≈ 42,9 %c) Folgende Wertewurden geändert: Umsatz der ersten Woche 1545, 81 €;Umsatz von Modell 3: 549,95 €Anteil des Umsatzes von Modell 1: 12,7 %Modell 3Modell 15410Modell 224. a) Angebot des Möbelhändlers: 200 € Finanzierungskosten; Angebot der Hausbank: 205 € FinanzierungskostenBeide Angebote unterscheiden sich nur um 5 €. Allerdings beinhaltet das Angebot der Hausbank einen größerenFinanzierungsanteil. Das Preis-Leistungs-Verhältnis des Angebots der Hausbank ist daher attraktiver.b) Die Einsparung gegenüber dem Finanzierungsangebot des Möbelhändlers beträgt 365 €. Die Einsparunggegenüber dem Finanzierungsangebot der Hausbank beträgt 370 €.

76 Lösen von Aufgaben – Anwendungen5.5 TabellenkalkulationenSeite 1911. n n + 1 n 2 (n + 1) 2 n n + 1 n 2 (n + 1) 21 2 1 4 16 17 256 2892 3 4 9 17 18 289 3243 4 9 16 18 19 324 3614 5 16 25 19 20 361 4005 6 25 36 20 21 400 4416 7 36 49 21 22 441 4847 8 49 64 22 23 484 5298 9 64 81 23 24 529 5769 10 81 100 24 25 576 62510 11 100 121 25 26 625 67611 12 121 144 26 27 676 72912 13 144 169 27 28 729 78413 14 169 196 28 29 784 84114 15 196 225 29 30 841 90015 16 225 256 30 31 900 961Summe: 465 495 9 455 10 415Produkt: 2,65 · 10 32 8,22 · 10 33 7,04 · 10 64 6,76 · 10 672. individuele LösungMittelwert: 15,5 16,5 315,16 347,63.… … … … … … … … … … … …4. a) Ulf gibt am meisten, Ute am wenigsten Geld aus.b) Uwe: 1,77 € Ute: 1,66 € Ulf: 1,80 €c) Uwe: 2,64 € Ute: 3,35 € Ulf: 2,38 €5. Diese Aufgabe wird am schnellsten mit einer Gleichung gelöst (x sei die Anzahl der Monate):a) 375 € = 19x + 125 € + 5x + 45 € – 8x = 16x + 170 € ⇒ x = 12,81 ⇒ Er muss 13 Monate sparen.b) 375 € = 22x + 170 € ⇒ x = 9,32 ⇒ Er muss 10 Monate sparen.

5.5 Tabellenkalkulationen 776.Seite 192Alle Angaben in Zentimeter.7. a) Es sind zum ersten mal am Ende des 8. Jahres 20 000 € (exakt: 20 327,49 €) auf dem Konto.b) Es wären zum ersten mal am Ende des 11. Jahres 20 000 €. Dieses liegt jedoch außerhalb des Sparplans.8.9. individuelle Lösung

78 Lösen von Aufgaben – Anwendungen10.11. Die Abhängigkeit ist nahezu linear. Der Proportionalitätsfaktor kann entweder aus dem Anstieg oder aus dem Mittelwertdes Verhältnisses Masse : Volumen bestimmt werden, welches die Dichte ρ des Stoffes beschreibt.Es ist: ρ≈ 2,5 g/cm 3 . Es kommen mehrere Materialien in Frage. Einige Beispiele:Glas: 2,48...2,6 --------- g ; Kalkstein: 2,4...2,8 g ; Fiberglas: 2,53 ; Porzellan: 2,3...2,6 ; Asbest : 2,5...2,6cm 3--------- gcm 3--------- gcm 3--------- gcm 3---------cm 312. Es ist ersichtlich, dass a) und c) die gleichen Beträge liefern. Die günstigste Variante ist b).(Es wurde angenommen, dass Ulrike bis zum 18. Lebensjahr Taschengeld erhalten wird.)Seite 19313. a) LIEFERDAT. 22.1. 22.2. 22.3.ARTIKELNR. 022 148 200 322 443 022 148 200 322 443 022 148 200 322 443ANZAHL 75 160 50 400 30 85 120 40 200 30 95 80 30 100 30EINZELPREIS 2,80 1,60 2,50 2,00 1,80 2,80 1,60 2,50 2,00 1,80 2,80 1,60 2,50 2,00 1,80GESAMTPR. 210,00 217,60 125,00 680,00 54,00 238,00 163,20 100,00 340,00 54,00 266,00 128,00 75,00 170,00 54,00MONATSPR. 1 286,60 895,20 639,00QUARTALSPR. 2 820,80b) LIEFERDAT. Prognose 22.4.ARTIKELNR. 022 148 200 322 443ANZAHL letzter Monat + 10105letzter Monat – 4040letzter Monat – 1020letzter Monat : 250letzter Monat30EINZELPREIS 2,80 1,60 2,50 2,00 1,80GESAMTPR. 249,90 64,00 50,00 100,00 54MONATSPR. 517,90

