12.1 Lehrsatz des Pythagoras

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFernstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 12 - 112.1 Lehrsatz des PythagorasPythagoras von Samos wurde um 570 v. Chr. geboren, war ein vielseitig Gelehrter, hielt sich lang in Ägypten,Sizilien und Süditalien auf, wo er eine Art Naturphilosophie lehrte , in der Mathematik einen integrierendenBestandteil bildete. Er teilte seine Schüler in zwei Klassen ein - die "Zuhörer" und die "Mathematiker". Ersterekonnten nach drei Jahre Studium in die Klasse der "Mathematiker " aufgenommen werden und sie bildeten diePythagoreische Schule. Ihre Geheimlehre hatte stark orientalische Züge und verstand sich als Integration vonWissenschaft, Politik, Religion und Leben. Sie glaubten an eine Art Seelenwanderung und an eine innereHarmonie aller Dinge, die durch Zahlen und mathematische Beziehungen ausdrückbar wäre. Die pythagoreischeGeimeinschaft hatte als Wahrzeichen das Pentagramm, den Fünfstern. Sie betonten fünf regelmäßige,"kosmische" Körper, die durch regelmäßig wiederholte Anordnung einer bestimmten Fläche entstehen: derWürfel ( als Anordnung von sechs Quadraten), das Tetraeder ( vier gleichseitige Dreiecke), das Oktaeder ( eineDoppelpyramide mit quadratischer Grundfläche, die aus aus acht gleichseitigen Dreiecken besteht), dasIkosaeder (zwanzig gleichseitige Dreiecke) und das Dodekaeder ( das zwölf regelmäßige Fünfecke als Flächenbesitzt). Die Pythagoreer weihten ihr Leben der Wissenschaft und verpflichteten sich zu einem asketischenLeben, das auf Reinheit, Mäßigung und Gehorsam beruhte. Ihr Streben galt ganz der Erkenntnis und nicht denirdischen Gütern: "Eine Zahl, so meinten sie, ist ein Schritt voran und keine Ziffer, um drei Obulus damit zuverdienen". Sie teilten ihre Lehre in vier Hauptabschnitte ein: 1) die absoluten Zahlen oder die Arithmetik ("DieZahl ist das Maß aller Dinge", die Begriffe "vollkommene Zahl" und "befreundete Zahl" stammte von ihnen); 2)die angewandten Zahlen oder die Musik ( sie entdeckten zahlenmäßige Gesetzmäßigkeiten der musikalischenHarmonien in Form von Akkorden); 3) die Größen in der Ruhe oder die Geometrie; 4) die Größen in derBewegung oder die Astronomie (Sie glaubten, daß die Abstände der Planeten untereinander durch musikalischeIntervalle bestimmt seien, und die himmlische Musik, die beim Umlauf erklang, sei die "Harmonie derSphären"). Die Zahl ist nicht nur das Maß, sondern auch tiefster Grund aller Dinge: In den Zahlen besitzt derMenschengeist die Sprache Gottes ("Gott zählt.")Und nun zum Pythagoreischen Lehrsatz:Die ägyptischen Seilspanner konstruierten, wenn sie die Schlammfelder nach dem Rückgangder Nilfluten neu abzumessen hatten und einen rechten Winkel dazu brauchten, ein Dreieckmit den Seiten 3, 4 und 5 Maßeinheiten,wobei dann zwischen den Seiten 3 und 4der rechte Winkel lag. Weiters war dasQuadrat über der größten Seite, derHypotenuse, genau so groß wie dieSumme der Quadrate über den beidenanderen Seiten, den Katheten.Pythagoras nahm dieses Beispiel auf unduntersuchte, ob dahinter eine allgemeineGesetzmäßigkeit bestehe.Er und seine Schüler fanden heraus, daß injedem rechtwinkeligen Dreieck derFlächeninhalt des Quadrates über derHypotenuse (sie liegt als die größte Seite im Dreieck immer dem rechten Winkel gegenüber)gleich ist der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten ( die die Schenkeldes rechten Winkels bilden). Oder in der mathematischen Formelsprache:Formel: Lehrsatz des Pythagoras

