Entwicklung eines 3D-Navier-Stokes Codes zur numerischen ...

Numerischer Lösungsalgorithmus 36
Roe, 1981 entwickelt seinen approximativen Riemann-Löser (Evolution Stage) nun ausgehend
von einem vereinfachten Riemannproblem, das auf einfache Weise analytisch lösbar ist, sofern
die Zustände innerhalb des Bilanzelementes als konstant angenommen werden (Roe 1981,
Chakravarthy 1988, Gehrer 1994).
∂Q
i Roe⎛∂Q
⎞
Approximatives Riemann − Problem (Roe):
i + A ⎜ ⎟ =
∂t
⎝∂ξ⎠
V 1 0 (2.5.4.3)
Die nach Roe definierte Flußjacobimatrix A Roe sei abschnittsweise konstant (im Intervall
i,..,i+1), wird mit einem speziellen Roe-Mittelwert Q Roe =f(Q + ,Q - ) gebildet und erfüllt folgende
Bedingung:
A
+ − ( , )
i+
2
∂E
$
= A ⋅ Q − Q = E Q −E
Q
∂Q
Roe Roe
Roe
Q= Q Q Q
Die Forderung (2.5.4.4) ergibt für Q Roe :
+ − ( ) $ + ( ) $ − ( )
r + + r − −
+ + − −
Roe + − r Roe w ρ + w ρ Roe h tot ρ + h tot ρ
ρ = ρ ρ ; w =
; h tot =
;
+ −
+ −
ρ + ρ
ρ + ρ
i
(2.5.4.4)
(2.5.4.5)
Die Lösung des (approximativen) Riemann-Problems kann wiederum auf eine konservative
Erhaltungsform gebracht werden (s. z. B.: Gehrer, 1994), wobei der numerische Flußvektor
folgende Form annimmt (o.B.d.A.: Δξ = 1):
⎛ ⎞
$ num
E E$ +
Q E$ −
Roe + −
= ⎜ ⎟ Q ( R L) Q Q
i+
⎜ i+ ⎟
⎝ ⎠ i+ i+
i+ i+
+
1
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎜ ⎟⎟
1
⎛ ⎞
⎜ ⎜ ⎟
− ⎜ − ⎟
1
1
1 L
⎟ 1 ⎜ 1 1⎟
(2.5.4.6)
2
⎝ ⎝ ⎠⎠
2 ⎝ ⎠
2
2
2
Es soll noch bemerkt werden, daß die hier verwendete TVD Interpolation zusammen mit dem
Riemann Löser nach Roe, abseits von lokalen Extrema und steilen Gradienten (und für Φ=1/2),
folgenden numerischen Diffusionsterm ergibt:
1
⎛
− 1 −
+ ⎜ 1
2 i ⎝ +
⎞
Roe
( ) ⎜ + − ⎟
Roe
R L L Q Q =+ ( R L L) ⋅ ( Q − 3Q + 3Q
−Q
)
2
⎟
⎠
1
1
i i+ 2 i+
2 2
2
1
2
2
1
8
2
i+ 2 i+ 1 i i−
1
Dieses Ergebnis unterscheidet sich vom Ergebnis in Gleichung (2.5.3.4), das durch
vorzeichenrichtige, einseitige Diskretisierung der charakteristischen Gleichungen (zweiter
Ordnung) erhalten wurde, im wesentlichen nur durch den Vorfaktor 1/4, was einer
entsprechend geringeren numerischen Dissipation entspricht.
Betrachtet man das von erster Ordnung genaue Basisverfahren, wo die Zustände innerhalb
eines Bilanzelements als konstant angenommen werden, also Q + i+0.5 = Qi+1 und Q - i+0.5 = Qi, so
ist das Ergebnis für den diffusiven Anteil des numerischen Flusses wiederum in völliger
Übereinstimmung mit der vorzeichenrichtigen einseitigen Diskretisierung der charakteristischen
Gleichungen (erster Ordnung) (Gl. (2.5.3.3))