Lektion 7: GEOMETRISCHE GRUNDBEGRIFFE

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFerstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 7 - 3Man kann daher die Frage stellen, wie weit dieser Punkt von der Geraden entfernt ist. Nur -welcher Abstand ist damit gemeint?Damit die Sache eindeutig wird, nimmt man immer den kürzesten aller möglichen Abstände (inder Skizze fett eingezeichnet).Man nennt diesen den Normalabstand des Punktes P von der Geraden g und bezeichnet ihnmeistens mit "d" (für "Distanz"). d und g müssen immer senkrecht (normal) aufeinander stehen!7.3. Das kartesische KoordinatensystemBevor wir unsere Betrachtungen über Geraden fortsetzen, wollen wir uns überlegen, wie wir diegenaue Lage von Punkten (und damit auch von Geraden) in der Zeichenebene angeben können:Die Idee dabei ist folgende:Man zeichnet zwei Geraden, die einander rechtwinklig schneiden, und kann dann für jeden Punktangeben, wie weit er von diesen beiden Achsen entfernt liegt (Normalabstände!).Genauer:Die beiden Geraden heißenKoordinatenachsen. Ihr Schnitt-punkt 0wird als Ursprungdes Koordinatensystems bezeichnet.Die waagrechte Achse heißtx-Achse oder Abszisse, die senkrechte Achseheißt y-Achse oder Ordinate.Auf beiden Achsen werden gleicheMaßeinheiten aufgetragen (meist wählt manals Einheit 1 cm).Dabei werden auf der x-Achse wie bei derZahlengeraden (vgl. 1.10 u. 1.11) diepositiven Werte rechts vom Ursprung, dienegativen Werte links davon abgetragen.Auf der y-Achse liegen die positiven Werteoberhalb des Ursprungs, die negativen Werteunterhalb.(Die y-Achse ist sozusagen eine zweite, nach linksgedrehte Zahlengerade.)Jedem Punkt der Zeichenebene kann nun eindeutig ein Zahlenpaar (x/y) zugeordnet werden, wobeidie erste Zahl x (die x-Koordinate) den Normalabstand des Punktes von der y-Achse, die zweiteZahl y (die y-Koordinate) den Normalabstand des Punktes von der x-Achse angibt. Umgekehrtwird durch die Angabe eines Zahlenpaares eindeutig ein Punkt der Zeichenebene festgelegt.z.B.: Die Punkte in der obigen Zeichnung haben folgende Koordinaten:, , ,x-Koordinate y-KoordinateBeachten Sie, dass Sie die Koordinaten in der richtigen Reihenfolge angeben (zuerstdie x-, dann die y-Koordinate) und vergessen Sie nicht auf das eventuell nötige Minus!Der Punkt P (3/4) liegt nämlich in der Zeichenebene woanders als der Punkt Q (4/3)!