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFernstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 12 - 2(Das Quadrat über der Hypotenuse ist flächengleich der Summe der Quadrate über denKatheten.Überprüfung des Satzes:Nimmt man links und rechtsjeweils die vier Dreiecke weg, sobleiben die grauen Quadrateüber. Der Flächeninhalt deslinken Quadrats ( c 2 ) ist gleichder Summe der Flächeninhalteder Quadrate in der rechten Figur( a 2 + b 2 ).Die Ägpter wußten schon 1000Jahre vor Pythagoras, daß es solche bestimmte rechtwinkelige Dreiecke gab:In der Hauptkammer der Cheopspyramide fanden sich die Maße von zwei "heiligen"Dreiecken: Die Seitenlängen des einen verhielten sich so wie 3 : 4 : 5 und die des anderenwie !Der Verdienst von Pythagoras war, daß er erstmals eine allgemeine Formulierung undGesetzmäßigkeit von solchen Dreiecken gab.12.2 Anwendungen des Satzes von Pythagoras auf ebeneFiguren1) Rechtwinkeliges DreieckIn jedem rechtwinkeligen Dreieck sind zwei Grundaufgaben möglicha) beide Katheten sind gegebena = 32 , b = 54, Hypotenuse c = ?c 2 = a 2 + b 2c 2 = 32 2 + 54 2c 2 = 3940c 62,77b) die Hypotenuse und eine Kathete ist gegebenc = 85 a = 38, Kathete b = ?85 2 = 38 2 + b 2 Umformung der Gleichungb 2 = 85 2 - 38 2 38 2 kommt auf die andere Seite und dieb 2 = 5781 ganze Gleichung wird umgedrehtb = 76,03

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFernstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 12 - 3Diese Grundaufgaben sind immer dann anwendbar, wenn ein rechtwinkeliges Dreieckvorliegt. Das ist auch dann der Fall, wenn wir eine Figur in rechtwinkelige Teildreieckeeinteilen. Auch im rechtwinkeligen Dreieck gibt es zwei rechtwinkelige Teildreiecke durchdie Höhe h auf die Hypotenuse( Die beiden anderen Höhen fallen im rechtwinkeligen Dreieck mit den beiden Kathetenzusammmen)Nun ein etwas komplizierteres Beispiel:c = 78, a = 52,Zu berechnen sind die Kathete b , derFlächeninhalt, die Länge der Höhe h und dieLängen der beiden Hypotenusenabschnittep und q (siehe Skizze)Zur Fläche: Das rechtwinkelige Dreieck istja ein halbes Rechteck, darum gilt hier (nur hier) die Formelc 2 = a 2 + b 278 2 = 52 2 + b 2b 2 = 78 2 - 52 2b = 58,14A 1511,58Da die Fläche auf 2 Arten berechenbar ist, können wir die beiden Formeln gleichsetzen unddaraus h berechnen.So, nun wollen wir zum Abschluß noch die beiden Hyptenusenabschnitte berechnen. Durch die Höhe wird dasrechtwinkelige Dreieck in zwei rechtwinkelige Dreiecke geteilt. In jedem dieser Teildreiecke gilt wieder der Satzv. Pyth., aber aufgepasst, die Bezeichnungen sind jetzt anders. Man sucht zuerst die längste Seite, die dieHypotenuse ist. In unserem Fall ist dies im linken Teildreieck die Seite b. Daraus ergibt sich, dass die Seiten hund q die beiden Katheten sind. Also gilt folgender Ansatzb 2 = h 2 + q 258,14 2 = 38,76 2 + q 2q 2 = 58,14 2 - 38,76 2q = 43,33Im rechten Teildreieck würde gelten

