Entwicklung eines 3D-Navier-Stokes Codes zur numerischen ...

Entwicklung eines 3D-Navier-Stokes
Codes zur numerischen Berechnung
der Turbomaschinenströmung
Arno Gehrer

Entwicklung eines 3D-Navier-Stokes
Codes zur numerischen Berechnung der
Turbomaschinenströmung
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der technischen Wissenschaften,
eingereicht an der
Fakultät für Maschinenbau der Technischen Universität Graz
von
Dipl.-Ing. Arno Gehrer
Erstbegutachter: Prof. Dr. techn. H. Jericha
Institut für Thermische Turbomaschinen und
Maschinendynamik,
Technische Universität Graz
Zweitbegutachter: Prof. Dr. techn. K. Pucher
Institut für Verbrennungskraftmaschinen und Thermodynamik,
Technische Universität Graz
Graz, im Oktober 1998

Vorwort
Diese Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter und
in weiterer Folge als Universitätsassistent am Institut für Thermische Turbomaschinen
und Maschinendynamik der Technischen Universität Graz. Die Idee zu dieser Arbeit
kam von Univ.-Prof. Dr. Herbert Jericha, der großes Interesse an den Ergebnissen
zeigte. Ich danke ihm für die Unterstützung und für das während der Arbeit gewährte
Vertrauen sehr. Mein Dank gilt auch Univ.-Prof. Dr. Karl Pucher für die Übernahme
der Zweitbegutachtung.
Ich möchte mich auch bei allen bedanken, die mich bei diesem Projekt unterstützt
haben, insbesondere bei Dipl.-Ing. Wolfgang Artner, Dipl. Ing. Ales Schuemie und
Dipl. Ing. Johannes Mayerhofer, die mir bei der Programmierung des Rechen-
algorithmus und bei der Validierung des Rechenverfahrens sehr behilflich waren.
Dank gebührt weiters Dipl. Ing. Alois Goller vom Institut für maschinelles Sehen und
Darstellen der TU-Graz, dem ich im Zuge der Optimierung und Beschleunigung des
Computerprogrammes wertvolle Tips zu verdanken habe.
Besonderer Dank gilt auch Ao.Univ.-Prof. Johann Lang und Univ.-Prof. Otto Röschel
vom Institut für Geometrie der TU-Graz, die mir bei Fragen zur Definition der
Geometrie und bei Problemen der Rechennetzgenerierung stets weitergeholfen haben.
Weiters sei an dieser Stelle Prof. Tony ARTS vom "Von Karman Institute for Fluid
Dynamics (VKI)" für die zur Verfügungstellung von Meßdaten sowie für die
Kooperationsbereitschaft während der im Rahmen von "ERCOFTAC - Seminar and
Workshop on 3D Turbomachinery Flow Prediction VI" durchgeführten Berechnungen
gedankt.
Diese Arbeit wurde aus Mitteln des Fonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung
(FWF) im Rahmen des Projektes S6801-TEC gefördert.
Graz, im Oktober 1998 Arno Gehrer

Kurzfassung
In dieser Arbeit wird ein Zeitschrittverfahren auf Finite-Volumen Basis zur Berechnung der
dreidimensionalen, kompressiblen, reibungsbehafteten und turbulenten Strömung in Schaufelgittern
thermischer Turbomaschinen vorgestellt.
Bei der verwendeten Berechnungsmethode, die sowohl sub- als auch transsonische Strömungen
berechnen kann, erfolgt die Diskretisierung der konvektiven Terme entweder mit einem TVD-
Upwindverfahren oder, alternativ dazu, mittels eines zentralen Verfahrens mit numerischer
Dissipation. Die diffusiven Terme und allfällige Quellterme werden mit Hilfe eines zentralen
Verfahrens diskretisiert.
Die zeitliche Integration der Erhaltungsgleichungen kann, unabhängig von der räumlichen
Diskretisierung, mit einem expliziten Vierschritt-Runge-Kutta-Verfahren oder mit einem voll
impliziten Zeitschrittalgorithmus durchgeführt werden. Die im Falle der impliziten Zeitintegration für
jeden Zeitschritt notwendige Lösung des sehr großen nichtlinearen Gleichungssystems wird durch
Anwendung eines Newton-Algorithmus und einer Gauß-Seidel Relaxationstechnik auf die iterative
Lösung blocktridiagonaler Gleichungssysteme reduziert.
Für stationäre Berechnungen wird die Konvergenz durch die Verwendung lokal veränderlicher
Zeitschritte und durch die gleichzeitige Verwendung unterschiedlich feiner Rechengitter (Multi-Grid)
beschleunigt.
Die Modellierung der turbulenten Schwankungsbewegung erfolgt durch drei verschiedene
Wirbelviskositätsmodelle (0-Gleichungs-, 1-Gleichungs-, 2-Gleichungsmodell), welche die
Auflösung von Wandgrenzschichten bis in die laminare Unterschicht hinein erfordern (Low-Re-
Modelle).
Das Berechnungsgebiet wird in mehrere strukturierte Rechennetze unterteilt (Multiblock), die
wiederum einer vom Benutzer beliebig vorgegebenen Netzbewegung und Netzverformung unterliegen
können, wobei in dem für Turbomaschinen wichtigen Sonderfall der gleichförmigen Rotation auf die
Beschreibung im Relativsystem mit absoluten Größen übergegangen werden kann. Die Generierung
dieser Multiblocknetze erfolgt einerseits mit algebraischen Methoden, basierend auf Bézier-Kurven
und Flächen, die zusätzlich mit einem differentiellen Netzgenerierungs-verfahren kombiniert werden.
Diese Werkzeuge zur Netzgenerierung gestatten die benutzerdefinierte Steuerung der Netzverteilung
sowie ein möglichst orthogonales Aufsetzen der Netzlinien an den Berandungen.
Die Validierung des entwickelten Rechenprogrammes erfolgt zunächst mit reibungsfreien oder
laminaren Strömungsproblemen, deren analytische Lösung bekannt ist und die möglichst gezielt die
einzelnen Programmodule abtesten sollen (Lavaldüse, Stoßwellenrohr, Hobson-Impulsgitter,
schwingendes Plattengitter, rotierendes Gefäß, laminare ebene Plattengrenzschicht).
Ein Vergleich der implementierten Zeitschrittverfahren wird anhand einer ebenen, instationären
laminaren Wirbelstraße mit Re1=100 gezeigt.
Weiters werden ebene turbulente Strömungen im Vergleich mit Meßdaten zur Verifizierung der
Turbulenzmodellierung herangezogen (turbulente ebene Plattengrenzschicht, transsonische
Tragflügelströmungen, Nachlauf hinter einem Turbinengitter, Wärmeübergang an einer
transsonischen Leitschaufelkaskade), wobei speziell bei Wärmeübergangsberechnungen auf die
Problematik der Transitionsvorhersage eingegangen wird.
Schließlich wird anhand der 3D-Strömungssimulation einer transsonischen Turbinenkaskadenströmung
mit Reibung und Turbulenz der Vergleich mit Meßdaten, insbesondere im Hinblick auf
Sekundäreffekte durchgeführt.
Abschließend werden noch 3D-Euler-Stufenberechnungen zur aerodynamischen Auslegung der
transsonischen Versuchsturbinenbeschaufelung des Institutes für thermische Turbomaschinen sowie
Berechnungen, die im Rahmen des am ITTM durchgeführten Turbinenschaufelkühlungs-projektes
durchgeführt wurden, dokumentiert.

ABSTRACT
Subject of this work is the development of a Navier-Stokes solver for computing the threedimensional,
compressible, viscous and turbulent flow in thermal turbomachines. In the present
work, a time-stepping algorithm, based on a cell-centred finite volume concept is introduced.
The convective (Euler) parts are discretized either using a third-order-accurate, TVD-upwind scheme
or a by applying a central difference method, coupled with a non-linear artificial dissipation model.
In order to construct the numerical viscous flux vector at the cell interfaces, it is necessary to
evaluate first-order derivatives of the dependant variables, which is done in a central-differencing
manner, using Green's theorem.
The governing equations are discretized in time using the Euler implicit method leading to a set of
non-linear finite difference equations which is solved using a Newton procedure. Alternatively the
explicit four stage Runge-Kutta time-stepping scheme is adopted.
In stationary simulations convergence is optimised by using a local time step based on a local
stability criterion. Furthermore, a Multi-Grid procedure is used to accelerate convergence to a steady
state.
The turbulent stresses are calculated using the Boussinesq assumption, which relates the turbulent
stress tensor with the mean strain-rate tensor by an eddy viscosity μt. The eddy viscosity is modelled
using either an algebraic turbulence model, a one-equation turbulence model or a low-Reynoldsnumber
k-ε model.
In order to discretize the flow region, moving body-fitted Multi-Block grids, which are generated
with an algebraic method, based on Bézier curves and/or a numerical technique, are introduced.
The code is tested on simple benchmark problems (Laval-nozzle, shock-tube, Hobson's blade profile,
vibrating cascade of flat-plates, laminar flat-plate boundary layer) where analytical solutions are
available. The performance of the implemented time-stepping schemes is investigated by computing
the unsteady vortex shedding past a cascade of cylinders.
Several turbulent flow problems (turbulent flat-plate boundary layer, transonic airfoil flows, the
wake flow downstream of a linear turbine cascade, external heat transfer predictions in a highlyloaded
transonic linear turbine guide vane cascade, secondary flow effects in a transonic cascade)
are considered to validate the present solver.
Finally 3D computations, which were carried out during the design of the institute's transonic test
turbine and simulations of underexpanded transonic jet layers, applied to gas turbine blade film
cooling are presented.

Inhalt
EINLEITUNG 1
1. Forschungsarbeiten am ITTM 1
2. Physikalische Vorgänge in Schaufelreihen 2
3. Überblick über die numerische Strömungsberechnung in Turbomaschinen 3
4. Aufgabenstellung und Auswahl des numerischen Verfahrens 8
5. Bemerkungen zur Gliederung der eingereichten Dissertation 10
1. GRUNDGESETZE DER STRÖMUNGSMECHANIK 12
1.1 Transporttheorem für Volumenintegrale 12
1.2 Erhaltung der Masse (Kontinuität) 13
1.3 Impulssatz 13
1.4 Energiesatz 13
1.5 Die Navier-Stokes Gleichungen in Flußvektorschreibweise 13
1.6 Bilanz am Oberflächenelement (Cauchy'sche Formel) 14
1.7 Schubspannungen und Wärmeströme für laminare Strömungen 15
1.8 Zeitliche Mittelung der Navier-Stokes Gleichungen 15
1.8.1 Definition: Reynolds/Favre-Mittelung 15
1.8.2 Turbulente Spannungen 15
1.8.3 Turbulente Energieströme 16
1.9 Ansatz von Boussinesq, Wirbelviskosität μt 17
1.10 Reynolds/Favre-gemittelte Navier-Stokes Gleichungen 18
1.11 Verwendete Turbulenzmodelle 18
1.11.1 Algebraisches Turbulenzmodell nach Arnone & Pacciani, 1996 19
1.11.2 Eingleichungsmodell nach Spalart & Allmaras, 1994 20
1.11.3 Low-Re k-ε Modell nach Biswas und Fukuyama, 1994 22
2. NUMERISCHER LÖSUNGSALGORITHMUS 24
2.1 Strukturiertes Rechennetz 25
2.2 Netzbewegung/Netzverformung 26
2.3 Zusätzlicher Quellterm für gleichförmige Rotation 27
2.4 Approximation der Volumenintegrale und der Quellterme 28
2.5 Diskretisierung der Eulerflüsse 29
2.5.1 Finite-Volumen-Formulierung des Eulerflusses 29
2.5.2 Stabilitätsbetrachtung des Konvektionsproblems 30
2.5.3 Numerisch stabile Approximation des Konvektionsproblems durch
vorzeichenrichtige, einseitige Diskretisierung der charakteristischen
Gleichungen 32
2.5.4 TVD Upwind Verfahren nach ROE, 1981 33
2.5.5 Zentrales Verfahren mit numerischer Dissipation 37
2.6 Diskretisierung der Diffusiven Flüsse Eν 38
2.6.1 Finite-Volumen-Form des Diffusiven Flusses 38
2.6.2 Geschwindigkeits/Temperatur-Gradienten zur Bestimmung der
Schubspannungen und Wärmeströme 38
2.6.3 Thinlayer-Approximation der Diffusionsflüsse 41
2.7 Semi - diskrete Erhaltungsform 41
2.8 Implementierung der Randbedingungen 42
2.9 Zeitliche Integration der semi-diskreten Erhaltungsform 45

Inhalt
2.9.1 Explizites Vier Schritt Runge-Kutta Verfahren 45
2.9.2 Implizites Verfahren 46
2.10 Konvergenzbeschleunigungstechniken für stationäre Probleme 50
2.10.1 Lokales Zeitschrittverfahren 50
2.10.2 Mehrgitterverfahren (Multigrid) 51
3. NETZGENERIERUNG 55
3.1 Werkzeuge zur Rechennetzgenerierung im ℜ2 55
3.1.1 Definition der Berandungen 56
3.1.2 Rechennetz zwischen zwei parametrisch gegebenen Kurven mittels Bézier-
Kurven dritter Ordnung 56
3.1.3 Steuerung der Netzverteilung 57
3.1.4 Vergleichmäßigung der Netze durch die Lösung partieller elliptischer
Differentialgleichungen 58
3.2 Beispiele für 2D-Multiblock-Netzkonfigurationen zur Berechnung der
Turbomaschinenströmung 61
3.3 Generierung von 3D-Netzen für axiale Turbomaschinen 63
PAPER 1 66
4. VALIDIERUNG DES RECHENVERFAHRENS 75
4.1 Berechnung der reibungsfreien Strömung in einer Lavaldüse
mit Verdichtungsstoß 76
PAPER 2 80
4.2 Berechnung der Strömung in einem Stoßwellenrohr 90
4.3 Kolbenbewegung in einem Rohr 92
4.4 Erstes Impulsgitter von Hobson 93
4.5 Das schwingende Plattengitter 97
4.6 Gleichförmig rotierendes geschlossenes Gefäß 100
4.7 Laminare ebene Plattengrenzschicht 101
4.8 Laminare Wirbelstraße hinter einer Zylinderkaskade 104
4.9 Turbulente Plattengrenzschicht 108
4.10 Transsonische Tragflügelströmungen 112
4.11 Nachlauf hinter einem Turbinengitter (Bemerkungen zu PAPER 3) 117
PAPER 3 118
4.12 Wärmeübergang an einer Leitschaufelkaskade (Bemerkungen zu PAPER 4) 129
PAPER 4 132
4.13 Sekundärströmungen in einer transsonischen Turbinenkaskade 141

Inhalt
5. AUSLEGUNGSRECHNUNGEN ZUR VERSUCHSTURBINE DES ITTM 155
5.1 Nachrechnung der Ergebnisse aus Paßrucker, 1997 156
5.2 Entwurf einer neuen Leitschaufel 163
PAPER 5 172
ZUSAMMENFASSUNG 181
LITERATURANGABEN 183

Einleitung 1
Einleitung
Die Verfeuerung fossiler Energieträger, die vor Jahrmillionen entstanden und somit nur im
begrenzten Ausmaße verfügbar sind, richtet irreparable ökologische Schäden an Natur und
Umwelt an. Während der Umstieg auf regenerative Energiequellen eine längerfristige, aber
notwendige Zukunftsperspektive ist, muß mittelfristig bei der Senkung des Energieverbrauchs
durch den Einsatz neuer Technologien angesetzt werden. Die Kraftwerkstechnik, die einen
beträchtlichen Anteil am Verbrauch fossiler Energieträger hat, kann durch neue Arten der
Prozeßführung sowie durch Verbesserung der Wirkungsgrade der Einzelkomponenten den
Wirkungsgrad der Energieumsetzung erhöhen.
In dieser Hinsicht kommt der Optimierung der zur Stromerzeugung eingesetzten thermischen
Turbomaschinen sehr große Bedeutung zu. Schon geringe Wirkungsgradverbesserungen
bewirken eine merkliche Erhöhung des Gesamtwirkungsgrades des Kraftwerkes.
Neben Maßnahmen, wie der Erhöhung der Turbineneintrittstemperatur ist auch die
rechnerische Erfassung der Strömung in den Schaufelkanälen ein wichtiger Beitrag zur
optimalen Auslegung, Leistungssteigerung und Wirkungsgradverbesserung thermischer
Turbomaschinen.
Um die Strömungssituation möglichst wirklichkeitsgetreu zu erfassen, werden immer größere
Ansprüche an die Stömungsrechnung gestellt. Mit der rasanten Entwicklung in der
Computerindustrie und der damit verbundenen Steigerung der Rechenleistung können moderne
Strömungssimulationsprogramme neben Effekten wie Transsonik, Reibung, Turbulenz und
Dreidimensionalität auch den instationären Charakter der Strömung berücksichtigen. Ein
solches Rechenprogramm ermöglicht dem Ingenieur ein detailliertes Verständnis der
Strömungssituation und schafft damit die Vorraussetzung für ein optimales aerodynamisches
Design moderner Turbomaschinenbeschaufelungen.
1. Forschungsarbeiten am ITTM
Diese Arbeit gliedert sich ein in die vom österreichischen Fonds zur Förderung der
wissenschaftlichen Forschung (FWF) unterstützten Forschungsprojekte, welche derzeit am
Institut für Thermische Turbomaschinen und Maschinendynamik der TU-Graz (ITTM)
durchgeführt werden.
Forschungsschwerpunkt S68 "Thermische Energieerzeugung –Wirkungsgradsteigerung
und Emissionsminderung von Wärmekraftwerken"
Dieser Forschungsschwerpunkt ist derzeit der größte im Bereich der
österreichischen Ingenieurswissenschaften und wurde von o.Univ.-Prof. Dr.
Herbert Jericha, Leiter des Institutes für Thermische Turbomaschinen und
Maschinendynamik, initiiert.
Die Aufgabenstellung dieses Schwerpunktes ist die Optimierung und
Emissionsminderung bei der Energieproduktion durch thermische Kraftwerke.
Neben der Optimierung der Turbomaschinen eines thermischen
Kraftwerksprozesses, (Projekte S6801, S6807 und S6809), sollen auch

Einleitung 2
Verbesserungen des gesamten thermischen Prozesses gesucht werden (Projekt
S6811).
Unterstützt werden diese Bemühungen durch die Suche nach neueren,
temperaturbeständigeren Werkstoffen (Projekt S6805).
Projekt S6801: "Wirkungsgradsteigerung durch Strömungsoptimierung"
Das Ziel dieses Projektes ist die Verbesserung der Strömung durch
Turbomaschinenbeschaufelungen und damit des Gesamtwirkungsgrades von
Turbomaschinen. Deshalb sollen Messungen der Strömung durch eine
transsonische Versuchsturbine, die im Rahmen dieses Projektes gebaut wird (s.
Dissertation Erhard, 1998), ein besseres Verständnis dieser komplizierten
Strömungssituation erlauben.
Andererseits sollen diese Messungen als Grundlage für die Entwicklung effizienter
numerischer Verfahren für die Strömungsvorhersage in thermischen
Turbomaschinen dienen.
Einen wissenschaftlichen Beitrag zur Entwicklung numerischer Rechenmethoden für
Turbomaschinenströmungen zu leisten ist Ziel dieser Dissertation, welche im Rahmen des
Forschungsprojektes S6801 durchgeführt wurde.
2. Physikalische Vorgänge in Schaufelreihen
Die reale Strömung durch Schaufelreihen von Lauf- und Leiträdern ist entsprechend der
komplexen Geometrie dreidimensional, reibungsbehaftet, turbulent (Reynoldszahlen ≈10 6 ),
Abb.1: Strömungsvorgänge in Schaufelreihen thermischer Turbomaschinen