5.5 Tabellenkalkulationen 7914.a)c)Jahr Umsatz (1)2000 (1.) 1859002001 (2.) 2119262002 (3.) 241595,642003 (4.) 275419,032004 (5.) 313977,692005 (6.) 357934,57b) Im Jahr 2005 wird ein Umsatzvon ca. 357 935 € erwartet.d)e)Jahr Umsatz (2)2000 (1.) 185900,002001 (2.) 211926,002002 (3.) 245834,162003 (4.) 290084,312004 (5.) 324894,432005 (6.) 396371,2015. a) Zinsen + Gebühren für ein Jahr:Bank A Bank B3 000 € 330 € 365 €10 000 € 1 100 € 1 100 €Bei einem Darlehen von 3 000 € ist Bank Agünstiger. Für 10 000 € sind beide Angebotegleich.b) Ab 10 000 € wird das Angebot der Bank Bgünstiger. (Siehe auch graf. Darstellung.)c)2 0001 5001 0005 00Gebühren + Zinsen in €Bank A Bank BDarlehen in €4 000 8 000 12 000 16 000 20 00016. a) k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n 1 8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 134217728 1073741824

80 Lösen von Aufgaben – Anwendungen5.6 ComputeralgebrasystemeArbeiten mit „Derive“Seite 1951. individuelle Lösung2. a) 169 -------- · a 2 + 13 ----- · a + 1--= 6,76·a 2 + 2,6·a + 0,25 b) 1,56·x 2 – 0,64·y 225 5 4c) 9-- ·s 4·t2 – 6·s·t + ---- 4d) m + 2· 2m + 24s 23. a) a = 24·x·y; b = 6·x; c = 2·y b) a = 9·x·y; b = 0,9·x; c = 5·yc) a = 4·x·y; b = 1--·x;2c = 4·y d) a = 0,16; b = 0,4; c = 4·ySeite 1964. x 0 1 ≈ –0,586; x 02 ≈ 4,8725. a) x 1 = 1-- ·214 ≈ 1,87; x 2 = – 1-- 2· 14 ≈ –1,87b) x 1 = 0; x 2 ≈ –0,32c) x 1 ≈ 0,18; x 2 ≈ 2,82d) x 1 ≈ –5,49; x 2 ≈ 2,166. a) y = 1,5·x 2 + 2·x – 3D und E liegen auf der Parabel, F liegtnicht auf der Parabel.b) y = –x 2 +3·x –1D und F liegen auf der Parabel, E liegtnicht auf der Parabel.yy = 1,5x 2 + 2x – 31–1 –1 1xy = –x 2 + 3x – 17. #1: 1 = c#2: 1.31 = 2.5 2·a + 2.5·b + c#3: 0.7 = 6 2·a + 6·b + c#4: SOLVE([1 = c, 1.31 = 2.5 2· a + 2.5·b + c, 0.7 = 6 2·a + 6·b + c], [a, b, c])#5: [ a = – ----------- 87 ^ b = ----------- 8691750 3500^ c = 1]#6: [a = –0.049714 ^ b = 0.24828 ^ c = 1]#7: y = –0.05· x 2 + 0.25 · x + 18. a) Nullstellen: x 1 = –6,5; x 2 = 6,5 Spannweite: 13 mb) Aus 0,8 – 6,5 2·a = 0 folgt a = -------- 16 ≈ 0,018935.845(Der Näherungswert kann auch durch grafisches Experimentieren ermittelt werden.)c) Aus x = –2,5 folgt CD = f(x) – g(x) ≈ 1,45 (m).9. #1: CaseMode := Sensitive#2: A = a·b#3: 2·a + 2·b = 120#4: SOLVE(2·a + 2·b = 120, b)#5: b = 60 – a#6: A = a·(60 – a)#7: A = 60·a – a 2a = 30 m; b = 30 m; A = 900 m 2Problemlösung mithilfe vonWertetabellen:

5.6 Computeralgebrasysteme 81Aufstellen von Wertetabellen mit immer kleiner werdenden Intervallen, die den Maximumpunkt einschließen.#8: TABLE(A = 60·a – a 2 , a, 0, 60, 10)#9: 0 A = 010 A = 50020 A = 80030 A = 90040 A = 80050 A = 50060 A = 0#10: TABLE(A = 60·a – a 2 , a, 25, 35, 1)#11: 25 A = 87526 A = 88427 A = 89128 A = 89629 A = 89930 A = 90031 A = 89932 A = 89633 A = 89134 A = 88435 A = 87510. #1: s = v·t – g--·t 22(1) grafisch:#2: s = 20·t – ---------------- 981 ⋅ t 2200(2) mithilfe einer Wertetabelle:#3: TABLE (-s = 20·t – 981 ---------------- ⋅ t 2, t, 1, 3, 0.1 )200#4: 1 s = 15.01.1 s = 16.01.2 s = 16.91.3 s = 17.71.4 s = 18.31.5 s = 18.91.6 s = 19.41.7 s = 19.81.8 s = 20.11.9 s = 20.22 s = 20.32.1 s = 20.32.2 s = 20.22.3 s = 20.02.4 s = 19.72.5 s = 19.32.6 s = 18.82.7 s = 18.22.8 s = 17.52.9 s = 16.73 s = 15.8

82 Lösen von Aufgaben – Anwendungen#5: TABLE ( s = 20·t – 981 ---------------- ⋅ t 2, t, 1.9, 2.1, 0.01 )2001.9 s = 20.21.91 s = 20.31.92 s = 20.31.93 s = 20.31.94 s = 20.31.95 s = 20.31.96 s = 20.31.97 s = 20.31.98 s = 20.31.99 s = 20.32 s = 20.32.01 s = 20.32.02 s = 20.32.03 s = 20.32.04 s = 20.32.05 s = 20.32.06 s = 20.32.07 s = 20.32.08 s = 20.32.09 s = 20.32.1 s = 20.311. a) #1: y = (x + b) 2 + 1#2: VECTOR(y = (x + b) 2 + 1, b, –3, 3, 1)Ortskurve:#3: y = 1Die grafischen Darstellungen enthalten bereits dieOrtskurve als Lösung von Aufgabe 20.b) #4: y = – 1--·x 2 + b·x + 32#5: VECTOR (-y = – 1-- ·x 2 + b·x + 3, b, –3, 3, 1)2Ortskurve:#6: y = 1--·x 2 + 32

5.6 Computeralgebrasysteme 83c) #7: y = x 2 + b·x + 1--·(b 2 – b)4#8: VECTOR (-y = x 2 + b·x + 1-- ·(b 2 – b), b, –3, 3, 1)4Ortskurve:#9: y = 1--·x212. a) y = 1 b) y = 1-- · x 2 + 3 c) y = 1--· x22Die Ortskurven sind bereits in den Lösungen von Aufgabe 11 eingezeichnet.Arbeiten mit „Mathcad“Seite 1981. a) 8rs(rs + 17s – 1) b) (2c + 3)(2c – 3) c) (n – 2)(n + 1,5)2. a) 41,3 b) 4 c) 7Seite 1993. a) x 0 = 3 b) x 0 = 1,5 c) x 0 1 = 2 ; x 02 = – 24. a) parallel b) Schnittpunkt S(–1; –1) c) parallel5. a) x = 37 ----- ; y = 52 ----- ; z = 13 ----- b) x = 13 ----- ; y = 29 ----- ; z = 10 c) x = 28 ----- ; y = ----- 7 ; z = – 13 -----21 21 213 627 27 276. a) V = 24,5 cm 3 b) Das Volumen vervierfacht (verneunfacht) sich.c) Wenn sich die Länge der Grundseite n-mal großer wird. so wird das Volumen n 2 -mal größer.7. Die Graphen schneiden einander in P 1 (2; –2) und P 2 (–2; 6).8. a) x 0 1 = 0,5; x 02 = – 0,5 b) x 01 = 0; x 02 = – 0,4c) x 0 1 = 1 + 1-- 6 ; x 02 = 1 – 1-- 2d) x 01 = 5; x 02 = –5269. a) b = u-- – a b) r = ---------- V2π ⋅ hc) R 2 = --------------- R ⋅ R 1d) l =– RT ------------2 ⋅ g4π 2R 110. a) x = –24 b) x = 111. h 1 = 12 cm; h 2 = 12,2 cm12. a) y = – 0,5x + 1 b) y = – (x – 2) 2 + 1,5* 13. a = 30 m; b = 30 m; A = 900 m 2