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFernstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 12 - 4a 2 = h 2 + p 2 oder aus c = p + q ergibt sich p = c – q p = 78 – 43,33 = 34,67Nach dieser längeren Aufgabe sollen Sie sich besonders gemerkt haben: Die Einteilung vonFiguren in rechtwinkelige Teildreiecke und dann die Aufstellung des Satzes v. Pyth. mit denentsprechenden Symbolen der Seiten im rechtwinkeligen Teildreieck. Daher ist es wichtig,daß Sie den Satz v. Pyth. immer so sehen: Das Hypotenusenquadrat ist gleich der Summe derKathetenquadrate. Am besten Sie gehen immer von der längsten Seite aus (=Hypotenuse) unddann ergeben sich ja die zwei Katheten. Es ist auch wichtig, daß Sie wissen, mit Hilfe vonHöhen (stehen senkrecht auf eine Seite --rechter Winkel) und Diagonalen lassen sich inebenen Figuren rechtwinkelige Teildreiecke finden. So kann der Satz v. Pyth. in vielenFiguren angewendet werden.2) RechteckdSie sehen, die Diagonale d teilt das Rechteck in zwei rechtwinkeligeDreiecke, und so können wir die Diagonale berechnen.d 2 = a 2 + b 2d 2 = 82 2 + 17 2d = 83,74a = 82 b = 17 d = ?Rechteck: A = 2200 a = 62 b = ? d = ?A = a . b d 2 = a 2 + b 22200 = 62 . b / : 62 d 2 = 62 2 + 35,48 2b = 35,48 d = 71,443) QuadratNun wollen wir mit Hilfe des Satzes v. Pyth. eine allgemeine Formelfür die Diagonale eines Quadrates herleiten.Wir arbeiten jetzt nichtmit Zahlen, sondern mit Symbolen wie in der Algebra.d 2 = a 2 + a 2d 2 = 2 a 2Man kann nun von jedem Faktor die Wurzel ziehen.(a ist eine Länge und daher nicht negativ, somit )Dies ist eine wichtige Formel zum Merken!!!Quadrat: a = 7,43 d = ? A = ?

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFernstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 12 - 6(zuerst berechnen, mit STO speichern, erst dann mit 2 multiplizieren:)(RCL x 53 =)5) Gleichseitiges DreieckDas gleichseitige Dreieck gehört zu den “ausgewogenen” Figuren wie Quadrat und Kreis, diemehrere Symmetrieachsen haben. Daher können wir hier viele Dreiecksstücke berechnen.Wie beim Quadrat können wir beim gleichseitigen Dreieck mit Hilfe des Satzes v. Pyth.Formeln herleiten. Die bekannteste Formel ist diejenige für die Höhe h (vgl. Diagonale imQuadrat).Wir merken unsbzw.Es gibt auch eine Formel für die Fläche:Damit ergibt sichbzw.6) ViereckeMan geht immer so vor, dass man ein Viereck in Teilfiguren zerlegt, meist in Dreiecke(möglichst rechtwinkelige Dreiecke).Beispiel: Deltoid a = 56 b = 86 f = 92 e = ?Wenn Sie sich so ein Deltoid ansehen, dann besteht es aus 4rechtwinkeligen Teildreiecken, die durch die normal aufeinanderstehenden Diagonalen gebildet werden. AC ist Symmetrieachse,daher müssen wir nur auf einer Seite Berechnungen anstellen. Fürdas Deltoid muß man sich merken, daß die Diagonale e in zweiTeile x und y von f zerlegt wird. Die Diagonale f wird von e halbiertund kommt daher immer nur alsvor.

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFernstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 12 - 8Beispiel 1:Gesucht ist der Inhalt der Mantelfläche eines Drehkegels mit dem Basisradiusder Höhe cm.Beispiel 2:cmcm².cm undDie Mantellinie eines Drehkegels ist 1,2 m lang, der Radius ist 1 m. Wie hoch ist der Kegel?mAls Beispiel für eine Pyramide dient uns eine gerade quadratische Pyramide. (Das ist dieForm, die auch die alten ägyptischen Pyramiden haben.)Wir können die Pyramide parallel zu den Basiskanten durchschneiden („Mittenschnitt“). DerQuerschnitt ist ein gleichschenkeliges Dreieck mit der Basis a (Kantenlänge), der Höhe h(Körperhöhe) und den Schenkeln (Höhe der Seitenfläche).hh ah ahaa2Aus dem rechtwinkeligen Dreieck lässt sich die Beziehung herleiten:Wenn wir eine Beziehung zwischen der Seitenkante und der Körperhöhe herstellen wollen,müssen wir die Pyramide diagonal durchschneiden („Diagonalschnitt“):shshEs gilt nach dem Lehrsatz von Pythagoras:

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFernstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 12 - 9Schließlich kann man aus den Seitenflächen (die bei einer geraden quadratischen Pyramidealle 4 gleich sind) eine Beziehung zwischen a, h und h a herleiten:s s sh ah aaa2