Einleitung 3
instationär und im Falle von transsonischer Strömung auch stoßbehaftet. Einen Überblick über
einige typische Strömungsvorgänge innerhalb einer Schaufelreihe zeigt Abb. 1.
Durch die Umlenkung der Strömung in der Schaufel entstehen große Druckunterschiede in
axialer, radialer und in Umfangsrichtung. Durch die Reibung entstehen an den
Festkörperoberflächen der Seitenwände und der Schaufeln Grenzschichten, die stromabwärts
der Schaufelhinterkante ein Nachlaufgebiet erzeugen. Die Strömung kann laminar,
transitional oder voll turbulent sein, sie kann bei großen Druckgradienten ablösen und sich
gegebenenfalls wieder anlegen.
Bei höheren Machzahlen entstehen Verdichtungsstöße, die zu einer unstetigen Verzögerung
und Druckzunahme und damit zu Totaldruckverlusten führen. Bei komplexer Strömung bilden
diese Stöße verwundene Flächen, die zu einem ungleichmässigen Entropiefeld und damit zu
einer rotationsbehafteten Strömung führen. Die Wechselwirkung von Stoß und Grenzschicht
führt oftmals zu einer Ablösung der Strömung und zu zusätzlichen Verlusten.
Die Ursachen für das Auftreten von Sekundärströmungen sind vielfältig. Sie entstehen durch
Druckunterschiede am Gehäusespalt, durch verminderte Geschwindigkeiten in den
Grenzschichten, durch eine ungleichförmige Zuströmung und durch Zentrifugalkräfte. In
Turbinen sind diese Sekundärströmungen von großer Bedeutung, da sie beachtliche
dreidimensionale Strömungsverzerrungen und Verluste in Wandnähe hervorrufen, die bis zu
50% der Gesamtverluste ausmachen können.
Instationäre Vorgänge treten durch die Relativbewegung zwischen Leit- und Laufrad auf, oder
wenn der Betriebszustand stark vom Auslegungspunkt abweicht (rotierendes Abreißen,
Pumpen, Schaufelflattern). Des weiteren können sich instationäre Zustände in den
Ablösegebieten im Bereich der Schaufelvorder- und -hinterkante ergeben.
Der Wärmeübergang zwischen Strömung und der festen Berandung spielt bei gekühlten
Gasturbinenbeschaufelungen eine entscheidende Rolle, wobei im Falle von filmgekühlten
Beschaufelungen die Vermischung zwischen dem kalten Kühlfilm und der heißen
Hauptströmung von Bedeutung ist.
3. Überblick über die numerische Strömungsberechnung
in Turbomaschinen
Nahezu alle derzeit existierenden Codes lassen sich nach der Art des Lösungsverfahrens in drei
Gruppen einteilen, und zwar in zeititerative Verfahren, in Druckkorrekturverfahren und in
Verfahren auf der Basis der Finite-Element-Methode. Im folgenden soll näher auf die Gruppe
der zeititerativen Verfahren eingegangen werden, da diese im Bereich der thermischen
Turbomaschinen am häufigsten angewandt werden und die Grundlage der vorgelegten Arbeit
sind.

Einleitung 4
Diskretisierung der konvektiven Terme
Für die Stabilität und Genauigkeit des Algorithmus von entscheidender Bedeutung ist die
Diskretisierung der in den Erhaltungsgleichungen auftretenden konvektiven Terme (Euler
Terme), insbesondere im Falle der eindeutig konvektionsdominierten, kompressiblen
Turbomaschinenströmung.
Speziell bei transsonischen Strömungen, wo das zu lösende Differentialgleichungssystem in
Unter- / Überschallbereichen von unterschiedlichem Typus ist (Unterschall: elliptisch,
Überschall: hyperbolisch) und Sprunglösungen in den Erhaltungsgleichungen möglich sind
(Verdichtungsstoß, Kontaktunstetigkeit) ist die physikalisch richtige Lösung des
Konvektionsproblems durch die Numerik von fundamentaler Bedeutung.
Die Diskretisierung dieser konvektiven Anteile erfolgt nun hauptsächlich mit zentralen oder
Upwind-Verfahren.
Die zentralen Verfahren sind einfach programmierbar, rechnerisch effizient, benötigen aber zur
Stabilisierung zusätzliche numerische Dissipationsterme. Ein häufig verwendetes zentrales
Verfahren geht auf die Arbeit von Beam und Warming, 1978 zurück. Ein Nachteil dieser
Verfahren ist, daß erstens durch die künstlichen Dissipationsterme die Genauigkeit der Lösung
in der Grenzschicht leiden kann, und zweitens, daß die physikalische Ausbreitungsrichtung von
Störungen nicht berücksichtigt wird.
Die Einbringung der physikalischen Störungsausbreitung in den Diskretisierungsprozeß führt
zu den sogenannten Upwind-Verfahren. Immer häufiger werden dabei die Godunov-Typ-
Verfahren angewandt, die auf der grundlegenden Arbeit von Godunov aus dem Jahre 1959
basieren. Godunov nahm an, daß die konservativen Variablen in jeder Netzzelle stückweise
konstant sind und die zeitliche Entwicklung der Strömung der exakten Lösung des Riemann-
Problems im Stoßwellenrohr folgt, sodaß Eigenschaften der exakten Lösung der Euler-
Gleichungen für die Diskretisierung herangezogen werden können. Diese Methode wurde auf
höhere Interpolationsordnungen für den Verlauf der Variablen erweitert (MUSCLE, Monotone
Upwind Scheme for Conservation Laws), die exakte Lösung des Riemann-Problems durch
approximative Lösungen ersetzt. Die Interpolationen sind im allgemeinen vom TVD-Typ
("Total Variation Diminishing"), um unphysikalische Oszillationen zu vermeiden (s. dazu
Chakravarthy, 1988). Bei den approximativen Riemann-Lösern sind heute die von Osher
(Engquist und Osher, 1980) und Roe, 1981 sehr weit verbreitet. Der Vorteil der Upwind-
Verfahren ist ihre Fähigkeit der genauen Auflösung von Strömungsdiskontinuitäten, ihre
genauere Erfassung von Grenzschichtströmungen und ihre höhere numerische Stabilität, ihr
Nachteil ist der erhöhte Aufwand an Rechenzeit.
Diskretisierung der diffusiven Anteile
Die Diskretisierung der viskosen Terme (Schubspannungen und Wärmeströme) hat im
Vergleich zur Diskretisierung der konvektiven Terme eher geringen Einfluß auf Genauigkeit
und Stabilität des Gesamtalgorithmus und erfolgt daher meist mit Hilfe von zentralen
Differenzen oder durch direkte Anwendung des Gauß'schen Integralsatzes auf ein finites
Volumen.

Einleitung 5
Zeitliches Integrationsverfahren
Ein weiteres Unterscheidungskriterium bei den zeititerativen Verfahren ist die Art der
zeitlichen Integration. Explizite Verfahren berechnen die neuen zeitlichen Strömungszustände
aus den Bilanzen zum alten Zeitschritt und sind einfacher in der Anwendung, weisen aber
geringe numerische Stabilität auf. Das 4-Schritt-Verfahren von Runge-Kutta, ist hier das
gebräuchlichste explizite Verfahren (s. z. B.: Jameson, 1981, Arnone und Swanson, 1993).
Im Gegensatz dazu versuchen implizite Verfahren eine simultane Lösung eines
Gleichungssystems, das auf Gleichgewichtsbilanzen zum neuen Zeitschritt aufgebaut ist. Sie
sind theoretisch unbegrenzt stabil, der dadurch mögliche größere Zeitschritt beim Fortschreiten
der zeititerativen Lösung wiegt den erhöhten numerischen Aufwand auf. Die Lösung der
Systemmatrix, die durch zeitliche Taylor-Reihenentwicklung der Flußvektoren gewonnen wird,
erfolgt entweder durch approximative Faktorisierung nach Beam und Warming, 1978 (s. auch
Sanz, 1993, Paßrucker, 1997) oder durch Gauß-Seidel-Linienrelaxation (s.z.B. Gehrer, 1994,
Lücke, 1997). Beide Verfahren führen zu Block-tridiagonalen Gleichungssystemen.
Randbedingungen
Als Randbedingungen treten in thermischen Turbomaschinen im allgemeinen folgende Fälle
auf, die in der nachstehenden Abbildung dargestellt sind:
• Zu-/Abströmbedingungen
• Konturbedingungen
• Periodizitätsbedingungen
• Grenzen zwischen verschiedenen bzw. denselben Rechennetzen
Randbedingungen in Schaufelkanälen thermischer Turbomaschinen (aus Paßrucker, 1997)

Einleitung 6
Die Vorgabe der Randbedingungen erfolgt dabei grundsätzlich im Einklang mit der
eindimensionalen Charakteristikentheorie (s. Benetschik, 1991, Sanz, 1993, Gehrer 1994).
So ist es beispielsweise bei stationären subsonischen Strömungen üblich, am Eintritt
Totaldruck, Totaltemperatur und Strömungswinkel und am Austritt den statischen Druck
vorzugeben. Die Vorgabe konstanter Werte an diesen Grenzen kann zu Reflexionen von
Störungen und vor allem von Verdichtungsstößen führen. Man behilft sich im allgemeinen
durch sehr lange Rechennetze insbesondere im Abströmbereich. Ist dies nicht möglich, so
werden vielfach sogenannte nichtreflektierende Randbedingungen von Giles, 1990 verwendet
(s. dazu auch Paßrucker, 1997).
An festen Konturen werden Tangentialbedingungen für Euler-Strömungen bzw. Null-
Geschwindigkeiten für reibungsbehaftete Strömungen vorgegeben.
Um bei einem Ringgitter nicht alle Schaufelkanäle modellieren zu müssen, nimmt man an, daß
sich in allen Kanälen eine idente Strömung einstellt. Dies wird durch Vorgabe von
Periodizitätsbedingungen an den Rändern in Umfangsrichtung erreicht.
Weiters werden zur stationären Berechnung von Rotor - Stator Interaktionen spezielle
Übergangsbedingungen zwischen verschiedenen Rechennetzen benötigt. Am Austritt von
Ringgittern wird außerdem die Druckverteilung vielfach mit Hilfe des radialen
Gleichgewichtes bestimmt (s. dazu auch Kap. 2).
Konvergenzbeschleunigungstechniken
Die Größe des möglichen Zeitschrittes hängt sowohl bei expliziten als auch impliziten
Verfahren von der Zellgröße ab. Bei instationären Problemstellungen bestimmt damit die
kleinste Netzzelle die Größe des möglichen Zeitschrittes. Bei stationären Strömungen kann
man den globalen Zeitschritt durch lokale Zeitschritte ersetzen und damit die
Konvergenzgeschwindigkeit deutlich steigern (siehe dazu Sanz, 1993, Gehrer 1994).
Bei expliziten Verfahren wird meist zusätzlich das sogenannte "Residual Smoothing"
verwendet, das von Jameson, 1983 für den Runge-Kutta-Algorithmus adaptiert wurde.
Während jeder Stufe wird eine zusätzliche implizte Gleichung gelöst, deren Aufgabe die
Glättung der Residien (= Bilanz der Flüsse) über das Strömungsfeld ist. Die maximale
Zeitschrittgröße kann damit um einen Faktor zwei bis drei erhöht werden (Arnone und
Swanson, 1993).
Die sog. Mehrgitter ("Multigrid") -Technik wird ebenfalls bei sowohl impliziten als auch
expliziten Strömungslösern zur Konvergenzbeschleunigung verwendet (s. z. B. Jamson 1986).
Der Grundgedanke ist, daß auf gröberen Rechennetzen infolge größerer möglicher Zeitschritte
Störungen schneller das Rechengebiet verlassen. Deshalb werden ausgehend von einem feinen
Netz auf immer gröberen Netzen die Erhaltungsgleichungen gelöst und die Lösung auf das
feine Netz rückinterpoliert. Als effektiver Zeitschritt ergibt sich bei N Netzabstufungen
ungefähr (2 N -1)Δt, wobei Δt der erlaubte Zeitschritt auf dem feinsten Netz ist.
Turbulenzmodellierung
Es wird allgemein angenommen, daß die Navier-Stokes-Gleichungen turbulente Strömungen
ausreichend genau beschreiben. Um alle relevanten Strömungsphänomene einer turbulenten
Strömung mit Hilfe einer direkten numerischen Simulation (DNS) zu erfassen, ist es einerseits
notwendig, daß das Rechennetz die Auflösung aller charakteristischen Längenmaßstäbe
gewährleistet, und andererseits, daß die Zeitschrittgröße so gering ist, daß eine zeitliche

Einleitung 7
Auflösung turbulenter Vorgänge möglich ist. Die direkte Lösung der Navier-Stokes-
Gleichungen (DNS) ist daher derzeit nur für relativ geringe Reynoldszahlen möglich. Diese
Ergebnisse können aber als Datenbasis für die Erprobung von Turbulenzmodellen verwendet
werden. In absehbarer Zeit ist jedoch trotz der immensen Fortschritte in der Leistungsfähigkeit
der Computer die technische Anwendung der DNS nicht möglich, sie wird aber das Fernziel
der Turbulenzforschung sein.
Man führt nun entsprechend einem Vorschlag von Reynolds eine zeitliche Mittelung der
Erhaltungsgleichungen durch und bestimmt die dadurch auftretenden zusätzlichen Terme mit
Hilfe von Turbulenzmodellen ("Schließungsproblem der Turbulenzmodellierung").
Turbulenzmodelle lassen sich nach der Art der Modellannahme in drei Gruppen einteilen, in die
Wirbelviskositätsmodelle, in die Reynolds'schen Schubspannungsmodelle und in die Gruppe
der "Large Eddy Simulation (LES)".
Die meisten derzeit im Turbomaschinenbereich verwendeten Modelle fallen in die erste Gruppe
der Wirbelviskositätsmodelle, die auf einen Ansatz von Boussinesq zurück gehen, der aufgrund
von Analogieüberlegungen zu den viskosen Molekülbewegungen die scheinbaren turbulenten
Spannungen mit den tatsächlichen Scherspannungen mit Hilfe einer scheinbaren oder
turbulenten Viskosität in Beziehung bringt.
Die immer noch häufig verwendeten algebraischen Turbulenzmodelle bestimmen diese
turbulente Viskosität direkt aus den Größen des Strömungsfeldes unter Zuhilfenahme des
Prandtl'schen Mischungswegansatzes (Prandtl, 1925). Auf der Arbeit von Baldwin und Lomax,
1978 basierende Modelle liefern recht gute Ergebnisse für dünne anliegende
Grenzschichtströmungen entlang fester Berandungen bei nahezu orthogonalen Rechennetzen,
bereiten jedoch Schwierigkeiten bei Strömungen mit starken Sekundäreffekten, Ablösungen,
oder für die Modellierung des Nachlaufs.
Verbesserungen in der Turbulenzmodellierung werden durch die Berücksichtigung von
Transportvorgängen mittels sogenannter Eingleichungsmodelle, die die Lösung einer
zusätzlichen Differentialgleichung verlangen, erzielt (s. dazu Baldwin & Barth, 1990, Spalart &
Allmaras, 1994).
Des weiteren wird sehr häufig versucht, eine zweite Transportgleichung zu lösen. Im
allgemeinen wählt man die turbulente kinetische Energie (k) als erste Transportgröße, und als
zweite Größe eine Variable der Form Z=k n l m (Vandromme, 1991), wobei l das turbulente
Längenmaß darstellt. Das k-ε-Modell ist das derzeit am häufigsten verwendete
Zweigleichungsmodell, bei dem eine zweite Differentialgleichung für die Dissipation ε der
kinetischen Energie (ε ≈ k 3/2 l -1 ) gelöst wird.
Um komplexe Strömungen zu simulieren wird daran gearbeitet, das Schließungsproblem der
Turbulenzmodellierung durch Transportgleichungen für die turbulenten Spannungen zu
bewerkstelligen. ("Reynolds Stress Closure" bzw. "Second Order Closure"). Die Vorteile
dieses recht aufwendigen Ansatzes zeigen sich insbesondere bei Strömungen mit
Ablöseerscheinungen, Rotation, Auftrieb oder starker Stromlinienkrümmung. Da der
rechnerische Aufwand doch sehr groß ist, können sich diese Modelle für die
Turbomaschinenströmung noch schwer durchsetzen.
Das Verbindungsglied zwischen den statistischen Verfahren, die auf die Reynolds'schen
Gleichungen beruhen, und der DNS-Methode stellen die sogenannten "Large Eddy
Simulation"-Verfahren (LES) dar. Diese Verfahren lösen die großen turbulenten
Wirbelstrukturen direkt und modellieren nur die kleinen Turbulenzstrukturen, die sogenannten
"Subgrid Scale"-Bewegungen, wobei die Unterscheidung nicht immer eindeutig ist. Der

Einleitung 8
Rechenaufwand der LES-Verfahren liegt zwar deutlich unter dem der DNS-Methode, er ist
jedoch für technische Anwendungen noch immer viel zu groß.
Diskretisierung der Geometrie
Eine Schlüsselfrage bei der Konstruktion eines numerischen Algorithmus stellt auch die
Diskretisierung der Geometrie dar. Diesbezüglich unterscheidet man grundsätzlich zwischen
strukturierter Vernetzung und unstrukturierter Netzgenerierung.
Es sind sehr viele Arbeiten durchgeführt worden, wobei die traditionell gebräuchliche
strukturierte Vernetzung des Rechengebietes durch eine unstrukturierte Netzgenerierung
ersetzt wurde, was bei steigender Komplexität der Geometrie sehr von Vorteil ist und eine
lösungsabhängige Netzverfeinerung ermöglicht.
Die Nachteile unstrukturierter Rechengitter sind jedoch vor allem der große Aufwand bei der
Netzgenerierung, die kompliziertere Speicherplatzorganisation beim Berechnungsverfahren
sowie die nur unvollkommen mögliche Charakteristiken-Zerlegung der Konvektionsterme
aufgrund der irregulären Orientierung der Zelloberflächen (s. z.B. Gallus et al, 1995).
Die Generierung der Rechengitter erfolgt im wesentlichen nach zwei verschiedenen Verfahren:
• Algebraische Methoden zeichnen sich durch Einfachheit und geringe Rechenzeit aus,
leiden aber darunter, daß singuläre (sich überschneidende) Bereiche nicht
ausgeschlossen werden können und daß Unstetigkeiten der Berandung des
Rechengebietes sich weit in das Rechennetz hinein bemerkbar machen.
• Differentielle Methoden erzeugen durch das Lösen von partiellen
Differentialgleichungen grundsätzlich qualitativ hochwertige Netze, benötigen aber
größere Rechenzeiten und erschweren das benutzerdefinierte Manipulieren des
Rechengitters (z.B.: lokales Verdichten des Netzes, Erzwingen orthogonaler
Rechenlinien in der Nähe fester Wände, etc.)
4. Aufgabenstellung und Auswahl des numerischen Verfahrens
Zur möglichst genauen Erfassung der oben beschriebenen physikalischen Vorgänge in
Schaufelreihen thermischer Turbomaschinen soll in dieser Arbeit ein modular aufgebautes
Programmpaket (jeder einzelne Baustein 'Modul' ist für einen exakt definierten
Aufgabenbereich zuständig), entwickelt werden, welches folgende Struktur aufweist:

Einleitung 9
Modul Aufgabe
"Eulerflußbilanzierung"
(Lösung des 'Konvektionsproblems')
Massenflußbilanzierung,
Ermittlung der
Druck- und Impulskräfte
und der Totalenthalpieströme
"Diffusionsflußbilanzierung" Berechnung der
Schubspannungen, Wärmeströme
"Turbulenzmodellierung" Modellierung der turbulenten
Schwankungsbewegungen
(turbulente Scheinspannungen,
turbulente Wärmeströme)
"Netzbewegung-/Verformung" Berücksichtigung einer
zeitlichen Geometrieänderung
des Rechengitters
(Sonderfall: gleichförmige Rotation)
"Rand" Aufprägen sämtlicher Randbedingungen
"Zeitschrittverfahren"
(Konvergenzbeschleungung)
Berechnung der Zustandsverteilung
zum nächsten Zeitpunkt
aufgrund der Gesamtflußbilanz
Als Ergebnis soll ein zeitabhängiger Forschungscode entstehen, der durch das einfache
Austauschen einzelner Module als Werkzeug zur Entwicklung effizienterer numerischer
Algorithmen und besserer physikalischer Modelle (z.B. zur Turbulenzmodellierung)
herangezogen werden kann. Die nachfolgende Auflistung gibt einen Überblick über die
Eigenschaften der im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Programmbausteine:
Zur Eulerflußbilanzierung wurde ein TVD-Upwind Verfahren nach Roe, 1981 ausgewählt,
wobei eine, auf Godunov, 1959 zurückweisende Charakteristikenzerlegung der Eulerflußbilanz
die größtmögliche Konsistenz zwischen Physik und Numerik sicherstellen soll (z.B.: Gallus et
al. 1995). Neben den Vorzügen der charakteristikenorientierten Diskretisierung der Eulerterme
weisen diese Godunov-Typ-Verfahren zudem Konsistenz mit der integralen Form der
Erhaltungsgleichungen auf.
Als Alternative wird dem Benutzer auch ein zentrales Verfahren mit numerischer Dissipation
(z.B.: Sanz, 1993, Paßrucker 1997), zur Verfügung gestellt.
Die Diffusionsflußbilanzierung wird, wie allgemein üblich, durch ein zentrales Verfahren,
bzw. durch direktes Anwenden des Gauß'schen Integralsatzes auf ein Bilanzvolumen
approximiert.
In dieser Arbeit wurden drei verschiedene Wirbelviskositätsmodelle zur Turbulenzmodellierung
implementiert:
• Algebraisches Turbulenzmodell nach Arnone & Pacciani, 1996
• Eingleichungsmodell nach Spalart & Allmaras, 1994
• Low-Re k-ε-Modell nach Biswas & Fukuyama, 1994

Einleitung 10
Zwei verschiedene Zeitschrittverfahren können, unabhängig von der vom Benutzer
spezifizierten räumlichen Diskretisierung verwendet werden:
• Explizites Vier Schritt Runge-Kutta Verfahren
• Implizites Verfahren
Je nach Problemfall muß dann abgeschätzt werden, wie der günstigste Kompromiß hinsichtlich
Gesamtrechenzeit zwischen Stabilität, Aufwand (Rechenzeit) je Zeitschritt, und zeitlicher
Genauigkeit (nur bei instationären Berechnungen) zu finden ist.
Speziell für stationäre Problemstellungen wurde ein lokales Zeitschrittverfahren, sowie ein
geometrisches Mehrgitterverfahren (Multigrid) nach Jameson & Yoon 1986, Siikonen 1991
zur Konvergenzbeschleunigung adaptiert.
Das hier vorgestellte Verfahren wird für strukturierte Rechennetze, die einer beliebigen
Netzbewegung-/Verformung (-> Sonderfall: gleichförmige Rotation) unterliegen können,
ausgelegt, wobei allerdings mehrere solcher Netzblöcke beliebig miteinander kombiniert
werden können (Multi-Block).
Zusammenfassend erscheint nach dem Stand der Forschung für die vorliegende Arbeit die
Erstellung eines wahlweise expliziten/impliziten zeitabhängigen finite-Volumen Verfahrens für
sich bewegende/verformende strukturierte Multi-Block-Netze als angemessener Beitrag für die
Strömungssimulation in Turbomaschinen.
Weiters werden einige Werkzeuge zur Erstellung von strukturierten Multi-Block-Netzen
vorgestellt, deren Grundlagen in Zusammenarbeit mit dem Institut für Geometrie der TU-Graz
entwickelt wurden.
An dieser Stelle sei noch darauf hingewiesen, daß für die Visualisierung sämtlicher
Rechenergebnisse ein vom Autor entwickeltes Grafikpaket zum Einsatz kam, welches mit dem
Hintergrund entwickelt wurde, die am ITTM gewonnenen Rechen- und Meßergebnisse mit ein
und demselben Post-Processing verarbeiten und vergleichen zu können.
5. Bemerkungen zur Gliederung der eingereichten Dissertation
In der vorgelegten Dissertation wird ausführlich auf die Entwicklung und Validierung des
numerischen Verfahrens, sowie die Erstellung der Rechennetze eingegangen.
Im Rahmen der Tätigkeit des Autors als Forschungsassistent im Forschungsprojekt S6801
sowie als Universitätsassistent am ITTM entstanden in der Zusammenarbeit mit den Kollegen
Veröffentlichungen die ebenfalls in dieser Arbeit vorgestellt werden sollen.
Auf die Übersetzung ins Deutsche wird aufgrund der Tatsache, daß im Bereich der
numerischen Strömungsberechnung sich Englisch vollends als Fachsprache etabliert hat,
verzichtet.

Einleitung 11
• Die erste Arbeit "Paper 1" beschäftigt sich mit Schaufelkonstruktion und
Netzgenerierung, basierend auf Bezierkurven und -Flächen. Hier wurde der Ansatz
vorgeschlagen, ausgehend von einer mathematisch - analytischen Beschreibung von
Turbinenschaufelprofilen mittels Bezierkurven Rechennetze zur numerischen
Strömungsrechnung zu generieren (s. auch Diss. Paßrucker, 1997). Die Grundlagen
dieser Methodik wurden von Ao.Univ.-Prof Johann Lang und Univ.-Prof. Otto
Röschel vom Institut für Geometrie der TU-Graz entwickelt.
Gehrer A., Paßrucker H., Jericha H., Lang J., 1997, "Blade design and Gridgeneration
for Computational Fluid Dynamics (CFD) with Bézier-curves and Béziersurfaces",
European Conference - Antwerpen March ’97, Paper No. 54,
(begutachteter Tagungsbeitrag)
• In der Arbeit "Paper 2" wird, quasi als Vorstufe zum endgültigen Programmpaket, ein
2D-Euler-Code vorgestellt, basierend auf einem approximativen Riemann-Solver nach
Roe, 1981. In dieser Studie wurde anhand einer 2D-Lavaldüsenströmung dieses
reibungsfreie Verfahren mit expliziter oder impliziter Zeitintegration hinsichtlich
Genauigkeit, Stabilität und Rechenzeit abgetestet. Weiters findet sich der Vergleich einer
transsonischen Kaskadenströmung mit experimentellen Daten.
Sanz, W., Gehrer, A.,Paßrucker, H. 1995, "An Implicit TVD Upwind Relaxation
Scheme for the Unsteady 2D-Euler-Equations", ASME Paper 95-CTP-71,
(begutachteter Tagungsbeitrag)
• In "Paper 3" wird der Vergleich Messung - Rechnung für den Nachlauf eines
Turbinengitters vorgestellt. Die Messungen dazu wurden in der transsonischen Kaskade
des ITTM durchgeführt.
Sanz, W., Gehrer, A., Woisetschläger, J., Forstner, M., Artner, W., Jericha, H.,
1998, "Numerical and Experimental Investigation of the Wake Flow Downstream of a
Linear Turbine Cascade", ASME-Paper 98-GT-246,
(begutachteter Tagungsbeitrag)
• In der Arbeit "Paper 4" wurden transsonische, reibungsbehaftete, turbulente
Gitterströmungen mit Wärmeübergang und Transition berechnet und mit experimentellen
Daten verglichen. Besonderes Augenmerk galt dabei den drei hier implementierten
Turbulenzmodellen, insbesondere dem Low-Re-k-ε-Modell.
Gehrer, A., Jericha, H., 1998,"External Heat Transfer Predictions in a Highly-Loaded
Transonic Linear Turbine Guide Vane Cascade Using an Upwind-Biased Navier-Stokes
Solver", ASME - Paper 98-GT-238, accepted for publication in the Transactions of the
ASME (begutachteter Tagungsbeitrag und Journalveröffentlichung)
• In der Arbeit "Paper 5" wurden Rechnungen zum Forschungsprojekt P10698
(Schaufelkühlung) durchgeführt, wobei die Eigenschaft von Überschallstrahlen, sich an
gekrümmte Wände anzuschmiegen, zur Gasturbinenschaufelkühlung ausgenützt werden
soll.
Gehrer, A., Woisetschläger, J., Jericha, H., 1997, "Blade Film Cooling by
Underexpanded Transonic Jet Layers", ASME Paper 97-GT-246,
(begutachteter Tagungsbeitrag)

Grundgesetze der Strömungsmechanik 12
1. Grundgesetze der Strömungsmechanik
Um die Grundgleichungen der Strömungsmechanik zu erhalten, geht man zunächst von einem
beliebig geformten, sich mit der Strömung mitbewegenden Flüssigkeitsballen aus (s. Abb. 1.1).
Das Fluid wird dabei als Kontinuum mit dem Volumen V(t) und der Oberfläche S(t) modelliert,
das sich unter dem Einfluß von:
bewegt und verformt.
• Oberflächenkräften (− p n r , r τ S )
• Massenkräften ( r f m )
• Oberflächenwärmeströmen ( &q S )
ρfmd
V
dS
d V
S
q d S
-p n dS
S τ d S
w n dS dt
V (t )
Abb. 1.1: Allgemeines Bilanzvolumen
1.1 Transporttheorem für Volumenintegrale
w
V (t +d t )
Die totale zeitliche Änderung des Volumenintegrals einer Feldgröße Φ = Φ(xi,t) kann
mathematisch folgendermaßen formuliert werden (siehe z. B. Gretler 1987, Wohlhart 1988):
d
dt
1 ⎡
⎛ ∂Φ ⎞
⎤ ∂Φ r r
ΦdV = ⎢ ⎜Φ
+ dt⎟dV − ΦdV⎥ = dV + Φ w⋅ n dS
dt ⎝ t ⎠
t
⎣⎢
∂
+
⎦⎥
∂
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
V( t) V( t dt) V( t) V( t) S( t)
Der erste Term wird als "lokales Glied" bezeichnet, der zweite als "konvektives Glied" und
entsteht durch die Durchströmung der Oberfläche (S). Das Transporttheorem wird nun auf
Massenerhaltung, Impulssatz und Energiesatz angewandt, um auf diese Weise die
Grundgleichungen der Strömungsmechanik in integraler Form zu formulieren.
(1.1)

Grundgesetze der Strömungsmechanik 13
1.2 Erhaltung der Masse (Kontinuität)
Die Kontinuitätsgleichung erhält man, indem die Transportgröße Φ durch die Dichte ρ ersetzt
wird:
1.3 Impulssatz
d
dt
∂ρ r r
∫ ρdV
= ∫ dV + ∫ ρw
⋅ n dS = 0 (1.2)
∂ t
V( t) V S
Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses muß sich mit der Summe aus Druckkraft,
Oberflächenspannung und Massenkräften im Gleichgewicht befinden (s. Abb. 1.1). In
Gleichung 1.1 kommt nun anstelle der Transportgröße Φ der volumenspezifische Impuls ρ r w .
d
dt
1.4 Energiesatz
r
r ∂ ( ρw)
r r r r r r
S m
ρw
dV = dV + ρw ( w⋅ n) dS= ( − p n + τ ) dS + f ρdV
(1.3)
∂ t
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
V( t) V S
Die zeitliche Änderung der inneren Totalenergie muß sich mit der Summe der Leistungen von
Druckkraft, Oberflächenspannung und Massenkräften sowie mit den Wärmeströmen im
Gleichgewicht befinden. In Gleichung 1.1 wird statt der Transportgröße Φ die
volumenspezifische innere Totalenergie e eingesetzt.
S ( )
d
dt edV
∂ e r r r r r r
m r S
∫ = ∫ dV + e w n dS p n w dS f w dV q dS
t ∫ ( ⋅ ) = ∫ − + τ ⋅ + ∫ ρ⋅
+ ∫ &
∂
V V S
S
S
V
V
mit: e e w
= ρ( i + )
2
S
r 2
(1.4)
Für ein ideales Gas konstanter spezifischer Wärme, das in weiterer Folge vorausgesetzt werden
soll, erhält man schließlich:
r
p
p w
ei = cvT = ⇒ e = + ρ
ρ( κ− 1) κ−
1 2
1.5 Die Navier-Stokes Gleichungen in Flußvektorschreibweise
Die Erhaltungsgleichungen (1.2, 1.3, 1.4) können sehr übersichtlich in vektorieller Form
angeschrieben werden. Im folgenden werden äußere Massenkräfte (z.B. Gewichtskraft)
vernachlässigt, da sie bei Gasströmungen in Turbomaschinen nur eine sehr untergeordnete
Rolle spielen. Die Druckkräfte werden zu den konvektiven Anteilen hinzugefügt.
2

Grundgesetze der Strömungsmechanik 14
∂ Q
dV + ( E− Eν)
dS=
0
∂ t
∫ ∫
V S
⎡ρ
⎤
⎡0
⎤ ⎡0
⎤
⎢ r ⎥ r r ⎢ r ⎥ ⎢r
⎥
S
Q = ⎢ρ
w⎥;
E = ( w⋅ n) Q + ⎢p
n ⎥;
Eν
= ⎢τ
⎥;
⎣
⎢
⎦
⎥
⎣
⎢
r r
e
p( w⋅ n) ⎦
⎥ ⎢r
S r S⎥
⎣⎢
τ ⋅ w + q&
⎦⎥
Der Flußvektor E beinhaltet sämtliche Anteile, die zur Beschreibung reibungsfreier
Strömungen von Bedeutung sind und wird daher als Eulerfluß oder konvektiver Fluß
bezeichnet. In Eν befinden sich die Reibungsterme und Wärmeströme. Dieser Flußvektor wird
somit als Diffusionsfluß bezeichnet.
1.6 Bilanz am Oberflächenelement (Cauchy'sche Formel)
Der Oberflächenspannungsvektor r τ S und die Wärmeströme &q S werden durch Bilanzierung am
infinitesimalen Oberflächenelement dS noch umgeformt (s. z.B. Celigoj et. al. 1990). Damit
gelingt es, die Oberflächenspannungen r τ S durch die Komponenten des Cauchy'schen
Spannungstensors τij auszudrücken, für welche in weiterer Folge ein Reibungsgesetz (s. 1.7)
angenommen werden muß. Hier soll noch darauf hingewiesen werden, daß mit dem
Spannungstensor rein der deviatorische Anteil desselben gemeint ist, der hydrostatische Anteil
wurde bereits durch explizites Anschreiben des Druckes berücksichtigt.
Weiters wird der Oberflächenwärmestrom &q S mit dem Wärmestromvektor r q und anschließend
mit einem Wärmeleitungsansatz (s. 1.7) in Beziehung gebracht.
-τx
n dS
x
-
τ n dS
y y
e z
e y
e x
dS
n
τ S
-τz
nzdS dS
q nxdS x
q nydS y
Abb. 1.2: Schubspannungen und Wärmeströme am Oberflächenelement dS
Kräftegleichgewicht:
e z
e y
e x
dS
n
q n dS
z z
rS r r r
τ = τ n + τ n + τ n ; Indexschreibweise: τ = τ n
x x y y z z i S
ij j
(1.5)
S
q dS
S
S
Wärmebilanz: q& = q& n + q& n + q& n ; Indexschreibweise: q& = q& n (1.6)
x x y y z z
j j

Grundgesetze der Strömungsmechanik 15
1.7 Schubspannungen und Wärmeströme für laminare Strömungen
Die Schubspannungen und Wärmeströme in Gleichung 1.6 können für laminare Strömungen
durch folgende Gradientenansätze mit dem Geschwindigkeits- und Temperaturfeld gekoppelt
werden:
cp T
q&
i =
Pr xi
μ ∂
∂ ∂ ∂
; τ μ
∂ ∂ ∂ ∂ δ
⎛ u u
i j 2 u ⎞
k
ij = ⎜ + − ⎟
ij
⎝ x j xi
x ⎟ (1.7)
3 k ⎠
Dabei wird das strömende Medium als Newton'sches Fluid modelliert (s. z.B. Gretler 1987,
Gretler 1990)
1.8 Zeitliche Mittelung der Navier-Stokes Gleichungen
Sämtliche in dieser Arbeit verwendeten Turbulenzmodelle basieren auf den zeitlich gemittelten
Navier-Stokes-Gleichungen. Man spaltet jede Größe des Strömungsfeldes in ihren Mittelwert
und die entsprechende Schwankungsgröße auf. Die anschließende zeitliche Mittelung führt zu
den Reynolds/Favre-gemittelten Navier-Stokes Gleichungen. Die Gestalt der
Grundgleichungen (Gl. 1.5) kann dadurch formal erhalten bleiben, allerdings müssen die
Strömungsgrößen als Reynolds/Favre-Mittelungen interpretiert werden: Als zusätzliche
Unbekannte ergeben sich turbulente Scheinspannungen, turbulente Wärmeströme und die
kinetische Energie der turbulenten Schwankungsbewegung. (s. z.B.: Larsson 1996):
1.8.1 Definition: Reynolds/Favre-Mittelung
Zwei verschiedene Definitionen zur zeitlichen Mittelung der kompressiblen Navier Stokes
Gleichungen erweisen sich als zweckmäßig:
∫
def T
Φ(
t) dt
• Reynolds Mittelung: Φ =
T
; Φ′ = Φ − Φ; Φ′=
0
• Favre Mittelung: ~
Φ
def
=
ρΦ
;
ρ
def
Φ ′ =
~
Φ− Φ; ρΦ ′= 0; Φ ′≠ 0 (1.8.1)
Der Druck p und die Dichte ρ werden im folgenden als Reynoldsmittelwerte interpretiert, die
Geschwindigkeitskomponenten ui und die Temperatur T jedoch als Favremittelwerte.
1.8.2 Turbulente Spannungen
r r r
Die in den Impulsgleichungen (1.3) auftretenden Impulsströme ρw ( w⋅ n)
(Indexschreibweise
ρuiujnj) werden durch die zeitliche Mittelung zu:
( )( )
ρu u n = ρ ~ u + u ′ ~ u + u ′ n = ρ~ u ~ u n − τ n
i j j i i j j j i j j
turb
ij j
turb
ij
def
def
τ = − ρu
′ u ′ (1.8.2.1)
i j

Grundgesetze der Strömungsmechanik 16
Die Favre Mittelung der Geschwindigkeitskomponenten führt wegen Gleichung 1.7 zu einem
unbekannten Zusatzterm bei der Mittelung der laminaren Spannungen, der aber vernachlässigt
werden kann. Fluktuationen der Viskosität werden dabei ebenfalls vernachlässigt.
τ =
~
τ + τ ′≅
~
τ
{
ij ij ij ij

Grundgesetze der Strömungsmechanik 17
Weiters ergibt die Favre Mittelung der Geschwindigkeiten zwei unbekannte Zusatzterme bei
der Mittelung der Leistung der laminaren Spannungen, die wiederum vernachlässigt werden
können.
τ n u = ~ u τ n + u ′ τ n = ~ u ~ τ n + ~ u τ ′ n + u ′ τ n ≅ ~ u ~ τ n
123 123
ij j i i ij j i ij j i ij j i ij j i ij j i ij j
1.9 Ansatz von Boussinesq, Wirbelviskosität mt