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFerstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 7 - 76.5. Kreis und GeradeBisher hatten wir nur mit geraden Linien zu tun. Nun werden wir eine krumme Linie kennenlernen- den Kreis.Spricht man vom Kreis, so meint man manchmal die Kreisfläche, manchmal nur die Kreislinie.Wir werden im folgenden unter dem Begriff "Kreis" die Kreislinie meinen.Ein Kreis ist - wie auch die Gerade - eine Menge von unendlich vielen Punkten,die eines gemeinsam haben: Sie sind von einem festen Punkt gleich weit entfernt.Diesen festen Punkt nennt man Mittelpunkt (M), den gleichen Abstand zujedem beliebigen Punkt der Kreislinie den Radius (r).Symbolisch schreibt man dafür:In Worten: Der Kreis (besser: die Kreislinie) ist die Menge aller Punkte X, derenAbstand vom Mittelpunkt M immer gleich dem Radius r ist.Da man zur Angabe eines Kreises immer den Mittelpunkt und den Radius benötigt, ist die "Definition" in 6.1: "EinPunkt ist ein Kreis mit dem Radius Null" unsinnig, da hier der Begriff "Punkt" mit Hilfe des Begriffes (Mittel-)Punkterklärt wird!Zum Zeichnen von Kreisen benötigen Sie unbedingt einen ZIRKEL! Sie müssen den Radius amLineal abnehmen, im Mittelpunkt einstechen und erhalten mit einiger Übung schöne Kreise.Mit einem weiteren Begriff sind Sie sicher vertraut: Der doppelte Radius wird Durchmesser (doder ) genannt, also: d = 2r.LAGEBEZIEHUNGEN ZWISCHEN KREIS UND GERADE1) Die Gerade schneidet den Kreis in 2 Punkten:g heißt dann SEKANTE, und sind die Schnittpunkte.Man schreibt:2) Die Gerade berührt den Kreis in genau einem Punkt:Jener Teil der Sekante, der innerhalb des Kreises liegt (also dieStrecke ) wird als Sehne bezeichnet.g heißt in diesem Fall TANGENTE, T ist der Berührpunkt.Man schreibt: .Beachten Sie ganz besonders, daß die Tangente und der"Berührradius" MT einen rechten Winkel einschließen!3) Die Gerade geht am Kreis vorbei:g heißt hier PASSANTE; es gibt weder Schnitt- noch Berührpunkte.Man schreibt daher: .

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFerstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 7 - 10Die Streckensymmetrale wird fast ausnahmslos zur Halbierung einer Strecke mit nicht ganzzahligeroder unbekannter Länge verwendet, da sie eben genau durch den Halbierungspunkt derStrecke verläuft. Jede beliebige Strecke läßt sich also nur mit Zirkel und Lineal in 2, 4, 8, 16, ...gleiche Teile teilen.BEISPIEL:a) Die Strecke mit den Endpunkten und ist in zwei gleiche Teile zu teilen. Wielauten die Koordinaten des Halbierungspunktes?b) Welcher Punkt der x-Achse ist von P und Q gleich weit entfernt?Lösung:a) Man konstruiert die Streckensymmetrale und kann die Koordinaten von H direkt ablesen:.b) Da ja nicht nur H, sondern ALLE Punkte der Streckensymmetralen von P und Q gleich weitentfernt sind, ergibt sich der gesuchte Punkt als Schnittpunkt von mit der x-Achse:Der Name Streckensymmetrale leitet sich aus folgender Tatsache ab:Faltet man das Zeichenblatt entlang der Streckensymmetralen, so kommen die Endpunkte A und Bder Strecke genau aufeinander zu liegen. Mit anderen Worten: Die Streckensymme-trale wirkt wieein Spiegel: A ist der "Urpunkt", B der "Bildpunkt" bzw. das Spiegelbild (oder umgekehrt).Man sagt: A und B liegen symmetrisch und nennt auch Symmetrieachse.Kennt man die Symmetrieachse und einen Urpunkt, so läßt sich ganz einfach der Bildpunktkonstruieren, wenn man folgendes beachtet (denken Sie an einen Spiegel!):♦ Symmetrisch liegende Punkte sind von der Symmetrieachse gleich weit entfernt.♦ Die Verbindungsstrecke symmetrisch liegender Punkte steht zur Symmetrieachse normal.Dieses Konstruktionsverfahren von Bildpunkten heißt SPIEGELUNG.BEISPIEL:Der Punkt ist a) an der x-Achse, b) an der y-Achse zu spiegeln. Wie lauten dieKoordinaten des gespiegelten Punktes?Lösung:a) (die Symmetrieachse ist diex-Achse)b) (die Symmetrieachse ist diey - Achse)An diesem Beispiel erkennt man:Spiegelt man einen Punkt an der x-Achse, so ändert sich dasVorzeichen seiner y-Koordinate; spiegelt man ihn an der y-Achse, so ändert sich das Vorzeichen seiner x-Koordinate.Mit anderen Worten: Unterscheiden sich die Koordinaten zweier Punkte nur durch ein Vorzeichen,so liegen diese Punkte symmetrisch zur x- bzw. y-Achse.

