Entwicklung eines 3D-Navier-Stokes Codes zur numerischen ...

Numerischer Lösungsalgorithmus 32
(vorzeichenrichtige) räumlich einseitige Diskretisierung des Modellproblems (2.5.2.3) das
einfache Stabilitätskriterium:
Δt λmax CFL = < 1 (2.5.2.8)
V
2.5.3 Numerisch stabile Approximation des Konvektionsproblems durch
vorzeichenrichtige, einseitige Diskretisierung der charakteristischen
Gleichungen
Die Ergebnisse der Stabilitätsuntersuchung im vorhergehenden Abschnitt können nun dazu
benutzt werden, um für Gleichung (2.5.2.3) ein stabiles Diskretisierungsschema zu
konstruieren. Das Ergebnis der Gleichungen (2.5.2.6), (2.5.2.7) kann auch so interpretiert
werden, daß ein numerischer Algorithmus genau dann stabil ist, wenn die Diskretisierung mit
dem Informationsfluß der sich ausbreitenden Welle konsistent ist:
rechtslaufende Welle λ>
0 ⎫
⎬
Informationsfluß: von linksin die Zelle⎭
linkslaufende Welle λ<
0 ⎫
⎬
Informationsfluß: von rechts in die Zelle⎭
⇒
⇒
linksseitige Diskretisierung
rechtsseitige
Diskretisierung
Die mathematische Formulierung dieser Tatsache lautet mit den Schaltfunktionen L ± :
oder
∂C
i + - - +
± L ± L
V i + L ( ΔC) + L ( ΔC) = 0 mit L =
∂t
2
[ ]
∂C
( C) ( C) ( C)
∂t
V zentral
+ −
i + L - =
L
Δ Δ - Δ 0 (2.5.3.1)
2
Man erkennt, daß zusätzlich zum zentralen Anteil (aus Stabilitätsgründen) ein diffusiver Anteil
- 0.5 L
+ ( ΔC) -
− ( ΔC)
hinzukommt. Die Rücktransformation von den charakteristischen
[ ]
Variablen C auf die konservativen Variablen Q erfolgt wieder mit der Beziehung ∂C = L∂Q und mit ΔE$ = A ΔQ= ( R L L) ΔQ
∂Q
∂t
i
[ ]
zentral
+ −
V i + ( ΔE$ 1
) - R L L ( ΔQ) - ( ΔQ)
= 0 (2.5.3.2)
2
Gleichung (2.5.3.2) dient nun als Basis für die Konstruktion des
numerischen Flußvektors.
Setzt man für den Q-Verlauf abschnittsweise Geraden an, so erhält
man ein Verfahren erster Ordnung mit
+
( )
ΔQ = Q −Q
−
1 ; ( )
i+ i
ΔQ = Q −Q
i i−1 ,
i- 1
Q
G e r a d e - ' li n k s '
Ge ra d e -' re ch t s'
i i+ 1