Grundgesetze der Strömungsmechanik 18
Modell), im Gegensatz zu Modellen, bei denen μt direkt berechnet wird. In dieser Arbeit wurde
dieser Ausdruck grundsätzlich vernachlässigt, da k mit guter Genauigkeit als klein gegenüber
p/ρ angenommen werden kann.
Die turbulenten Wärmeströme werden mit einer als konstant angenommenen turbulenten
Prandtlzahl Prt modelliert, was für den Gesamtwärmestrom ergibt:
c
~
~
T
T
q& i c T u
; q& c ; Pr .
Pr x
Pr Pr x
turb
μt p ∂ ges ⎛ μ μt ⎞ ∂
= − pρ ′ i′=
i = ⎜ + ⎟ p
t = 0 9 (1.9.4)
∂ ⎝ ⎠ ∂
t i
1.10 Reynolds/Favre-gemittelte Navier-Stokes Gleichungen
Mit der Definition des Gesamtdrucks (Gleichung (1.9.2)) und der Gesamtschubspannungen
(Gleichung (1.9.2)) sowie des Gesamtwärmestroms (Gleichung (1.9.4)) können nun die
Reynolds/Favre gemittelten Navier-Stokes Gleichungen völlig analog zu den laminaren
Gleichungen 1.5 angeschrieben werden, wobei die Flußvektoren Q, E, En jetzt folgendermaßen
definiert sind:
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡
ρ
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
~ r ~ r r r
Q = ⎢ ⎥ E = ⋅ Q + ⎢ ⎥ E =
⎢r
ρ ; ( )
ν τ
⎢
⎣
⎢
⎦
⎥
⎢ r r ⎥
⎣⎢
( ⋅ ⎦⎥
⎢r
r
⎣⎢
τ ⋅ +
~ 0 0
ges
~ S, ges
w w n p n ;
e
ges
p w n) ~ ~ ~
w q&
Wichtige Sonderfälle von Gleichung 1.10 sind:
t
S, ges S, ges
• Reibungsfreie Strömung: μ = μt = 0 En = 0
• Laminare Strömung: μt = 0 => μ ges = μ; (μ/Pr) ges = μ/Pr
• Turbulente Strömung: μ ges = μ+μt; (μ/Pr) ges = μ/Pr + μt/Prt
i
⎤
⎥
⎥
;
⎥
⎥
⎦⎥
(1.10)
Dabei ist zu beachten, daß wegen der Beziehungen (1.9.2, 1.9.4) die Berechnung des
Diffusionsflusses En für laminare und turbulente Strömungen völlig identisch ist, es
unterscheiden sich lediglich die Größen μ ges , (μ/Pr) ges .
⎯ ∼ ges
Im weiteren werden die Kennzeichnungen ( ), ( ), ( ) der Übersichtlichkeit halber
weggelassen.
1.11 Verwendete Turbulenzmodelle
In dieser Arbeit wurden drei verschiedene Turbulenzmodelle implementiert, die im
Programmsystem beliebig zu und weggeschaltet werden können. Alle Modelle sind sog. Low-
Re-Modelle, d.h. sie werden bis zu festen Wänden hin gelöst und erfordern daher Rechennetze,
die Grenzschichten bis in die laminare Unterschicht hinein auflösen. Des weiteren benötigen
alle hier verwendeten Turbulenzmodelle den minimalen Wandabstand y im Strömungsraum (s.
Abb. 1.11)

Grundgesetze der Strömungsmechanik 19
Abb. 1.11: Linien gleichen Wandabstands (y=const) einer Turbinenleitschaufelkaskade
Diese Modelle sollen im folgenden, nach steigender Komplexität geordnet, kurz beschrieben
werden.
1.11.1 Algebraisches Turbulenzmodell nach Arnone & Pacciani 1996
Dieses 0-Gleichungsmodell ist prinzipiell eine verbesserte Version des klassischen Baldwin &
Lomax Turbulenzmodells (Baldwin & Lomax, 1978). Es handelt sich dabei um einen
Zweischichtansatz auf Mischungswegbasis.
Für den wandnahen 'inneren' Bereich wird die bekannte Prandtl-Van Driest Formel angesetzt:
+
⎛ y ⎞
inner
−
lm = y
⎜ +
0. 41 1−
e A ⎟
A y y
⎜ ⎟
⎝ ⎠
u
+ + τρWall
= 26, = , uτ
=
μWall
τ
ρ
Wall
Wall
(1.11.1.1)
Für den 'äußeren' Bereich wird der Mischungsweg in einem konstanten Verhältnis zu
Grenzschichtdicke δ angesetzt:
outer
l m = 0.085
δ (1.11.1.2)
Die Bestimmung der Grenzschichtdicke erfolgt nach folgenden Beziehungen, wobei ymax
derjenige Wert von y ist, wo das Maximum der Funktion G(y) auftritt.
+
y
y
1
⎛ ⎞
−
G( y)
= y
⎜ +
− e A ⎟
dy
y ∫ Ω 1
⎜ ⎟
0 ⎝ ⎠
δ = 1.145 y max
(1.11.1.3)
Eher problematisch bei einem allgemeinen Finiten-Volumen Konzept (im Gegensatz zu rein
kartesischen Rechennetzen) ist die Implementierung der Gleichungen (1.11.1.2 und 1.11.1.3),
da der Weg der Integration nicht a priori feststeht. Baldwin & Lomax (deren Modell im
wesentlichen für aerodynamische Untersuchungen entwickelt wurde) definierten diesen Weg

Grundgesetze der Strömungsmechanik 20
als 'along a velocity profile', aber der Begriff des 'Geschwindigkeitsprofils' ist bei allgemeinen
3d-Strömungen mehr als schwierig zu definieren.
Eine mögliche Vorgangsweise ist es nun, entlang einer Netzlinie voranzuschreiten, die 'normal'
zur festen Wand verläuft, und dem entsprechenden Wandelement dann den errechneten Wert
für δ zuzuordnen. In einem beliebigen Feldpunkt wird zur Berechnung des Mischungsweges
die Grenzschichtdicke δ desjenigen Wandelements verwendet, das den kürzesten Wandabstand
aufweist. Dieses Konzept wurde in dieser Arbeit programmiert und erweist sich für nicht oder
nur schwach abgelöste Strömungen als ausreichend genau, sofern die Netzlinien möglichst
orthogonal in Wandnähe verlaufen.
Die Wirbelviskosität μt erhält man schließlich durch folgende Gleichung:
outer
( l ) ( lm
)
μt ρ m ρ
inner
= min
⎛⎜
⎝
Ω , Ω
2 2
⎞ ⎠ ⎟
(1.11.1.4)
Der Umschlag von laminar/turbulent (Transition) kann durch ein sehr einfaches Kriterium
automatisch vorhergesagt werden:
μt = 0 falls (μt)max/μ0 < 14 (1.11.1.5)
Hier ist (μt)max der maximale Wert von μt entlang eines wie oben beschriebenen
'Geschwindigkeitsprofils'.
Zusammenfassend kann gesagt werden, daß dieses Turbulenzmodell für einfache
Strömungskonfigurationen mit klar definierten Wandgrenzschichten sehr gut geeignet ist, aber
bei komplexen Geometrien oder bei Problemen, bei denen der Transport von Turbulenz von
Bedeutung ist (Beispiel: Nachlauf einer Turbinenbeschaufelung), nur schlecht verwendbar ist.
1.11.2 Eingleichungsmodell nach Spalart & Allmaras, 1994
Bei diesesm 1-Gleichungs-modell wird eine empirische Transportgleichung für eine Variable
~μ gelöst, welche mit der Wirbelviskosität folgendermaßen verknüpft ist:
μt = fv1μ
~ f
v1
3
χ
= 3
χ + c
3
v1
χ μ~
=
μ
(1.11.2.1)
Die zu lösende skalare Transportgleichung in integraler Erhaltungsform ist formal sehr ähnlich
den Grundgleichungen (1.5), mit der Ausnahme, daß hier zusätzlich ein Quellterm H SA ,
bestehend aus Produktion, Destruktion, Zündung und einem zusätzlichen Diffusionsterm 1.
Ordnung, in Erscheinung tritt:
V
∂ Q
∂ t
SA
SA SA ( ν )
∫ ∫ ∫
dV+ E − E dS= H dV
(1.11.2.2)
S
V
SA
μ
~
( ρ)
Q E w n Q E
x n
SA SA SA SA +
~
=
~ r r
μ μ ∂
μ;
= ( ⋅ ) ; ν =
i
σ ∂
i

Grundgesetze der Strömungsmechanik 21
μ
~
μ
~
( ρ)
∂(
ρ)
( )
⎛c
f c ⎞
SA
w w b
cb
H = cb ( -ft
) − ⎜ − ft
⎟ ft V
⎝
⎠ y
xi xi
Zündung
⎛
⎜
⎝
⎞
2
~~ 1 1 μ
~
ρ ∂
2
2
1 1 2 Sμ
2 2 ⎟ + + ρ 1 Δ
144 2443
ρ ρκ ⎠ σ ∂ ∂ 14 243
14 4 44 24
4 4 43 14 4 24
43
" "
"Pr oduktion"
" Destruktion"
" Diffusionsterm1. Ordnung"
Dabei sind die Modellfunktionen des Basismodells wie folgt definiert:
~
~ μ
χ
S = Ω + 2 2 fv2 ; fv2
= 1− ;
ρκ y 1+
c f
⎛ 6
1+ C
f = g⎜ w 6
⎝g
+ C
w3
6
w3
1
v1 v1
⎞ 6
~
⎟
6 μ
; g = r + c w2(r
- r); r = ~
⎠
ρSκ y
2 2
;
(1.11.2.3)
Dieses Turbulenzmodell bietet mit einer Erweiterung weiters die Möglichkeit, den Umschlag
laminar/turbulent durch das Setzen von Transitionspunkten durch den Benutzer vorzugeben.
Dies geschieht mathematisch durch entsprechende Modifikationen von Produktion und
Destruktion sowie durch den zusätzlichen Zündungsterm. Die dafür notwendigen
Modellfunktionen sind definiert als:
( )
Ωt
2 2
− Ct
2 2 y + ( g td t )
2
( V) C ⎛ V ⎞
Δ
− t 4 χ
Δ
ft1 = Ct1g te
; ft 2 = Ct3 e ; gt
= min ⎜01
. , ⎟
⎝ ΩtΔx t ⎠
(1.11.2.4)
Dabei bedeutet dt den Abstand des Feldpunktes zum Transitionspunkt, Ωt die Wirbelstärke am
Transitionspunkt, Δxt die Maschenweite am Transitionspunkt und ΔV die Differenz zwischen
der Geschwindigkeit am Feldpunkt und der am Transitionspunkt. Die Modellkonstanten sind
schließlich folgendermaßen definiert:
cb1 1+
cb2
c b1 = 01355 . ; c b2= 0. 622;
c w1=
2 + ; c w2= 0. 3; c w3=
2. 0;
κ σ
2
c v1= 71 . ; σ= ; κ=
0. 41; c t1= 1; c t2= 2; c t3= 12 . ; c t4=
05 .
3
Die Randbedingungen für diese Transportgleichung lauten:
(1.11.2.5)
• Feste Wand: μ ~ = 0
• Eintritt: Spalart und Allmaras (1994) empfehlen folgenden Wert: ~ μ / μ = 01 .
• Austritt: Extrapolation von ~ μ
Das Lösen einer Transportgleichung ermöglicht es nun, die Implementierung eines solchen
Modells ''sauber" und für beliebige Konfigurationen durchzuführen. Das Spalart-Allmaras
Modell kommt, ähnlich wie das Baldwin & Lomax Modell, von der Aerodynamik und ist auf
Strömungen mit sehr niedriger Freistromturbulenz beschränkt. Weiters kann der Umschlag
laminar/turbulent nicht automatisch vorhergesagt werden (und konsequenterweise auch nicht
der Einfluß der Freistromturbulenz auf die Position desselben).

Grundgesetze der Strömungsmechanik 22
1.11.3 Low-Re k-e Modell nach Biswas & Fukuyama, 1994
Bei diesem 2-Gleichungs-Turbulenzmodell werden zwei Transportgleichungen für die
turbulente kinetische Energie k, sowie für deren Dissipation ε gelöst. Prinzipiell können aus
den Navier-Stokes Gleichungen unter der Voraussetzung 'freier Turbulenz' (kein dämpfender
Einfluß fester Wände) zwei Transportgleichungen für diese beiden Variablen abgeleitet
werden. Dabei entstehen allerdings Terme, die neue Unbekannte beinhalten und entsprechend
modelliert werden müssen. Außerdem müssen nun, um die Gleichungen bis zur festen Wand
hin zu lösen, Dämpfungsfunktionen eingeführt werden.
Verschiedenste Variationen von solchen Low-Re-k-ε Modellen wurden bisher in der Literatur
vorgestellt (s. z. B. Biswas & Fukuyama 1994, Larsson 1996). Die hier ausgewählte Variante
wurde von Biswas und Fukuyama im Hinblick auf genaue Berechnung des Umschlages
laminar/turbulent entwickelt und erwies sich als Verbesserung gegenüber einigen anderen
Zweigleichungsmodellen (Biswas & Fukuyama 1994, Gallus et. al. 1995, Lücke 1997). Dazu
ist noch anzumerken, daß nahezu alle Low Re k-ε Modelle dieselbe mathematische Grundform
besitzen, und daß daher die Erweiterung auf ein anderes Modell nur durch das Austauschen der
Dämpfungsfunktionen möglich ist.
Die beiden Transportgleichungen können wiederum analog zu den Navier-Stokes Gleichungen
in Flußvektorschreibweise angeschrieben werden, wobei, wie beim Spalart-Allmaras
Turbulenzmodell, ein Quellterm H ke auftritt:
V
∂ Q
∂ t
kε
kε k ( ν )
∫ ∫ ∫
ε kε
dV+ E − E dS= H dV
(1.11.3.1)
S
t k
i
k
k k k k
k xi Q E w n Q E
t
i
i
n
x n
ε ε ε
ν ε
μ ∂
μ
ρ
∂
=
ρε
μ ∂ε
μ
ε ∂
⎡
⎢
⎣
⎤
⎡⎛
⎞ ⎤
⎢⎜
+ ⎟ ⎥
r r ⎢⎝
Pr ⎠ ⎥
⎥ ; = ( ⋅ ) ; =
⎢
⎦
⎛ ⎞
⎥
;
⎢⎜
+ ⎟ ⎥
⎣⎢
⎝ Pr ⎠ ⎦⎥
V
H k
ε
⎡P
= ⎢
ε
⎢
⎣k
k
−
ρε
( f1Cε Pk − f2Cε ρε)
1 2
Die Wirbelviskosität und die für die Dämpfungsfunktionen benötigten turbulenten
Reynoldszahlen ergeben sich aus:
μ
2 2
ρk
ρk
ρy
k
= Cμfμ ; Re = ; Re = ; (1.11.3.2)
ε με μ
t t y
Eine enscheidende Größe im Quellterm H ke ist der Produktionsterm P k:
P
∂ u
∂ x
turb i
k = τij
j
; (1.11.3.3)
Bei der Berechnung von Strömungen mit großen Normalspannungen (z.B: Staupunkts-
Strömungen) wurde bereits mehrfach in der Literatur ( Kato & Launder 1993, Gallus et. al.
1995, Larsson 1996) auf eine unphysikalische Turbulenzproduktion higewiesen, die auf die
Formulierung für P k in Gl. (1.11.3.3) zurückzuführen ist. Daher wurde in dieser Arbeit dieses
⎤
⎥
⎥
⎦

Grundgesetze der Strömungsmechanik 23
Modell mit einer modifizierten Formulierung für Pk, welche von Kato & Launder, 1993
vorgeschlagen wurde, kombiniert:
2 2
∂ u j⎞
1 ⎛∂
u ∂ u
i j⎞
1 ⎛∂
ui
Pk
= μt
⋅ ⎜ + ⎟
⎝ x j x ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟
2 ∂ ∂ i ⎠ 2 ⎝∂
x j ∂ x ⎟
i ⎠
Die Modellkonstanten und Dämpfungsfunktionen sind folgendermaßen definiert:
(1.11.3.4)
Cμ = 0. 09; Cε = 146 . ; Cε = 19 . ; Pr k = 14 . ; Pr ε = 13 . (1.11.3.5)
1 2
⎛ ⎞
fμ = ⎜ − e ⎟
⎜ ⎟ f e f e e
⎝ ⎠ t
+
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ = + = −
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
−
− ⎛
⎜
⎜
⎝
⎛ ⎞
⎜ ⎟ −
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜
⎝ ⎠
1 1 185
2 2
Re Re Re
.
150
50
.
; 1 1 0. 3 ; 2 1 0. 3 1
Re
Re
⎟
6 5
−
10
t t t y
Die Randbedingungen werden wie folgt spezifiziert:
• Feste Wand: k = 0; ∂ε / ∂ y = 0
• Eintritt: Grundsätzlich werden am Eintritt k und ε vorgeschrieben. Falls diese Werte
nicht direkt verfügbar sind, so können sie aus dem Turbulenzgrad Tu und einer
Annahme über den Mischungsweg lm abgeschätzt werden:
2
• k = 3 Tu W / 2 , ε = Cμ k / lm . (1.11.3.6)
Hier ist W1 die Eintrittsgeschwindigkeit und lm wird üblicherweise in der
Größenordnung von etwa 0.5÷5% der charakteristischen Länge
angenommen. Hier soll bereits erwähnt werden, daß ein wesentliches
Problem bei der Anwendung dieses Modells in der richtigen Abschätzung
der Eintrittsrandbedingung für ε liegt.
• Austritt: Extrapolation von k und ε
1 2
3/ 4 3/ 2
Dieses Modell kann prinzipiell die Einflüsse der Freistromturbulenz berücksichtigen, auch der
Umschlag laminar/turbulent wird automatisch dedektiert. Dabei soll aber darauf hingewiesen
werden, daß lediglich eine Form der Transition, die sog. bypass transition, berücksichtigt wird,
die allerdings im Turbomaschinenbereich weitaus am häufigsten ist.
⎞
⎟
⎟
⎠

Numerischer Lösungsalgorithmus 24
2. Numerischer Lösungsalgorithmus
Unabhängig davon, ob und wie viele Turbulenzgleichungen gelöst werden, kann immer von
derselben vektoriellen Grundstruktur der zu lösenden Gleichungen ausgegangen werden:
∂Q
dV+ ( E − Eν) dS= HdV
∂t
∫ ∫ ∫
V S V
Das in dieser Arbeit programmierte Verfahren zur approximativen numerischen Lösung eines
solchen Vektor - Gleichungssystems, bestehend aus den zeitgemittelten Navier - Stokes
Gleichungen (Hauptgleichungen) und allfälligen Turbulenzgleichungen, kann hinsichtlich der
Diskretisierung und der verwendeteten Rechennetze folgendermaßen charakterisiert werden:
• Finite-Volumen-Verfahren (räumliche Diskretisierung):
Der Strömungsraum wird in endlich viele finite Volumina (Zellen) unterteilt und für jede
dieser Zellen wird die Bilanz gemäß obiger Integralgleichung aufgestellt.
Dazu werden die Integrale durch geeignete repräsentative numerische Mittelwerte
approximiert. Dieser Vorgang ist prinzipiell in keiner Weise auf die geometrische Gestalt
der Zellen beschränkt (Tetraeder, Hexaeder, ...).
• Strukturierte, sich bewegende und verformende Hexaeder- Rechennetze
Strukturierte Hexaedernetze erlauben im allgemeinen einen effizienten Einbau der aus
Stabilitätsgründen notwendigen numerischen Diffusionsterme und ermöglichen
Linienrelaxationstechniken, die sich als schnell und effizient zur iterativen Lösung der
auftretenden großen linearen Gleichungssysteme erweisen.
Der Berücksichtigung einer generellen Netzbewegung/Netzverformung ermöglicht große
Flexibilität im Hinblick auf rotierende Kanäle, schwingende Beschaufelungen, etc.
• Weiters wird eine zell-zentrierte Formulierung gewählt, welche sich als günstig für die hier
verwendete Multi-Block Technik ( ≡ mehrere Netze können beliebig kombiniert werden)
erweist und auf einfache Weise das Aufprägen von Randbedingungen ermöglicht.
Außerdem vereinfacht eine zell-zentrierte Vorgangsweise den Einsatz von Multi-Grid
(Mehrgitterverfahren) was sich als äußerst effiziente Strategie zur Konvergenzbeschleunigung
erwiesen hat.
• Die zeitliche Diskretisierung der Gleichungen kann mit einem
• expliziten 4-Schritt Runge-Kutta-Verfahren
oder mit einem
• impliziten Verfahren (erster bzw. zweiter Ordnung genau)
erfolgen.