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFerstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 7 - 11ÜBUNGSAUFGABEN zu Abschnitt 6.6:Ü1) Teilen Sie die Strecke nur mit Zirkel und Lineal in 4 gleiche Teile!Ü2) Zeichnen Sie einen Kreis mit beliebigem Radius und nehmen Sie zwei beliebige Punkte P undQ auf dieser Kreislinie an. Konstruieren Sie nun die Streckensymmetrale der Sehne PQ!a) Wenn Sie exakt arbeiten, verläuft diese Streckensymmetrale genau durch den Mittelpunktdes Kreises. Können Sie begründen, warum das immer so sein muß?b) Wie könnte man diese Tatsache ausnützen, um zum Beispiel von einem runden Bierdeckeldie genaue Position seines Mittelpunkts zu ermitteln?Ü3) Welcher Punkt der y-Achse ist von den beiden Punkten und gleich weitentfernt?Ü4) Das Dreieck mit den Eckpunkten , und ist an der Geradenzu spiegeln. Wie lauten die Koordinaten der gespiegelten Punkte ,und ? Was fällt Ihnen auf?Hinweis: Spiegeln Sie nur die Eckpunkte und verbinden Sie diese dann!Ü5) Die folgenden Punkte werden zuerst an der x-, dann an der y-Achse gespiegelt. Wie lauten dieKoordinaten der gespiegelten Punkte?a) b) c) d) e)7.7. Einteilung der WinkelWenn Sie die Zeiger einer Uhr ohne Ziffernblatt betrachten,können Sie ohne weiteres anhand der Stellung der beidenZeiger zueinander die ungefähre Uhrzeit angeben:Diese Stellung der Zeiger zueinander läßt sich stets durcheinen geeigneten Winkel beschreiben.Ein anderes Beispiel:Nehmen Sie Ihren Zirkel zur Hand, halten Sie einen Zirkelschenkel fest und öffnen Sie den Zirkel.Dabei beschreibt der zweite Schenkel eine Drehung und bildet mit dem festgehal-tenen SchenkelWinkel von wachsender Größe:Wir können daher sagen:Der Winkel ist ein Maß für die Größe einer Drehung.Bei Winkeln sind folgende BEZEICHNUNGEN üblich:S ..... Scheitela, b .. Schenkel (das sind die Strahlen, die von S ausgehen)Der Winkelbogen veranschaulicht die Drehung.Winkel werden fast ausnahmslos mit griechischen Kleinbuchstabenbezeichnet: α (Alpha), β (Beta), γ (Gamma), δ (Delta), ε (Epsilon), ...

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFerstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 7 - 12Wird der Schenkel b bei festbleibendem Schenkel a gegen den Uhrzeigersinn gedreht, ergebensich folgende Möglichkeiten zur EINTEILUNG DER WINKEL:rechter Winkel gestreckter Winkel voller Winkel(entspricht einer (entspricht einer (entspricht einerVierteldrehung) halben Drehung) ganzen Drehungspitzer Winkel stumpfer Winkel erhabener Winkel(ist kleiner als ein (ist größer als ein rechter (ist größer als ein gestreckrechterWinkel) Winkel, aber kleiner als ter Winkel, aber kleiner alsein gestreckter Winkel) ein voller Winkel)Die ersten drei Winkelarten (rechter, gestreckter und voller) sind sozusagen die "Grenzfälle".Bemerkung:Da zwei Strahlen natürlich immer ZWEI Winkel miteinandereinschließen (siehe nebenstehende Skizze), ist es wichtig, stetsden Winkelbogen zu zeichnen - vor allem dann, wenn man anunserer Vereinbarung "b wird von a weggedreht" nicht mehr festhält bzw. die Schenkel andersoder gar nicht bezeichnet.7.8. Messen und Zeichnen von WinkelnUm die Größe von Winkeln exakt angeben zu können, wird der volle Winkel (also eine volleDrehung) in 360 gleiche Teile geteilt.Die Einheit der Winkelmessung ist ein (Winkel-)Grad = 1° =des vollen Winkels.Es gilt daher für die im vorigen Abschnitt besprochenen Winkelformen:voller Winkel: 360°gestreckter Winkel: 180°rechter Winkel: 90°spitzer Winkel: zwischen 0° und 90°, z.B. 30°, 89°stumpfer Winkel: zwischen 90° und 180°, z.B. 100°, 145°erhabener Winkel: zwischen 180° und 360°, z.B. 225°, 270°, 300° Die Größe eines Winkels hängt NICHT von der Länge der Schenkel ab!

