Entwicklung eines 3D-Navier-Stokes Codes zur numerischen ...

Einleitung 4
Diskretisierung der konvektiven Terme
Für die Stabilität und Genauigkeit des Algorithmus von entscheidender Bedeutung ist die
Diskretisierung der in den Erhaltungsgleichungen auftretenden konvektiven Terme (Euler
Terme), insbesondere im Falle der eindeutig konvektionsdominierten, kompressiblen
Turbomaschinenströmung.
Speziell bei transsonischen Strömungen, wo das zu lösende Differentialgleichungssystem in
Unter- / Überschallbereichen von unterschiedlichem Typus ist (Unterschall: elliptisch,
Überschall: hyperbolisch) und Sprunglösungen in den Erhaltungsgleichungen möglich sind
(Verdichtungsstoß, Kontaktunstetigkeit) ist die physikalisch richtige Lösung des
Konvektionsproblems durch die Numerik von fundamentaler Bedeutung.
Die Diskretisierung dieser konvektiven Anteile erfolgt nun hauptsächlich mit zentralen oder
Upwind-Verfahren.
Die zentralen Verfahren sind einfach programmierbar, rechnerisch effizient, benötigen aber zur
Stabilisierung zusätzliche numerische Dissipationsterme. Ein häufig verwendetes zentrales
Verfahren geht auf die Arbeit von Beam und Warming, 1978 zurück. Ein Nachteil dieser
Verfahren ist, daß erstens durch die künstlichen Dissipationsterme die Genauigkeit der Lösung
in der Grenzschicht leiden kann, und zweitens, daß die physikalische Ausbreitungsrichtung von
Störungen nicht berücksichtigt wird.
Die Einbringung der physikalischen Störungsausbreitung in den Diskretisierungsprozeß führt
zu den sogenannten Upwind-Verfahren. Immer häufiger werden dabei die Godunov-Typ-
Verfahren angewandt, die auf der grundlegenden Arbeit von Godunov aus dem Jahre 1959
basieren. Godunov nahm an, daß die konservativen Variablen in jeder Netzzelle stückweise
konstant sind und die zeitliche Entwicklung der Strömung der exakten Lösung des Riemann-
Problems im Stoßwellenrohr folgt, sodaß Eigenschaften der exakten Lösung der Euler-
Gleichungen für die Diskretisierung herangezogen werden können. Diese Methode wurde auf
höhere Interpolationsordnungen für den Verlauf der Variablen erweitert (MUSCLE, Monotone
Upwind Scheme for Conservation Laws), die exakte Lösung des Riemann-Problems durch
approximative Lösungen ersetzt. Die Interpolationen sind im allgemeinen vom TVD-Typ
("Total Variation Diminishing"), um unphysikalische Oszillationen zu vermeiden (s. dazu
Chakravarthy, 1988). Bei den approximativen Riemann-Lösern sind heute die von Osher
(Engquist und Osher, 1980) und Roe, 1981 sehr weit verbreitet. Der Vorteil der Upwind-
Verfahren ist ihre Fähigkeit der genauen Auflösung von Strömungsdiskontinuitäten, ihre
genauere Erfassung von Grenzschichtströmungen und ihre höhere numerische Stabilität, ihr
Nachteil ist der erhöhte Aufwand an Rechenzeit.
Diskretisierung der diffusiven Anteile
Die Diskretisierung der viskosen Terme (Schubspannungen und Wärmeströme) hat im
Vergleich zur Diskretisierung der konvektiven Terme eher geringen Einfluß auf Genauigkeit
und Stabilität des Gesamtalgorithmus und erfolgt daher meist mit Hilfe von zentralen
Differenzen oder durch direkte Anwendung des Gauß'schen Integralsatzes auf ein finites
Volumen.