Numerischer Lösungsalgorithmus 25
2.1 Strukturiertes Rechennetz
Ein strukturiertes Rechennetz (Block) sei hier definiert als eine dreidimensionale Matrix aus
Zellen (s. Abb. 2.1), wobei mehrere solche Blöcke zusammengehängt werden können (Multi-
Block).
i
k
Abb. 2.1: Strukturierter Netzblock; i,j,k-Indizierung
Das Ansprechen der einzelnen Zellen erfolgt durch ein Trippel von ganzen Zahlen (Zell-
Indizes) i,j,k: i=1,..,imax; j=1,..jmax; k=1,..,kmax. Die Eckpunkte (Knotenpunkte) der
einzelnen Zellen sind dabei jeweils um einen halben Index versetzt, d.h. die Zelle (i,j,k) wird
durch folgende acht Eckpunkte definiert (vgl. Abb. 2.2):
r r r r
x ; x ; x ; x ;
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
i+ , j+ , k+ i− , j+ , k+ i− , j− , k+ i+ , j− , k+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
r r r r
x ; x ; x ; x ; (2.1.1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
i+ , j+ , k− i− , j+ , k− i− , j− , k− i+ , j− , k−
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Zur Bilanzierung jeder Zelle erweist sich die Definition der flächengewichteten Oberflächennormalvektoren
(= normierter Normalvektor multipliziert mit der Fläche), ( r r
N =∫ n dS ) als
sehr zweckmäßig, welche den jeweiligen Indexrichtungen i,j,k zugeordnet sind (vgl. Abb. 2.2,
Gl. 2.1.2).
j

Numerischer Lösungsalgorithmus 26
N (1)
i+0.5,j-0.5,k+0.5
i+0.5,j-0.5,k-0.5
V i,j,k
i+0.5,j+0.5,k+0.5
i+0.5,j+0.5,k-0.5
i
N (3)
k
i-0.5,j-0.5,k+0.5
j
i- 0.5,j+0.5,k-0.5
Abb. 2.2: Finites Volumen im strukturierten Rechennetz, (Zelle)ijk
r ⎛
⎞ ⎛
( 1)
r 1 r r r r
N = ndS ≅ ⎜x
−x
⎟×
⎜
∫
x −x
+
⎜ 1 1 1 1 1 1⎟
⎜ 1 1 1
2 ⎝
⎠ ⎝
1
2
1
i+
2
i- 0.5,j+0.5,k+0.5
1 1 1
i+ , j+ , k+ i+ , j− , k− i+ , j− , k+ i+ , j+ , k−
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
r ⎛
⎞ ⎛
( 2)
r 1 r r r r
N = n dS ≅ ⎜x
−x
⎟×
⎜
∫
x −x
+
⎜ 1 1 1 1 1 1⎟
⎜ 1 1 1
2 ⎝
⎠ ⎝
1
2
1
j+
2
1 1 1
i+ , j+ , k+ i− , j+ , k− i+ , j+ , k− i− , j+ , k+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
r ⎛
⎞ ⎛
( 3)
r 1 r r r r
N = n dS ≅ ⎜x
−x
⎟×
⎜
∫
x −x
+
⎜ 1 1 1 1 1 1⎟
⎜ 1 1 1
2 ⎝
⎠ ⎝
1
2
1
k+
2
1 1 1
i+ , j+ , k+ i− , j− , k+ i− , j+ , k+ i+ , j− , k+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
( 2)
N
(2.1.2)
Als letzte metrische Größe wird das Volumen der Zelle (i,j,k) Vijk benötigt, welches durch
Aufsummieren aller 6 Tetraedervolumina aus denen die Hexaederzelle zusammengesetzt ist,
bestimmbar ist (Chakravarthy 1988, Schuemie 1998).
2.2 Netzbewegung/Netzverformung
Die zeitliche Änderung einer Feldgröße Φ bezogen auf eine sich mit der Geschwindigkeit r w g
bewegende Zelle (∂Φ/∂t)rel kann mit der zeitlichen Änderung bezogen auf einen raumfesten
Punkt (∂Φ/∂t)abs durch die Beziehung

Numerischer Lösungsalgorithmus 27
∂Φ
Φ x w dt t dt Φ x t ∂Φ
∂Φ
∂t
dt ∂t
∂x
w
⎛ ⎞ i + i + − i
⎜ ⎟ =
=
⎝ ⎠
⎛
( , ) ( , ) ⎞
⎜ ⎟ + ⋅
⎝ ⎠
rel
g
abs
i
g
i
(2.2.1)
verknüpft werden. Dadurch und durch Anwendung des Gauß'schen Integralsatzes ändert sich
das lokale Glied in den Erhaltungsgleichungen folgendermaßen:
⎛∂Φ⎞
∂Φ
∂wi
g
⎜ ⎟ dV = dV Φ dV Φwi
ni dS
⎝ ∂t
⎠ ∂t
∂x
abs V
V i S
⎛ ⎞
⎜ ⎟ + −
⎝ ⎠
144 2443
14 24
3
∫ ∫ ∫ ∫
V rel
g
* **
(2.2.2)
Term (*) in dieser Gleichung beinhaltet den Ausdruck (∂w g i/∂xi), der direkt mit der
Volumenänderung einer Zelle im Zusammenhang steht. Insofern ist dieser Ausdruck nur dann
von Bedeutung, wenn sich das Rechennetz verformt. Formal kann dieser Term zu den
Quelltermen hinzugefügt werden:
w
Hrel =−Q x
∂
∂
g
i
i
(2.2.3)
Term (**) in Gleichung (2.2.2) wird üblicherweise zu den konvektiven Flüssen E hinzugefügt.
Das führt dazu, daß in denjenigen konvektiven Anteilen, die durch Anwendung des
Transporttheorems (Gleichung 1.1) entstanden sind, der Ausdruck
ersetzt wird durch:
r r
w⋅ n : Normalgeschwindigkeit
r r g r
( w −w ) ⋅ n : relative Normalgeschwindigkeit zwischen der
Strömung und der sich bewegenden Zelloberfläche
Die Eulerflüsse Erel für sich bewegende und verformende Netze lauten nun:
Hauptgleichungen:
⎡0
⎤
r r g r ⎢ r ⎥
Erel = [ ( w −w ) ⋅ n] Q + ⎢p
n ⎥
⎣
⎢
r r
p( w⋅n ) ⎦
⎥
TM
E =
r r g
w −w r TM
⋅n
Q
[ ]
Turbulenzgl. (TM=SA,kε): rel ( )
Die Diffusionsflüsse En erfahren durch die Netzbewegung folglich keine Änderung.
2.3 Zusätzlicher Quellterm für gleichförmige Rotation
(2.2.4)
(2.2.5)
Gleichförmige Rotation ist bei der Berechnung von Laufradströmungen von großer
Bedeutung. Prinzipiell muß lediglich gesetzt werden:

Numerischer Lösungsalgorithmus 28
g
r r
g r ∂wi
w = Ω × x;
→ = 0 (2.3.1)
∂x
i
Will man nun rotierende Kanäle mittels bewegter Netze simulieren, so ist dies mit den bisher
abgeleiteten Gleichungen durchaus möglich, allerdings müßte dabei instationär gerechnet
werden.
Aufgrund der Tatsache, daß die Relativströmung aber durchaus als stationär betrachtet werden
kann, und man das ständige Weiterdrehen des Rechennetzes umgehen will, behilft man sich für
diesen Spezialfall durch ein "Zurückdrehen" des Impulsvektors ρ r w um ( r Ωdt ) (s. Abb. 2.3).
dw
dw * x w dt
Ω
w(t +dt)
x (t +dt)
Ro t ation sach se
r r r
Abb. 2.3: Gleichförmige Rotation : * r
∂w = ∂w
− Ω×
w dt
x (t )
"Zurückdrehen" des Geschwindigkeitsvektors um ( r Ωdt )
w(t )
r r
∂ρ ( w)
∂ρ ( w)
r r
= ρw
∂t
∂t
⎛
*
⎞
⎜
⎟ + Ω ×
(2.3.2)
⎝ ⎠
Diese Vorgangsweise umgeht also das instationäre Weiterdrehen des Rechennetzes, ermöglicht
insbesondere alle Konvergenzbeschleunigungstechniken für stationäre Strömungen, resultiert
aber in einem Quellterm für die Impulsgleichungen und entspricht damit der Beschreibung im
Relativsystem mit absoluten Strömungsgrößen (s. z. B. Gallus et. al. 1995, Paßrucker 1997).
H rot
⎡0
⎤
⎢r
r ⎥
=− ⎢Ω×
ρ w⎥
(2.3.3)
⎣
⎢0
⎦
⎥
2.4 Approximation der Volumenintegrale und der Quellterme
Eine zell-zentrierte Formulierung ist gewissermaßen durch die Approximation der in den
Grundgleichungen vorkommenden Volumenintegrale definiert:

Numerischer Lösungsalgorithmus 29
∂Q
∂Q
∂t
∂
dV
t V
ijk
∫ ≅ ijk
(2.4.1)
V
ijk
( )
∫H dV≅H Qijk ⋅ Vijk = Hijk
⋅ Vijk
(2.4.2)
V
ijk
Das bedeutet, daß zugehörig zu jeder Zelle (i,j,k) ihr volumetrischer Mittelwert Qijk
abgespeichert wird.
Die Quellterme der Turbulenzgleichungen beinhalten außerdem Ableitungen der
Geschwindigkeiten (z.B.: Berechnung der Wirbelstärke W , Produktionsterm für die turbulente
kinetische Energie Pk,...). Diese Gradienten werden hier im Sinne einer zentralen
Diskretisierung approximiert. Wendet man den Gauß'schen Integralsatz auf eine Zelle im
strukturierten Rechennetz an, und verwendet man zusätzlich die Definition der
flächengewichteten Normalvektoren nach Gleichung (2.1.2), so erhält man für den Gradient
einer Größe Φ:
Gauß' scher Integralsatz:
r r
∇ ΦdV = ΦndS
∫ ∫
V S
ijk
⇒
r
∇ ≅
ijk V ⎣
⎢
ijk 2
+
r
N −
2
+
r
N
1
r ( 2)
1
+ ( Φij+ 1k + Φ ijk) N+ 1/ 2 − ( Φij− 2
2
r
k + Φ ijk)
N−
1
r ( 3)
1
+ ( Φijk+ 1 + Φ ijk) N+ 1/ 2 − ( Φijk− 2
2
r
+ Φijk)
N−
1 ⎡ 1
( 1)
1
( Φ) ( Φ i 1jk Φ ijk) 1/ 2 ( Φi jk Φ ijk)
2.5 Diskretisierung der Eulerflüsse
( 1)
+ + −1 −1/
2
( 2)
1 1/ 2
( 3)
1 1/ 2
⎤
⎥
⎦
(2.4.3)
In diesem Abschnitt soll nun eine numerisch geeignete Form der Approximation des
Oberflächenintegrals ∫SEdS einer Zelle abgeleitet werden.
2.5.1 Finite-Volumen-Formulierung des Eulerflusses
Für eine Hexaederzelle im strukturierten Rechennetz (s. Abb. 2.2) ergibt sich formal:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
∫ EdS = ⎜E$
⎜
−E$
⎟
⎟
+ ⎜E$
⎜
−E$
⎟
⎟
+ ⎜E$
⎜
−E$
1 1 1 1 1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
1
S i+ i− j+ j− k+ k−
2 2 2 2 2 2
⎞
⎟
⎟
⎠
(2.5.1.1)
Hier sind $ E i±1/2 die repräsentativen numerischen Flußvektoren an den Zelloberflächen. Dabei
ist zu beachten, daß zur Bestimmung dieser Flüsse statt der normierten, nach außen gerichteten
Einheitsvektoren r n jetzt die flächengewichteten Oberflächennormalvektoren r N gemäß
Gleichung (2.1.2) herangezogen werden. Daraus erklärt sich das negative Vorzeichen an den
Bilanzflächen (i-1/2), (j-1/2), (k-1/2). Da alle drei Anteile in Gleichung (2.5.1.1), welche den

Numerischer Lösungsalgorithmus 30
Indexrichtungen i,j,k zugeordnet sind, völlig gleich aufgebaut sind, kann man folgenden
Formalismus wählen:
S
⎛
EdS = ⎜E$
−E$
⎜ 1
m=
1, 2, 3⎝
∫ ∑
( m) ( m)
+
2
1
−
2
⎞
⎟
⎟
⎠
(2.5.1.2)
Hier bezieht sich (m) auf die jeweilige Indexrichtung. Diese Schreibweise ist völlig analog zur
Definition der flächengewichteten Oberflächennormalvektoren nach Gl. (2.1.2) und impliziert
auch, daß zur Bestimmung des numerische Flusses $ ( m )
E +1/ 2 der entsprechende Normalvektor
r ( )
verwendet wird.
N m
+1/ 2
2.5.2 Stabilitätsbetrachtung des Konvektionsproblems
Eines der Hauptprobleme der numerischen Strömungsmechanik kann darin gesehen werden,
daß eine zentrale Formulierung von Gleichung (2.5.1.2), z.B:
r
E$ = E$ ( Q ; N ) mit Q = 05 . ( Q + Q )
i / / / /
num
+ 1 2 i+ 1 2 i+ 1 2 i+ 1 2 i i+
1
einen numerisch instabilen Algorithmus ergibt (z.B. Benetschik 1991, Sanz 1993, Paßrucker
1997). Dieser Sachverhalt soll im folgenden durch ein "quasi-eindimensionales
Modellproblem", (Gl. 2.5.2.1) veranschaulicht werden, bei dem nur die Beiträge der
Eulerflüsse einer Indexrichtung berücksichtigt werden, die vollständig dreidimensionale
Formulierung jedoch beibehalten wird:
∂Q
i
i Ei Ei
∂t
∂Q
i
i A Q
∂
V
Modellproblem
t V
→ :
+ $ − $
+ 1/ 2 −1/
2 = 0
+ Δ = 0
Δ
( wegen: Δ$
: $ $
E$
∂E
$
E = Ei+ 1/ 2 −Ei− 1/ 2 ≅ ΔQ≅ A ΔQ;
A =
ΔQ ∂ Q
)
(2.5.2.1)
Hier wird A als Jacobimatrix des Flußvektors $ E bezeichnet. Das Gleichungssystem (2.5.2.1)
besteht aus (mindestens) 5 gekoppelten Gleichungen und läßt sich durch eine Eigenwert/
Eigenvektorzerlegung der Flußjacobimatrix A entkoppeln (siehe z. B. Gehrer, 1994):
Rechtes Eigenwertproblem:
i ( i) i
A r = r λ → AR = RL; mit:
1
R = [ r
2
r
3
r
4
r
5
r ]
Linkes Eigenwertproblem:
i i ( i)
l A = λ l → LA = LL;
mit:
1
L = [ l
2
l
3
l
4
l
5
T
l ]
Eigenvektorzerlegung der Flußjacobimatrix A: A = R L L ( R L = L R = I)
(2.5.2.2)
Das Entkoppeln des Modell-Gleichungssystems (2.5.2.1) kann nun durch die Zerlegung der
Flußjacobimatrix A in ihre Eigenwerte und Eigenvektoren (A=RLL), sowie durch die
Einführung der Charakteristischen Variablen C bewerkstelligt werden:

Numerischer Lösungsalgorithmus 31
∂C
i
∂C = L∂Q ⇒ Vi + L ΔC= 0 (2.5.2.3)
∂t
Diese entkoppelten Modellgleichungen sind nun vom Typus Wellengleichung, wobei die
Wellengeschwindigkeiten den Komponenten der Diagonalmatrix L entsprechen. Das Ergebnis
r r r g
U = ( w −w
) N;
k
r
⎡U
k −c
N
⎤
⎢
⎥
⎢ Uk
⎥
L = ⎢
U
⎥
k
(2.5.2.4)
⎢
⎥
⎢
Uk
⎢
r
⎥
⎣
Uk + c N ⎥
⎦
bedeutet physikalisch, daß sich Störungen mit Schallgeschwindigkeit, relativ zur
Strömungsgeschwindigkeit oder mit Strömungsgeschwindigkeit selbst ausbreiten. Dabei wird
im Rahmen der Finiten-Volumen-Approximation unter "Strömungsgeschwindigkeit" (hier U k)
die (zwischen Strömung und der sich bewegenden Zelle) relative Normalgeschwindigkeit
verstanden ("Kontravariante Geschwindigkeit"). Die rechte und linke Eigenvektormatrix (R,L)
können ebenfalls geschlossen-analytisch ermittelt werden und wurden aus Chakravarthy, 1988
übernommen.
Wählt man nun zur zeitlichen Integration von Gl. (2.5.2.3) ein zeitlich explizites Verfahren
erster Ordnung, so können mit dieser Gleichung elementare Stabilitätsuntersuchungen
durchgeführt werden (z.B.: Paßrucker 1997).
C
• Zentrale Diskretisierung: ΔC≅Ci+ − C − =
+ C
−
C + C C
=
−C
n n in
1/ 2 i 1/ 2
2 2 2
C C
⇒ Ci C
n
i n
i n
i n
t ⎛
+ + − ⎞
1 L Δ
−
= − ⎜ 1 1⎟
V ⎝ 2 ⎠
−
• Linksseitige Diskretisierung: ( ΔC) ≅C −C
+ i − + −
n
i n
i n
i n
i n
1 1 1 1
i
⇒ instabil ! (2.5.2.5)
i n
i− n 1
⇒ Ci C I C
n
i n + 1 ⎛ L Δt⎞ L Δt
= ⎜ − ⎟+
⎝ V ⎠ V
+
• Rechtsseitige Diskretisierung: ( ΔC) ≅C −C
i i
i n
−1
⇒ stabil für: Vi
)
( k)
>Δ t und λ(
λ k >0 (2.5.2.6)
i+ n
1
⇒ Ci C I C
n
i n + 1 ⎛ L Δt⎞ L Δt
= ⎜ + ⎟−
⎝ V ⎠ V
⇒ stabil für: Vi
−λ
i n
( k)
Δ
i i
i n
+ 1
( )
> t und λ k