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFerstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 7 - 13Winkel werden mit dem Winkelmesser (auch auf dem Geodreieck vorhanden) gemessen bzw.gezeichnet. Dabei geht man folgendermaßen vor:Die längste Seite des Geodreiecks stellt einen gestreckten Winkel (180°) dar; auf dem (meist gelbunterlegten) Bogen sind die Winkelgrade eingezeichnet. (Unterhalb der gelben Skala befindet sich nocheine zweite Skala, die für uns aber momentan nicht von Interesse ist.)Der Nullpunkt der Längenskala stellt den Scheitel S dar,dieser ist daher mit dem Scheitel des zu zeichnenden oderzu messenden Winkels zur Deckung zu bringen; ebensomuß die Längenskala des Geodreiecks mit einem derWinkelschenkel zusammenfallen. Die Lage des zweitenSchenkels (bzw. die Größe des Winkels) kann dann auf dergelben Skala abgetragen bzw. abgelesen werden.Man liest ab:Haben Sie einen erhabenen Winkel zu messen oder zu zeichnen, sounterteilen Sie diesen am besten in 180° plus Restwinkel (der dann spitzoder stumpf ist) und messen nur den Restwinkel(siehe nebenstehende Zeichnung: )Da es z.B. in der Astronomie besonders wichtig ist, Winkel ganz exaktzu messen, unterteilt man noch in kleinere Einheiten:Dabei ist eine (Winkel-)Minute, eine (Winkel-)Sekunde.Beachten Sie, daß Sie sich hier nicht im Dezimalsystem befinden!Da die Umrechnung von Dezimalgraden (z.B. 34,586°) in Grad, Minuten und Sekunden (bzw. umgekehrt) daher etwasumständlich ist, verwenden Techniker oft die sogenannten Neugrad: Hierbei hat der rechte Winkel nicht 90 (Alt-)Grad, sondern 100 (Neu-)Grad, und 1 (Neu-)Minute entspricht 100 (Neu-)Graden etc.Daneben gibt es noch die Winkelmessung im Bogenmaß - doch damit werden wir uns erst im 5. Semesterbeschäftigen.Man kann Winkel im Gegenuhrzeigersinn messen (so wie wir es tun) oder im Uhrzeiger-sinn.Erstere sind "positive" Winkel, letztere "negative" Winkel; z.B. gilt:BEISPIELE:1) Ein Winkel läßt sich auch durch drei Punkte angeben (z.B. ), wobei der mittlere Punktstets der Scheitel S ist. Die beiden anderen Punkte liegen in der angeführten Reihenfolge aufdem Schenkel a bzw. b.Zeichnen Sie den Winkelund messen Sie ihn!Lösung:2) Geben Sie die Größe des kleineren Winkels an, den die beiden Zeiger einer Uhr um 15:30miteinander einschließen!