84 Lösen von Aufgaben – AnwendungenProjekteRund ums MOFASeite 2001. individuell 2. individuell 3. individuell 4. individuellSeite 2015. v in km ------- h10 20 30 50 80s R in m 3 6 9 15 24s B in m 1 4 9 25 64s H = s R + s B in m 4 10 18 40 887. s H = 100 -------- m--- ⋅ t R + 10000 -------------- ---- 9⋅s 81ss 2 2,5m;52,7 m < s H < 58,3 m6. Fahrbahn Zustand μ H a inAsphalt, Beton,Bitumentrocken 0,75 bis 0,85 7,36 bis 8,34nass 0,45 bis 0,55 4,41 bis 5,40gepflasterte trocken 0,55 bis 0,65 5,40 bis 6,38Fahrbahn nass 0,45 bis 0,55 4,41 bis 5,40Schneedecke trocken 0,25 bis 0,4 2,45 bis 3,92nass 0,1 bis 0,25 0,98 bis 2,45Eisschicht trocken 0,15 bis 0,2 1,47 bis 1,96nass 0,05 bis 0,1 0,49 bis 0,98---- ms 2------------- 2 v in msWindenergie – ganz Deutschland rotiertSeite 202h i in %1412108642Die mittlere Windgeschwindigkeitbeträgt rund 4,8 m---s.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15---Seite 203P Nutzin kW80706050403020101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22v in m---sIntervall der Windgeschwindigkeitin m---s0bis11bis22bis33bis44bis5erzeugte Energie in MWh 3,5 7,4 11,6 15,3 16,4 15,9 13,3 10,5 5,2 3,4 1,7 0,95bis66bis77bis8Insgesamt ist pro Jahr ein Energieertrag von rund 105 MWh zu erwarten.Damit könnte der Jahresbedarf von 20 Haushalten gedeckt werden.8bis99bis1010bis1111bis1212bis1313bis1414bis15

Projekte 85Lösen von Gleichungen – früher und heuteSeite 2041. a) b)DCx ≈ 1,85DCx ≈ 0,62x0A M B E1xc)DCx ≈ 55,62A M0B 1 ExA M0 20 40 60B E2. Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen ist x = – 1-- a + a---- 2+ a 22 4eine Lösung der Gleichungx 2 + ax – a 2 = 0 für a > 0. Nach Satz von PYTHAGORAS ist x = – 1-- a + ---- a 2+ a 22 4auch die Länge der Strecke BE.3. x = – 1-- a + a---- 2+ a 22 4ist eine Lösung der Gleichung x 2 + ax – a 2 = 0. Durch Ausrechnen der Wurzel ergibt sichx = a ⋅ --------------- 5 – 12≈ 0,618a. Damit ist diese Lösung für a > 0 positiv.4. Der absolute Betrag der negativen Lösung der Gleichung x 2 + ax – a 2 = 0 entspricht der Strecke AE.5. A =ss ( – a) ( s – b) ( s – c)Seite 2056. x 4 = 47 ----- ≈ 2,2381; x 5 = 2207 -----------21987≈ 2,2361; x 6 = 4870847 -------------------- ≈ 2,2361;21783095 ≈ 2,2360687. x 1 x 2 x 3 x 42 1 3-- 2= 1,5 17 ----- ≈ 1,41712577 -------- ≈ 1,4144089 4 25 ----- 8= 3,125 1201 ----------- = 3,00254002882401 -------------------- ≈ 3,00001960800720 30 27 161 -------- 6= 26,83 51841 -------------- ≈ 26,8331932Bei allen drei Beispielen ist die erste Näherung x 1 so gewählt worden, dass beim Übergang von der dritten Näherungx 3 zur vierten Näherung x 4 die zweite Stelle nach dem Komma unverändert geblieben ist. Von der Wahl derAnfangsnäherung hängt es ab, wie viele Iterationsschritte benötigt werden, um eine bestimmte Genauigkeit desErgebnisses zu erzielen.8. individuell