Numerischer Lösungsalgorithmus 32
(vorzeichenrichtige) räumlich einseitige Diskretisierung des Modellproblems (2.5.2.3) das
einfache Stabilitätskriterium:
Δt λmax CFL = < 1 (2.5.2.8)
V
2.5.3 Numerisch stabile Approximation des Konvektionsproblems durch
vorzeichenrichtige, einseitige Diskretisierung der charakteristischen
Gleichungen
Die Ergebnisse der Stabilitätsuntersuchung im vorhergehenden Abschnitt können nun dazu
benutzt werden, um für Gleichung (2.5.2.3) ein stabiles Diskretisierungsschema zu
konstruieren. Das Ergebnis der Gleichungen (2.5.2.6), (2.5.2.7) kann auch so interpretiert
werden, daß ein numerischer Algorithmus genau dann stabil ist, wenn die Diskretisierung mit
dem Informationsfluß der sich ausbreitenden Welle konsistent ist:
rechtslaufende Welle λ>
0 ⎫
⎬
Informationsfluß: von linksin die Zelle⎭
linkslaufende Welle λ<
0 ⎫
⎬
Informationsfluß: von rechts in die Zelle⎭
⇒
⇒
linksseitige Diskretisierung
rechtsseitige
Diskretisierung
Die mathematische Formulierung dieser Tatsache lautet mit den Schaltfunktionen L ± :
oder
∂C
i + - - +
± L ± L
V i + L ( ΔC) + L ( ΔC) = 0 mit L =
∂t
2
[ ]
∂C
( C) ( C) ( C)
∂t
V zentral
+ −
i + L - =
L
Δ Δ - Δ 0 (2.5.3.1)
2
Man erkennt, daß zusätzlich zum zentralen Anteil (aus Stabilitätsgründen) ein diffusiver Anteil
- 0.5 L
+ ( ΔC) -
− ( ΔC)
hinzukommt. Die Rücktransformation von den charakteristischen
[ ]
Variablen C auf die konservativen Variablen Q erfolgt wieder mit der Beziehung ∂C = L∂Q und mit ΔE$ = A ΔQ= ( R L L) ΔQ
∂Q
∂t
i
[ ]
zentral
+ −
V i + ( ΔE$ 1
) - R L L ( ΔQ) - ( ΔQ)
= 0 (2.5.3.2)
2
Gleichung (2.5.3.2) dient nun als Basis für die Konstruktion des
numerischen Flußvektors.
Setzt man für den Q-Verlauf abschnittsweise Geraden an, so erhält
man ein Verfahren erster Ordnung mit
+
( )
ΔQ = Q −Q
−
1 ; ( )
i+ i
ΔQ = Q −Q
i i−1 ,
i- 1
Q
G e r a d e - ' li n k s '
Ge ra d e -' re ch t s'
i i+ 1

Numerischer Lösungsalgorithmus 33
das einen numerischen Diffusionsterm zweiter Ordnung ergibt:
+ − ( Δ ) ( Δ )
Q − Q = Q − 2Q
+ Q
i+ 1 i i−
1
Um formal wieder die konservative Form von Gleichung (2.5.1.2) zu erhalten, inkludiert man
die numerische Diffusion in die Definition des numerischen Flußvektors:
∂Q
∂t
E$
i
num num
V + E$ − E$
= 0
i
1 1
i+
i−
2 2
( ) + ( )
E$ Q $
+ 1 E Q 1
=
− R L L( Qi+ 1 −Qi
)
(2.5.3.3)
2 2
num
1
i+
2
i i
Für ein Verfahren höherer Ordnung setzt man zweckmäßigerweise die rechts/linksseitigen
Differentiale (ΔQ + , ΔQ - ) als Tangenten von rechts/linksseitigen Parabelsegmenten an:
Q
Δ = Δξ + + +
⎛ rechts
∂ ⎞
⎜ ⎟ = 05 . 2 − − 2 − 2 1 +
⎝ ∂ξ ⎠
+ ( Q)
− ( Q)
( ξ= ξ )
i
( ξ= ξ )
( Q Q ) ( Q Q Q )
i i i i i
Q
Δ = Δξ
⎛ links
∂ ⎞
⎜ ⎟ = 0. 5 − + − 2 +
⎝ ∂ξ ⎠
i
( Q Q ) ( Q Q Q )
i i− 2 i i−1 i−
2
Der sich daraus ergebende numerische Diffusionsterm 4.Ordnung lautet:
1
2
+ −
( ΔQ) − ( ΔQ)
=− ( Q − 4Q + 6Q + 4Q
−Q
)
i+ 2 i+ 1 i i−1 i−
2
Auf analoge Weise erhält man wiederum eine konservative numerische Flußvektorform für die
Lösung des Konvektionsproblems. Für den numerischen Fluß ergibt sich daraus:
E$
( ) + ( )
E$ Q E$ + 1 Q 1 Q + 2 − 3Q + 1 + 3Q
−Q
−1
=
+ R L L (2.5.3.4)
2 2
2
num i i i i i i
1
i+
2
2.5.4 TVD Upwind Verfahren nach Roe, 1981
P a r a b e l - 'l i n k s '
i-2 i-1
i i + 1 i+ 2
Eine eindimensionale, gasdynamisch motivierte Vorgangsweise um genaue, oszillationsfreie
und zugleich numerisch stabile Lösungen des Konvektionsproblems zu erhalten, ist die
Anwendung von sog. Riemann Lösern (z.B.: Chakravarthy 1988, Benetschik 1991, Gallus et.
al. 1995, Gehrer 1994, sowie PAPER 1).
Diese Technik hat sich insbesondere bei transsonischen Strömungen, wo Sprunglösungen in
den Eulergleichungen enthalten sind (z.B.: Verdichtungsstoß) etabliert. Dabei wird von einer
an den Zellgrenzen prinzipiell unstetigen Zustandsverteilung der konservativen Variablen Q
ausgegangen (s. Abb. 2.5.4.1). Die Sprünge an jeder Zellgrenze (Q + -Q - ) werden nun als
Δξ
Q
Δξ
Pa ra be l -'r ec hts'
Δξ Δξ
(Δξ = 1)
ξ

Numerischer Lösungsalgorithmus 34
Anfangswerte eines sog. Riemann-Problems interpretiert (z.B.: das Aufbrechen eines
Drucksprunges in einem Stoßwellenrohr), das eindimensional analytisch gelöst werden kann (s.
Abb. 2.5.4.2). Die Störungen, die durch dieses Riemannproblem in die jeweiligen Zellen
transportiert werden, führen dann zu einem stabilen Algorithmus, wobei die numerischen
Diffusionsterme automatisch und in physikalischer Übereinstimmung mit der
Störungsausbreitung generiert werden.
Q
Expansionsfächer
r1
i-1
-
+
i-0.5
-
+
i i+1
i+0.5
Zellgrenzen
Abb. 2.5.4.1: Unstetige Zustandsverteilung zwischen den Berechnungszellen
t
r
Kontaktunstetigkeit
i
Verdichtungsstoß
Abb. 2.5.4.2: Riemann - Problem: Weg - Zeit - Diagramm, Dichteverteilung über x
r2
x
x

Numerischer Lösungsalgorithmus 35
Die Berechnung der Anfangswerte des Riemann-Problems (Q + ,Q - ) (=Projection Stage)
erfolgte in dieser Arbeit mit einem TVD (Total Variation Diminishing) Interpolationsverfahren
nach Chakravarthy, 1988.
Der dafür verwendete MINMOD - limiter ist folgendermaßen definiert:
sign(a) + sign(b)
minmod(a,b) : =
min a , b
2
( )
(2.5.4.1)
Damit ergeben sich die linksseitig und rechtsseitig interpolierten Zustände an den
Zelloberflächen (i+1/2) als:
+
1+
Φ ⎛ 3 −Φ
Q = Q − minmod⎜Q
−Q
, Q Q
4 ⎝ 1−
Φ
1
i+
2
( − )
i+ 1 i+ 1 i i+ 2 i+
1
1−
Φ ⎛
3−
Φ ⎞
− minmod⎜Qi+
−Q
i+ ( Qi+ −Q
i ) ⎟
4 ⎝ 2 1, 1
1−
Φ ⎠
−
1+
Φ ⎛ 3 −Φ
Q = Q + minmod⎜Q
−Q
, Q Q
4 ⎝ 1−
Φ
1
i+
2
( − )
i i+ 1 i i i−
1
1−
Φ ⎛ 3−
Φ ⎞
+ minmod⎜Qi
−Q
i− ( Qi+ −Q
i ) ⎟
⎝ 1, 1
4
1−
Φ ⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
(2.5.4.2)
Φ ist dabei ein Interpolationsparameter, mit dem der Diskretisierungsfehler des Verfahrens
noch variiert werden kann. Abseits von steilen Gradienten und lokalen Extrema (der minmod-
Operator in Gl. (2.5.4.2) liefert dann immer den ersten Wert) erhält man
+
1
i+
2
Q = Q −
i+
1
− + −
1
i+
2
i
Q = Q +
1 Qi+ 2 −Q
i Φ
+ + 2 − + 1 +
2 2 4
( Q 2Q
Q )
i i i
1 Qi 1 −Q
i 1 Φ
+ − +
2 2 4
( Q 2Q
Q )
i+ 1 i i−
1
wobei Q + durch eine Taylor-Reihenentwicklung um (i+1) im Intervall (i,..,i+2) und Q - durch
eine Taylor-Reihenentwicklung um (i) im Intervall (i-1,..,i+1) ebenfalls gewonnen werden
können. Φ=0 ergibt eine lineare Interpolation, während bei Φ=1/2 eine Parabel durch diese
jeweils drei benachbarten Punkte gelegt wird. Üblicherweise wird Φ=1/3 gesetzt. Bei einem
lokalen Extremum liefert der minmod-Operator Null und man erhält
+
1
i+
2
Q = Q
i+
−
1
i+
2
1 sowie Q = Qi
,
was einer Anfangsverteilung des nur von erster Ordnung genauen Basisverfahrens nach
Godunov, 1959 entspricht.

Numerischer Lösungsalgorithmus 36
Roe, 1981 entwickelt seinen approximativen Riemann-Löser (Evolution Stage) nun ausgehend
von einem vereinfachten Riemannproblem, das auf einfache Weise analytisch lösbar ist, sofern
die Zustände innerhalb des Bilanzelementes als konstant angenommen werden (Roe 1981,
Chakravarthy 1988, Gehrer 1994).
∂Q
i Roe⎛∂Q
⎞
Approximatives Riemann − Problem (Roe):
i + A ⎜ ⎟ =
∂t
⎝∂ξ⎠
V 1 0 (2.5.4.3)
Die nach Roe definierte Flußjacobimatrix A Roe sei abschnittsweise konstant (im Intervall
i,..,i+1), wird mit einem speziellen Roe-Mittelwert Q Roe =f(Q + ,Q - ) gebildet und erfüllt folgende
Bedingung:
A
+ − ( , )
i+
2
∂E
$
= A ⋅ Q − Q = E Q −E
Q
∂Q
Roe Roe
Roe
Q= Q Q Q
Die Forderung (2.5.4.4) ergibt für Q Roe :
+ − ( ) $ + ( ) $ − ( )
r + + r − −
+ + − −
Roe + − r Roe w ρ + w ρ Roe h tot ρ + h tot ρ
ρ = ρ ρ ; w =
; h tot =
;
+ −
+ −
ρ + ρ
ρ + ρ
i
(2.5.4.4)
(2.5.4.5)
Die Lösung des (approximativen) Riemann-Problems kann wiederum auf eine konservative
Erhaltungsform gebracht werden (s. z. B.: Gehrer, 1994), wobei der numerische Flußvektor
folgende Form annimmt (o.B.d.A.: Δξ = 1):
⎛ ⎞
$ num
E E$ +
Q E$ −
Roe + −
= ⎜ ⎟ Q ( R L) Q Q
i+
⎜ i+ ⎟
⎝ ⎠ i+ i+
i+ i+
+
1
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎜ ⎟⎟
1
⎛ ⎞
⎜ ⎜ ⎟
− ⎜ − ⎟
1
1
1 L
⎟ 1 ⎜ 1 1⎟
(2.5.4.6)
2
⎝ ⎝ ⎠⎠
2 ⎝ ⎠
2
2
2
Es soll noch bemerkt werden, daß die hier verwendete TVD Interpolation zusammen mit dem
Riemann Löser nach Roe, abseits von lokalen Extrema und steilen Gradienten (und für Φ=1/2),
folgenden numerischen Diffusionsterm ergibt:
1
⎛
− 1 −
+ ⎜ 1
2 i ⎝ +
⎞
Roe
( ) ⎜ + − ⎟
Roe
R L L Q Q =+ ( R L L) ⋅ ( Q − 3Q + 3Q
−Q
)
2
⎟
⎠
1
1
i i+ 2 i+
2 2
2
1
2
2
1
8
2
i+ 2 i+ 1 i i−
1
Dieses Ergebnis unterscheidet sich vom Ergebnis in Gleichung (2.5.3.4), das durch
vorzeichenrichtige, einseitige Diskretisierung der charakteristischen Gleichungen (zweiter
Ordnung) erhalten wurde, im wesentlichen nur durch den Vorfaktor 1/4, was einer
entsprechend geringeren numerischen Dissipation entspricht.
Betrachtet man das von erster Ordnung genaue Basisverfahren, wo die Zustände innerhalb
eines Bilanzelements als konstant angenommen werden, also Q + i+0.5 = Qi+1 und Q - i+0.5 = Qi, so
ist das Ergebnis für den diffusiven Anteil des numerischen Flusses wiederum in völliger
Übereinstimmung mit der vorzeichenrichtigen einseitigen Diskretisierung der charakteristischen
Gleichungen (erster Ordnung) (Gl. (2.5.3.3))

Numerischer Lösungsalgorithmus 37
1
⎛
− 1 −
+ ⎜ 1
2 i ⎝ +
⎞
Roe
( ) ⎜ + − ⎟
Roe
R L L Q Q =− ( R L L) ( Q −Q
)
2
⎟
⎠
1
1
i i+ 2 i+
2 2
2
2.5.5 Zentrales Verfahren mit numerischer Dissipation
1
i+ 1 i
Eine weit verbreitete Vorgangsweise besteht darin, die Eigenwert-Eigenvektor-Zerlegung der
Flußjacobimatrix A=RLL nicht exakt, sondern nur näherungsweise durchzuführen. Das
resultiert in einer vereinfachten Form für die numerische Diffusion. Üblicherweise wird eine
sog. Spektralradiusskalierung vorgenommen (z.B.: Paßrucker, 1997), d.h.:
R L L ≅ελ max
(2.5.5.1)
λ max ist wieder der betragsmäßig größte Eigenwert der Flußjacobimatrix A und wird als
Spektralradius bezeichnet. Der benutzerdefinierte, dimensionslose Vorfaktor ε dient zur
Steuerung der numerische Diffusion.
Dissipationsfunktionen 4. Ordnung können durch Vereinfachung von Gleichung (2.5.3.4)
gewonnen werden und Dissipationsfunktionen 2. Ordnung ergeben sich aus der Vereinfachung
von Gleichung (2.5.3.3).
Man wählt nun zusätzlich einen Drucksensor p(γ), um zwischen Funktionen 4. Ordnung
(genau, mäßig stabil) und Funktionen 2. Ordnung (ungenau, sehr stabil) je nach den lokalen
Druckgradienten umzuschalten (Pulliam 1986). Diese Vorgangsweise entspricht der
(vereinfachten) Funktion des minmod-Limiters Gl.(2.5.4.1) bei der Anwendung des TVD-
Upwind Verfahrens nach Kap. 2.5.4.
Daraus ergibt sich eine mögliche Form des numerischen Flußvektors bei zentraler
Diskretisierung mit numerischer Dissipation:
E$
( ) + ( )
E$ Q E$ Q
num i+ 1 i
1
i+
2
=
2
( 4) ( 2)
max
( 0 ε f γ ε ) λ I ( Qi+ 2 3Qi + 1 3Qi
Qi−
1)
+ max , − ( ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + −
1
i+
2
( 2)
max
1
i+
2
( )
−f ( γ) ⋅ε ⋅λ ⋅I ⋅ Q −Q
i+ 1 i
p − 2p
+ p
mit: f ( γ) = max ( γ i, γ i+ 1)
γ i =
p + 2p
+ p
i+ 1 i i−1
i+ 1 i i−1
( 4) ( 2)
Erfahrungswerte für ε sind: ε ≅ 0. 004 ÷ 0125 . ε ≅ 05 . ÷ 2. 0
(2.5.5.2)
Ein Vergleich mit den Sonderfällen des TVD - Upwind - Verfahrens in Kap. (2.5.4) führt (mit
Φ = 0.5 und mit der Annahme, daß R und L etwa von der Dimension I sind) zu folgenden ε-
( 4) ( 2)
Werten: ε ≅ 1/ 16 = 0. 0626 ε ≅1/
2

Numerischer Lösungsalgorithmus 38
2.6 Diskretisierung der Diffusiven Flüsse En
In diesem Abschnitt soll eine numerisch repräsentative Form der Approximation des
Oberflächenintegrals ∫SEndS für eine Zelle (i,j,k) abgeleitet werden. Dabei spielt das
Stabilitätsproblem im Gegensatz zur Diskretisierung der Eulerflüsse nur eine untergeordnete
Rolle, da die physikalische Diffusion grundsätzlich einen stabilisierenden Effekt hat.
2.6.1 Finite Volumen Form des Diffusiven Flusses
Für eine Hexaederzelle im strukturierten Rechennetz ergibt sich analog zu Gleichung (2.5.1.2)
S
⎛
E dS ≅ ⎜E$
−E$
⎜ 1
m=
1,.., 3⎝
( m) ( m)
ν ν
+
2
ν 1
−
2
∫ ∑
⎞
⎟
⎟
⎠
Das impliziert wiederum, daß zur Bestimmung des numerischen Flusses $
(2.6.1.1)
( m )
Eν+1 der
/ 2
entsprechende flächengewichtete Normalvektor r N m ( )
nach Gleichung (2.1.2) verwendet wird.
+1/ 2
2.6.2 Geschwindigkeits/Temperatur-Gradienten zur Bestimmung der
Schubspannungen und Wärmeströme
Die Diffusionsflüsse beinhalten die Komponenten des Spannungstensors und Wärmeströme,
welche durch erste Ableitungen der Geschwindigkeiten und Temperaturen nach Gleichung
(1.9.2) und (1.9.4) bestimmt werden müssen.
Im Rahmen eines Finite-Volumen-Konzeptes wendet man dazu zweckmäßigerweise den Satz
von Gauß (z.B: Furukawa et. al., 1992) an. Für eine Größe Φ erhält man
V
∂Φ
∂Φ
dV = Φni
dS → ≅
∂x
∂x
V
1
∫ ∫ ∑
i
S
wobei r N S der nach außen gerichtete, flächengewichtete Normalvektor ist.
i
S
Φ
S
N
S
i
(2.6.2.1)
Zur Bestimmung der ersten Ableitungen an der Bilanzgrenze "i+1/2" wird nun Gleichung
(2.6.2.1) lediglich auf ein um "+1/2" versetztes Bilanzvolumen angewendet, welches die
Zelloberfläche "i+1/2" umschließt (s. Abb. 2.6.2).
Völlig analog wird für die beiden anderen Zell - Indexrichtungen (j,k) vorgegangen.