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFerstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 7 - 157.9. Komplementär- und SupplementärwinkelZwei Winkel heißen komplementär, wenn ihre Summe 90° ist.Zwei Winkel heißen supplementär, wenn ihre Summe 180° ist.Supplementärwinkel werden auch Nebenwinkel genannt.BEISPIELE:1) Der zu komplementäre Winkel ist , denn .Der zu supplementäre Winkel ist , denn .Der zu supplementäre Winkel ist , dennZu gibt es keinen Komplementär- und keinen Nebenwinkel.2) Beachten Sie die nebenstehende Skizze!Die Nebenwinkel von α sind β und δ, weilDie Nebenwinkel von β sind α und γ.Die Nebenwinkel von γ sind β und δ.Die Nebenwinkel von δ sind α und γ.7.10. Parallel- und NormalwinkelZeichnen Sie den Winkel .Verschieben Sie dann beide Schenkel parallel, sodaß ein neuer Winkel mit dem Scheitelentsteht. Messen Sie nun beide Winkel! Was fällt Ihnen auf?Höchstwahrscheinlich schaut Ihre Lösung folgendermaßen aus:Wie Sie sicher unschwer feststellen, sind beide Winkel gleich groß (nämlich 45°).Die obige Konstruktion ist aber nicht die einzige Möglichkeit - es gibt noch drei andere:

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFerstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 7 - 16Man erkennt: α und β sind supplementär! (d.h.: )Sind die Schenkel zweier Winkel paarweise parallel, so nennt man die beiden WinkelParallelwinkel.Parallelwinkel sind gleich groß oder supplementär.Zu jedem Winkel gibt es demnach zwei gleich große und zwei supplementäre Parallelwinkel.Stehen die Schenkel zweier Winkel paarweise zueinander normal, so nennt man die beiden WinkelNormalwinkel.Betrachten Sie dazu die beiden folgenden Zeichnungen:Man erkennt, daß der Winkel α lediglich um 90° gedreht wurde (und daher seine Größeunverändert bleibt), und daß α und β supplementär sind.Normalwinkel sind gleich groß oder supplementär.Zu jedem Winkel gibt es zwei gleich große und zwei supplementäre Normalwinkel.ÜBUNGSAUFGABEN zu Abschnitt 7.9 und 7.10:Ü1) Gegeben sind der Winkel sowie die Punkteund .a) Zeichnen Sie einen zu α gleich großen Parallelwinkel mit dem Scheitel U!b) Zeichnen Sie einen zu α supplementären Parallelwinkel mit dem Scheitel V!Ü2) Gegeben sind der Winkel sowie die Punkteund .a) Zeichnen Sie einen zu α gleich großen Normalwinkel mitdem Scheitel U!b) Zeichnen Sie einen zu α supplementärenNormalwinkel mit dem Scheitel V!Ü3) Wie groß sind in nebenstehender Zeichnung die Winkel β, γund δ, wenn ist?(Winkel nicht messen, sondern berechnen!)Ü4) Wie groß sind in den folgenden Figuren die nicht gegebenenWinkel?

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFerstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 7 - 17Ü5) Mit einem sogenannten NEIGUNGSMESSER lassen sichNeigungswinkel (wie etwa α in der nebenstehenden Skizze)messen. Erklären Sie, wie!7.11. Die WinkelsymmetraleZeichnen Sie einen beliebigen Winkel auf ein Blatt Papier und falten Siedieses dann so, daß die beiden Schenkel aufeinander zu liegen kommen.Beim Entfalten werden Sie feststellen, daß der Winkel durch die Faltliniein zwei spiegelbildlich gleiche Hälften geteilt wird. Diese Faltlinie heißtdaher Winkelsymmetrale.Zeichnen Sie nun einen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt S, der die beidenWinkelschenkel in den Punkten A und B schneidet. Die Strecke AB ist dann eine Sehne desKreises (vgl. 6.5), die außerdem durch die Faltlinie halbiert wird. Man