Nichtlineare Schwingungen - Laborversuch Einmassen ... - TTM

Institut�für�Thermische
Turbomaschinen�und�Maschinendynamik LV�319.060/319.061�(W)�Nichtlineare�Schwingungen
Gehrer�Arno;�Dipl.-Ing.�Dr.techn.,�Univ.-Ass.
�� Ermittlung�des�Fourier�-�Integrals�(es�wird�zur�Verallgemeinerung�noch�eine�Vorspannung�F0
berücksichtigt):�Außerdem�soll�C�immer�positiv�sein�!!
Erster�Abschnitt�(F0,�c1)
( )
�
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
� �
�
)
x
-
(x
c
dann�
�
,
x
x
�wenn�
0
0
0
2
1
0
2
0
0
2
0
2
x
x
x
x
)
x
x
sgn(
c
x
c
)
x
sgn(
F
)
x
(
F
)
t
(
d
)
t
sin(
)
t
sin(
C
F
1
)
C
(
I
>
=>
π
−
+
−
−
+
+
=
Ω
Ω
⋅
Ω
π
= �
( ) C
c
4
F
)
t
(
d
)
t
sin(
)
t
sin(
C
c
)
t
sgn(sin
F
1
)
C
(
I 1
0
2
0
1
0
1
⋅
+
π
=
Ω
Ω
⋅
Ω
+
Ω
π
= � π
Zweiter�Abschnitt�(c2)
( )
C
x
arcsin
x
)
sin(
C
�
:
�
mit
)
t
(
d
)
t
sin(
x
)
t
sin(
C
c
4
1
)
C
(
I
:
x
C
�
if
0
0
2
/
0
2
2
0
=
ϕ
=>
=
ϕ
Ω
Ω
⋅
−
Ω
⋅
π
=
> �
π
ϕ
�
�
�
�
�
�
ϕ
−
ϕ
ϕ
+
ϕ
−
π
π
=
�
�
�
�
�
�
�
�
Ω
+
Ω
Ω
−
Ω
π
=
π
ϕ
π
ϕ
)
cos(
x
2
)
cos(
)
sin(
2
/
C
4
c
)
C
(
I
)
t
cos(
x
2
)
t
cos(
)
t
sin(
t
C
4
c
)
C
(
I
0
2
2
2
/
0
2
/
2
2
�� Ergebnis:
( )
C
x
arcsin
mit
0
:
)
cos(
x
2
)
cos(
)
sin(
2
/
C
4
c
?
x
C
if
C
c
F
4
)
C
(
I
0
0
2
0
1
0
=
ϕ
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ϕ
−
ϕ
ϕ
+
ϕ
−
π
π
>
+
+
π
=
�� Anmerkung:�Das�Fourierintegral�I(C)�ist�auch�zur�Berechnung�der�(ungedämpften)�Eigenfrequenz�ω0
von�Bedeutung�:�(Harmonische�Balance):
)
t
sin(
C
z
:
Ansatz
0
)
z
(
F
z
m 0
ω
=
=
+
�
�
()
C
m
)
C
(
I
)
t
(
d
)
t
sin(
1
0
))
t
sin(
C
(
F
)
t
sin(
C
m
2
0
2
0
0
0
0
0
2
0
=
ω
=>
ω
ω
⋅
π
=
ω
+
ω
ω
− � π
� ( )
C
x
arcsin
mit
0
:
)
cos(
C
x
2
)
cos(
)
sin(
2
/
4
m
c
?
x
C
if
m
c
4
mC
F 0
0
2
0
1
0
2
0
=
ϕ
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ϕ
−
ϕ
ϕ
+
ϕ
−
π
π
>
+
+
π
=
ω
=>
Om(C)�:�x0=1.5�F0=0�c1=1�c2=2�m=1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 1 2 3 4 5 6
C
Omega
Omega�(HB) Omega�(Ruku)
Om(C)�:�x0=1.5�F0=0�c1=1�c2=-1.4 �m=1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
C
Omega
Omega�(HB) Omega�(Ruku)
=>�auch�hier�wiederum�sehr�gute�Übereinstimmung�mit�Runge�-Kutta-Rechnung�im�überlinearen
Bereich�(c2>0),�geringfügige�Abweichungen�allerdings�im�(nur�theoretisch�denkbaren)�unterlinearen
Bereich�(c2