Numerischer Lösungsalgorithmus 39
Vi+1,j,k
i
Q i+1,j,k
k
1
4
j
V i+0.5,j,k
5
6
Vi,j,k
2
3
Q i,j, k
Abb. 2.6.2: Ein in i-Richtung um "+1/2" versetztes Bilanzvolumen Vi+0.5,j,k
zur Berechnung der Geschwindigkeits- und Temperatur-Gradienten
an der Bilanzgrenze "i+1/2"
In Indexschreibweise läßt sich die wie oben beschriebene Finite-Volumen-Approximation des
Oberflächenspannungsvektors folgendermaßen angeben (die hier verwendeten Indices dürfen
nicht mit den Zell-Indices i,j,k verwechselt werden !):
S
∫
+ 1/2
S
i
τ dS ≅τ
N
ij
( m)
+ 1/ 2 j
μ ∂ ⎛ u ∂u
i j
= ⎜ + −
⎝∂x
∂x
j
i
μ ⎛ S S S S 2 S S ⎞
≅ ⋅ ∑ ⎜ui
N j + u jN
i − uk Nkδ ij⎟N
V ⎝
3 ⎠
+ 1/ 2 S=
1,.., 6
∂
∂ δ
2 u ⎞
k ⎟
ij N
3 x ⎟
⎠
k
( m)
+ 1/ 2 j
( m)
+ 1/ 2 j
(2.6.2.2)
Hier muß über alle sechs Oberflächen (S=1,..,6) des versetzten Volumens V+1/2 aufsummiert
werden (s. Abb. 2.6.2). Auf analoge Weise erhält man für den Wärmestrom an der Bilanzfläche
+1/2:
S
∫
+ 1/2
S
q& ≅q&
N
j
( m)
+ 1/ 2 j
c T
Pr x N
μ p ∂
=
∂
μc
≅ ⋅
Pr V
j
( m)
+ 1/ 2 j
p S
∑
+ 1/ 2 S=
1,.., 6
S
j
T N N
( m)
+ 1/ 2 j
(2.6.2.3)
Man kann nun alle die Geometrie betreffenden Ausdrücke der Gleichungen (2.6.2.2), (2.6.2.3)
zu metrischen Koeffizienten zusammenfassen:

Numerischer Lösungsalgorithmus 40
Definition:
S
i
• Mu j
τ ist der metrische Koeffizient bei u j S zur Bestimmung der Oberflächen-
schubspannungskomponente τ i S an der Bilanzfläche S=1,..,6 des um "+1/2" versetzten
Bilanzvolumens V+1/2.
• M T S ist der metrische Koeffizient bei T S zur Bestimmung des Oberflächenwärmestromes an
der Oberfläche S=1,..,6 des um "+1/2" versetzten Bilanzvolumens V+1/2.
Mit der Definition dieser metrischen Größen erhält man für den Diffusionsfluß $
E$ ν
( m)
+ 1/ 2
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎛
⎢ ⎜
⎜μ
⎢
⎣⎝
S=
1,.., 6
⎤
0
⎥
⎥
⎥
τ1
μ ∑ ⋅
⎥
u j ⎥
= 1,.., 6
⎥
τ
⎥
2 μ ∑ ⋅
= 1,.., 6
τ3
μ ∑ ⋅
= 1,.., 6
⎞ τ
μ
⋅ ⎟ + 1/ 2 + ⋅
,
⎠ Pr = 1,.., 6 ⎦
S
S
u j S
S
u j S
S
u j S
S
M u
j
S
M u
j
⎥
⎥
S
⎥
M u
⎥
j
⎥
⎥
S
k
S S
M u u c
k p MT T
⎥
j
⎥
S
∑ ∑
( m )
Eν+1 :
/ 2
(2.6.2.4)
Ausgeschrieben nehmen die metrischen Terme zur Bestimmung des viskosen Flusses folgende
Gestalt an:
S
τ 1 ⎛4
( ) ( )
Mu = ⎜ N N + N N + N N
1 ⎝ /
3 ,
/ ,
S m S m S ( m)
1 + 1 2 1 2 + 1 2 2 3 + 1/ 2, 3
S
τ 1 ⎛ ( ) 2
Mu = ⎜N
N − N N
2 ⎝ / , 3
S m S ( m)
1 + 1 2 2 2 + 1/ 2, 1
S
τ 1 ⎛ ( ) 2
Mu = ⎜N
N − N N
3 ⎝ / , 3
S m S ( m)
1 + 1 2 3 3 + 1/ 2, 1
S
τ 2 ⎛ ( ) 2
Mu = ⎜N
N − N N
1 ⎝ / , 3
S m S ( m)
2 + 1 2 1 1 + 1/ 2, 2
⎞ 1
⎟
⎠ V
+ 1/ 2
⎞ 1
⎟
⎠ V
+ 1/ 2
⎞ 1
⎟
⎠ V
+ 1/ 2
S
τ 2 ⎛ ( ) 4 ( )
Mu = ⎜N
N + N N + N N
2 ⎝ / ,
/
3 ,
S m S m S ( m)
1 + 1 2 1 2 + 1 2 2 3 + 1/ 2, 3
S
τ 2 ⎛ ( ) 2
Mu = ⎜N
N − N N
3 ⎝ / , 3
S m S ( m)
2 + 1 2 3 3 + 1/ 2, 2
⎞ 1
⎟
⎠ V
+ 1/ 2
⎞ 1
⎟
⎠ V
+ 1/ 2
⎞ 1
⎟
⎠ V
+ 1/ 2

Numerischer Lösungsalgorithmus 41
S
τ 3 ⎛ ( ) 2
Mu = ⎜N
N − N N
1 ⎝ / , 3
S m S ( m)
3 + 1 2 1 1 + 1/ 2, 3
S
τ 3 ⎛ ( ) 2
Mu = ⎜N
N − N N
2 ⎝ / , 3
S m S ( m)
3 + 1 2 2 2 + 1/ 2, 3
⎞ 1
⎟
⎠V
+ 1/ 2
⎞ 1
⎟
⎠ V
+ 1/ 2
S
τ 3 ⎛ ( ) ( ) 4
Mu = ⎜N
N + N N + N N
3 ⎝ / ,
/ , 3
S m S m S ( m)
1 + 1 2 1 2 + 1 2 2 3 + 1/ 2, 3
( ) ( )
( )
( 1 + 1/ 2, 1 2 + 1/ 2, 2 3 + 1/ 2, 3)
S S m S m S m
T
M = N N + N N + N N
⎞ 1
⎟
⎠ V
1
V
+ 1/ 2
2.6.3 Thinlayer-Approximation der Diffusionsflüsse
+ 1/ 2
(2.6.2.5)
Geht man von nicht oder nur schwach abgelösten Strömungen mit hoher Reynoldszahl aus, so
kann mit ausreichender Genauigkeit der Einfluß der Diffusion auf die Wandgrenzschichten
reduziert werden.
In solchen Scherschichten müssen Rechennetze immer normal zur Strömungsrichtung sehr
stark komprimiert werden, um die großen Gradienten in diese Richtung zu erfassen. Die
Gradienten in Strömungsrichtung sind dabei vernachlässigbar klein. Daraus resultieren Zellen
mit sehr großem Längen (-> in Strömungsrichtung) zu Breiten (quer zur Strömungsrichtung)
-Verhältnis.
Für die Berechnung des Diffusionsflusses bedeutet das, daß man die Summation über die
Oberflächen S=1,..,6 reduzieren kann auf eine Summation über S=1,3. Betrachtet man dazu die
versetzte Hilfszelle (s. Abb. 2.6.2) und nimmt an, daß die Indexrichtung i quer zur
Strömungsrichtung verläuft, so wären die Bilanzflächen S=2,4,5,6 klein gegenüber den Flächen
S=1,3.
Eine Konsequenz dieser Überlegung ist, daß der Diffusionsfluß nun lediglich eine Funktion der
beiden Zustände Qi und Qi+1 ist. Von dieser Tatsache wird bei der Linearisierung des
Diffusionsflusses bei der impliziten Zeitintegration Gebrauch gemacht.
In dieser Arbeit wurde diese Alternative in das Programmsystem inkludiert, da sie für viele
Strömungen (z.B. Aerodynamik des Tragflügels, etc.) als ausreichend genau betrachtet werden
kann.
2.7 Semi - diskrete Erhaltungsform
Wendet man nun die Approximation der Volumenintegrale und der Quellterme, die
Diskretisierung der Eulerflüsse sowie die Diskretisierung der Diffusiven Flüsse an eine Zelle
(i,j,k) im strukturierten Rechennetz an, so erhält man folgendes semi-diskrete
Gleichungssystem:
∂Q
∂t
ijk
( m)
⎛ ⎞ ⎛
num num
num num
∑ ⎜$
$ ⎟ −
⎜ ⎟ ∑ ⎜$
ν − $
1 1 ⎜ 1 ν 1
m=
1,.., 3⎝
+ − ⎠ m=
,.., ⎝ + −
2 2
1 3
2 2
( m)
⎞
Vijk + E −E
E E ⎟ = H ⋅V
⎟
⎠
ijk ijk
(2.7.1)

Numerischer Lösungsalgorithmus 42
Um nun verschiedene Arten von zeitlicher Integration übersichtlich zu beschreiben, empfiehlt
sich die Definition des Right-Hand-Side-Vektors RHS. Gleichung (2.7.1) wird damit zu:
⎡
( m)
1
⎛ ⎞ ⎛
num num
RHSijk = Hijk −
⎢ ⎜E
−E
⎟ − ⎜E
V ⎢ ∑ $ $
⎜ ⎟ ∑ $
1 1 ⎜
ijk m 1,.., 3⎝
+ − ⎠ m=
⎣⎢
2 2
1,.., 3⎝
∂Q
ijk
= RHSijk
∂t
1
2
−E$
num num
=
ν
+
ν 1
−
2
⎞
⎟
⎟
⎠
( m)
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
(2.7.2)
Für stationäre Strömungen muß bei konvergenter Lösung RHS zu Null werden und kann
somit direkt als (ein mögliches) Konvergenzkriterium verwendet werden.
Im hier entwickelten Programmsystem können nun zwei Varianten der numerischen Eulerflüsse
$
num r g
E +1/ 2 verwendet werden, wobei die Netzbewegung w immer in den Eulerflüssen inkludiert
ist (bei ruhenden Netzen wird r w g Null gesetzt):
• TVD Upwind Verfahren nach ROE
(nach Kap. 2.5.4, Gleichung (2.5.4.6))
• Zentrales Verfahren mit numerischer Dissipation
(nach Kap. 2.5.5, Gleichung (2.5.5.2))
Für die diffusiven Flüsse $
num wird unterschieden zwischen
Eν+1/ 2
• Full-Navier-Stokes (nach Gleichung (2.6.2.4))
• Thinlayer-Approximation (gemäß Kap. 2.6.3)
Folgende Quellterme H ijk können berücksichtigt werden:
• Quellterm der verwendeten Turbulenzgleichung (Gl. (1.11.2.2), (1.11.3.1))
• Quellterm für die gleichförmige Rotation (Gl. (2.3.3))
• Quellterm der Netzverformung, Volumenänderung einer Zelle (Gl. 2.2.3)
2.8 Implementierung der Randbedingungen
Prinzipiell werden alle Randbedingungen durch die Verwendung von Phantomzellen
aufgeprägt. Dabei wird das Rechennetz am Rand um eine (virtuelle) Phantomzelle erweitert.
Die Werte der konservativen Variablen Q in der Phantomzelle werden dann genau so
berechnet, daß der Wert an der Berandung (=Mittelwert zwischen Phantomzelle und
randnächster innerer Zelle) die entsprechende Randbedingung erfüllt. Dieses einfache
Verfahren macht das Programmsystem in Bezug auf die Randbedingungen äußerst flexibel
(vgl. z.B.: Furukawa et. al. 1992).

Numerischer Lösungsalgorithmus 43
Grundsätzlich wird das Update der Phantomzellen immer unmittelbar vor der Berechnung des
Right - Hand - Side - Vektors RHS, durchgeführt, sodaß die Flußbilanz mit den
Randbedingungen immer konsistent ist. Die randnächste innere Zelle kann durch die Existenz
der Phantomzelle vollkommen gleich wie jede andere Zelle bilanziert werden.
Die Stabilitätsbetrachtungen in Kap. 2.5.2 ergaben, daß die Diskretisierung immer mit dem
Informationstransport in einer Zelle im Einklang stehen muß. Diese Überlegungen führen auch
am Rand des Berechnungsgebietes zum analogen Schluß, daß diejenigen Störungen, welche
von außen in das Rechengebiet hineinlaufen, durch Randbedingungen ersetzt werden, und
Störungen, die von innen kommen, durch Extrapolation nach außen transportiert werden
müssen.
Daraus und aus der Betrachtung der Wellengeschwindigkeiten λ (k) nach Gl. (2.5.2.4) kann man
die Anzahl der aufzuprägenden Randbedingungen ableiten. Welche Größen nun als
Randbedingungen gewählt werden ist grundsätzlich problemspezifisch, für Turbomaschinenströmungen
erweisen sich folgende Randbedingungen als sinnvoll (s. Abb. 2.8):
Abb. 2.8: Randbedingungen für den Schaufelkanal
thermischer Turbomaschinen (aus Paßrucker, 1997)
r r g r
• Eintritt (rel. Normalgeschwindigkeit: Unterschall): ( w − w ) n / c 1
• 5 Randbedingungen, alle Strömungsgrößen
r r g r
• Austritt (rel. Normalgeschwindigkeit: Unterschall): ( w − w ) n / c

Numerischer Lösungsalgorithmus 44
• 1 Randbedingung:
• Druck p
• Extrapolation der Dichte ρ, und der Geschwindigkeit r w
r r g r
• Austritt (rel.Normalgeschwindigkeit: Überschall): ( w − w ) n / c >1
• keine Randbedingungen, Extrapolation aller Strömungsgrößen
• feste Wand, reibungsfrei:
• 1 Randbedingung:
r r g r
• ( w − w ) n =0
• Extrapolation von Druck, Dichte und relativer Tangentialgeschwindigkeit
• feste Wand, reibungsbehaftet:
• 4 Randbedingungen:
r r
• w w g
=
• adiabat : ∂T / ∂n
r =0 oder isotherm T=Tw
• Extrapolation des Druckes p
Das Zusammenhängen verschiedener Netzblöcke kann mit diesem System ebenfalls realisiert
werden (Blockrandbedingung). Hier muß der Zustandsvektor der Phantomzelle lediglich aus
dem angrenzenden Nachbarblock kopiert werden.
Der bei Turbomaschinen immer auftretende Fall der Umfangs-Periodizität kann in diesem
Multi-Block System als Spezialfall der allgemeinen Blockrandbedingung gesehen werden.
Allerdings wurde die Blockrandbedingung dafür mit der zusätzlichen Möglichkeit ausgestattet,
den Geschwindigkeitsvektor um den Teilungswinkel (Δϕ Teilung = 2π/zSchaufel) zu drehen.
Weiters wurden folgende turbomaschinenspezifische Randbedingungen, die insbesondere für
3D-Berechnungen von Bedeutung sind, implementiert:
• Radiales Gleichgewicht am Austritt (Unterschall): Da die genaue radiale
Druckverteilung am Abströmrand oftmals nicht bekannt ist, kann der Druck mittels
radialem Gleichgewicht bestimmt werden,
p( r) = pref
+ ∫
r
r
ref
ρ 2
w
r dr
u
wobei hier der umfangsgemittelte Impuls in Umfangsrichtung ρwu einzusetzen ist. Das
heißt, daß lediglich ein Referenzdruck pref und ein Referenzradius rref angegeben
werden müssen, und daß die radiale Druckverteilung während der Iteration
mitberechnet wird.
Die Aufprägung des Gegendruckes erfolgt mit der oben beschriebenen Standard-
Austrittsrandbedingung.
• Rotor-Stator-Interaktion (Unterschall) Bei Stufenberechnungen muß eine geeignete
Schnittstelle zwischen Rotor und Stator programmiert werden. Im Sinne der hier
verwendeten Finiten-Volumen Methodik werden jeweils beim Stator-Austritt und
beim Rotor-Eintritt die konservativen Variablen Q volumsgewichtet gemittelt. Dabei
soll angemerkt werden, daß die Mittelung des Impulsvektors ρ r w in Zylinder-

Numerischer Lösungsalgorithmus 45
koordinaten erfolgt.
Für die Randflächen dieser Schnittstelle wird dann für r=const vom umfangsgemittelten
Zustandsvektor am Rotoreintritt die Austrittsrandbedingung für den
Stator ermittelt. Vom umfangsgemittelten Zustandsvektor am Statoraustritt ergibt
sich die Eintrittsbedingung für den Rotor. Die Aufprägung dieser Randbedingungen
erfolgt wieder mit den oben beschriebenen Standardroutinen.
Die Randbedingungen der Turbulenzgleichungen wurden bereits in Kapitel 1 angegeben und
stehen ebenfalls im Einklang mit der Theorie der Störungsausbreitung.
2.9 Zeitliche Integration der semi-diskreten Erhaltungsform
Die Einführung der semi -diskreten Erhaltungsform (Gl. (2.7.2)) ermöglicht
programmtechnisch eine völlige Trennung zwischen Flußbilanz (-> Berechnung von RHS) und
zeitlicher Integration. In dieser Arbeit wurden sowohl explizite (Runge-Kutta) als auch
implizite Zeitintegrationsverfahren implementiert. Je nach Problemfall muß dann abgeschätzt
werden, wo der günstigste Kompromiß zwischen
• Stabilität (maximal möglicher Zeitschritt (CFL),
Anzahl der Schritte zur Konvergenz)
• Aufwand (Rechenzeit) je Zeitschritt
• Zeitliche Genauigkeit (nur bei instationären Problemstellungen von Bedeutung)
zu finden ist.
2.9.1 Explizites Vier.Schritt-Runge-Kutta Verfahren
Dieses Verfahren zeichnet sich durch große zeitliche Genauigkeit (4. Ordnung für lineare
Probleme, 2. Ordnung für nichtlineare Probleme (Arnone & Swanson, 1993)) und einfache
Programmierbarkeit aus.
Die Stabilität des Verfahrens kann für ein Modellproblem mit CFL=2 3/2 angegeben werden
(Jameson et. al. 1981), allerdings sinkt der maximal mögliche Zeitschritt für komplexe
Probleme und bei hoher räumlicher Auflösung (z.B.: TVD-Upwind dritter Ordnung) auf etwa
CFL=1.
Die zeitliche Integration von Gleichung (2.7.2) erfolgt mit der Definition des zeit- und
zustandsabhängigen Right-Hand-Side Vektors RHS( Q,t ) nach der Vorschrift:
Q (0) = Q n
− − ( , ) ;
( p) ( 0) ( p) ( p 1) ( p 1) ( p) ( 0)
( p)
Q = Q + α Δt⋅ RHS Q t t = t + α Δ t ; p=1...4 (2.9.1)
Q n+1 = Q (4)
mit den Koeffizienten α1=1/4, α2 = 1/3, α3 = 1/2, α4 = 1

Numerischer Lösungsalgorithmus 46
2.9.2 Implizites Verfahren
Dieses Verfahren ist vor allem durch Stabilität gekennzeichnet. Theoretisch liefert eine
implizite Zeitintegration des Modellproblems nach Gleichung (2.5.2.1) einen unbeschränkt
stabilen Algorithmus (z.B.: Benetschik 1991, Paßrucker 1997), allerdings reduzieren wiederum
Näherungen und Vereinfachungen, welche getroffen werden müssen, um die resultierenden
Gleichungssysteme mit vertretbarem Aufwand zu lösen, die Stabilität.
Ausgangspunkt dieses Verfahrens ist die implizite Diskretisierung von Gleichung (2.7.2):
n+ 1 n
Q −Q
Δt
( )
n n n+ 1 n+ 1
n n
( , t ) ( , t ) ( , t )
= RHS Q + λ RHS Q −RHS
Q
(2.9.2.1)
λ ist hier ein Integrationsparameter, mit dem die zeitliche Genauigkeit noch variiert werden
kann.
• Für λ=0 resultiert das explizite Verfahren erster Ordnung, welches in weiterer Folge nicht
berücksichtigt werden soll.
• Für λ=0.5 erhält man die bekannte Sehnen-Trapezregel, für das zeitliche Integral des RHS -
Vektors.
• Das stabilste Verfahren ist schließlich das voll-implizite Verfahren von Genauigkeit erster
Ordnung mit λ=1.
Gleichung (2.9.2.1) steht nun für ein nichtlineares Gleichungssystem für die unbekannten
n+1 n+1
Zustandsvektoren Qijk zum Zeitpunkt t . Dieses System muß nun iterativ gelöst werden.
In dieser Arbeit wurde ein Newton-Algorithmus zur Lösung von Gleichung (2.9.2.1)
programmiert. Die zu lösende Gleichung (2.9.2.1) wird also für einen Newton-Iterationsschritt
(Iterationsindex p) in eine Taylor-Reihe bis zum ersten Glied entwickelt Q n+1 → Q p +ΔQ :
p n
Q + ΔQ−
Q
Δt
⎛
∂RHS
Q
n n p n
= ( − ) RHS( Q t ) + ⎜
+ 1
1 λ , λ
⎜
RHS( Q , t ) +
⎝
∂Q
p n+
1 ( , t )
Startwert: p=1: Q p = Q n
Lösung für: p → ∞ ΔQ → 0 und Q p → Q n+1
p
⎞
ΔQ⎟
⎟
⎠
Das daraus resultierende lineare Gleichungssystem für ΔQ kann formal folgendermaßen
angeschrieben werden:
p n+
1 ( , t )
⎛ RHS Q ⎞
⎜
⎜
I −λ
⎟ Q Q Q
⎝
Q ⎟
=− −
⎠
∂
Δt p Δ
∂
p n ( )
p n+
1 ( , )
+ λΔt⋅RHS
Q t
n n
( 1 λ)
Δt
RHS( Q , t )
+ − ⋅
(2.9.2.2)