kann daher auch sagen, daßdie Winkelsymmetrale nichts anderes ist als die Streckensymmetrale der Sehne AB. Damit ist aberauch klar, wie man die Symmetrale eines beliebigen Winkels konstruiert:KONSTRUKTION DER WINKELSYMMETRALEN:• Kreisbogen mit beliebigem Radius um den Scheitel S des gegebenen Winkels zeichnen, der diebeiden Winkelschenkel in 2 Punkten A und B schneidet• Streckensymmetrale der Sehne AB konstruieren = Winkelsymmetrale• Beachten Sie: Die Winkelsymmetrale muß durch den Scheitel S verlaufen!Wie Sie an der nebenstehenden Zeichnung erkennenkönnen, ist es NICHT notwendig, die Sehne AB zuzeichnen.Die Winkelsymmetrale des Winkels α wirdüblicherweise mit bezeichnet.Die Winkelsymmetrale hat außer der Tatsache, daß sie den Winkel halbiert, noch eine anderewichtige Eigenschaft:Zeichnen Sie nochmals einen beliebigen Winkel und dessenWinkelsymmetrale. Nehmen Sie dann einen beliebigenPunkt auf dieser Winkel-symmetralen an und messen Siedessen Normal-abstände von den Winkelschenkeln.Sie werden feststellen, daß diese Abstände gleich groß sind.Zusammenfassend läßt sich daher sagen:Die Winkelsymmetrale halbiert den Winkel. Jeder Punkt der

BG, BRG und WRG für Berufstätige in WienFerstudienlehrgang Mathematik 1. Semester 7 - 19Konstruktion von 60°:• Markieren Sie den Scheitel und zeichnen Sie einen derWinkelschenkel!• Schlagen Sie nun einen Kreisbogen mit beliebigem Radius r umden Scheitel!• Dort, wo dieser Kreisbogen den Schenkel schneidet, stechen Sienun ein und tragen auf dem Kreisbogen eine Sehne ab, die genauso lang sein muß wie der Radius des Kreisbogens. (Sie dürfen alsodie Zirkelstellung nicht verändern!)• Den Schnittpunkt, den Sie dabei erhalten, verbinden Sie mit dem Scheitel und sind fertig.(Worauf diese Konstruktion beruht, erfahren Sie später im Abschnitt über das gleichseitige Dreieck)Zeichnerisches Addieren und Subtrahieren von WinkelnEs ist uns nun z.B. auch möglich, Winkel wie 30°, 15°, ... durch fortgesetzte Halbierung zukonstruieren.Wie schaut es aber z.B. mit 105° aus?Nun - Sie müssen immer versuchen, solche Winkel in eine Summe oder Differenz konstru-ierbarerWinkel zu zerlegen. In unserem Fall ist es günstig, 105° als Summe von 60° und 45° aufzufassen.Wie aber summiert man Winkel zeichnerisch?Das ist ganz einfach, wie das folgende Beispiel zeigt:BEISPIEL:Es ist ein Winkel von 105° zu konstruieren.Lösung:Zunächst konstruieren Sie die beiden Winkel 60° (wie oben) und 45° (mit Winkelsymme-trale!).Dabei müssen Sie beachten, daß die beiden Kreisbögen den gleichen Radius r haben!Zu jedem dieser Kreisbögen gehört eine Sehne ( bzw. ), die Sie nun übertragen müssen:Sie nehmen dazu einen beliebigen Punkt S an, zeichnen davon ausgehend einen Strahl undschlagen um S mit dem gleichen Radius r wie vorhin einen Kreisbogen. Dieser schneidet denStrahl im Punkt A. Von A aus tragen Sie dann auf dem Bogen die Sehne ab und erhalten B. Nuntragen Sie von B aus die Sehne auf dem Bogen ab und erhalten den Punkt C, durch den derzweite Schenkel des gesuchten Winkels verläuft.(Die Sehnen müssen Sie nicht einzeichnen; nur die Schnittpunkte mit dem Kreisbogen müssen erkennbar sein.)Auf diese Weise lassen sich beliebig viele Winkel addieren - aber auch subtrahieren.Beim Subtrahieren müssen Sie lediglich beachten, daß Sie die Sehne des Winkels, der subtrahiertwerden soll, in die entgegengesetzte Richtung abschlagen.(z.B. ; möglich wäre auch , was aber länger dauert)