Numerischer Lösungsalgorithmus 47
Prinzipiell wäre nun eine exakte Linearisierung des RHS-Vektors denkbar, man erhält dann
aber eine äußerst ungünstige Struktur der zu invertierenden Matrix. Hier wurde die
Linearisierung mit genau solchen Einschränkungen durchgeführt, daß das lineare
Gleichungssystem durch iteratives Lösen von mehreren Block - tridiagonalen
Gleichungssystemen lösbar ist. Damit gelingt es, die sehr große, aber doch spärlich besetzte
Matrix durch mehrfaches Anwenden eines Thomas-Algorithmus zu invertieren.
Die Linearisierung des RHS-Vektors wird nun mit folgenden Einschränkungen durchgeführt,
wobei noch darauf hingewiesen werden soll, daß diese Vereinfachungen zwar die numerische
Stabilität des Verfahren beeinflussen, aber keinerlei Auswirkungen auf das Rechenergebnis
haben, da nur die implizite Seite von Gleichung (2.9.2.2) davon betroffen wird:
• Beschränkung auf ein Verfahren erster Ordnung für die konvektiven Flüsse, wodurch die
Abhängigkeit des Eulerflusses (z.B.: in Index-Richtung i) auf die beiden Zustände Qi und
Qi+1 reduziert wird. Für das TVD-Upwind Verfahren nach Roe
1 Roe
( ( ) ( ) ( L ) ( i i )
$ num 1
Ei+ 1/ 2 = E Qi+ 1 + E Qi − R L Q Q
i+
/ + −
1 2 1
2
2
erhält man mit der zusätzlichen Annahme, daß die Eigenwerte L und Eigenvektoren R, L
der Jacobimatrix A abschnittsweise konstant sind, folgende Linearisierung des Flußvektors
(s. Gallus et. al. 1995):
∂E
$
i+
∂Q
num
1/ 2
−
+
i+ 1/ 2 i+ 1 i+ 1/ 2 i
ΔQ= A ⋅ ΔQ + A ⋅Δ
Q
(2.9.2.3)
wobei die Jacobimatritzen A + , A - mit der Richtung der Wellenausbreitung verknüpft sind:
( ( ) ( L
Roe
) + )
( + ) ( L
Roe
) +
+
Ai+ 1
= A Qi 2
+ R L
i
−
A +
1
= A Q
2
− R L
1/ 2 1/ 2
( )
i 1/ 2 i 1 i 1/ 2
Völlig analog erhält man für das zentrale Verfahren mit numerische Dissipation:
+ 1
( impl)
max
Ai+ 1/ 2 = A( Qi ) + ε ⋅λi+ 1/ 2 ⋅I
2
− 1
( impl)
max
Ai+ 1/ 2 = A( Qi+ 1) −ε ⋅λi+ 1/ 2 ⋅I
2
wobei Erfahrungswerte für den impliziten Dissipationsparameter ε (impl) sind:
ε (impl) = 0.25-0.5
• Beschränkung auf die unter Punkt 2.6.3 beschriebene Thinlayer-Approximation der
Diffusionsflüsse, sodaß der Diffusionsfluß (z.B: in Index-Richtung i) auf eine Funktion der
beiden Zustände Qi und Qi+1 reduziert werden kann. Betrachtet man Gleichung (2.6.2.4), so
motiviert die Tatsache, daß der numerische Diffusionsfluß lediglich eine Funktion der

Numerischer Lösungsalgorithmus 48
Geschwindigkeiten und Temperaturen ist, zu folgender Zustandstransformation:
U = ⎡
⎢
⎣
⎤
r
w
T
⎥
⎦
( ) ∂(
)
∂ ∂U
=
∂Q
∂U
∂Q
Damit erhält man für die Linearisierung des Diffusionsflusses in Thinlayer-Approximation:
num num
Abhängigkeit : $ $ S= 1 S=
3
Eν 1 = Eν ( U , U )
1
+ +
2 2
num
∂E
$ ⎛ num
ν ∂E
$ S ⎞ ⎛ num
ν ∂
∂$
/ / U
E S ⎞
i+
1 2 i+
νi+
/ ∂U
Q =
⎜ 1 2 ⎟
Q
Q
∂Q
⎜ S S i+
S S i
⎝
∂U
∂Q
⎟
+
⎜ 1 2
Δ Δ
⎟
1 ⎜
⎠ ⎝
∂U
∂Q
⎟
Δ (2.9.2.4)
⎠
S=
1
• Alle Terme in den Turbulenzgleichungen werden in Bezug auf die konservativen Größen
( ρρ , , )
r w e während einer Newton - Iteration "eingefroren", es wird also ausschließlich die
Abhängigkeit von den turbulenten Transportgrößen selbst berücksichtigt.
Umgekehrt werden sämtliche Turbulenzgrößen in der Impuls- und Energiegleichung (z.B.
μt) als konstant (für die Änderung innerhalb einer Newton-Iteration) betrachtet.
Die Konsequenz dieser Vorgangsweise ist, daß die tridiagonalen Gleichungssysteme der
Turbulenzgleichungen von den Block-tridiagonalen Systemen der Hauptgleichungen
(Kontinuität, Impuls, Energie) getrennt werden können.
Diese Entkoppelung ermöglicht einen flexiblen Programmaufbau, bei dem auf einfache
Weise zwischen verschiedenen Turbulenzmodellen umgeschaltet werden kann.
• Bei den Quelltermen wird nur die Abhängigkeit des zentralen Terms Qijk berücksichtigt.
Alle anderen Abhängigkeiten, die z.B. durch die Gradientenbildung für die Turbulenzgleichungen
entstehen (s. Kap. 2.4), werden vernachlässigt:
S=
3
∂H
∂H
ΔQ≅Cijk ⋅ ΔQijk
mit: Cijk
=
(2.9.2.5)
∂Q
∂Q
Der Vergleich der Gleichungen (2.9.2.3) und (2.9.2.4) motiviert zum Zusammenfassen der
Jacobimatritzen des Eulerflusses mit den Linearisierungskoeffizienten des Viskosen Flusses in
Thinlayer-Approximation. Damit wird die approximative Linearierung der numerischen
Flußbilanz (für die Indexrichtung i) zu:
( $ num $ num
Ei+ 1/ 2 −Eνi+
1/ 2)
∂
∂Q
⎛ E
− − Euler i+
Ai+ = ( Ai+
) −
⎜∂$
ν
1/ 2 1/ 2 ⎜
⎝
∂U
⎛ E
+ + Euler i+
Ai+ = ( Ai+
) −
⎜∂$
ν
1/ 2 1/ 2 ⎜
⎝
∂U
ijk
−
+
i+ 1/ 2 i+ 1 i+ 1/ 2 i
ΔQ= A ⋅ ΔQ + A ⋅ΔQ
num
1/ 2
S
num
1/ 2
S
∂U
∂Q
∂U
∂Q
S
S
S
S
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
S=
1
S=
3
(2.9.2.6)

Numerischer Lösungsalgorithmus 49
Mit den hier beschriebenen Vereinfachungen kann das Gleichungssystem (2.9.2.2) wie folgt
angeschrieben werden:
( 0)
( 1)
ijk i+ 1jk
ijk i− 1jk
+ K ⋅ ΔQ + K ⋅ΔQ
( 2)
( 3)
ijk ij+ 1k
ijk ij− 1k
+ K ⋅ ΔQ + K ⋅ΔQ
( 4)
( 5)
( 6)
ijk ijk+ 1 ijk ijk−1 ijk ijk ijk
+ K ⋅ ΔQ + K ⋅ ΔQ + K ΔQ
= F
wobei die Koeffizienten K (0,..,6) sich ergeben zu:
( 0)
λΔt
K ijk A
V
−
= i+
1/ 2
ijk
( 2)
λΔt
K ijk A
V
−
= j+
1/ 2
ijk
( 4)
λΔt
K ijk A
V
−
= k+
1/ 2
ijk
( 1)
λΔt
K ijk A
V
=− i−
1/ 2
ijk
+
( 3)
λΔt
K ijk A
V
+
=− j−
1/ 2
ijk
( 5)
λΔt
K ijk A
V
+
=− k−1/
2
ijk
+ − + − + −
( + 1/ 2 −1/
2 + 1/ 2 −1/
2 + 1/ 2 −1/
2)
( 6)
λΔt
K ijk = I + A − A + A − A + A − A −λΔtC
V
ijk
(2.9.2.7)
i i j j k k ijk
Auf der rechten Seite des Gleichungssystems wird ein Unterrelaxationsparameter 0

Numerischer Lösungsalgorithmus 50
( 4) new ( 5) new ( 6)
ijk
ijk
ijk
new
K ⋅ ΔQ + K ⋅ ΔQ + K ⋅ ΔQ
= F
ijk+ 1 ijk− 1
ijk
ijk
( 0) old ( 1)
old
( K ijk ΔQ K ijk ΔQ
i+ 1 jk i− 1 jk )
( 2) old ( 3)
old
( K ijk ΔQ K ijk ΔQ
ij+ 1k ij− 1k
)
− ⋅ + ⋅
− ⋅ + ⋅
(2.9.2.9)
Numerische Experimente haben gezeigt, daß es i. a. ausreichend genau ist, je Rechenlinie
genau einmal den Block - Thomas Algorithmus zu durchlaufen. Des weiteren hat es sich
bewährt, zuerst alle Rechenlinien mit geraden Indices zu aktualisieren und anschließend alle
Rechenlinien mit ungeraden Indices (Zebra-Relaxation).
2.10 Konvergenzbeschleunigungstechniken für stationäre Probleme
Die Minimierung der Rechenzeit ist ein zentrales Anliegen der numerischen
Strömungsmechanik. Zwei weit verbreitete Techniken zur Konvergenzbeschleunigung für
stationäre Problemstellungen wurden in dieses Programmpaket inkludiert.
2.10.1 Lokales Zeitschrittverfahren
Die Stabilitätsuntersuchung des Konvektionsproblems nach Kap.2.5.2 ergab, daß als Maß für
die Stabilität des numerischen Algorithmus die CFL-Zahl nach Gl. (2.5.2.8) angegeben werden
kann.
Da die CFL-Zahl (i.a.) für jede Zelle einen anderen Wert annimmt, kann man nun in jeder Zelle
einen anderen Zeitschritt wählen, welcher etwa das gleiche Stabilitätsmaß ergibt. Das hat
schließlich zur Folge, daß in großen Zellen die Zeit schneller voranschreitet als in
vergleichsweise kleinen Zellen. Die stabileren (großen) Zellen "ziehen" die kleinen Zellen
sozusagen in Richtung Konvergenz mit. Wenn vergleichsweise mit konstantem Zeitschritt
(instationär) gerechnet wird, diktiert die instabilste Zelle den Zeitschritt für das gesamte
Strömungsfeld.
Für mehrdimensionale Problemstellungen kann der Zeitschritt folgendermaßen abgeschätzt
werden:
⎛
Δtijk = CFL⋅V ijk ⋅ ⎜ 1 1 1
min
⎜
; ;
⎝λi
λj λk
max max max
i j k
max max max
⎞
⎟
⎟
⎠
(2.10.1)
wobei λ , λ , λ die betragsmäßig größten Eigenwerte der Flußjacobimatrix nach
Gl. (2.5.2.4) für die Indexrichtungen i,j,k darstellen.
2.10.2 Mehrgitterverfahren (Multigrid)
nach Jameson & Yoon 1986, Siikonen 1991

Numerischer Lösungsalgorithmus 51
Die Tatsache, daß der maximal mögliche Zeitschritt nach Gl. (2.10.1) von der Zellgröße
abhängt, kann als Motivation für das hier adaptierte geometrische Mehrgitterverfahren
gesehen werden.
Der Lösungsalgorithmus wird hier auf unterschiedlich feinen Rechennetzen (Levels)
durchlaufen, wobei die Lösung auf den gröberen Netzen entsprechend Gl. (2.10.1) wesentlich
schneller in zeitlicher Richtung voranschreitet.
Die Lösungen für die gröberen Netze werden durch Interpolation bis auf das feinste Netz
übertragen und bewirken dadurch eine enorme Konvergenzsteigerung für dieses feinste Netz
(an dessen Lösung man eigentlich interessiert ist).
Eine wichtige Vorraussetzung für das Verfahren in der hier implementierten Form ist, daß ein
grobes Rechennetz durch Zusammenfassen von jeweils acht (3D) bzw. vier (2D) benachbarten
Zellen entsteht. Das bedeutet, daß die Anzahl der Zellen die Bedingung
i
h+
=
max
1
max
ih
2
erfüllen muß, wobei der Index ( )h das entsprechende Level indiziert:
h = 0 → feinstes Netz
⋅
⋅
⋅
h = NMG → gröbstes Netz
(2.10.2.1)
Je nach Strategie können eine Vielzahl von Mehrgitter-Zyklen konstruiert werden. Eine
einfache und vielfach angewendete Form ist der hier adaptierte sog. V-Zyklus, welcher
schematisch in Abb. 2.10.2.1 dargestellt ist.
Die Existenz mehrerer Rechennetze bietet auch eine Möglichkeit, gute Startlösungen (t=0) für
die Iteration zu finden. Man führt einige Iterationen am gröbsten Rechennetz durch und
interpoliert die so erhaltene Lösung bis auf das feinste Rechengitter, von wo aus dann die
eigentlichen V-Zyklen gestartet werden.

Numerischer Lösungsalgorithmus 52
Abb. 2.10.2.1: Schematische Darstellung eines
V-Zyklus (Mehrgitterverfahren)
(Quelle: http://www.cerfacs.fr/~douglas/mgnet/tutorials/xwb/mg.html)
• "Relax" : Dieser Schritt entspricht einem Iterationsschritt (bzw. Zeitschritt) des eigentlichen
Gleichungslösers, der den RHS-Vektor zum Verschwinden bringen soll.
• "Restrict": In dieser Prozedur wird sowohl der RHS-Vektor als auch der Zustandsvektor Q
auf das gröbere Level transferiert.
• "Interpol": Hier werden die Korrekturen der einzelnen Levels durch Interpolation auf das
jeweils feinere Level transportiert.
Für das implizite Zeitschrittverfahren nach Kap. 2.9.2 wurde diese Methodik nach folgendem
Algorithmus adaptiert, wobei zur Verbesserung der Lösungen auf den gröberen Netzen eine
zusätzliche "Forcing - Function" nach Jameson, 1986 (Ph) zum RHS-Vektor hinzugefügt
wird.

Numerischer Lösungsalgorithmus 53
//Finest level--------------------------------------------------------------------------------------"RELAX"
update
h
Q = Q +Δ Q ( R )
h h h
R = RHS( Q ); P = 0
h h h
for ( h = 1 → N MG ) //For all coarser levels------------------------------------------------------------------
final
h
update
h
//Recompute the solution on the finer Level-----------------------------------------------
update
update
h−
1 h−1
* update
h− 1 h−
1 h−
1
R = RHS( Q ) R = R + P
//Transfer residuals and variables to coarser grid-----------------------"RESTRICT"
transfer *
h = ∑ h−1Vh−1 Vh
R R
transfer
h = ∑ h−1Vh−1 / Vh
/ Q Q
//Calculate rhe residual on the coarser grid-----------------------------------------------
R h RHS Qh
transfer
= ( )
//Calculate the forcing function--------------------------------------------------------------
P = R −R
h h transfer
h
//Add the forcing function to the residual--------------------------------------------------
*
R h = R h + Ph
//Update the solution on the coarse grid ------------------------------------"RELAX"
final
h
update
h
transfer
h
*
h h
Q = Q +Δ Q ( R )
Q = Q //Coarsest Level ------------------------------------
for ( h = NMG −1 → 0) //Interpolate the corrections to the finer levels---" INTERPOL"
transfer
h
final transfer
( h+
1 h+
1 )
Q = Q + Interpol Q −Q
h+ 1→
h
Festzuhalten ist, daß der effektive Zeitschritt dieses Verfahrens etwa wie folgt abgeschätzt
werden kann:
V− Cycle
N ( ) h( )
N
1 MG MG+
1
1 2 2 2 1
Δt = Δt + Δt + ... + Δt ≅ Δt + + ... + = Δt
− (2.10.2.2)
h h+ 1 h+ N h
MG
Weiters kann der Rechenaufwand je V-Zyklus unter der vereinfachenden Annahme, daß der
Rechenaufwand (CPU) proportional zur Anzahl der Zellen ist, mit den Beziehungen

Numerischer Lösungsalgorithmus 54
für 3D-Berechnungen:
NMG
V− Cycle
CPU ≅ CPUh + CPUh
V− Cycle
CPU CPUh
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟ +
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟ + +
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
⎛
⎞ −
⎜
⎟ ⎟
⎝
⎠ ⎟ = ⋅
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
− ⎛
⎜
⎝
⎞
1
1 2
1
1 1 1
8
1
...
8 8 8
1
1 ⎟
8⎠
8
≤ ⋅
7
sowie für 2D-Berechnungen:
NMG
V− Cycle
CPU ≅ CPUh + CPUh
V− Cycle
CPU CPUh
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟ +
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟ + +
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
⎛
⎞ −
⎜
⎟ ⎟
⎝
⎠ ⎟ = ⋅
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
− ⎛
⎜
⎝
⎞
1
1 2
1
1 1 1
4
1
...
4 4 4
1
1 ⎟
4⎠
4
≤ ⋅
3
angegeben werden.
N
N
MG
MG
+ 1
+ 1
(2.10.2.3)
Die letzten beiden Beziehungen (2.10.2.2) und (2.10.2.3) können graphisch veranschaulicht
werden (s. Abb. 2.10.2.2) und untermauern das Potential dieser Methodik, denn beispielsweise
bereits bei NMG=3 erreicht man den 15-fachen Zeitschritt bei nur wenig größerem
Rechenaufwand.
Timestep-V-Cycle/Timestep-Single-Grid
140
120
100
80
60
40
20
Performance of the Multigrid-Algorithm
0
1
0 1 2 3 4 5 6
Number of coarser Levels (N_MG)
Timestep-V-Cycle/Timestep-Single-Grid Effort-V-Cycle/Effort-Single-Grid (2D) Effort-V-Cycle/Effort-Single-Grid (3D)
Abb. 2.10.2.2 Leistung des Mehrgitterverfahrens,
Zeitschritt und CPU-Zeit je V-Zyklus
bezogen auf die Werte mit einem Rechennetz
Zusammenfassend kann konstatiert werden, daß die Mehrgittertechnik umso wirkungsvoller
arbeitet, je feiner das Rechennetz ist.
1.5
1.45
1.4
1.35
1.3
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
Effort-V-Cycle/Effort-Single-Grid